Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

С тази математическа програма можете да решите система от две линейни уравненияс две променливи, използвайки метода на заместване и метода на добавяне.

Програмата не само дава отговор на проблема, но и дава подробно решениес обяснения на стъпките на решение по два начина: метод на заместване и метод на добавяне.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от средните училища в подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо? домашна работапо математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение. по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

Правила за въвеждане на уравнения

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) и т.н.

При въвеждане на уравнения можете да използвате скоби. В този случай уравненията първо се опростяват. Уравненията след опростяване трябва да са линейни, т.е. на формата ax+by+c=0 с точността на реда на елементите.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравненията можете да използвате не само цели числа, но и дроби под формата на десетични и обикновени дроби.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Цели и дробни части в десетични знацимогат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например: 2,1n + 3,5m = 55

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част е отделена от дробта със знака амперсанд: &

Примери.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Решаване на системи от линейни уравнения. Метод на заместване

Последователността на действията при решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване:
1) изразете една променлива от някое уравнение на системата по отношение на друго;
2) заменете получения израз в друго уравнение на системата вместо тази променлива;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Нека изразим y чрез x от първото уравнение: y = 7-3x. Замествайки израза 7-3x във второто уравнение вместо y, получаваме системата:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Лесно е да се покаже, че първата и втората система имат еднакви решения. Във втората система второто уравнение съдържа само една променлива. Нека решим това уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Замествайки числото 1 вместо x в равенството y=7-3x, намираме съответната стойност на y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Двойка (1;4) - решение на системата

Системи от уравнения на две променливи, които имат еднакви решения, се наричат еквивалентен. Системи, които нямат решения, също се считат за еквивалентни.

Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране

Нека разгледаме друг начин за решаване на системи от линейни уравнения - методът на добавяне. При решаване на системи по този начин, както и при решаване чрез заместване, ние преминаваме от тази система към друга, еквивалентна система, в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Последователността на действията при решаване на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне:
1) умножете уравненията на системния член по член, като изберете фактори, така че коефициентите за една от променливите да станат противоположни числа;
2) добавете лявата и дясната страна на системните уравнения член по член;
3) решете полученото уравнение с една променлива;
4) намерете съответната стойност на втората променлива.

Пример. Нека решим системата от уравнения:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

В уравненията на тази система коефициентите на y са противоположни числа. Като съберем лявата и дясната страна на уравненията член по член, получаваме уравнение с една променлива 3x=33. Нека заместим едно от уравненията на системата, например първото, с уравнението 3x=33. Да вземем системата
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

От уравнението 3x=33 намираме, че x=11. Като заместим тази x стойност в уравнението \(x-3y=38\), получаваме уравнение с променливата y: \(11-3y=38\). Нека решим това уравнение:
\(-3y=27 \Стрелка надясно y=-9 \)

Така намерихме решението на системата от уравнения чрез събиране: \(x=11; y=-9\) или \((11;-9)\)

Възползвайки се от факта, че в уравненията на системата коефициентите за y са противоположни числа, сведохме нейното решение до решение на еквивалентна система (чрез сумиране на двете страни на всяко от уравненията на изходната система), в която от уравненията съдържа само една променлива.

Инструкции

Метод на добавяне.
Трябва да напишете две строго една под друга:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
В произволно избрано (от системата) уравнение вмъкнете числото 11 вместо вече намерената „игра“ и изчислете второто неизвестно:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Отговорът на тази система от уравнения е x=116, y=11.

Графичен метод.
Състои се от практическо намиране на координатите на точката, в която линиите са математически записани в система от уравнения. Графиките на двете линии трябва да се начертаят поотделно в една и съща координатна система. Общ изглед: – y=khx+b. За да се построи права линия, достатъчно е да се намерят координатите на две точки, а x се избира произволно.
Нека е дадена системата: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Правата линия се конструира с помощта на първата, за удобство трябва да се запише: y=2x-4. Измислете (по-лесни) стойности за x, замествайки го в уравнението, решавайки го и намирайки y. Получаваме две точки, по които е построена права линия. (виж снимката)
х 0 1

y -4 -2
Правата линия се конструира с помощта на второто уравнение: y=-3x+1.
Постройте и права линия. (виж снимката)

y 1 -5
Намерете координатите на пресечната точка на две построени прави на графиката (ако линиите не се пресичат, тогава системата от уравнения няма - така).

Видео по темата

Полезен съвет

Ако една и съща система от уравнения се реши с три различни начини, отговорът ще бъде същият (ако решението е правилно).

източници:

• Алгебра 8 клас
• решаване на уравнение с две неизвестни онлайн
• Примери за решаване на системи от линейни уравнения с две

Система уравненияпредставлява колекция математически означения, всяка от които съдържа определен брой променливи. Има няколко начина за решаването им.

Ще имаш нужда

• -Линийка и молив;
• - калкулатор.

Инструкции

Нека разгледаме последователността на решаване на системата, която се състои от линейни уравнения, имащи формата: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Където x и y са неизвестни променливи, а b,c са свободни членове. При прилагането на този метод всяка система представя координатите на точки, съответстващи на всяко уравнение. Като начало, във всеки случай изразете една променлива по отношение на друга. След това задайте произволен брой стойности на променливата x. Две са достатъчни. Заместете в уравнението и намерете y. Изградете координатна система, маркирайте върху нея получените точки и начертайте линия през тях. Подобни изчисления трябва да се извършат и за други части на системата.

Системата има уникално решение, ако построените прави се пресичат и имат една обща точка. Несъвместимо е, ако са успоредни един на друг. И има безкрайно много решения, когато линиите се сливат една с друга.

Този метод се счита за много визуален. Основният недостатък е, че изчислените неизвестни имат приблизителни стойности. По-точни резултати дават т. нар. алгебрични методи.

Всяко решение на система от уравнения си струва да бъде проверено. За да направите това, заменете получените стойности вместо променливите. Можете също да намерите неговото решение, като използвате няколко метода. Ако решението на системата е правилно, тогава всички трябва да се окажат еднакви.

Често има уравнения, в които един от членовете е неизвестен. За да решите уравнение, трябва да запомните и извършите определен набор от действия с тези числа.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химикал или молив.

Инструкции

Представете си, че пред вас има 8 заека, а вие имате само 5 моркова. Помислете за това, все пак трябва да купите повече моркови, така че всеки заек да получи по един.

Нека представим тази задача под формата на уравнение: 5 + x = 8. Нека заместим числото 3 на мястото на x. Наистина, 5 + 3 = 8.

Когато заместихте число с x, направихте същото нещо, както когато извадихте 5 от 8. Така че, за да намерите неизвестенчлен, извадете известния член от сумата.

Да кажем, че имате 20 заека и само 5 моркова. Нека се измислим. Уравнението е равенство, което е валидно само за определени стойности на буквите, включени в него. Буквите, чието значение трябва да се открие, се наричат. Напишете уравнение с едно неизвестно, наречете го x. Когато решаваме проблема със заека, получаваме следното уравнение: 5 + x = 20.

Да намерим разликата между 20 и 5. При изваждане числото, от което се изважда, е това, което се намалява. Числото, което се изважда, се нарича , и краен резултатнаречена разлика. И така, x = 20 – 5; x = 15. Трябва да купите 15 моркова за зайците.

Проверка: 5 + 15 = 20. Уравнението е решено правилно. Разбира се, когато става въпрос за толкова прости, проверката не е необходима. Когато обаче имате уравнения с трицифрени, четирицифрени и т.н. числа, определено трябва да проверите, за да сте абсолютно сигурни в резултата от работата си.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата.

За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното.

Съвет 4: Как да решим система от три уравнения с три неизвестни

Система от три уравнения с три неизвестни може да няма решения, въпреки достатъчен брой уравнения. Можете да опитате да го решите, като използвате метода на заместване или метода на Крамер. Методът на Cramer, в допълнение към решаването на системата, ви позволява да оцените дали системата е разрешима, преди да намерите стойностите на неизвестните.

Инструкции

Методът на заместване се състои от последователно последователно едно неизвестно чрез две други и заместване на получения резултат в уравненията на системата. Нека е дадена система от три уравнения общ изглед:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Изразете x от първото уравнение: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и заместете във второто и третото уравнения, след това изразете y от второто уравнение и заместете в третото. Ще получите линеен израз за z чрез коефициентите на уравненията на системата. Сега отидете „назад“: заместете z във второто уравнение и намерете y, а след това заместете z и y в първото и решете за x. Процесът обикновено е показан на фигурата преди намирането на z. По-нататъшното писане в обща форма ще бъде твърде тромаво; на практика, чрез заместване, можете доста лесно да намерите и трите неизвестни.

Методът на Cramer се състои от конструиране на системна матрица и изчисляване на детерминанта на тази матрица, както и още три помощни матрици. Матрицата на системата е съставена от коефициенти за неизвестните членове на уравненията. Колона, съдържаща числата от дясната страна на уравненията, колона от дясната страна. Не се използва в системата, но се използва при решаване на системата.

Видео по темата

Забележка

Всички уравнения в системата трябва да предоставят допълнителна информация, независима от други уравнения. В противен случай системата ще бъде недоопределена и няма да може да се намери еднозначно решение.

Полезен съвет

След като решите системата от уравнения, заменете намерените стойности в оригинална системаи проверете дали те отговарят на всички уравнения.

От само себе си уравнениетос три неизвестенима много решения, така че най-често се допълва от още две уравнения или условия. От това какви са първоначалните данни до голяма степен ще зависи и ходът на решението.

Ще имаш нужда

• - система от три уравнения с три неизвестни.

Инструкции

Ако две от трите системи имат само две от трите неизвестни, опитайте се да изразите някои променливи по отношение на другите и да ги замените в уравнениетос три неизвестен. Вашата цел в този случай е да го превърнете в нормално уравнениетос непознат човек. Ако това е, по-нататъшното решение е съвсем просто - заместете намерената стойност в други уравнения и намерете всички останали неизвестни.

Някои системи от уравнения могат да бъдат извадени от едно уравнение с друго. Вижте дали е възможно да умножите едно от или променлива, така че две неизвестни да бъдат анулирани наведнъж. Ако има такава възможност, възползвайте се от нея, най-вероятно последващото решение няма да е трудно. Не забравяйте, че когато умножавате по число, трябва да умножите като лява страна, и дясната. По същия начин, когато изваждате уравнения, е необходимо да запомните това дясна частсъщо трябва да се приспадне.

Ако предишните методи не помогнаха, използвайте по общ начинрешения на всякакви уравнения с три неизвестен. За да направите това, пренапишете уравненията във формата a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега създайте матрица от коефициенти за x (A), матрица от неизвестни (X) и матрица от свободни променливи (B). Моля, имайте предвид, че като умножите матрицата на коефициентите по матрицата на неизвестните, ще получите матрица на свободните членове, тоест A*X=B.

Намерете матрица A на степен (-1), като първо намерите , имайте предвид, че тя не трябва да е равна на нула. След това умножете получената матрица по матрица B, в резултат на което ще получите желаната матрица X, посочваща всички стойности.

Можете също така да намерите решение на система от три уравнения, като използвате метода на Крамър. За да направите това, намерете детерминанта от трети ред ∆, съответстваща на системната матрица. След това последователно намерете още три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, замествайки стойностите на свободните членове вместо стойностите на съответните колони. Сега намерете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

източници:

• решения на уравнения с три неизвестни

Когато започнете да решавате система от уравнения, разберете какъв вид уравнения са те. Методите за решаване на линейни уравнения са проучени доста добре. Нелинейните уравнения най-често не се решават. Има само един частен случай, всеки от които е практически индивидуален. Следователно изучаването на техниките за решаване трябва да започне с линейни уравнения. Такива уравнения могат дори да бъдат решени чисто алгоритмично.

Инструкции

Започнете процеса на обучение, като научите как да решавате система от две линейни уравнения с две неизвестни X и Y чрез елиминиране. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Коефициентите на уравненията са обозначени с индекси, указващи тяхното местоположение. Така коефициентът a21 подчертава факта, че е записан на първо място във второто уравнение. В общоприетата нотация системата се записва чрез уравнения, разположени едно под друго и съвместно обозначени с къдрава скоба отдясно или отляво (за повече подробности вижте Фиг. 1а).

Номерирането на уравненията е произволно. Изберете най-простия, като например такъв, в който една от променливите е предшествана от коефициент 1 или поне цяло число. Ако това е уравнение (1), след това изразете, да речем, неизвестното Y по отношение на X (случаят на изключване на Y). За да направите това, трансформирайте (1) във формата a12*Y=b1-a11*X (или a11*X=b1-a12*Y, когато изключвате X)) и след това Y=(b1-a11*X)/a12 . Замествайки последното в уравнение (2), напишете a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Решете това уравнение за X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) или X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Използвайки намерената връзка между Y и X, най-накрая ще получите второто неизвестно Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Ако системата беше определена със специфични числени коефициенти, тогава изчисленията биха били по-малко тромави. Но общото решение позволява да се вземе предвид фактът, че намерените неизвестни са абсолютно еднакви. Да, и числителите показват някои модели в тяхната конструкция. Ако измерението на системата от уравнения беше по-голямо от две, тогава методът на елиминиране би довел до много тромави изчисления. За избягването им са разработени чисто алгоритмични решения. Най-простият от тях е алгоритъмът на Крамър (формули на Крамър). Защото трябва да разберете обща системауравнения от n уравнения.

Система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни има формата (виж Фиг. 1а). В него аij са коефициентите на системата,
xj – неизвестни, bi – свободни членове (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Такава система може да бъде записана компактно в матрична форма AX=B. Тук A е матрицата на коефициентите на системата, X е матрицата на колоната на неизвестните, B е матрицата на колоната на свободните членове (виж Фигура 1b). Съгласно метода на Крамър всяко неизвестно xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Детерминантата ∆ на матрицата на коефициента се нарича основна, а ∆i спомагателна. За всяко неизвестно, спомагателният детерминант се намира чрез замяна на i-тата колона на основния детерминант с колона от свободни членове. Методът на Крамер за случая на системи от втори и трети ред е представен подробно на фиг. 2.

Системата е комбинация от две или повече равенства, всяко от които съдържа две или повече неизвестни. Има два основни начина за решаване на системи от линейни уравнения, които се използват в рамките училищна програма. Единият от тях се нарича метод, другият - метод на добавяне.

Стандартна форма на система от две уравнения

Решаване на системата чрез метода на събиране

Да предположим например, че е дадена система, състояща се от две уравнения. Първият от тях има формата 2x+4y=8, вторият има формата 6x+2y=6. Един от вариантите за изпълнение на задачата е второто уравнение да се умножи с коефициент -2, което ще го доведе до вида -12x-4y=-12. Правилният изборкоефициентът е една от ключовите задачи в процеса на решаване на система чрез събиране, тъй като определя цялата по-нататъшно движениепроцедури за намиране на неизвестни.

Сега е необходимо да съберем двете уравнения на системата. Очевидно взаимното унищожаване на променливи с равни по стойност коефициенти, но противоположни по знак ще доведе до формата -10x=-4. След това е необходимо да се реши това просто уравнение, от което ясно следва, че x = 0,4.

Последната стъпка в процеса на решаване е да се замени намерената стойност на една от променливите в някое от оригиналните равенства, налични в системата. Например, замествайки x=0,4 в първото уравнение, можете да получите израза 2*0,4+4y=8, от който y=1,8. Така x=0,4 и y=1,8 са корените на примерната система.

За да сте сигурни, че корените са намерени правилно, е полезно да проверите чрез заместване на намерените стойности във второто уравнение на системата. Например в този случай получаваме равенство от вида 0,4*6+1,8*2=6, което е правилно.

Видео по темата

Вече сме запознати с концепцията за линейно уравнение с две неизвестни. Уравненията могат да присъстват в един проблем както поотделно, така и няколко уравнения наведнъж. В такива случаи уравненията се комбинират в система от уравнения.

Какво е система от линейни уравнения

Система от уравнения- това са две или повече уравнения, за които е необходимо да се намерят всичките им общи решения. Обикновено, за да се напише система от уравнения, те се записват в колона и се поставя една обща къдрава скоба. По-долу е представен запис на системата от линейни уравнения.

(4x + 3y = 6
(2x + y = 4

Този запис означава, че е дадена система от две уравнения с две променливи. Ако имаше три уравнения в системата, тогава щяхме да говорим за система от три уравнения. И така нататък за произволен брой уравнения.

Ако всички уравнения в една система са линейни, тогава казваме, че е дадена система от линейни уравнения. В горния пример е представена система от две линейни уравнения. Както беше отбелязано по-горе, системата може да има общи решения. По-долу ще говорим за термина „общо решение“.

Какво е решението?

Решение на система от две уравнения с две неизвестни е двойка числа (x,y), така че ако заместим тези числа в уравненията на системата, тогава всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Например, имаме система от две линейни уравнения. Решението на първото уравнение ще бъде всички двойки числа, които удовлетворяват това уравнение.

За второто уравнение решението ще бъде двойки числа, които удовлетворяват това уравнение. Ако има двойка числа, която удовлетворява както първото, така и второто уравнение, тогава тази двойка числа ще бъде решението на система от две линейни уравнения с две неизвестни.

Графично решение

Графично решението на линейно уравнение са всички точки на определена права в равнината.

За система от линейни уравнения ще имаме няколко прави линии (според броя на уравненията). И решението на системата от уравнения ще бъде точката, в която ВСИЧКИ прави се пресичат. Ако няма такава точка, тогава системата няма да има решения. Точката, в която се пресичат всички прави, принадлежи на всяка от тези прави, следователно решението се нарича общо.

Между другото, чертане на графики на системни уравнения и намирането им обща точка, това е един от начините за решаване на система от уравнения. Този метод се нарича графичен.

Други начини за решаване на линейни уравнения

Има и други начини за решаване на системи от линейни уравнения с две променливи. Основни методи за решаване на системи линейни уравнения с две неизвестни.

Системите от уравнения се използват широко в икономическия сектор за математическо моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнение чрез начертаването му ще изглежда като права линия, всички точки на която са решения на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава намиране на стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или установяване, че подходящи стойности на x и y не съществуват.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или не съществува решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака за равенство има стойност или е изразена чрез функция, такава система е разнородна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, те могат да бъдат колкото желаете.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. IN училищен курсматематика, такива методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графични и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаване на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на използване на конкретен метод

Решаване на примери на системи от линейни уравнения от програмата за 7 клас средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери на системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшето образование.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива по отношение на втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем решение на пример за система от линейни уравнения от клас 7, използвайки метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решение този примерне създава затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последна стъпкаТова е проверка на получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решаването чрез заместване също е неподходящо.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

Когато се търсят решения на системи, използващи метода на добавяне, уравненията се добавят член по член и се умножават по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.

Прилагането на този метод изисква практика и наблюдение. Решаването на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне, когато има 3 или повече променливи, не е лесно. Алгебричното събиране е удобно за използване, когато уравненията съдържат дроби и десетични знаци.

Алгоритъм за решение:

1. Умножете двете страни на уравнението по определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата изисква намиране на решение за не повече от две уравнения; броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава за въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за 3 системи от уравнения. Методът се състои в построяването на графики на всяко уравнение, включено в системата, върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите и ще бъдат общо решениесистеми.

Графичният метод има редица нюанси. Нека да разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, за всяка линия са конструирани две точки, стойностите на променливата x са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x са намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следващият пример изисква намиране графично решениесистеми от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при конструирането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали дадена система има решение или не; винаги е необходимо да се построи графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратка бележкасистеми от линейни уравнения. Матрицата е таблица специален типпълни с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица от една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична матрица; такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични числа; едно уравнение е един ред от матрицата.

За матричен ред се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от реда не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 - обратна матрицаи |K| е детерминантата на матрицата. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две; просто трябва да умножите диагоналните елементи един по друг. За опцията „три по три“ има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в работата.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение ви позволява да намалите тромавите записи при решаване на системи с голяма сумапроменливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливи, а b n са свободни членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

IN висша математикаМетодът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решения на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решения чрез заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението по метода на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да намали системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания се намира стойността на една променлива в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, докато 3 и 4 са съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решаването на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най интересни начиниза развиване на изобретателността на децата, записани в програми за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване изчисленията обикновено се извършват, както следва:

Коефициентите на уравненията и свободните членове са записани под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.

Първо, запишете матрицата, с която ще работите, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и необходимите алгебрични операции продължават до постигане на резултата.

Резултатът трябва да бъде матрица, в която един от диагоналите е равен на 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до единична форма. Не трябва да забравяме да извършваме изчисления с числа от двете страни на уравнението.

Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате с изброяване на множество неизвестни.

Безплатното използване на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои методи за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.