Казва се, че функцията има във вътрешната точка
регион д локален максимум(минимум), ако има такава близост на точката
, за всяка точка
която поддържа неравенството

Ако една функция има в точка
локален максимум или локален минимум, тогава казваме, че има в тази точка локален екстремум(или просто крайност).

Теорема (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако диференцируемата функция достигне екстремум в точката
, след това всяка частична производна от първи ред на функцията в този момент става нула.

Наричат ​​се точките, в които всички частни производни от първи ред изчезват стационарни точки на функцията
. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения

.

Необходимото условие за съществуването на екстремум в случай на диференцируема функция може да се формулира накратко по следния начин:

Има случаи, когато в отделни точки някои частични производни имат безкрайни стойности или не съществуват (докато останалите са равни на нула). Такива точки се наричат критични точки на функцията.Тези точки също трябва да се считат за „подозрителни“ за екстремум, точно както стационарните.

В случай на функция на две променливи необходимото условие за екстремума, а именно равенството на нула на частните производни (диференциала) в точката на екстремума, има геометрична интерпретация: допирателна равнина към повърхността
в крайната точка трябва да е успоредна на равнината
.

20. Достатъчни условия за съществуване на екстремум

Изпълнението на необходимото условие за съществуване на екстремум в даден момент изобщо не гарантира наличието на екстремум там. Като пример можем да вземем диференцируемата навсякъде функция
. И двете нейни частни производни, и самата функция изчезват в точката
. Въпреки това във всеки квартал на тази точка има и двете положителни (големи
) и отрицателни (по-малки
) стойности на тази функция. Следователно в този момент по дефиниция не се наблюдава екстремум. Следователно е необходимо да се знаят достатъчни условия, при които точка, за която се подозира, че е екстремум, е екстремна точка на изследваната функция.

Нека разгледаме случая на функция на две променливи. Да приемем, че функцията
дефиниран, непрекъснат и има непрекъснати частни производни до втори ред включително в околността на някаква точка
, която е стационарната точка на функцията
, тоест отговаря на условията

,
.

Нека въведем следната нотация:

Теорема (достатъчни условия за съществуване на екстремум). Нека функцията
удовлетворява горните условия, а именно: тя е диференцируема в някаква околност на неподвижна точка
и е два пъти диференцируема в самата точка
. Тогава ако

Ако
след това функцията
в точката
достига

локален максимумпри
И

местен минимумпри
.

Като цяло за функцията
достатъчно условие за съществуване в точката
местенминимум(максимум) е положителен(отрицателен) сигурност на втория диференциал.

С други думи, следното твърдение е вярно.

Теорема . Ако в точката
за функция

за всички, които не са равни на нула едновременно
, тогава в този момент функцията има минимум(подобен на максимум, Ако
).

Пример 18.Намерете локални точки на екстремум на функция

Решение. Нека намерим частните производни на функцията и ги приравним към нула:

Решавайки тази система, намираме две възможни екстремни точки:

Нека намерим частичните производни от втори ред за тази функция:

Следователно в първата неподвижна точка и
Следователно на този етап са необходими допълнителни изследвания. Функционална стойност
в този момент е нула:
Освен това,

при

А

при

Следователно във всеки квартал на точката
функция
приема стойности като големи
, и по-малки
, и, следователно, в точката
функция
, по дефиниция, няма локален екстремум.

Във втората стационарна точка



следователно, следователно, тъй като
след това в точката
функцията има локален максимум.

>> Екстрема

Екстремум на функцията

Определение за екстремум

функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващи) в определен интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ако диференцируемата функция y = f (x) нараства (намалява) на интервал, тогава нейната производна на този интервал f " (х)> 0

(е"(х)< 0).

Точка х О Наречен локална максимална точка (минимум) функция f (x), ако има околност на точката x o, за всички точки, от които е вярно неравенството f (x).≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Екстремни точки

Необходимите условияекстремум . Ако точката х О е екстремалната точка на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0, или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,а самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие. Позволявам х О - критична точка. Ако f" (x ) при преминаване през точка х О променя знака плюс на минус, след това в точката x oфункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако при преминаване през критичната точка производната не променя знака, тогава в точката х О няма крайност.

Второ достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х О и втората производна в самата точка x o. Ако f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oе локалната минимална (максимална) точка на функцията f (x). Ако =0, тогава трябва или да използвате първото достатъчно условие, или да включите по-високи.

На сегмент функцията y = f (x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.защото f " (

Задачи за намиране на екстремума на функция

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
0 ≤ х≤
> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.защото f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната сменя знака си от минус на плюс, така че в точката x 2 = 3 функцията има минимум. След като изчислите стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е изпълнено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2 × a/4 = a/2. Тъй като x = a /4 е единствената критична точка; нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. При x a /4 S "> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. единици). Тъй като S е непрекъснато включен и неговите стойности в краищата S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-висока стойностфункции. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16 p ≈ 50 м 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да може да се произвежда? най-малко количествоматериал?

Решение.Квадрат пълна повърхностцилиндър е равен на S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Така че S(R) = 2стр (R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). С" (R) = 0 при R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Промяната във функция в определена точка се дефинира като границата на увеличението на функцията спрямо увеличението на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата с производни. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна на нула (в този случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, при които дадената производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заместете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Нанесете получените стойности върху координатната линия и изчислете знака на производната за всяка от получените стойности. На координатната права се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например, за предишната функция преди интервала -1, можете да изберете стойност -2. За стойности от -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и върху този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс на минус, това е максимална точка.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват необходимите стойности и показват резултата. На такива сайтове можете да намерите производни до 5-ти ред.

източници:

• Една от услугите за изчисляване на деривати
• максимална точка на функцията

Максималните точки на функция, заедно с минималните точки, се наричат ​​точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Екстремумите се определят на ограничени числови интервали и винаги са локални.

Инструкции

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете проучването, уверете се, че зададеният диапазон от стойности на аргументи принадлежи към валидните стойности. Например за функцията F=1/x аргументът x=0 не е валиден. Или за функцията Y=tg(x) аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема в целия даден интервал. Намерете първата производна на Y." Очевидно, преди да достигне локалната максимална точка, функцията нараства, а когато премине през максимума, функцията става намаляваща. Първата производна, във физическото си значение, характеризира скоростта на промяна на функцията Докато функцията нараства, скоростта на този процес е положителна стойност.По време на прехода през локален максимум функцията започва да намалява и скоростта на промяна на функцията става отрицателна.Преходът на скоростта на промяна на функция през нула възниква в точката на локалния максимум.

Екстремалната точка на функция е точката в областта на дефиниране на функцията, в която стойността на функцията приема минимална или максимална стойност. Стойностите на функцията в тези точки се наричат ​​екстремуми (минимум и максимум) на функцията.

Определение. Точка х1 функционална област f(х) е наречен максимална точка на функцията , ако стойността на функцията в тази точка повече ценностифункция в точки, достатъчно близки до него, разположени отдясно и отляво на него (тоест неравенството f(х0 ) > f(х 0 + Δ х) х1 максимум.

Определение. Точка х2 функционална област f(х) е наречен минимална точка на функцията, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво на нея (т.е. неравенството е в сила f(х0 ) < f(х 0 + Δ х) ). В този случай казваме, че функцията има в точката х2 минимум.

Да кажем точка х1 - максимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х1 функцията се увеличава, следователно производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ), и в интервала след х1 функцията намалява, следователно, производна на функцияпо-малко от нула ( f "(х) < 0 ). Тогда в точке х1

Нека приемем също, че точката х2 - минимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х2 функцията е намаляваща и производната на функцията е по-малка от нула ( f "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функцията нараства и производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ). В този случай също в точката х2 производната на функцията е нула или не съществува.

Теорема на Ферма (необходим знак за съществуването на екстремум на функция). Ако точката х0 - екстремна точка на функцията f(х), тогава в тази точка производната на функцията е равна на нула ( f "(х) = 0 ) или не съществува.

Определение. Точките, в които производната на дадена функция е нула или не съществува, се наричат критични точки .

Пример 1.Нека разгледаме функцията.

В точката х= 0 производната на функцията е нула, следователно точката х= 0 е критичната точка. Въпреки това, както може да се види на графиката на функцията, тя нараства в цялата област на дефиниция, така че точката х= 0 не е екстремната точка на тази функция.

По този начин условията, че производната на функция в точка е равна на нула или не съществува, са необходими условия за екстремум, но не са достатъчни, тъй като могат да бъдат дадени други примери за функции, за които тези условия са изпълнени, но функцията няма екстремум в съответната точка. Ето защо трябва да има достатъчно доказателства, което позволява да се прецени дали има екстремум в дадена критична точка и какъв е екстремумът – максимален или минимален.

Теорема (първият достатъчен признак за съществуването на екстремум на функция).Критична точка х0 f(х) ако при преминаване през тази точка производната на функцията промени знака и ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава това е максимална точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава това е минимална точка.

Ако е близо до точката х0 , вляво и вдясно от нея, производната запазва знака си, това означава, че функцията или само намалява, или само нараства в определена околност на точката х0 . В този случай в точката х0 няма крайност.

Така, за да определите екстремалните точки на функцията, трябва да направите следното :

1. Намерете производната на функцията.
2. Приравнете производната на нула и определете критичните точки.
3. Мислено или на хартия маркирайте критичните точки на числовата линия и определете знаците на производната на функцията в получените интервали. Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава минималната точка.
4. Изчислете стойността на функцията в точките на екстремума.

Пример 2.Намерете екстремумите на функцията .

Решение. Нека намерим производната на функцията:

Нека приравним производната на нула, за да намерим критичните точки:

.

Тъй като за всякакви стойности на "x" знаменателят не е равен на нула, ние приравняваме числителя на нула:

Имам една критична точка х= 3 . Нека определим знака на производната в интервалите, ограничени от тази точка:

в диапазона от минус безкрайност до 3 - знак минус, тоест функцията намалява,

в интервала от 3 до плюс безкрайност има знак плюс, тоест функцията нараства.

Тоест точка х= 3 е минималната точка.

Нека намерим стойността на функцията в минималната точка:

Така се намира екстремната точка на функцията: (3; 0) и тя е минималната точка.

Теорема (вторият достатъчен признак за съществуването на екстремум на функция).Критична точка х0 е екстремната точка на функцията f(х), ако втората производна на функцията в тази точка не е равна на нула ( f ""(х) ≠ 0 ), и ако втората производна е по-голяма от нула ( f ""(х) > 0 ), тогава максималната точка и ако втората производна е по-малка от нула ( f ""(х) < 0 ), то точкой минимума.

Забележка 1. Ако в точката х0 Ако и първата, и втората производни са нулеви, тогава в този момент е невъзможно да се прецени наличието на екстремум въз основа на втория достатъчен критерий. В този случай трябва да използвате първия достатъчен критерий за екстремума на функция.

Забележка 2. Вторият достатъчен критерий за екстремум на функция не е приложим дори когато първата производна не съществува в стационарна точка (тогава втората производна също не съществува). В този случай трябва да използвате и първия достатъчен знак за екстремум на функция.

Локален характер на екстремумите на функцията

От горните дефиниции следва, че екстремумът на функцията е локален по природа - това е най-голямата и най-малката стойност на функцията в сравнение с близките стойности.

Да приемем, че разглеждате приходите си за период от една година. Ако през май сте спечелили 45 000 рубли, а през април 42 000 рубли и през юни 39 000 рубли, тогава приходите от май са максимумът на функцията за печалба в сравнение с близките стойности. Но през октомври сте спечелили 71 000 рубли, през септември 75 000 рубли, а през ноември 74 000 рубли, така че приходите през октомври са минимумът на функцията за печалба в сравнение с близките стойности. И можете лесно да видите, че максимумът сред стойностите на април-май-юни е по-малък от минимума на септември-октомври-ноември.

Най-общо казано, на интервал една функция може да има няколко екстремума и може да се окаже, че някакъв минимум на функцията е по-голям от всеки максимум. И така, за функцията, показана на фигурата по-горе, .

Тоест, не трябва да се мисли, че максимумът и минимумът на функцията са съответно нейните най-големи и най-малки стойности в целия разглеждан сегмент. В максималната точка функцията има най-голяма стойност само в сравнение с онези стойности, които има във всички точки, достатъчно близки до максималната точка, а в минималната точка има най-малка стойност само в сравнение с тези стойности ​​​​че има във всички точки достатъчно близо до минималната точка.

Следователно можем да изясним горната концепция за екстремни точки на функция и да наречем минималните точки локални минимални точки, а максималните точки локални максимални точки.

Търсим заедно екстремума на функцията

Пример 3.

Решение: Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос. Негова производна също съществува на цялата числова ос. Следователно в случая критичните точки са само тези, при които, т.е. , от къде и . Критични точки и разделят цялата област на дефиниране на функцията на три интервала на монотонност: . Нека изберем по една контролна точка във всяка от тях и да намерим знака на производната в тази точка.

За интервала контролната точка може да бъде: намери. Като вземем точка от интервала, получаваме, и вземем точка от интервала, имаме. И така, в интервалите и , и в интервала . Според първото достатъчен знакняма екстремум, няма екстремум в точката (тъй като производната запазва знака си в интервала), а в точката функцията има минимум (тъй като производната променя знака от минус на плюс, когато преминава през тази точка). Нека намерим съответните стойности на функцията: , a . В интервала функцията намалява, тъй като в този интервал , а в интервала нараства, тъй като в този интервал .

За да изясним конструкцията на графиката, намираме нейните точки на пресичане с координатните оси. Когато получим уравнение, чиито корени са и , т.е. се намират две точки (0; 0) и (4; 0) от графиката на функцията. Използвайки цялата получена информация, изграждаме графика (вижте началото на примера).

Пример 4.Намерете екстремума на функцията и изградете нейната графика.

Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос, с изключение на точката, т.е. .

За да съкратите изследването, можете да използвате факта, че тази функция е четна, тъй като . Следователно неговата графика е симетрична спрямо оста Ойи изследването може да се извърши само за интервала.

Намиране на производната и критични точки на функцията:

1) ;

2) ,

но функцията претърпява прекъсване в тази точка, така че не може да бъде точка на екстремум.

По този начин, дадена функцияима две критични точки: и . Като вземем предвид четността на функцията, ще проверим само точката, използвайки втория достатъчен критерий за екстремум. За да направим това, намираме втората производна и определете неговия знак при: получаваме . Тъй като и , това е минималната точка на функцията и .

За да получите по-пълна картина на графиката на функция, нека разберем нейното поведение в границите на домейна на дефиниция:

(тук символът показва желанието хдо нула от дясно, и хостава положителен; по подобен начин означава стремеж хдо нула отляво и хостава отрицателна). По този начин, ако , тогава . След това намираме

,

тези. ако , тогава .

Графиката на функцията няма пресечни точки с осите. Картината е в началото на примера.

Продължаваме заедно да търсим екстремуми на функцията

Пример 8.Намерете екстремумите на функцията.

Решение. Нека намерим областта на дефиниция на функцията. Тъй като неравенството трябва да бъде изпълнено, получаваме от .

Нека намерим първата производна на функцията:

Нека намерим критичните точки на функцията.

определение:Точка x0 се нарича точка на локален максимум (или минимум) на функция, ако в някаква близост на точка x0 функцията приема най-голямата (или най-малката) стойност, т.е. за всички x от някаква околност на точката x0 условието f(x) f(x0) (или f(x) f(x0)) е изпълнено.

Точките на локален максимум или минимум са обединени от общо наименование - точки на локален екстремум на функция.

Обърнете внимание, че в локални точки на екстремум функцията достига своята максимална или минимална стойност само в определен локален регион. Възможни са случаи, когато според стойността уmaxуmin.

Необходим признак за съществуването на локален екстремум на функция

Теорема . Ако непрекъсната функция y = f(x) има локален екстремум в точката x0, тогава в тази точка първата производна е или нула, или не съществува, т.е. възниква локален екстремум в критични точки от първи вид.

В локалните точки на екстремум или допирателната е успоредна на оста 0x, или има две допирателни (вижте фигурата). Имайте предвид, че критичните точки са необходимо, но не достатъчно условие за локален екстремум. Локален екстремум възниква само в критични точки от първи вид, но не във всички критични точки възниква локален екстремум.

Например: кубична парабола y = x3 има критична точка x0 = 0, в която производната y/(0)=0, но критичната точка x0=0 не е екстремна точка, а инфлексна точка при нея (вижте по-долу).

Достатъчен признак за съществуването на локален екстремум на функция

Теорема . Ако, когато аргументът преминава през критична точка от първи вид отляво надясно, първата производна y / (x)

променя знака от “+” на “-”, тогава непрекъснатата функция y(x) в тази критична точка има локален максимум;

променя знака от „-“ на „+“, тогава непрекъснатата функция y(x) има локален минимум в тази критична точка

не променя знака, тогава в тази критична точка няма локален екстремум, тук има инфлексна точка.

За локален максимум областта на нарастваща функция (y/0) се заменя с област на намаляваща функция (y/0). За локален минимум областта на намаляваща функция (y/0) се заменя с област на нарастваща функция (y/0).

Пример: Изследвайте функцията y = x3 + 9x2 + 15x - 9 за монотонност, екстремум и постройте графика на функцията.

Нека намерим критични точки от първи вид, като дефинираме производната (y/) и я приравним към нула: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Нека решим квадратния трином с помощта на дискриминанта:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Разделяме числовата ос на 3 области с критични точки и определяме знаците на производната (y/) в тях. С помощта на тези знаци ще намерим области на монотонност (нарастване и намаляване) на функциите и чрез смяна на знаците ще определим точките на локален екстремум (максимум и минимум).

Представяме резултатите от изследването под формата на таблица, от която могат да се направят следните изводи:

• 1. В интервала y /(-10) 0 функцията нараства монотонно (знакът на производната y беше оценен с помощта на контролната точка x = -10, взета в този интервал);
• 2. В интервала (-5 ; -1) y /(-2) 0 функцията намалява монотонно (знакът на производната y се оценява с помощта на контролната точка x = -2, взета в този интервал);
• 3. В интервала y /(0) 0 функцията нараства монотонно (знакът на производната y се оценява с помощта на контролната точка x = 0, взета в този интервал);
• 4. При преминаване през критичната точка x1k = -5, производната променя знака от “+” на “-”, следователно тази точка е локална максимална точка
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. При преминаване през критичната точка x2k = -1, производната променя знака от “-” на “+”, следователно тази точка е локална минимална точка
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Ще изградим графика въз основа на резултатите от изследването, като използваме допълнителни изчисления на стойностите на функцията в контролни точки:

ние строим правоъгълна система Oxy координати;

Показваме чрез координати точките на максимум (-5; 16) и минимум (-1;-16);

за да изясним графиката, изчисляваме стойността на функцията в контролни точки, като ги избираме отляво и отдясно на максималните и минималните точки и вътре в средния интервал, например: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) и (0;-9) - изчислени контролни точки, които нанасяме за построяване на графика;

Показваме графиката под формата на крива, изпъкнала нагоре в максималната точка и изпъкнала надолу в минималната точка и минаваща през изчислените контролни точки.