Как да определим корен квадратен от число. Извличане на корен от голямо число

Как да извлечете корена от номера. В тази статия ще научим как да извадим корен квадратен от четири и петцифрени числа.

Да вземем за пример квадратния корен от 1936 г.

следователно .

Последната цифра в числото 1936 е числото 6. Квадратът на числото 4 и числото 6 завършва на 6. Следователно 1936 може да бъде квадрат на числото 44 или числото 46. Остава да проверим чрез умножение.

означава,

Нека вземем корен квадратен от числото 15129.

следователно .

Последната цифра в числото 15129 е числото 9. Квадратът на числото 3 и числото 7 завършва на 9. Следователно 15129 може да бъде квадрат на числото 123 или числото 127. Нека проверим с умножение.

означава,

Как да извлечете корена - видео

А сега ви предлагам да гледате видеоклипа на Анна Денисова - „Как да извлечете корена ", автор на сайта" Проста физика“, в който тя обяснява как се намират квадратни и кубични корени без калкулатор.

Видеото обсъжда няколко начина за извличане на корени:

1. Най-лесният начин за извличане на корен квадратен.

2. Чрез селекция чрез квадрат на сумата.

3. Вавилонски метод.

4. Метод за извличане на корен квадратен от колона.

5. Бърз начин за извличане на кубичен корен.

6. Метод за извличане на кубичен корен в колона.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Преди калкулаторите учениците и учителите са изчислявали квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разделете радикалното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от радикалното число ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите радикалното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (на ръка). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители на 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило, за да вземете корен квадратен от всеки квадратен фактор и да умножите резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 х 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разделя на два квадратни фактора (а това се случва в повечето случаи), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите радикалното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да се извади целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от общия множител.

   • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разложено на два квадратни множителя, но може да бъде разложено на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, преценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратните числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до радикалното число. Ще получите коренната стойност като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Радикалното число е 3. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Така стойността на √3 се намира между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 = 11,9. Ако направите изчисленията с калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Радикалното число е 35. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Така стойността на √35 се намира между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да кажем, че √35 е малко по-малко от 6 Проверката на калкулатора ни дава отговор 5,92 - бяхме прави.

4. Друг начин е радикалното число да се разложи на прости множители.Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители в редица и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от коренния знак.

   • Например, изчислете корен квадратен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 = √(3 x 3 x 5). 3 може да се извади като знак за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Нека да разгледаме друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Получихте три множителя по 2; вземете няколко от тях и ги преместете отвъд знака за корен.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можете да оцените √2 и √11 и да намерите приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на дълго деление

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и осигурява точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, а след това вдясно и малко под горния ръб на листа начертайте хоризонтална линия до вертикалната линия. Сега разделете радикалното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете даденото число във формата „7 80, 14“ горе вляво. Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Ще напишете отговора (корена на това число) горе вдясно.

   2. За първата двойка числа (или едно число) отляво намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Напишете n, което сте намерили, горе вдясно и напишете квадрата на n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число отляво ще бъде 7. След това 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) вляво.Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7 и получете 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавянето на „_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвоете числото горе вдясно, което дава 4. Напишете "4_×_=" долу вдясно.

   5. Попълнете празните полета вдясно.

      • В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 = 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 ще свърши работа. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 х 7 = 329. Напишете 7 горе вдясно – това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я запишете под субтрахенда.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако двойката числа, които се прехвърлят, е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделител (запетая) между целите и дробните части в необходимия корен квадратен горе вдясно. Отляво свалете следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавянето на „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде премахната, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в желания квадратен корен в горния десен ъгъл. Свалете 14 и го напишете долу вляво. Удвоеното число горе вдясно (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете най-голямото число на мястото на тиретата отдясно (вместо тиретата трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете няколко нули отляво на текущото число и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора (брой десетични знаци), който искате трябва.

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто квадратен корен трябва да намерите, като площ на квадрат S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчисляваме стойността на L така, че L² = S.

   Дайте буква за всяко число в отговора.Нека означим с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка първи цифри.Нека означим с S a първата двойка цифри в стойността на S, с S b втората двойка цифри и т.н.

   Разберете връзката между този метод и дългото деление.Точно както при деленето, където се интересуваме само от следващата цифра на числото, което делим всеки път, когато изчисляваме квадратен корен, ние работим през двойка цифри последователно (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен ).

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия корен квадратен.В този случай първата цифра A от желаната стойност на квадратния корен ще бъде цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим A, така че неравенството A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Мислено си представете квадрат, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е равна на S. A, B, C са числата в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B = L (за двуцифрено число) или 100A + 10B + C = L (за трицифрено число) и т.н.

      • Позволявам (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, в което цифрата B означава единици, а цифрата A означава десетици. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²- площ на големия вътрешен квадрат, B²- площ на малкия вътрешен квадрат, 10A×B- площта на всеки от двата правоъгълника. Като съберете площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават отново целия пример. В никакъв случай не трябва да правите това! Има две причини за това:

1. Корените на големи числа се появяват в задачи. Особено в текстовите;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се изчисляват почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите мощно оръжие срещу квадратни корени.

И така, алгоритъмът:

1. Ограничете необходимия корен отгоре и отдолу до числа, които са кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди да приложим този алгоритъм на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Ограничение на корена

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни казват тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис към снимката]

Същото важи и за всяко друго число, от което можете да намерите квадратния корен. Например 3364:

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително областта за търсене, преминете към втората стъпка.

Елиминиране на очевидно ненужни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатстващите номера до две - отново без сложни изчисления! Достатъчно е да знаете специалното правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, просто погледнете последната цифра на квадрата и веднага ще разберем къде свършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични спрямо петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. Това означава, че например коренът на 3364 трябва да завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но коренът се намира в диапазона от 50 до 60, в който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава ще има само един кандидат за корените!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Това, което на квадрат дава оригиналното число, ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата за квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не трябваше да умножавам числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корени

Теорията, разбира се, е добра. Но нека го проверим на практика.

[Надпис към снимката]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Всичко, което остава, е да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Страхотен! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

1369 → 9;
33; 37.

Квадратирайте го:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

2704 → 4;
52; 58.

Квадратирайте го:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да има нужда от повдигане на квадрат.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• При всеки нормален изпит по математика, независимо дали е държавен изпит или единен държавен изпит, използването на калкулатори е забранено. И ако носите калкулатор в час, лесно можете да бъдете изхвърлен от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са като корените - не могат да събират две прости числа. А като видят дроби като цяло изпадат в истерия.