Разгънете тази функция в ред на Фурие. Редици на Фурие: история и влияние на математическия механизъм върху развитието на науката

Функции, разлагането им на компоненти. Променливите токове и напрежения, преместванията, скоростта и ускорението на коляно-мотовилковите механизми и акустичните вълни са типични практически примери за използването на периодични функции в инженерните изчисления.

Разширяването на реда на Фурие се основава на предположението, че всички функции с практическо значение в интервала -π ≤x≤ π могат да бъдат изразени под формата на сходящи тригонометрични редове (редът се счита за сходящ, ако последователността от частични суми, съставена от неговите членове се сближава):

Стандартна (=обикновена) нотация чрез сумата от sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

където a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. са реални константи, т.е.

Където за диапазона от -π до π коефициентите на реда на Фурие се изчисляват по формулите:

Коефициентите a o , a n и b n се наричат Коефициенти на Фурие, и ако те могат да бъдат намерени, тогава се извиква серия (1). до Фурие,съответстваща на функцията f(x). За ред (1) членът (a 1 cosx+b 1 sinx) се нарича първо или основен хармоник,

Друг начин да напишете серия е да използвате релацията acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Където a o е константа, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 са амплитудите на различните компоненти и е равно на a n =arctg a n /b n.

За серия (1) терминът (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) се нарича първи или основен хармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) се нарича втори хармоники така нататък.

За точно представяне на сложен сигнал обикновено са необходими безкраен брой термини. Въпреки това, в много практически задачи е достатъчно да се разгледат само първите няколко члена.

Редица на Фурие от непериодични функции с период 2π.

Разлагане на непериодични функции в ред на Фурие.

Ако функцията f(x) е непериодична, това означава, че тя не може да бъде разширена в серия на Фурие за всички стойности на x. Въпреки това е възможно да се дефинира серия на Фурие, представляваща функция във всеки диапазон с ширина 2π.

Като се има предвид непериодична функция, може да се конструира нова функция чрез избиране на стойности на f(x) в определен диапазон и повтарянето им извън този диапазон на интервали от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период 2π, тя може да бъде разширена в ред на Фурие за всички стойности на x. Например функцията f(x)=x не е периодична. Ако обаче е необходимо да се разшири в серия на Фурие в интервала от o до 2π, тогава извън този интервал се конструира периодична функция с период 2π (както е показано на фигурата по-долу).

За непериодични функции като f(x)=x, сумата от реда на Фурие е равна на стойността на f(x) във всички точки в даден диапазон, но не е равна на f(x) за точки извън диапазона. За да се намери редът на Фурие на непериодична функция в диапазона 2π, се използва същата формула на коефициентите на Фурие.

Четни и нечетни функции.

Те казват, че функцията y=f(x) дори, ако f(-x)=f(x) за всички стойности на x. Графиките на четните функции винаги са симетрични спрямо оста y (т.е. те са огледални изображения). Два примера за четни функции: y=x2 и y=cosx.

Те казват, че функцията y=f(x) странно,ако f(-x)=-f(x) за всички стойности на x. Графиките на нечетните функции винаги са симетрични спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

Разлагане в ред на Фурие по косинуси.

Редът на Фурие на четна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само косинусови членове (т.е. няма синусови членове) и може да включва постоянен член. следователно

където са коефициентите на реда на Фурие,

Редът на Фурие на нечетна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само членове със синуси (т.е. не съдържа членове с косинуси).

следователно

където са коефициентите на реда на Фурие,

Редица на Фурие на половин цикъл.

Ако дадена функция е дефинирана за диапазон, да речем от 0 до π, а не само от 0 до 2π, тя може да бъде разширена в серия само по синуси или само по косинуси. Полученият ред на Фурие се нарича близо до Фурие на половин цикъл.

Ако искате да получите разлагането Полупериод на Фурие по косинусифункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се построи четна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като четната функция е симетрична спрямо оста f(x), начертаваме линия AB, както е показано на фиг. По-долу. Ако приемем, че извън разглеждания интервал получената триъгълна форма е периодична с период от 2π, тогава крайната графика изглежда така: на фиг. По-долу. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие в косинуси, както преди, изчисляваме коефициентите на Фурие a o и a n

Ако искате да получите функции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава трябва да конструирате нечетна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като нечетната функция е симетрична спрямо началото, ние конструираме линията CD, както е показано на фиг. Ако приемем, че извън разглеждания интервал резултантният сигнал на трион е периодичен с период от 2π, тогава крайната графика има формата, показана на фиг. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие на полупериода по отношение на синусите, както преди, изчисляваме коефициента на Фурие. b

Редица на Фурие за произволен интервал.

Разгъване на периодична функция с период L.

Периодичната функция f(x) се повтаря, когато x нараства с L, т.е. f(x+L)=f(x). Преходът от разгледаните по-рано функции с период от 2π към функции с период от L е доста прост, тъй като може да се направи с промяна на променлива.

За да намерим реда на Фурие на функцията f(x) в диапазона -L/2≤x≤L/2, въвеждаме нова променлива u, така че функцията f(x) да има период от 2π спрямо u. Ако u=2πx/L, тогава x=-L/2 за u=-π и x=L/2 за u=π. Нека също f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Редът на Фурие F(u) има формата

Къде са коефициентите на реда на Фурие,

По-често обаче горната формула води до зависимост от x. Тъй като u=2πx/L, това означава du=(2π/L)dx и границите на интегриране са от -L/2 до L/2 вместо от -π до π. Следователно редът на Фурие за зависимостта от x има формата

където в диапазона от -L/2 до L/2 са коефициентите на реда на Фурие,

(Границите на интегриране могат да бъдат заменени с всеки интервал с дължина L, например от 0 до L)

Редици на Фурие върху полуцикъл за функции, зададени в интервала L≠2π.

За заместването u=πх/L интервалът от x=0 до x=L съответства на интервала от u=0 до u=π. Следователно функцията може да бъде разширена в серия само по косинуси или само по синуси, т.е. V Редица на Фурие на половин цикъл.

Косинусното разширение в диапазона от 0 до L има формата

Редица на Фурие от периодични функции с период 2π.

Редът на Фурие ни позволява да изучаваме периодични функции, като ги разлагаме на компоненти. Променливите токове и напрежения, преместванията, скоростта и ускорението на коляно-мотовилковите механизми и акустичните вълни са типични практически примери за използването на периодични функции в инженерните изчисления.

Стандартна (=обикновена) нотация чрез сумата от sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

където a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. са реални константи, т.е.

Където за диапазона от -π до π коефициентите на реда на Фурие се изчисляват по формулите:

Друг начин да напишете серия е да използвате релацията acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Редица на Фурие от непериодични функции с период 2π.

Разгъване на непериодични функции.

Четни и нечетни функции.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

Разлагане в ред на Фурие по косинуси.

където са коефициентите на реда на Фурие,

следователно

където са коефициентите на реда на Фурие,

Редица на Фурие на половин цикъл.

Ако трябва да получите Разширение по синус на полупериод на Фуриефункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се построи нечетна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като нечетната функция е симетрична спрямо началото, ние конструираме линията CD, както е показано на фиг. Ако приемем, че извън разглеждания интервал резултантният сигнал на трион е периодичен с период от 2π, тогава крайната графика има формата, показана на фиг. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие на полупериода по отношение на синусите, както преди, изчисляваме коефициента на Фурие. b

Редица на Фурие за произволен интервал.

Разгъване на периодична функция с период L.

(Границите на интегриране могат да бъдат заменени с всеки интервал с дължина L, например от 0 до L)

Редици на Фурие върху полуцикъл за функции, зададени в интервала L≠2π.

Косинусното разширение в диапазона от 0 до L има формата

Редът на Фурие е представяне на произволна функция с определен период под формата на серия. Най-общо това решение се нарича разлагане на елемент по ортогонална основа. Разширяването на функциите в редове на Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми поради свойствата на тази трансформация по време на интегриране, диференциране, както и преместване на изрази чрез аргумент и конволюция.

Човек, който не е запознат с висшата математика, както и с трудовете на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какво представляват тези „серии“ и за какво са необходими. Междувременно тази трансформация стана доста интегрирана в живота ни. Използва се не само от математици, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други. Нека разгледаме по-отблизо и трудовете на великия френски учен, който направи откритие, което изпревари времето си.

Човекът и преобразуването на Фурие

Сериите на Фурие са един от методите (заедно с анализа и други).Този процес се случва всеки път, когато човек чуе звук. Ухото ни автоматично трансформира елементарни частици в еластична среда в редове (по спектъра) от последователни нива на звука за тонове с различна височина. След това мозъкът превръща тези данни в звуци, които са ни познати. Всичко това се случва без нашето желание или съзнание, от само себе си, но за да разберем тези процеси, ще са необходими няколко години изучаване на висша математика.

Повече за трансформацията на Фурие

Преобразуването на Фурие може да се извърши с помощта на аналитични, числени и други методи. Сериите на Фурие се отнасят до числения метод за разлагане на всякакви колебателни процеси - от океански приливи и светлинни вълни до цикли на слънчева (и други астрономически обекти) активност. С помощта на тези математически техники можете да анализирате функции, представящи всякакви осцилационни процеси като поредица от синусоидални компоненти, които се движат от минимум към максимум и обратно. Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на определена честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, възникващи под въздействието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Също така, сериите на Фурие позволяват да се изолират постоянни компоненти в сложни осцилационни сигнали, което прави възможно правилното тълкуване на експерименталните наблюдения, получени в медицината, химията и астрономията.

Историческа справка

Основателят на тази теория е френският математик Жан Батист Жозеф Фурие. Тази трансформация впоследствие е кръстена на него. Първоначално ученият използва своя метод, за да изследва и обясни механизмите на топлопроводимостта - разпространението на топлина в твърди тела. Фурие предполага, че първоначалното неправилно разпределение може да се разложи на прости синусоиди, всяка от които ще има свой собствен температурен минимум и максимум, както и своя собствена фаза. В този случай всеки такъв компонент ще бъде измерен от минимум до максимум и обратно. Математическата функция, която описва горните и долните пикове на кривата, както и фазата на всеки от хармониците, се нарича преобразуване на Фурие на израза на разпределението на температурата. Авторът на теорията редуцира общата функция на разпределение, която трудно може да се опише математически, до много удобна поредица от косинус и синус, които заедно дават първоначалното разпределение.

Принципът на трансформация и възгледите на съвременниците

Съвременниците на учения - водещи математици от началото на деветнадесети век - не приемат тази теория. Основното възражение беше твърдението на Фурие, че прекъсната функция, описваща права линия или прекъсната крива, може да бъде представена като сума от синусоидални изрази, които са непрекъснати. Като пример, разгледайте стъпката на Хевисайд: нейната стойност е нула вляво от прекъсването и единица вдясно. Тази функция описва зависимостта на електрическия ток от временна променлива, когато веригата е затворена. Съвременниците на теорията по това време никога не са се сблъсквали с подобна ситуация, при която прекъснат израз би бил описан чрез комбинация от непрекъснати, обикновени функции като експоненциална, синусова, линейна или квадратична.

Какво обърка френските математици относно теорията на Фурие?

В края на краищата, ако математикът е бил прав в твърденията си, тогава чрез сумиране на безкрайния тригонометричен ред на Фурие, може да се получи точно представяне на стъпковия израз, дори ако има много подобни стъпки. В началото на деветнадесети век подобно твърдение изглеждаше абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици разшириха обхвата на изследване на това явление, като го изведоха отвъд изучаването на топлопроводимостта. Повечето учени обаче продължават да се измъчват от въпроса: „Може ли сумата от синусоидална серия да се сближи с точната стойност на прекъснатата функция?“

Сходимост на редове на Фурие: пример

Въпросът за конвергенцията възниква винаги, когато е необходимо да се сумират безкрайни серии от числа. За да разберете това явление, разгледайте класически пример. Ще успеете ли някога да стигнете до стената, ако всяка следваща стъпка е наполовина по-малка от предишната? Да приемем, че сте на два метра от целта си, първата стъпка ви отвежда до средата на пътя, следващата ви отвежда до три четвърти, а след петата ще сте изминали почти 97 процента от пътя. Въпреки това, колкото и стъпки да предприемете, няма да постигнете планираната цел в строго математически смисъл. С помощта на числени изчисления може да се докаже, че в крайна сметка е възможно да се приближите до дадено разстояние. Това доказателство е еквивалентно на демонстрирането, че сумата от една половина, една четвърт и т.н. ще клони към единица.

Въпросът за конвергенцията: Второто пришествие или инструментът на лорд Келвин

Този въпрос беше повдигнат отново в края на деветнадесети век, когато се опитаха да използват редове на Фурие, за да предскажат интензивността на приливите и отливите. По това време лорд Келвин изобретява инструмент, аналогово изчислително устройство, което позволява на военните и търговските моряци да наблюдават този природен феномен. Този механизъм определя набори от фази и амплитуди от таблица с височини на приливите и съответните времеви точки, внимателно измерени в дадено пристанище през цялата година. Всеки параметър беше синусоидален компонент на израза на височината на прилива и беше един от редовните компоненти. Измерванията бяха въведени в изчислителния инструмент на лорд Келвин, който синтезира крива, която прогнозира височината на водата като функция на времето за следващата година. Много скоро подобни криви бяха съставени за всички пристанища на света.

Ами ако процесът е нарушен от прекъсната функция?

По това време изглеждаше очевидно, че предиктор на приливна вълна с голям брой броещи елементи може да изчисли голям брой фази и амплитуди и по този начин да осигури по-точни прогнози. Оказа се обаче, че този модел не се наблюдава в случаите, когато приливната експресия, която трябва да се синтезира, съдържа рязък скок, тоест е прекъсната. Ако в устройството се въведат данни от таблица с времеви моменти, то изчислява няколко коефициента на Фурие. Първоначалната функция се възстановява благодарение на синусоидалните компоненти (в съответствие с намерените коефициенти). Несъответствието между оригиналния и реконструирания израз може да бъде измерено във всяка точка. При извършване на многократни изчисления и сравнения е ясно, че стойността на най-голямата грешка не намалява. Те обаче са локализирани в областта, съответстваща на точката на прекъсване, и във всяка друга точка клонят към нула. През 1899 г. този резултат е теоретично потвърден от Джошуа Уилард Гибс от Йейлския университет.

Сходимост на редовете на Фурие и развитието на математиката като цяло

Анализът на Фурие не е приложим за изрази, съдържащи безкраен брой пикове за определен интервал. По принцип редовете на Фурие, ако първоначалната функция е представена от резултата от реално физическо измерване, винаги се събират. Въпросите за конвергенцията на този процес за специфични класове функции доведоха до появата на нови клонове в математиката, например теорията на обобщените функции. Свързват я с имена като Л. Шварц, Й. Микусински и Дж. Темпъл. В рамките на тази теория е създадена ясна и точна теоретична основа за такива изрази като делта функцията на Дирак (тя описва област от една област, концентрирана в безкрайно малка околност на точка) и „стъпката“ на Хевисайд. Благодарение на тази работа редовете на Фурие станаха приложими за решаване на уравнения и проблеми, включващи интуитивни концепции: точков заряд, точкова маса, магнитни диполи и концентрирано натоварване върху греда.

Метод на Фурие

Сериите на Фурие, в съответствие с принципите на интерференцията, започват с разлагането на сложни форми на по-прости. Например промяната в топлинния поток се обяснява с преминаването му през различни препятствия, изработени от топлоизолационен материал с неправилна форма или промяна в повърхността на земята - земетресение, промяна в орбитата на небесно тяло - влияние на планети. По правило такива уравнения, които описват прости класически системи, могат лесно да бъдат решени за всяка отделна вълна. Фурие показа, че прости решения могат също да бъдат сумирани, за да се получат решения на по-сложни проблеми. От математическа гледна точка редовете на Фурие са техника за представяне на израз като сума от хармоници - косинус и синус. Следователно този анализ е известен още като „хармоничен анализ“.

Серии на Фурие - идеална техника преди „компютърната ера“

Преди създаването на компютърната технология техниката на Фурие беше най-доброто оръжие в арсенала на учените при работа с вълновата природа на нашия свят. Сериите на Фурие в сложна форма позволяват да се решават не само прости проблеми, които са податливи на директното прилагане на законите на механиката на Нютон, но и фундаментални уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука през деветнадесети век са станали възможни само благодарение на техниката на Фурие.

Редица на Фурие днес

С развитието на компютрите трансформациите на Фурие се издигнаха на качествено ново ниво. Тази техника е твърдо установена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифровото аудио и видео. Прилагането му стана възможно само благодарение на теория, разработена от френски математик в началото на деветнадесети век. Така серията на Фурие в сложна форма позволи да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, той повлия върху изучаването на физиката на полупроводниковите материали и плазмата, микровълновата акустика, океанографията, радара и сеизмологията.

Тригонометрични редове на Фурие

В математиката редът на Фурие е начин за представяне на произволни сложни функции като сума от по-прости. В общи случаи броят на такива изрази може да бъде безкраен. Освен това, колкото повече техният брой се взема предвид при изчислението, толкова по-точен е крайният резултат. Най-често се използват тригонометрични функции на косинус или синус като най-прости. В този случай редовете на Фурие се наричат тригонометрични, а решението на такива изрази се нарича хармонично разширение. Този метод играе важна роля в математиката. На първо място, тригонометричният ред осигурява средство за изобразяване и изучаване на функции; това е основният апарат на теорията. Освен това ви позволява да решавате редица задачи в математическата физика. И накрая, тази теория допринесе за развитието на редица много важни клонове на математическата наука (теорията на интегралите, теорията на периодичните функции). В допълнение, той послужи като отправна точка за разработването на следните функции на реална променлива и също така постави основата за хармоничен анализ.

Разширение в ред на Фурие на четни и нечетни функции Разгъване на функция, дадена на интервал в серия по синуси или косинуси Редица на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на редицата на Фурие Редица на Фурие в общи ортогонални системи от функции Редица на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции Функция f(x), дефинирана в интервала \-1, където I > 0, се извиква четна, ако графиката на четната функция е симетрична спрямо ординатната ос. Функция f(x), дефинирана върху сегмента J), където I > 0, се нарича нечетна, ако графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото. Пример. a) Функцията е четна в интервала |-jt, jt), тъй като за всички x e b) Функцията е нечетна, тъй като разширението в ред на Фурие на четни и нечетни функции е разширяване на функция, дадена на интервал, в редица по синуси или косинуси Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие за общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие за ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите c) Функция f (x)=x2-x, където не принадлежи нито към четни, нито към нечетни функции, тъй като Нека функцията f(x), удовлетворяваща условията на Теорема 1, е четна на интервала x|. Тогава за всички т.е. /(x) cos nx е четна функция, а f(x) sinnx е нечетна. Следователно коефициентите на Фурие на четна функция f(x) ще бъдат равни.Следователно редът на Фурие на четна функция има формата f(x) sin х - четна функция. Следователно ще имаме. По този начин редът на Фурие на нечетна функция има формата Пример 1. Разгънете функцията 4 в ред на Фурие на интервала -x ^ x ^ n Тъй като тази функция е четна и удовлетворява условията на теорема 1, тогава неговият ред на Фурие има формата Намерете коефициентите на Фурие. Имаме Прилагайки интегриране по части два пъти, получаваме, че И така, редът на Фурие на тази функция изглежда така: или, в разширена форма, Това равенство е валидно за всяко x €, тъй като в точките x = ±ir сумата от серия съвпада със стойностите на функцията f(x) = x2, тъй като графиките на функцията f(x) = x и сумата от получената серия са дадени на фиг. Коментирайте. Този ред на Фурие ни позволява да намерим сумата на една от конвергентните числови редове, а именно за x = 0 получаваме, че Пример 2. Разгънете функцията /(x) = x в ред на Фурие на интервала. Функцията /(x) отговаря на условията на теорема 1, следователно тя може да бъде разширена в редица на Фурие, която поради нечетността на тази функция ще има формата Интегрирайки по части, намираме коефициентите на Фурие. Следователно, Серията на Фурие на тази функция има формата Това равенство е валидно за всички x B в точки x - ±t сумата от серията на Фурие не съвпада със стойностите на функцията /(x) = x, тъй като е равна на , Извън интервала [-*, i-] сумата от редицата е периодично продължение на функцията /(x) = x; неговата графика е показана на фиг. 6. § 6. Развиване на функция, дадена на интервал, в ред по синуси или косинуси Нека върху интервала е дадена ограничена монотонна функция /. Стойностите на тази функция на интервала 0| могат да бъдат допълнително дефинирани по различни начини. Например, можете да дефинирате функция / в сегмента tc], така че /. В този случай те казват, че) „се разширява до сегмента 0] по равномерен начин“; неговият ред на Фурие ще съдържа само косинуси. Ако функцията /(x) е дефинирана в интервала [-l-, mc], така че /(, тогава резултатът е нечетна функция и тогава се казва, че / е „разширен до интервала [-*, 0] по странен начин"; в този случай редът на Фурие ще съдържа само синуси. По този начин всяка ограничена частично монотонна функция /(x), дефинирана на интервала, може да бъде разширена в ред на Фурие както в синуси, така и в косинуси. Пример 1 Разгънете функцията в ред на Фурие: а) чрез косинуси; б) по синуси. M Тази функция със своите четни и нечетни продължения в сегмента |-x,0) ще бъде ограничена и монотонна на части. a) Разширете /(z) в сегмента 0) a) Разширете j\x) в сегмента (-π,0| по четен начин (фиг. 7), тогава неговият ред на Фурие i ще има формата Π = 1 където коефициентите на Фурие са равни, съответно за Следователно, б) Нека разширим /(z) в сегмента [-x,0] по странен начин (фиг. 8). Тогава неговият ред на Фурие §7. Редица на Фурие за функция с произволен период Нека функцията fix) е периодична с период 21,1 ^ 0. За да я разширим в серия на Фурие в интервала, където I > 0, правим промяна на променливата, като задаваме x = jt . Тогава функцията F(t) = / ^tj ще бъде периодична функция на аргумента t с период и може да бъде разширена върху сегмента в серия на Фурие. Връщайки се към променливата x, т.е. настройката, получаваме Всички теореми са валидни за редове на Фурие от периодични функции с период 2π остават валидни за периодични функции с произволен период 21. По-специално, остава валиден достатъчен критерий за разложимостта на функция в ред на Фурие. Пример 1. Развийте в ред на Фурие периодична функция с период 21, дадена на интервала [-/,/] по формулата (фиг. 9). Тъй като тази функция е четна, нейната серия на Фурие има формата Замествайки намерените стойности на коефициентите на Фурие в серията на Фурие, получаваме Нека отбележим едно важно свойство на периодичните функции. Теорема 5. Ако една функция има период T и е интегрируема, то за произволно число a е изпълнено равенството m. т.е. интегралът на сегмент, чиято дължина е равна на периода T, има една и съща стойност независимо от позицията на този сегмент върху числовата ос. Всъщност ние правим промяна на променлива във втория интеграл, като приемем. Това дава и следователно, геометрично, това свойство означава, че в случая на областта, защрихована на фиг. 10 области са равни една на друга. По-специално, за функция f(x) с период получаваме при Разлагане в редица на Фурие от четни и нечетни функции, разширяване на функция, дадена на интервал, в серия по синуси или косинуси в редица на Фурие за функция с произволна период Комплексно записване на реда на Фурие Ред на Фурие в общи ортогонални системи функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системи Пример 2. Функцията x е периодична с период Поради странност на тази функция, без да изчисляваме интеграли, можем да заявим, че за всяка. Доказаното свойство по-специално показва, че коефициентите на Фурие на периодична функция f(x) с период 21 могат да бъдат изчислени с помощта на формулите, където a е произволно реално число (обърнете внимание, че функциите cos - и sin имат период 2/). Пример 3. Развийте в ред на Фурие функция, дадена на интервал с период 2x (фиг. 11). 4 Нека намерим коефициентите на Фурие на тази функция. Във формулите намираме, че за Следователно, редът на Фурие ще изглежда така: В точката x = jt (точка на прекъсване от първи род) имаме §8. Комплексно записване на редовете на Фурие Този раздел използва някои елементи на комплексен анализ (вижте глава XXX, където всички действия, извършени тук със сложни изрази, са строго обосновани). Нека функцията f(x) удовлетворява достатъчни условия за разлагане в ред на Фурие. След това на сегмента x] може да бъде представен чрез серия от формата Използвайки формулите на Ойлер Замествайки тези изрази в серия (1) вместо cos πx и sin φx ще имаме Въвеждаме следната нотация Тогава серия (2) ще приеме Така редът на Фурие (1) е представен в сложна форма (3). Нека намерим изрази за коефициентите чрез интеграли. Имаме По същия начин намираме Крайните формули за с„, с_п и с могат да бъдат записани по следния начин: . . Коефициентите с„ се наричат комплексни коефициенти на Фурие на функцията. За периодична функция с период) комплексната форма на реда на Фурие ще приеме формата, където коефициентите Cn се изчисляват с помощта на формулите. Сближаването на редовете (3 ) и (4) се разбира по следния начин: серии (3) и (4) се наричат конвергентни за дадени стойности, ако има граници Пример. Разгънете функцията на периода в сложен ред на Фурие. Тази функция отговаря на достатъчни условия за разширяване в ред на Фурие. Нека намерим комплексните коефициенти на Фурие на тази функция. Имаме за нечетно за четно n, или накратко. Замествайки стойностите), накрая получаваме Забележете, че тази серия може да бъде записана и по следния начин: Редица на Фурие за общи ортогонални системи от функции 9.1. Ортогонални системи от функции Нека означим с множеството от всички (реални) функции, дефинирани и интегрируеми на интервала [a, 6] с квадрат, т.е. тези, за които съществува интеграл.По-специално, всички функции f(x) непрекъснати на интервала [a, 6], принадлежат на 6], а стойностите на техните интеграли на Лебег съвпадат със стойностите на интегралите на Риман. Определение. Система от функции, където, се нарича ортогонална на интервала [a, b\, ако условие (1) предполага, по-специално, че нито една от функциите не е идентично нула. Интегралът се разбира в смисъла на Лебег. и ние наричаме количеството норма на функцията.Ако в ортогонална система за всяко n имаме, тогава системата от функции се нарича ортонормална. Ако системата (y>„(x)) е ортогонална, то системата Пример 1. Тригонометричната система е ортогонална на отсечка. Системата от функции е ортонормирана система от функции в Пример 2. Косинусовата система и синусовата система са ортонормирани. Нека въведем означението, че те са ортогонални на интервала (0, f|, но не са ортонормални (за I Ф- 2). Тъй като техните норми са COS Пример 3. Полиномите, определени от равенството, се наричат полиноми на Лежандро (полиноми). За n = 0 имаме. Може да се докаже, че функциите образуват ортонормална система от функции на интервала. Нека покажем, например, ортогоналността на полиномите на Лежандър. Нека m > n. В този случай, интегрирайки n пъти от части, намираме, тъй като за функцията t/m = (z2 - I)m всички производни до ред m - I включително се нулират в краищата на сегмента [-1,1). Определение. Система от функции (pn(x)) се нарича ортогонална на интервала (a, b) чрез надвес p(x), ако: 1) за всички n = 1,2,... има интеграли. Ето го се приема, че тегловната функция p(x) е дефинирана и положителна навсякъде в интервала (a, b) с възможното изключение на краен брой точки, където p(x) може да изчезне. След като извършихме диференциране във формула (3), намираме. Може да се покаже, че полиномите на Чебишев-Хермит са ортогонални на интервала Пример 4. Системата от функции на Бесел (jL(pix)^ е ортогонална на интервалните нули на функцията на Бесел Пример 5. Разгледайте полиномите на Чебишев-Хермит, които може да се дефинира с помощта на равенството Редица на Фурие върху ортогоналната система Нека има ортогонална система от функции в интервала (a, 6) и нека серията (cj = const) се събира в този интервал към функцията f(x): Умножавайки двете страни на последното равенство по - фиксирано) и интегрирайки върху x от a до 6, в Поради ортогоналността на системата получаваме, че тази операция има, най-общо казано, чисто формален характер. Въпреки това, в някои случаи, например, когато редът (4) се сближава равномерно, всички функции са непрекъснати и интервалът (a, 6) е краен, тази операция е законна. Но за нас сега е важна формалната интерпретация. И така, нека е дадена функция. Нека образуваме числата c* по формула (5) и запишем. Редът от дясната страна се нарича ред на Фурие на функцията f(x) по отношение на системата (^n(i)). Числата Cn се наричат коефициенти на Фурие на функцията f(x) по отношение на тази система. Знакът ~ във формула (6) означава само, че числата Cn са свързани с функцията f(x) по формула (5) (не се предполага, че редът отдясно изобщо се сближава, а още по-малко се сближава с функцията f (х)). Следователно естествено възниква въпросът: какви са свойствата на тази серия? В какъв смисъл „представлява“ функцията f(x)? 9.3. Средна конвергенция Определение. Една последователност се сближава към елемента ] средно, ако нормата е в пространството. Теорема 6. Ако последователност ) се сближава равномерно, тогава тя се сближава средно. M Нека редицата ()) се сближава равномерно в интервала [a, b] към функцията /(x). Това означава, че за всеки, за всички достатъчно големи n, имаме Следователно, от което следва нашето твърдение. Обратното не е вярно: последователността () може да се сближава средно с /(x), но да не е равномерно сходяща. Пример. Разгледайте последователността nx. Лесно е да се види, че Но тази конвергенция не е равномерна: съществува e, например, такова, че независимо колко голямо е n, върху интервалните косинуси серия на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие за общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие за ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите и нека Означаваме с c* коефициентите на Фурие на функцията /(x ) чрез ортонормална система b Разгледайте линейна комбинация, където n ^ 1 е фиксирано цяло число, и намерете стойностите на константите, при които интегралът приема минимална стойност. Нека го напишем по-подробно.Интегрирайки член по член, поради ортонормалността на системата получаваме.Първите два члена от дясната страна на равенството (7) са независими, а третият член е неотрицателен. Следователно интегралът (*) приема минимална стойност при ak = sk.Интегралът се нарича средноквадратично приближение на функцията /(x) чрез линейна комбинация от Tn(x). По този начин средноквадратичното приближение на функцията /\ приема минимална стойност, когато. когато Tn(x) е 71-вата частична сума от редицата на Фурие на функцията /(x) върху системата (. Задавайки ak = sk, от (7) получаваме Равенство (9) се нарича идентичност на Бесел. Тъй като лявото му страна е неотрицателна, тогава от нея следва неравенството на Бесел. Тъй като аз съм тук произволно, неравенството на Бесел може да бъде представено в подсилена форма, т.е., за всяка функция / серията от квадратни коефициенти на Фурие на тази функция в ортонормална система) се събира . Тъй като системата е ортонормална на интервала [-x, m], тогава неравенство (10), преведено в обичайната нотация на тригонометричния ред на Фурие, дава връзката do, която е валидна за всяка функция /(x) с интегрируем квадрат. Ако f2(x) е интегрируема, то поради необходимото условие за сходимост на редицата от лявата страна на неравенството (11) получаваме това. Равенството на Парсевал За някои системи (^„(x)) знакът за неравенство във формула (10) може да бъде заменен (за всички функции f(x) 6 ×) със знак за равенство. Полученото равенство се нарича равенство на Парсевал-Стеклов (условие за пълнота). Тъждеството на Бесел (9) ни позволява да запишем условие (12) в еквивалентна форма.Така изпълнението на условието за пълнота означава, че частичните суми Sn(x) на реда на Фурие на функцията /(x) се събират към функцията /(x) средно, т.е. според нормата на пространството 6]. Определение. Ортонормална система ( се нарича пълна в b2[аy b], ако всяка функция може да бъде апроксимирана средно с някаква точност чрез линейна комбинация от формата с достатъчно голям брой членове, т.е. ако за всяка функция /(x) ∈ b2 [a, b\ и за всяко e > 0 има естествено число nq и числа a\, a2y..., така че Не От горното разсъждение следва теорема 7. Ако чрез ортонормализация системата ) е пълна в пространството, Редът на Фурие на всяка функция / в тази система се сближава средно към f( x), т.е. според нормата. Може да се покаже, че тригонометричната система е пълна в пространството. Това предполага твърдението. Теорема 8. Ако една функция /o, нейният тригонометричен ред на Фурие се сближава средно към нея. 9.5. Затворени системи. Пълнота и затвореност на системите Определение. Ортонормална система от функции \ се нарича затворена, ако в пространството Li\a, b) няма ненулева функция, ортогонална на всички функции.В пространството L2\a, b\ понятията за пълнота и затвореност на ортонормалните системи съвпадат. Упражнения 1. Развийте функцията 2 в ред на Фурие в интервала (-i-, x) 2. Развийте функцията в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) 3. Развийте функция 4 в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) в реда на Фурие в интервала (-jt, tr) функция 5. Разгънете функцията f(x) = x + x в ред на Фурие в интервала (-tr, tr). 6. Разгънете функцията n в ред на Фурие в интервала (-jt, tr) 7. Разгънете функцията /(x) = sin2 x в ред на Фурие в интервала (-tr, x). 8. Разгънете функцията f(x) = y в ред на Фурие в интервала (-tr, jt) 9. Разгънете функцията f(x) = | грях х|. 10. Разгънете функцията f(x) = § в ред на Фурие в интервала (-π-, π). 11. Разгънете функцията f(x) = sin § в ред на Фурие в интервала (-tr, tr). 12. Разгънете функцията f(x) = n -2x, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие, като я разширите в интервала (-x, 0): а) по четен начин; б) по странен начин. 13. Разгънете функцията /(x) = x2, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие по синуси. 14. Разгънете функцията /(x) = 3, дадена в интервала (-2,2), в ред на Фурие. 15. Разгънете функцията f(x) = |x|, дадена в интервала (-1,1), в ред на Фурие. 16. Разгънете функцията f(x) = 2x, зададена в интервала (0,1), в ред на Фурие по синуси.

Министерство на общото и професионалното образование

Държавен университет по туризъм в Сочи

и курортен бизнес

Педагогически институт

Факултет по математика

Катедра Обща математика

ДИПЛОМНА РАБОТА

Редици на Фурие и техните приложения

В математическата физика.

Изпълнил: студент 5 курс

подпис за редовно обучение

Специалност 010100

"математика"

Касперова Н.С.

Студентска книжка № 95471

Научен ръководител: доцент, кандидат.

технически подпис науки

Позин П.А.

Сочи, 2000 г

1. Въведение.

2. Концепцията за ред на Фурие.

2.1. Определяне на коефициенти на ред на Фурие.

2.2. Интеграли на периодични функции.

3. Признаци за сходимост на редовете на Фурие.

3.1. Примери за разлагане на функции в ред на Фурие.

4. Бележка за разлагането в ред на Фурие на периодична функция

5. Редове на Фурие за четни и нечетни функции.

6. Ред на Фурие за функции с период 2 л .

7. Разлагане в ред на Фурие на непериодична функция.

Въведение.

Жан Батист Жозеф Фурие - френски математик, член на Парижката академия на науките (1817 г.).

Първите трудове на Фурие, свързани с алгебрата. Още в лекции от 1796 г. той представи теорема за броя на реалните корени на алгебрично уравнение, лежащо между дадени граници (публикувана през 1820 г.), наречена на негово име; пълно решение на броя на реалните корени на алгебрично уравнение е получено през 1829 г. от J.S.F. Чрез нападение. През 1818 г. Фурие изследва въпроса за условията за приложимостта на метода за числено решаване на уравнения, разработен от Нютон, без да знае за подобни резултати, получени през 1768 г. от френския математик Дж. Мурайлем. Резултатът от работата на Фурие върху числените методи за решаване на уравнения е „Анализ на определени уравнения“, публикуван посмъртно през 1831 г.

Основната област на изследване на Фурие беше математическата физика. През 1807 г. и 1811 г. той представя първите си открития върху теорията за разпространението на топлината в твърди тела пред Парижката академия на науките, а през 1822 г. публикува прочутата работа „Аналитична теория на топлината“, която изигра важна роля в последващата история на математика. Това е математическата теория на топлопроводимостта. Поради обобщеността на метода, тази книга се превърна в източник на всички съвременни методи на математическата физика. В тази работа Фурие извежда диференциалното уравнение на топлопроводимостта и развива идеите, изложени по-рано от Д. Бернули; той разработва метод за разделяне на променливи (метод на Фурие) за решаване на топлинното уравнение при определени зададени гранични условия, които той прилага към брой специални случаи (куб, цилиндър и др.). Този метод се основава на представянето на функции чрез тригонометрични редове на Фурие.

Редовете на Фурие вече са се превърнали в добре разработен инструмент в теорията на частичните диференциални уравнения за решаване на проблеми с гранични стойности.

1. Концепцията за ред на Фурие.(стр. 94, Уваренков)

Редовете на Фурие играят важна роля в математическата физика, теорията на еластичността, електротехниката и особено техния специален случай - тригонометричните редове на Фурие.

Тригонометрична серия е серия от формата

или символично:

(1)

където ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … са постоянни числа (ω>0).

Исторически някои проблеми във физиката са довели до изучаването на такива серии, например проблемът с вибрациите на струните (18 век), проблемът с закономерностите в явленията на топлопроводимост и т.н. В приложенията разглеждането на тригонометрични серии , се свързва предимно със задачата да се представи дадено движение, описано от уравнението y = ƒ(χ), в

под формата на сума от най-простите хармонични колебания, често взети в безкрайно голям брой, т.е. като сума от серия от формата (1).

Така стигаме до следния проблем: да открием дали за дадена функция ƒ(x) на даден интервал съществува редица (1), която би сходна на този интервал към тази функция. Ако това е възможно, тогава те казват, че на този интервал функцията ƒ(x) се разширява в тригонометричен ред.

Редица (1) се събира в някаква точка x 0, поради периодичността на функциите

(n=1,2,..), то ще се окаже сходно във всички точки на формата (m е всяко цяло число), и по този начин неговата сума S(x) ще бъде (в областта на сходимост на реда ) периодична функция: ако S n ( x) е n-тата частична сума от тази серия, тогава имаме

и следователно

, т.е. S(x 0 +T)=S(x 0). Следователно, когато говорим за разширяване на някаква функция ƒ(x) в редица от вида (1), ще приемем, че ƒ(x) е периодична функция.

2. Определяне на коефициентите на серията с помощта на формули на Фурие.

Нека периодична функция ƒ(x) с период 2π е такава, че е представена от тригонометрична серия, сходна към дадена функция в интервала (-π, π), т.е. е сумата от тази серия:

. (2)

Нека приемем, че интегралът на функцията от лявата страна на това равенство е равен на сумата от интегралите на членовете на този ред. Това ще бъде вярно, ако приемем, че редицата от числа, съставена от коефициентите на дадена тригонометрична редица, е абсолютно конвергентна, т.е. положителната редица от числа се сближава

(3)

Серия (1) е мажорируема и може да бъде интегрирана член по член в интервала (-π, π). Нека интегрираме двете страни на равенството (2):

Нека отделно оценим всеки интеграл, който се появява от дясната страна:

, .

По този начин,

, където

. (4)

Оценка на коефициентите на Фурие.(Бугров)

Теорема 1. Нека функцията ƒ(x) на период 2π има непрекъсната производна ƒ ( s) (x) ред s, удовлетворяващо неравенството по цялата реална ос:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

след това коефициентите на Фурие на функцията ƒ удовлетворяват неравенството

(6)

Доказателство. Интегриране по части и отчитане на това

ƒ(-π) = ƒ(π), имаме

Интегриране на дясната страна на (7) последователно, като се вземе предвид, че производните ƒ ΄, …, ƒ (s-1) са непрекъснати и приемат същите стойности в точки t = -π и t = π, като както и оценка (5), получаваме първата оценка (6).

Втората оценка (6) се получава по подобен начин.

Теорема 2. За коефициентите на Фурие ƒ(x) е в сила следното неравенство:

(8)

Доказателство. Ние имаме