Синус, косинус, тангенс, котангенс на остър ъгъл. Тригонометрични функции. Правила за намиране на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс

Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълния триъгълник. Нека да определим какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека ви го напомним прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположната страна към съседната:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! В Единния държавен изпит по математика има много задачи, които включват синус, косинус, тангенс или котангенс на външен ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.

Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са получени от астрономите за създаване на точен календар и ориентация по звездите. Тези изчисления са свързани със сферичната тригонометрия, докато в училищния курс те изучават съотношението на страните и ъглите на равнинен триъгълник.

Тригонометрията е дял от математиката, който се занимава със свойствата на тригонометричните функции и връзките между страните и ъглите на триъгълниците.

По време на разцвета на културата и науката през 1-вото хилядолетие от н. е. знанието се разпространява от Древния Изток до Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на мъжете от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въвежда функции като тангенс и котангенс и съставя първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Понятията синус и косинус са въведени от индийски учени. Тригонометрията получи много внимание в произведенията на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни величини на тригонометрията

Основните тригонометрични функции на числов аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулите за изчисляване на стойностите на тези количества се основават на теоремата на Питагор. По-известно е на учениците във формулировката: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено с помощта на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Синус, косинус и други отношения установяват връзката между острите ъгли и страните на всеки правоъгълен триъгълник. Нека да представим формули за изчисляване на тези величини за ъгъл A и да проследим връзките между тригонометричните функции:

Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако си представим крак a като произведение на sin A и хипотенуза c и крак b като cos A * c, получаваме следните формули за тангенс и котангенс:

Тригонометричен кръг

Графично връзката между посочените величини може да се представи по следния начин:

Кръгът в този случай представлява всички възможни стойности на ъгъла α - от 0° до 360°. Както може да се види от фигурата, всяка функция приема отрицателна или положителна стойност в зависимост от ъгъла. Например, sin α ще има знак „+“, ако α принадлежи към 1-вата и 2-рата четвърт на кръга, тоест е в диапазона от 0° до 180°. За α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.

Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на количествата.

Стойностите на α, равни на 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и т.н., се наричат ​​специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на дъгата на окръжност съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална зависимост; при изчисляване в радиани действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойности в радиан:

Така че не е трудно да се досетите, че 2π е пълен кръг или 360°.

Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

За да разгледаме и сравним основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да начертаем техните функции. Това може да стане под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

Разгледайте сравнителната таблица на свойствата за синус и косинус:

Определянето дали дадена функция е четна или не е много лесно. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични величини и мислено да „сгънете“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците съвпадат, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

Въвеждането на радианите и изброяването на основните свойства на синусоидите и косинусите ни позволяват да представим следния модел:

Много е лесно да се провери дали формулата е правилна. Например, за x = π/2, синусът е 1, както и косинусът от x = 0. Проверката може да се извърши чрез справка с таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.

Свойства на тангенцоидите и котангенцоидите

Графиките на функциите тангенс и котангенс се различават значително от функциите синус и косинус. Стойностите tg и ctg са реципрочни една на друга.

1. Y = тен x.
2. Допирателната клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
3. Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
4. Tg (- x) = - tg x, т.е. функцията е нечетна.
5. Tg x = 0, за x = πk.
6. Функцията се увеличава.
7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производна (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Разгледайте графичното изображение на котангентоида по-долу в текста.

Основни свойства на котангентоидите:

1. Y = детско легло x.
2. За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на набора от всички реални числа.
3. Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
4. Най-малкият положителен период на котангентоид е π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, т.е. функцията е нечетна.
6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
7. Функцията намалява.
8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производна (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Правилно

Мисля, че заслужаваш повече от това. Ето моя ключ към тригонометрията:

• Начертайте купола, стената и тавана
• Тригонометричните функции не са нищо друго освен проценти от тези три форми.

Метафора за синус и косинус: купол

Вместо просто да разглеждате самите триъгълници, представете си ги в действие, като намерите конкретен пример от реалния живот.

Представете си, че сте в средата на купол и искате да окачите екран за филмов проектор. Насочвате пръста си към купола под определен ъгъл „x“ и екранът трябва да виси от тази точка.

Ъгълът, към който сочите, определя:

• синус(x) = sin(x) = височина на екрана (от пода до точката на монтиране на купола)
• косинус(x) = cos(x) = разстояние от вас до екрана (по етаж)
• хипотенуза, разстоянието от вас до горната част на екрана, винаги едно и също, равно на радиуса на купола

Искате ли екранът да е възможно най-голям? Закачете го точно над вас.

Искате ли екранът да виси възможно най-далече от вас? Закачете го право перпендикулярно. Екранът ще има нулева височина в тази позиция и ще виси най-далече, както поискахте.

Височината и разстоянието от екрана са обратно пропорционални: колкото по-близо виси екранът, толкова по-голяма е височината му.

Синус и косинус са проценти

Никой през годините на обучение, уви, не ми обясни, че тригонометричните функции синус и косинус не са нищо повече от проценти. Техните стойности варират от +100% до 0 до -100%, или от положителен максимум до нула до отрицателен максимум.

Да кажем, че съм платил данък от 14 рубли. Не знаеш колко е. Но ако кажете, че съм платил 95% данък, ще разберете, че просто са ме изчистили.

Абсолютната височина не означава нищо. Но ако синусовата стойност е 0,95, тогава разбирам, че телевизорът виси почти на върха на вашия купол. Много скоро тя ще достигне максималната си височина в центъра на купола и след това отново ще започне да намалява.

Как можем да изчислим този процент? Много е просто: разделете текущата височина на екрана на максималната възможна (радиусът на купола, наричан още хипотенуза).

Ето защони се казва, че "косинус = противоположната страна / хипотенуза." Всичко е въпрос на получаване на интерес! Най-добре е да дефинирате синуса като „процента на текущата височина от максималната възможна“. (Синусът става отрицателен, ако вашият ъгъл сочи „под земята“. Косинусът става отрицателен, ако ъгълът сочи към купола зад вас.)

Нека опростим изчисленията, като приемем, че сме в центъра на единичната окръжност (радиус = 1). Можем да пропуснем делението и просто да вземем синуса равен на височината.

Всеки кръг по същество е единичен кръг, мащабиран нагоре или надолу до желания размер. Така че определете връзките на единичния кръг и приложете резултатите към вашия конкретен размер на кръга.

Експериментирайте: вземете произволен ъгъл и вижте какъв процент от височината към ширината показва:

Графиката на растежа на синусовата стойност не е просто права линия. Първите 45 градуса покриват 70% от височината, но последните 10 градуса (от 80° до 90°) покриват само 2%.

Така ще ви стане по-ясно: ако вървите в кръг, при 0° се издигате почти вертикално, но с наближаването на върха на купола височината се променя все по-малко.

Тангенс и секанс. Стена

Един ден един съсед построи стена точно един до другкъм вашия купол. Изплакана гледка от прозореца и добра цена за препродажба!

Но възможно ли е по някакъв начин да спечелите в тази ситуация?

Разбира се, да. Ами ако окачим филмов екран точно на стената на съседа? Насочвате ъгъла (x) и получавате:

• tan(x) = tan(x) = височина на екрана на стената
• разстояние от вас до стената: 1 (това е радиусът на вашия купол, стената не се движи никъде от вас, нали?)
• секант(x) = сек(х) = „дължина на стълбата“ от вас, стоящ в центъра на купола, до върха на окачения екран

Нека изясним няколко точки относно тангентата или височината на екрана.

• започва от 0 и може да стигне безкрайно високо. Можете да опънете екрана все по-високо и по-високо на стената, за да създадете безкрайно платно за гледане на любимия ви филм! (За такъв огромен, разбира се, ще трябва да похарчите много пари).
• тангенсът е просто по-голяма версия на синуса! И докато увеличаването на синуса се забавя, докато се придвижвате към върха на купола, тангентата продължава да расте!

Sekansu също има с какво да се похвали:

• Секансът започва от 1 (стълбата е на пода, от вас до стената) и започва да се издига оттам
• Секансът винаги е по-дълъг от тангентата. Наклонената стълба, която използвате, за да окачите екрана си, трябва да е по-дълга от самия екран, нали? (При нереалистични размери, когато екранът е толкова дълъг и стълбата трябва да бъде поставена почти вертикално, размерите им са почти еднакви. Но дори тогава секансът ще бъде малко по-дълъг).

Не забравяйте, че стойностите са процента. Ако решите да окачите екрана под ъгъл от 50 градуса, tan(50)=1,19. Вашият екран е с 19% по-голям от разстоянието до стената (радиус на купола).

(Въведете x=0 и проверете интуицията си - tan(0) = 0 и sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Таван

Невероятно, вашият съсед сега е решил да построи покрив над купола ви. (Какво му става? Явно не иска да го шпионирате, докато се разхожда гол из двора...)

Е, време е да изградите изход към покрива и да говорите със съседа си. Избирате ъгъла на наклон и започвате строителството:

• вертикалното разстояние между изхода на покрива и пода винаги е 1 (радиусът на купола)
• котангенс(x) = cot(x) = разстояние между горната част на купола и изходната точка
• косеканс(x) = csc(x) = дължина на вашия път до покрива

Тангенс и секанс описват стената, а COтангенс и COsecans описват тавана.

Нашите интуитивни заключения този път са подобни на предишните:

• Ако вземете ъгъла равен на 0°, изходът ви към покрива ще продължи вечно, тъй като никога няма да достигне тавана. проблем.
• Най-късата „стълба“ към покрива ще се получи, ако я изградите под ъгъл от 90 градуса спрямо пода. Котангенсът ще бъде равен на 0 (ние изобщо не се движим по покрива, излизаме строго перпендикулярно), а косекансът ще бъде равен на 1 („дължината на стълбата“ ще бъде минимална).

Визуализирайте връзките

Ако и трите случая са начертани в комбинация купол-стена-таван, резултатът ще бъде следният:

Е, все още е същият триъгълник, увеличен по размер, за да стигне до стената и тавана. Имаме вертикални страни (синус, тангенс), хоризонтални страни (косинус, котангенс) и „хипотенузи“ (секанс, косеканс). (По стрелките можете да видите до къде стига всеки елемент. Косекансът е общото разстояние от вас до покрива).

Малко магия. Всички триъгълници имат еднакви равенства:

От Питагоровата теорема (a 2 + b 2 = c 2) виждаме как са свързани страните на всеки триъгълник. В допълнение, съотношенията „височина към ширина“ също трябва да бъдат еднакви за всички триъгълници. (Просто преминете от най-големия триъгълник към по-малкия. Да, размерът е променен, но пропорциите на страните ще останат същите).

Знаейки коя страна във всеки триъгълник е равна на 1 (радиуса на купола), можем лесно да изчислим, че „sin/cos = tan/1”.

Винаги съм се опитвал да запомня тези факти чрез проста визуализация. На снимката ясно виждате тези зависимости и разбирате откъде идват. Тази техника е много по-добра от запомнянето на сухи формули.

Не забравяйте за други ъгли

Psst... Не се спирайте на една графика, мислейки, че тангенса винаги е по-малък от 1. Ако увеличите ъгъла, можете да стигнете до тавана, без да стигнете до стената:

Питагоровите връзки винаги работят, но относителните размери може да варират.

(Може би сте забелязали, че съотношенията на синус и косинус винаги са най-малки, защото се съдържат в купола).

За да обобщим: какво трябва да запомним?

За повечето от нас бих казал, че това ще е достатъчно:

• тригонометрията обяснява анатомията на математически обекти като кръгове и повтарящи се интервали
• Аналогията купол/стена/покрив показва връзката между различни тригонометрични функции
• Тригонометричните функции водят до проценти, които прилагаме към нашия сценарий.

Не е необходимо да запомняте формули като 1 2 + cot 2 = csc 2 . Те са подходящи само за глупави тестове, в които познаването на даден факт се представя за разбирането му. Отделете минута, за да нарисувате полукръг под формата на купол, стена и покрив, надпишете елементите и всички формули ще дойдат при вас на хартия.

Приложение: обратни функции

Всяка тригонометрична функция приема ъгъл като входен параметър и връща резултата като процент. sin(30) = 0,5. Това означава, че ъгъл от 30 градуса заема 50% от максималната височина.

Обратната тригонометрична функция се записва като sin -1 или arcsin. Asin също често се пише на различни езици за програмиране.

Ако нашата височина е 25% от височината на купола, какъв е нашият ъгъл?

В нашата таблица с пропорции можете да намерите съотношение, където секансът е разделен на 1. Например секансът на 1 (хипотенузата спрямо хоризонталата) ще бъде равен на 1, делено на косинуса:

Да кажем, че нашият секанс е 3,5, т.е. 350% от радиуса на единична окръжност. На какъв ъгъл на наклон спрямо стената отговаря тази стойност?

Приложение: Няколко примера

Скучна задача. Нека усложним баналното „намерете синуса“ до „Каква е височината като процент от максимума (хипотенуза)?“

Първо забележете, че триъгълникът е завъртян. Няма нищо лошо в това. Триъгълникът също има височина, тя е означена в зелено на фигурата.

На какво е равна хипотенузата? Според Питагоровата теорема знаем, че:

3 2 + 4 2 = хипотенуза 2 25 = хипотенуза 2 5 = хипотенуза

Глоба! Синус е процентът от височината на най-дългата страна на триъгълника или хипотенузата. В нашия пример синусът е 3/5 или 0,60.

Разбира се, можем да отидем по няколко начина. След като знаем, че синусът е 0,60, можем просто да намерим арксинуса:

Asin(0,6)=36,9

Ето още един подход. Обърнете внимание, че триъгълникът е „с лице към стената“, така че можем да използваме тангенса вместо синус. Височината е 3, разстоянието до стената е 4, така че допирателната е ¾ или 75%. Можем да използваме арктангенса, за да преминем от процентна стойност обратно към ъгъл:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Пример: Ще доплуваш ли до брега?

Вие сте в лодка и имате достатъчно гориво, за да изминете 2 км. Сега сте на 0,25 км от брега. Под какъв максимален ъгъл спрямо брега можете да плувате до него, за да имате достатъчно гориво? Допълнение към формулировката на проблема: имаме само таблица с аркосинусни стойности.

Какво имаме? Бреговата линия може да бъде представена като „стена“ в известния ни триъгълник, а „дължината на стълбата“, прикрепена към стената, е максималното възможно разстояние, което може да се измине с лодка до брега (2 км). Появява се секанс.

Първо, трябва да отидете на проценти. Имаме 2 / 0,25 = 8, тоест можем да преплуваме разстояние, което е 8 пъти разстоянието по права линия до брега (или до стената).

Възниква въпросът: "Какво е секансът на 8?" Но не можем да отговорим, тъй като имаме само дъгови косинуси.

Ние използваме нашите получени преди това зависимости, за да свържем секанса с косинуса: „sec/1 = 1/cos“

Секансът на 8 е равен на косинус от ⅛. Ъгъл, чийто косинус е ⅛, е равен на acos(1/8) = 82,8. И това е най-големият ъгъл, който можем да си позволим на лодка с определеното количество гориво.

Не е лошо, нали? Без аналогията купол-стена-таван щях да се изгубя в куп формули и изчисления. Визуализирането на проблема значително опростява търсенето на решение и също така е интересно да се види коя тригонометрична функция в крайна сметка ще помогне.

За всеки проблем помислете така: Интересувам ли се от купола (sin/cos), стената (tan/sec) или тавана (cot/csc)?

И тригонометрията ще стане много по-приятна. Лесни изчисления за вас!

Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл ще ви помогне да разберете правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната \(AC\)); краката са двете останали страни \(AB\) и \(BC\) (тези, които са съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла \(BC\), тогава катетът \(AB\) е съседният крак, а кракът \(BC\) е противоположен. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус от ъгъл– това е съотношението на срещуположния (далечен) катет към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Косинус на ъгъл– това е отношението на съседния (близък) катет към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Тангенс на ъгъла– това е съотношението на срещуположната (далечната) страна към съседната (близката).

В нашия триъгълник:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Котангенс на ъгъл– това е съотношението на съседния (близкия) крак към срещуположния (далечния).

В нашия триъгълник:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете, например, за косинуса на ъгъла \(\beta \) . По дефиниция от триъгълник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можем да изчислим косинуса на ъгъла \(\beta \) от триъгълника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!

За триъгълника \(ABC \), показан на фигурата по-долу, намираме \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\край (масив) \)

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла \(\beta \) .

Отговори: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на \(1\) . Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста \(x\) (в нашия пример това е радиусът \(AB\)).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста \(x\) и координатата по оста \(y\). Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Разгледайте триъгълника \(ACG\) . Тя е правоъгълна, защото \(CG\) е перпендикулярна на оста \(x\).

Колко е \(\cos \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Това е вярно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Освен това знаем, че \(AC\) е радиусът на единичната окръжност, което означава \(AC=1\) . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

На какво е равно \(\sin \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Добре, разбира се, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Заместете стойността на радиуса \(AC\) в тази формула и получете:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

И така, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\), принадлежаща на окръжността? Е, няма начин? Какво ще стане, ако разберете, че \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) са просто числа? На коя координата съответства \(\cos \alpha \)? Е, разбира се, координатата \(x\)! И на коя координата съответства \(\sin \alpha \)? Точно така, координати \(y\)! Така че точката \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Тогава на какво са равни \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \)? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Да разгледаме правоъгълен триъгълник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ъгъл (като съседен на ъгъл \(\бета \) ). Каква е стойността на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\бета \ \)? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ъгъл ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(масив) \)

Е, както можете да видите, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата \(y\) ; стойността на косинуса на ъгъла - координата \(x\) ; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста \(x\). Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка – отрицателен.

И така, знаем, че цялото завъртане на радиус вектора около окръжността е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Възможно ли е да завъртите радиус вектора с \(390()^\circ \) или с \(-1140()^\circ \)? Е, разбира се, че можете! В първия случай, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), по този начин радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре на позиция \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Във втория случай, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тоест радиус-векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре на позиция \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с \(360()^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (където \(m \) е всяко цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъла \(\beta =-60()^\circ \) . Същото изображение съответства на ъгъла \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула \(\beta +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (където \(m \) е произволно цяло число)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(масив) \)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\текст(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\текст(tg)\ \pi =?\\\текст(ctg)\ 180()^\circ =\текст(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(масив) \)

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\край (масив)\)

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)съответства на точка с координати \(\left(0;1 \right) \) , следователно:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не съществува;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )отговарят на точки с координати \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \вдясно) \), съответно. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не съществува

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не съществува

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не съществува

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не съществува

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Трябва да запомните или да можете да го покажете!! \) !}

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени в таблицата по-долу, трябва да запомните:

Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример за доста просто запаметяване на съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки за ъгъл ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), както и стойността на тангенса на ъгъла в \(30()^\circ \) . Познавайки тези \(4\) стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \край (масив) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), като знаете това, можете да възстановите стойностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Числителят "\(1 \)" ще съответства на \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), а знаменателят "\(\sqrt(\text(3)) \)" ще съответства на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните само \(4\) стойности от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, знаейки координатите на центъра на окръжността, нейния радиус и ъгъл на въртене? Е, разбира се, че можете! Нека изведем обща формула за намиране на координатите на точка. Например, ето кръг пред нас:

Тази точка ни е дадена \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- център на кръга. Радиусът на окръжността е \(1,5\) . Необходимо е да се намерят координатите на точката \(P\), получени чрез завъртане на точката \(O\) с \(\delta \) градуса.

Както може да се види от фигурата, координатата \(x\) на точката \(P\) съответства на дължината на сегмента \(TP=UQ=UK+KQ\) . Дължината на отсечката \(UK\) съответства на координатата \(x\) на центъра на окръжността, тоест тя е равна на \(3\) . Дължината на сегмента \(KQ\) може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогава имаме това за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката \(P\) . По този начин,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Така че, като цяло, координатите на точките се определят по формулите:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \край (масив) \), Където

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центъра на кръга,

\(r\) - радиус на окръжността,

\(\delta \) - ъгъл на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Тригонометрията е дял от математическата наука, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинус на ъгъла (cos α) - отношението на съседния катет към хипотенузата.

Ъгъл тангенс (t g α) - отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседната страна към противоположната страна.

Тези определения са дадени за острия ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.

Важно е да запомните!

Диапазонът от стойности на синуса и косинуса е от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът от стойности на тангенса и котангенса е цялата числова линия, това означава, че тези функции могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за острите ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена от 0 до 90 градуса. Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞ .

В този контекст можем да дефинираме синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Нека си представим единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на определен ъгъл α и отива в точка A 1. Дефиницията е дадена по отношение на координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точка A 1 (x, y). sin α = y

Косинус (cos) на ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл на завъртане. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната е недефинирана, когато точка след въртене отива към точка с нулева абциса (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за тангенс t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точка отива към нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте „синус от ъгъла на въртене α“. Думите „ъгъл на въртене“ просто са пропуснати, което означава, че вече е ясно от контекста какво се обсъжда.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът на числото 10 π е равен на синуса на ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-отблизо.

Всяко реално число Tточка от единичната окръжност е свързана с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).

Положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще стигне началната точка, ако се движи около кръга обратно на часовниковата стрелка и измине пътя t.

Сега, след като връзката между число и точка от окръжност е установена, преминаваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (грех) на t

Синус от число T- ордината на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните определения са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този параграф. Посочете кръга, съответстващ на числото T, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) съответстват на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както е посочено по-горе, е определен за всички α с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин можем да говорим за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числен аргумент. Всяко реално число Tсъответства на определена стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на допирателна стойност. По подобен начин котангенсът е дефиниран за всички числа с изключение на π · k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към дефинициите, дадени в самото начало и алфа ъгъла, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са напълно в съответствие с геометричните дефиниции, дадени от аспектните съотношения на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Нека вземем единична окръжност с център в правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и да начертаем перпендикуляр на абсцисната ос от получената точка A 1 (x, y). В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точката A 1 (x, y). Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъл α е равен на съотношението на срещуположната страна към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез аспектното съотношение е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter