2.4.2. Ohmovi i Kirchhoffovi zakoni u složenom obliku

Ohmov zakon u složenom obliku:

Ỉ=Ủ/ Z ili Ỉ= Y∙Ủ, (2.26)

gdje je Ỉ struja koja teče električni krug,

Ủ – napetost. primijenjen na električni krug,

Y je kompleksna provodljivost električnog kola,

Z je kompleksni otpor električnog kola.

Prvi Kirhofov zakon. Zbir struja u žicama koje konvergiraju u čvoru električnog kola je nula:

Kirchhoffov drugi zakon. Zbir kompleksne e.m.f. ili naponi koji djeluju u zatvorenom kolu jednak je zbiru padova napona na elementima ovog kola.

(2.28)

Ohmovi i Kirchhoffovi zakoni vrijede i za trenutne i za trenutne efektivne vrednosti emf naponi i struje.

Radni (efektivni ili srednji kvadratni napon) određuje se izrazom:

, (2.29)

gdje je T period fluktuacije napona, jednak 1/f,

f je frekvencija fluktuacija napona.

Sa striktno sinusoidnim oscilacijskim modom, radni napon je: U=Um/

, (2.30)

gdje je Um maksimalna vrijednost napona u(t).

Vrijednosti efektivne emf određuju se na sličan način. i struje.

2.4.3. Konstrukcija vektorskih dijagrama na rotirajućoj kompleksnoj ravni

Da bi se olakšala konstrukcija vektorskih dijagrama na rotirajućoj ravnini, potrebno je zapamtiti sljedeće osnovne odredbe:

a) U kolu sa aktivnim otporom struja i napon su u fazi.

b) U idealizovanom kolu sa samo induktivnim otporom bez gubitaka, napon u fazi vodi struju pod uglom od 90 stepeni

c) U čisto kapacitivnom kolu bez gubitaka, struja vodi napon u fazi za +90 stepeni.

Sl.2.1.Mnemonički dijagram koji objašnjava moguće okrete

radijus-vektori sa različitim inkluzijama r-L-C elemenata.

Prilikom konstruiranja vektorskih dijagrama, potrebno je započeti konstrukciju s vektorom napona ili struje koji je zajednički za cijelo analizirano kolo. Konkretno, pri povezivanju elemenata kola u seriju, mora se početi sa konstrukcijom vektora struje koji teče kroz sve elemente kola. Kada su elementi kola spojeni paralelno, konstrukcija vektorskog dijagrama mora početi s vektorom ukupnog primijenjenog napona, a zatim izgraditi vektore struja koje teku kroz svaku granu električnog kola. Mogući fazni pomaci vektora napona u električnim krugovima koji se sastoje od različitih kombinacija r-L-C elemenata prikazani su u mnemodičkom dijagramu (vidi sliku 2.1.).

Vektori radijusa na dijagramu i ispod su istaknuti podebljanim ili tačkama (crticama) iznad njih.

2.4.4. Rezonancija napona u kolu koje se sastoji od induktora i kondenzatora spojenih u seriju

Razmotrimo primjere takve analize pod pretpostavkom da se vrijednosti otpora, kapacitivnosti i induktivnosti ne mijenjaju s vremenom i ne ovise o primijenjenom naponu i strujama (vidi sliku 2.2).

Slika 2.2 Električno kolo serijski povezanih r-L-C-elemenata.

Procesi koji se odvijaju u strujnom kolu (u skladu s drugim Kirchhoffovim zakonom) opisani su (sa konstantnim vrijednostima elemenata u vremenu i njihovom neovisnošću od veličine struje koja teče) linearnom integralno-diferencijalnom jednadžbom:

u(t)=ri(t)+Ldi(t)/dt+1/C ∫i(t)dt, (2.31)

gdje je u(t). AC napon napaja se iz izvora u oscilatorni krug,

i(t) - naizmjenična struja teče u krugu,

L - induktivnost,

r- aktivni otpor induktori,

C je kapacitet kondenzatora.

Otpor (r), induktivnost (L) i kapacitivnost (C) formiraju oscilatorno kolo u kojem je moguća naponska rezonanca. Izraz "naponska rezonancija" podrazumijeva da kada je X l = Xc jednak, naizmjenični naponi na elementima kola L i C povećavaju se Q puta u usporedbi s naponom koji se dovodi iz izvora u krug. Vrijednost Q razumijeva se kao faktor kvalitete kruga, jednak Q = Xc / r.

Pod datim pretpostavkama, jednačina (2.31) se može predstaviti u sljedećem obliku:

u(t)=i(t)*(r+j). (2.32)

Odakle dolazi izraz za kompleksni otpor kola

Z=r+j(Xl –Xc).

Pri rezonanciji napona, kada je X l = Xc, Z=r, odnosno otpor petlje je aktivan, a struja koja teče kroz petlju dostiže maksimalnu vrijednost jednaku i(t)max=u(t)/r.

U ovom slučaju, konstrukcija vektorskog dijagrama mora početi sa zajedničkim vektorom struje (Ỉ) za kolo, a zatim se grade naponski vektori. At serijska veza induktora i kapacitivnosti, ukupna reaktancija kola X jednaka je algebarskoj razlici između induktivnog i kapacitivnog otpora Xl i Xc. Napon primijenjen na takvo kolo može se predstaviti kao vektorski zbir vektora pada napona na aktivnom otporu (U r), koji je u fazi sa vektorom struje; vektor pada napona na induktivitetu (U l), koji vodi struju u fazi za ugao od 90° i vektor pada napona na kapacitivnosti (Uc), zaostaje u fazi od vektora struje za ugao od 90°. U ovom slučaju su mogući sljedeći slučajevi:

a) Induktivni otpor je veći od kapacitivnog (X l>X C). U ovom slučaju, ulazni napon će voditi struju u fazi za ugao φ (vidi sliku 2.3.).

b) Kapacitivni otpor je veći od induktivnog (X l<Х с). При этом ток опережает напряжение на угол φ. Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рис. 2.4.

Rice. 2.3 Sl. 2.4

V). Induktivni otpor je jednak kapacitivnom (X l \u003d Xc). Prema tome, ukupna reaktancija kola (X) je nula, a ukupni otpor kola Z=r, tj. dostiže svoju minimalnu vrijednost. U tom slučaju struja će biti u fazi sa naponom, tj. ugao φ=0.Vektorski dijagram struja i napona za ovaj slučaj je prikazan na sl. 2.5.

Fenomen naponske rezonancije javlja se i kod kvarcnih rezonatora, koji se široko koriste u autooscilatorima.

s obzirom da je e j =j , -j= dobijamo: I m = .

Pređimo na komplekse efektivnih vrijednosti: I = U / X With ,

Gdje X With = - kompleksni kapacitivni otpor.
Vektorski dijagram na kompleksnoj ravni struje i napona kapacitivnog elementa prikazan je na sl. 1.10.

Rice. 1.10.

1.6. Kompleksna metoda za proračun linearnih električnih kola sa sinusoidnim strujama
Kao što znate, proračun bilo kojeg električnog kola može se izvršiti na osnovu Kirchhoffovih zakona sastavljanjem i rješavanjem sistema jednačina. Primjena Kirchhoffovih zakona za trenutne vrijednosti sinusoidnih struja i napona dovodi do diferencijalnih jednadžbi. Na primjer, za kolo s aktivnim i induktivnim elementima povezanim u seriju, jednadžba Kirchhoffovog drugog zakona ima oblik:

.

Potpuno rješenje i(t) ove linearne diferencijalne jednadžbe, kao što je poznato, je zbir određenog rješenja određenog oblikom funkcije u(t) i općeg rješenja homogene diferencijalne jednadžbe dobivene sa u(t)=0. Trenutna komponenta na u(t)=0 može postojati samo zbog rezervi energije u magnetskom polju induktivnog elementa i raspadaće se zbog disipacije energije na aktivnom elementu. Dakle, nakon kratkog vremenskog perioda nakon uključivanja, u kolu ostaje struja, određena samo određenim rješenjem jednadžbe kola. Ova struja se naziva struja stacionarnog stanja. U nastavku ćemo analizirati ovaj način rada. Pretpostavimo da se napon primijenjen na strujni krug koji se proučava mijenja u skladu sa zakonom: u(t)=U 0 grijeh( t+ u) .

Kao što je ranije prikazano (vidi klauzulu 1.5), u aktivnim i induktivnim elementima, stabilna struja će se također promijeniti prema sinusoidnom zakonu: i(t)=I m grijeh( t+  ) .

Problem se svodi na pronalaženje amplitude i početne faze struje na datoj frekvenciji. Ako je potrebno odrediti struje grananja ili napone u dijelovima kola, potrebno je zbrajanje sinusnih funkcija vremena. Ova operacija je povezana sa glomaznim i dugotrajnim proračunima. Nezgrapnost proračuna je zbog činjenice da je sinusna vrijednost na datoj frekvenciji određena ne jednom, već dvije veličine - amplitudom i fazom. Značajno pojednostavljenje se postiže kada se sinusoidne funkcije vremena predstavljaju kompleksnim brojevima. Mogućnost ovakvog prikaza za sinusne struje i napone je prikazana ranije (vidi paragraf 1.4.).

Metoda zasnovana na predstavljanju realnih sinusoidnih funkcija vremena kompleksnim brojevima naziva se kompleksna metoda. Naziva se i simboličkom metodom, jer se zasniva na simboličkom predstavljanju funkcije vremena kao funkcije frekvencije. Kompleksna metoda koristi vrlo važno svojstvo eksponencijalne funkcije, koje se sastoji u činjenici da je diferenciranje kompleksnog eksponenta u vremenu ekvivalentno množenju sa j, i integracija - podjela po j:

; .

Kao rezultat toga, sve diferencijalne jednadžbe sastavljene prema Kirchhoffovim zakonima zamjenjuju se algebarskim jednadžbama u složen oblik. Rješavajući ove algebarske jednadžbe, nalazimo složene struje i od njih prelazimo na trenutne vrijednosti. Dakle, kompleksna metoda uvelike pojednostavljuje proračune jer je to metoda algebraizacije diferencijalnih jednadžbi.
1.7. Izraz Ohmovih i Kirchhoffovih zakona u složenom obliku
Razmatrajući aktivne, induktivne i kapacitivne elemente u strujnom kolu sinusoidne struje, uveli smo koncepte aktivnog i reaktivnog (induktivnog ili kapacitivnog) otpora. Sumirajući, odnos kompleksnog napona i kompleksne struje nazivamo kompleksnim otporom kola Z:

.

Modul i argument otpora jednaki su, respektivno, omjeru efektivnih vrijednosti i faznog pomaka između struje i napona.

stvarne i imaginarne dijelove Z koji se nazivaju aktivni i reaktivni otpori. Recipročna vrijednost kompleksnog otpora naziva se kompleksna provodljivost:

.

Njegov modul i argument su po definiciji recipročni vrednosti Z i . Realni i imaginarni dijelovi Y nazivaju se aktivna i reaktivna provodljivost. Uspostavimo vezu između aktivnih i reaktivnih otpora i provodljivosti.

odavde .

Uvođenje kompleksnih otpora i provodljivosti znači uvođenje Ohmovog zakona u složenom obliku za stabilan sinusoidni mod: .

Za razliku od Ohmovog zakona za jednosmjernu struju, ovdje se, osim efektivnih vrijednosti struje i napona, uzima u obzir i fazni pomak između njih.

Napišimo sada Kirchhoffove zakone u složenom obliku.

Prvi Kirchhoffov zakon za čvorove u složenom obliku je napisan kao: .

Drugi Kirchhoffov zakon za konture u kompleksnom obliku je zapisan kao: .

Nakon uvođenja pojmova kompleksnog otpora i uspostavljanja Ohmovih i Kirchhoffovih zakona za kompleksne struje i napone grana, nema potrebe za preliminarnim sastavljanjem sistema jednadžbi diferencijalnih kola sa njihovom naknadnom transformacijom u algebarske jednačine za strujne i naponske komplekse. Kada se sklop analizira na složen način, zgodno je svaki element kola predstaviti s njegovim složenim otporom ili vodljivošću, a struje i naponi - s odgovarajućim kompleksima efektivnih vrijednosti. Rezultat je složeno kolo ekvivalentno kolo. U ovom dijagramu, svaka pasivna grana može biti predstavljena kao mreža sa dva terminala sa složenim otporom, a svaka aktivna grana može se predstaviti kao izvor sa kompleksnim EMF i unutrašnjim otporom.

Takav ekvivalentni krug izgledat će kao otpornički krug, ali umjesto stvarnih vrijednosti na krugu će biti složene vrijednosti struje, napona, EMF-a i otpora.

TO
složena priroda veličina odražava potrebu da se uzme u obzir fazni pomak između sinusoidnih struja i napona u stacionarnom stanju. Jednačine stanja za složena ekvivalentna kola su sastavljene na sličan način kao i otporna jednosmerna kola. Stoga, kada analizirate krug na složen način, možete primijeniti sve one metode koje vrijede za jednosmjernu struju:

Metode ekvivalentne konverzije kola (paralelno i serijsko povezivanje elemenata, konverzija zvezda-trokut i obrnuto, konverzija izvora napona i struje);

Metoda proporcionalnih vrijednosti;

Metoda nodalnih potencijala;

Metoda struje petlje;

Metoda ekvivalentnog generatora;

Princip nametanja, reciprociteta.

Formalno, razlika između analize na kompleksan način i analize DC otpornih kola sastojaće se samo u tome što će koeficijenti svih jednačina, kao i varijabli, biti kompleksne veličine.

Budući da se svaki član u složenoj jednadžbi može predstaviti vektorom, a sama jednačina zbirom vektora, kompleksna metoda vam omogućava da analitičke proračune popratite vizualnim grafičkim ilustracijama - vektorskim dijagramima.

Razmotrite upotrebu složene metode za proračun specifičnih krugova.
1.8. Pravi induktor u krugu sinusne struje
Evo ukupnog kompleksnog otpora zavojnice: Z =R+j L

Pravi induktor, osim induktivnosti, ima i aktivni otpor zavoja žice od koje je napravljen. Stoga će se složeno ekvivalentno kolo sastojati od induktivnog i aktivnog otpora povezanih u seriju, sl. 1.11.

Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, za komplekse efektivnih vrijednosti naprezanja, ukupni napon

U= U L+ U R =jL I+R I=(jL+R) I=Z I

sastoji se od aktivnih i reaktivnih (induktivnih) komponenti.

Rice. 1.11.
Argument modula i otpora: Z=,

odrediti odnos amplituda i faznog pomaka između napona i struje. Trenutni kompleks je ,

gdje je  u je početna faza primijenjenog napona.

Stoga je izraz za trenutnu vrijednost sinusoidalne struje u stvarnom induktoru:

.

Struja zaostaje u fazi od napona primijenjenog na kolo za ugao  , ovisno o odnosu između aktivnog i induktivnog otpora zavojnice.

Rezultirajuće složene relacije mogu se prikazati na vektorskom dijagramu, sl. 1.12.

Rice. 1.12.
Vektor struje zajednički za serijski spojene elemente uzima se kao početni i iscrtava se u proizvoljnom smjeru, obično horizontalno.

Vector U R idući duž vektora I , budući da je u fazi i vektor U L, vodeći vektor struje za 90 o, gradimo okomito na struju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Geometrijski zbir ova dva vektora daje vektor U napon primijenjen na induktoru. Vector U vodeći vektor faze I na uglu  . Ako je početna faza napona  u dato, moguće je iscrtati ose složenog koordinatnog sistema i pomoću geometrijskih merenja odrediti  i i drugi parametri koji nas zanimaju.

Međutim, treba imati na umu da je reprezentacija ukupnog napona na stezaljkama realnog induktora kao sume aktivne i induktivne komponente formalna i da ne postoje u stvarnom kolu i ne mogu se direktno mjeriti voltmetrom.

1.9. Serijski spoj pravog induktora i kondenzatora bez gubitaka u strujnom kolu sinusoidalne struje
Serijsko kolo naizmjenične struje sa induktivnim namotajem i kondenzatorom može se predstaviti složenim ekvivalentnim krugom od R, L, C elemenata, sl. 1.13.

Rice. 1.13.
Primijenjeni napon zapisujemo kao zbir napona na elementima kola:

u= u R + u L + u C

ili u složenom obliku: U = U R + U L + U C .

PREDAVANJE 7 ANALIZA MREŽE SA SERIJOM

POVEZIVANJE PRIJEMNIKA

Plan predavanja

4. Rezonancija stresa

1. Osnovni zakoni AC kola

IN U krugovima naizmjenične struje, Ohmov zakon vrijedi za sve vrijednosti, Kirchhoffovi zakoni - samo za trenutne i složene, koji uzimaju u obzir fazne odnose.

Prvi Kirhofov zakon. Algebarski zbir trenutnih vrijednosti struja u čvoru:

∑ i k = 0 ,

k=1

ili je algebarski zbir kompleksnih vrijednosti struja u čvoru jednak nuli:

∑ I k = 0 .

k=1

Kirchhoffov drugi zakon. Algebarski zbir trenutnih vrijednosti napona na prijemnicima u krugu jednak je algebarskom zbiru trenutnih vrijednosti EMF-a koji djeluje u istom kolu:

Jednačine sastavljene prema Kirchhoffovim zakonima nazivaju se jednadžbama električnog stanja.

1. Osnovni zakoni AC kola

Ekvivalentno kolo sa serijskim povezivanjem prijemnika prikazano je na sl. 7.1.

Za analizu procesa koristimo jednačinu zasnovanu na drugom Kirchhoffovom zakonu u složenom obliku:

U = UR + UL + UC.

Zamijenite u ovoj jednadžbi vrijednosti naprezanja izražene prema Ohmovom zakonu:

U = R I+ j XL I− j XC I= [ R+ j(XL − XC ) ] I= Z I,

gdje je Z kompleksni otpor kola.

Očigledno je da

Z = R+ j(XL − XC ) = R+ j X,

gdje je R aktivni otpor, X – reaktansa.

Ohmov zakon u složenom obliku za kolo sa serijskim povezivanjem prijemnika:

U = ZI.

Reaktansa X može biti pozitivna ili negativna.

Reaktansa X > 0 ako je X L > X C . U ovom slučaju, lanac

je induktivan.

Reaktansa X< 0 , еслиX L < X C . Тогда цепь имеет емкостный характер.

2. Konstrukcija vektorskog dijagrama

Obično se pri njegovoj konstrukciji ne vezuju za kompleksnu ravan, jer samo međusobnog dogovora vektori.

Konstrukcija vektorskog dijagrama počinje vektorom veličine koji je zajednički za dato kolo. Kada su elementi povezani serijski,

PREDAVANJE 7

2. Izrada vektorskog dijagrama

količina je struja. Vrsta dijagrama ovisi o prirodi kola. Konstrukcija vektorskog dijagrama za kolo koje ima aktivno-induktivni karakter, tj. X L\u003e X C i X\u003e 0, prikazana je na Sl. 7.2.

Ulazni napon je zbir napona na tri idealna elementa, uzimajući u obzir fazni pomak. Napon na otporniku je u fazi sa strujom. Napon na induktivnom elementu vodi struju za 90°, na kapacitivnom zaostaje za 90°.

Trougao OAB dobijen tokom konstruisanja vektorskog dijagrama prikazan je na Sl. 7.3.

Ugao φ = ψu − ψi je ugao pomaka faze prema-

ka i puni napon.

OAB trokut omogućava rad sa efektivnim vrijednostima za koje nisu ispunjeni Kirchhoffovi zakoni:

U = UR 2 + (UL − UC ) 2 ,

Arctg U L − U C ,

U R = Ucos ϕ , UL − UC = Usin ϕ .

UL-UC

O A UR

3. Trouglovi otpora i snage

Ako sve strane naponskog trokuta podijelimo strujom I, dobićemo sličan trokut otpora (slika 7.4), gdje je Z ukupni otpor kola, R aktivni otpor, X reaktanca

Ohmov zakon za efektivne vrijednosti sa serijskim povezivanjem prijemnika ima oblik:

PREDAVANJE 7

3. Trouglovi otpora i snage

U = ZI.

Iz svojstava trokuta otpora dobijamo sljedeće odnose:

Ugao ϕ zavisi od odnosa otpora kola.

Poređenje formula za ukupne i kompleksne otpore omogućava nam da zaključimo da je ukupni otpor modul kompleksa. Iz trougla otpora se može vidjeti da je argument kompleksnog otpora ugao ϕ.

Stoga možemo napisati:

Z = R + jX = Z e j ϕ .

Impedansa bilo kojeg broja serijski povezanih prijemnika

Z = (∑ R) 2 + (∑ XL − ∑ XC ) 2 .

Množenjem svih stranica naponskog trougla sa strujom, dobijamo trougao snage (slika 7.5).

Aktivna snaga

P = UR I= R I2 = U Icos ϕ

karakterizira energiju koja se prenosi u jednom smjeru od generatora do prijemnika. Povezuje se sa otpornim elementima.

U I= S

UL − UC I= Q

UR I=P

Reaktivna snaga Q \u003d U L - U C I \u003d X I 2 \u003d U I sinϕ karakterizira

dio energije koji kontinuirano kruži u krugu i ne kruži koristan rad. Povezuje se sa reaktivnim elementima.

Puna (prividna) snaga S \u003d U I \u003d P 2 + Q 2.

PREDAVANJE 7

3. Trouglovi otpora i snage

Aktivna snaga se mjeri u vatima (W), reaktivna snaga se mjeri u reaktivnim voltamperima (var), ukupna snaga se mjeri u volt-amperima (V A).

4. Rezonancija stresa

Induktivni kalem i kondenzator su međusobno supresivni antipodi. Kada u potpunosti nadoknade međusobno djelovanje, u lancu na-

primećuje se rezonantni mod.

Rezonancija napona nastaje kada su induktivni zavojnici i kondenzatori povezani u seriju. Uvjet rezonancije napona: ulazna reaktancija X je nula.

Razmotrimo rezonantni režim za kolo, čiji je ekvivalentni krug prikazan na sl. 7.1.

Na rezonanciji

X =X L −X C =0 .

Dakle X L = X C .

Budući da X L = L ω, i X C = C 1 ω, tada na rezonanciji L ω0 = C 1 ω 0. Tada je LC ω0 2 = 1. Slijedi da se postigne rezonancija napona u kolu na

pirinač. 7.1 moguće je promjenom induktivnosti L, kapacitivnosti C i frekvencije ω. Ciklična rezonantna frekvencija

Kolo je čisto aktivno.

Rezonantna vrijednost napona:

1. Kod elektroenergetskih uređaja u U L U C u većini slučajeva pojava je nepoželjna,

PREDAVANJE 7

4. Rezonancija stresa

povezana sa iznenadnim udarima.

2. U elektrotehnici komunikacija (radiotehnika, žičana telefonija), u automatizaciji, fenomen naponske rezonancije se široko koristi za podešavanje kola na određenu frekvenciju.

Pitanja za samotestiranje

1. Za koje vrednosti električne veličine Da li se poštuju Kirhofovi zakoni?

2. Koliki je modul kompleksnog otpora?

3. Šta je argument kompleksnog otpora?

4. Kako su povezani aktivni, reaktivni i složeni otpori?

5. Kako izračunati impedanciju kola?

6. Šta određuje ugao φ između napona i struje?

7. Koja se energija troši?

8. Koju energiju karakterizira aktivna snaga?

9. Koja je vrsta energije reaktivna snaga?

10. Koje se jedinice koriste za mjerenje aktivne, jalove i prividne snage?

11. Šta je stanje rezonancije stresa?

12. Šta je značenje rezonancije stresa?