In diesem Artikel zeigen wir, wie man gibt Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels und einer Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notationen sprechen, Beispiele für Einträge geben und grafische Illustrationen geben. Lassen Sie uns abschließend eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Trigonometrie und Geometrie ziehen.

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Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens

Sehen wir uns an, wie in einem Schulmathematikkurs die Vorstellung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens entsteht. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben. Und später wird die Trigonometrie untersucht, die sich mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl befasst. Lassen Sie uns alle diese Definitionen vorstellen, Beispiele nennen und die notwendigen Kommentare abgeben.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Geometriekurs kennen wir die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Geben wir ihre Formulierungen.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck– das ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck- Dies ist das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.

Dort werden auch die Bezeichnungen für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt – sin, cos, tg bzw. ctg.

Wenn ABC beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel C ist, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite BC zur Hypotenuse AB, d. h. sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus den bekannten Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sowie aus den bekannten Werten von Sinus, Cosinus, Tangens berechnen. Kotangens und die Länge einer der Seiten, um die Längen der anderen Seiten zu ermitteln. Wenn wir beispielsweise wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC gleich 3 und die Hypotenuse AB gleich 7 ist, könnten wir den Wert des Kosinus des spitzen Winkels A per Definition berechnen: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten – sie führen das Konzept des Drehwinkels ein. Die Größe des Drehwinkels ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht auf 0 bis 90 Grad beschränkt; der Drehwinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch jede reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund beziehen sich die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens nicht auf einen spitzen Winkel, sondern auf einen Winkel beliebiger Größe – den Drehwinkel. Sie sind durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 gegeben, zu dem der sogenannte Startpunkt A(1, 0) nach seiner Drehung um einen Winkel α um den Punkt O – den Beginn des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems – geht und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1, also sinα=y.

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα heißt Abszisse des Punktes A 1, also cosα=x.

Definition.

Tangente des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, also tanα=y/x.

Definition.

Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, d. h. ctgα=x/y.

Sinus und Cosinus sind für jeden Winkel α definiert, da wir immer die Abszisse und Ordinate des Punktes bestimmen können, der durch Drehen des Startpunkts um den Winkel α entsteht. Aber Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Die Tangente ist für Winkel α nicht definiert, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit der Abszisse Null (0, 1) oder (0, −1) geht, und dies geschieht bei Winkeln 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Tatsächlich ergibt bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x keinen Sinn, da er eine Division durch Null enthält. Der Kotangens ist nicht für Winkel α definiert, bei denen der Startpunkt zum Punkt mit der Null-Ordinate (1, 0) oder (−1, 0) geht, und dies gilt für Winkel 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Sinus und Kosinus sind also für alle Drehwinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180° ·k definiert , k∈Z (π·k rad).

Die Definitionen umfassen die uns bereits bekannten Bezeichnungen sin, cos, tg und ctg, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man die Bezeichnungen tan und cotentsprechend Tangens und Kotangens) . So kann der Sinus eines Drehwinkels von 30 Grad als sin30° geschrieben werden, die Einträge tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Drehwinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Drehwinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Bezeichnung „rad“ oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Drehwinkels von drei pi rad üblicherweise mit cos3·π bezeichnet.

Abschließend ist es erwähnenswert, dass bei Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels häufig der Ausdruck „Drehwinkel“ oder das Wort „Rotation“ weggelassen wird. Das heißt, anstelle der Formulierung „Sinus des Drehwinkels Alpha“ wird üblicherweise die Formulierung „Sinus des Alpha-Winkels“ oder noch kürzer „Sinus Alpha“ verwendet. Das Gleiche gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Wir werden auch sagen, dass die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Definitionen übereinstimmen, die gerade für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Drehwinkels im Bereich von 0 bis 90 Grad gegeben wurden. Wir werden dies begründen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die jeweils dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels im Bogenmaß t entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus der Zahl 8·π per Definition eine Zahl, die gleich dem Kosinus des Winkels 8·π rad ist. Und der Kosinus eines Winkels von 8·π rad ist gleich eins, daher ist der Kosinus der Zahl 8·π gleich 1.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Bestimmung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zugeordnet ist und Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens durch die Koordinaten dieses Punktes bestimmt werden. Schauen wir uns das genauer an.

Lassen Sie uns zeigen, wie eine Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten auf einem Kreis hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugewiesen;
• die positive Zahl t ist mit einem Punkt auf dem Einheitskreis verbunden, zu dem wir gelangen, wenn wir uns vom Startpunkt aus entgegen dem Uhrzeigersinn entlang des Kreises bewegen und einen Weg der Länge t zurücklegen;
• Die negative Zahl t ist mit einem Punkt auf dem Einheitskreis verbunden, zu dem wir gelangen, wenn wir uns vom Startpunkt aus im Uhrzeigersinn entlang des Kreises bewegen und einen Weg der Länge |t| zurücklegen .

Nun kommen wir zu den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Nehmen wir an, dass die Zahl t einem Punkt auf dem Kreis A 1 (x, y) entspricht (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1)).

Definition.

Sinus der Zahl t ist die Ordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, also sint=y.

Definition.

Kosinus der Zahl t wird als Abszisse des Punktes des Einheitskreises bezeichnet, der der Zahl t entspricht, dh Kosten = x.

Definition.

Tangens der Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, d. h. tgt=y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens einer Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, also tgt=sint/cost.

Definition.

Kotangens der Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, d. h. ctgt=x/y. Eine andere Formulierung lautet: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t: ctgt=cost/sint.

Hier stellen wir fest, dass die soeben gegebenen Definitionen mit der Definition am Anfang dieses Absatzes übereinstimmen. Tatsächlich stimmt der Punkt auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt überein, den man durch Drehen des Startpunkts um einen Winkel von t im Bogenmaß erhält.

Es lohnt sich dennoch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben den Eintrag sin3. Wie können wir verstehen, ob wir über den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Bogenmaß sprechen? Dies geht in der Regel aus dem Kontext hervor, andernfalls ist es wahrscheinlich nicht von grundlegender Bedeutung.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den Definitionen im vorherigen Absatz entspricht jeder Drehwinkel α einem ganz bestimmten Wert sinα sowie dem Wert cosα. Darüber hinaus entsprechen alle anderen Rotationswinkel als 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα-Werten und andere Werte als 180°k, k∈Z (πk rad) – Werten ​​von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tanα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ähnlich können wir über die Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem ganz bestimmten Wert sint sowie Kosten. Darüber hinaus entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k, k∈Z den Werten tgt und die Zahlen π·k, k∈Z den Werten ctgt.

Es werden die Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens aufgerufen grundlegende trigonometrische Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist klar hervor, ob es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines numerischen Arguments handelt. Ansonsten können wir uns die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (Winkelargument) als auch als numerisches Argument vorstellen.

In der Schule beschäftigen wir uns jedoch hauptsächlich mit numerischen Funktionen, also Funktionen, deren Argumente sowie die entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Wenn wir also speziell über Funktionen sprechen, ist es ratsam, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Zusammenhang zwischen Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Drehwinkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad betrachten, dann stimmen die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels im Kontext der Trigonometrie vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens von an überein Spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs angegeben werden. Begründen wir das.

Stellen wir den Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy dar. Markieren wir den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, wir erhalten Punkt A 1 (x, y). Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 zur Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu erkennen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH gleich dem Drehwinkel α ist, die Länge des an diesen Winkel angrenzenden Schenkels OH gleich der Abszisse des Punktes A 1 ist, also |OH |=x, die Länge des Schenkels A 1 H gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1, d. h. |A 1 H|=y, und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins, da es sich um den Radius des Einheitskreises handelt. Dann ist per Definition aus der Geometrie der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, d. h. sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, also sinα=y. Dies zeigt, dass die Bestimmung des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Bestimmung des Sinus des Drehwinkels α entspricht, wenn α zwischen 0 und 90 Grad liegt.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels α übereinstimmen.

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Einer der Bereiche der Mathematik, mit denen Schüler am meisten zu kämpfen haben, ist die Trigonometrie. Es ist nicht verwunderlich: Um dieses Wissensgebiet frei zu beherrschen, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens mithilfe von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in verwenden zu können Berechnungen. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweisen von Theoremen in der Lage sein, die Trigonometrie anzuwenden, und dies erfordert entweder ein ausgeprägtes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Wenn Sie sich mit dieser Wissenschaft vertraut machen, sollten Sie mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels beginnen. Zunächst müssen Sie jedoch verstehen, was die Trigonometrie im Allgemeinen bewirkt.

Historisch gesehen waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Zweig der Mathematik. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht die Durchführung verschiedener Operationen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betreffenden Figur anhand von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Über den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten wurde zunächst ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke gesprochen. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Einsatzgrenzen dieses Teilgebiets der Mathematik im Alltag zu erweitern.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, danach nutzen die Schüler die erworbenen Kenntnisse in Physik und lösen abstrakte trigonometrische Gleichungen, die in der High School beginnen.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Kugelgeometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Winkelsumme in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung „bogenförmig“ ist dreidimensionaler Raum.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten des Globus, sodass er gespannt ist. Bitte beachten Sie, dass es die Form eines Bogens angenommen hat. Mit solchen Formen beschäftigt sich die Kugelgeometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen Anwendung findet.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Es ist das längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

Wenn die beiden Seiten beispielsweise 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Darüber hinaus müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Mit einem guten Verständnis der geometrischen Grundlagen kann man sich schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Warum? Weil die Hypotenuse standardmäßig die längste ist. Egal wie lang das Bein ist, es wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in Ihrer Antwort auf eine Aufgabe einen Sinus- oder Kosinuswert mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in den Berechnungen oder der Argumentation. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Die Division des Sinus durch den Cosinus führt zum gleichen Ergebnis. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Länge der Seite durch die Hypotenuse, dividieren dann durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Somit erhalten wir die gleiche Beziehung wie bei der Definition der Tangente.

Der Kotangens ist dementsprechend das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir eins durch die Tangente dividieren.

Wir haben uns also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens angesehen und können nun mit den Formeln fortfahren.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus – wie findet man Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Aber genau das ist bei der Lösung von Problemen erforderlich.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, spart jedoch Zeit, wenn Sie die Größe des Winkels und nicht die Seite kennen müssen.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch bei der Lösung von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Dies ist die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur dass beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus geteilt wurden. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, Transformationsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie jederzeit die erforderlichen komplexeren Formeln auf einem Blatt Papier ableiten.

Formeln für Doppelwinkel und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Cosinus für die Summe und Differenz von Winkeln. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verknüpft sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet. Versuchen Sie in der Praxis, sie selbst zu erhalten, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.

Beachten Sie abschließend, dass Doppelwinkelformeln neu angeordnet werden können, um die Potenz von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu reduzieren.

Theoreme

Die beiden Hauptsätze der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Theoreme können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass die Division der Länge jeder Seite eines Dreiecks durch den entgegengesetzten Winkel dieselbe Zahl ergibt. Darüber hinaus entspricht diese Zahl zwei Radien des umschriebenen Kreises, also des Kreises, der alle Punkte eines gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass man von der Summe der Quadrate der beiden Seiten deren Produkt multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert – der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Somit erweist sich der Satz des Pythagoras als Sonderfall des Kosinussatzes.

Flüchtigkeitsfehler

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man aufgrund von Geistesabwesenheit oder einem Fehler bei den einfachsten Berechnungen leicht einen Fehler machen. Um solche Fehler zu vermeiden, werfen wir einen Blick auf die beliebtesten.

Erstens sollten Sie Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten. Sie können das Ergebnis als Bruch belassen, sofern in den Bedingungen nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, es sollte jedoch beachtet werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln entstehen können, die nach Ansicht des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Ihre Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Dies gilt insbesondere für Werte wie die Wurzel aus drei oder die Wurzel aus zwei, da sie bei jedem Schritt in Problemen vorkommen. Das Gleiche gilt für das Runden „hässlicher“ Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Doppelte des Produkts aus den Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Unverständnis für das Thema. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad für Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, was unweigerlich zu einem falschen Ergebnis führt.

Anwendung

Viele Studierende haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie deren praktische Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Das sind Konzepte, mit denen man die Entfernung zu entfernten Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen oder eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken kann. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung einer Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Der Sinn der Trigonometrie besteht darin, dass man mithilfe der bekannten Parameter eines Dreiecks die Unbekannten berechnen muss. Insgesamt gibt es sechs Parameter: die Länge von drei Seiten und die Größe von drei Winkeln. Der einzige Unterschied bei den Aufgaben besteht darin, dass unterschiedliche Eingabedaten angegeben werden.

Sie wissen jetzt, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens anhand der bekannten Längen der Beine oder der Hypotenuse ermitteln. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel einer Trigonometrieaufgabe darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die reguläre Schulmathematik.

Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen und deren Verwendung in der Geometrie untersucht. Die Entwicklung der Trigonometrie begann im antiken Griechenland. Im Mittelalter leisteten Wissenschaftler aus dem Nahen Osten und Indien wichtige Beiträge zur Entwicklung dieser Wissenschaft.

Dieser Artikel ist den grundlegenden Konzepten und Definitionen der Trigonometrie gewidmet. Es werden die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen besprochen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Ihre Bedeutung wird im Kontext der Geometrie erklärt und veranschaulicht.

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Ursprünglich wurden die Definitionen trigonometrischer Funktionen, deren Argument ein Winkel ist, durch das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ausgedrückt.

Definitionen trigonometrischer Funktionen

Der Sinus eines Winkels (sin α) ist das Verhältnis des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Kosinus des Winkels (cos α) – das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Winkeltangens (t g α) – das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite.

Winkelkotangens (c t g α) – das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Diese Definitionen gelten für den spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks!

Lassen Sie uns eine Illustration geben.

Im Dreieck ABC mit rechtem Winkel C ist der Sinus des Winkels A gleich dem Verhältnis von Schenkel BC zu Hypotenuse AB.

Mit den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können Sie die Werte dieser Funktionen aus den bekannten Längen der Seiten des Dreiecks berechnen.

Wichtig zu beachten!

Der Wertebereich von Sinus und Cosinus reicht von -1 bis 1. Mit anderen Worten, Sinus und Cosinus nehmen Werte von -1 bis 1 an. Der Wertebereich von Tangens und Kotangens ist die gesamte Zahlenlinie. das heißt, diese Funktionen können beliebige Werte annehmen.

Die oben angegebenen Definitionen gelten für spitze Winkel. In der Trigonometrie wird das Konzept eines Drehwinkels eingeführt, dessen Wert im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht auf 0 bis 90 Grad beschränkt ist. Der Drehwinkel in Grad oder Bogenmaß wird durch eine beliebige reelle Zahl von - ∞ bis + ∞ ausgedrückt .

In diesem Zusammenhang können wir Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels beliebiger Größe definieren. Stellen wir uns einen Einheitskreis vor, dessen Mittelpunkt im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems liegt.

Der Anfangspunkt A mit den Koordinaten (1, 0) dreht sich um einen bestimmten Winkel α um den Mittelpunkt des Einheitskreises und geht zum Punkt A 1. Die Definition erfolgt anhand der Koordinaten des Punktes A 1 (x, y).

Sinus (sin) des Drehwinkels

Der Sinus des Drehwinkels α ist die Ordinate des Punktes A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) des Drehwinkels

Der Kosinus des Drehwinkels α ist die Abszisse des Punktes A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) des Drehwinkels

Der Tangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Abszisse. t g α = y x

Kotangens (ctg) des Drehwinkels

Der Kotangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Ordinate. c t g α = x y

Sinus und Cosinus sind für jeden Drehwinkel definiert. Dies ist logisch, da Abszisse und Ordinate eines Punktes nach der Drehung in jedem Winkel bestimmt werden können. Anders verhält es sich bei Tangens und Kotangens. Die Tangente ist undefiniert, wenn ein Punkt nach der Drehung zu einem Punkt mit der Abszisse Null (0, 1) und (0, - 1) geht. In solchen Fällen macht der Ausdruck für die Tangente t g α = y x einfach keinen Sinn, da er eine Division durch Null enthält. Ähnlich verhält es sich mit dem Kotangens. Der Unterschied besteht darin, dass der Kotangens nicht definiert ist, wenn die Ordinate eines Punktes gegen Null geht.

Wichtig zu beachten!

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert.

Die Tangente ist für alle Winkel außer α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) definiert.

Der Kotangens ist für alle Winkel außer α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) definiert.

Sagen Sie beim Lösen praktischer Beispiele nicht „Sinus des Drehwinkels α“. Die Worte „Drehwinkel“ werden einfach weggelassen, was bedeutet, dass aus dem Kontext bereits klar ist, worum es geht.

Zahlen

Was ist mit der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl und nicht dem Drehwinkel?

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens einer Zahl

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl T ist eine Zahl, die jeweils gleich Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ist T Bogenmaß.

Beispielsweise ist der Sinus der Zahl 10 π gleich dem Sinus des Drehwinkels von 10 π rad.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Bestimmung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Schauen wir es uns genauer an.

Jede reelle Zahl T Ein Punkt auf dem Einheitskreis ist dem Mittelpunkt im Ursprung des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems zugeordnet. Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens werden durch die Koordinaten dieses Punktes bestimmt.

Der Startpunkt auf dem Kreis ist Punkt A mit den Koordinaten (1, 0).

Positive Zahl T

Negative Zahl T entspricht dem Punkt, zu dem der Startpunkt führt, wenn er sich gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegt und den Weg t passiert.

Nachdem nun der Zusammenhang zwischen einer Zahl und einem Punkt auf einem Kreis hergestellt ist, fahren wir mit der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens fort.

Sinus (Sünde) von t

Sinus einer Zahl T- Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl entspricht T. Sünde t = y

Kosinus (cos) von t

Kosinus einer Zahl T- Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl entspricht T. cos t = x

Tangente (tg) von t

Tangens einer Zahl T- das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl entspricht T. t g t = y x = sin t cost

Die neuesten Definitionen stimmen mit der Definition am Anfang dieses Absatzes überein und widersprechen ihr nicht. Zeigen Sie auf den Kreis, der der Zahl entspricht T, fällt mit dem Punkt zusammen, zu dem der Startpunkt nach einer Drehung um einen Winkel gelangt T Bogenmaß.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Jeder Wert des Winkels α entspricht einem bestimmten Wert des Sinus und Cosinus dieses Winkels. Ebenso wie alle Winkel α außer α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) einem bestimmten Tangenswert entsprechen. Der Kotangens ist, wie oben angegeben, für alle α definiert, außer α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Wir können sagen, dass sin α, cos α, t g α, c t g α Funktionen des Winkels Alpha oder Funktionen des Winkelarguments sind.

Ebenso können wir über Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Funktionen eines numerischen Arguments sprechen. Jede reelle Zahl T entspricht einem bestimmten Wert des Sinus oder Cosinus einer Zahl T. Alle Zahlen außer π 2 + π · k, k ∈ Z, entsprechen einem Tangenswert. Der Kotangens ist in ähnlicher Weise für alle Zahlen außer π · k, k ∈ Z definiert.

Grundfunktionen der Trigonometrie

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist klar hervor, um welches Argument der trigonometrischen Funktion (Winkelargument oder Zahlenargument) es sich handelt.

Kehren wir zu den eingangs gegebenen Definitionen und dem Alpha-Winkel zurück, der im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt. Die trigonometrischen Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens stimmen vollständig mit den geometrischen Definitionen überein, die durch die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind. Zeigen wir es.

Nehmen wir einen Einheitskreis mit einem Mittelpunkt in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem. Drehen wir den Startpunkt A (1, 0) um einen Winkel von bis zu 90 Grad und zeichnen wir vom resultierenden Punkt A 1 (x, y) eine Senkrechte zur Abszissenachse. Im resultierenden rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel A 1 O H gleich dem Drehwinkel α, die Länge des Schenkels O H ist gleich der Abszisse des Punktes A 1 (x, y). Die Länge des Schenkels gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 (x, y) und die Länge der Hypotenuse ist gleich eins, da sie der Radius des Einheitskreises ist.

Gemäß der Definition aus der Geometrie ist der Sinus des Winkels α gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Das bedeutet, dass die Bestimmung des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck über das Seitenverhältnis gleichbedeutend mit der Bestimmung des Sinus des Drehwinkels α ist, wobei Alpha im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt.

Ebenso kann die Entsprechung der Definitionen für Kosinus, Tangens und Kotangens gezeigt werden.

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Durchschnittsniveau

Rechtwinkliges Dreieck. Der komplette illustrierte Leitfaden (2019)

RECHTWINKLIGES DREIECK. ERSTE EBENE.

Bei Problemen ist der rechte Winkel überhaupt nicht notwendig - der untere linke, also müssen Sie lernen, ein rechtwinkliges Dreieck in dieser Form zu erkennen,

und darin

und darin

Was ist gut an einem rechtwinkligen Dreieck? Nun... erstens gibt es besonders schöne Namen für seine Seiten.

Achtung Zeichnung!

Denken Sie daran und verwechseln Sie nicht: Es gibt zwei Beine und nur eine Hypotenuse(einzigartig, einzigartig und am längsten)!

Nun, wir haben die Namen besprochen, jetzt kommt das Wichtigste: der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras.

Dieser Satz ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck. Es wurde von Pythagoras vor unvordenklichen Zeiten bewiesen und hat seitdem denjenigen, die es kennen, großen Nutzen gebracht. Und das Beste daran ist, dass es einfach ist.

Also, Satz des Pythagoras:

Erinnern Sie sich an den Witz: „Die Hosen des Pythagoras sind auf allen Seiten gleich!“?

Lassen Sie uns dieselben pythagoräischen Hosen zeichnen und sie betrachten.

Sieht es nicht aus wie eine Art Shorts? Nun, auf welchen Seiten und wo sind sie gleich? Warum und woher kam der Witz? Und dieser Witz hängt genau mit dem Satz des Pythagoras zusammen, oder genauer gesagt mit der Art und Weise, wie Pythagoras selbst seinen Satz formulierte. Und er hat es so formuliert:

"Summe Flächen von Quadraten, auf den Beinen gebaut, ist gleich quadratische Fläche, auf der Hypotenuse aufgebaut.“

Klingt es wirklich etwas anders? Und als Pythagoras die Aussage seines Theorems zeichnete, ergab sich genau dieses Bild.

In diesem Bild ist die Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats. Und damit sich Kinder besser daran erinnern können, dass die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hat sich jemand Witziger diesen Witz über pythagoräische Hosen ausgedacht.

Warum formulieren wir jetzt den Satz des Pythagoras?

Hat Pythagoras gelitten und über Quadrate gesprochen?

Sehen Sie, in der Antike gab es keine... Algebra! Es gab keine Schilder usw. Es gab keine Inschriften. Können Sie sich vorstellen, wie schrecklich es für die armen alten Schüler war, sich alles in Worten zu merken??! Und wir können uns freuen, dass wir eine einfache Formulierung des Satzes des Pythagoras haben. Wiederholen wir es noch einmal, um uns besser daran zu erinnern:

Es sollte jetzt einfach sein:

Nun, der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke wurde besprochen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie es bewiesen wird, lesen Sie die folgenden Theorieebenen und gehen wir nun weiter ... in den dunklen Wald ... der Trigonometrie! Zu den schrecklichen Worten Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Tatsächlich ist alles gar nicht so beängstigend. Natürlich sollte im Artikel auf die „echte“ Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingegangen werden. Aber ich will es wirklich nicht, oder? Wir können uns freuen: Um Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, können Sie einfach die folgenden einfachen Dinge ausfüllen:

Warum ist alles gleich um die Ecke? Wo ist die Ecke? Um dies zu verstehen, müssen Sie wissen, wie die Aussagen 1 – 4 in Worten geschrieben werden. Schauen Sie, verstehen Sie und erinnern Sie sich!

1.
Eigentlich hört es sich so an:

Was ist mit dem Winkel? Gibt es ein Bein, das der Ecke gegenüberliegt, also ein gegenüberliegendes (für einen Winkel) Bein? Natürlich gibt es! Das ist ein Bein!

Was ist mit dem Winkel? Schauen Sie genau hin. Welches Bein grenzt an die Ecke? Natürlich das Bein. Dies bedeutet, dass für den Winkel das Bein benachbart ist und

Jetzt aufgepasst! Schauen Sie, was wir haben:

Sehen Sie, wie cool es ist:

Kommen wir nun zum Tangens und Kotangens.

Wie kann ich das jetzt in Worte fassen? Wie groß ist das Bein im Verhältnis zum Winkel? Gegenüber natürlich – es „liegt“ gegenüber der Ecke. Was ist mit dem Bein? Angrenzend an die Ecke. Was haben wir also?

Sehen Sie, wie Zähler und Nenner die Plätze getauscht haben?

Und jetzt noch einmal die Ecken und einen Austausch gemacht:

Zusammenfassung

Schreiben wir kurz alles auf, was wir gelernt haben.

Satz des Pythagoras:

Der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Erinnern Sie sich übrigens noch gut daran, was Beine und Hypotenuse sind? Wenn nicht sehr gut, dann schauen Sie sich das Bild an – frischen Sie Ihr Wissen auf

Es ist durchaus möglich, dass Sie den Satz des Pythagoras schon oft verwendet haben, aber haben Sie sich jemals gefragt, warum ein solcher Satz wahr ist? Wie kann ich es beweisen? Machen wir es wie die alten Griechen. Zeichnen wir ein Quadrat mit einer Seite.

Sehen Sie, wie geschickt wir seine Seiten in Längen unterteilt haben!

Nun verbinden wir die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie selbst schauen sich die Zeichnung an und überlegen, warum das so ist.

Wie groß ist die Fläche des größeren Quadrats? Rechts, . Wie wäre es mit einer kleineren Fläche? Sicherlich, . Die Gesamtfläche der vier Ecken bleibt erhalten. Stellen Sie sich vor, wir hätten jeweils zwei davon genommen und sie mit ihren Hypotenusen aneinander gelehnt. Was ist passiert? Zwei Rechtecke. Das bedeutet, dass die Fläche der „Schnitte“ gleich ist.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Lassen Sie uns konvertieren:

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf antike Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten folgende Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Und das alles noch einmal in Form eines Tablets:

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

I. Auf zwei Seiten

II. Durch Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beins und spitzer Winkel

A)

B)

Aufmerksamkeit! Dabei ist es sehr wichtig, dass die Beine „passend“ sind. Wenn es zum Beispiel so läuft:

DANN SIND DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden gegenüberliegend.

Ist Ihnen aufgefallen, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema an und achten Sie darauf, dass für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke drei ihrer Elemente gleich sein müssen: zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen oder drei Seiten. Für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke genügen jedoch nur zwei entsprechende Elemente. Großartig, oder?

Ähnlich verhält es sich mit den Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke

I. Entlang eines spitzen Winkels

II. Auf zwei Seiten

III. Durch Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Warum ist das so?

Betrachten Sie anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks ein ganzes Rechteck.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten einen Punkt – den Schnittpunkt der Diagonalen. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks?

Und was folgt daraus?

Es stellte sich also heraus

1. - Median:

Denken Sie an diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch das Gegenteil der Fall ist.

Welchen Nutzen kann man aus der Tatsache ziehen, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schauen Sie genau hin. Wir haben: , das heißt, die Abstände vom Punkt zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks waren gleich. Aber es gibt nur einen Punkt im Dreieck, dessen Abstände von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich sind, und das ist der KREISMITTELPUNKT. Also was ist passiert?

Beginnen wir also mit diesem „Außerdem ...“.

Schauen wir uns an und.

Aber ähnliche Dreiecke haben alle gleiche Winkel!

Das Gleiche gilt für und

Jetzt lasst es uns zusammenfassen:

Welchen Nutzen lässt sich aus dieser „dreifachen“ Ähnlichkeit ziehen?

Nun, zum Beispiel - zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Schreiben wir die Beziehungen der entsprechenden Parteien auf:

Um die Höhe zu ermitteln, lösen wir die Proportionen und erhalten die erste Formel „Höhe im rechtwinkligen Dreieck“:

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir das Verhältnis und erhalten die zweite Formel:

Sie müssen sich beide Formeln gut merken und die bequemere verwenden. Schreiben wir sie noch einmal auf

Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel: .

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke:

• auf zwei Seiten:
• nach Bein und Hypotenuse: oder
• entlang des Beins und des angrenzenden spitzen Winkels: oder
• entlang des Beins und im gegenüberliegenden spitzen Winkel: oder
• durch Hypotenuse und spitzen Winkel: oder.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

• eine spitze Ecke: oder
• aus der Proportionalität zweier Beine:
• aus der Proportionalität von Bein und Hypotenuse: oder.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck

• Der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse:
• Der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:
• Der Tangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:
• Der Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite: .

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks: oder.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der vom Scheitelpunkt des rechten Winkels ausgehende Median gleich der halben Hypotenuse: .

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

• über Beine:

Was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ist, wird Ihnen helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \(AC\)); Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \(AB\) und \(BC\) (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel \(BC\) betrachten, dann ist Bein \(AB\). das benachbarte Bein und Bein \(BC\) ist entgegengesetzt. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Winkelsinus– Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus des Winkels– Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente des Winkels– Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens des Winkels– Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.

Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \). Per Definition aus einem Dreieck \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist der gleiche. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrisch).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \(1\) . Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x\)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel dies). ist der Radius \(AB\)).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der \(x\)-Achse und der Koordinate entlang der \(y\)-Achse. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG\) . Es ist rechteckig, weil \(CG\) senkrecht zur \(x\)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \)? Alles ist richtig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Darüber hinaus wissen wir, dass \(AC\) der Radius des Einheitskreises ist, was \(AC=1\) bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) gleich? Nun, natürlich, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \(AC\) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie also sagen, welche Koordinaten der zum Kreis gehörende Punkt \(C\) hat? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie erkennen würden, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich die Koordinate \(x\)! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, Koordinate \(y\)! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Wie groß sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) gleich? Das ist richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten Sie das \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : Winkel (als Nachbarwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \(y\); der Wert des Kosinus der Winkelkoordinate \(x\); und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x\)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und bei Drehung im Uhrzeigersinn – Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Drehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) beträgt. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt an der Position \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Somit können wir aus den obigen Beispielen schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist), entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Das gleiche Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken in \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), jeweils. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Sie müssen es sich merken oder anzeigen können!! \) !}

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Bitte beachten Sie Folgendes:

Keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel für ein recht einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), sowie der Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn man diese \(4\)-Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte für wiederherstellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \)“ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \)“ entspricht \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich nur \(4\) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Drehwinkel kennt? Natürlich können Sie das! Lassen Sie uns eine allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes herleiten. Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises beträgt \(1,5\). Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P\) zu finden, die man durch Drehen des Punktes \(O\) um \(\delta \) Grad erhält.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \(x\) des Punktes \(P\) der Länge des Segments \(TP=UQ=UK+KQ\). Die Länge des Segments \(UK\) entspricht der Koordinate \(x\) des Kreismittelpunkts, ist also gleich \(3\) . Die Länge des Segments \(KQ\) kann mithilfe der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Mit derselben Logik ermitteln wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\). Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Radius des Kreises,

\(\delta \) – Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)