So ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes anhand seiner vier Seiten. Bereich des Trapezes

Fläche eines Trapezes. Ich grüße sie! In dieser Veröffentlichung werden wir uns diese Formel ansehen. Warum ist sie genau so und wie kann man sie verstehen? Wenn Verständnis vorhanden ist, müssen Sie es nicht lehren. Wenn Sie sich diese Formel nur dringend ansehen möchten, können Sie sofort auf der Seite nach unten scrollen))

Nun im Detail und der Reihe nach.

Ein Trapez ist ein Viereck, zwei Seiten dieses Vierecks sind parallel, die anderen beiden nicht. Diejenigen, die nicht parallel sind, sind die Basen des Trapezes. Die anderen beiden werden Seiten genannt.

Wenn die Seiten gleich sind, heißt das Trapez gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zu den Basen steht, nennt man ein solches Trapez rechteckig.

In seiner klassischen Form wird ein Trapez wie folgt dargestellt – die größere Basis befindet sich jeweils unten, die kleinere oben. Aber niemand verbietet es, sie abzubilden und umgekehrt. Hier die Skizzen:

Nächstes wichtiges Konzept.

Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Die Mittellinie verläuft parallel zu den Grundflächen des Trapezes und entspricht deren Halbsumme.

Lassen Sie uns nun tiefer eintauchen. Warum ist das so?

Betrachten Sie ein Trapez mit Basen A und B und mit der Mittellinie l, und führen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durch: Zeichnen Sie gerade Linien durch die Basen und Senkrechte durch die Enden der Mittellinie, bis sie die Basen schneiden:

*Buchstabenbezeichnungen für Eckpunkte und andere Punkte werden absichtlich nicht eingefügt, um unnötige Bezeichnungen zu vermeiden.

Schauen Sie, die Dreiecke 1 und 2 sind gemäß dem zweiten Gleichheitszeichen der Dreiecke gleich, die Dreiecke 3 und 4 sind gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Elemente, nämlich der Beine (sie sind blau bzw. rot markiert).

Jetzt Achtung! Wenn wir im Geiste die blauen und roten Segmente von der unteren Basis „abschneiden“, bleibt ein Segment (das ist die Seite des Rechtecks) übrig, das der Mittellinie entspricht. Wenn wir als nächstes die ausgeschnittenen blauen und roten Segmente an die obere Basis des Trapezes „kleben“, erhalten wir auch ein Segment (dies ist auch die Seite des Rechtecks), das der Mittellinie des Trapezes entspricht.

Habe es? Es stellt sich heraus, dass die Summe der Basen gleich den beiden Mittellinien des Trapezes ist:

Sehen Sie sich eine weitere Erklärung an

Machen wir Folgendes: Konstruieren Sie eine gerade Linie, die durch die untere Basis des Trapezes verläuft, und eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft:

Wir erhalten die Dreiecke 1 und 2, sie sind entlang der Seite und der angrenzenden Winkel gleich (das zweite Gleichheitszeichen der Dreiecke). Das bedeutet, dass das resultierende Segment (in der Skizze blau markiert) gleich der oberen Basis des Trapezes ist.

Betrachten Sie nun das Dreieck:

*Die Mittellinie dieses Trapezes und die Mittellinie des Dreiecks fallen zusammen.

Es ist bekannt, dass ein Dreieck gleich der Hälfte seiner parallelen Grundfläche ist, das heißt:

Okay, wir haben es herausgefunden. Nun zur Fläche des Trapezes.

Trapezflächenformel:

Man sagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

Das heißt, es stellt sich heraus, dass es gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe ist:

Sie haben wahrscheinlich bereits bemerkt, dass dies offensichtlich ist. Geometrisch lässt sich das so ausdrücken: Wenn wir gedanklich die Dreiecke 2 und 4 vom Trapez abschneiden und auf die Dreiecke 1 bzw. 3 legen:

Dann erhalten wir ein Rechteck mit einer Fläche, die der Fläche unseres Trapezes entspricht. Die Fläche dieses Rechtecks ​​​​ist gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe, das heißt, wir können schreiben:

Aber hier geht es natürlich nicht ums Schreiben, sondern ums Verstehen.

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Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Normalerweise kennt ein Mathe-Nachhilfelehrer mehrere Berechnungsmethoden, schauen wir uns diese genauer an:
1) , wobei AD und BC die Basen und BH die Höhe des Trapezes sind. Beweis: Zeichnen Sie die Diagonale BD und drücken Sie die Flächen der Dreiecke ABD und CDB durch das Halbprodukt ihrer Basen und Höhen aus:

, wobei DP die Außenhöhe in ist

Addieren wir diese Gleichheiten Term für Term und unter Berücksichtigung der Gleichheit der Höhen BH und DP erhalten wir:

Lassen Sie es uns aus Klammern streichen

Q.E.D.

Folgerung zur Formel für die Fläche eines Trapezes:
Da die Halbsumme der Basen gleich MN ist – also die Mittellinie des Trapezes

2) Anwendung der allgemeinen Formel für die Fläche eines Vierecks.
Die Fläche eines Vierecks ist gleich dem halben Produkt der Diagonalen multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen
Um dies zu beweisen, reicht es aus, das Trapez in 4 Dreiecke zu unterteilen und die Fläche jedes einzelnen als „halbes Produkt der Diagonalen und des Sinus des Winkels zwischen ihnen“ auszudrücken (als Winkel genommen, das Ergebnis addieren). Ausdrücke, nehmen Sie sie aus der Klammer und faktorisieren Sie diese Klammer mithilfe der Gruppierungsmethode, um ihre Gleichheit mit dem Ausdruck zu erhalten. Daher

3) Diagonalverschiebungsmethode
Das ist mein Name. Eine solche Überschrift wird einem Mathe-Nachhilfelehrer in Schulbüchern nicht begegnen. Eine Beschreibung der Technik findet sich lediglich in weiteren Lehrbüchern als Beispiel für die Lösung eines Problems. Ich möchte darauf hinweisen, dass die meisten interessanten und nützlichen Fakten zur Planimetrie den Studierenden von Mathematiklehrern im Rahmen ihrer praktischen Arbeit vermittelt werden. Dies ist äußerst suboptimal, da der Schüler sie in separate Theoreme isolieren und sie „große Namen“ nennen muss. Eine davon ist die „Diagonalverschiebung“. Worum geht es? Zeichnen wir eine Linie parallel zu AC durch den Scheitelpunkt B, bis sie die untere Basis im Punkt E schneidet. In diesem Fall ist das Viereck EBCA (per Definition) ein Parallelogramm und daher BC=EA und EB=AC. Die erste Gleichheit ist uns jetzt wichtig. Wir haben:

Beachten Sie, dass das Dreieck BED, dessen Fläche gleich der Fläche des Trapezes ist, mehrere weitere bemerkenswerte Eigenschaften aufweist:
1) Seine Fläche ist gleich der Fläche des Trapezes
2) Seine Gleichschenkel treten gleichzeitig mit den Gleichschenkeln des Trapezes selbst auf
3) Sein oberer Winkel am Scheitelpunkt B ist gleich dem Winkel zwischen den Diagonalen des Trapezes (was bei Problemen sehr oft verwendet wird)
4) Sein Median BK ist gleich dem Abstand QS zwischen den Mittelpunkten der Basen des Trapezes. Ich bin kürzlich auf die Verwendung dieser Eigenschaft gestoßen, als ich einen Studenten für Mechanik und Mathematik an der Moskauer Staatsuniversität vorbereitete, indem ich Tkachuks Lehrbuch, Version von 1973, benutzte (die Aufgabe ist unten auf der Seite angegeben).

Spezielle Techniken für einen Mathe-Nachhilfelehrer.

Manchmal schlage ich Probleme vor, indem ich eine sehr knifflige Methode verwende, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Ich klassifiziere es als spezielle Technik, weil der Tutor sie in der Praxis äußerst selten anwendet. Wenn Sie die Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik nur in Teil B benötigen, müssen Sie nicht darüber lesen. Für andere erzähle ich Ihnen mehr. Es stellt sich heraus, dass die Fläche eines Trapezes doppelt so groß ist wie die Fläche eines Dreiecks mit Eckpunkten an den Enden einer Seite und der Mitte der anderen, also dem Dreieck ABS in der Abbildung:
Beweis: Zeichnen Sie die Höhen SM und SN in den Dreiecken BCS und ADS und drücken Sie die Summe der Flächen dieser Dreiecke aus:

Da Punkt S die Mitte von CD ist, dann (beweisen Sie es selbst): Finden Sie die Summe der Flächen der Dreiecke:

Da sich herausstellte, dass diese Summe der Hälfte der Fläche des Trapezes entsprach, dann seine zweite Hälfte. Usw.

In die Sammlung spezieller Techniken des Tutors würde ich die Form der Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes entlang seiner Seiten aufnehmen: wobei p der Halbumfang des Trapezes ist. Ich werde keinen Beweis liefern. Andernfalls bleibt Ihr Mathe-Nachhilfelehrer arbeitslos :). Zur Klasse kommen!

Probleme auf der Fläche eines Trapezes:

Anmerkung des Mathematiklehrers: Die folgende Liste stellt keine methodische Begleitung zum Thema dar, sondern stellt nur eine kleine Auswahl interessanter Aufgaben dar, die auf den oben besprochenen Techniken basieren.

1) Die untere Basis eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 13 und die obere beträgt 5. Finden Sie die Fläche des Trapezes, wenn seine Diagonale senkrecht zur Seite steht.
2) Ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes, wenn seine Grundflächen 2 cm und 5 cm und seine Seiten 2 cm und 3 cm betragen.
3) Bei einem gleichschenkligen Trapez beträgt die größere Basis 11, die Seite 5 und die Diagonale. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
4) Die Diagonale eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 5 und die Mittellinie beträgt 4. Finden Sie die Fläche.
5) Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Grundflächen 12 und 20 und die Diagonalen stehen senkrecht zueinander. Berechnen Sie die Fläche eines Trapezes
6) Die Diagonale eines gleichschenkligen Trapezes bildet mit seiner unteren Basis einen Winkel. Finden Sie die Fläche des Trapezes, wenn seine Höhe 6 cm beträgt.
7) Die Fläche des Trapezes beträgt 20 und eine seiner Seiten beträgt 4 cm. Ermitteln Sie den Abstand dazu von der Mitte der gegenüberliegenden Seite.
8) Die Diagonale eines gleichschenkligen Trapezes teilt es in Dreiecke mit Flächen von 6 und 14. Ermitteln Sie die Höhe, wenn die laterale Seite 4 beträgt.
9) In einem Trapez sind die Diagonalen gleich 3 und 5 und das Segment, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, ist gleich 2. Finden Sie die Fläche des Trapezes (Mekhmat MSU, 1970).

Ich habe nicht die schwierigsten Probleme ausgewählt (keine Angst vor dem Maschinenbau!) mit der Erwartung, dass ich sie selbstständig lösen kann. Entscheiden Sie sich für Ihre Gesundheit! Wenn Sie sich auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereiten müssen, kann es ohne die Teilnahme an diesem Prozess der Formel für die Fläche eines Trapezes selbst bei Aufgabe B6 und noch mehr bei C4 zu ernsthaften Problemen kommen. Beginnen Sie nicht mit dem Thema und bitten Sie bei Schwierigkeiten um Hilfe. Ein Mathe-Nachhilfelehrer hilft Ihnen immer gerne weiter.

Kolpakov A.N.
Mathematiklehrer in Moskau, Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Strogino.

Um sich im Geometrieunterricht sicher zu fühlen und Probleme erfolgreich zu lösen, reicht es nicht aus, die Formeln zu lernen. Sie müssen zuerst verstanden werden. Angst zu haben und noch mehr Formeln zu hassen, ist unproduktiv. In diesem Artikel werden in verständlicher Sprache verschiedene Möglichkeiten analysiert, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Um die entsprechenden Regeln und Theoreme besser zu verstehen, werden wir ihren Eigenschaften etwas Aufmerksamkeit schenken. Dies hilft Ihnen zu verstehen, wie die Regeln funktionieren und in welchen Fällen bestimmte Formeln angewendet werden sollten.

Ein Trapez definieren

Was ist das insgesamt für eine Figur? Ein Trapez ist ein Polygon mit vier Ecken und zwei parallelen Seiten. Die anderen beiden Seiten des Trapezes können in unterschiedlichen Winkeln geneigt sein. Seine parallelen Seiten werden Basen genannt, und für nichtparallele Seiten wird die Bezeichnung „Seiten“ oder „Hüften“ verwendet. Solche Figuren sind im Alltag durchaus üblich. Die Konturen des Trapezes sind in den Silhouetten von Kleidung, Einrichtungsgegenständen, Möbeln, Geschirr und vielem mehr zu sehen. Es gibt verschiedene Arten von Trapezen: ungleichseitig, gleichseitig und rechteckig. Wir werden ihre Typen und Eigenschaften später in diesem Artikel genauer untersuchen.

Eigenschaften eines Trapezes

Lassen Sie uns kurz auf die Eigenschaften dieser Figur eingehen. Die Summe der an jede Seite angrenzenden Winkel beträgt immer 180°. Dabei ist zu beachten, dass sich alle Winkel eines Trapezes zu 360° addieren. Das Trapez hat das Konzept einer Mittellinie. Wenn Sie die Mittelpunkte der Seiten mit einem Segment verbinden, ist dies die Mittellinie. Es wird mit m bezeichnet. Die Mittellinie hat wichtige Eigenschaften: Sie verläuft immer parallel zu den Basen (wir erinnern uns, dass die Basen auch zueinander parallel sind) und gleich ihrer Halbsumme:

Diese Definition muss gelernt und verstanden werden, denn sie ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme!

Bei einem Trapez können Sie die Höhe jederzeit bis zur Basis senken. Eine Höhe ist eine Senkrechte, oft mit dem Symbol h bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis oder deren Verlängerung verläuft. Mithilfe der Mittellinie und der Höhe können Sie die Fläche des Trapezes ermitteln. Solche Probleme treten im schulischen Geometrieunterricht am häufigsten auf und tauchen regelmäßig bei Prüfungs- und Prüfungsarbeiten auf.

Die einfachsten Formeln für die Fläche eines Trapezes

Schauen wir uns die beiden beliebtesten und einfachsten Formeln an, mit denen die Fläche eines Trapezes ermittelt wird. Es reicht aus, die Höhe mit der halben Summe der Grundflächen zu multiplizieren, um leicht zu finden, was Sie suchen:

S = h*(a + b)/2.

In dieser Formel bezeichnen a, b die Basen des Trapezes, h die Höhe. Zur besseren Lesbarkeit werden in diesem Artikel Multiplikationszeichen in Formeln mit einem Symbol (*) gekennzeichnet, obwohl in offiziellen Nachschlagewerken das Multiplikationszeichen normalerweise weggelassen wird.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Gegeben: Ein Trapez mit zwei Grundflächen gleich 10 und 14 cm, die Höhe beträgt 7 cm. Wie groß ist die Fläche des Trapezes?

Schauen wir uns die Lösung für dieses Problem an. Mit dieser Formel müssen Sie zunächst die Halbsumme der Basen ermitteln: (10+14)/2 = 12. Die Halbsumme ist also gleich 12 cm. Jetzt multiplizieren wir die Halbsumme mit der Höhe: 12*7 = 84. Was wir suchen, ist gefunden. Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 84 Quadratmeter. cm.

Die zweite bekannte Formel besagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der Mittellinie und der Höhe des Trapezes. Das heißt, es folgt tatsächlich aus dem vorherigen Konzept der Mittellinie: S=m*h.

Verwendung von Diagonalen für Berechnungen

Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, ist eigentlich nicht so kompliziert. Es ist mit seinen Diagonalen verbunden. Mit dieser Formel müssen Sie zum Ermitteln der Fläche das Halbprodukt seiner Diagonalen (d 1 d 2) mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren:

S = ½ d 1 d 2 sin A.

Betrachten wir ein Problem, das die Anwendung dieser Methode zeigt. Gegeben: ein Trapez mit einer Diagonalenlänge von 8 bzw. 13 cm. Der Winkel a zwischen den Diagonalen beträgt 30°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Lösung. Mit der obigen Formel lässt sich der Bedarf leicht berechnen. Wie Sie wissen, beträgt sin 30° 0,5. Daher ist S = 8*13*0,5=52. Antwort: Die Fläche beträgt 52 Quadratmeter. cm.

Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein Trapez kann gleichschenklig (gleichschenklig) sein. Seine Seiten sind gleich und die Winkel an den Basen sind gleich, was durch die Abbildung gut veranschaulicht wird. Ein gleichschenkliges Trapez hat die gleichen Eigenschaften wie ein normales, zusätzlich zu einigen besonderen Eigenschaften. Um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis umschrieben werden, und darin kann ein Kreis eingeschrieben werden.

Welche Methoden gibt es, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen? Die folgende Methode erfordert viele Berechnungen. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Werte des Sinus (sin) und des Kosinus (cos) des Winkels an der Basis des Trapezes kennen. Um sie zu berechnen, benötigen Sie entweder Bradis-Tabellen oder einen technischen Taschenrechner. Hier ist die Formel:

S= C*Sünde A*(A - C*cos A),

Wo Mit- seitlicher Oberschenkel, A- Winkel an der unteren Basis.

Ein gleichseitiges Trapez hat gleich lange Diagonalen. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. Daher die folgende Formel, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln – das halbe Produkt aus dem Quadrat der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: S = ½ d 2 sin A.

Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Ein Sonderfall eines rechteckigen Trapezes ist bekannt. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen eine Seite (sein Schenkel) im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt. Es hat die Eigenschaften eines regelmäßigen Trapezes. Darüber hinaus verfügt es über eine sehr interessante Funktion. Der Unterschied in den Quadraten der Diagonalen eines solchen Trapezes ist gleich dem Unterschied in den Quadraten seiner Grundflächen. Dabei kommen alle zuvor beschriebenen Methoden zur Flächenberechnung zum Einsatz.

Wir nutzen Einfallsreichtum

Es gibt einen Trick, der helfen kann, wenn Sie bestimmte Formeln vergessen. Schauen wir uns genauer an, was ein Trapez ist. Wenn wir es gedanklich in Teile zerlegen, erhalten wir bekannte und verständliche geometrische Formen: ein Quadrat oder Rechteck und ein Dreieck (eins oder zwei). Wenn die Höhe und die Seiten des Trapezes bekannt sind, können Sie die Formeln für die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks ​​​​verwenden und dann alle resultierenden Werte addieren.

Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Gegeben sei ein rechteckiges Trapez. Winkel C = 45°, Winkel A, D betragen 90°. Die obere Basis des Trapezes beträgt 20 cm, die Höhe beträgt 16 cm. Sie müssen die Fläche der Figur berechnen.

Diese Figur besteht offensichtlich aus einem Rechteck (wenn zwei Winkel gleich 90° sind) und einem Dreieck. Da das Trapez rechteckig ist, entspricht seine Höhe seiner Seite, also 16 cm. Wir haben ein Rechteck mit einer Seitenlänge von 20 bzw. 16 cm. Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Winkel 45° beträgt. Wir wissen, dass eine Seite davon 16 cm beträgt. Da diese Seite auch die Höhe des Trapezes ist (und wir wissen, dass die Höhe im rechten Winkel zur Basis abfällt), beträgt der zweite Winkel des Dreiecks 90°. Daher beträgt der verbleibende Winkel des Dreiecks 45°. Die Konsequenz daraus ist, dass wir ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleichen Seiten erhalten. Dies bedeutet, dass die andere Seite des Dreiecks gleich der Höhe ist, also 16 cm. Es bleibt die Fläche des Dreiecks und des Rechtecks ​​​​zu berechnen und die resultierenden Werte zu addieren.

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel: S = (16*16)/2 = 128. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt aus seiner Breite und Länge: S = 20*16 = 320. Wir haben die erforderliche Fläche des Trapezes S = 128 + 320 = 448 Quadratfuß gefunden. Sehen Sie. Mit den obigen Formeln können Sie sich leicht selbst überprüfen, die Antwort wird identisch sein.

Wir verwenden die Pick-Formel

S = M/2 + N - 1,

In dieser Formel ist M die Anzahl der Knoten, d.h. Schnittpunkte der Linien der Figur mit den Linien der Zelle an den Grenzen des Trapezes (orangefarbene Punkte in der Abbildung), N ist die Anzahl der Knoten innerhalb der Figur (blaue Punkte). Es ist am bequemsten, es zu verwenden, wenn Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons ermitteln. Je größer jedoch das Arsenal der verwendeten Techniken ist, desto weniger Fehler treten auf und desto besser sind die Ergebnisse.

Die bereitgestellten Informationen erschöpfen natürlich nicht die Arten und Eigenschaften eines Trapezes sowie Methoden zur Bestimmung seiner Fläche. Dieser Artikel gibt einen Überblick über seine wichtigsten Eigenschaften. Beim Lösen geometrischer Probleme ist es wichtig, schrittweise vorzugehen, mit einfachen Formeln und Problemen zu beginnen, das Verständnis konsequent zu festigen und zu einer anderen Komplexitätsebene überzugehen.

Zusammengenommen helfen die gängigsten Formeln den Schülern dabei, die verschiedenen Methoden zur Berechnung der Fläche eines Trapezes zu meistern und sich besser auf Tests und Aufgaben zu diesem Thema vorzubereiten.

Das vielseitige Trapez... Es kann beliebig, gleichschenklig oder rechteckig sein. Und in jedem Fall müssen Sie wissen, wie Sie die Fläche eines Trapezes ermitteln. Am einfachsten ist es natürlich, sich die Grundformeln zu merken. Manchmal ist es jedoch einfacher, ein Modell zu verwenden, das alle Merkmale einer bestimmten geometrischen Figur berücksichtigt.

Ein paar Worte zum Trapez und seinen Elementen

Jedes Viereck, dessen zwei Seiten parallel sind, kann als Trapez bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind sie nicht gleich und werden Basen genannt. Der größere ist der untere und der andere ist der obere.

Die anderen beiden Seiten erweisen sich als seitlich. In einem beliebigen Trapez haben sie unterschiedliche Längen. Wenn sie gleich sind, wird die Figur gleichschenklig.

Wenn sich plötzlich herausstellt, dass der Winkel zwischen einer Seite und der Basis 90 Grad beträgt, ist das Trapez rechteckig.

Alle diese Funktionen können bei der Lösung des Problems helfen, die Fläche eines Trapezes zu finden.

Unter den Elementen der Figur, die bei der Lösung von Problemen unverzichtbar sein können, können wir Folgendes hervorheben:

• Höhe, das heißt ein Segment senkrecht zu beiden Basen;
• die Mittellinie, an deren Enden sich die Mittelpunkte der Seiten befinden.

Mit welcher Formel lässt sich die Fläche berechnen, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind?

Dieser Ausdruck wird als grundlegender Ausdruck angegeben, da man diese Größen meist auch dann erkennen kann, wenn sie nicht explizit angegeben werden. Um also zu verstehen, wie man die Fläche eines Trapezes ermittelt, müssen Sie beide Grundflächen addieren und durch zwei dividieren. Dann multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit dem Höhenwert.

Wenn wir die Basen mit a 1 und a 2 und die Höhe mit n bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche so aus:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Die Formel, die die Fläche berechnet, wenn ihre Höhe und Mittellinie angegeben sind

Wenn Sie sich die vorherige Formel genau ansehen, können Sie leicht erkennen, dass sie eindeutig den Wert der Mittellinie enthält. Nämlich die Summe der Basen dividiert durch zwei. Bezeichne die Mittellinie mit dem Buchstaben l, dann lautet die Formel für die Fläche:

S = l * n.

Fähigkeit, Fläche mithilfe von Diagonalen zu finden

Diese Methode hilft, wenn der von ihnen gebildete Winkel bekannt ist. Angenommen, die Diagonalen werden mit den Buchstaben d 1 und d 2 bezeichnet und die Winkel zwischen ihnen betragen α und β. Dann wird die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes wie folgt geschrieben:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Sie können in diesem Ausdruck einfach α durch β ersetzen. Das Ergebnis wird sich nicht ändern.

Wie kann man die Fläche herausfinden, wenn alle Seiten der Figur bekannt sind?

Es gibt auch Situationen, in denen die Seiten dieser Figur genau bekannt sind. Diese Formel ist umständlich und schwer zu merken. Aber wahrscheinlich. Die Seiten sollen die Bezeichnung haben: a 1 und a 2, die Basis a 1 ist größer als a 2. Dann sieht die Flächenformel wie folgt aus:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Der erste Grund liegt darin, dass darin ein Kreis eingeschrieben werden kann. Und wenn Sie seinen Radius (er wird mit dem Buchstaben r bezeichnet) sowie den Winkel an der Basis – γ – kennen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Die letzte allgemeine Formel, die auf der Kenntnis aller Seiten der Figur basiert, wird aufgrund der Tatsache, dass die Seiten die gleiche Bedeutung haben, deutlich vereinfacht:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Es ist klar, dass jedes der oben genannten Dinge für jede Figur geeignet ist. Aber manchmal ist es nützlich, ein Merkmal eines solchen Trapezes zu kennen. Es liegt darin, dass die Differenz zwischen den Quadraten der Längen der Diagonalen gleich der Differenz aus den Quadraten der Grundflächen ist.

Oft werden die Formeln für ein Trapez vergessen, während man sich an die Ausdrücke für die Flächen eines Rechtecks ​​und eines Dreiecks erinnert. Dann können Sie eine einfache Methode verwenden. Teilen Sie das Trapez in zwei Formen, wenn es rechteckig ist, oder in drei. Eines wird definitiv ein Rechteck sein und das zweite oder die restlichen beiden werden Dreiecke sein. Nachdem die Flächen dieser Figuren berechnet wurden, müssen sie nur noch addiert werden.

Dies ist eine ziemlich einfache Möglichkeit, die Fläche eines rechteckigen Trapezes zu ermitteln.

Was wäre, wenn die Koordinaten der Eckpunkte des Trapezes bekannt wären?

In diesem Fall müssen Sie einen Ausdruck verwenden, mit dem Sie den Abstand zwischen Punkten bestimmen können. Es kann dreimal angewendet werden: um beide Basen und eine Höhe herauszufinden. Und dann wenden Sie einfach die erste Formel an, die etwas weiter oben beschrieben wird.

Um diese Methode zu veranschaulichen, kann das folgende Beispiel gegeben werden. Gegebene Eckpunkte mit den Koordinaten A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Sie müssen den Bereich der Figur herausfinden.

Bevor Sie die Fläche des Trapezes ermitteln, müssen Sie die Längen der Basen anhand der Koordinaten berechnen. Sie benötigen die folgende Formel:

Länge des Segments = √((Differenz der ersten Koordinaten der Punkte) 2 + (Differenz der zweiten Koordinaten der Punkte) 2 ).

Die obere Basis wird mit AB bezeichnet, was bedeutet, dass ihre Länge gleich √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3 ist. Die untere ist CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Jetzt müssen Sie die Höhe von oben bis zur Basis einzeichnen. Sein Anfang sei am Punkt A. Das Ende des Segments befindet sich auf der unteren Basis am Punkt mit den Koordinaten (5; 1), dies sei Punkt H. Die Länge des Segments AN ist gleich √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Es bleibt nur noch, die resultierenden Werte in die Formel für die Fläche eines Trapezes einzusetzen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Das Problem wurde ohne Maßeinheiten gelöst, da der Maßstab des Koordinatengitters nicht angegeben war. Es kann entweder ein Millimeter oder ein Meter sein.

Beispielprobleme

Nr. 1. Zustand. Der Winkel zwischen den Diagonalen eines beliebigen Trapezes ist bekannt; er beträgt 30 Grad. Die kleinere Diagonale hat einen Wert von 3 dm und die zweite ist 2-mal größer. Es ist notwendig, die Fläche des Trapezes zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie die Länge der zweiten Diagonale ermitteln, da ohne diese die Antwort nicht berechnet werden kann. Es ist nicht schwer zu berechnen: 3 * 2 = 6 (dm).

Jetzt müssen Sie die entsprechende Formel für die Fläche verwenden:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Das Problem ist behoben.

Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 4,5 dm2.

Nr. 2. Zustand. Im Trapez ABCD sind die Basen die Segmente AD und BC. Punkt E ist die Mitte der SD-Seite. Daraus wird eine Senkrechte zur Geraden AB gezogen, das Ende dieses Segments wird mit dem Buchstaben H bezeichnet. Es ist bekannt, dass die Längen AB und EH gleich 5 bzw. 4 cm sind. Es ist notwendig, die Fläche von zu berechnen ​​das Trapez.

Lösung. Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Da der Wert der Senkrechten kleiner ist als die Seite, zu der sie gezogen wird, wird das Trapez leicht nach oben verlängert. Also wird EH innerhalb der Figur sein.

Um den Fortschritt der Lösung des Problems klar zu erkennen, müssen Sie zusätzliche Konstruktionen durchführen. Zeichnen Sie nämlich eine gerade Linie, die parallel zur Seite AB verläuft. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit AD sind P und mit der Fortsetzung von BC sind X. Die resultierende Figur VHRA ist ein Parallelogramm. Darüber hinaus entspricht seine Fläche der erforderlichen. Dies liegt daran, dass die Dreiecke, die beim Nachbau entstanden sind, gleich sind. Dies ergibt sich aus der Gleichheit der Seite und zweier angrenzender Winkel, von denen einer vertikal und der andere quer liegt.

Sie können die Fläche eines Parallelogramms mithilfe einer Formel ermitteln, die das Produkt aus der Seite und der darauf abgesenkten Höhe enthält.

Somit beträgt die Fläche des Trapezes 5 * 4 = 20 cm 2.

Antwort: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Zustand. Die Elemente eines gleichschenkligen Trapezes haben folgende Werte: untere Basis – 14 cm, obere – 4 cm, spitzer Winkel – 45°. Sie müssen seine Fläche berechnen.

Lösung. Die kleinere Basis sei mit BC bezeichnet. Die vom Punkt B aus gezeichnete Höhe wird VH genannt. Da der Winkel 45° beträgt, ist das Dreieck ABH rechteckig und gleichschenklig. Also AN=VN. Darüber hinaus ist AN sehr leicht zu finden. Es entspricht der Hälfte der Basendifferenz. Das ist (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Die Stützpunkte sind bekannt, die Höhen sind berechnet. Sie können die erste Formel, die hier besprochen wurde, für ein beliebiges Trapez verwenden.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Antwort: Die benötigte Fläche beträgt 45 cm 2.

Nr. 4. Zustand. Es gibt ein beliebiges Trapez ABCD. Die Punkte O und E werden auf seinen lateralen Seiten genommen, so dass OE parallel zur Basis von AD ist. Die Fläche des AOED-Trapezes ist fünfmal größer als die des OVSE. Berechnen Sie den OE-Wert, wenn die Längen der Basen bekannt sind.

Lösung. Sie müssen zwei parallele Linien AB zeichnen: die erste durch Punkt C, deren Schnittpunkt mit OE - Punkt T; der zweite durch E und der Schnittpunkt mit AD wird M sein.

Sei die Unbekannte OE=x. Die Höhe des kleineren Trapezes OVSE beträgt n 1, die des größeren AOED beträgt n 2.

Da die Flächen dieser beiden Trapeze im Verhältnis 1 zu 5 stehen, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Die Höhen und Seiten der Dreiecke sind konstruktionsbedingt proportional. Daher können wir noch eine Gleichheit schreiben:

n 1 / n 2 = (x – a 2) / (a ​​​​1 – x).

In den letzten beiden Einträgen auf der linken Seite gibt es gleiche Werte, was bedeutet, dass wir schreiben können, dass (x + a 1) / (5(x + a 2)) gleich (x - a 2) / (a ​​​) ist ​1 - x).

Hier sind eine Reihe von Transformationen erforderlich. Zuerst kreuzweise multiplizieren. Es erscheinen Klammern, um die Differenz der Quadrate anzuzeigen. Nach Anwendung dieser Formel erhalten Sie eine kurze Gleichung.

Darin müssen Sie die Klammern öffnen und alle Terme mit dem unbekannten „x“ nach links verschieben und dann die Quadratwurzel ziehen.

Antwort: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Was ist ein gleichschenkliges Trapez? Dies ist eine geometrische Figur, deren gegenüberliegende, nicht parallele Seiten gleich sind. Es gibt verschiedene Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes mit unterschiedlichen Bedingungen, die in den Aufgaben angegeben sind. Das heißt, die Fläche lässt sich ermitteln, wenn Höhe, Seiten, Winkel, Diagonalen usw. angegeben werden. Es ist auch unmöglich, nicht zu erwähnen, dass es für gleichschenklige Trapeze einige „Ausnahmen“ gibt, dank derer die Flächensuche und die Formel selbst erheblich vereinfacht werden. Nachfolgend finden Sie detaillierte Lösungen für jeden Fall mit Beispielen.

Notwendige Eigenschaften zum Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Wir haben bereits herausgefunden, dass eine geometrische Figur, die entgegengesetzte, nicht parallele, sondern gleiche Seiten hat, ein Trapez und ein gleichschenkliges ist. Es gibt Sonderfälle, in denen ein Trapez als gleichschenklig betrachtet wird.

• Dies sind die Bedingungen für Winkelgleichheit. Also ein zwingender Punkt: Die Winkel an der Basis (siehe Bild unten) müssen gleich sein. In unserem Fall ist Winkel BAD = Winkel CDA und Winkel ABC = Winkel BCD
• Die zweite wichtige Regel ist, dass in einem solchen Trapez die Diagonalen gleich sein müssen. Daher ist AC = BD.
• Dritter Aspekt: ​​Die entgegengesetzten Winkel des Trapezes müssen sich zu 180 Grad addieren. Dies bedeutet, dass Winkel ABC + Winkel CDA = 180 Grad. Das Gleiche gilt für die Winkel BCD und BAD.
• Viertens: Wenn ein Trapez die Beschreibung eines Kreises um sich herum ermöglicht, dann ist es gleichschenklig.

So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes – Formeln und ihre Beschreibungen

• S = (a+b)h/2 ist die gebräuchlichste Formel zum Ermitteln der Fläche, wo A – untere Basis, B ist die obere Basis und h ist die Höhe.

• Wenn die Höhe unbekannt ist, können Sie sie mit einer ähnlichen Formel suchen: h = c*sin(x), wobei c entweder AB oder CD ist. sin(x) ist der Sinus des Winkels an einer beliebigen Basis, d. h. Winkel DAB = Winkel CDA = x. Letztlich sieht die Formel so aus: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Die Höhe kann auch mit dieser Formel ermittelt werden:

• Die endgültige Formel sieht so aus:

• Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes lässt sich durch die Mittellinie und die Höhe ermitteln. Die Formel lautet: S = mh.

Betrachten wir den Zustand, wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist.

In dem auf dem Bild gezeigten Fall

QN = D = H – der Durchmesser des Kreises und gleichzeitig die Höhe des Trapezes;

LO, ON, OQ = R – Radien des Kreises;

DC = a – obere Basis;

AB = b – untere Basis;

DAB, ABC, BCD, CDA – Alpha, Beta – Winkel der Basen des Trapezes.

In einem ähnlichen Fall kann die Fläche mithilfe der folgenden Formeln ermittelt werden:

• Versuchen wir nun, die Fläche durch die Diagonalen und die Winkel zwischen ihnen zu ermitteln.

In der Abbildung bezeichnen wir AC, DB – Diagonalen – d. Winkel COB, Geburtsdatum – Alpha; DOC, AOB – Beta. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung der Diagonalen und des Winkels zwischen ihnen, ( S ) Ist: