Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers mithilfe eines bestimmten Integrals? Berechnung der Volumina von Rotationskörpern unter Verwendung eines bestimmten Integrals

So berechnen Sie das Volumen eines Rotationskörpers
ein bestimmtes Integral verwenden?

Generell gibt es in der Integralrechnung viele interessante Anwendungen; mit einem bestimmten Integral kann man die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche von berechnen Rotation und vieles mehr. Es wird also Spaß machen, bitte bleiben Sie optimistisch!

Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Eingeführt? ... Ich frage mich, wer was präsentiert hat... =))) Wir haben seinen Bereich bereits gefunden. Darüber hinaus kann diese Figur aber auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

- um die Abszissenachse;
- um die Ordinatenachse.

In diesem Artikel werden beide Fälle untersucht. Besonders interessant ist die zweite Rotationsmethode, die die meisten Schwierigkeiten bereitet, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen Problem, die Fläche einer Figur zu finden, und ich erkläre Ihnen, wie Sie den Bereich auf die zweite Art finden – entlang der Achse. Es ist nicht so sehr ein Bonus, da das Material gut zum Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

flache Figur um eine Achse

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, auf der Ebene ist es notwendig, eine durch die Linien begrenzte Figur zu konstruieren und nicht zu vergessen, dass die Gleichung die Achse angibt. Wie Sie eine Zeichnung effizienter und schneller fertigstellen, erfahren Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen Und . Dies ist eine chinesische Erinnerung, und an dieser Stelle werde ich nicht weiter darauf eingehen.

Die Zeichnung hier ist ganz einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert; sie ist diejenige, die sich um die Achse dreht. Durch die Drehung entsteht eine leicht eiförmige fliegende Untertasse, die symmetrisch zur Achse ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber ich bin zu faul, irgendetwas im Nachschlagewerk zu klären, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Mit der Formel lässt sich das Volumen eines Rotationskörpers berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Dadurch ändert sich nichts – der Integrand in der Formel wird quadriert: , also Das Integral ist immer nicht negativ, was sehr logisch ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

In Ihrer Antwort müssen Sie die Dimension angeben – Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 „Würfel“. Warum kubisch Einheiten? Weil die universellste Formulierung. Es könnten Kubikzentimeter sein, es könnten Kubikmeter sein, es könnten Kubikkilometer sein usw., so viele grüne Männchen kann Ihre Fantasie in eine fliegende Untertasse stecken.

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht , ,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn er sich um seine Achse dreht, entpuppt er sich als surrealer Donut mit vier Ecken.

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht, entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich entspricht der Volumenunterschied genau dem Volumen unseres „Donuts“.

Wir verwenden die Standardformel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so:

Lassen Sie uns nun eine kleine Pause einlegen und Ihnen etwas über geometrische Illusionen erzählen.

Menschen haben oft Illusionen im Zusammenhang mit Bänden, was Perelman (ein anderer) in dem Buch bemerkte Unterhaltsame Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an – sie scheint flächenmäßig klein zu sein und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch im Laufe seines Lebens das Äquivalent eines Zimmers mit 18 Quadratmetern Flüssigkeit, was im Gegenteil als zu geringe Menge erscheint.

Nach einem lyrischen Exkurs bietet es sich gerade noch an, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bitte beachten Sie, dass alle Fälle im Band auftreten, d. h. es sind tatsächlich vorgefertigte Integrationsgrenzen vorgegeben. Zeichnen Sie die Diagramme trigonometrischer Funktionen richtig. Ich möchte Sie an das Unterrichtsmaterial erinnern geometrische Transformationen von Graphen: Wenn das Argument durch zwei geteilt wird: , werden die Diagramme zweimal entlang der Achse gestreckt. Es empfiehlt sich, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen um die Zeichnung genauer zu vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Die Aufgabe kann übrigens rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
flache Figur um eine Achse

Der zweite Absatz wird noch interessanter sein als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die Ordinatenachse zu berechnen, ist ein recht häufiger Gast in Testarbeiten. Unterwegs wird darüber nachgedacht Problem, die Fläche einer Figur zu finden Die zweite Methode ist die Integration entlang der Achse. Dadurch können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern auch lernen, den profitabelsten Lösungsweg zu finden. Darin liegt auch ein praktischer Lebenssinn! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik mit einem Lächeln erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen die Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich ihr auch meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen bestimmungsgemäß verwende =).

Ich kann es jedem empfehlen, auch völligen Dummköpfen. Darüber hinaus wird das im zweiten Absatz erlernte Material eine unschätzbare Hilfe bei der Berechnung von Doppelintegralen sein.

Gegeben sei eine flache Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch diese Linien begrenzt wird.
2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Aufmerksamkeit! Auch wenn Sie nur den zweiten Punkt lesen möchten, lesen Sie unbedingt zuerst den ersten!

Lösung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Machen wir eine Zeichnung:

Es ist leicht zu erkennen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel angibt. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gewünschte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau schattiert.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die „übliche“ Weise gefunden werden, die im Unterricht besprochen wurde Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Figur. Darüber hinaus ergibt sich die Fläche der Figur als Summe der Flächen:
- auf dem Segment ;
- auf dem Segment.

Deshalb:

Warum ist die übliche Lösung in diesem Fall schlecht? Erstens haben wir zwei Integrale erhalten. Zweitens gibt es Wurzeln unter Integralen, und Wurzeln in Integralen sind kein Geschenk, und außerdem kann man bei der Ersetzung der Integrationsgrenzen verwirrt werden. Tatsächlich sind die Integrale natürlich nicht umwerfend, aber in der Praxis kann alles viel trauriger sein. Ich habe nur „bessere“ Funktionen für das Problem ausgewählt.

Es gibt eine rationalere Lösung: Sie besteht darin, auf Umkehrfunktionen umzusteigen und entlang der Achse zu integrieren.

Wie komme ich zu Umkehrfunktionen? Grob gesagt müssen Sie „x“ durch „y“ ausdrücken. Schauen wir uns zunächst die Parabel an:

Das reicht aus, aber stellen wir sicher, dass dieselbe Funktion aus dem unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Einfacher geht es mit einer geraden Linie:

Schauen Sie sich nun die Achse an: Bitte neigen Sie Ihren Kopf in regelmäßigen Abständen um 90 Grad nach rechts, während Sie es erklären (das ist kein Scherz!). Die von uns benötigte Figur liegt auf dem Segment, das durch die rote gestrichelte Linie angezeigt wird. In diesem Fall befindet sich auf dem Segment die Gerade über der Parabel, was bedeutet, dass die Fläche der Figur nach der Ihnen bereits bekannten Formel ermittelt werden sollte: . Was hat sich an der Formel geändert? Nur ein Brief und nichts weiter.

! Notiz: Die Grenzen der Integration entlang der Achse sollten festgelegt werden streng von unten nach oben!

Die Gegend finden:

Zum Segment also:

Bitte beachten Sie, wie ich die Integration durchgeführt habe. Dies ist die rationalste Methode. Im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Man erhält die ursprüngliche Integrandenfunktion, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde.

Antwort:

2) Berechnen wir das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine Achse dreht.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, integrieren wir entlang der Achse. Zuerst müssen wir zu Umkehrfunktionen übergehen. Dies wurde bereits im vorherigen Absatz durchgeführt und ausführlich beschrieben.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen eines Rotationskörpers als Differenz der Volumina ermittelt werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, sodass ein Kegelstumpf entsteht. Bezeichnen wir dieses Volumen mit .

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen sie mit dem Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings entspricht der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln:

Was ist der Unterschied zur Formel im vorherigen Absatz? Nur im Brief.

Aber der Vorteil der Integration, über den ich kürzlich gesprochen habe, ist viel einfacher zu finden , anstatt zunächst den Integranden auf die 4. Potenz zu erhöhen.

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie, wenn Sie dieselbe flache Figur um die Achse drehen, einen völlig anderen Rotationskörper erhalten, natürlich mit einem anderen Volumen.

Gegeben sei eine flache Figur, die durch Linien und eine Achse begrenzt ist.

1) Gehen Sie zu Umkehrfunktionen und ermitteln Sie die Fläche einer durch diese Linien begrenzten ebenen Figur, indem Sie über die Variable integrieren.
2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Interessierte können die Fläche einer Figur auch auf „übliche“ Weise ermitteln und dabei Punkt 1) prüfen. Aber wenn Sie, ich wiederhole, eine flache Figur um die Achse drehen, erhalten Sie einen völlig anderen Rotationskörper mit einem anderen Volumen, übrigens die richtige Antwort (auch für diejenigen, die gerne Probleme lösen).

Eine vollständige Lösung der beiden vorgeschlagenen Punkte der Aufgabe finden Sie am Ende der Lektion.

Ja, und vergessen Sie nicht, Ihren Kopf nach rechts zu neigen, um die Rotationskörper und die Grenzen der Integration zu verstehen!

Ich wollte den Artikel gerade beenden, aber heute haben sie ein interessantes Beispiel gebracht, nur um das Volumen eines Rotationskörpers um die Ordinatenachse zu ermitteln. Frisch:

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Kurven und begrenzten Figur entsteht.

Lösung: Lass uns eine Zeichnung machen:

Unterwegs lernen wir die Graphen einiger anderer Funktionen kennen. Hier ist ein interessanter Graph einer geraden Funktion ...

Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich nach folgender Formel berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Dadurch ändert sich nichts – die Funktion in der Formel wird quadriert: , also Das Volumen eines Rotationskörpers ist immer nicht negativ, was sehr logisch ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht , ,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert: