Klassische Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses. Unabhängigkeit von Ereignissen. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

Ursprünglich war die Wahrscheinlichkeitstheorie nur eine Sammlung von Informationen und empirischen Beobachtungen über das Würfelspiel und entwickelte sich zu einer umfassenden Wissenschaft. Die ersten, die ihm einen mathematischen Rahmen gaben, waren Fermat und Pascal.

Vom Nachdenken über das Ewige bis zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Die beiden Personen, denen die Wahrscheinlichkeitstheorie viele ihrer Grundformeln verdankt, Blaise Pascal und Thomas Bayes, gelten als zutiefst religiöse Menschen, wobei letzterer ein presbyterianischer Pfarrer war. Anscheinend gab der Wunsch dieser beiden Wissenschaftler, den Irrtum der Meinung zu beweisen, dass eine gewisse Wahrsagerin ihren Lieblingen Glück schenkt, der Forschung auf diesem Gebiet Anstoß. Tatsächlich ist jedes Glücksspiel mit seinen Gewinnen und Verlusten nur eine Symphonie mathematischer Prinzipien.

Dank der Leidenschaft des Chevalier de Mere, der sowohl ein Spieler als auch ein Mann war, der der Wissenschaft gegenüber nicht gleichgültig war, war Pascal gezwungen, einen Weg zu finden, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. De Mere interessierte sich für die folgende Frage: „Wie oft muss man zwei Würfel paarweise werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, 12 Punkte zu bekommen, 50 % übersteigt?“ Die zweite Frage, die für den Herrn von großem Interesse war: „Wie teilt man den Einsatz zwischen den Teilnehmern des noch nicht beendeten Spiels auf?“ Natürlich beantwortete Pascal erfolgreich beide Fragen von de Mere, der unwissentlich zum Initiator der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde. Interessant ist, dass die Person von de Mere in diesem Bereich bekannt blieb und nicht in der Literatur.

Bisher hatte kein Mathematiker versucht, die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, da man glaubte, dass dies nur eine Vermutung sei. Blaise Pascal gab die erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und zeigte, dass es sich um eine bestimmte Zahl handelt, die mathematisch begründet werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist zur Grundlage der Statistik geworden und wird in der modernen Wissenschaft häufig verwendet.

Was ist Zufälligkeit?

Wenn wir einen Test betrachten, der unendlich oft wiederholt werden kann, können wir ein Zufallsereignis definieren. Dies ist eines der wahrscheinlichen Ergebnisse des Experiments.

Erfahrung ist die Umsetzung konkreter Handlungen unter konstanten Bedingungen.

Um mit den Ergebnissen des Experiments arbeiten zu können, werden Ereignisse üblicherweise mit den Buchstaben A, B, C, D, E... bezeichnet.

Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

Um mit dem mathematischen Teil der Wahrscheinlichkeit zu beginnen, müssen alle ihre Komponenten definiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für die Möglichkeit, dass ein Ereignis (A oder B) als Ergebnis einer Erfahrung eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird als P(A) oder P(B) bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheiden sie:

• zuverlässig das Ereignis wird aufgrund der Erfahrung P(Ω) = 1 garantiert eintreten;
• unmöglich das Ereignis kann niemals eintreten P(Ø) = 0;
• zufällig ein Ereignis liegt zwischen zuverlässig und unmöglich, d. h. die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens ist möglich, aber nicht garantiert (die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses liegt immer im Bereich 0≤Р(А)≤ 1).

Beziehungen zwischen Ereignissen

Sowohl eines als auch die Summe der Ereignisse A+B werden berücksichtigt, wenn das Ereignis gezählt wird, wenn mindestens eine der Komponenten A oder B oder beide Komponenten A und B erfüllt ist.

Im Verhältnis zueinander können Ereignisse sein:

• Ebenso möglich.
• Kompatibel.
• Unvereinbar.
• Gegensätzlich (sich gegenseitig ausschließend).
• Abhängig.

Wenn zwei Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, dann sind sie gleichermaßen möglich.

Wenn das Eintreten von Ereignis A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht auf Null reduziert, dann sind sie kompatibel.

Wenn die Ereignisse A und B niemals gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten, werden sie aufgerufen unvereinbar. Das Werfen einer Münze ist ein gutes Beispiel: Das Erscheinen von Kopf ist automatisch das Nichterscheinen von Kopf.

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe solcher inkompatiblen Ereignisse besteht aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Wenn das Eintreten eines Ereignisses das Eintreten eines anderen Ereignisses unmöglich macht, werden sie als Gegenteil bezeichnet. Dann wird einer von ihnen als A bezeichnet und der andere als Ā (gelesen als „nicht A“). Das Eintreten von Ereignis A bedeutet, dass Ā nicht stattgefunden hat. Diese beiden Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeitssumme von 1.

Abhängige Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig und verringern oder erhöhen die Wahrscheinlichkeit des anderen.

Beziehungen zwischen Ereignissen. Beispiele

Anhand von Beispielen ist es viel einfacher, die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie und Ereigniskombinationen zu verstehen.

Das Experiment, das durchgeführt wird, besteht darin, Kugeln aus einer Schachtel zu nehmen, und das Ergebnis jedes Experiments ist ein elementares Ergebnis.

Ein Ereignis ist eines der möglichen Ergebnisse eines Experiments – ein roter Ball, ein blauer Ball, ein Ball mit der Nummer sechs usw.

Test Nr. 1. Es sind 6 Kugeln beteiligt, drei davon sind blau mit ungeraden Zahlen und die anderen drei sind rot mit geraden Zahlen.

Test Nr. 2. Es gibt 6 blaue Kugeln mit Zahlen von eins bis sechs.

Anhand dieses Beispiels können wir Kombinationen benennen:

• Zuverlässige Veranstaltung. In Spanisch Nr. 2 Das Ereignis „Hol dir den blauen Ball“ ist zuverlässig, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens gleich 1 ist, da alle Bälle blau sind und es keinen Fehlschlag geben kann. Das Ereignis „Erhalte den Ball mit der Nummer 1“ hingegen ist zufällig.
• Unmögliches Ereignis. In Spanisch Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, das Ereignis „die lila Kugel bekommen“ ist unmöglich, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens 0 ist.
• Ebenso mögliche Ereignisse. In Spanisch Nr. 1 sind die Ereignisse „Ball mit der Nummer 2 holen“ und „Ball mit der Nummer 3 holen“ ebenso möglich, wie auch die Ereignisse „Ball mit gerader Nummer holen“ und „Ball mit der Nummer 2 holen“. „haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
• Kompatible Ereignisse. Beim Würfeln zweimal hintereinander eine Sechs zu bekommen, ist ein kompatibles Ereignis.
• Inkompatible Ereignisse. Im gleichen Spanisch Nr. 1: Die Ereignisse „Erhalte einen roten Ball“ und „Erhalte einen Ball mit einer ungeraden Zahl“ können nicht im selben Erlebnis kombiniert werden.
• Gegensätzliche Ereignisse. Das auffälligste Beispiel hierfür ist das Münzwerfen, bei dem das Ziehen von „Kopf“ dem Nicht-Ziehen von „Zahl“ gleichkommt und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten immer 1 ist (vollständige Gruppe).
• Abhängige Ereignisse. Also auf Spanisch Nr. 1: Sie können das Ziel festlegen, den roten Ball zweimal hintereinander zu ziehen. Ob es beim ersten Mal abgerufen wird oder nicht, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal abgerufen zu werden.

Es ist ersichtlich, dass das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit des zweiten erheblich beeinflusst (40 % und 60 %).

Formel für die Ereigniswahrscheinlichkeit

Der Übergang von der Wahrsagerei zu präzisen Daten erfolgt durch die Übersetzung des Themas in eine mathematische Ebene. Das heißt, Urteile über ein zufälliges Ereignis wie „hohe Wahrscheinlichkeit“ oder „minimale Wahrscheinlichkeit“ können in spezifische numerische Daten übersetzt werden. Es ist bereits zulässig, solches Material auszuwerten, zu vergleichen und in komplexere Berechnungen einzubeziehen.

Aus rechnerischer Sicht ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl elementarer positiver Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Erfahrungsergebnisse bezüglich eines bestimmten Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit wird mit P(A) bezeichnet, wobei P für das Wort „probabilite“ steht, was aus dem Französischen mit „Wahrscheinlichkeit“ übersetzt wird.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lautet also:

Dabei ist m die Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis A und n die Summe aller möglichen Ergebnisse für dieses Erlebnis. In diesem Fall liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Beispiel

Nehmen wir Spanisch. Nr. 1 mit Kugeln, die bereits beschrieben wurde: 3 blaue Kugeln mit den Zahlen 1/3/5 und 3 rote Kugeln mit den Zahlen 2/4/6.

Basierend auf diesem Test können verschiedene Probleme berücksichtigt werden:

• A - roter Ball fällt heraus. Es gibt 3 rote Kugeln und insgesamt 6 Optionen. Dies ist das einfachste Beispiel, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(A)=3/6=0,5 beträgt.
• B – eine gerade Zahl würfeln. Es gibt 3 gerade Zahlen (2,4,6) und die Gesamtzahl der möglichen numerischen Optionen beträgt 6. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt P(B)=3/6=0,5.
• C – das Auftreten einer Zahl größer als 2. Es gibt 4 solcher Optionen (3,4,5,6) von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ist gleich P(C)=4 /6=0,67.

Wie aus den Berechnungen hervorgeht, hat Ereignis C eine höhere Wahrscheinlichkeit, da die Anzahl der wahrscheinlichen positiven Ausgänge höher ist als in A und B.

Inkompatible Ereignisse

Solche Ereignisse können nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten. Wie auf Spanisch Nr. 1: Es ist unmöglich, gleichzeitig einen blauen und einen roten Ball zu bekommen. Das heißt, Sie können entweder einen blauen oder einen roten Ball bekommen. Ebenso können bei einem Würfel nicht gleichzeitig eine gerade und eine ungerade Zahl vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe oder ihres Produkts betrachtet. Die Summe dieser Ereignisse A+B wird als ein Ereignis betrachtet, das aus dem Eintreten des Ereignisses A oder B besteht, und das Produkt AB ist das Eintreten beider. Zum Beispiel das gleichzeitige Erscheinen von zwei Sechsen auf den Seiten zweier Würfel in einem Wurf.

Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das das Eintreten mindestens eines von ihnen voraussetzt. Die Produktion mehrerer Ereignisse ist deren gemeinsames Auftreten.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet die Verwendung der Konjunktion „und“ in der Regel eine Summe und die Konjunktion „oder“ eine Multiplikation. Formeln mit Beispielen helfen Ihnen, die Logik der Addition und Multiplikation in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen.

Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse

Wenn die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse berücksichtigt wird, ist die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse gleich der Addition ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Zum Beispiel: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch. Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, es erscheint eine Zahl zwischen 1 und 4. Wir rechnen nicht in einem Zug, sondern durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarkomponenten. In einem solchen Experiment gibt es also nur 6 Bälle oder 6 aller möglichen Ergebnisse. Die Zahlen, die die Bedingung erfüllen, sind 2 und 3. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 zu erhalten, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu erhalten, beträgt ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 4 zu erhalten, beträgt:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse einer vollständigen Gruppe beträgt 1.

Wenn wir also in einem Experiment mit einem Würfel die Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Zahlen addieren, ist das Ergebnis eins.

Dies gilt auch für gegensätzliche Ereignisse, beispielsweise im Experiment mit einer Münze, bei der bekanntlich die eine Seite das Ereignis A und die andere das entgegengesetzte Ereignis Ā ist,

P(A) + P(Ā) = 1

Wahrscheinlichkeit des Auftretens inkompatibler Ereignisse

Die Wwird verwendet, wenn das Auftreten von zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen in einer Beobachtung berücksichtigt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass darin die Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten, ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, oder:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch Nr. 1: Als Ergebnis von zwei Versuchen erscheint zweimal ein blauer Ball, gleich

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wenn als Ergebnis von zwei Versuchen, Bälle zu extrahieren, nur blaue Bälle extrahiert werden, beträgt 25 %. Es ist sehr einfach, praktische Experimente zu diesem Problem durchzuführen und herauszufinden, ob dies tatsächlich der Fall ist.

Gemeinsame Veranstaltungen

Ereignisse gelten als gemeinsam, wenn das Eintreten eines von ihnen mit dem Eintreten eines anderen zusammenfallen kann. Obwohl sie gemeinsam sind, wird die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berücksichtigt. Beispielsweise kann das Werfen zweier Würfel ein Ergebnis ergeben, wenn auf beiden die Zahl 6 erscheint. Obwohl die Ereignisse zusammenfielen und gleichzeitig auftraten, sind sie unabhängig voneinander – es konnte nur eine Sechs herausfallen, der zweite Würfel hat keine Einfluss darauf.

Die Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe betrachtet.

Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse. Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse A und B, die im Verhältnis zueinander gemeinsam sind, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses abzüglich der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens (d. h. ihres gemeinsamen Eintretens):

R-Gelenk (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,4 beträgt. Dann trifft Ereignis A im ersten Versuch das Ziel, B im zweiten. Diese Ereignisse sind gemeinsam, da es möglich ist, dass Sie das Ziel sowohl mit dem ersten als auch mit dem zweiten Schuss treffen können. Aber Ereignisse sind nicht abhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mit zwei Schüssen (zumindest mit einem) das Ziel trifft? Nach der Formel:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Die Antwort auf die Frage lautet: „Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Schüssen das Ziel zu treffen, beträgt 64 %.“

Diese Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch auf inkompatible Ereignisse angewendet werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens eines Ereignisses P(AB) = 0 ist. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse als Sonderfall betrachtet werden kann der vorgeschlagenen Formel.

Geometrie der Wahrscheinlichkeit zur Verdeutlichung

Interessanterweise kann die Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse als zwei Bereiche A und B dargestellt werden, die sich überschneiden. Wie aus dem Bild ersichtlich ist, ist die Fläche ihrer Vereinigung gleich der Gesamtfläche abzüglich der Fläche ihres Schnittpunkts. Diese geometrische Erklärung macht die scheinbar unlogische Formel verständlicher. Beachten Sie, dass geometrische Lösungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie keine Seltenheit sind.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Summe vieler (mehr als zwei) gemeinsamer Ereignisse ist recht umständlich. Zur Berechnung müssen Sie die für diese Fälle bereitgestellten Formeln verwenden.

Abhängige Ereignisse

Ereignisse werden als abhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines (A) von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen (B) beeinflusst. Darüber hinaus wird der Einfluss sowohl des Eintretens des Ereignisses A als auch seines Nichteintretens berücksichtigt. Obwohl Ereignisse per Definition als abhängig bezeichnet werden, ist nur eines davon abhängig (B). Die gewöhnliche Wahrscheinlichkeit wurde als P(B) oder die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse bezeichnet. Im Fall abhängiger Ereignisse wird ein neues Konzept eingeführt – die bedingte Wahrscheinlichkeit P A (B), die die Wahrscheinlichkeit eines abhängigen Ereignisses B ist, abhängig vom Eintreten des Ereignisses A (Hypothese), von dem es abhängt.

Aber auch Ereignis A ist zufällig, hat also auch eine Wahrscheinlichkeit, die bei den durchgeführten Berechnungen berücksichtigt werden muss und berücksichtigt werden kann. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit abhängigen Ereignissen und einer Hypothese gearbeitet wird.

Ein Beispiel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit abhängiger Ereignisse

Ein gutes Beispiel für die Berechnung abhängiger Ereignisse wäre ein Standardkartenspiel.

Schauen wir uns am Beispiel eines Kartenspiels mit 36 ​​Karten die abhängigen Ereignisse an. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die zweite gezogene Karte aus Karo besteht, wenn die erste gezogene Karte wie folgt aussieht:

1. Bubnovaya.
2. Eine andere Farbe.

Offensichtlich hängt die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses B vom ersten A ab. Wenn also die erste Option zutrifft, also 1 Karte (35) und 1 Diamant (8) weniger im Stapel sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B:

R A (B) =8/35=0,23

Wenn die zweite Option wahr ist, das Deck 35 Karten hat und die volle Anzahl an Karos (9) noch erhalten bleibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses B:

R A (B) =9/35=0,26.

Es ist ersichtlich, dass, wenn Ereignis A davon abhängt, dass die erste Karte eine Karo ist, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B abnimmt und umgekehrt.

Abhängige Ereignisse multiplizieren

Basierend auf dem vorherigen Kapitel akzeptieren wir das erste Ereignis (A) als Tatsache, aber im Wesentlichen ist es zufälliger Natur. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, nämlich das Ziehen eines Diamanten aus einem Kartenspiel, ist gleich:

P(A) = 9/36=1/4

Da die Theorie nicht für sich allein existiert, sondern praktischen Zwecken dienen soll, kann man mit Recht anmerken, dass es am häufigsten auf die Wahrscheinlichkeit der Erzeugung abhängiger Ereignisse ankommt.

Nach dem Satz über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse ist die Eintrittswahrscheinlichkeit der gemeinsam abhängigen Ereignisse A und B gleich der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B (abhängig von A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Dann beträgt im Deckbeispiel die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit der Farbe Karo zu ziehen, wie folgt:

9/36*8/35=0,0571 oder 5,7 %

Und die Wahrscheinlichkeit, zuerst Diamanten und dann Diamanten zu gewinnen, ist gleich:

27/36*9/35=0,19 oder 19 %

Es ist ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B größer ist, sofern die erste gezogene Karte eine andere Farbe als Karo hat. Dieses Ergebnis ist durchaus logisch und verständlich.

Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wenn ein Problem mit bedingten Wahrscheinlichkeiten vielschichtig wird, kann es nicht mit herkömmlichen Methoden berechnet werden. Wenn es mehr als zwei Hypothesen gibt, nämlich A1, A2,…, A n, ..bildet eine vollständige Gruppe von Ereignissen, vorausgesetzt:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit für Ereignis B mit einer vollständigen Gruppe von Zufallsereignissen A1, A2,..., A n lautet also:

Ein Blick in die Zukunft

Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist in vielen Bereichen der Wissenschaft äußerst wichtig: Ökonometrie, Statistik, Physik usw. Da einige Prozesse nicht deterministisch beschrieben werden können, da sie selbst probabilistischer Natur sind, sind spezielle Arbeitsmethoden erforderlich. Die Theorie der Ereigniswahrscheinlichkeit kann in jedem technischen Bereich verwendet werden, um die Möglichkeit eines Fehlers oder einer Fehlfunktion zu bestimmen.

Wir können sagen, dass wir durch das Erkennen der Wahrscheinlichkeit in gewisser Weise einen theoretischen Schritt in die Zukunft machen und sie durch das Prisma der Formeln betrachten.

Bei Bei der Beurteilung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist es sehr wichtig, gut zu verstehen, ob die Wahrscheinlichkeit () des Eintritts des Ereignisses, an dem wir interessiert sind, davon abhängt, wie sich andere Ereignisse entwickeln.

Beim klassischen Schema, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, können wir die Wahrscheinlichkeitswerte des einzelnen für uns interessanten Ereignisses bereits unabhängig abschätzen. Wir können dies auch dann tun, wenn das Ereignis eine komplexe Ansammlung mehrerer elementarer Ergebnisse ist. Was passiert, wenn mehrere zufällige Ereignisse gleichzeitig oder nacheinander auftreten? Wie wirkt sich dies auf die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses aus, an dem wir interessiert sind?

Wenn ich mehrmals würfele und möchte, dass eine Sechs erscheint, und ich immer wieder Pech habe, heißt das, dass ich meinen Einsatz erhöhen sollte, weil ich laut Wahrscheinlichkeitstheorie kurz davor bin, Glück zu haben? Leider sagt die Wahrscheinlichkeitstheorie so etwas nicht aus. Keine Würfel, keine Karten, keine Münzen Ich kann mich nicht erinnern was sie uns letztes Mal gezeigt haben. Es ist ihnen völlig egal, ob ich heute zum ersten Mal oder zum zehnten Mal mein Glück auf die Probe stelle. Jedes Mal, wenn ich den Wurf wiederhole, weiß ich nur eines: Und dieses Mal beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu bekommen, wieder ein Sechstel. Das bedeutet natürlich nicht, dass die Nummer, die ich brauche, nie auftauchen wird. Das bedeutet nur, dass mein Verlust nach dem ersten Wurf und nach jedem anderen Wurf unabhängige Ereignisse sind.

Die Ereignisse A und B werden aufgerufen unabhängig, wenn die Umsetzung eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses in keiner Weise beeinflusst. Beispielsweise hängen die Wahrscheinlichkeiten, ein Ziel mit der ersten von zwei Waffen zu treffen, nicht davon ab, ob das Ziel von der anderen Waffe getroffen wurde, so dass die Ereignisse „die erste Waffe hat das Ziel getroffen“ und „die zweite Waffe hat das Ziel getroffen“ sind unabhängig.

Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind und die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen von ihnen bekannt ist, kann die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens von Ereignis A und Ereignis B (bezeichnet mit AB) mithilfe des folgenden Satzes berechnet werden.

Wahrscfür unabhängige Ereignisse

Beispiel.Die Trefferwahrscheinlichkeiten beim Abfeuern des ersten und zweiten Geschützes sind jeweils gleich: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit einer Salve durch beide Geschütze gleichzeitig.

Lösung: Wie wir bereits gesehen haben, sind die Ereignisse A (Treffer durch die erste Waffe) und B (Treffer durch die zweite Waffe) unabhängig, d. h. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Was passiert mit unseren Schätzungen, wenn die anfänglichen Ereignisse nicht unabhängig sind? Lassen Sie uns das vorherige Beispiel ein wenig ändern.

Beispiel.Bei einem Wettkampf schießen zwei Schützen auf Ziele, und wenn einer von ihnen genau schießt, wird der Gegner nervös und seine Ergebnisse verschlechtern sich. Wie lässt sich diese Alltagssituation in ein mathematisches Problem umwandeln und Lösungsansätze aufzeigen? Es ist intuitiv klar, dass es notwendig ist, die beiden Optionen für die Entwicklung von Ereignissen irgendwie zu trennen, um im Wesentlichen zwei Szenarien, zwei unterschiedliche Aufgaben zu schaffen. Im ersten Fall, wenn der Gegner verfehlt, ist das Szenario für den nervösen Athleten günstiger und seine Genauigkeit wird höher sein. Im zweiten Fall, wenn der Gegner seine Chance anständig genutzt hat, sinkt die Wahrscheinlichkeit, das Ziel für den zweiten Athleten zu treffen.

Um mögliche Szenarien (oft als Hypothesen bezeichnet) für die Entwicklung von Ereignissen zu trennen, verwenden wir häufig ein „Wahrscheinlichkeitsbaumdiagramm“. Dieses Diagramm hat eine ähnliche Bedeutung wie der Entscheidungsbaum, mit dem Sie sich wahrscheinlich bereits befasst haben. Jeder Zweig stellt ein eigenes Szenario für die Entwicklung von Ereignissen dar, nur hat er jetzt seine eigene Bedeutung des sogenannten bedingt Wahrscheinlichkeiten (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Dieses Schema ist sehr praktisch für die Analyse aufeinanderfolgender Zufallsereignisse.

Es bleibt noch eine weitere wichtige Frage zu klären: Woher kommen die Anfangswerte der Wahrscheinlichkeiten? reale Situationen ? Schließlich funktioniert die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht nur mit Münzen und Würfeln? Normalerweise basieren diese Schätzungen auf Statistiken. Wenn keine statistischen Informationen verfügbar sind, führen wir unsere eigenen Untersuchungen durch. Und oft müssen wir nicht mit dem Sammeln von Daten beginnen, sondern mit der Frage, welche Informationen wir tatsächlich benötigen.

Beispiel.Nehmen wir an, wir müssen in einer Stadt mit hunderttausend Einwohnern das Marktvolumen für ein neues Produkt abschätzen, das kein wesentlicher Bestandteil ist, beispielsweise für einen Balsam zur Pflege gefärbter Haare. Betrachten wir das Diagramm „Wahrscheinlichkeitsbaum“. In diesem Fall müssen wir den Wahrscheinlichkeitswert für jeden „Zweig“ ungefähr schätzen. Unsere Schätzungen der Marktkapazität:

1) 50 % aller Stadtbewohner sind Frauen,

2) Von allen Frauen färben sich nur 30 % häufig die Haare,

3) von ihnen verwenden nur 10 % Balsame für gefärbtes Haar,

4) von ihnen können nur 10 % den Mut aufbringen, ein neues Produkt auszuprobieren,

5) 70 % von ihnen kaufen in der Regel alles nicht bei uns, sondern bei unseren Konkurrenten.

Lösung: Nach dem Gesetz der Wermitteln wir die Wahrscheinlichkeit des für uns interessanten Ereignisses A = (ein Stadtbewohner kauft diesen neuen Balsam bei uns) = 0,00045.

Multiplizieren wir diesen Wahrscheinlichkeitswert mit der Anzahl der Stadtbewohner. Dadurch haben wir nur 45 potenzielle Kunden und wenn man bedenkt, dass eine Flasche dieses Produkts mehrere Monate reicht, ist der Handel nicht sehr lebhaft.

Dennoch gibt es einen gewissen Nutzen aus unseren Einschätzungen.

Erstens können wir Prognosen verschiedener Geschäftsideen vergleichen; sie werden unterschiedliche „Forks“ in den Diagrammen haben, und natürlich werden auch die Wahrscheinlichkeitswerte unterschiedlich sein.

Zweitens wird eine Zufallsvariable, wie wir bereits gesagt haben, nicht zufällig genannt, weil sie von überhaupt nichts abhängt. Nur sie genau Die Bedeutung ist nicht im Voraus bekannt. Wir wissen, dass die durchschnittliche Käuferzahl erhöht werden kann (z. B. durch Werbung für ein neues Produkt). Deshalb ist es sinnvoll, unsere Bemühungen auf die „Forks“ zu konzentrieren, bei denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht besonders zu uns passt, auf die Faktoren, die wir beeinflussen können.

Schauen wir uns ein weiteres quantitatives Beispiel der Verbraucherverhaltensforschung an.

Beispiel. Durchschnittlich besuchen 10.000 Menschen pro Tag den Lebensmittelmarkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Marktbesucher den Milchprodukte-Pavillon betritt, beträgt 1/2. Es ist bekannt, dass in diesem Pavillon täglich durchschnittlich 500 kg verschiedener Produkte verkauft werden.

Können wir sagen, dass der durchschnittliche Einkauf im Pavillon nur 100 g wiegt?

Diskussion. Natürlich nicht. Es ist klar, dass nicht jeder, der den Pavillon betrat, dort auch etwas kaufte.

Wie im Diagramm dargestellt, müssen wir zur Beantwortung der Frage nach dem durchschnittlichen Gewicht eines Einkaufs eine Antwort auf die Frage finden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Person, die den Pavillon betritt, dort etwas kauft. Wenn uns solche Daten nicht zur Verfügung stehen, wir sie aber benötigen, müssen wir sie selbst beschaffen, indem wir die Besucher des Pavillons eine Zeit lang beobachten. Nehmen wir an, unsere Beobachtungen hätten ergeben, dass nur ein Fünftel der Pavillonbesucher etwas kauft.

Sobald wir diese Schätzungen erhalten haben, wird die Aufgabe einfach. Von 10.000 Menschen, die auf den Markt kommen, gehen 5.000 zum Milchprodukte-Pavillon, es werden nur 1.000 Einkäufe getätigt. Das durchschnittliche Einkaufsgewicht beträgt 500 Gramm. Es ist interessant festzustellen, dass die Logik der bedingten „Verzweigung“ in jeder Phase unserer Argumentation so klar definiert werden muss, als ob wir mit einer „spezifischen“ Situation arbeiten würden, und nicht, um ein vollständiges Bild des Geschehens zu erstellen mit Wahrscheinlichkeiten.

Selbsttestaufgaben

1. Es sei ein Stromkreis vorhanden, der aus n in Reihe geschalteten Elementen besteht, die jeweils unabhängig voneinander funktionieren.

Die Ausfallwahrscheinlichkeit p jedes Elements ist bekannt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des ordnungsgemäßen Betriebs des gesamten Abschnitts der Schaltung (Ereignis A).

2. Der Student kennt 20 von 25 Prüfungsfragen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student die drei ihm vom Prüfer gestellten Fragen kennt.

3. Die Produktion besteht aus vier aufeinanderfolgenden Phasen, in denen jeweils Geräte betrieben werden, für die die Ausfallwahrscheinlichkeiten im nächsten Monat gleich P 1, P 2, P 3 bzw. P 4 sind. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Monat zu keinen Produktionsausfällen aufgrund von Geräteausfällen kommt.

Kurze Theorie

Um Ereignisse quantitativ nach dem Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu vergleichen, wird ein numerisches Maß eingeführt, das als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine Zahl, die das Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt.

Die Größen, die bestimmen, wie bedeutsam die objektiven Gründe für die Erwartung des Eintretens eines Ereignisses sind, werden durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses charakterisiert. Es muss betont werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine objektive Größe ist, die unabhängig vom Wissenden existiert und durch die Gesamtheit der Bedingungen bedingt ist, die zum Eintreten eines Ereignisses beitragen.

Die von uns gegebenen Erklärungen zum Begriff der Wahrscheinlichkeit stellen keine mathematische Definition dar, da sie den Begriff nicht quantifizieren. Es gibt mehrere Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses, die häufig zur Lösung spezifischer Probleme verwendet werden (klassische, geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit, Statistik usw.).

Klassische Definition der Ereigniswahrscheinlichkeit reduziert diesen Begriff auf den elementareren Begriff gleich möglicher Ereignisse, der keiner Definition mehr unterliegt und als intuitiv klar vorausgesetzt wird. Wenn es sich bei einem Würfel beispielsweise um einen homogenen Würfel handelt, ist der Verlust einer beliebigen Seite dieses Würfels ein ebenso mögliches Ereignis.

Ein zuverlässiges Ereignis sei in gleich mögliche Fälle unterteilt, deren Summe das Ereignis ergibt. Das heißt, die Fälle, in die es zerfällt, werden als günstig für das Ereignis bezeichnet, da das Erscheinen eines von ihnen das Eintreten sicherstellt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch das Symbol angegeben.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der dafür günstigen Fälle aus der Gesamtzahl der eindeutig möglichen, gleichermaßen möglichen und inkompatiblen Fälle zur Anzahl, d.h.

Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, ist es daher erforderlich, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests eine Menge eindeutig möglicher, gleichermaßen möglicher und inkompatibler Fälle zu finden und deren Gesamtzahl n, die Anzahl der Fälle, für die m günstig ist, zu berechnen ein bestimmtes Ereignis und führen Sie dann die Berechnung mit der obigen Formel durch.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, die dem Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen experimentellen Ergebnisse zur Gesamtzahl der experimentellen Ergebnisse entspricht, wird aufgerufen klassische Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis.

Aus der Definition ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeitseigenschaften:

Eigenschaft 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

Eigenschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Eigenschaft 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen Null und Eins.

Eigenschaft 4. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins.

Eigenschaft 5. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des gegenteiligen Ereignisses wird auf die gleiche Weise bestimmt wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A.

Die Anzahl der Fälle, die das Eintreten eines gegenteiligen Ereignisses begünstigen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des entgegengesetzten Ereignisses gleich der Differenz zwischen Eins und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A:

Ein wichtiger Vorteil der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses besteht darin, dass mit ihrer Hilfe die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ohne Rückgriff auf Erfahrung, sondern auf der Grundlage logischer Überlegungen bestimmt werden kann.

Wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, wird ein verlässliches Ereignis definitiv eintreten, aber ein unmögliches Ereignis wird definitiv nicht eintreten. Unter den Ereignissen, die eintreten können oder auch nicht, wenn eine Reihe von Bedingungen geschaffen wird, kann man mit dem Eintreten einiger mit gutem Grund und mit dem Eintreten anderer mit weniger Grund rechnen. Befinden sich in einer Urne beispielsweise mehr weiße als schwarze Kugeln, dann gibt es mehr Grund, auf das Erscheinen einer weißen Kugel zu hoffen, wenn sie zufällig aus der Urne gezogen wird, als auf das Erscheinen einer schwarzen Kugel.

Auf der nächsten Seite wird besprochen.

Beispiel einer Problemlösung

Beispiel 1

Eine Schachtel enthält 8 weiße, 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Es werden zufällig 3 Bälle gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: – es wird mindestens 1 roter Ball gezogen, – es gibt mindestens 2 Bälle derselben Farbe, – es gibt mindestens 1 roten und 1 weißen Ball.

Die Lösung des Problems

Wir ermitteln die Gesamtzahl der Testergebnisse als Anzahl der Kombinationen von 19 (8+4+7) Elementen von 3:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln– mindestens 1 rote Kugel wird gezogen (1,2 oder 3 rote Kugeln)

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– es gibt mindestens 2 gleichfarbige Bälle (2 oder 3 weiße Bälle, 2 oder 3 schwarze Bälle und 2 oder 3 rote Bälle)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– Es gibt mindestens eine rote und eine weiße Kugel

(1 rot, 1 weiß, 1 schwarz oder 1 rot, 2 weiß oder 2 rot, 1 weiß)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Antwort: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Beispiel 2

Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte mindestens 5 beträgt.

Lösung

Lassen Sie die Veranstaltung eine Punktzahl von mindestens 5 haben

Verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Gesamtzahl der möglichen Testergebnisse

Anzahl der Versuche, die das interessierende Ereignis begünstigen

Auf der fallengelassenen Seite des ersten Würfels können ein Punkt, zwei Punkte ..., sechs Punkte erscheinen. Ebenso sind beim zweiten Würfeln sechs Ergebnisse möglich. Jedes Ergebnis des ersten Würfels kann mit jedem Ergebnis des zweiten Würfels kombiniert werden. Somit ist die Gesamtzahl der möglichen Elementarprüfungsergebnisse gleich der Anzahl der Einstufungen mit Wiederholungen (Wahl mit Einstufungen von 2 Elementen aus einem Satz von Band 6):

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses ermitteln – die Summe der Punkte beträgt weniger als 5

Die folgenden Kombinationen verlorener Punkte begünstigen die Veranstaltung:

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Beispiele für verwandte Probleme

Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Bayes-Formel
Am Beispiel der Lösung eines Problems werden die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und die Bayes-Formel betrachtet und außerdem erklärt, was Hypothesen und bedingte Wahrscheinlichkeiten sind.

Um Ereignisse entsprechend dem Grad ihrer Möglichkeit quantitativ miteinander vergleichen zu können, ist es natürlich notwendig, jedem Ereignis eine bestimmte Zahl zuzuordnen, die umso größer ist, je wahrscheinlicher das Ereignis ist. Wir nennen diese Zahl die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Auf diese Weise, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für den Grad der objektiven Möglichkeit dieses Ereignisses.

Die erste Wahrscheinlichkeitsdefinition ist als die klassische zu betrachten, die aus der Analyse des Glücksspiels entstand und zunächst intuitiv angewendet wurde.

Die klassische Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung basiert auf dem Konzept gleichermaßen möglicher und unvereinbarer Ereignisse, die das Ergebnis einer bestimmten Erfahrung sind und eine vollständige Gruppe unvereinbarer Ereignisse bilden.

Das einfachste Beispiel für gleichermaßen mögliche und unvereinbare Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, ist das Erscheinen der einen oder anderen Kugel aus einer Urne, die mehrere Kugeln gleicher Größe, gleichen Gewichts und anderer greifbarer Eigenschaften enthält, die sich nur in der Farbe unterscheiden und vor dem Entfernen gründlich gemischt werden.

Daher soll ein Test, dessen Ergebnisse eine vollständige Gruppe inkompatibler und gleichermaßen möglicher Ereignisse bilden, auf ein Urnenmuster oder ein Fallmuster reduzierbar sein oder in das klassische Muster passen.

Ebenso mögliche und unvereinbare Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, werden einfach Fälle oder Zufälle genannt. Darüber hinaus können in jedem Experiment neben den einzelnen Fällen auch komplexere Ereignisse auftreten.

Beispiel: Beim Würfeln können wir neben den Fällen A i – der Verlust von i-Punkten auf der Oberseite, auch Ereignisse wie B – den Verlust einer geraden Anzahl von Punkten, C – den Verlust einer Anzahl von Punkten berücksichtigen Punkte, die ein Vielfaches von drei sind...

In Bezug auf jedes Ereignis, das während des Experiments auftreten kann, werden Fälle in unterteilt günstig, in dem dieses Ereignis eintritt, und ungünstig, in dem das Ereignis nicht eintritt. Im vorherigen Beispiel wird Ereignis B durch die Fälle A 2, A 4, A 6 begünstigt; Ereignis C - Fälle A 3, A 6.

Klassische Wahrscheinlichkeit Das Eintreten eines bestimmten Ereignisses wird als Verhältnis der Anzahl der für das Eintreten dieses Ereignisses günstigen Fälle zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen, inkompatiblen Fälle bezeichnet, die in einem bestimmten Experiment die Gesamtgruppe bilden:

Wo P(A)- Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A; M- die Anzahl der Fälle, die für Ereignis A günstig sind; N- Gesamtzahl der Fälle.

Beispiele:

1) (siehe Beispiel oben) P(B)= , P(C) =.

2) Die Urne enthält 9 rote und 6 blaue Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder zwei zufällig gezogene Kugeln rot sind.

A- eine zufällig gezogene rote Kugel:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- zwei zufällig gezogene rote Kugeln:

Aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition (zeigen Sie sich) ergeben sich folgende Eigenschaften:

1) Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0;

2) Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses beträgt 1;

3) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1;

4) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das dem Ereignis A entgegengesetzt ist,

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition geht davon aus, dass die Anzahl der Ergebnisse eines Versuchs endlich ist. In der Praxis kommt es sehr häufig zu Tests, deren Anzahl möglicher Fälle unendlich ist. Darüber hinaus besteht die Schwäche der klassischen Definition darin, dass es sehr oft unmöglich ist, das Ergebnis eines Tests in Form einer Reihe elementarer Ereignisse darzustellen. Noch schwieriger ist es, die Gründe anzugeben, die dafür sprechen, dass die elementaren Ergebnisse eines Tests gleichermaßen als möglich angesehen werden. Üblicherweise wird aus Symmetrieüberlegungen auf die Gleichmöglichkeit elementarer Testergebnisse geschlossen. Allerdings kommen solche Aufgaben in der Praxis nur sehr selten vor. Aus diesen Gründen werden neben der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit auch andere Definitionen der Wahrscheinlichkeit verwendet.

Statistische Wahrscheinlichkeit Ereignis A ist die relative Häufigkeit des Auftretens dieses Ereignisses in den durchgeführten Tests:

wo ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A;

Relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A;

Die Anzahl der Versuche, in denen Ereignis A auftrat;

Gesamtzahl der Versuche.

Im Gegensatz zur klassischen Wahrscheinlichkeit ist die statistische Wahrscheinlichkeit ein experimentelles Merkmal.

Beispiel: Um die Qualität von Produkten aus einer Charge zu kontrollieren, wurden 100 Produkte zufällig ausgewählt, von denen sich 3 Produkte als fehlerhaft herausstellten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Heirat.

.

Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung ist nur auf Ereignisse anwendbar, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Die betrachteten Ereignisse sollten nur die Ergebnisse von Tests sein, die unter den gleichen Bedingungen unbegrenzt oft reproduziert werden können.

Ereignisse müssen statistische Stabilität (oder Stabilität der relativen Häufigkeiten) aufweisen. Dies bedeutet, dass sich in verschiedenen Testreihen die relative Häufigkeit des Ereignisses kaum ändert.

Die Anzahl der Versuche, die zu Ereignis A führen, muss ziemlich groß sein.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die sich aus der klassischen Definition ergeben, auch in der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten bleiben.

Wenn eine Münze geworfen wird, können wir sagen, dass sie mit dem Kopf nach oben landet, oder Wahrscheinlichkeit das ist 1/2. Dies bedeutet natürlich nicht, dass eine Münze, wenn sie zehnmal geworfen wird, zwangsläufig fünfmal auf „Kopf“ landet. Wenn die Münze „fair“ ist und viele Male geworfen wird, wird „Kopf“ in der Hälfte der Fälle sehr nahe beieinander landen. Es gibt also zwei Arten von Wahrscheinlichkeiten: Experimental- Und theoretisch .

Experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeit

Wenn wir eine Münze sehr oft werfen – sagen wir 1000 – und zählen, wie oft sie auf „Kopf“ landet, können wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass sie auf „Kopf“ landet. Wenn der Kopf 503 Mal geworfen wird, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er landet:
503/1000 oder 0,503.

Das Experimental- Definition der Wahrscheinlichkeit. Diese Definition der Wahrscheinlichkeit stammt aus der Beobachtung und dem Studium von Daten und ist weit verbreitet und sehr nützlich. Hier sind zum Beispiel einige Wahrscheinlichkeiten, die experimentell ermittelt wurden:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau an Brustkrebs erkrankt, beträgt 1/11.

2. Wenn Sie jemanden küssen, der erkältet ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auch erkältet sind, 0,07.

3. Eine Person, die gerade aus dem Gefängnis entlassen wurde, hat eine 80-prozentige Chance, ins Gefängnis zurückzukehren.

Wenn wir darüber nachdenken, eine Münze zu werfen und berücksichtigen, dass es genauso wahrscheinlich ist, dass sie Kopf oder Zahl ergibt, können wir die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, berechnen: 1/2. Dies ist eine theoretische Definition der Wahrscheinlichkeit. Hier sind einige andere Wahrscheinlichkeiten, die theoretisch mithilfe der Mathematik ermittelt wurden:

1. Befinden sich 30 Personen in einem Raum, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag haben (ohne Jahreszahl), 0,706.

2. Während einer Reise lernst du jemanden kennen und während des Gesprächs entdeckst du, dass du einen gemeinsamen Freund hast. Typische Reaktion: „Das kann nicht sein!“ Tatsächlich ist dieser Ausdruck nicht passend, da die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses recht hoch ist – knapp über 22 %.

Somit werden experimentelle Wahrscheinlichkeiten durch Beobachtung und Datenerfassung ermittelt. Theoretische Wahrscheinlichkeiten werden durch mathematische Überlegungen bestimmt. Beispiele experimenteller und theoretischer Wahrscheinlichkeiten, wie die oben diskutierten, und insbesondere solche, die wir nicht erwarten, führen uns auf die Bedeutung des Studiums der Wahrscheinlichkeit aufmerksam. Sie fragen sich vielleicht: „Was ist wahre Wahrscheinlichkeit?“ Tatsächlich gibt es so etwas nicht. Wahrscheinlichkeiten innerhalb bestimmter Grenzen können experimentell ermittelt werden. Sie können mit den Wahrscheinlichkeiten, die wir theoretisch erhalten, übereinstimmen oder auch nicht. Es gibt Situationen, in denen es viel einfacher ist, eine Wahrscheinlichkeitsart zu bestimmen als eine andere. Beispielsweise würde es ausreichen, die Wahrscheinlichkeit einer Erkältung anhand der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Berechnung experimenteller Wahrscheinlichkeiten

Betrachten wir zunächst die experimentelle Definition der Wahrscheinlichkeit. Das Grundprinzip, nach dem wir solche Wahrscheinlichkeiten berechnen, ist folgendes.

Prinzip P (experimentell)

Wenn in einem Experiment, in dem n Beobachtungen gemacht werden, eine Situation oder ein Ereignis E m-mal in n Beobachtungen auftritt, dann wird die experimentelle Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P (E) = m/n genannt.

Beispiel 1 Soziologische Untersuchung. Es wurde eine experimentelle Studie durchgeführt, um die Anzahl der Linkshänder, Rechtshänder und Menschen zu ermitteln, deren beide Hände gleich entwickelt sind. Die Ergebnisse sind in der Grafik dargestellt.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Rechtshänder ist.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Linkshänder ist.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person beide Hände gleichermaßen fließend beherrscht.

d) Die meisten Turniere der Professional Bowling Association sind auf 120 Spieler begrenzt. Basierend auf den Daten dieses Experiments: Wie viele Spieler könnten Linkshänder sein?

Lösung

a) Die Zahl der Rechtshänder beträgt 82, die Zahl der Linkshänder beträgt 17 und die Zahl derer, die beide Hände gleichermaßen gut beherrschen, beträgt 1. Die Gesamtzahl der Beobachtungen beträgt 100. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dass eine Person Rechtshänder ist, ist P
P = 82/100 oder 0,82 oder 82 %.

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Linkshänder ist, ist P, wobei
P = 17/100 oder 0,17 oder 17 %.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person beide Hände gleichermaßen fließend beherrscht, ist P, wobei
P = 1/100 oder 0,01 oder 1 %.

d) 120 Bowler, und aus (b) können wir erwarten, dass 17 % Linkshänder sind. Von hier
17 % von 120 = 0,17,120 = 20,4,
das heißt, wir können davon ausgehen, dass etwa 20 Spieler Linkshänder sind.

Beispiel 2 Qualitätskontrolle . Für einen Hersteller ist es sehr wichtig, die Qualität seiner Produkte auf einem hohen Niveau zu halten. Tatsächlich stellen Unternehmen Qualitätskontrollinspektoren ein, um diesen Prozess sicherzustellen. Ziel ist es, möglichst wenig fehlerhafte Produkte zu produzieren. Da das Unternehmen jedoch täglich Tausende von Produkten produziert, kann es sich nicht leisten, jedes Produkt zu testen, um festzustellen, ob es fehlerhaft ist oder nicht. Um herauszufinden, wie viel Prozent der Produkte fehlerhaft sind, testet das Unternehmen deutlich weniger Produkte.
Das USDA verlangt, dass 80 % der von den Erzeugern verkauften Samen keimen müssen. Um die Qualität des von einem Agrarunternehmen produzierten Saatguts zu bestimmen, werden 500 der produzierten Samen gepflanzt. Danach keimten 417 Samen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Samen keimt?

b) Entsprechen die Samen den staatlichen Standards?

Lösung a) Wir wissen, dass von 500 gepflanzten Samen 417 gekeimt sind. Wahrscheinlichkeit der Samenkeimung P und
P = 417/500 = 0,834 oder 83,4 %.

b) Da der Anteil der gekeimten Samen wie gefordert über 80 % liegt, entsprechen die Samen den staatlichen Standards.

Beispiel 3 Einschaltquoten im Fernsehen. Laut Statistik gibt es in den Vereinigten Staaten 105.500.000 Haushalte mit Fernsehern. Wöchentlich werden Informationen über die Sendeprogramme gesammelt und verarbeitet. Innerhalb einer Woche schalteten 7.815.000 Haushalte die Hit-Comedy-Serie „Everybody Loves Raymond“ auf CBS und 8.302.000 Haushalte die Hit-Serie „Law & Order“ auf NBC ein (Quelle: Nielsen Media Research). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher eines Haushalts in einer bestimmten Woche „Everybody Loves Raymond“ oder „Law & Order“ läuft?

Lösung Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher in einem Haushalt auf „Everybody Loves Raymond“ eingestellt ist, beträgt P, und
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher des Haushalts auf Law & Order eingestellt war, beträgt P, und
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Diese Prozentsätze werden als Bewertungen bezeichnet.

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Angenommen, wir führen ein Experiment durch, beispielsweise das Werfen einer Münze oder eines Pfeils, das Ziehen einer Karte aus einem Stapel oder das Testen von Produkten auf Qualität am Fließband. Jedes mögliche Ergebnis eines solchen Experiments wird aufgerufen Exodus . Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum . Ereignis Es handelt sich um eine Menge von Ergebnissen, also um eine Teilmenge des Ergebnisraums.

Beispiel 4 Darts werfen. Angenommen, bei einem Dartwurfexperiment trifft ein Pfeil ein Ziel. Finden Sie Folgendes:

b) Ergebnisraum

Lösung
a) Die Ergebnisse sind: Schwarz treffen (B), Rot treffen (R) und Weiß treffen (B).

b) Der Ergebnisraum ist (Schwarz treffen, Rot treffen, Weiß treffen), was einfach als (H, K, B) geschrieben werden kann.

Beispiel 5 Würfeln. Ein Würfel ist ein Würfel mit sechs Seiten, auf denen sich jeweils ein bis sechs Punkte befinden.


Angenommen, wir werfen einen Würfel. Finden
a) Ergebnisse
b) Ergebnisraum

Lösung
a) Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ergebnisraum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, als P(E). Beispielsweise kann „die Münze wird auf dem Kopf landen“ mit H bezeichnet werden. Dann stellt P(H) die Wahrscheinlichkeit dar, dass die Münze auf dem Kopf landet. Wenn alle Ergebnisse eines Experiments die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben, spricht man von gleicher Wahrscheinlichkeit. Um die Unterschiede zwischen Ereignissen, die gleich wahrscheinlich sind, und Ereignissen, die dies nicht sind, zu erkennen, betrachten Sie das unten gezeigte Ziel.

Für Ziel A sind die Trefferereignisse für Schwarz, Rot und Weiß gleich wahrscheinlich, da die schwarzen, roten und weißen Sektoren gleich sind. Für Ziel B sind die Zonen mit diesen Farben jedoch nicht gleich, das heißt, es ist nicht gleich wahrscheinlich, sie zu treffen.

Prinzip P (Theoretisch)

Wenn ein Ereignis E auf m Arten von n möglichen, gleichwahrscheinlichen Ergebnissen aus dem Ergebnisraum S eintreten kann, dann theoretische Wahrscheinlichkeit Ereignisse, P(E) ist
P(E) = m/n.

Beispiel 6 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu würfeln, um eine 3 zu erhalten?

Lösung Beim Würfeln gibt es 6 gleichwahrscheinliche Ergebnisse und es gibt nur eine Möglichkeit, die Zahl 3 zu würfeln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit P P(3) = 1/6.

Beispiel 7 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln?

Lösung Das Ereignis ist das Werfen einer geraden Zahl. Dies kann auf drei Arten geschehen (wenn Sie eine 2, 4 oder 6 würfeln). Die Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse beträgt 6. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P(gerade) = 3/6 oder 1/2.

Wir werden eine Reihe von Beispielen verwenden, bei denen es um ein Standardkartenspiel mit 52 Karten geht. Dieses Deck besteht aus den in der Abbildung unten gezeigten Karten.

Beispiel 8 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten Kartenspiel ein Ass zu ziehen?

Lösung Es gibt 52 Ergebnisse (die Anzahl der Karten im Stapel), sie sind gleich wahrscheinlich (wenn der Stapel gut gemischt ist) und es gibt 4 Möglichkeiten, ein Ass zu ziehen, also nach dem P-Prinzip die Wahrscheinlichkeit
P(ein Ass ziehen) = 4/52 oder 1/13.

Beispiel 9 Angenommen, wir wählen, ohne hinzusehen, einen Ball aus einem Beutel mit 3 roten und 4 grünen Bällen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu wählen?

Lösung Es gibt 7 gleich wahrscheinliche Ergebnisse beim Ziehen einer beliebigen Kugel, und da es 3 Möglichkeiten gibt, eine rote Kugel zu ziehen, erhalten wir:
P(rote Kugelauswahl) = 3/7.

Die folgenden Aussagen sind Ergebnisse aus Prinzip P.

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

a) Wenn Ereignis E nicht eintreten kann, dann ist P(E) = 0.
b) Wenn Ereignis E sicher eintritt, dann ist P(E) = 1.
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis E eintritt, ist eine Zahl von 0 bis 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Beispielsweise ist es bei einem Münzwurf so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet, null ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze entweder Kopf oder Zahl ist, beträgt 1.

Beispiel 10 Nehmen wir an, dass aus einem 52-Karten-Deck 2 Karten gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei beiden um Spitzenwerte handelt?

Lösung Die Anzahl n der Möglichkeiten, aus einem gut gemischten Kartenspiel mit 52 Karten zwei Karten zu ziehen, beträgt 52 C 2 . Da 13 der 52 Karten Pik sind, beträgt die Anzahl der Möglichkeiten m, 2 Pik zu ziehen, 13 C 2 . Dann,
P(2 Peaks ziehen) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Beispiel 11 Angenommen, 3 Personen werden zufällig aus einer Gruppe von 6 Männern und 4 Frauen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen ausgewählt werden?

Lösung Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Gruppe von 10 Personen drei Personen auszuwählen, beträgt 10 C 3. Ein Mann kann auf 6 C 1-Arten ausgewählt werden, und zwei Frauen können auf 4 C 2-Arten ausgewählt werden. Nach dem Grundprinzip des Zählens beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, 1 Mann und 2 Frauen auszuwählen, 6 C 1. 4 C 2 . Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen ausgewählt werden
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Beispiel 12 Würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine 8 zu würfeln?

Lösung Jeder Würfel hat 6 mögliche Ergebnisse. Die Ergebnisse werden verdoppelt, d. h. es gibt 6,6 bzw. 36 Möglichkeiten, wie die Zahlen auf den beiden Würfeln erscheinen können. (Es ist besser, wenn die Würfel unterschiedlich sind, sagen wir, einer ist rot und der andere blau – das hilft, das Ergebnis besser zu visualisieren.)

Die Zahlenpaare, die zusammen 8 ergeben, sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Es gibt 5 Möglichkeiten, eine Summe von 8 zu erhalten, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 5/36.