Ermitteln des Winkels zwischen Ebenen (Diederwinkel). Mathe-Lektionsnotizen „Diederwinkel“

Der Winkel zwischen zwei verschiedenen Ebenen kann für jeden bestimmt werden relative Position Flugzeuge.

Ein trivialer Fall, wenn die Ebenen parallel sind. Dann wird der Winkel zwischen ihnen als gleich Null betrachtet.

Ein nicht trivialer Fall, wenn sich die Ebenen schneiden. Dieser Fall ist Gegenstand weiterer Diskussionen. Zuerst benötigen wir das Konzept eines Diederwinkels.

9.1 Diederwinkel

Ein Diederwinkel besteht aus zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Geraden (die als Kante des Diederwinkels bezeichnet wird). In Abb. 50 abgebildet Diederwinkel, gebildet aus Halbebenen und; Die Kante dieses Diederwinkels ist die diesen Halbebenen gemeinsame Gerade a.

Reis. 50. Diederwinkel

Der Diederwinkel kann in Grad oder Bogenmaß gemessen werden, kurz gesagt, geben Sie den Winkelwert des Diederwinkels ein. Dies geschieht wie folgt.

An der Kante des Diederwinkels, der durch die Halbebenen und gebildet wird, nehmen wir einen beliebigen Punkt M. Zeichnen wir die Strahlen MA und MB, die jeweils in diesen Halbebenen und senkrecht zur Kante liegen (Abb. 51).

Reis. 51. Linearer Diederwinkel

Der resultierende Winkel AMB ist der lineare Winkel des Diederwinkels. Der Winkel " = \AMB ist genau der Winkelwert unseres Diederwinkels.

Definition. Die Winkelgröße eines Diederwinkels ist die Größe des linearen Winkels eines gegebenen Diederwinkels.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich (schließlich ergeben sie sich durch Parallelverschiebung voneinander). Deshalb diese Definition richtig: Der Wert „ hängt nicht von der konkreten Wahl des Punktes M am Rand des Diederwinkels ab.

9.2 Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, erhält man vier Diederwinkel. Wenn sie alle die gleiche Größe haben (jeweils 90), dann heißen die Ebenen senkrecht; Der Winkel zwischen den Ebenen beträgt dann 90°.

Wenn nicht alle Diederwinkel gleich sind (d. h. es gibt zwei spitze und zwei stumpfe), dann ist der Winkel zwischen den Ebenen der Wert des spitzen Diederwinkels (Abb. 52).

Reis. 52. Winkel zwischen Ebenen

9.3 Beispiele für Problemlösungen

Schauen wir uns drei Probleme an. Der erste ist einfach, der zweite und dritte liegen ungefähr auf dem Niveau C2 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik.

Aufgabe 1. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Flächen eines regelmäßigen Tetraeders.

Lösung. Sei ABCD ein reguläres Tetraeder. Zeichnen wir die Mediane AM und DM der entsprechenden Flächen sowie die Höhe des Tetraeders DH ein (Abb. 53).

Reis. 53. Zu Aufgabe 1

Als Mediane sind AM und DM auch Höhen der gleichseitigen Dreiecke ABC und DBC. Daher ist der Winkel " = \AMD der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Flächen ABC und DBC gebildet wird. Wir finden ihn aus dem Dreieck DHM:

Antwort: arccos 1 3 .

Aufgabe 2. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD (mit Scheitelpunkt S) ist die Seitenkante gleich der Seite der Grundfläche. Punkt K ist die Mitte der Kante SA. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen

Lösung. Die Linie BC verläuft parallel zu AD und somit parallel zur Ebene ADS. Daher schneidet die Ebene KBC die Ebene ADS entlang der Geraden KL parallel zu BC (Abb. 54).

Reis. 54. Zu Aufgabe 2

In diesem Fall ist KL auch parallel zur Linie AD; deshalb KL Mittellinie Dreieck ADS und Punkt L ist der Mittelpunkt von DS.

Finden wir die Höhe der Pyramide SO. Sei N die Mitte von DO. Dann ist LN die Mittellinie des Dreiecks DOS und daher LN k SO. Das bedeutet, dass LN senkrecht zur Ebene ABC steht.

Vom Punkt N senken wir die Senkrechte NM auf die Gerade BC. Die Gerade NM ist die Projektion des geneigten LM auf die ABC-Ebene. Aus dem Drei-Senkrechten-Theorem folgt dann, dass LM auch senkrecht zu BC steht.

Somit ist der Winkel " = \LMN der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Halbebenen KBC und ABC gebildet wird. Wir werden diesen Winkel aus suchen rechtwinkliges Dreieck LMN.

Der Rand der Pyramide sei gleich a. Zuerst ermitteln wir die Höhe der Pyramide:

Lösung. Sei L der Schnittpunkt der Geraden A1 K und AB. Dann schneidet die Ebene A1 KC die Ebene ABC entlang der Geraden CL (Abb. 55).

A C

Reis. 55. Zu Aufgabe 3

Die Dreiecke A1 B1 K und KBL sind entlang des Schenkels gleich und scharfe Ecke. Daher sind die anderen Beine gleich: A1 B1 = BL.

Betrachten Sie die Dreiecks-ACL. Darin ist BA = BC = BL. Der Winkel CBL beträgt 120; daher ist \BCL = 30 . Außerdem ist \BCA = 60 . Daher ist \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Also, LC? Wechselstrom. Die Linie AC dient jedoch als Projektion der Linie A1 C auf die Ebene ABC. Mit dem Satz der drei Senkrechten schließen wir dann, dass LC ? A1 C.

Somit ist der Winkel A1 CA der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Halbebenen A1 KC und ABC gebildet wird. Dies ist der gewünschte Winkel. Aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck A1 AC sehen wir, dass es gleich 45 ist.

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Diese Lektion richtet sich an Selbststudium Thema „Diederwinkel“. In dieser Lektion lernen die Schüler eine der wichtigsten geometrischen Formen kennen, den Diederwinkel. Außerdem lernen wir in der Lektion, wie man den linearen Winkel des betrachteten Objekts bestimmt geometrische Figur und wie groß ist der Diederwinkel an der Basis der Figur?

Lassen Sie uns wiederholen, was ein Winkel in einer Ebene ist und wie er gemessen wird.

Reis. 1. Flugzeug

Betrachten wir die Ebene α (Abb. 1). Von Punkt UM zwei Strahlen gehen aus - OB Und OA.

Definition. Eine Figur, die aus zwei von einem Punkt ausgehenden Strahlen besteht, wird Winkel genannt.

Der Winkel wird in Grad und Bogenmaß gemessen.

Erinnern wir uns daran, was ein Bogenmaß ist.

Reis. 2. Bogenmaß

Wenn wir einen Mittelpunktswinkel haben, dessen Bogenlänge gleich dem Radius ist, dann wird ein solcher Mittelpunktswinkel als Winkel von 1 Bogenmaß bezeichnet. ,∠ AOB= 1 rad (Abb. 2).

Beziehung zwischen Bogenmaß und Grad.

froh.

Wir haben es verstanden, ich bin froh. (). Dann,

Definition. Diederwinkel eine durch eine gerade Linie gebildete Figur heißt A und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze A, nicht zur selben Ebene gehörend.

Reis. 3. Halbebenen

Betrachten wir zwei Halbebenen α und β (Abb. 3). Ihre gemeinsame Grenze ist A. Angegebene Zahl wird als Diederwinkel bezeichnet.

Terminologie

Die Halbebenen α und β sind die Flächen eines Diederwinkels.

Gerade A ist eine Kante eines Diederwinkels.

Auf einer gemeinsamen Kante A Diederwinkel, wählen Sie einen beliebigen Punkt UM(Abb. 4). In der Halbebene α vom Punkt UM die Senkrechte wiederherstellen OA zu einer geraden Linie A. Vom selben Punkt aus UM in der zweiten Halbebene β konstruieren wir eine Senkrechte OB bis zum Rand A. Habe einen Winkel AOB, der als linearer Winkel des Diederwinkels bezeichnet wird.

Reis. 4. Diederwinkelmessung

Beweisen wir die Gleichheit aller linearen Winkel für einen gegebenen Diederwinkel.

Nehmen wir einen Diederwinkel an (Abb. 5). Wählen wir einen Punkt UM und Punkt O 1 auf einer geraden Linie A. Konstruieren wir einen linearen Winkel, der dem Punkt entspricht UM, d.h. wir zeichnen zwei Senkrechte OA Und OB in den Ebenen α bzw. β zur Kante A. Wir verstehen den Winkel AOB- linearer Winkel des Diederwinkels.

Reis. 5. Veranschaulichung des Beweises

Von Punkt O 1 Zeichnen wir zwei Senkrechte OA 1 Und OB 1 bis zum Rand A in den Ebenen α bzw. β und wir erhalten den zweiten linearen Winkel A 1 O 1 B 1.

Strahlen O 1 A 1 Und OA gleichgerichtet, da sie in derselben Halbebene liegen und parallel zueinander sind wie zwei Senkrechte auf derselben Geraden A.

Ebenso Strahlen Ungefähr 1 in 1 Und OB sind co-regie, das heißt ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 als Winkel mit gleichgerichteten Seiten, was bewiesen werden musste.

Die Ebene des linearen Winkels steht senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Beweisen: A ⊥ AOB.

Reis. 6. Beweisdarstellung

Nachweisen:

OA ⊥ A Durch den Bau, OB ⊥ A konstruktionsbedingt (Abb. 6).

Wir finden, dass die Linie A senkrecht zu zwei Schnittlinien OA Und OB aus der Ebene AOB, was bedeutet, dass es gerade ist A senkrecht zur Ebene OAV, was bewiesen werden musste.

Ein Diederwinkel wird durch seinen linearen Winkel gemessen. Das bedeutet, dass ein linearer Winkel genauso viele Grad Bogenmaß enthält wie sein Diederwinkel ebenso viele Grad Bogenmaß enthält. Dementsprechend unterscheiden sie die folgenden Typen Diederwinkel.

Akut (Abb. 6)

Ein Diederwinkel ist spitz, wenn sein linearer Winkel spitz ist, d. h. .

Gerade (Abb. 7)

Ein Diederwinkel ist rechts, wenn sein linearer Winkel 90° beträgt – stumpf (Abb. 8)

Ein Diederwinkel ist stumpf, wenn sein linearer Winkel stumpf ist, d. h. .

Reis. 7. Rechter Winkel

Reis. 8. Stumpfer Winkel

Beispiele für die Konstruktion linearer Winkel in realen Figuren

ABCD- Tetraeder.

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AB.

Reis. 9. Illustration des Problems

Konstruktion:

Wir sprechen von einem Diederwinkel, der durch eine Kante gebildet wird AB und Kanten ABD Und ABC(Abb. 9).

Machen wir eine direkte DN senkrecht zur Ebene ABC, N- die Basis der Senkrechten. Lassen Sie uns eine Schräge zeichnen DM senkrecht zu einer Geraden AB,M- geneigter Sockel. Aus dem Satz der drei Senkrechten schließen wir, dass die Projektion eine Schräge ist NM auch senkrecht zur Linie AB.

Das heißt, vom Punkt her M zwei Senkrechte zur Kante werden wiederhergestellt AB auf zwei seiten ABD Und ABC. Wir haben den linearen Winkel erhalten DMN.

beachte das AB, eine Kante eines Diederwinkels, senkrecht zur Ebene des linearen Winkels, d. h. der Ebene DMN. Das Problem ist behoben.

Kommentar. Der Diederwinkel kann wie folgt bezeichnet werden: DABC, Wo

AB- Kante und Punkte D Und MIT liegen auf verschiedenen Seiten des Winkels.

2. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

Zeichnen wir eine Senkrechte DN zum Flugzeug ABC und geneigt DN senkrecht zu einer Geraden Wechselstrom. Mit dem Drei-Senkrechten-Theorem finden wir das heraus НN- Schrägprojektion DN zum Flugzeug ABC, auch senkrecht zur Linie Wechselstrom.DNH- linearer Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

In einem Tetraeder DABC alle Kanten sind gleich. Punkt M- Mitte der Rippe Wechselstrom. Beweisen Sie, dass der Winkel DMV- linearer Diederwinkel DUD, also ein Diederwinkel mit einer Kante Wechselstrom. Eines seiner Gesichter ist WechselstromD, zweite - DIA(Abb. 10).

Reis. 10. Illustration des Problems

Lösung:

Dreieck ADC- gleichseitig, DM- Median und damit Höhe. Bedeutet, DM ⊥ Wechselstrom. Ebenso Dreieck AINC- gleichseitig, INM- Median und damit Höhe. Bedeutet, VM ⊥ Wechselstrom.

Also vom Punkt her M Rippen Wechselstrom Der Diederwinkel stellte zwei Senkrechte wieder her DM Und VM zu dieser Kante in den Flächen des Diederwinkels.

Also, ∠ DMIN ist der lineare Winkel des Diederwinkels, der bewiesen werden musste.

Wir haben also den Diederwinkel definiert, den linearen Winkel des Diederwinkels.

In der nächsten Lektion werden wir uns mit der Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen befassen und dann lernen, was ein Diederwinkel an der Basis von Figuren ist.

Literaturverzeichnis zum Thema „Diederwinkel“, „Diederwinkel an der Basis geometrischer Figuren“

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Allgemeinbildung Bildungsinstitutionen/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S.: Abb.
2. Geometrie. 10. Klasse: Lehrbuch für Bildungsinstitutionen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Auflage, Stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 S.: Abb.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Hausaufgaben zum Thema „Diederwinkel“, Bestimmung des Diederwinkels am Fuß von Figuren

Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Profilebenen) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. – 5. Auflage, korrigiert und erweitert – M.: Mnemosyne, 2008. – 288 Seiten: Abb.

Aufgaben 2, 3 S. 67.

Was ist der lineare Diederwinkel? Wie baue ich es?

ABCD- Tetraeder. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante:

A) IND B) DMIT.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - Würfel Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels Ein 1 ABC mit Rippe AB. Bestimmen Sie das Gradmaß.

Die Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik beginnt in der Regel mit der Wiederholung grundlegender Formeln, darunter auch solcher, mit denen man den Winkel zwischen Ebenen bestimmen kann. Trotz der Tatsache, dass dieser Abschnitt der Geometrie darin ausreichend detailliert behandelt wird Lehrplan Viele Absolventen brauchen Wiederholungen Basismaterial. Wenn Gymnasiasten verstehen, wie man den Winkel zwischen Ebenen ermittelt, können sie bei der Lösung eines Problems schnell die richtige Antwort berechnen und sich darauf verlassen, bei den Ergebnissen des Bestehens des einheitlichen Staatsexamens gute Ergebnisse zu erhalten.

Hauptnuancen

Damit die Frage, wie man einen Diederwinkel findet, keine Schwierigkeiten bereitet, empfehlen wir, einem Lösungsalgorithmus zu folgen, der Ihnen bei der Bewältigung der Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens hilft.

Zuerst müssen Sie die Gerade bestimmen, entlang derer sich die Ebenen schneiden.

Dann müssen Sie einen Punkt auf dieser Linie auswählen und zwei Senkrechte dazu zeichnen.

Der nächste Schritt ist das Finden Trigonometrische Funktion Diederwinkel, der durch Senkrechte gebildet wird. Am bequemsten geht das mit Hilfe des resultierenden Dreiecks, zu dem auch der Winkel gehört.

Die Antwort ist der Wert des Winkels oder seine trigonometrische Funktion.

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Diederwinkel. Linearer Diederwinkel. Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die nicht zur selben Ebene gehören und eine gemeinsame Grenze haben – die Gerade a. Die einen Diederwinkel bildenden Halbebenen werden als Flächen bezeichnet, und die gemeinsame Grenze dieser Halbebenen wird als Kante des Diederwinkels bezeichnet. Der lineare Winkel eines Diederwinkels ist ein Winkel, dessen Seiten die Strahlen sind, entlang derer die Flächen des Diederwinkels von einer Ebene senkrecht zur Kante des Diederwinkels geschnitten werden. Jeder Diederwinkel hat eine beliebige Anzahl linearer Winkel: Durch jeden Punkt einer Kante kann man eine Ebene senkrecht zu dieser Kante zeichnen; Die Strahlen, entlang derer diese Ebene die Flächen eines Diederwinkels schneidet, bilden lineare Winkel.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich. Beweisen wir, dass, wenn die Diederwinkel, die durch die Ebene der Basis der Pyramide KABC und die Ebenen ihrer Seitenflächen gebildet werden, gleich sind, die Basis der vom Scheitelpunkt K gezogenen Senkrechten der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im Dreieck ABC ist.

Nachweisen. Konstruieren wir zunächst lineare Winkel mit gleichen Diederwinkeln. Per Definition muss die Ebene eines linearen Winkels senkrecht zur Kante des Diederwinkels stehen. Daher muss die Kante eines Diederwinkels senkrecht zu den Seiten des linearen Winkels stehen. Wenn KO senkrecht zur Basisebene steht, können wir OR senkrecht AC, OR senkrecht SV, OQ senkrecht AB zeichnen und dann die Punkte P, Q, R MIT Punkt K verbinden. Somit erstellen wir eine Projektion der geneigten RK, QK , RK, sodass die Kanten AC, NE, AB senkrecht zu diesen Projektionen stehen. Folglich stehen diese Kanten senkrecht zu den geneigten Kanten selbst. Und daher stehen die Ebenen der Dreiecke ROK, QOK, ROK senkrecht zu den entsprechenden Kanten des Diederwinkels und bilden die gleichen linearen Winkel, die in der Bedingung erwähnt werden. Rechtwinklige Dreiecke ROK, QOK, ROK sind kongruent (da sie einen gemeinsamen Schenkel OK haben und die diesem Schenkel gegenüberliegenden Winkel gleich sind). Daher gilt OR = OR = OQ. Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OP zeichnen, dann stehen die Seiten des Dreiecks ABC senkrecht zu den Radien OP, OR und OQ und sind daher tangential zu diesem Kreis.

Rechtwinkligkeit von Ebenen. Die Alpha- und Beta-Ebenen heißen senkrecht, wenn der lineare Winkel eines der an ihrem Schnittpunkt gebildeten Diederwinkel gleich 90 ist. Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen Wenn eine der beiden Ebenen durch eine Linie verläuft, die senkrecht zur anderen Ebene steht, dann stehen diese Ebenen senkrecht.

Die Abbildung zeigt ein rechteckiges Parallelepiped. Seine Grundflächen sind die Rechtecke ABCD und A1B1C1D1. Und die Seitenrippen AA1 BB1, CC1, DD1 stehen senkrecht zu den Basen. Daraus folgt, dass AA1 senkrecht zu AB steht, d. h. die Seitenfläche ist ein Rechteck. Somit ist es möglich, die Eigenschaften zu begründen rechteckiges Parallelepiped: In einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel.

Satz Das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen. Wenden wir uns noch einmal der Abbildung zu und beweisen, dass AC12 = AB2 + AD2 + AA12. Da die Kante CC1 senkrecht zur Basis ABCD steht, ist der Winkel ACC1 rechtwinklig. Aus dem rechtwinkligen Dreieck ACC1 erhalten wir unter Verwendung des Satzes des Pythagoras AC12 = AC2 + CC12. Aber AC ist eine Diagonale des Rechtecks ​​ABCD, also AC2 = AB2 + AD2. Außerdem ist CC1 = AA1. Daher AC12= AB2+AD2+AA12 Der Satz ist bewiesen.