Entwicklung in Potenzen von x. Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen

Erweiterung einer Funktion zu einer Taylor-, Maclaurin- und Laurent-Reihe auf einer Website zum Trainieren praktischer Fähigkeiten. Diese Reihenentwicklung einer Funktion ermöglicht es Mathematikern, den Näherungswert der Funktion an einem bestimmten Punkt in ihrem Definitionsbereich abzuschätzen. Es ist viel einfacher, einen solchen Funktionswert zu berechnen, als die Bredis-Tabelle zu verwenden, die im Zeitalter der Computertechnologie so irrelevant ist. Eine Funktion in eine Taylor-Reihe zu entwickeln bedeutet, die Koeffizienten der linearen Funktionen dieser Reihe zu berechnen und sie in die richtige Form zu schreiben. Die Schüler verwechseln diese beiden Reihen und verstehen nicht, was der allgemeine Fall und was ein Sonderfall der zweiten ist. Wir möchten Sie ein für alle Mal daran erinnern, dass die Maclaurin-Reihe ein Sonderfall der Taylor-Reihe ist, das heißt, dies ist die Taylor-Reihe, aber am Punkt x = 0. Alle kurzen Einträge zur Entwicklung bekannter Funktionen, wie e^x, Sin(x), Cos(x) und andere, das sind Taylor-Reihenentwicklungen, aber am Punkt 0 für das Argument. Für Funktionen eines komplexen Arguments ist die Laurent-Reihe das häufigste Problem in der TFCT, da sie eine zweiseitige unendliche Reihe darstellt. Es ist die Summe zweier Serien. Wir empfehlen Ihnen, sich direkt auf der Website ein Beispiel für die Zerlegung anzusehen; dies geht ganz einfach, indem Sie auf „Beispiel“ mit einer beliebigen Zahl und dann auf die Schaltfläche „Lösung“ klicken. Genau diese mit einer Majorisierungsreihe verbundene Erweiterung einer Funktion in eine Reihe begrenzt die ursprüngliche Funktion in einem bestimmten Bereich entlang der Ordinatenachse, wenn die Variable zum Abszissenbereich gehört. Die Vektoranalyse wird mit einer anderen interessanten Disziplin der Mathematik verglichen. Da jeder Begriff geprüft werden muss, nimmt der Prozess recht viel Zeit in Anspruch. Jede Taylor-Reihe kann einer Maclaurin-Reihe zugeordnet werden, indem x0 durch Null ersetzt wird. Bei einer Maclaurin-Reihe ist es jedoch manchmal nicht offensichtlich, die Taylor-Reihe in umgekehrter Reihenfolge darzustellen. Als ob dies in seiner reinen Form nicht erforderlich wäre, ist es für die allgemeine Selbstentwicklung interessant. Jede Laurent-Reihe entspricht einer zweiseitigen unendlichen Potenzreihe in ganzzahligen Potenzen von z-a, also einer Reihe desselben Taylor-Typs, die sich jedoch in der Berechnung der Koeffizienten geringfügig unterscheidet. Wir werden etwas später, nach mehreren theoretischen Berechnungen, über den Konvergenzbereich der Laurent-Reihe sprechen. Wie im letzten Jahrhundert lässt sich eine schrittweise Entwicklung einer Funktion zu einer Reihe kaum dadurch erreichen, dass man die Terme einfach auf einen gemeinsamen Nenner bringt, da die Funktionen in den Nennern nichtlinear sind. Bei der Formulierung von Problemen ist eine näherungsweise Berechnung des Funktionswerts erforderlich. Bedenken Sie, dass die Entwicklung in mehreren Schritten erfolgt, wenn das Argument einer Taylor-Reihe eine lineare Variable ist. Das Bild sieht jedoch völlig anders aus, wenn das Argument der zu erweiternden Funktion eine komplexe oder nichtlineare Funktion ist Die Darstellung einer solchen Funktion in einer Potenzreihe liegt auf der Hand, da es auf diese Weise einfach ist, an jedem Punkt im Definitionsbereich einen, wenn auch ungefähren, Wert zu berechnen, und zwar mit einem minimalen Fehler, der kaum Auswirkungen auf weitere Berechnungen hat. Dies gilt auch für die Maclaurin-Serie. wenn es notwendig ist, die Funktion am Nullpunkt zu berechnen. Allerdings wird hier die Laurent-Reihe selbst durch eine Erweiterung auf der Ebene mit imaginären Einheiten dargestellt. Auch die richtige Lösung des Problems im Gesamtprozess wird nicht ohne Erfolg bleiben. Dieser Ansatz ist in der Mathematik nicht bekannt, aber objektiv vorhanden. Als Ergebnis kann man auf die sogenannten punktweisen Teilmengen schließen, und bei der Entwicklung einer Funktion in einer Reihe muss man für diesen Prozess bekannte Methoden verwenden, beispielsweise die Anwendung der Ableitungstheorie. Wieder einmal sind wir davon überzeugt, dass der Lehrer Recht hatte, der seine Annahmen über die Ergebnisse der nachträglichen Berechnungen getroffen hat. Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe, die nach allen Kanonen der Mathematik erhalten wird, existiert und auf der gesamten numerischen Achse definiert ist. Vergessen Sie jedoch, liebe Benutzer des Site-Dienstes, nicht den Typ der ursprünglichen Funktion, da dies der Fall sein kann dass zunächst der Definitionsbereich der Funktion festgelegt werden muss, das heißt, die Punkte aufzuschreiben und von der weiteren Betrachtung auszuschließen, an denen die Funktion nicht im Bereich der reellen Zahlen definiert ist. Dies zeigt sozusagen Ihre Effizienz bei der Lösung des Problems. Die Konstruktion einer Maclaurin-Reihe mit einem Argumentwert von Null wird keine Ausnahme von dem Gesagten sein. Der Prozess, den Definitionsbereich einer Funktion zu finden, wurde nicht abgebrochen, und Sie müssen diese mathematische Operation mit aller Ernsthaftigkeit angehen. Im Fall einer Laurent-Reihe, die den Hauptteil enthält, wird der Parameter „a“ als isolierter singulärer Punkt bezeichnet und die Laurent-Reihe wird in einem Ring entwickelt – dies ist also der Schnittpunkt der Konvergenzbereiche ihrer Teile der entsprechende Satz folgt. Doch nicht alles ist so kompliziert, wie es einem unerfahrenen Studierenden auf den ersten Blick erscheinen mag. Nachdem Sie die Taylor-Reihe studiert haben, können Sie die Laurent-Reihe leicht verstehen – einen verallgemeinerten Fall für die Erweiterung des Zahlenraums. Jede Reihenentwicklung einer Funktion kann nur an einem Punkt im Definitionsbereich der Funktion durchgeführt werden. Eigenschaften von Funktionen wie Periodizität oder unendliche Differenzierbarkeit sollten berücksichtigt werden. Wir empfehlen Ihnen außerdem, die Tabelle der vorgefertigten Taylor-Reihenentwicklungen elementarer Funktionen zu verwenden, da eine Funktion durch bis zu Dutzende verschiedener Potenzreihen dargestellt werden kann, wie Sie mit unserem Online-Rechner sehen können. Die Online-Maclaurin-Reihe ist kinderleicht zu ermitteln. Wenn Sie den einzigartigen Website-Service nutzen, müssen Sie nur die richtige schriftliche Funktion eingeben und Sie erhalten die präsentierte Antwort in Sekundenschnelle, sie ist garantiert korrekt und aktuell eine einheitliche Schriftform. Sie können das Ergebnis direkt in eine saubere Kopie kopieren, um es dem Lehrer vorzulegen. Es wäre richtig, zunächst die Analytizität der betreffenden Funktion in Ringen zu bestimmen und dann eindeutig anzugeben, dass sie in allen solchen Ringen in einer Laurent-Reihe erweiterbar ist. Es ist wichtig, die Begriffe der Laurent-Reihe, die negative Kräfte enthalten, nicht aus den Augen zu verlieren. Konzentrieren Sie sich so weit wie möglich darauf. Nutzen Sie Laurents Theorem zur Entwicklung einer Funktion in ganzzahligen Potenzen.

16.1. Erweiterung elementarer Funktionen in Taylorreihen und

Maclaurin

Zeigen wir, dass eine beliebige Funktion auf einer Menge definiert ist
, in der Nähe des Punktes
hat viele Ableitungen und ist die Summe einer Potenzreihe:

dann können Sie die Koeffizienten dieser Reihe finden.

Ersetzen wir in einer Potenzreihe
. Dann
.

Finden wir die erste Ableitung der Funktion
:

Bei
:
.

Für die zweite Ableitung erhalten wir:

Bei
:
.

Fortsetzung dieses Vorgangs N sobald wir bekommen:
.

Somit haben wir eine Potenzreihe der Form erhalten:

,

Was heisst neben Taylor für Funktion
in der Nähe des Punktes
.

Ein Sonderfall der Taylor-Reihe ist Maclaurin-Reihe bei
:

Der Rest der Taylor (Maclaurin)-Reihe wird durch Verwerfen der Hauptreihe erhalten N erste Mitglieder und wird als bezeichnet
. Dann die Funktion
kann als Summe geschrieben werden N erste Mitglieder der Serie
und der Rest
:,

.

Der Rest ist normalerweise
in verschiedenen Formeln ausgedrückt.

Einer davon liegt in der Lagrange-Form vor:

, Wo
.
.

Beachten Sie, dass in der Praxis häufiger die Maclaurin-Reihe verwendet wird. Also, um die Funktion zu schreiben
in Form einer Potenzreihensumme ist es notwendig:

1) Finden Sie die Koeffizienten der Maclaurin (Taylor)-Reihe;

2) Finden Sie den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe;

3) Beweisen Sie, dass diese Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Satz1 (eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Maclaurin-Reihe). Sei der Konvergenzradius der Reihe
. Damit diese Reihe im Intervall konvergiert
Funktionieren
Es ist notwendig und ausreichend, dass die Bedingung erfüllt ist:
im angegebenen Intervall.

Satz 2. Wenn Ableitungen beliebiger Ordnung der Funktion
in irgendeinem Intervall
im absoluten Wert auf die gleiche Zahl begrenzt M, also
, dann in diesem Intervall die Funktion
kann zu einer Maclaurin-Serie erweitert werden.

Beispiel1 . Erweitern Sie in einer Taylor-Reihe um den Punkt
Funktion.

Lösung.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergenzregion
.

Beispiel2 . Erweitern Sie eine Funktion in einer Taylor-Reihe um einen Punkt
.

Lösung:

Finden Sie den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Stellen wir diese Werte in eine Reihe. Wir bekommen:

oder
.

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe. Nach dem d'Alembert-Test konvergiert eine Reihe, wenn

.

Daher für jeden Diese Grenze ist kleiner als 1 und daher beträgt der Konvergenzbereich der Reihe:
.

Betrachten wir einige Beispiele für die Maclaurin-Reihenentwicklung grundlegender Elementarfunktionen. Denken Sie daran, dass die Maclaurin-Reihe:

.

konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
.

Beachten Sie, dass zum Erweitern einer Funktion in eine Reihe Folgendes erforderlich ist:

a) Finden Sie die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe für diese Funktion;

b) Berechnen Sie den Konvergenzradius für die resultierende Reihe;

c) Beweisen Sie, dass die resultierende Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Beispiel 3. Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Berechnen wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

Dann haben die numerischen Koeffizienten der Reihe die Form:

für jeden N. Setzen wir die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten:

Finden wir den Konvergenzradius der resultierenden Reihe, nämlich:

.

Daher konvergiert die Reihe im Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion für beliebige Werte , denn in jedem Intervall
Funktion und seine absoluten Wertderivate sind in der Anzahl begrenzt .

Beispiel4 . Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

:

Es ist leicht zu erkennen, dass Ableitungen gerader Ordnung sind
, und die Ableitungen sind von ungerader Ordnung. Setzen wir die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten wir die Entwicklung:

Finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe. Laut d'Alemberts Zeichen:

für jeden . Daher konvergiert die Reihe im Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf Eins beschränkt sind.

Beispiel5 .
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Somit sind die Koeffizienten dieser Reihe:
Und
, somit:

Ähnlich wie in der vorherigen Zeile ist der Konvergenzbereich
. Die Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf Eins beschränkt sind.

Bitte beachten Sie, dass die Funktion
ungerade und Reihenentwicklung in ungeraden Potenzen, Funktion
– gerade und Erweiterung in eine Reihe in geraden Potenzen.

Beispiel6 . Binomialreihe:
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Daraus lässt sich Folgendes erkennen:

Setzen wir diese Koeffizientenwerte in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten wir die Entwicklung dieser Funktion in eine Potenzreihe:

Finden wir den Konvergenzradius dieser Reihe:

Daher konvergiert die Reihe im Intervall
. An den Grenzpunkten bei
Und
Abhängig vom Exponenten kann eine Reihe konvergieren oder auch nicht
.

Die untersuchte Reihe konvergiert im Intervall
Funktionieren
, also die Summe der Reihe
bei
.

Beispiel7 . Erweitern wir die Funktion in der Maclaurin-Reihe
.

Lösung.

Um diese Funktion zu einer Reihe zu erweitern, verwenden wir die Binomialreihe at
. Wir bekommen:

Basierend auf der Eigenschaft von Potenzreihen (eine Potenzreihe kann im Bereich ihrer Konvergenz integriert werden) ermitteln wir das Integral der linken und rechten Seite dieser Reihe:

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe:
,

das heißt, der Konvergenzbereich dieser Reihe ist das Intervall
. Bestimmen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Bei

. Diese Reihe ist eine harmonische Reihe, das heißt sie divergiert. Bei
wir erhalten eine Zahlenreihe mit einem gemeinsamen Term
.

Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Test. Somit ist der Konvergenzbereich dieser Reihe das Intervall
.

16.2. Anwendung von Potenzreihen in Näherungsrechnungen

Bei Näherungsrechnungen spielen Potenzreihen eine äußerst wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe wurden Tabellen trigonometrischer Funktionen, Logarithmentabellen, Wertetabellen anderer Funktionen erstellt, die in verschiedenen Wissensgebieten, beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik, verwendet werden. Darüber hinaus ist die Entwicklung von Funktionen in eine Potenzreihe für deren theoretisches Studium nützlich. Das Hauptproblem bei der Verwendung von Potenzreihen in Näherungsrechnungen ist die Frage der Abschätzung des Fehlers beim Ersetzen der Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten N Mitglieder.

Betrachten wir zwei Fälle:

die Funktion wird zu einer vorzeichenwechselnden Reihe erweitert;

Die Funktion wird zu einer Reihe konstanter Vorzeichen erweitert.

Berechnung mit alternierenden Reihen

Lassen Sie die Funktion
zu einer Wechselstromreihe erweitert. Dann wird diese Funktion für einen bestimmten Wert berechnet wir erhalten eine Zahlenreihe, auf die wir das Leibniz-Kriterium anwenden können. Nach diesem Kriterium wird die Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten ersetzt N Terme, dann überschreitet der absolute Fehler nicht den ersten Term des Rests dieser Reihe, das heißt:
.

Beispiel8 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,0001.

Lösung.

Wir werden dafür die Maclaurin-Reihe verwenden
, Ersetzen des Winkelwerts im Bogenmaß:

Wenn wir den ersten und zweiten Term der Reihe mit einer bestimmten Genauigkeit vergleichen, dann: .

Dritte Expansionsperiode:

kleiner als die angegebene Berechnungsgenauigkeit. Daher berechnen
es reicht also aus, zwei Terme der Serie stehen zu lassen

.

Auf diese Weise
.

Beispiel9 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,001.

Lösung.

Wir verwenden die Binomialreihenformel. Dazu schreiben wir
als:
.

In diesem Ausdruck
,

Vergleichen wir jeden Term der Reihe mit der angegebenen Genauigkeit. Es ist klar, dass
. Daher berechnen
es reicht aus, drei Terme der Serie zu verlassen.

oder
.

Berechnung anhand positiver Reihen

Beispiel10 . Anzahl berechnen mit einer Genauigkeit von 0,001.

Lösung.

In einer Zeile für eine Funktion
lasst uns ersetzen
. Wir bekommen:

Schätzen wir den Fehler ab, der entsteht, wenn die Summe einer Reihe durch die Summe der ersten ersetzt wird Mitglieder. Schreiben wir die offensichtliche Ungleichung auf:

das ist 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Je nach Problem müssen Sie es finden N so dass die folgende Ungleichung gilt:
oder
.

Das lässt sich leicht überprüfen, wenn N= 6:
.

Somit,
.

Beispiel11 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,0001.

Lösung.

Beachten Sie, dass man zur Berechnung von Logarithmen eine Reihe für die Funktion verwenden kann
, aber diese Reihe konvergiert sehr langsam und um die angegebene Genauigkeit zu erreichen, müssten 9999 Terme verwendet werden! Daher wird zur Berechnung von Logarithmen in der Regel eine Reihe für die Funktion verwendet
, was auf dem Intervall konvergiert
.

Rechnen wir
mit dieser Serie. Lassen
, Dann .

Somit,
,

Um zu berechnen
Bilden Sie mit einer bestimmten Genauigkeit die Summe der ersten vier Terme:
.

Rest der Serie
lass es uns wegwerfen. Schätzen wir den Fehler ab. Es ist klar, dass

oder
.

Somit reichte es in der zur Berechnung verwendeten Reihe aus, nur die ersten vier Terme anstelle von 9999 in der Reihe für die Funktion zu verwenden
.

Fragen zur Selbstdiagnose

1. Was ist eine Taylor-Reihe?

2. Welche Form hatte die Maclaurin-Reihe?

3. Formulieren Sie einen Satz über die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

4. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Hauptfunktionen auf.

5. Geben Sie die Konvergenzbereiche der betrachteten Reihe an.

6. Wie kann der Fehler bei Näherungsberechnungen mithilfe von Potenzreihen abgeschätzt werden?

In der Theorie der Funktionsreihen nimmt der Abschnitt über die Entwicklung einer Funktion zu einer Reihe den zentralen Platz ein.

Damit ist die Aufgabe gestellt: für eine gegebene Funktion Wir müssen eine solche Potenzreihe finden

die in einem bestimmten Intervall konvergierte und deren Summe gleich war
, diese.

= ..

Diese Aufgabe heißt das Problem der Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe.

Eine notwendige Bedingung für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Potenzreihe ist seine Differenzierbarkeit unendlich oft – dies folgt aus den Eigenschaften konvergenter Potenzreihen. Diese Bedingung ist in der Regel für Elementarfunktionen in ihrem Definitionsbereich erfüllt.

Nehmen wir also an, dass die Funktion
hat Derivate beliebiger Ordnung. Ist es möglich, sie zu einer Potenzreihe zu erweitern? Wenn ja, wie können wir diese Reihe finden? Der zweite Teil des Problems ist einfacher zu lösen, also fangen wir damit an.

Nehmen wir an, dass die Funktion
kann als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden, die in dem Intervall konvergiert, das den Punkt enthält X 0 :

= .. (*)

Wo A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – (noch) unbekannte Koeffizienten.

Setzen wir den Wert in Gleichheit (*). x = x 0 , dann bekommen wir

.

Differenzieren wir die Potenzreihe (*) Term für Term

= ..

und hier glauben x = x 0 , wir bekommen

.

Mit der nächsten Differentiation erhalten wir die Reihe

= ..

glauben x = x 0 , wir bekommen
, Wo
.

Nach P-Mehrfachdifferenzierung erhalten wir

Angenommen, in der letzten Gleichheit x = x 0 , wir bekommen
, Wo

Die Koeffizienten werden also gefunden

,
,
, …,
,….,

Wenn wir which in die Reihe (*) einsetzen, erhalten wir

Die resultierende Reihe heißt neben Taylor für Funktion
.

Damit haben wir das festgestellt wenn die Funktion zu einer Potenzreihe in Potenzen (x - x) entwickelt werden kann 0 ), dann ist diese Entwicklung eindeutig und die resultierende Reihe ist notwendigerweise eine Taylor-Reihe.

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für jede Funktion erhalten werden kann, die an dem Punkt Ableitungen beliebiger Ordnung hat x = x 0 . Dies bedeutet jedoch nicht, dass zwischen der Funktion und der resultierenden Reihe ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann, d. h. dass die Summe der Reihe gleich der ursprünglichen Funktion ist. Erstens kann eine solche Gleichheit nur im Konvergenzbereich sinnvoll sein, und die für die Funktion erhaltene Taylor-Reihe kann divergieren, und zweitens, wenn die Taylor-Reihe konvergiert, stimmt ihre Summe möglicherweise nicht mit der ursprünglichen Funktion überein.

3.2. Ausreichende Bedingungen für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, mit deren Hilfe die Aufgabe gelöst wird.

Wenn die Funktion
in einer Umgebung von Punkt x 0 hat Derivate bis zu (N+ 1) der Ordnung inklusive, dann haben wir in dieser NachbarschaftFormel Taylor

WoR N (X)-der Restterm der Taylor-Formel – hat die Form (Lagrange-Form)

Wo Punktξ liegt zwischen x und x 0 .

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Taylor-Formel gibt: Die Taylor-Formel ist eine endliche Summe, d. h. P - Feste Nummer.

Denken Sie daran, dass die Summe der Reihe S(X) kann als Grenzwert einer Funktionsfolge von Teilsummen definiert werden S P (X) in einem gewissen Abstand X:

.

Demnach bedeutet die Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe, eine solche Reihe für jede zu finden XX

Schreiben wir Taylors Formel in der Form wo

beachte das
Definiert den Fehler, den wir erhalten. Ersetzen Sie die Funktion F(X) Polynom S N (X).

Wenn
, Das
,diese. Die Funktion wird zu einer Taylor-Reihe entwickelt. Umgekehrt, wenn
, Das
.

So haben wir es bewiesen Kriterium für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Damit die Funktion gewährleistet istF(x) entwickelt sich zu einer Taylor-Reihe, es ist notwendig und ausreichend, dass auf diesem Intervall
, WoR N (X) ist der Restterm der Taylor-Reihe.

Mit dem formulierten Kriterium kann man erhalten ausreichendBedingungen für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Wenn drineine Umgebung von Punkt x 0 die Absolutwerte aller Ableitungen der Funktion sind auf die gleiche Zahl M begrenzt≥ 0, d.h.

, To In dieser Umgebung entwickelt sich die Funktion zu einer Taylor-Reihe.

Daraus folgt AlgorithmusFunktionserweiterung F(X) in der Taylor-Reihe in der Nähe eines Punktes X 0 :

1. Ableitungen von Funktionen finden F(X):

f(x), f’(x), f“(x), f’“(x), f (N) (X),…

2. Berechnen Sie den Wert der Funktion und die Werte ihrer Ableitungen am Punkt X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f“(x 0 ), f’“(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Wir schreiben die Taylor-Reihe formal und ermitteln den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe.

4. Wir prüfen die Erfüllung ausreichender Bedingungen, d.h. Wir legen fest, wofür X aus der Konvergenzregion, Restterm R N (X) tendiert gegen Null als
oder
.

Die Entwicklung von Funktionen zu einer Taylor-Reihe mit diesem Algorithmus heißt Erweiterung einer Funktion in eine Taylor-Reihe per Definition oder direkte Zersetzung.

Studierende der höheren Mathematik sollten wissen, dass sich die Summe einer bestimmten Potenzreihe, die zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehört, als stetige und unbegrenzt oft differenzierte Funktion erweist. Es stellt sich die Frage: Kann man sagen, dass eine gegebene beliebige Funktion f(x) die Summe einer bestimmten Potenzreihe ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann die Funktion f(x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung dieser Frage liegt darin, dass es möglich ist, die Funktion f(x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme einer Potenzreihe, also ein Polynom, zu ersetzen. Dieses Ersetzen einer Funktion durch einen eher einfachen Ausdruck – ein Polynom – ist auch bei der Lösung bestimmter Probleme praktisch, nämlich beim Lösen von Integralen, beim Berechnen usw.

Es wurde bewiesen, dass für eine bestimmte Funktion f(x), in der es möglich ist, Ableitungen bis zur (n+1)-ten Ordnung, einschließlich der letzten, in der Umgebung von (α - R; x 0 + R.) zu berechnen ) Irgendwann x = α, es ist wahr, dass die Formel:

Diese Formel ist nach der berühmten Wissenschaftlerin Brooke Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen Reihe entsteht, wird Maclaurin-Reihe genannt:

Die Regel, die es ermöglicht, eine Erweiterung in einer Maclaurin-Reihe durchzuführen:

1. Bestimmen Sie Ableitungen erster, zweiter, dritter... Ordnung.
2. Berechnen Sie, wie groß die Ableitungen bei x=0 sind.
3. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion auf und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
4. Bestimmen Sie das Intervall (-R;R), in dem der Rest der Maclaurin-Formel liegt

R n (x) -> 0 bei n -> unendlich. Wenn eine existiert, muss die darin enthaltene Funktion f(x) mit der Summe der Maclaurin-Reihe übereinstimmen.

Betrachten wir nun die Maclaurin-Reihe für einzelne Funktionen.

1. Das erste ist also f(x) = e x. Natürlich hat eine solche Funktion aufgrund ihrer Eigenschaften Ableitungen sehr unterschiedlicher Ordnung und f (k) (x) = e x , wobei k gleich alle ist. Ersetzen Sie x = 0. Wir bekommen f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Basierend auf dem oben Gesagten sieht die Reihe e x so aus:

2. Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = sin x. Lassen Sie uns sofort klarstellen, dass die Funktion für alle Unbekannten zusätzlich Ableitungen haben wird: f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), wobei k gleich einer beliebigen natürlichen Zahl ist. Das heißt, nach einfachen Berechnungen können wir zu kommen die Schlussfolgerung, dass die Reihe für f(x) = sin x so aussehen wird:

3. Versuchen wir nun, die Funktion f(x) = cos x zu betrachten. Für alle Unbekannten gibt es Ableitungen beliebiger Ordnung und |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Daher haben wir die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die in einer Maclaurin-Reihe erweitert werden können, sie werden jedoch für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Teil der praktischen Arbeit zur Lösung von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also Taylor-Reihe.

1. Die erste wird die Reihe für die Funktion f(x) = ln(1+x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir für das gegebene f(x) = ln(1+x) die Reihe unter Verwendung der allgemeinen Form der Maclaurin-Reihe addieren. Für diese Funktion kann die Maclaurin-Reihe jedoch viel einfacher erhalten werden. Durch die Integration einer bestimmten geometrischen Reihe erhalten wir eine Reihe für f(x) = ln(1+x) einer solchen Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel abschließend sein wird, wird die Reihe für f(x) = arctan x sein. Für x, das zum Intervall [-1;1] gehört, gilt die Entwicklung:

Das ist alles. Dieser Artikel untersuchte die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere in Wirtschaftswissenschaften und technischen Universitäten.

Wenn die Funktion f(x) Ableitungen aller Ordnungen in einem bestimmten Intervall hat, das den Punkt a enthält, kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:
,
Wo r n– der sogenannte Restterm oder Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:
, wobei die Zahl x zwischen x und a liegt.

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Wenn für einen gewissen Wert X r n→0 um N→∞, dann wird die Taylor-Formel im Limes für diesen Wert konvergent Taylor-Reihe:
,
Somit kann die Funktion f(x) am betrachteten Punkt x zu einer Taylor-Reihe entwickelt werden, wenn:
1) Es gibt Derivate aller Ordnungen;
2) Die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Wenn a = 0 ist, erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:
,
Erweiterung der einfachsten (Elementar-)Funktionen der Maclaurin-Reihe:
Exponentialfunktionen
, R=∞
Trigonometrische Funktionen
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Die Funktion actgx expandiert nicht in Potenzen von x, weil ctg0=∞
Hyperbolische Funktionen


Logarithmische Funktionen
, -1
Binomialreihe
.

Beispiel Nr. 1. Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe f(x)= 2X.
Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X ln 2 2, F""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Taylor-Reihenformel einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, daher gilt diese Entwicklung für -∞<X<+∞.

Beispiel Nr. 2. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( X+4) für Funktion f(x)= e X.
Lösung. Finden der Ableitungen der Funktion e X und ihre Werte an der Stelle X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, F"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, F""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Daher hat die erforderliche Taylor-Reihe der Funktion die Form:

Diese Entwicklung gilt auch für -∞<X<+∞.

Beispiel Nr. 3. Erweitern Sie eine Funktion f(x)=ln X in einer Potenzreihe ( X- 1),
(d. h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes X=1).
Lösung. Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Wenn wir diese Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test können Sie überprüfen, ob die Reihe bei ½x-1½ konvergiert<1 . Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt. Bei x=0 ist die Funktion nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).

Beispiel Nr. 4. Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe.
Lösung. In Erweiterung (1) ersetzen wir x durch -x 2, wir erhalten:
, -∞

Beispiel Nr. 5. Erweitern Sie die Funktion zu einer Maclaurin-Reihe.
Lösung. Wir haben
Mit Formel (4) können wir schreiben:

Wenn wir in der Formel –x anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Von hier aus finden wir: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Wenn wir die Klammern öffnen, die Begriffe der Reihe neu anordnen und ähnliche Begriffe hinzufügen, erhalten wir
. Diese Reihe konvergiert im Intervall (-1;1), da sie aus zwei Reihen gewonnen wird, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .
Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen zu einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d. h. zur Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Dazu ist es notwendig, solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchzuführen, um eine der Funktionen (1)–(5) zu erhalten, in denen stattdessen X kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl und m eine positive ganze Zahl ist. Oft ist es praktisch, eine Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion bezüglich t in der Maclaurin-Reihe.

Diese Methode basiert auf dem Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Der Kern dieses Satzes besteht darin, dass in der Umgebung desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die zu derselben Funktion konvergieren würden, unabhängig davon, wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel Nr. 5a. Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe und geben Sie den Konvergenzbereich an.
Lösung. Zuerst finden wir 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
zu elementar:

Der Bruch 3/(1-3x) kann als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit einem Nenner von 3x betrachtet werden, wenn |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

mit Konvergenzgebiet |x|< 1/3.

Beispiel Nr. 6. Erweitern Sie die Funktion zu einer Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x = 3.
Lösung. Dieses Problem lässt sich wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe lösen, für die wir die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei finden müssen X=3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Erweiterung (5) zu verwenden:
=
Die resultierende Reihe konvergiert bei oder –3

Beispiel Nr. 7. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen (x -1) der Funktion ln(x+2) .
Lösung.


Die Reihe konvergiert bei , oder -2< x < 5.

Beispiel Nr. 8. Erweitern Sie die Funktion f(x)=sin(πx/4) in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x =2.
Lösung. Machen wir die Ersetzung t=x-2:

Unter Verwendung der Erweiterung (3), in der wir π / 4 t anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Die resultierende Reihe konvergiert bei -∞ gegen die gegebene Funktion< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Auf diese Weise,
, (-∞

Näherungsberechnungen mit Potenzreihen

• Wenn die resultierende Reihe alternierend ist, wird die folgende Eigenschaft verwendet: Bei einer alternierenden Reihe, die die Leibniz-Bedingungen erfüllt, überschreitet der Rest der Reihe in absoluten Werten nicht den ersten verworfenen Term.
• Wenn eine bestimmte Reihe ein konstantes Vorzeichen hat, wird die Reihe, die aus verworfenen Termen besteht, mit einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge verglichen.
• Im allgemeinen Fall können Sie zur Schätzung des Rests der Taylor-Reihe die Lagrange-Formel verwenden: a X ).

Beispiel Nr. 1. Berechnen Sie ln(3) auf 0,01 genau.
Lösung. Verwenden wir die Erweiterung mit x=1/2 (siehe Beispiel 5 im vorherigen Thema):

Prüfen wir, ob wir den Rest nach den ersten drei Termen der Entwicklung verwerfen können; dazu werten wir ihn anhand der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge aus:

Wir können diesen Rest also verwerfen und erhalten

Beispiel Nr. 2. Berechnen Sie auf 0,0001 genau.
Lösung. Verwenden wir die Binomialreihe. Da 5 3 die Potenz einer ganzen Zahl ist, die 130 am nächsten kommt, empfiehlt es sich, die Zahl 130 als 130 = 5 3 +5 darzustellen.



da bereits der vierte Term der resultierenden alternierenden Reihe, der das Leibniz-Kriterium erfüllt, geringer ist als die erforderliche Genauigkeit:
, sodass es und die darauf folgenden Begriffe verworfen werden können.
Viele praktisch notwendige bestimmte oder uneigentliche Integrale können nicht mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet werden, da ihre Anwendung mit der Suche nach der Stammfunktion verbunden ist, die in Elementarfunktionen häufig keinen Ausdruck findet. Es kommt auch vor, dass die Suche nach einer Stammfunktion zwar möglich, aber unnötig arbeitsintensiv ist. Wenn jedoch die Integrandenfunktion zu einer Potenzreihe entwickelt wird und die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören, ist eine näherungsweise Berechnung des Integrals mit einer vorgegebenen Genauigkeit möglich.

Beispiel Nr. 3. Berechnen Sie das Integral ∫ 0 1 4 sin (x) x auf 10 -5 genau.
Lösung. Das entsprechende unbestimmte Integral kann nicht in Elementarfunktionen ausgedrückt werden, d.h. stellt ein „nicht-permanentes Integral“ dar. Die Newton-Leibniz-Formel kann hier nicht angewendet werden. Berechnen wir das Integral näherungsweise.
Teilen Sie die Reihe für Sünde Term für Term auf X An X, wir bekommen:

Wenn wir diese Reihe Term für Term integrieren (dies ist möglich, da die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören), erhalten wir:

Da die resultierende Reihe die Bedingungen von Leibniz erfüllt, reicht es aus, die Summe der ersten beiden Terme zu bilden, um den gewünschten Wert mit einer bestimmten Genauigkeit zu erhalten.
So finden wir
.

Beispiel Nr. 4. Berechnen Sie das Integral ∫ 0 1 4 e x 2 mit einer Genauigkeit von 0,001.
Lösung.
. Prüfen wir, ob wir den Rest nach dem zweiten Term der resultierenden Reihe verwerfen können.
0,0001<0.001. Следовательно, .