Lösen Sie Gleichungen in Beispielen mit ganzen Zahlen. Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrate in Bezug auf eine Variable lösen. Beispiele für die Lösung von Gleichungssystemen anderer Art
Gleichungen in ganzen Zahlen sind algebraische Gleichungen mit zwei oder mehr unbekannten Variablen und ganzzahligen Koeffizienten. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind alle ganzzahlige (manchmal natürliche oder rationale) Wertemengen unbekannter Variablen, die diese Gleichung erfüllen. Solche Gleichungen werden auch genannt Diophantin, zu Ehren des antiken griechischen Mathematikers, der vor unserer Zeitrechnung einige Arten solcher Gleichungen untersuchte.
Die moderne Formulierung diophantischer Probleme verdanken wir dem französischen Mathematiker. Er war es, der vor europäischen Mathematikern die Frage aufwarf, unbestimmte Gleichungen nur in ganzen Zahlen zu lösen. Die bekannteste Gleichung in ganzen Zahlen ist Fermats letzter Satz: Gleichung
hat keine rationalen Lösungen ungleich Null für alle natürlichen n > 2.
Das theoretische Interesse an Gleichungen in ganzen Zahlen ist recht groß, da diese Gleichungen eng mit vielen Problemen der Zahlentheorie verknüpft sind.
1970 bewies der Leningrader Mathematiker Juri Wladimirowitsch Matijasewitsch, dass es keine allgemeine Methode gibt und geben kann, die es ermöglicht, beliebige diophantische Gleichungen in ganzen Zahlen in einer endlichen Anzahl von Schritten zu lösen. Daher sollten Sie Ihre eigenen Lösungsmethoden für verschiedene Arten von Gleichungen wählen.
Bei der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen lassen sich grob folgende Methoden unterscheiden:
Möglichkeit, Optionen zu sortieren;
Anwendung des Euklidischen Algorithmus;
Darstellung von Zahlen in Form von Kettenbrüchen;
Faktorisierung;
Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrat (oder anders) in Bezug auf eine beliebige Variable;
Restmethode;
unendliche Abstiegsmethode.
Probleme mit Lösungen
1. Lösen Sie die Gleichung x 2 – xy – 2y 2 = 7 in ganzen Zahlen.
Schreiben wir die Gleichung in der Form (x – 2y)(x + y) = 7.
Da x, y ganze Zahlen sind, finden wir Lösungen der ursprünglichen Gleichung als Lösungen der folgenden vier Systeme:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Nachdem wir diese Systeme gelöst haben, erhalten wir Lösungen für die Gleichung: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) und (–5; –2).
Antwort: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
a) 20x + 12y = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x – 1999y = 12.
a) Da für alle ganzzahligen Werte von x und y die linke Seite der Gleichung durch zwei teilbar ist und die rechte Seite eine ungerade Zahl ist, hat die Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Antwort: Es gibt keine Lösungen.
b) Wählen wir zunächst eine konkrete Lösung aus. In diesem Fall ist es einfach, zum Beispiel:
x 0 = 1, y 0 = 2.
5x 0 + 7y 0 = 19,
5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,
5(x – x 0) = –7(y – y 0).
Da die Zahlen 5 und 7 also relativ prim sind
x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.
Die allgemeine Lösung lautet also:
x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Antwort: (1+7k; 2–5k), wobei k eine ganze Zahl ist.
c) In diesem Fall ist es ziemlich schwierig, durch Auswahl eine spezifische Lösung zu finden. Lassen Sie uns den euklidischen Algorithmus für die Zahlen 1999 und 201 verwenden:
GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.
Schreiben wir diesen Vorgang in umgekehrter Reihenfolge:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =
121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =
121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Das bedeutet, dass das Paar (1273, 128) eine Lösung der Gleichung 201x – 1999y = 1 ist. Dann das Zahlenpaar
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
ist eine Lösung der Gleichung 201x – 1999y = 12.
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung wird in der Form geschrieben
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, wobei k eine ganze Zahl ist,
oder nach Umbenennung (wir verwenden 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, wobei n eine ganze Zahl ist.
Antwort: (1283+1999n, 129+201n), wobei n eine ganze Zahl ist.
3. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) x 3 + y 3 = 3333333;
b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).
a) Da x 3 und y 3 bei Division durch 9 nur die Reste 0, 1 und 8 ergeben können (siehe Tabelle im Abschnitt), kann x 3 + y 3 nur die Reste 0, 1, 2, 7 und 8 ergeben. Aber wenn die Zahl 3333333 durch 9 geteilt wird, ergibt sich ein Rest von 3. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
b) Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung in der Form (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4 um. Da Würfel ganzer Zahlen bei Division durch 7 die Reste 0, 1 und 6, aber nicht 4 ergeben Die Gleichung hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Antwort: Es gibt keine ganzzahligen Lösungen.
a) in Primzahlen die Gleichung x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;
b) in ganzen Zahlen die Gleichung x + y = x 2 – xy + y 2.
a) Lösen wir diese Gleichung als quadratische Gleichung in Bezug auf die Variable y. Wir bekommen
y = x + 9 oder y = 16 – x.
Da für ungerades x die Zahl x + 9 gerade ist, ist (2; 11) das einzige Primzahlenpaar, das die erste Gleichheit erfüllt.
Da x, y einfach sind, ergibt sich aus der Gleichheit y = 16 – x
2 x 16,2 bei 16.
Beim Durchsuchen der Optionen finden wir die verbleibenden Lösungen: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Antwort: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Betrachten Sie diese Gleichung als quadratische Gleichung für x:
x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.
Die Diskriminante dieser Gleichung ist –3y 2 + 6y + 1. Sie ist nur für die folgenden Werte von y positiv: 0, 1, 2. Für jeden dieser Werte erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung eine quadratische Gleichung für x , was leicht zu lösen ist.
Antwort: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Gibt es unendlich viele Tripletts ganzer Zahlen x, y, z, so dass x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?
Versuchen wir, Tripel auszuwählen, bei denen y = –z. Dann heben sich y 3 und z 3 immer gegenseitig auf und unsere Gleichung sieht so aus
x 2 + 2y 2 = x 3
oder andernfalls,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Damit ein Paar ganzer Zahlen (x; y) diese Bedingung erfüllt, reicht es aus, dass die Zahl x–1 das Doppelte des Quadrats der ganzen Zahl ist. Es gibt unendlich viele solcher Zahlen, nämlich alle Zahlen der Form 2n 2 +1. Wenn wir diese Zahl in x 2 (x–1) = 2y 2 einsetzen, erhalten wir nach einfachen Transformationen:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Alle so erhaltenen Tripletts haben die Form (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).
Antwort: existiert.
6. Finden Sie ganze Zahlen x, y, z, u, so dass x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Die Zahl x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ist gerade, daher gibt es unter den Zahlen x, y, z, u eine gerade Anzahl ungerader Zahlen.
Wenn alle vier Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist nicht durch 4 teilbar – eine Diskrepanz.
Wenn genau zwei der Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nicht durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist durch 4 teilbar – wiederum eine Diskrepanz.
Daher sind alle Zahlen x, y, z, u gerade. Dann können wir das schreiben
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
und die ursprüngliche Gleichung wird die Form annehmen
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Beachten Sie nun, dass (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 bei Division durch 8 einen Rest von 1 ergibt. Wenn also alle Zahlen x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ist nicht durch 8 teilbar. Und wenn genau zwei dieser Zahlen ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nicht einmal durch teilbar 4. Das bedeutet
x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,
und wir erhalten die Gleichung
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .
Wenn wir die gleiche Überlegung noch einmal wiederholen, finden wir, dass x, y, z, u für alle natürlichen n durch 2 n teilbar sind, was nur für x = y = z = u = 0 möglich ist.
Antwort: (0; 0; 0; 0).
7. Beweisen Sie, dass die Gleichung
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30
hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Verwenden wir die folgende Identität:
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).
Dann kann die ursprüngliche Gleichung geschrieben werden als
(x – y)(y – z)(z – x) = 10.
Bezeichnen wir a = x – y, b = y – z, c = z – x und schreiben wir die resultierende Gleichheit in die Form
Darüber hinaus ist es offensichtlich, dass a + b + c = 0. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Gleichheit abc = 10 bis zur Permutation impliziert, dass die Zahlen |a|, |b|, |c| sind entweder gleich 1, 2, 5 oder 1, 1, 10. Aber in all diesen Fällen ist die Summe a + b + c für jede Wahl der Zeichen a, b, c ungleich Null. Somit hat die ursprüngliche Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
8. Lösen Sie Gleichung 1 in ganzen Zahlen! + 2! + . . . + x! = y 2 .
Es ist klar, dass
wenn x = 1, dann y 2 = 1,
wenn x = 3, dann y 2 = 9.
Diese Fälle entsprechen den folgenden Zahlenpaaren:
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 = 1, y 2 = –1;
x 3 = 3, y 3 = 3;
x 4 = 3, y 4 = –3.
Beachten Sie, dass wir für x = 2 1 haben! + 2! = 3, für x = 4 haben wir 1! + 2! + 3! + 4! = 33 und weder 3 noch 33 sind Quadrate ganzer Zahlen. Wenn x > 5, dann, da
5! + 6! + . . . + x! = 10n,
das können wir schreiben
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + x! = 33 + 10n.
Da 33 + 10n eine Zahl ist, die mit 3 endet, ist sie nicht das Quadrat einer ganzen Zahl.
Antwort: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).
9. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem in natürlichen Zahlen:
a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).
3abc > 0, dann a 3 > b 3 + c 3 ;
also haben wir
Wenn wir diese Ungleichungen addieren, erhalten wir das
Unter Berücksichtigung der letzten Ungleichung erhalten wir diese aus der zweiten Gleichung des Systems
Die zweite Gleichung des Systems zeigt aber auch, dass a eine gerade Zahl ist. Somit ist a = 2, b = c = 1.
Antwort: (2; 1; 1)
10. Finden Sie alle Paare von ganzen Zahlen x und y, die die Gleichung x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y erfüllen.
Unter Berücksichtigung beider Seiten dieser Gleichung erhalten wir:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)
Eine solche Gleichheit ist möglich, wenn die linke und rechte Seite gleich Null sind oder das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen sind. Wenn wir also bestimmte Faktoren mit Null gleichsetzen, erhalten wir 4 Paare gewünschter Variablenwerte:
x 1 = 0, y 1 = 0;
x 2 = 0, y 2 = –1;
x 3 = –1, y 3 = 0;
x 4 = –1, y 4 = –1.
Das Produkt (y 2 + y)(y 2 + 1) kann nur dann als Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ungleich Null betrachtet werden, wenn y = 2. Daher ist x(x + 1) = 30, woraus x 5 = 5, x 6 = –6. Das bedeutet, dass es zwei weitere Ganzzahlpaare gibt, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
x 5 = 5, y 5 = 2;
x 6 = –6, y 6 = 2.
Antwort: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)
Probleme ohne Lösungen
1. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + y 2 = x + y + 2.
2. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 – 7y 2 = 9.
3. Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen:
a) 2 x + 1 = y 2;
b) 3 2 x + 1 = y 2.
4. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz in rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung hat
5. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 2 + 5 = y 3 in ganzen Zahlen keine Lösungen hat.
Vom Waldrand führen viele Wege ins Dickicht. Sie sind gewunden, sie konvergieren, divergieren wieder und kreuzen sich wieder. Während des Spaziergangs kann man die Fülle dieser Wege nur bemerken, einige davon entlang gehen und ihre Richtung bis in die Tiefen des Waldes verfolgen. Um den Wald ernsthaft zu studieren, müssen Sie den Pfaden folgen, bis sie zwischen den trockenen Kiefernnadeln und Büschen überhaupt sichtbar sind.
Deshalb wollte ich ein Projekt schreiben, das als Beschreibung eines der möglichen Spaziergänge entlang der Grenzen der modernen Mathematik betrachtet werden kann.
Die umgebende Welt, die Bedürfnisse der Volkswirtschaft und oft auch alltägliche Sorgen stellen den Menschen vor immer neue Aufgaben, deren Lösung nicht immer offensichtlich ist. Manchmal gibt es auf eine bestimmte Frage viele mögliche Antworten, was die Lösung der Probleme erschwert. Wie wählt man die richtige und optimale Option?
Die Lösung unsicherer Gleichungen steht in direktem Zusammenhang mit diesem Problem. Solche Gleichungen, die zwei oder mehr Variablen enthalten und für die es notwendig ist, alle ganzzahligen oder natürlichen Lösungen zu finden, werden seit der Antike in Betracht gezogen. Zum Beispiel der griechische Mathematiker Pythagoras (IV. Jahrhundert v. Chr.). der alexandrinische Mathematiker Diophantus (II.-III. Jahrhundert n. Chr.) und die besten Mathematiker einer uns näher stehenden Ära - P. Fermat (17. Jahrhundert), L. Euler (18. Jahrhundert), J. L. Lagrange (18. Jahrhundert) und andere.
Bei der Teilnahme am russischen Korrespondenzwettbewerb > in Obninsk, am Internationalen Spielewettbewerb > und an der Olympiade des Föderationskreises Ural stoße ich oft auf solche Aufgaben. Das liegt daran, dass ihre Lösung kreativ ist. Die Probleme, die beim Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen auftreten, werden sowohl durch die Komplexität als auch durch die Tatsache verursacht, dass ihnen in der Schule wenig Zeit gewidmet wird.
Diophantus präsentiert eines der schwierigsten Geheimnisse der Wissenschaftsgeschichte. Wir kennen weder die Zeit, als er lebte, noch wissen wir, welche Vorgänger auf demselben Gebiet tätig waren. Seine Werke sind wie ein funkelndes Feuer inmitten undurchdringlicher Dunkelheit.
Die Zeitspanne, in der Diophantus hätte leben können, beträgt ein halbes Jahrtausend! Die Untergrenze lässt sich problemlos bestimmen: In seinem Buch über Polygonzahlen erwähnt Diophantus wiederholt den Mathematiker Hypsicles von Alexandria, der in der Mitte des 2. Jahrhunderts lebte. Chr e.
Andererseits gibt es in den Kommentaren von Theon von Alexandria an den berühmten Astronomen Ptolemaios einen Auszug aus dem Werk von Diophantus. Theon lebte in der Mitte des 4. Jahrhunderts. N. e. Dies bestimmt die Obergrenze dieses Intervalls. Also, 500 Jahre!
Der französische Wissenschaftshistoriker Paul Tannry, Herausgeber des umfassendsten Textes von Diophantus, versuchte, diese Lücke zu schließen. In der Escurial-Bibliothek fand er Auszüge aus einem Brief von Michael Psellus, einem byzantinischen Gelehrten des 11. Jahrhunderts. , wo gesagt wird, dass der gelehrteste Anatoly, nachdem er die wesentlichsten Teile dieser Wissenschaft gesammelt hatte, wir sprechen über die Einführung der Grade des Unbekannten und ihrer (Bezeichnung), sie seinem Freund Diophantus widmete. Anatoly von Alexandria verfasste tatsächlich >, Auszüge daraus werden in den erhaltenen Werken von Jamblichus und Eusenius zitiert. Aber Anatoly lebte Mitte des 111. Jahrhunderts v. Chr. in Alexandria. e und noch genauer - bis 270, als er Bischof von Laodacia wurde. Das bedeutet, dass seine Freundschaft mit Diophantus, den alle Alexandria nennen, schon vorher stattgefunden haben muss. Wenn also der berühmte alexandrinische Mathematiker und Anatolys Freund namens Diophantus eine Person sind, dann ist die Lebenszeit von Diophantus die Mitte des 111. Jahrhunderts n. Chr.
Aber der Wohnort von Diophantus ist bekannt – Alexandria, das Zentrum des wissenschaftlichen Denkens und der hellenistischen Welt.
Eines der Epigramme der Palatinischen Anthologie ist bis heute erhalten:
Die Asche des Diophantus ruht im Grab: Bestaunen Sie sie – und den Stein
Das Alter des Verstorbenen wird durch seine weise Kunst sprechen.
Durch den Willen der Götter verbrachte er als Kind ein Sechstel seines Lebens.
Und ich traf mich um halb fünf mit Flaum auf den Wangen.
Es war erst der siebte Tag, als er sich mit seiner Freundin verlobte.
Nachdem er fünf Jahre mit ihr verbracht hatte, wartete der Weise auf seinen Sohn.
Der geliebte Sohn seines Vaters lebte nur die Hälfte seines Lebens.
Er wurde seinem Vater von seinem frühen Grab weggenommen.
Zweimal im Laufe von zwei Jahren trauerten die Eltern mit großer Trauer.
Hier sah ich die Grenze meines traurigen Lebens.
Mit modernen Methoden zur Lösung von Gleichungen lässt sich berechnen, wie viele Jahre Diophantus gelebt hat.
Lass Diophantus x Jahre leben. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
Lassen Sie uns die Gleichung mit 84 multiplizieren, um Brüche loszuwerden:
Somit lebte Diophantus 84 Jahre.
Am geheimnisvollsten ist das Werk von Diophantus. Sechs der dreizehn Bücher, die zu > zusammengefasst wurden, sind uns überliefert; Stil und Inhalt dieser Bücher unterscheiden sich stark von den klassischen antiken Werken zur Zahlentheorie und Algebra, von denen wir Beispiele aus > Euklid, seinen >, Lemmata aus den Werken kennen von Archimedes und Apollonius. > war zweifellos das Ergebnis zahlreicher Studien, die völlig unbekannt blieben.
Über seine Wurzeln können wir nur spekulieren und über den Reichtum und die Schönheit seiner Methoden und Ergebnisse staunen.
> Diophanta ist eine Sammlung von Problemen (insgesamt 189), von denen jedes eine Lösung hat. Die darin enthaltenen Probleme sind sorgfältig ausgewählt und dienen der Veranschaulichung sehr spezifischer, streng durchdachter Methoden. Wie in der Antike üblich, werden Methoden nicht allgemein formuliert, sondern zur Lösung ähnlicher Probleme wiederholt.
Eine einzigartige Biographie von Diophantus ist zuverlässig bekannt, die der Legende nach auf seinem Grabstein eingemeißelt war und eine Rätselaufgabe darstellte:
Dieses Rätsel dient als Beispiel für die Probleme, die Diophantus gelöst hat. Er spezialisierte sich auf die Lösung von Problemen in ganzen Zahlen. Solche Probleme werden derzeit als diophantische Probleme bezeichnet.
Das Studium diophantischer Gleichungen ist meist mit großen Schwierigkeiten verbunden.
Im Jahr 1900 identifizierte einer der weltweit führenden Mathematiker, David Hilbert, auf dem Weltkongress der Mathematiker in Paris 23 Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. Eines dieser Probleme war das Problem der Lösung diophantischer Gleichungen. Das Problem war folgendes: Ist es möglich, eine Gleichung mit beliebig vielen Unbekannten und ganzzahligen Koeffizienten auf eine bestimmte Weise zu lösen – mithilfe eines Algorithmus? Die Aufgabe lautet wie folgt: Für eine gegebene Gleichung müssen Sie alle ganzzahligen oder natürlichen Werte der in der Gleichung enthaltenen Variablen finden, bei denen sie zu einer echten Gleichheit wird. Diophantus fand viele verschiedene Lösungen für solche Gleichungen. Aufgrund der unendlichen Vielfalt der diophantischen Gleichungen gibt es keinen allgemeinen Algorithmus zu ihrer Lösung, und für fast jede Gleichung muss man eine eigene Technik erfinden.
Eine diophantische Gleichung 1. Grades oder eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten ist eine Gleichung der Form: ax+by=c, wobei a,b,c ganze Zahlen sind, GCD(a,b)=1.
Ich werde die Formulierungen von Theoremen angeben, auf deren Grundlage ein Algorithmus zur Lösung unbestimmter Gleichungen ersten Grades zweier Variablen in ganzen Zahlen erstellt werden kann.
Satz 1. Wenn in einer Gleichung, dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung.
Nachweisen:
Wir können davon ausgehen, dass a >0. Nachdem wir die Gleichung nach x gelöst haben, erhalten wir: x = c-vua. Ich werde das beweisen, wenn wir in dieser Formel anstelle von y alle natürlichen Zahlen kleiner als a und 0 einsetzen, also die Zahlen 0;1;2;3;. ;a-1, und jedes Mal, wenn Sie eine Division durchführen, sind alle a-Reste unterschiedlich. Tatsächlich werde ich anstelle von y die Zahlen m1 und m2 einsetzen, die kleiner als a sind. Als Ergebnis erhalte ich zwei Brüche: c-bm1a und c-bm2a. Nachdem ich die Division durchgeführt und die unvollständigen Quotienten mit q1 und q2 und die Reste mit r1 und r2 bezeichnet habe, erhalte ich с-вm1а=q1+r1а, с-вm2а=q2+r2а.
Ich gehe davon aus, dass die Reste r1 und r2 gleich sind. Wenn ich dann die zweite von der ersten Gleichung subtrahiere, erhalte ich: c-bm1a-c-bm2a = q1-q2 oder b(m1 - m2)a = q1-q2.
Da q1-q2 eine Ganzzahl ist, muss die linke Seite eine Ganzzahl sein. Daher muss bm1 - m2 durch a teilbar sein, d. h. die Differenz zweier natürlicher Zahlen, die jeweils kleiner als a sind, muss durch a teilbar sein, was unmöglich ist. Das bedeutet, dass die Reste r1 und r2 gleich sind. Das heißt, alle Rückstände sind unterschiedlich.
Das. Ich habe einen von verschiedenen Guthaben von weniger als einem erhalten. Aber die verschiedenen a der natürlichen Zahlen, die a nicht überschreiten, sind die Zahlen 0;1;2;3;. ;a-1. Folglich wird es unter den Resten sicherlich einen und nur einen geben, der gleich Null ist. Der Wert von y, dessen Substitution in den Ausdruck (c-vu)a einen Rest von 0 ergibt und x=(c-vu)a in eine ganze Zahl umwandelt. Q.E.D.
Satz 2. Wenn in der Gleichung c nicht teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
Nachweisen:
Sei d=GCD(a;b), also a=md, b=nd, wobei m und n ganze Zahlen sind. Dann nimmt die Gleichung die Form an: mdх+ ndу=с, oder d(mх+ nу)=с.
Unter der Annahme, dass es ganze Zahlen x und y gibt, die die Gleichung erfüllen, finde ich, dass der Koeffizient c durch d teilbar ist. Der resultierende Widerspruch beweist den Satz.
Satz 3. Wenn in der Gleichung, und, dann ist es äquivalent zur Gleichung, in der.
Satz 4. Wenn in einer Gleichung, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:
wobei x0, y0 eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist und eine beliebige ganze Zahl ist.
Die formulierten Theoreme ermöglichen es, den folgenden Algorithmus zum Lösen einer Gleichung der Form in ganzen Zahlen zu konstruieren.
1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b. Wenn c nicht durch teilbar ist, hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen; wenn und dann
2. Teilen Sie die Gleichung Term für Term und erhalten Sie eine Gleichung, in der.
3. Finden Sie eine ganzzahlige Lösung (x0, y0) der Gleichung, indem Sie 1 als lineare Kombination von Zahlen und darstellen;
4. Erstellen Sie eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung, wobei x0, y0 eine ganzzahlige Lösung der Gleichung und eine beliebige ganze Zahl ist.
2. 1 ABSTIEGSMETHODE
Viele > basieren auf Methoden zur Lösung unsicherer Gleichungen. Zum Beispiel ein Trick, bei dem das Geburtsdatum erraten wird.
Bitten Sie Ihren Freund, seinen Geburtstag anhand der Summe der Zahlen zu erraten, die dem Produkt aus seinem Geburtsdatum mal 12 und der Zahl des Geburtsmonats mal 31 entsprechen.
Um den Geburtstag Ihres Freundes zu erraten, müssen Sie die Gleichung lösen: 12x + 31y = A.
Gegeben sei Ihnen die Zahl 380, d. h. wir haben die Gleichung 12x + 31y = 380. Um x und y zu finden, können Sie folgendermaßen argumentieren: Die Zahl 12x + 24y ist also entsprechend den Eigenschaften von durch 12 teilbar Teilbarkeit (Satz 4.4) müssen die Zahlen 7y und 380 den gleichen Rest haben, wenn sie durch 12 geteilt werden. Die Zahl 380, wenn sie durch 12 geteilt wird, ergibt einen Rest von 8, daher muss 7y, wenn sie durch 12 geteilt wird, auch einen Rest von 8 übrig lassen, und seitdem y ist die Zahl des Monats, dann 1
Die von uns gelöste Gleichung ist eine diophantische Gleichung 1. Grades mit zwei Unbekannten. Um solche Gleichungen zu lösen, kann die sogenannte Abstiegsmethode verwendet werden. Ich werde den Algorithmus dieser Methode anhand der spezifischen Gleichung 5x + 8y = 39 betrachten.
1. Ich wähle die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten (in unserem Fall ist es x) und drücke sie durch eine andere Unbekannte aus:. Ich werde den gesamten Teil hervorheben: Offensichtlich ist x eine ganze Zahl, wenn sich herausstellt, dass der Ausdruck eine ganze Zahl ist, was wiederum der Fall ist, wenn die Zahl 4 - 3y ohne Rest durch 5 teilbar ist.
2. Ich werde eine zusätzliche ganzzahlige Variable z wie folgt einführen: 4 - 3y = 5z. Als Ergebnis erhalte ich eine Gleichung vom gleichen Typ wie die ursprüngliche, jedoch mit kleineren Koeffizienten. Ich werde es in Bezug auf die Variable y: lösen. Wenn ich den gesamten Teil auswähle, erhalte ich:
Mit einer ähnlichen Argumentation wie zuvor führe ich eine neue Variable u ein: 3u = 1 - 2z.
3. Ich werde die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten ausdrücken, in diesem Fall die Variable z: =. Unter der Voraussetzung, dass es eine ganze Zahl ist, erhalte ich: 1 – u = 2v, woraus u = 1 – 2v. Es gibt keine Brüche mehr, der Abstieg ist abgeschlossen.
4. Jetzt benötigen Sie >. Ich werde durch die Variable v zuerst z, dann y und dann x ausdrücken: z = = = 3v - 1; = 3 - 5V.
5. Die Formeln x = 3+8v und y = 3 - 5v, wobei v eine beliebige ganze Zahl ist, stellen die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen dar.
Kommentar. Bei der Abstiegsmethode wird also zunächst eine Variable sequentiell durch eine andere ausgedrückt, bis in der Darstellung der Variablen keine Brüche mehr vorhanden sind, und dann sequentiell entlang einer Gleichungskette, um eine allgemeine Lösung der Gleichung zu erhalten.
2. 2 UMFRAGEMETHODE
Kaninchen und Fasane sitzen in einem Käfig, sie haben insgesamt 18 Beine. Finden Sie heraus, wie viele davon sich in der Zelle befinden?
Lassen Sie mich eine Gleichung mit zwei Unbekannten erstellen, in der x die Anzahl der Kaninchen und y die Anzahl der Fasane ist:
4x + 2y = 18 oder 2x + y = 9.
Antwort. 1) 1 Kaninchen und 7 Fasane; 2) 2 Kaninchen und 5 Fasane; 3) 3 Kaninchen und 3 Fasane; 4) 4 Kaninchen und 1 Fasan.
1. PRAKTISCHER TEIL
3.1 Lösen linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten
1. Lösen Sie die Gleichung 407x - 2816y = 33 in ganzen Zahlen.
Ich werde den kompilierten Algorithmus verwenden.
1. Mit dem Euklidischen Algorithmus finde ich den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 407 und 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Daher ist (407,2816) = 11, wobei 33 durch 11 teilbar ist.
2. Teilen Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch 11, wir erhalten die Gleichung 37x - 256y = 3 und (37, 256) = 1
3. Mit dem Euklidischen Algorithmus finde ich eine lineare Darstellung der Zahl 1 durch die Zahlen 37 und 256.
256 = 37 6 + 34;
Ich werde 1 ab der letzten Gleichheit ausdrücken und dann, wenn ich die Gleichungen sukzessive erhöhe, 3 ausdrücken; 34 und ersetzen Sie die resultierenden Ausdrücke in den Ausdruck für 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Somit ist 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, daher ist das Zahlenpaar x0 = - 83 und y0 = - 12 eine Lösung der Gleichung 37x - 256y = 3.
4. Ich werde die allgemeine Formel für Lösungen der ursprünglichen Gleichung aufschreiben, wobei t eine beliebige ganze Zahl ist.
Antwort. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.
Kommentar. Es kann bewiesen werden, dass, wenn das Paar (x1,y1) eine ganzzahlige Lösung der Gleichung wo ist, alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung mithilfe der Formeln gefunden werden: x=x1+bty=y1-at
2. Lösen Sie die Gleichung 14x - 33y=32 in ganzen Zahlen.
Lösung: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2 Jahre + 5 Jahre + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z
Suchen Sie von 1 bis 13
Wenn y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Lassen Sie mich y = 2 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen
14x = 32 +33 [. ] 2
14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7
Ich werde alle ganzzahligen Lösungen aus dem gefundenen Quotienten finden:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7): 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z
Lassen Sie mich in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, wobei k є Z. Diese Formeln geben die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung an.
Antwort. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.
3. Lösen Sie die Gleichung x - 3y = 15 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(1,3)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung bestimmen: x=(15+3y):1 Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert y=0, dann x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) - private Lösung.
Alle anderen Lösungen werden mit den Formeln gefunden: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z für k=0 erhalte ich eine bestimmte Lösung (15;0)
Antwort: (3k+15; k), k є Z.
4. Lösen Sie die Gleichung 7x - y = 3 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(7, -1)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (3+y):7
Mit der Brute-Force-Methode ermitteln wir den Wert y є y = 4, x = 1
Dies bedeutet, dass (1;4) eine bestimmte Lösung ist.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Antwort: (k+1;7k+4); k є Z.
5. Lösen Sie die Gleichung 15x+11 y = 14 ganze Zahlen.
Ich werde GCD(15, -14)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (14 - 11y):15
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 4, x = -2
(-2;4) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Antwort: (-11k-2; 15k+4); k є Z.
6. Lösen Sie die Gleichung 3x - 2y = 12 ganze Zahlen.
Ich werde GCD(3; 2)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (12+2y):3
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 0, x = 4
(4;0) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Antwort: (2k+4; 3k); k є Z.
7. Lösen Sie die Gleichung xy = x + y in ganzen Zahlen.
Ich habe xy - x - y + 1 = 1 oder (x - 1)(y - 1) = 1
Daher ist x - 1 = 1, y - 1 = 1, woher x = 2, y = 2 oder x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, woher x = 0, y = 0. Andere Lösungen in ganzen Zahlen sind gegeben Gleichung nicht hat.
Antwort. 0;0;(2;2).
8. Lösen Sie die Gleichung 60x - 77y = 1 in ganzen Zahlen.
Lassen Sie mich diese Gleichung nach x auflösen: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Sei (17y + 1) / 60 = z, dann ist y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Wenn wir (9z - 1) / 17 mit t bezeichnen, dann ist z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Schließlich sei (- t + 1) / 9 = n, dann ist t = 1- 9n. Da ich nur ganzzahlige Lösungen der Gleichung finde, müssen z, t, n ganze Zahlen sein.
Somit ist z = 2 – 18n + 2 = 2 – 17n und daher y = 6 – 51n + 1 – 9n = 7 – 60n, x = 2 – 17n +7 – 60n = 9 – 77n. Wenn also x und y ganzzahlige Lösungen einer gegebenen Gleichung sind, dann gibt es eine ganze Zahl n mit x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Wenn umgekehrt y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, dann sind x, y offensichtlich ganze Zahlen. Die Prüfung zeigt, dass sie die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Antwort. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.
9. Lösen Sie die Gleichung 2x+11y =24 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(2; 11)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (24-11y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 0, x = 12
(12;0) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Antwort:(-11k+12; 2k); k є Z.
10. Lösen Sie die Gleichung 19x - 7y = 100 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(19, -7)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (100+7y):19
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 2, x = 6
(6;2) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Antwort:(7k+6; 19k+2); kє Z.
11. Lösen Sie die Gleichung 24x - 6y = 144 in ganzen Zahlen
Ich werde GCD(24, 6)=3 finden.
Die Gleichung hat keine Lösungen, da GCD(24, 6)!=1.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
12. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen.
Ich transformiere das Verhältnis der Koeffizienten für Unbekannte.
Zunächst werde ich den ganzen Teil des unechten Bruchs hervorheben;
Ich werde den richtigen Bruch durch einen gleichen Bruch ersetzen.
Dann werde ich es bekommen.
Ich werde die gleichen Transformationen mit dem im Nenner erhaltenen unechten Bruch durchführen.
Jetzt nimmt der ursprüngliche Bruch die Form an:
Wenn ich die gleiche Argumentation für den Bruch wiederhole, verstehe ich.
Wenn ich den ganzen Teil des unechten Bruchs isoliere, komme ich zu dem Endergebnis:
Ich habe einen Ausdruck erhalten, der endlicher Kettenbruch oder Kettenbruch genannt wird. Nachdem ich das letzte Glied dieses Kettenbruchs – ein Fünftel – verworfen habe, werde ich den resultierenden neuen Kettenbruch in einen einfachen umwandeln und ihn vom ursprünglichen Bruch subtrahieren.
Ich werde den resultierenden Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen und ihn dann verwerfen
Aus dem Vergleich der resultierenden Gleichheit mit der Gleichung folgt, dass es eine Lösung dieser Gleichung geben wird und gemäß dem Satz alle ihre Lösungen in enthalten sein werden.
Antwort. (9+52t; 22+127t), t є Z.
Das erhaltene Ergebnis legt nahe, dass es im allgemeinen Fall, um eine Lösung der Gleichung zu finden, notwendig ist, das Verhältnis der Koeffizienten der Unbekannten zu einem Kettenbruch zu erweitern, seine letzte Verknüpfung zu verwerfen und ähnliche Berechnungen wie die durchgeführten durchzuführen oben raus.
13. Lösen Sie die Gleichung 3xy + 2x + 3y = 0 in ganzen Zahlen.
3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
=(x + 1)(3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 oder 3y + 1 = 2 oder 3y + 1 = -1 oder 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 oder x = 0 oder x = -3 oder x = -2 y Cent z, y = 0, y = -1, y Cent z.
Antwort: (0;0);(-3;-1).
14. Lösen Sie die Gleichung y - x - xy = 2 in ganzen Zahlen.
Lösung: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,
3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).
y + 1 = 1 oder y + 1 = 3 oder y + 1 = -1 oder y + 1 = -3
1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.
y = 0 oder y = 2 oder y = -2 oder y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Antwort: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Lösen Sie die Gleichung y + 4x + 2xy = 0 in ganzen Zahlen.
Lösung: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 oder 2x + 1= 2 oder 2x + 1= -1 oder 2x + 1= -2
2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 oder y = -1 oder y = -4 oder y = -3 x = 0, x Cent Z, x = -1, x Cent Z.
Antwort: (-1;-4);(0;0).
16. Lösen Sie die Gleichung 5x + 10y = 21 in ganzen Zahlen.
5(x + 2y) = 21, da 21 != 5n, dann gibt es keine Wurzeln.
Antwort. Es gibt keine Wurzeln.
17. Lösen Sie die Gleichung 3x + 9y = 51 in natürlichen Zahlen.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.
Antwort:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).
18. Lösen Sie die Gleichung 7x+5y=232 in ganzen Zahlen.
Ich werde diese Gleichung in Bezug auf die Unbekannte lösen, bei der der kleinste (Modulo-)Koeffizient gefunden wird, also in diesem Fall in Bezug auf y: y = 232-7x5.
Lassen Sie mich die Zahlen anstelle von x in diesen Ausdruck einsetzen: 0;1;2;3;4. Ich erhalte: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Antwort. (1;45).
19. Lösen Sie die Gleichung 3x + 4y + 5xy = 6 in ganzen Zahlen.
Ich habe 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Teiler 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Ich finde, dass mit m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 die Lösungen sind: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Diese Gleichung hat also 4 Lösungen in ganzen Zahlen und keine in natürlichen Zahlen.
Antwort. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Lösen Sie die Gleichung 8x+65y=81 in natürlichen Zahlen.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Sei 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.
Bei t=0 x=2y=1
Antwort. (2;1).
21. Finden Sie ganzzahlige nichtnegative Lösungen der Gleichung 3x+7y=250.
250⋮GCD(3;7) =>die Gleichung kann in ganzen Zahlen gelöst werden.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Sei 1-y3=t, t Є Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7tу=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Antwort. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Lösen Sie die Gleichung xy+x+y3=1988 in ganzen Zahlen.
Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit 3 multiplizieren. Wir erhalten:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3х+1)+(3х+у)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 oder 5965=5965∙1 oder 5965=-1∙(-5965) oder 5965=-5965∙(-1) oder 5965=5∙1193 oder 5965=1193∙1 oder 5965=-5∙( -1193) oder 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 Lösungen in ganzen Zahlen keine Lösungen in ganzen Zahlen nein
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 keine Lösungen in ganzen Zahlen keine Lösungen in ganzen Zahlen
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Antwort. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3. 2 PROBLEME LÖSEN
Es gibt verschiedene Arten von Problemen, meistens handelt es sich dabei um Probleme mit olympischem Charakter, die darauf hinauslaufen, diophantische Gleichungen zu lösen. Zum Beispiel: a) Aufgaben zum Umtausch eines Geldbetrags einer bestimmten Stückelung.
b) Probleme bei der Transfusion und dem Teilen von Objekten.
1. Wir haben 390 Buntstifte in Schachteln mit 7 und 12 Stiften gekauft. Wie viele dieser und anderer Kartons haben Sie gekauft?
Ich bezeichne: x Schachteln mit 7 Bleistiften, y Schachteln mit 12 Bleistiften.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: 7x + 12y = 390
Ich werde GCD(7, 12)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (390 - 12y):7
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 1, x = 54
(54;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Ich habe viele Lösungen für die Gleichung gefunden. Unter Berücksichtigung der Problembedingungen werde ich die mögliche Anzahl beider Boxen ermitteln.
Antwort. Sie können kaufen: 54 Schachteln mit 7 Bleistiften und 1 Schachtel mit 12 Bleistiften, oder 42 Schachteln mit 7 Bleistiften und 8 Schachteln mit 12 Bleistiften, oder 30 Schachteln mit 7 Bleistiften und 15 Schachteln mit 12 Bleistiften, oder 28 Schachteln mit 7 Bleistiften und 22 Schachteln mit 12 Bleistiften oder 6 Schachteln mit 7 Bleistiften und 29 Schachteln mit 12 Bleistiften.
2. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 7 cm größer als das andere und der Umfang des Dreiecks beträgt 30 cm. Finden Sie alle Seiten des Dreiecks.
Ich bezeichne: x cm – ein Bein, (x+7) cm – das andere Bein, y cm – Hypotenuse
Ich werde die diophantische Gleichung aufstellen und lösen: x+(x+7)+y=30
Ich werde GCD(2; 1)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (23 - y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y =1 y = 1, x = 11
(11;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen der Gleichung finde ich mit den Formeln: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Wenn man bedenkt, dass jede Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der anderen beiden Seiten, kommen wir zu dem Schluss, dass es drei Dreiecke mit den Seiten 7, 9 und 14 gibt; 6, 11 und 13; 5, 13 und 12. Entsprechend den Bedingungen des Problems ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Dies ist ein Dreieck mit den Seiten 5, 13 und 12 (es gilt der Satz des Pythagoras).
Antwort: Ein Bein ist 5 cm, das andere 12 cm, die Hypotenuse 13 cm.
3. Mehrere Kinder pflückten Äpfel. Jeder Junge sammelte 21 kg und das Mädchen sammelte 15 kg. Insgesamt sammelten sie 174 kg. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen haben Äpfel gepflückt?
Es gebe x Jungen und y Mädchen, wobei x und y natürliche Zahlen seien. Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen:
Ich löse nach Auswahlmethode: x
6 Erst bei x = 4 erhält die zweite Unbekannte einen positiven ganzzahligen Wert (y = 6). Für jeden anderen Wert von x ist y entweder ein Bruch oder negativ. Daher gibt es für das Problem eine eindeutige Lösung.
Antwort. 4 Jungen und 6 Mädchen.
4. Ist es möglich, einen Satz Bleistifte im Wert von 3 Rubel und Stifte im Wert von 6 Rubel im Wert von 20 Rubel herzustellen?
Die Anzahl der Stifte im Set sei x und die Anzahl der Stifte sei y.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen:
Für alle ganzen Zahlen x und y muss die linke Seite der Gleichung durch 3 teilbar sein; die rechte Seite ist nicht durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass es keine ganzen Zahlen x und y gibt, die unsere Gleichung erfüllen würden. Diese Gleichung kann nicht in ganzen Zahlen gelöst werden. Es ist unmöglich, ein solches Set zu erstellen.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
5. Finden Sie eine natürliche Zahl, die bei Division durch 3 einen Rest von 2 und bei Division durch 5 einen Rest von 3 übrig lässt.
Die benötigte Zahl bezeichne ich mit x. Wenn ich den Quotienten von x durch 3 durch y und den Quotienten der Division durch 5 durch z bezeichne, dann erhalte ich: x=3y+2x=5z+3
Entsprechend der Bedeutung des Problems müssen x, y und z natürliche Zahlen sein. Das bedeutet, dass wir ein unbestimmtes Gleichungssystem in ganzen Zahlen lösen müssen.
Für jede ganze Zahl y und z ist x auch eine ganze Zahl. Ich subtrahiere die erste von der zweiten Gleichung und erhalte:
5z - 3y + 1 = 0.
Nachdem ich alle positiven ganzen Zahlen y und z gefunden habe, erhalte ich sofort alle positiven ganzzahligen Werte von x.
Aus dieser Gleichung finde ich:
Eine Lösung liegt auf der Hand: Für z = 1 erhalten wir y = 2, und x und y sind ganze Zahlen. Ihnen entspricht die Lösung x = 8.
Ich werde andere Lösungen finden. Dazu führe ich eine Hilfsunbekannte u ein und setze z = 1 + u. Ich werde erhalten:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, d. h. 5u = 3y - 6 oder 5u = 3(y - 2).
Die rechte Seite der letzten Gleichung ist für jede ganze Zahl y durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass die linke Seite auch durch 3 teilbar sein muss. Aber die Zahl 5 ist teilerfremd zur Zahl 3; daher muss u durch 3 teilbar sein, also die Form 3n haben, wobei n eine ganze Zahl ist. In diesem Fall ist y gleich
15n/3 + 2 = 5n + 2, also auch eine ganze Zahl. Also ist z = 1 + u = 1 + 3n, woraus x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Das Ergebnis ist nicht einer, sondern eine unendliche Menge von Werten für x: x = 8 + 15n, wobei n eine ganze Zahl (positiv oder null) ist:
Antwort. x=8+15n; n є 0;1;2;.
6. Die Probanden brachten dem Schah 300 Edelsteine als Geschenk: in kleinen Kisten zu je 15 Stück und in großen zu 40 Stück. Wie viele dieser und anderer Kisten gab es, wenn bekannt ist, dass es weniger kleine als große gab?
Ich bezeichne mit x die Anzahl der kleinen Kästchen und mit y die Anzahl der großen.
15x+40y=300. Ich werde es um 5 reduzieren.
3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Damit der Wert eines Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2y ein Vielfaches von 3 sein, d. h. 2y = 3c.
Ich werde die Variable y ausdrücken und den gesamten Teil auswählen:
Z muss ein Vielfaches von 2 sein, d. h. z=2u.
Lassen Sie mich die Variablen x und y durch u ausdrücken:
X=20-2y-2y3
Х=20-2∙3u-2∙3u3
Ich werde ein System von Ungleichungen zusammenstellen und lösen:
Ich werde die gesamten Lösungen aufschreiben: 1; 2. Jetzt werde ich die Werte von x und y für u=1 finden; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Antwort. 4 kleine Kisten; 6 große Kisten.
7. Zwei Ural 5557-Wagen wurden übergeben, die Wagen wurden auf den Flug Krasnoturinsk – Perm – Krasnoturinsk geschickt. Insgesamt wurden für diesen Flug 4 Tonnen Dieselkraftstoff und 2 Fahrer benötigt. Es ist notwendig, die Transportkosten zu ermitteln, nämlich die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und die Löhne der Fahrer, die diesen Flug durchführen, wenn bekannt ist, dass insgesamt 76.000 Rubel ausgegeben wurden.
Seien x Rubel die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und seien x Rubel die Löhne der Fahrer. Dann wurden (4x + 2y) Rubel für den Flug ausgegeben. Und entsprechend den Bedingungen des Problems wurden 76.000 Rubel ausgegeben.
Ich bekomme die Gleichung:
Um diese Gleichung zu lösen, wird die Brute-Force-Methode ein arbeitsintensiver Prozess sein. Also verwende ich die >-Methode.
Ich drücke die Variable y durch x: aus, wähle den gesamten Teil aus und erhalte: (1).
Damit der Wert eines Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2x ein Vielfaches von 4 sein. Das heißt, 2x = 4z, wobei z eine ganze Zahl ist. Von hier:
Ich werde den Wert von x in Ausdruck (1) einsetzen:
Da x, y 0, dann 19000 z 0, also z ganzzahlige Werte von 0 bis 19000 gebe, erhalte ich die folgenden Werte von x und y: z
Aus realen Daten zu den Transportkosten ist bekannt, dass 1 Tonne Dieselkraftstoff (x) 18.000 Rubel kostet. , und die Zahlung für Fahrer, die den Flug (y) durchführen, beträgt 10.000 Rubel. (Annäherungswerte). Aus der Tabelle sehen wir, dass der x-Wert gleich 18000 und der y-Wert gleich 10000 einem z-Wert gleich 9000 entsprechen, tatsächlich: ;.
8. Auf wie viele Arten können Sie den Betrag von 27 Rubel einsammeln? , der ziemlich viele Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen hat?
Lassen Sie mich bezeichnen: x Zwei-Rubel-Münzen und y Fünf-Rubel-Münzen
Ich werde eine Gleichung erstellen und dabei die Bedingung des Problems 2x + 5y = 27 berücksichtigen.
Ich werde GCD(2;5)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (27-5y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 1, x = 11
(11;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen werden mit den Formeln gefunden: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Diese Gleichung hat viele Lösungen. Lassen Sie uns alle Möglichkeiten finden, wie Sie mit den angebotenen Münzen den Betrag von 27 Rubel sammeln können. k
Antwort. Es gibt drei Möglichkeiten, diesen Betrag einzusammeln, wenn Sie viele Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen haben.
9. Nehmen wir an, Kraken und Seesterne leben in einem Aquarium. Kraken haben 8 Beine und Seesterne 5. Insgesamt gibt es 39 Gliedmaßen. Wie viele Tiere gibt es im Aquarium?
Sei x die Anzahl der Seesterne, y die Anzahl der Kraken. Dann haben alle Kraken 8 Beine und alle Sterne 5 Beine.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: 5x + 8y = 39.
Bitte beachten Sie, dass die Anzahl der Tiere nicht als nicht-ganzzahlige oder negative Zahlen ausgedrückt werden kann. Wenn also x eine nicht negative ganze Zahl ist, dann muss y = (39 - 5x)/8 auch eine ganze Zahl und nicht negativ sein, und daher ist es notwendig, dass der Ausdruck 39 - 5x ohne a durch 8 teilbar ist Rest. Eine einfache Suche nach Optionen zeigt, dass dies nur möglich ist, wenn x = 3, dann y = 3.
Antwort: (3; 3).
10. Eine Möbelfabrik produziert Hocker mit drei und vier Beinen. Der Meister fertigte 18 Beine. Wie viele Hocker können hergestellt werden, damit alle Beine genutzt werden können?
Sei x die Anzahl der dreibeinigen Stühle und y die Anzahl der vierbeinigen. Dann ist 3x + 4y = 18.
Ich habe, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
Ich bekomme: x = 2; y = 3 oder x = 6; y = 0.
Es gibt keine anderen Lösungen, da x 6.
Antwort. 2;3;(6;0).
11. Ist es möglich, 718 Personen in 4- und 8-Bett-Kabinen unterzubringen, so dass es in den Kabinen keine freien Plätze gibt?
Seien die 4-Bett-Kabinen x und die 8-Bett-Kabinen y, dann gilt:
2(x + 2y) = 309
Antwort. Es ist verboten.
12. Beweisen Sie, dass es auf der Geraden 124x + 216y = 515 keinen einzigen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten gibt.
GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, was bedeutet, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
13. Der Warenwert beträgt 23 Rubel, der Käufer hat nur 2 Rubel-Münzen und der Kassierer hat 5 Rubel-Münzen. Ist es möglich, einen Kauf zu tätigen, ohne vorher Geld umzutauschen?
Sei x die Anzahl der 2-Rubel-Münzen, y die Anzahl der 5-Rubel-Münzen, dann ist 2x - 5y = 23, wobei x,y є N.
Ich erhalte: 2x = 23 + 5y, woraus x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x eine ganze Zahl ist, wenn 1 + y2 eine ganze Zahl ist.
1 + y2 = t, wobei t Euro Z, dann y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Zu. x = 5t + 9 und y = 2t - 1, wobei t є z.
Das Problem hat viele ganzzahlige Lösungen. Die einfachste davon ist für t = 1, x = 14, y = 1, d. h. der Käufer gibt vierzehn 2-Rubel-Münzen und erhält als Wechselgeld eine 5-Rubel-Münze.
Antwort. Dürfen.
14. Bei einer Prüfung der Handelsbücher des Geschäfts stellte sich heraus, dass einer der Einträge mit Tinte bedeckt war und so aussah:
> Es war unmöglich, die Anzahl der verkauften Meter zu ermitteln, aber es bestand kein Zweifel daran, dass es sich dabei nicht um einen Bruchteil handelte; Im Erlös konnten nur die letzten drei Ziffern unterschieden werden, außerdem konnte festgestellt werden, dass davor noch drei weitere Ziffern standen. Ist es möglich, einen Datensatz anhand dieser Daten wiederherzustellen?
Sei die Anzahl der Meter x, dann beträgt der Warenwert in Kopeken 4936x. Die Summe der drei ausgefüllten Ziffern bezeichnen wir als y, das ist die Zahl der Tausend Kopeken, und der Gesamtbetrag in Kopeken wird wie folgt ausgedrückt (1000y + 728).
Ich erhalte die Gleichung 4936x = 1000y + 728, ich teile sie durch 8.
617x - 125y = 91, wobei x,y є z, x,y
125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =
5x - 1 + 2t, wobei t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Aus der Gleichung t = (17 - 4x)/125 erhalte ich x = 4 - 31t + 1 - t4 =
4 – 31t + t1, wobei t1 = 1 – t4, also t = 1 – 4t1, a x = 125t1 – 27, y = 617t1 – 134.
Aufgrund der Bedingung weiß ich, dass 100
100 = 234/617 und t1
Dies bedeutet, dass 98 Meter für 4837,28 Rubel verkauft wurden. Die Aufnahme wurde wiederhergestellt.
Antwort. 98 Meter freigegeben.
15. Für einen Rubel müssen 40 Briefmarken gekauft werden – Kopeken, 4 Kopeken und 12 Kopeken. Wie viele Briefmarken jedes Nennwerts können Sie kaufen?
Sie können zwei Gleichungen aufstellen: x + 4y + 12z = 100 und x + y + z = 40, wobei x die Anzahl der Penny-Marken, y die Anzahl der 4-Kopeken-Marken und z die Anzahl der 12-Kopeken-Marken ist . Ich subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung und erhalte:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.
Sei z3 = t, z = 3t, wobei t Euro Z. Dann erhalte ich, wenn x + y + z = 40 und z = 3t, und y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Da x >= 0, y >= 0, z >= 0, dann 0
Dann erhalte ich dementsprechend: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Der Kauf von Briefmarken kann also nur auf zwei Arten erfolgen, und wenn die Bedingung ist, dass mindestens eine Briefmarke jedes Nennwerts gekauft wird, dann nur auf eine Weise.
Antwort. 28 Mark zu 1 Kopeke, 9 Mark zu 4 Kopeken und 3 Mark zu 12 Kopeken.
16. Einem Schüler wurde eine Aufgabe mit 20 Aufgaben gestellt. Für jede richtig gelöste Frage erhält er 8 Punkte, für jede nicht gelöste Frage werden ihm 5 Punkte abgezogen. Für eine Aufgabe, die er nicht übernommen hat – 0 Punkte. Insgesamt erzielte der Student 13 Punkte. Wie viele Probleme hat er gelöst?
Die richtig gelösten Probleme seien x, die falsch gelösten Probleme seien y und die nicht berücksichtigten Probleme seien z.
Dann ist x + y + z = 20 und 8x - 5y = 13.
y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, wobei t = x - 15 und x = 5t + 1.
Durch Bedingung x + y
Antwort: Der Student hat 13 Aufgaben gelöst, 6 gelöst und 7 nicht bestanden.
17. Ivanushka der Narr kämpft mit der Schlange Gorynych, die 2001 Köpfe hat. Indem er sein Schwert nach links schwingt, schneidet Ivan 10 Köpfe ab, und im Gegenzug wachsen 16. Wenn er sein Schwert nach rechts schwingt, schneidet er 15 ab und 6 wachsen. Wenn alle Köpfe abgeschnitten sind, wachsen keine neuen. Sie können in beliebiger Reihenfolge schwingen, aber wenn es weniger als 15 Tore gibt, dann nur nach links, und wenn es weniger als 10 sind, dann überhaupt nicht. Kann Iwanuschka der Narr die Schlange Gorynytsch besiegen?
Lassen Sie mich das Problem anders formulieren: Ist es möglich, die Köpfe von 1986 abzuschneiden? Dann wird Ivan die restlichen 15 mit einem Schlag nach rechts abholzen und es werden keine neuen mehr wachsen.
Sei x die Anzahl der Striche nach rechts und y die Anzahl der Striche nach links, dann ist 1986 - 9x + 6y = 0.
Wenn ich die ganze Gleichung durch 6 teile, erhalte ich
3x - 2y = 662.
y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.
Sei x2 = t, dann ist x = 2t und y = 3t - 331.
Da x >= 0, y >= 0, dann t >= 111, also t = 111, x = 222, y = 2.
Ich bekomme: Durch 220 Schläge nach rechts schneidet Ivan 1980 Köpfe ab und die Schlange hat noch 21 Köpfe übrig; dann 2 Schläge nach links und die Schlange lässt 12 Köpfe wachsen, also insgesamt 33; Die nächsten 2 Schläge nach rechts entziehen der Schlange 18 Köpfe und Ivan schneidet die restlichen 15 mit dem letzten Schlag nach rechts ab und es wachsen keine neuen Köpfe nach.
Antwort: 220 Schläge nach rechts, 2 Schläge nach links und 3 weitere Schläge nach rechts.
18. Die Seiten eines Würfels sind nummeriert – 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aus 5 dieser Würfel bauten sie einen Turm und zählten die Summe der Punkte auf allen sichtbaren Seiten, nachdem sie den obersten Würfel entfernt hatten, die Summe um 19 verringert, welche Zahl entpuppte sich als Oberkante des oberen Würfels?
Die Punktesumme eines Würfels beträgt 21.
Sei x die Anzahl der Punkte am unteren Rand des oberen Würfels und y die Anzahl der Punkte am oberen Rand des nächsten Würfels. Wenn Sie den oberen Würfel entfernen, verschwinden die Punkte von 5 Flächen des oberen Würfels, deren Punktesumme (21 - x) ist, und die Fläche, auf der die Punkte erscheinen, was bedeutet, dass die Summe der Punkte hat um (21 - x) - y verringert und gemäß der Bedingung ist es 19, daher:
(21 - x) - y = 19, x + y = 2.
Daher ist y = 2 - x und nach Bedingung 1
19. Jemand hat 30 Vögel für 30 Münzen desselben Nennwerts gekauft. Für jeweils 3 Spatzen zahlt man 1 Münze, für 2 Gimpel 1 Münze, für 1 Taube 2 Münzen. Wie viele Vögel jeder Art gab es?
Es soll x Spatzen, y Dompfaffen und z Tauben geben. Dann ist entsprechend der Bedingung x + y + z = 30 und 13x + 12y + 2z = 30.
Ich erhalte x + y + z = 30 und 2x + 3y + 12z = 180, oder y + 10z = 120, y = 120 - 10z, wobei durch Bedingung x
Daher die folgenden Optionen (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Antworten: Spatzen - 0, Dompfaffen - 20, Tauben - 10; Spatzen - 9, Dompfaffen - 10, Tauben - 11; Spatzen - 18, Dompfaffen - 0, Tauben - 12.
20. Finden Sie alle zweistelligen Zahlen, von denen jede, wenn sie um 2 reduziert wird, dem Fünffachen des Produkts ihrer Ziffern entspricht.
Seien xy die erforderlichen zweistelligen Zahlen.
Für die Gleichung xy - 2 = 5xy, oder (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 und ich werde alle natürlichen Lösungen aus der Menge (x; 2) finden.
Da x die erste Ziffer zweistelliger Zahlen ist, kann es nur 9 Werte annehmen.
Das. , die erforderlichen Zahlen sind: 12, 22, 32,. , 92.
Antwort. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Ein 102 cm langes Stück Draht muss in 15 cm und 12 cm lange Stücke geschnitten werden, damit der gesamte Draht genutzt wird. Wie kann man das machen?
Sei x die Anzahl der Teile eines 15 cm langen Drahtes, y die Anzahl der Teile eines 12 cm langen Drahtes. Lassen Sie mich eine Gleichung aufstellen:
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Sei 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Wenn t=0, dann x=6y=1
Wenn t=-1, dann x=2y=6
Antwort. Für das Problem gibt es zwei Lösungen:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petja war 1987 so alt wie die Summe der Ziffern seines Geburtsjahres. In welchem Jahr wurde er geboren?
Lass Petja 1919 geboren werden. Dann, im Jahr 1987, war er 1987-19xy, also (1+9+x+y) Jahre alt. Wir haben die Gleichung:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Wenn man bedenkt, dass x und y Ziffern des dezimalen Zahlensystems sind, finden wir durch Auswahl: x=3, y=1.
Antwort. Petja wurde 1970 geboren.
23. Jemand kauft in einem Geschäft einen Artikel im Wert von 19 Rubel. Er hat nur 15-Drei-Rubel-Scheine, während der Kassierer nur 20-Fünf-Rubel-Scheine hat. Kann ich bezahlen und wie?
Das Problem besteht darin, die diophantische Gleichung in positiven ganzen Zahlen zu lösen: 3x - 5y = 19, wobei x
Aufgrund der Tatsache, dass x>0 und y > 0 und unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems, ist es einfach, 0 festzulegen
Dies führt zu 2 möglichen Werten: x
Antwort. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Ist es möglich, 28 g einer bestimmten Substanz auf einer Tassenwaage zu wiegen, wenn nur 4 Gewichte à 3 g und 7 Gewichte à 5 g vorhanden sind?
Dazu müssen Sie die Gleichung lösen:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Also x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass y1 keine negativen Werte erhalten kann. Als nächstes sollte y1 sein
Antwort. 1 Gewicht in 3 g und 5 Gewichte in 5 g.
25. Der Käufer kaufte im Laden für 21 Rubel. Waren. Aber er hat nur 5-Rubel-Banknoten, während der Kassierer 3-Rubel-Banknoten hat. Sie möchten wissen, ob und wie genau Sie an der Kasse bezahlen können, wenn Sie Geld haben?
Sei x die Zahl 5 – Rubel, y – 3 – Rubel.
Bedingung: x > 0, y > 0, das heißt.
Außerdem ist t gerade, sonst sind weder x noch y ganzzahlig.
Bei t = 4, 6, 8,. wir haben T
Antwort. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Es sind 110 Blatt Papier. Es ist erforderlich, Notizbücher mit jeweils 8 Blatt und 10 Blatt zu nähen. Wie viele müssen Sie nähen?
Sei x die Anzahl der 8-Blatt-Notizbücher, y die Anzahl der 10-Blatt-Notizbücher.
Also t = 0 oder t = - 1
Antwort. 5;7;(10;3).
27. Viele alte Methoden zum Erraten von Zahlen und Geburtsdaten basieren auf der Lösung diophantischer Gleichungen. Um beispielsweise das Geburtsdatum (Monat und Tag) Ihres Gesprächspartners zu erraten, reicht es aus, ihn nach der Summe zu fragen, die sich aus der Addition zweier Produkte ergibt: der Datumszahl (x) mal 12 und der Monatszahl (y) mal 31 .
Die Summe der betreffenden Produkte sei gleich 330. Ermitteln Sie das Geburtsdatum.
Lösen wir die unbestimmte Gleichung: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Also Geburtsdatum: 12. Tag des 6. Monats.
28. Ist es möglich, den Betrag von 51 Rubel mit Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen einzusammeln? Wenn möglich, wie viele Möglichkeiten gibt es?
Es seien x Zwei-Rubel-Münzen und Fünf-Rubel-Münzen.
Sei also 1+y2=z
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Antwort: 5 Möglichkeiten.
29. Ist es möglich, zweihundert Eier in Kartons zu 10 und 12 Stück zu packen? Wenn möglich, finden Sie alle derartigen Möglichkeiten.
Es seien x Kartons mit jeweils 10 Stück und die Kartons hätten jeweils 12 Stück. Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: z = 1, 2, 3
Antwort: 14;5;8;10;(2;15)
30. Stellen Sie sich die Zahl 257 als die Summe zweier natürlicher Terme vor: a) von denen einer ein Vielfaches von 3 und der andere ein Vielfaches von 4 ist; b) von denen eines ein Vielfaches von 5 und das andere ein Vielfaches von 8 ist.
Antwort: 1) 249 und 8; 2) 225 und 32.
Bei Problemen mit unbestimmten Gleichungen bin ich auf eine Vielzahl von Fällen gestoßen: Das Problem kann völlig unlösbar sein (Problem 4), es kann unendlich viele Lösungen haben (Problem 2), es kann mehrere eindeutige Lösungen haben; Insbesondere kann es eine eindeutige Lösung geben (Problem 1).
ABSCHLUSS
Das Ziel, das ich mir gesetzt habe, wurde erreicht. Die Arbeit an dem Projekt hat Interesse geweckt und mich fasziniert. Diese Arbeit erforderte von mir nicht nur gewisse mathematische Kenntnisse und Ausdauer, sondern gab mir auch die Möglichkeit, die große Freude am selbstständigen Entdecken zu spüren.
Diophantische Gleichungen finden sich in Olympia-Aufgaben, sodass sie logisches Denken entwickeln, das Niveau der mathematischen Kultur erhöhen und Fähigkeiten für unabhängige Forschungsarbeiten in der Mathematik vermitteln.
Bei der Lösung von Gleichungen und Problemen, die auf diophantische Gleichungen reduziert werden, werden die Eigenschaften von Primzahlen, die Methode zur Faktorisierung eines Polynoms, die Aufzählungsmethode, die Abstiegsmethode und der euklidische Algorithmus verwendet. Meiner Meinung nach ist die Abstiegsmethode die schwierigste. Aber die Brute-Force-Methode erwies sich für mich als schöner.
Ich habe in meiner Arbeit 54 Probleme gelöst.
Diese Arbeit trug zu einem tieferen Verständnis des Schullehrplans bei und erweiterte meinen Horizont.
Dieses Material wird für Studierende nützlich sein, die sich für Mathematik interessieren. Es kann in einigen Unterrichtsstunden und außerschulischen Aktivitäten verwendet werden.
Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Die Vollversion des Werkes ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar
Studienobjekt.
Die Forschung betrifft einen der interessantesten Abschnitte der Zahlentheorie – die Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen.
Gegenstand der Studie.
Das Lösen ganzzahliger algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten und mehr als einer Unbekannten ist eines der schwierigsten und ältesten mathematischen Probleme und wird im Mathematikunterricht der Schule nicht ausreichend behandelt. In meiner Arbeit werde ich eine ziemlich vollständige Analyse von Gleichungen in ganzen Zahlen, eine Klassifizierung dieser Gleichungen nach Methoden zu ihrer Lösung, eine Beschreibung von Algorithmen zu ihrer Lösung sowie praktische Beispiele für die Verwendung jeder Methode zur Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen präsentieren .
Ziel.
Erfahren Sie, wie Sie Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.
Aufgaben:
Studieren Sie Lehr- und Referenzliteratur;
Sammeln Sie theoretisches Material zum Lösen von Gleichungen.
Algorithmen zur Lösung derartiger Gleichungen analysieren;
Beschreiben Sie Lösungen;
Betrachten Sie Beispiele für die Lösung von Gleichungen mit diesen Methoden.
Hypothese:
Nachdem ich bei den Aufgaben der Olympiade auf Gleichungen in ganzen Zahlen gestoßen war, ging ich davon aus, dass die Schwierigkeiten bei deren Lösung darauf zurückzuführen waren, dass mir nicht alle Methoden zu ihrer Lösung bekannt waren.
Relevanz:
Beim Lösen von Beispielversionen von Unified State Exam-Aufgaben ist mir aufgefallen, dass es häufig Aufgaben zum Lösen von Gleichungen ersten und zweiten Grades in ganzen Zahlen gibt. Darüber hinaus enthalten Olympiadenaufgaben auf verschiedenen Ebenen auch Gleichungen in ganzen Zahlen oder Probleme, die mithilfe der Fähigkeit gelöst werden, Gleichungen in ganzen Zahlen zu lösen. Die Bedeutung des Wissens, wie man Gleichungen in ganzen Zahlen löst, bestimmt die Relevanz meiner Forschung.
Forschungsmethoden
Theoretische Analyse und Verallgemeinerung wissenschaftlicher Literaturinformationen zu Gleichungen in ganzen Zahlen.
Klassifizierung von Gleichungen in ganzen Zahlen nach Methoden zu ihrer Lösung.
Analyse und Verallgemeinerung von Methoden zur Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen.
Forschungsergebnisse
Die Arbeit beschreibt Methoden zur Lösung von Gleichungen, betrachtet das theoretische Material des Fermat-Theorems, des Pythagoras-Theorems und des Euklid-Algorithmus und präsentiert Beispiele für Lösungen für Probleme und Gleichungen unterschiedlicher Komplexität.
2. Geschichte der Gleichungen in ganzen Zahlen
Diophantus – Wissenschaftler – Algebraist des antiken Griechenlands, einigen Quellen zufolge lebte er bis 364 n. Chr. e. Er spezialisierte sich auf die Lösung von Problemen in ganzen Zahlen. Daher kommt auch der Name Diophantische Gleichungen. Das bekannteste von Diophantus gelöste Problem ist das Problem der „Zerlegung in zwei Quadrate“. Sein Äquivalent ist der bekannte Satz des Pythagoras. Das Leben und Wirken von Diophantus spielte sich in Alexandria ab, er sammelte und löste bekannte Probleme und erfand neue. Später kombinierte er sie in einem großartigen Werk namens Arithmetik. Von den dreizehn Büchern, aus denen die Arithmetik bestand, überlebten nur sechs bis ins Mittelalter und wurden zu einer Inspirationsquelle für Mathematiker der Renaissance. Die Arithmetik von Diophantus ist eine Sammlung von Problemen, zu denen jeweils eine Lösung und die notwendige Erklärung gehören. Die Sammlung umfasst eine Vielzahl von Problemen, deren Lösungen oft äußerst genial sind. Diophantus interessiert sich nur für positive ganze Zahlen und rationale Lösungen. Er nennt irrationale Entscheidungen „unmöglich“ und wählt die Koeffizienten sorgfältig aus, damit die gewünschten positiven, rationalen Lösungen erhalten werden.
Der Satz von Fermat wird verwendet, um Gleichungen in ganzen Zahlen zu lösen. Die Geschichte des Beweises ist sehr interessant. Viele bedeutende Mathematiker arbeiteten an einem vollständigen Beweis des Großen Theorems, und diese Bemühungen führten zu vielen Ergebnissen der modernen Zahlentheorie. Es wird angenommen, dass der Satz hinsichtlich der Anzahl falscher Beweise an erster Stelle steht.
Der bemerkenswerte französische Mathematiker Pierre Fermat stellte fest, dass die Gleichung für die ganze Zahl n ≥ 3 keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen x, y, z (xyz = 0) hat, wird durch die Positivität von x, y, z ausgeschlossen. Für den Fall n = 3 gilt dies Der Satz wurde im 10. Jahrhundert vom zentralasiatischen Mathematiker al-Khojandi versucht zu beweisen, sein Beweis ist jedoch nicht überliefert. Etwas später veröffentlichte Fermat selbst einen Beweis eines Sonderfalls für n = 4.
Euler bewies 1770 den Satz für den Fall n = 3, Dirichlet und Legendre 1825 – für n = 5, Lame – für n = 7. Kummer zeigte, dass der Satz für alle Primzahlen n kleiner als 100 gilt, mit der möglichen Ausnahme von 37, 59, 67.
In den 1980er Jahren entstand ein neuer Ansatz zur Lösung des Problems. Aus Mordells Vermutung, die 1983 von Faltings bewiesen wurde, folgt die Gleichung
für n > 3 kann es nur endlich viele relativ einfache Lösungen geben.
Der letzte, aber wichtigste Schritt zum Beweis des Satzes wurde im September 1994 von Wiles unternommen. Sein 130-seitiger Beweis wurde in der Zeitschrift Annals of Mathematics veröffentlicht. Der Beweis basiert auf der Annahme des deutschen Mathematikers Gerhard Frey, dass Fermats letzter Satz eine Folge der Taniyama-Shimura-Vermutung ist (diese Annahme wurde von Ken Ribet unter Beteiligung von J.-P. Serres bewiesen). Wiles veröffentlichte den ersten Version seines Beweises im Jahr 1993 (nach sieben Jahren harter Arbeit), aber schon bald zeigte sich eine gravierende Lücke; Mit der Hilfe von Richard Lawrence Taylor konnte die Lücke schnell geschlossen werden. Die endgültige Fassung wurde 1995 veröffentlicht. 15. März 2016 Andrew Wiles erhält den Abel-Preis. Derzeit beträgt die Prämie 6 Millionen norwegische Kronen, also etwa 50 Millionen Rubel. Laut Wiles kam die Auszeichnung für ihn „völlig überraschend“.
3. Lineare Gleichungen in ganzen Zahlen
Lineare Gleichungen sind die einfachsten aller diophantischen Gleichungen.
Eine Gleichung der Form ax=b, wobei a und b Zahlen sind und x eine unbekannte Variable ist, wird als lineare Gleichung mit einer Unbekannten bezeichnet. Hier müssen wir nur ganzzahlige Lösungen der Gleichung finden. Es ist zu beachten, dass bei a ≠ 0 die Gleichung nur dann eine ganzzahlige Lösung hat, wenn b vollständig durch a teilbar ist und diese Lösung x = b/ph ist. Wenn a=0, dann hat die Gleichung eine ganzzahlige Lösung, wenn b=0 und in diesem Fall x eine beliebige Zahl ist.
Weil 12 ist also durch 4 teilbar
Weil a=o und b=0, dann ist x eine beliebige Zahl
Weil 7 ist nicht vollständig durch 10 teilbar, dann gibt es keine Lösungen.
4. Methode zur Aufzählung von Optionen.
Bei der Methode zur Aufzählung von Optionen ist es notwendig, die Vorzeichen der Teilbarkeit von Zahlen zu berücksichtigen und alle möglichen Optionen für die Gleichheit der endgültigen Aufzählung zu berücksichtigen. Mit dieser Methode können folgende Probleme gelöst werden:
№1 Finden Sie die Menge aller Paare natürlicher Zahlen, die eine Lösung der Gleichung 49x+69y=602 darstellen
Wir drücken aus der Gleichung x = aus,
Weil x und y natürliche Zahlen sind, dann x = ≥ 1, multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit 49, um den Nenner loszuwerden:
602 nach links verschieben:
51y ≤ 553, y ausdrücken, y= 10
Eine vollständige Suche nach Optionen zeigt, dass die natürlichen Lösungen der Gleichung x=5, y=7 sind.
Antwort:(5.7).-
№2 Lösen Sie das Problem
Aus den Zahlen 2, 4, 7 sollten Sie eine dreistellige Zahl bilden, bei der keine Ziffer mehr als zweimal vorkommen darf.
Finden wir die Anzahl aller dreistelligen Zahlen, die mit der Zahl 2 beginnen: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) – es gibt 8 davon.
Ebenso finden wir alle dreistelligen Zahlen, die mit den Zahlen 4 und 7 beginnen: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).
(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) – es gibt auch jeweils 8 Zahlen. Es ist erst der 24.
Antwort: 24.
5. Kettenbruch und euklidischer Algorithmus
Ein Kettenbruch ist ein Ausdruck eines gewöhnlichen Bruchs in der Form
wobei q 1 eine ganze Zahl ist und q 2, ..., qn natürliche Zahlen sind. Dieser Ausdruck wird Kettenbruch (endlicher Kettenbruch) genannt. Es gibt endliche und unendliche Kettenbrüche.
Für rationale Zahlen hat der Kettenbruch eine endliche Form. Darüber hinaus ist die Folge a i genau die Folge von Quotienten, die man erhält, wenn man den Euklidischen Algorithmus auf den Zähler und Nenner eines Bruchs anwendet.
Beim Lösen von Gleichungen mit Kettenbrüchen habe ich einen allgemeinen Algorithmus für diese Methode zum Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen zusammengestellt.
Algorithmus
1) Bilden Sie das Verhältnis der Koeffizienten für die Unbekannten in Form eines Bruchs
2) Wandeln Sie den Ausdruck in einen unechten Bruch um
3) Wählen Sie den ganzen Teil des unechten Bruchs aus
4) Ersetzen Sie einen echten Bruch durch einen gleichen Bruch
5) Machen Sie 3.4 mit dem resultierenden unechten Bruch im Nenner
6) Wiederholen Sie 5 bis zum Endergebnis
7) Verwerfen Sie im resultierenden Ausdruck das letzte Glied des Kettenbruchs, wandeln Sie den resultierenden neuen Kettenbruch in einen einfachen um und subtrahieren Sie ihn vom ursprünglichen Bruch.
Beispiel№1 Lösen Sie die Gleichung 127x- 52y+ 1 = 0 in ganzen Zahlen
Lassen Sie uns das Verhältnis der Koeffizienten für die Unbekannten transformieren.
Wählen wir zunächst den ganzen Teil des unechten Bruchs aus; = 2 +
Wir ersetzen den echten Bruch durch einen gleichen Bruch.
Von = 2+
Führen wir die gleichen Transformationen mit dem im Nenner erhaltenen unechten Bruch durch.
Jetzt nimmt der ursprüngliche Bruch die Form an: . Wiederholen wir die gleiche Überlegung für den Bruch, den wir erhalten. Wenn wir den ganzen Teil des unechten Bruchs isolieren, kommen wir zum Endergebnis:
Wir haben einen Ausdruck erhalten, der endlicher Kettenbruch genannt wird. Nachdem wir das letzte Glied dieses Kettenbruchs – ein Fünftel – verworfen haben, wandeln wir den resultierenden neuen Kettenbruch in einen einfachen um und subtrahieren ihn vom ursprünglichen Bruch:
Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und verwerfen.
Woher kommt 127∙9-52∙22+1=0? Aus dem Vergleich der resultierenden Gleichheit mit der Gleichung 127x- 52y+1 = 0 folgt, dass dann x= 9, y= 22 die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist und nach dem Satz alle ihre Lösungen in den Progressionen x enthalten sein werden = 9+ 52t, y= 22+ 127t , wobei t=(0; ±1; ±2…..). Das erhaltene Ergebnis legt nahe, im allgemeinen Fall eine Lösung für die Gleichung ax+by+c= zu finden 0 ist es notwendig, das Verhältnis der Koeffizienten der Unbekannten zu einem Kettenbruch zu erweitern, seine letzte Verknüpfung zu verwerfen und Berechnungen ähnlich den oben angegebenen durchzuführen.
Um diese Annahme zu beweisen, benötigen wir einige Eigenschaften von Kettenbrüchen.
Betrachten wir einen irreduziblen Bruch. Bezeichnen wir mit q 1 den Quotienten und mit r 2 den Rest der Division von a durch b. Dann erhalten wir:
Dann ist b=q 2 r 2 +r 3 ,
Genau so
r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;
r 3 =q 4 r 4 +r 5 ,;
………………………………..
Die Größen q 1, q 2,... heißen unvollständige Quotienten. Der obige Vorgang der Bildung unvollständiger Quotienten wird aufgerufen Euklidischer Algorithmus. Die Reste der Division r 2 , r 3 ,… erfüllen die Ungleichungen
diese. bilden eine Reihe abnehmender nicht negativer Zahlen.
Beispiel Nr. 2 Lösen Sie die Gleichung 170x+190y=3000 in ganzen Zahlen
Nach der Reduzierung um 10 sieht die Gleichung so aus:
Um eine bestimmte Lösung zu finden, verwenden wir die Zerlegung eines Bruchs in einen Kettenbruch
Indem man den vorletzten Bruch, der dazu passt, in einen gewöhnlichen Bruch zusammenfasst
Eine bestimmte Lösung dieser Gleichung hat die Form
X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,
und die allgemeine ist durch die Formel gegeben
x=2700-19k, y= -2400+17k.
woraus wir die Bedingung für den Parameter k erhalten
Diese. k=142, x=2, y=14. .
6. Faktorisierungsmethode
Die Methode der Aufzählung von Optionen ist eine umständliche Methode, da es Fälle gibt, in denen es unmöglich ist, vollständige Lösungen durch Aufzählung zu finden, da es unendlich viele solcher Lösungen gibt. Die Faktorisierungsmethode ist eine sehr interessante Technik und findet sich sowohl in der Grund- als auch in der höheren Mathematik.
Das Wesentliche ist die Identitätstransformation. Der Sinn jeder identischen Transformation besteht darin, einen Ausdruck in einer anderen Form zu schreiben und dabei sein Wesen zu bewahren. Schauen wir uns Beispiele für die Verwendung dieser Methode an.
№1 Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen y 3 - X 3 = 91.
Mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln faktorisieren wir die rechte Seite der Gleichung:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91
Wir schreiben alle Teiler der Zahl 91 auf: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
Wir stellen fest, dass für jede ganze Zahl x und y die Zahl sind
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
Daher müssen beide Faktoren auf der linken Seite der Gleichung positiv sein. Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung einem Satz von Gleichungssystemen:
Nachdem wir die Systeme gelöst haben, wählen wir diejenigen Wurzeln aus, die ganze Zahlen sind.
Wir erhalten Lösungen für die ursprüngliche Gleichung: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).
Antwort: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
№2 Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen, die die Gleichung x erfüllen 2 -y 2 = 69
Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Gleichung in das Formular schreiben
Weil Die Teiler der Zahl 69 sind die Zahlen 1, 3, 23 und 69, dann kann 69 auf zwei Arten erhalten werden: 69=1·69 und 69=3·23. Wenn man bedenkt, dass x-y > 0 ist, erhalten wir zwei Gleichungssysteme, deren Lösung wir die erforderlichen Zahlen finden können:
Indem wir eine Variable ausdrücken und sie in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir die Wurzeln der Gleichungen. Das erste System hat eine Lösung x=35;y=34 und das zweite System hat eine Lösung x=13, y=10.
Antwort: (35; 34), (13; 10).
№3 Lösen Sie die Gleichung x + y = xy in ganzen Zahlen:
Schreiben wir die Gleichung in das Formular
Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren. Wir bekommen
Das Produkt zweier Ganzzahlen kann nur in zwei Fällen gleich 1 sein: wenn beide gleich 1 oder -1 sind. Wir erhalten zwei Systeme:
Das erste System hat eine Lösung x=2, y=2 und das zweite System hat eine Lösung x=0, y=0. Antwort: (2; 2), (0; 0).
№4 Beweisen Sie, dass die Gleichung (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und beide Seiten der Gleichung durch 3 dividieren, was zu der folgenden Gleichung führt:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10
Die Teiler von 10 sind die Zahlen ±1, ±2, ±5, ±10. Beachten Sie auch, dass die Summe der Faktoren auf der linken Seite der Gleichung gleich 0 ist. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Summe dreier beliebiger Zahlen aus der Menge der Teiler der Zahl 10, die das Produkt 10 ergibt, nicht gleich ist 0. Folglich hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
7. Restmethode
Die Hauptaufgabe der Methode besteht darin, den Rest zu finden, wenn beide Seiten der Gleichung durch eine ganze Zahl dividiert werden, basierend auf den erhaltenen Ergebnissen. Oft reduzieren die gewonnenen Informationen die Möglichkeiten von Lösungsmengen für die Gleichung. Schauen wir uns Beispiele an:
№1 Beweisen Sie, dass die Gleichung x 2 = 3y + 2 hat keine ganzzahligen Lösungen.
Nachweisen.
Betrachten Sie den Fall, dass x, y ∈ N. Betrachten Sie die Reste, wenn beide Seiten durch 3 geteilt werden. Die rechte Seite der Gleichung ergibt einen Rest von 2, wenn sie für jeden Wert von y durch 3 geteilt wird. Die linke Seite, das Quadrat einer natürlichen Zahl, ergibt bei Division durch 3 immer einen Rest von 0 oder 1. Auf dieser Grundlage stellen wir fest, dass es für diese Gleichung in natürlichen Zahlen keine Lösung gibt.
Betrachten wir den Fall, dass eine der Zahlen 0 ist. Dann gibt es offensichtlich keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Für den Fall, dass y eine negative ganze Zahl ist, gibt es keine Lösungen, weil die rechte Seite wird negativ sein und die linke Seite wird positiv sein.
Für den Fall, dass x eine negative ganze Zahl ist, gibt es ebenfalls keine Lösungen, weil fällt aufgrund der Tatsache, dass (-x) 2 = (x) 2 ist, unter einen der zuvor betrachteten Fälle.
Es stellt sich heraus, dass die angegebene Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen hat, was bewiesen werden musste.
№2 Lösen Sie in ganzen Zahlen 3 X = 1 + y 2 .
Es ist nicht schwer zu erkennen, dass (0; 0) die Lösung dieser Gleichung ist. Es bleibt zu beweisen, dass die Gleichung keine anderen ganzzahligen Wurzeln hat.
Betrachten wir die Fälle:
1) Wenn x∈N, y∈N, dann ist 3 ohne Rest durch drei teilbar, und 1 + y 2 ergibt bei Division durch 3
der Rest ist entweder 1 oder 2. Daher Gleichheit für natürlich
Werte x, y ist unmöglich.
2) Wenn x eine negative ganze Zahl ist, y∈Z, dann 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
Gleichheit ist auch unmöglich. Daher ist (0; 0) die einzige
Antwort: (0; 0).
№3 Gleichung 2x lösen 2 -2xy+9x+y=2 in ganzen Zahlen:
Drücken wir aus der Gleichung die Unbekannte aus, die nur bis zum ersten Grad darin enthalten ist, also die Variable y:
2x 2 +9x-2=2xy-y, woher
Wählen wir den ganzen Teil eines Bruchs aus, indem wir die Regel verwenden, ein Polynom durch ein Polynom durch einen „Winkel“ zu dividieren. Wir bekommen:
Offensichtlich kann die Differenz 2x-1 nur die Werte -3, -1, 1 und 3 annehmen.
Es bleiben noch diese vier Fälle durchzugehen, wodurch wir die Lösungen erhalten: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
Antwort: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
8. Ein Beispiel für die Lösung von Gleichungen mit zwei Variablen in ganzen Zahlen als Quadrat in Bezug auf eine der Variablen
№1 Lösen Sie die Gleichung 5x in ganzen Zahlen 2 +5µ 2 + 8xy+2y-2x +2=0
Diese Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden, diese Methode ist jedoch, wenn sie auf diese Gleichung angewendet wird, recht arbeitsintensiv. Betrachten wir einen rationaleren Weg.
Schreiben wir die Gleichung in quadratischer Form bezüglich der Variablen x:
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
Wir finden seine Wurzeln.
Diese Gleichung hat genau dann eine Lösung, wenn die Diskriminante
dieser Gleichung ist gleich Null, d.h. - 9(y+1) 2 =0, also y= - 1.
Wenn y= -1, dann x= 1.
Antwort: (1; - 1).
9. Ein Beispiel für die Lösung von Problemen mithilfe von Gleichungen in ganzen Zahlen.
№ 1. Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen : wobei n>m
Drücken wir die Variable n durch die Variable m aus:
Finden wir die Teiler der Zahl 625: Das ist 1; 5; 25; 125; 625
1) wenn m-25 =1, dann m=26, n=25+625=650
2) m-25 =5, dann m=30, n=150
3) m-25 =25, dann m=50, n=50
4) m-25 =125, dann m=150, n=30
5) m-25 =625, dann m=650, n=26
Antwort: m=150, n=30
№ 2. Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen: mn +25 = 4m
Lösung: mn +25 = 4m
1) Drücken Sie die Variable 4m durch n aus:
2) Finden Sie die natürlichen Teiler der Zahl 25: das ist 1; 5; 25
wenn 4-n =1, dann n=3, m=25
4-n=5, dann n=-1, m=5; 4-n =25, dann n=-21, m=1 (Fremdwurzeln)
Antwort: (25;3)
Neben Aufgaben zur Lösung einer Gleichung in ganzen Zahlen gibt es Aufgaben zum Beweis der Tatsache, dass die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln hat.
Bei der Lösung solcher Probleme müssen die folgenden Eigenschaften der Teilbarkeit beachtet werden:
1) Wenn n Z; n ist durch 2 teilbar, dann ist n = 2k, k ∈ Z.
2) Wenn n ∈ Z; n ist nicht durch 2 teilbar, dann ist n = 2k+1, k ∈ Z.
3) Wenn n ∈ Z; n ist durch 3 teilbar, dann ist n = 3k, k ∈ Z.
4) Wenn n ∈ Z; n ist nicht durch 3 teilbar, dann ist n = 3k±1, k ∈ Z.
5) Wenn n ∈ Z; n ist nicht durch 4 teilbar, dann ist n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.
6) Wenn n ∈ Z; n(n+1) ist durch 2 teilbar, dann ist n (n+1)(n+2) durch 2;3;6 teilbar.
7)n; n+1 sind relativ teilerfremd.
№3 Beweisen Sie, dass die Gleichung x 2 - 3y = 17 hat keine ganzzahligen Lösungen.
Nachweisen:
Sei x; y - Lösungen der Gleichung
x 2 = 3(y+6)-1 Weil y ∈ Z, dann y+6 ∈ Z, was bedeutet, dass 3(y+6) durch 3 teilbar ist, daher ist 3(y+6)-1 nicht durch 3 teilbar, daher ist x 2 nicht durch 3 teilbar , x ist nicht durch 3 teilbar, was bedeutet x = 3k±1, k ∈ Z.
Setzen wir dies in die ursprüngliche Gleichung ein.
Wir haben einen Widerspruch. Das bedeutet, dass die Gleichung keine vollständigen Lösungen hat, was bewiesen werden musste.
10.Pica-Formel
Die Pieck-Formel wurde 1899 vom österreichischen Mathematiker Georg Pieck entdeckt. Die Formel bezieht sich auf Gleichungen in ganzen Zahlen, da nur ganzzahlige Knoten aus Polygonen entnommen werden, genau wie ganze Zahlen in den Gleichungen.
Mit dieser Formel können Sie die Fläche einer auf einem Blatt Papier in einem Käfig konstruierten Figur ermitteln (Dreieck, Quadrat, Trapez, Rechteck, Vieleck).
In dieser Formel finden wir ganzzahlige Punkte innerhalb des Polygons und an seinem Rand.
In den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens gibt es eine ganze Gruppe von Aufgaben, bei denen ein Polygon vorgegeben, auf einem Blatt Papier in einem Quadrat konstruiert wird, und es darum geht, die Fläche zu finden. Der Zellenmaßstab beträgt einen Quadratzentimeter.
Beispiel Nr. 1
M – Anzahl der Knoten am Rand des Dreiecks (an den Seiten und Eckpunkten)
N ist die Anzahl der Knoten innerhalb des Dreiecks.
*Mit „Knoten“ meinen wir den Schnittpunkt von Linien. Finden wir die Fläche des Dreiecks:
Markieren wir die Knoten:
M = 15 (in rot angezeigt)
N=34 (in Blau)
Beispiel Nr. 2
Finden wir die Fläche des Polygons: Markieren Sie die Knoten:
M = 14 (in rot angezeigt)
N=43 (in Blau)
12.Abstiegsmethode
Eine der Methoden zur Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen – die Abstiegsmethode – basiert auf dem Satz von Fermat.
Die Abstiegsmethode ist eine Methode, die darin besteht, eine Lösung für eine unendliche Folge von Lösungen mit unendlich abnehmendem positiven z zu konstruieren.
Betrachten wir den Algorithmus dieser Methode am Beispiel der Lösung einer bestimmten Gleichung.
Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung in den ganzen Zahlen 5x + 8y = 39.
1) Wählen wir die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten (in unserem Fall x) und drücken sie durch eine andere Unbekannte aus:
2) Wählen wir den ganzzahligen Teil aus: Offensichtlich ist x eine ganze Zahl, wenn sich herausstellt, dass der Ausdruck eine ganze Zahl ist, was wiederum der Fall ist, wenn die Zahl 4 - 3y ohne Rest durch 5 teilbar ist.
3) Lassen Sie uns eine zusätzliche ganzzahlige Variable z wie folgt einführen: 4 -3y = 5z. Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung vom gleichen Typ wie die ursprüngliche, jedoch mit kleineren Koeffizienten.
4) Wir lösen es in Bezug auf die Variable y und denken genau wie in den Punkten 1 und 2: Wenn wir den gesamten Teil auswählen, erhalten wir:
5) Ähnlich wie zuvor führen wir eine neue Variable u ein: 3u = 1 - 2z.
6) Drücken Sie die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten aus, in diesem Fall die Variable z: . Unter der Voraussetzung, dass es eine ganze Zahl ist, erhalten wir: 1 – u = 2v, woraus u = 1 – 2v. Es gibt keine Brüche mehr, der Abstieg ist abgeschlossen (wir setzen den Vorgang fort, bis im Ausdruck für die nächste Variable keine Brüche mehr vorhanden sind).
7) Jetzt müssen Sie „nach oben gehen“. Lassen Sie uns durch die Variable v zuerst z, dann y und dann x ausdrücken:
8) Die Formeln x = 3+8v und y = 3 - 5v, wobei v eine beliebige ganze Zahl ist, stellen die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen dar.
Bei der Abstiegsmethode wird also zunächst eine Variable sequentiell durch eine andere ausgedrückt, bis in der Darstellung der Variablen keine Brüche mehr vorhanden sind, und dann sequentiell entlang der Gleichungskette „aufgestiegen“, um eine allgemeine Lösung der Gleichung zu erhalten.
12. Fazit
Als Ergebnis der Studie wurde die Hypothese bestätigt, dass die Schwierigkeiten beim Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen darauf zurückzuführen sind, dass mir nicht alle Methoden zu ihrer Lösung bekannt waren. Im Rahmen meiner Forschung konnte ich wenig bekannte Methoden zur Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen finden, beschreiben und anhand von Beispielen veranschaulichen. Die Ergebnisse meiner Forschung können für alle an Mathematik interessierten Studierenden von Nutzen sein.
13.Bibliographie
Buchressourcen:
1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebra und mathematische Analyse / 10. Klasse, 11. Klasse // M., „Aufklärung“, 1998;
2. A.F. Ivanov et al., Mathematik. Lehr- und Schulungsmaterialien zur Prüfungsvorbereitung // Woronesch, GOUVPO VSTU, 2007
3. A. O. Gelfond, Mathematik, Zahlentheorie // Gleichungen in ganzen Zahlen lösen // LIBROKOM Book House
Internetressourcen:
4. Demonstrationsversionen von Kontrollmessmaterialien des einheitlichen Staatsexamens in Mathematik http://fipi.ru/
5. Beispiele für Lösungen für Gleichungen in ganzen Zahlen http://reshuege.ru
6. Beispiele für Lösungen von Gleichungen in ganzen Zahlen http://mat-ege.ru
7. Geschichte der diophantischen Gleichungen http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. Geschichte von Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- %D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 %D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9. Geschichte der diophantischen Gleichungen http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. Geschichte von Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.
Unsichere Gleichungen sind Gleichungen, die mehr als eine Unbekannte enthalten. Mit einer Lösung einer unbestimmten Gleichung meinen wir eine Menge von Werten der Unbekannten, die die gegebene Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.
Eine Gleichung der Form in ganzen Zahlen lösen ah + von = C , Wo A, B , C - Ganzzahlen ungleich Null stellen wir eine Reihe theoretischer Bestimmungen vor, die es uns ermöglichen, eine Entscheidungsregel aufzustellen. Diese Bestimmungen basieren auch auf bereits bekannten Tatsachen der Teilbarkeitstheorie.
Satz 1.Wenn gcd (A, B ) = D , dann gibt es solche ganzen Zahlen X Und bei, dass die Gleichheit gilt ah + B y = D . (Diese Gleichheit wird als Linearkombination oder lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen durch die Zahlen selbst bezeichnet.)
Der Beweis des Satzes basiert auf der Verwendung der Gleichheit des euklidischen Algorithmus, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden (der größte gemeinsame Teiler wird in Form von Teilquotienten und Resten ausgedrückt, beginnend mit der letzten Gleichheit im euklidischen Algorithmus).
Beispiel.
Finden Sie die lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen 1232 und 1672.
Lösung.
1. Erstellen wir die Gleichungen des euklidischen Algorithmus:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, d.h. (1672,352) = 88.
2) Lassen Sie uns 88 sequentiell durch unvollständige Quotienten und Reste ausdrücken, indem wir die oben erhaltenen Gleichungen verwenden, beginnend am Ende:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, d.h. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Satz 2. Wenn die Gleichung ah + B y = 1 , wenn gcd (A, B ) = 1 , es reicht aus, sich die Zahl vorzustellen 1 als lineare Kombination der Zahlen a und B.
Die Gültigkeit dieses Theorems folgt aus Theorem 1. Also, um eine einzelne ganzzahlige Lösung der Gleichung zu finden ah + B y = 1, Wenn ggT (a, b) = 1 ist, reicht es aus, die Zahl 1 als lineare Zahlenkombination darzustellen A Und V .
Beispiel.
Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 15x + 37y = 1.
Lösung.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Satz 3. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 Und Mit nicht teilbar durch D , dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
Um den Satz zu beweisen, genügt es, das Gegenteil anzunehmen.
Beispiel.
Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 16x - 34y = 7.
Lösung.
(16.34)=2; 7 ist nicht durch 2 teilbar, die Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen
Satz 4. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 und c D , Dann ist es
Beim Beweis des Satzes sollte gezeigt werden, dass eine beliebige ganzzahlige Lösung der ersten Gleichung auch eine Lösung der zweiten Gleichung ist und umgekehrt.
Satz 5. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:
T – jede ganze Zahl.
Beim Beweis des Satzes soll erstens gezeigt werden, dass die obigen Formeln tatsächlich Lösungen dieser Gleichung liefern und zweitens, dass in den obigen Formeln eine beliebige ganzzahlige Lösung dieser Gleichung enthalten ist.
Die obigen Theoreme ermöglichen es uns, die folgende Regel zum Lösen der Gleichung in ganzen Zahlen aufzustellen ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:
1) Es wird eine ganzzahlige Lösung der Gleichung gefunden ah + B y = 1 indem man 1 als lineare Zahlenkombination darstellt A UndB (Es gibt andere Möglichkeiten, vollständige Lösungen für diese Gleichung zu finden, beispielsweise mithilfe von Kettenbrüchen.)
Eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen des GegebenenGeben T Bei bestimmten ganzzahligen Werten können Sie Teillösungen dieser Gleichung erhalten: den kleinsten Absolutwert, den kleinsten positiven Wert (wenn möglich) usw.
Beispiel.
Finden Sie ganzzahlige Lösungen der Gleichung 407x - 2816y = 33.
Lösung.
1. Wir vereinfachen diese Gleichung und bringen sie auf die Form 37x - 256y = 3.
2. Lösen Sie die Gleichung 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Gesamtansicht aller ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung:
x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,
y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.
Die Methode der erschöpfenden Aufzählung aller möglichen Werte von Variablen,
in die Gleichung einbezogen.
Finden Sie die Menge aller Paare natürlicher Zahlen, die Lösungen der Gleichung 49x + 51y = 602 sind.
Lösung:
Drücken wir die Variable x aus der Gleichung durch y x = aus, da x und y natürliche Zahlen sind, dann x =602 - 51µ ≥ 49, 51µ≤553, 1≤µ≤10.
Eine vollständige Suche nach Optionen zeigt, dass die natürlichen Lösungen der Gleichung x=5, y=7 sind.
Antwort: (5;7).
Gleichungen mit der Faktorisierungsmethode lösen.
Diophantus betrachtete neben linearen Gleichungen auch quadratische und kubische unbestimmte Gleichungen. Sie zu lösen ist meist schwierig.
Betrachten wir einen Fall, in dem die Differenzquadratformel oder eine andere Faktorisierungsmethode auf die Gleichungen angewendet werden kann.
Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 23 = y 2
Lösung:
Schreiben wir die Gleichung in der Form um: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Da x und y ganze Zahlen sind und 23 eine Primzahl ist, sind folgende Fälle möglich:
Wenn wir die resultierenden Systeme lösen, finden wir:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Eine Variable durch eine andere ausdrücken und den ganzen Teil des Bruchs isolieren.
Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Lösung:
Lassen Sie uns y durch x anhand dieser Gleichung ausdrücken:
y(x - 1) =2 - x 2,
Die Herangehensweise des Autors an dieses Thema ist kein Zufall. Gleichungen mit zwei Variablen begegnet man erstmals im Kurs der 7. Klasse. Eine Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele Lösungen. Dies wird durch den Graphen einer linearen Funktion deutlich, gegeben durch ax + by=c. Im Schulkurs studieren die Schüler Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Infolgedessen geraten eine ganze Reihe von Problemen mit begrenzten Bedingungen an den Koeffizienten der Gleichung sowie Methoden zu deren Lösung aus dem Blickfeld des Lehrers und damit des Schülers.
Wir sprechen über die Lösung einer Gleichung mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen oder natürlichen Zahlen.
In der Schule werden in den Klassen 4-6 natürliche Zahlen und ganze Zahlen studiert. Bis zum Schulabschluss erinnern sich nicht alle Schüler an die Unterschiede zwischen den Zahlensätzen.
Eine Aufgabe wie „Lösen Sie eine Gleichung der Form ax + by=c in ganzen Zahlen“ findet sich jedoch zunehmend in Aufnahmeprüfungen für Universitäten und in Materialien für das Einheitliche Staatsexamen.
Das Lösen unsicherer Gleichungen fördert logisches Denken, Intelligenz und Aufmerksamkeit für die Analyse.
Ich schlage vor, mehrere Lektionen zu diesem Thema zu entwickeln. Ich habe keine klaren Empfehlungen zum Zeitpunkt dieser Lektionen. Einige Elemente können auch in der 7. Klasse (für eine starke Klasse) eingesetzt werden. Diese Lektionen können als Grundlage genommen und ein kleiner Wahlpflichtkurs zur Berufsvorbereitung in der 9. Klasse entwickelt werden. Und natürlich kann dieses Material in den Klassen 10-11 zur Prüfungsvorbereitung eingesetzt werden.
Der Zweck der Lektion:
- Wiederholung und Verallgemeinerung des Wissens zum Thema „Gleichungen erster und zweiter Ordnung“
- Förderung des kognitiven Interesses am Thema
- Entwicklung der Fähigkeit zu analysieren, Verallgemeinerungen vorzunehmen und Wissen auf eine neue Situation zu übertragen
Lektion 1.
Während des Unterrichts.
1) Org. Moment.
2) Aktualisierung des Grundwissens.
Definition. Eine lineare Gleichung in zwei Variablen ist eine Gleichung der Form
mx + ny = k, wobei m, n, k Zahlen und x, y Variablen sind.
Beispiel: 5x+2y=10
Definition. Eine Lösung einer Gleichung mit zwei Variablen ist ein Wertepaar von Variablen, das die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.
Gleichungen mit zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden als äquivalent bezeichnet.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Diese Gleichung kann beliebig viele Lösungen haben. Dazu reicht es aus, einen beliebigen x-Wert zu nehmen und den entsprechenden y-Wert zu ermitteln.
Sei x = 2, y = -2,5 · 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Zahlenpaare (2;1); (4;-4) – Lösungen für Gleichung (1).
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
3) Historischer Hintergrund
Unbestimmte (diophantische) Gleichungen sind Gleichungen, die mehr als eine Variable enthalten.
Im 3. Jahrhundert. ANZEIGE – Diophantus von Alexandria schrieb „Arithmetik“, in dem er die Menge der Zahlen zu rationalen Zahlen erweiterte und die algebraische Symbolik einführte.
Diophantus befasste sich auch mit den Problemen der Lösung unbestimmter Gleichungen und gab Methoden zur Lösung unbestimmter Gleichungen zweiten und dritten Grades an.
4) Neues Material studieren.
Definition: Eine inhomogene diophantische Gleichung erster Ordnung mit zwei Unbekannten x, y ist eine Gleichung der Form mx + ny = k, wobei m, n, k, x, y Z k0
Aussage 1.
Wenn der freie Term k in Gleichung (1) nicht durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen m und n teilbar ist, dann hat Gleichung (1) keine ganzzahligen Lösungen.
Beispiel: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 ist nicht gleichmäßig durch 17 teilbar, es gibt keine Lösung in ganzen Zahlen.
Sei k durch ggT (m, n) dividiert. Indem wir alle Koeffizienten dividieren, können wir sicherstellen, dass m und n relativ teilerfremd werden.
Aussage 2.
Wenn m und n von Gleichung (1) teilerfremde Zahlen sind, dann hat diese Gleichung mindestens eine Lösung.
Aussage 3.
Wenn die Koeffizienten m und n der Gleichung (1) teilerfremde Zahlen sind, dann hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen:
Wobei (; ) eine beliebige Lösung der Gleichung (1) ist, t Z
Definition. Eine homogene diophantische Gleichung erster Ordnung mit zwei Unbekannten x, y ist eine Gleichung der Form mx + ny = 0, wobei (2)
Aussage 4.
Wenn m und n teilerfremde Zahlen sind, hat jede Lösung der Gleichung (2) die Form 
5) Hausaufgaben. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Mehrere Kinder pflückten Äpfel. Jeder Junge sammelte 21 kg und das Mädchen sammelte 15 kg. Insgesamt sammelten sie 174 kg. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen haben Äpfel gepflückt?
Kommentar. Diese Lektion enthält keine Beispiele zum Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen. Daher lösen Kinder Hausaufgaben anhand von Aussage 1 und Auswahl.
Lektion 2.
1) Organisatorischer Moment
2) Hausaufgaben überprüfen
1) 9x – 18y = 5
5 ist nicht durch 9 teilbar; es gibt keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Mithilfe der Auswahlmethode können Sie eine Lösung finden
Antwort: (0;0), (2;2)
3) Lassen Sie uns eine Gleichung aufstellen:
Seien die Jungen x, x Z und die Mädchen y, y Z, dann können wir die Gleichung 21x + 15y = 174 erstellen
Viele Schüler werden eine Gleichung nicht lösen können, nachdem sie sie geschrieben haben.
Antwort: 4 Jungen, 6 Mädchen.
3) Neues Material lernen
Da die Schüler beim Erledigen ihrer Hausaufgaben auf Schwierigkeiten gestoßen waren, waren sie davon überzeugt, dass sie ihre Methoden zum Lösen unsicherer Gleichungen erlernen mussten. Schauen wir uns einige davon an.
I. Methode zur Berücksichtigung von Divisionsresten.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen 3x – 4y = 1.
Die linke Seite der Gleichung ist durch 3 teilbar, daher muss die rechte Seite teilbar sein. Betrachten wir drei Fälle.
Antwort: wo m Z.
Die beschriebene Methode ist praktisch anzuwenden, wenn die Zahlen m und n nicht klein sind, sondern in einfache Faktoren zerlegt werden können.
Beispiel: Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.
Sei y = 4n, dann wird 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) durch 4 geteilt.
y = 4n+1, dann ist 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nicht durch 4 teilbar.
y = 4n+2, dann ist 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nicht durch 4 teilbar.
y = 4n+3, dann ist 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nicht durch 4 teilbar.
Daher ist dann y = 4n
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Antwort: , wo n Z.
II. Unsichere Gleichungen 2. Grades
Heute werden wir in der Lektion nur auf die Lösung diophantischer Gleichungen zweiter Ordnung eingehen.
Und von allen Arten von Gleichungen betrachten wir den Fall, in dem wir die Differenzquadratformel oder eine andere Faktorisierungsmethode anwenden können.
Beispiel: Lösen Sie eine Gleichung in ganzen Zahlen.
13 ist eine Primzahl und kann daher nur auf vier Arten faktorisiert werden: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Betrachten wir diese Fälle
Antwort: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Hausaufgaben.
Beispiele. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | ungeeignet | ungeeignet |
| 2x = -4 | ungeeignet | ungeeignet |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Antwort: (-2;0), (2;0).
Antworten: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Antwort: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Ergebnisse. Was bedeutet es, eine Gleichung in ganzen Zahlen zu lösen?
Welche Methoden zur Lösung unsicherer Gleichungen kennen Sie?
Anwendung:
Übungen zum Training.
1) Lösen Sie in ganzen Zahlen.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Finden Sie ganzzahlige nichtnegative Lösungen der Gleichung.
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