Geometrie-Arbeitsblatt „Die relative Position einer Linie und eines Kreises. Die relative Position zweier Kreise“ (Klasse 7). Die relative Position einer geraden Linie und eines Kreises

Auf einer Ebene seien ein Kreis und eine Gerade gegeben. Lassen Sie uns eine Senkrechte vom Mittelpunkt des Kreises C auf diese Gerade fallen lassen; Bezeichnen wir mit der Basis dieser Senkrechten. Ein Punkt kann drei mögliche Positionen relativ zum Kreis einnehmen: a) außerhalb des Kreises liegen, b) auf dem Kreis, c) innerhalb des Kreises. Abhängig davon nimmt die Gerade eine von drei möglichen unterschiedlichen Positionen relativ zum Kreis ein, die unten beschrieben werden.

a) Die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt C des Kreises zur Geraden a fällt, liege außerhalb des Kreises (Abb. 197). Dann schneidet die Gerade den Kreis nicht, alle ihre Punkte liegen im Außenbereich. Tatsächlich wird es im angegebenen Fall bedingt in einem Abstand von der Mitte entfernt, der größer als der Radius ist. Darüber hinaus gilt für jeden Punkt M auf einer Geraden a, dass jeder Punkt auf einer gegebenen Geraden außerhalb des Kreises liegt.

b) Lassen Sie die Basis der Senkrechten auf den Kreis fallen (Abb. 198). Dann hat die Gerade a genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Wenn M tatsächlich irgendein anderer Punkt der Geraden ist, dann (die geneigten sind länger als die Senkrechte) liegt der Punkt M im äußeren Bereich. Eine solche Linie, die mit dem Kreis einen einzigen gemeinsamen Punkt hat, heißt Tangente an den Kreis in diesem Punkt. Zeigen wir umgekehrt, dass, wenn eine Gerade einen einzigen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, der zu diesem Punkt gezeichnete Radius senkrecht zu dieser Geraden steht. Lassen Sie uns tatsächlich eine Senkrechte vom Mittelpunkt auf diese Linie fallen lassen. Wenn ihre Basis innerhalb des Kreises liegen würde, hätte die Gerade zwei gemeinsame Punkte mit ihr, wie in c) gezeigt. Wenn sie außerhalb des Kreises läge, hätte die Gerade aufgrund a) keine gemeinsamen Punkte mit dem Kreis.

Daher bleibt anzunehmen, dass die Senkrechte im gemeinsamen Punkt der Geraden und des Kreises liegt – im Punkt ihrer Tangente. Erwiesenermaßen wichtig

Satz. Eine gerade Linie, die durch einen Punkt auf einem Kreis verläuft, berührt den Kreis genau dann, wenn sie senkrecht zu dem zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft.

Beachten Sie, dass die hier gegebene Definition einer Tangente an einen Kreis nicht auf andere Kurven übertragen werden kann. Eine allgemeinere Definition der Tangente einer geraden Linie an eine gekrümmte Linie ist mit den Konzepten der Grenzwerttheorie verbunden und wird im Kurs ausführlich besprochen höhere Mathematik. Hier werden wir nur darüber reden allgemeines Konzept. Gegeben seien ein Kreis und der Punkt A darauf (Abb. 199).

Nehmen wir einen weiteren Punkt A auf dem Kreis und verbinden wir beide Punkte der Geraden AA. Lassen Sie Punkt A, der sich entlang eines Kreises bewegt, eine Reihe neuer Positionen einnehmen und sich Punkt A immer mehr nähern. Die Gerade AA, die sich um A dreht, nimmt mehrere Positionen ein: in diesem Fall, wenn sich der bewegte Punkt Punkt A nähert , die Gerade neigt dazu, mit der Tangente AT zusammenzufallen. Daher können wir von einer Tangente als der Grenzposition einer Sekante sprechen, die durch einen bestimmten Punkt und einen Punkt auf einer Kurve verläuft, der sich ihm unbegrenzt nähert. In dieser Form ist die Definition einer Tangente sehr auf Kurven anwendbar Gesamtansicht(Abb. 200).

c) Lassen Sie den Punkt abschließend innerhalb des Kreises liegen (Abb. 201). Dann . Wir betrachten geneigte Kreise, die vom Mittelpunkt C zur Geraden a gezogen werden und deren Basen sich in einer von zwei möglichen Richtungen vom Punkt weg bewegen. Die Länge der Neigung nimmt monoton zu, wenn sich ihre Basis vom Punkt entfernt; diese Zunahme der Länge der Neigung erfolgt allmählich („kontinuierlich“) von Werten nahe bei bis zu Werten, die beliebig groß sind, daher scheint es klar, dass Bei einer bestimmten Position der geneigten Grundflächen ist ihre Länge genau gleich, die entsprechenden Punkte K und L der Geraden liegen auf dem Kreis.

Gegenseitige Übereinkunft Linie und Kreis Lassen Sie uns herausfinden, wie viele gemeinsame Punkte eine Linie und ein Kreis abhängig von ihrer relativen Position haben können. Es ist klar, dass, wenn eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises geht, sie den Kreis an den beiden Enden des darauf liegenden Durchmessers schneidet. das prima.

Lass es gerade sein R geht nicht durch den Mittelpunkt des Radiuskreises R. Zeichnen wir eine Senkrechte ER zu einer geraden Linie R und mit dem Buchstaben bezeichnen D die Länge dieser Senkrechten, also der Abstand vom Mittelpunkt dieses Kreises zur Geraden (Abb. 1). ). Wir untersuchen die relative Position einer Linie und eines Kreises in Abhängigkeit von der Beziehung zwischen ihnen D Und R. Es gibt drei mögliche Fälle.

1) d R vom Punkt N Legen Sie zwei Segmente beiseite AN Und NV, Längen, die gleich sind (Abb. 1) Nach dem Satz des Pythagoras OA=,

0 B= Daher Punkte A Und IN liegen auf dem Kreis und sind daher gemeinsame Punkte der Geraden R und der gegebene Kreis.

Beweisen wir, dass die Linie R und dieser Kreis hat keine weiteren gemeinsamen Punkte. Angenommen, sie haben noch einen gemeinsamen Punkt C. Dann den Median Außendurchmesser gleichschenkligen Dreiecks OAS. zur Basis getragen Wechselstrom, ist die Höhe dieses Dreiecks, also UMDP. Segmente Außendurchmesser Und ER nicht übereinstimmen

seit der mitte D Segment Wechselstrom passt nicht mit einem Punkt N - Mittelpunkt des Segments , AB. Wir fanden heraus, dass zwei Senkrechte vom Punkt O aus gezogen wurden: ER Und OD- zu einer geraden Linie R, was unmöglich ist. Also Wenn Distanz Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden ist kleiner als der Radius des Kreises(D< р), Das Gerade und KreisEs gibt zwei gemeinsame Punkte. In diesem Fall wird die Leitung aufgerufen Sekante im Verhältnis zum Kreis.

2) d=R. In diesem Fall OH=R, d.h. Punkt N liegt auf dem Kreis und ist daher der gemeinsame Punkt der Geraden und des Kreises (Abb. 1, B). Gerade R und der Kreis haben keine anderen Punkte gemeinsam, da für jeden Punkt M gerade R. anders als der Punkt N, OM>OH= R(schräg OM eher senkrecht ER), und deshalb , Punkt M liegt nicht auf dem Kreis. Also wenn RennenDer Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden ist gleich dem Radius, dann haben Gerade und Kreis nur einen gemeinsamen Punkt.

3) d>R In diesem Fall -OH> R Deshalb . für jeden Punkt M gerade p 0MON.>R( Reis . 1,A) Daher liegt Punkt M nicht auf dem Kreis. Also, .wenn der Abstand vom Mittelpunkt des KreisesIst der Abstand zur Geraden größer als der Radius des Kreises, dann haben Gerade und Kreis keine gemeinsamen Punkte.

Wir haben bewiesen, dass eine Linie und ein Kreis einen oder zwei gemeinsame Punkte haben können und möglicherweise keine gemeinsamen Punkte haben. Eine gerade Linie mit einem Kreis einziger der gemeinsame Punkt heißt Tangente an den Kreis, und ihre gemeinsamer Punkt wird der Berührungspunkt der Geraden und des Kreises genannt. In Abbildung 2 gibt es eine gerade Linie R- Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O, A- Anlaufstelle.

Beweisen wir den Satz über die Tangenteneigenschaft.

Satz. Eine Tangente an einen Kreis ist senkrecht Zu Radius, der zum Kontaktpunkt gezogen wird.

Nachweisen. Lassen R- Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O. A- Kontaktpunkt (siehe Abb. 2). Lass es uns beweisen. Was ist die Tangente? R senkrecht zum Radius OA.

Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann ist der Radius: OA ist zu einer Geraden geneigt R. Da die Senkrechte vom Punkt gezogen wird UM zu einer geraden Linie R, Weniger geneigt OA, dann die Abstände vom Mittelpunkt UM Kreis zur Geraden R kleiner als der Radius. Daher gerade R und der Kreis haben zwei gemeinsame Punkte. Dies widerspricht jedoch der Bedingung; gerade R- Tangente. Also gerade R senkrecht zum Radius OA. Der Satz ist bewiesen.

Betrachten Sie zwei Tangenten an einen Kreis mit Mittelpunkt UM, durch den Punkt gehen A und den Kreis punktuell berühren IN und C (Abb. 3). Segmente AB Und Wechselstrom Lass uns anrufen Tangentensegmentenyh, gezeichnet von Punkt A. Sie haben die folgende Eigenschaft, die sich aus dem bewiesenen Satz ergibt:

Tangentensegmente an einen Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit einer geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Um diese Aussage zu beweisen, wenden wir uns Abbildung 3 zu. Nach dem Satz über die Tangenteneigenschaft sind die Winkel 1 und 2 rechte Winkel, also Dreiecke ABO Und ASO rechteckig. Sie sind gleich, weil sie eine gemeinsame Hypotenuse haben OA und gleiche Beine OB Und Betriebssystem. Somit, AB=AC und 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Reis. 2 Abb. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Zeichnen Sie den Durchmesser durch den Kontaktpunkt MICH, werde haben: ; Deshalb

Reis. 1 Abb. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Abhängigkeit zwischen Bögen, Sehnen und Abständen der Sehnen vom Zentrum.

Theoreme. In einem Kreis oder V gleiche Kreise :

1) wenn die Bögen gleich sind, dann sind die sie umgebenden Sehnen gleich und gleich weit von der Mitte entfernt;

2) Wenn zwei Bögen, die kleiner als ein Halbkreis sind, nicht gleich sind, liegt der größere von ihnen an der größeren Sehne und von beiden Bögen liegt die größere näher an der Mitte .

1) Lassen Sie den Bogen AB gleich arc CD(Abb. 1) muss nachgewiesen werden, dass die Akkorde AB und CD gleich und auch gleich und senkrecht OE Und VON, von der Mitte zu den Akkorden abgesenkt.

Lassen Sie uns den Sektor drehen OAJB um die Mitte herum UM in der durch den Pfeil angezeigten Richtung so weit, dass der Radius UM fiel mit zusammen Betriebssystem. Dann Bogen VA. wird in einem Bogen gehen CD und aufgrund ihrer Gleichheit werden sich diese Bögen überlappen. Das bedeutet, dass der Akkord AS mit dem Akkord übereinstimmt CD und senkrecht OE wird mit zusammenfallen VON(Von einem Punkt aus kann nur eine Senkrechte auf eine Gerade abgesenkt werden), d.h. AB=CD Und OE=VON.

2) Lassen Sie den Bogen AB(Abb. 2) weniger Lichtbogen CD, und außerdem sind beide Bögen kleiner als ein Halbkreis; Es ist erforderlich, den Akkord nachzuweisen AB weniger Akkord CD, und senkrecht OE eher senkrecht VON. Legen wir es auf den Bogen CD Bogen SK, gleich AB, und zeichne einen Hilfsakkord SK, was nachweislich dem Akkord entspricht AB und gleich weit vom Zentrum entfernt. Bei Dreiecken KABELJAU. Und SAFT zwei Seiten der einen sind gleich zwei Seiten der anderen (wie Radien), aber die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel sind nicht gleich; in diesem Fall, wie wir wissen, gegen den größeren der Winkel, d.h. lCOD, die größere Seite muss liegen, das heißt CD>CK, und deshalb CD>AB.

Um zu beweisen, dass OE>VON, wir werden dirigieren OLXCK und berücksichtigen Sie, dass nachweislich OE=OL; Daher reicht es für uns, zu vergleichen VON Mit OL. In einem rechtwinkligen Dreieck 0 FM(in der Abbildung mit Strichen bedeckt) Hypotenuse OM mehr Bein VON; Aber OL>OM; das heißt umso mehr OL>VON. und deshalb OE>VON.

Der Satz, den wir für einen Kreis bewiesen haben, gilt auch für gleiche Kreise, da sich solche Kreise nur in der Position voneinander unterscheiden.

Umkehrsätze. Da im vorherigen Absatz alle möglichen sich gegenseitig ausschließenden Fälle hinsichtlich der Vergleichsgröße zweier Bögen mit demselben Radius betrachtet wurden und sich gegenseitig ausschließende Schlussfolgerungen hinsichtlich der Vergleichsgröße von Sehnen und ihrer Abstände vom Mittelpunkt gezogen wurden, müssen die umgekehrten Sätze gelten wahr, c. genau:

IN ein Kreis oder gleiche Kreise:

1) gleiche Sehnen haben den gleichen Abstand von der Mitte und erstrecken sich über gleiche Bögen;

2) Akkorde, die gleich weit von der Mitte entfernt sind, sind gleich und erstrecken sich über gleiche Bögen;

3) Bei zwei ungleichen Akkorden liegt der größere Akkord näher an der Mitte und erstreckt sich über den größeren Bogen.

4) aus zwei Akkorden, die ungleich weit von der Mitte entfernt sind, der näher an der Mitte liegt, ist größer und erstreckt sich über einen größeren Bogen.

Diese Sätze lassen sich leicht durch Widerspruch beweisen. Um beispielsweise die erste davon zu beweisen, argumentieren wir wie folgt: Wenn diese Akkorde ungleiche Bögen hätten, dann wären sie nach dem direkten Satz nicht gleich, was der Bedingung widerspricht; das bedeutet, dass gleiche Akkorde gleiche Bögen umfassen müssen; und wenn die Bögen gleich sind, dann sind nach dem direkten Satz die sie umgebenden Sehnen gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

Satz. Der Durchmesser ist der größte der Akkorde .

Wenn wir uns mit der Mitte verbinden UM die Enden eines Akkords, der nicht durch die Mitte geht, zum Beispiel ein Akkord AB(Abb. 3) dann erhalten wir ein Dreieck AOB, in dem eine Seite diese Sehne ist und die anderen beiden Radien sind, aber in einem Dreieck ist jede Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten; daher der Akkord AB kleiner als die Summe zweier Radien; während jeder Durchmesser CD gleich der Summe zweier Radien. Das bedeutet, dass der Durchmesser größer ist als bei jeder Sehne, die nicht durch die Mitte verläuft. Da der Durchmesser aber auch eine Sehne ist, können wir sagen, dass der Durchmesser die größte der Sehne ist.

Reis. 1 Abb. 2

Tangentensatz.

Wie bereits erwähnt, haben Tangentensegmente, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, die gleiche Länge. Diese Länge heißt Tangentenabstand von einem Punkt zu einem Kreis.

Ohne den Tangentensatz ist es unmöglich, mehr als ein Problem über eingeschriebene Kreise zu lösen, also über Kreise, die die Seiten eines Polygons berühren.

Tangentenabstände in einem Dreieck.

Finden Sie die Längen der Segmente, für die die Seiten des Dreiecks gelten ABC werden durch Tangentenpunkte mit einem darin eingeschriebenen Kreis geteilt (Abb. 1,a), zum Beispiel Tangentenabstand tа vom Punkt A zum Kreis. Fügen wir die Seiten hinzu B Und C und subtrahiere dann die Seite von der Summe A. Unter Berücksichtigung der Gleichheit der von einem Scheitelpunkt gezogenen Tangenten erhalten wir 2 tа. Also,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Wo p=(a+b+C)/ 2 ist der Halbumfang dieses Dreiecks. Die Länge der Seitensegmente neben den Scheitelpunkten IN Und MIT, sind jeweils gleich P-B Und P-C.

Ähnliches gilt für den Umkreis eines Dreiecks, das die Seite (außerhalb) tangiert A(Abb. 1, b), Tangentenabstände von IN Und MIT sind jeweils gleich P-C Und P-B, und zwar von oben A- Nur P.

Beachten Sie, dass diese Formeln auch in umgekehrter Richtung verwendet werden können.

Lass es in die Ecke gehen DU Ein Kreis ist eingeschrieben und der Tangentenabstand vom Scheitelpunkt des Winkels zum Kreis ist gleichP oderP- A, WoP– Halbumfang eines Dreiecks ABC, A a=BC. Dann berührt der Kreis die Linie Sonne(jeweils außerhalb oder innerhalb des Dreiecks).

Tatsächlich sei beispielsweise der Tangentenabstand gleich P-A. Dann berühren unsere Kreise die Seiten des Winkels an denselben Punkten wie der Innenkreis des Dreiecks ABC, was bedeutet, dass es damit übereinstimmt. Daher berührt es die Linie Sonne.

Umschriebenes Viereck. Aus dem Satz über die Tangentengleichheit folgt unmittelbar (Abb. 2a).

Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich:

AD+ BC= AB+ CD

Beachten Sie, dass das beschriebene Viereck notwendigerweise konvex ist. Das Gegenteil ist auch der Fall:

Wenn das Viereck konvex ist und die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

Beweisen wir dies für ein anderes Viereck als ein Parallelogramm. Nehmen wir zum Beispiel zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks AB Und Gleichstrom, Wenn sie fortgesetzt werden, werden sie sich an einem Punkt schneiden E(Abb. 2, b). Schreiben wir einen Kreis in ein Dreieck ein ADE. Sein Tangentenabstand te auf den Punkt E ausgedrückt durch die Formel

te=½ (AE+ED-ANZEIGE).

Aber gemäß der Bedingung sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks gleich, das heißt AD+BC=AB+CD, oder AD=AB+CD-B.C.. Ersetzen Sie diesen Wert in den Ausdruck für te, wir bekommen

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (SEIN+EC+v. Chr.),

und das ist der Halbumfang des Dreiecks B.C.E.. Aus der oben bewiesenen Tangentenbedingung folgt, dass sich unser Kreis berührt B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Zwei Tangenten, die von einem Punkt außerhalb des Kreises an den Kreis gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit der geraden Linie, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet, was aus der Gleichheit folgt rechtwinklige Dreiecke AOB und AOB1

Zusammengestellt von einem Mathematiklehrer

MBOU-Sekundarschule Nr. 18, Krasnojarsk

Andreeva Inga Viktorowna

Die relative Position einer geraden Linie und eines Kreises

UM R - Radius

MIT D - Durchmesser

AB- Akkord

• Kreis mit Mittelpunkt in einem Punkt UM Radius R
• Eine gerade Linie, die nicht durch die Mitte verläuft UM
• Bezeichnen wir den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden mit dem Buchstaben S

Drei Fälle sind möglich:

• 1) S

• weniger Radius des Kreises, dann haben die Gerade und der Kreis zwei gemeinsame Punkte .

Direct AB heißt Sekante im Verhältnis zum Kreis.

Drei Fälle sind möglich:

• 2 ) S = R

• Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur geraden Linie gleicht Radius des Kreises, dann haben die Gerade und der Kreis nur ein gemeinsamer Punkt .

S = R

Drei Fälle sind möglich:

• 3 ) sr

• Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur geraden Linie mehr Radius eines Kreises, dann eine Gerade und ein Kreis haben keine Gemeinsamkeiten .

Tangente an einen Kreis

Definition: P Eine Linie, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, wird als Tangente an den Kreis bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Tangentenpunkt der Linie und des Kreises bezeichnet.

S = R

• gerade Linie - Sekante
• gerade Linie - Sekante
• keine gemeinsamen Punkte
• gerade Linie - Sekante
• gerade Linie - Tangente

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Lösen Sie Nr. 633.

• OABC-Quadrat
• AB = 6 cm
• Kreis mit Mittelpunkt O und Radius 5 cm

Sekanten aus Geraden OA, AB, BC, AC

Tangentialeigenschaft: Eine Tangente an einen Kreis verläuft senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

M– Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt UM

M- Anlaufstelle

OM- Radius

Tangentenzeichen: Wenn eine Gerade durch das Ende eines auf einem Kreis liegenden Radius geht und senkrecht zum Radius steht, dann ist sie a asativ.

Kreis mit Mittelpunkt UM

Radius OM

M- eine gerade Linie, die durch einen Punkt verläuft M

M – Tangente

Eigenschaft von Tangenten, die durch einen Punkt verlaufen:

Tangente Segmente an

Kreise gezeichnet

vom gleichen Punkt aus sind gleich und

gleiche Winkel machen

mit einer geraden Linie, die durchgeht

dieser Punkt und der Mittelpunkt des Kreises.

▼ Durch die Tangenteneigenschaft

∆ AVO, ∆ ASO – rechteckig

∆ ABO= ∆ ACO – entlang der Hypotenuse und des Beins:

OA - allgemein,

Kreis - geometrische Figur, bestehend aus allen Punkten der Ebene, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.

Dieser Punkt (O) heißt Mittelpunkt des Kreises.
Kreisradius- Dies ist ein Segment, das den Mittelpunkt mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet. Alle Radien haben (per Definition) die gleiche Länge.
Akkord- ein Segment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Ein Akkord, der durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, heißt Durchmesser. Der Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelpunkt eines beliebigen Durchmessers.
Zwei beliebige Punkte auf einem Kreis teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile heißt Bogen eines Kreises. Der Bogen heißt Halbkreis, wenn das Segment, das seine Enden verbindet, einen Durchmesser hat.
Die Länge eines Einheitshalbkreises wird mit bezeichnet π .
Die Summe der Gradmaße zweier Kreisbögen mit gemeinsamen Enden ist gleich 360º.
Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene heißt Überall.
Kreissektor- ein Teil eines Kreises, der durch einen Bogen und zwei Radien begrenzt wird, die die Enden des Bogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden. Der Bogen, der den Sektor begrenzt, wird aufgerufen Bogen des Sektors.
Man nennt zwei Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt konzentrisch.
Man nennt zwei Kreise, die sich im rechten Winkel schneiden senkrecht.

Die relative Position einer geraden Linie und eines Kreises

1. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden kleiner ist als der Radius des Kreises ( d), dann haben die Gerade und der Kreis zwei gemeinsame Punkte. In diesem Fall wird die Leitung aufgerufen Sekante im Verhältnis zum Kreis.
2. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden gleich dem Radius des Kreises ist, dann haben Gerade und Kreis nur einen gemeinsamen Punkt. Diese Zeile heißt Tangente an den Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Berührungspunkt zwischen einer Geraden und einem Kreis.
3. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden größer ist als der Radius des Kreises, dann die Gerade und der Kreis haben keine Gemeinsamkeiten
.

Zentrale und beschriftete Winkel

Zentraler Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt.
Beschrifteter Winkel- ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden.

Eingeschriebener Winkelsatz

Ein eingeschriebener Winkel wird anhand der Hälfte des Bogens gemessen, auf dem er liegt.

• Folgerung 1.
  Eingeschriebene Winkel, die denselben Bogen treffen, sind gleich.


• Folgerung 2.
  Ein eingeschriebener Winkel, der durch einen Halbkreis begrenzt wird, ist ein rechter Winkel.

Satz über das Produkt von Segmenten sich schneidender Akkorde.

Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.

Grundformeln

• Umfang:

• Kreisbogenlänge:

• Durchmesser:

• Kreisbogenlänge:

• Fläche eines Kreises:

• Fläche des Kreissektors:

Gleichung eines Kreises

• IN rechteckiges System Koordinatengleichung eines Kreisradius R an einem Punkt zentriert C(x o;y o) hat die Form:

• Die Gleichung eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Ursprung hat die Form: