डायहेड्रल कोण. संपूर्ण इलस्ट्रेटेड गाइड (2019)

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पाठ का पाठ प्रतिलेख:

प्लैनिमेट्री में, मुख्य वस्तुएँ रेखाएँ, खंड, किरणें और बिंदु हैं। एक बिंदु से निकलने वाली किरणें उनकी ज्यामितीय आकृतियों में से एक बनाती हैं - एक कोण।

हम जानते हैं कि रैखिक कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

स्टीरियोमेट्री में, वस्तुओं में एक तल जोड़ा जाता है। एक सीधी रेखा a और एक समान सीमा वाले दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई आकृति जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं होती है, उसे डायहेड्रल कोण कहा जाता है। अर्ध-तल एक डायहेड्रल कोण के फलक होते हैं। सीधी रेखा ए एक डायहेड्रल कोण का एक किनारा है।

एक रेखीय कोण की तरह एक डायहेड्रल कोण को नाम दिया जा सकता है, मापा जा सकता है और निर्मित किया जा सकता है। इस पाठ में हमें यही पता लगाना है।

आइए टेट्राहेड्रोन एबीसीडी मॉडल पर डायहेड्रल कोण खोजें।

डायहेड्रल कोणकिनारे AB को CABD कहा जाता है, जहां बिंदु C और D कोण के विभिन्न पक्षों से संबंधित होते हैं और किनारे AB को मध्य में कहा जाता है

हमारे चारों ओर बहुत सारी वस्तुएं हैं जिनमें डायहेड्रल कोण के रूप में तत्व हैं।

कई शहरों में पार्कों में मेल-मिलाप के लिए विशेष बेंच लगाई जाती हैं। बेंच केंद्र की ओर एकत्रित दो झुके हुए विमानों के रूप में बनाई गई है।

मकान बनाते समय, तथाकथित मकान के कोने की छत. इस घर की छत 90 डिग्री के डायहेड्रल कोण के रूप में बनी है।

डायहेड्रल कोण को डिग्री या रेडियन में भी मापा जाता है, लेकिन इसे कैसे मापें।

यह जानना दिलचस्प है कि घरों की छतें छतों पर टिकी होती हैं। और राफ्टर शीथिंग एक दिए गए कोण पर दो छत ढलान बनाती है।

आइए छवि को ड्राइंग में स्थानांतरित करें। चित्र में, एक द्विफलकीय कोण ज्ञात करने के लिए, इसके किनारे पर बिंदु B अंकित किया जाता है। इस बिंदु से, दो किरणें BA और BC कोण के किनारे पर लंबवत खींची जाती हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण ABC को रैखिक डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण की डिग्री माप उसके रैखिक कोण की डिग्री माप के बराबर होती है।

आइए कोण AOB मापें।

किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का डिग्री माप साठ डिग्री है।

एक द्विफलकीय कोण के लिए अनंत संख्या में रैखिक कोण बनाए जा सकते हैं, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे सभी समान हैं;

आइए दो रैखिक कोणों AOB और A1O1B1 पर विचार करें। किरणें OA और O1A1 एक ही सतह पर स्थित हैं और सीधी रेखा OO1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-दिशात्मक हैं। बीम्स OB और O1B1 भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, कोण AOB सह-दिशात्मक भुजाओं वाले कोण के रूप में कोण A1O1B1 के बराबर है।

तो एक डायहेड्रल कोण की विशेषता एक रैखिक कोण होती है, और रैखिक कोण न्यून, अधिक और समकोण होते हैं। आइए डायहेड्रल कोणों के मॉडल पर विचार करें।

एक अधिक कोण तब होता है जब इसका रैखिक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच होता है।

एक समकोण यदि इसका रैखिक कोण 90 डिग्री है।

एक न्यून कोण, यदि इसका रैखिक कोण 0 से 90 डिग्री तक है।

आइए इनमें से एक को सिद्ध करें महत्वपूर्ण गुणरैखिक कोण.

रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होता है।

मान लीजिए कि कोण AOB किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। निर्माण के अनुसार, किरणें AO और OB सीधी रेखा a पर लंबवत हैं।

प्रमेय के अनुसार विमान AOB दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AO और OB से होकर गुजरता है: एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है, और केवल एक।

रेखा a इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि रेखा और तल की लंबवतता के आधार पर, सीधी रेखा a, समतल AOB पर लंबवत है।

समस्याओं को हल करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। टेट्राहेड्रोन एबीसीडी के लिए किनारे एबी के साथ एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करें।

हम एक विकर्ण कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो सबसे पहले किनारे AB, एक फलक ABD और दूसरे फलक ABC से बनता है।

इसे बनाने का एक तरीका यहां दिया गया है।

आइए बिंदु D से समतल ABC पर एक लंब खींचें। बिंदु M को लंब के आधार के रूप में चिह्नित करें। याद रखें कि टेट्राहेड्रोन में लंबवत का आधार टेट्राहेड्रोन के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है।

आइए बिंदु D से किनारे AB तक लंबवत एक झुकी हुई रेखा खींचें, बिंदु N को झुकी हुई रेखा के आधार के रूप में चिह्नित करें।

त्रिभुज DMN में, खंड NM समतल ABC पर झुके हुए DN का प्रक्षेपण होगा। तीन लंबों के प्रमेय के अनुसार, किनारा AB प्रक्षेपण NM के लंबवत होगा।

इसका मतलब है कि कोण DNM की भुजाएँ किनारे AB के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि निर्मित कोण DNM वांछित रैखिक कोण है।

आइए एक डायहेड्रल कोण की गणना की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

समद्विबाहु त्रिभुज ABC और नियमित त्रिभुज ADB एक ही तल में नहीं हैं। खंड CD, समतल ADB पर लंबवत है। यदि AC=CB=2 सेमी, AB=4 सेमी है तो डायहेड्रल कोण DABC ज्ञात करें।

डीएबीसी का डायहेड्रल कोण इसके रैखिक कोण के बराबर है। आइए इस कोण का निर्माण करें।

आइए हम किनारे AB पर झुका हुआ CM लंबवत खींचें, क्योंकि त्रिभुज ACB समद्विबाहु है, तो बिंदु M किनारे AB के मध्य के साथ मेल खाएगा।

सीधी रेखा CD, समतल ADB पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह इस तल में पड़ी सीधी रेखा DM पर लंबवत है। और खंड एमडी विमान एडीवी पर झुके हुए सीएम का एक प्रक्षेपण है।

सीधी रेखा एबी निर्माण द्वारा झुके हुए सीएम पर लंबवत है, जिसका अर्थ है, तीन लंबवत के प्रमेय द्वारा, यह प्रक्षेपण एमडी पर लंबवत है।

तो, किनारे AB पर दो लंबवत CM और DM पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि वे डायहेड्रल कोण डीएबीसी का एक रैखिक कोण सीएमडी बनाते हैं। और हमें बस इसे समकोण त्रिभुज सीडीएम से ढूंढना है।

तो खंड एसएम समद्विबाहु त्रिभुज एसीबी की माध्यिका और ऊंचाई है, फिर पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पैर एसएम 4 सेमी के बराबर है।

समकोण त्रिभुज डीएमबी से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पैर डीएम तीन की दो जड़ों के बराबर है।

एक समकोण त्रिभुज से एक कोण की कोज्या आसन्न पाद एमडी और कर्ण सीएम के अनुपात के बराबर होती है और तीन गुणा दो की तीन जड़ों के बराबर होती है। इसका मतलब है कि कोण सीएमडी 30 डिग्री है।

डायहेड्रल कोण की अवधारणा

डायहेड्रल कोण की अवधारणा का परिचय देने के लिए, आइए सबसे पहले स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों में से एक को याद करें।

किसी भी तल को इस तल में स्थित रेखा $a$ के दो अर्ध-तलों में विभाजित किया जा सकता है। इस मामले में, एक ही आधे तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के एक तरफ होते हैं, और विभिन्न आधे तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के विपरीत किनारों पर होते हैं (चित्र 1)।

चित्र 1।

डायहेड्रल कोण के निर्माण का सिद्धांत इसी सिद्धांत पर आधारित है।

परिभाषा 1

आकृति कहलाती है डायहेड्रल कोण, यदि इसमें एक रेखा और इस रेखा के दो आधे तल शामिल हैं जो एक ही तल से संबंधित नहीं हैं।

इस स्थिति में, डायहेड्रल कोण के आधे तल कहलाते हैं किनारों, और आधे तलों को अलग करने वाली सीधी रेखा है डायहेड्रल किनारा(चित्र .1)।

चित्र 2. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण का डिग्री माप

परिभाषा 2

आइए किनारे पर एक मनमाना बिंदु $A$ चुनें। अलग-अलग अर्ध-तलों में स्थित, एक किनारे के लंबवत और बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को कहा जाता है रैखिक विकर्ण कोण(चित्र 3)।

चित्र तीन।

जाहिर है, प्रत्येक डायहेड्रल कोण में रैखिक कोणों की अनंत संख्या होती है।

प्रमेय 1

एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

आइए दो रैखिक कोणों $AOB$ और $A_1(OB)_1$ पर विचार करें (चित्र 4)।

चित्र 4.

चूँकि किरणें $OA$ और $(OA)_1$ एक ही अर्ध-तल $\alpha $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। चूँकि किरणें $OB$ और $(OB)_1$ एक ही अर्ध-तल $\beta $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। इस तरह

\[\कोण AOB=\कोण A_1(OB)_1\]

रैखिक कोणों के चयन की मनमानी के कारण। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमेय सिद्ध है.

परिभाषा 3

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का डिग्री माप है।

नमूना समस्याएँ

उदाहरण 1

आइए हमें दो गैर-लंबवत विमान $\alpha $ और $\beta $ दिए जाएं जो सीधी रेखा $m$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $A$ समतल $\बीटा$ से संबंधित है। $AB$ रेखा $m$ पर लंबवत है। $AC$ समतल $\alpha $ के लंबवत है (बिंदु $C$ $\alpha $ से संबंधित है)। साबित करें कि कोण $ABC$ एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण है।

सबूत।

आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

चित्र 5.

इसे सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय को याद करें

प्रमेय 2:किसी झुकी हुई वस्तु के आधार से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा उसके प्रक्षेपण के लंबवत होती है।

चूँकि $AC$, $\alpha $ समतल के लंबवत है, तो बिंदु $C$, $\alpha $ समतल पर बिंदु $A$ का प्रक्षेपण है। इसलिए, $BC$ तिरछे $AB$ का प्रक्षेपण है। प्रमेय 2 के अनुसार, $BC$ डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत है।

फिर, कोण $ABC$ एक रैखिक डायहेड्रल कोण को परिभाषित करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

उदाहरण 2

डायहेड्रल कोण $30^\circ$ है। एक फलक पर एक बिंदु $A$ है, जो दूसरे फलक से $4$ सेमी की दूरी पर स्थित है। बिंदु $A$ से डायहेड्रल कोण के किनारे तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए चित्र 5 देखें।

शर्त के अनुसार, हमारे पास $AC=4\cm$ है।

एक डायहेड्रल कोण की डिग्री माप की परिभाषा से, हमारे पास यह है कि कोण $ABC$ $30^\circ$ के बराबर है।

त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। न्यून कोण की ज्या की परिभाषा के अनुसार

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

यह पाठ इसी के लिए है स्वयं अध्ययनविषय "डायहेड्रल कोण"। इस पाठ में, छात्र सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृतियों में से एक, डायहेड्रल कोण से परिचित होंगे। साथ ही पाठ में हम सीखेंगे कि विचाराधीन रैखिक कोण का निर्धारण कैसे करें ज्यामितीय आकृतिऔर आकृति के आधार पर डायहेड्रल कोण क्या है।

आइए हम दोहराएँ कि समतल पर कोण क्या होता है और इसे कैसे मापा जाता है।

चावल। 1. विमान

आइए समतल α पर विचार करें (चित्र 1)। बिन्दु से के बारे मेंदो किरणें निकलती हैं - ओबीऔर ओए.

परिभाषा. एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी आकृति को कोण कहा जाता है।

कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

आइए याद करें कि रेडियन क्या है।

चावल। 2. रेडियन

यदि हमारे पास एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो ऐसे केंद्रीय कोण को 1 रेडियन का कोण कहा जाता है। ,∠ एओबी= 1 रेड (चित्र 2)।

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध.

खुश।

हमें यह मिल गया, मुझे ख़ुशी है। (). तब,

परिभाषा. डायहेड्रल कोणएक सीधी रेखा से बनी आकृति कहलाती है एऔर एक समान सीमा वाले दो अर्ध-तल ए, एक ही विमान से संबंधित नहीं।

चावल। 3. अर्ध-तल

आइए दो अर्ध-तलों α और β पर विचार करें (चित्र 3)। उनकी साझी सीमा है ए. निर्दिष्ट आंकड़ाडायहेड्रल कोण कहा जाता है।

शब्दावली

अर्ध-तल α और β एक डायहेड्रल कोण के फलक हैं।

सीधा एएक डायहेड्रल कोण का एक किनारा है।

एक आम किनारे पर एडायहेड्रल कोण, एक मनमाना बिंदु चुनें के बारे में(चित्र 4)। अर्ध-तल में α बिंदु से के बारे मेंलंब को पुनर्स्थापित करें ओएएक सीधी रेखा की ओर ए. उसी बिंदु से के बारे मेंदूसरे अर्ध-तल β में हम एक लंब बनाते हैं ओबीकिनारे करने के लिए ए. एक एंगल मिल गया एओबी, जिसे डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

चावल। 4. डायहेड्रल कोण माप

आइए हम किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के लिए सभी रैखिक कोणों की समानता सिद्ध करें।

आइए हमारे पास एक डायहेड्रल कोण है (चित्र 5)। आइए एक बिंदु चुनें के बारे मेंऔर अवधि ओ 1एक सीधी रेखा पर ए. आइए बिंदु के अनुरूप एक रैखिक कोण बनाएं के बारे में, यानी हम दो लंब खींचते हैं ओएऔर ओबीसमतल α और β में क्रमशः किनारे तक ए. हमें कोण मिलता है एओबी- डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण।

चावल। 5. प्रमाण का चित्रण

बिन्दु से ओ 1आइए दो लंब रेखाएं बनाएं ओए 1और ओबी 1किनारे करने के लिए एक्रमशः समतल α और β में और हमें दूसरा रैखिक कोण प्राप्त होता है ए 1 ओ 1 बी 1.

किरणों ओ 1 ए 1और ओएसह-दिशात्मक, क्योंकि वे एक ही आधे-तल में स्थित हैं और एक ही रेखा के दो लंबों की तरह एक-दूसरे के समानांतर हैं ए.

इसी प्रकार, किरणें 1 में 1 के बारे मेंऔर ओबीसह-निर्देशित हैं, जिसका अर्थ है ∠ एओबी =∠ ए 1 ओ 1 बी 1कोड-दिशात्मक भुजाओं वाले कोणों के रूप में, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होता है।

सिद्ध करना: ए ⊥ एओबी.

चावल। 6. प्रमाण का चित्रण

सबूत:

ओए ⊥ एनिर्माण द्वारा, ओबी ⊥ एनिर्माण द्वारा (चित्र 6)।

हमें वह रेखा मिलती है एदो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत ओएऔर ओबीहवाई जहाज से बाहर एओबी, जिसका अर्थ है कि यह सीधा है एविमान के लंबवत ओएवी, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

एक डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक कोण में जितनी डिग्री रेडियन समाहित होती हैं, उतनी ही संख्या में डिग्री रेडियन उसके डायहेड्रल कोण में समाहित होती हैं। इसी के अनुरूप वे भेद करते हैं निम्नलिखित प्रकारडायहेड्रल कोण.

तीव्र (चित्र 6)

एक डायहेड्रल कोण न्यून होता है यदि इसका रैखिक कोण न्यून हो, अर्थात। .

सीधा (चित्र 7)

एक द्विफलकीय कोण तब समकोण होता है जब उसका रैखिक कोण 90° - अधिककोण हो (चित्र 8)

एक डायहेड्रल कोण तब अधिक होता है जब उसका रैखिक कोण अधिक होता है, अर्थात। .

चावल। 7. समकोण

चावल। 8. अधिक कोण

वास्तविक आकृतियों में रैखिक कोण बनाने के उदाहरण

एबीसीडी- चतुष्फलक.

1. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं अब.

चावल। 9. समस्या के लिए चित्रण

निर्माण:

हम एक डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो एक किनारे से बनता है अबऔर किनारे अबडीऔर एबीसी(चित्र 9)।

चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं डीएनविमान के लंबवत एबीसी, एन- लम्ब का आधार. आइए एक झुकाव बनाएं डीएमएक सीधी रेखा के लंबवत एबी,एम- झुका हुआ आधार. तीन लंबों के प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक तिरछा प्रक्षेपण समुद्री मील दूररेखा के लंबवत भी अब.

यानी बिंदु से एमकिनारे पर दो लंबवत् रेखाएँ बहाल की गईं अबदो तरफ अबडीऔर एबीसी. हमें रैखिक कोण मिला डीएम.एन..

नोटिस जो अब, एक डायहेड्रल कोण का एक किनारा, रैखिक कोण के तल के लंबवत, अर्थात, समतल डीएम.एन.. समस्या सुलझ गई है।

टिप्पणी. डायहेड्रल कोण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: डीएबीसी, कहाँ

अब- किनारा, और अंक डीऔर साथकोण के विभिन्न किनारों पर लेटें।

2. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं एसी.

आइए एक लंब बनाएं डीएनविमान के लिए एबीसीऔर झुका हुआ डीएनएक सीधी रेखा के लंबवत एसी।तीन लंबों के प्रमेय से हम इसे पाते हैं एन.एन- तिरछा प्रक्षेपण डीएनविमान के लिए एबीसी,रेखा के लंबवत भी एसी।डीराष्ट्रीय राजमार्ग- एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण एसी.

चतुष्फलक में डीएबीसीसभी किनारे बराबर हैं. डॉट एम- पसली के बीच में एसी. सिद्ध कीजिए कि कोण डीएमवी- रैखिक डायहेड्रल कोण आपडी, यानी एक किनारे वाला एक डायहेड्रल कोण एसी. इसका एक चेहरा है एसीडी, दूसरा - डीआइए(चित्र 10)।

चावल। 10. समस्या के लिए चित्रण

समाधान:

त्रिकोण एडीसी- समबाहु, डीएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, डीएम ⊥ एसी।इसी तरह, त्रिकोण एमेंसी- समबाहु, मेंएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, वीएम ⊥ एसी।

इस प्रकार, बिंदु से एमपसलियां एसीडायहेड्रल कोण ने दो लंबों को बहाल किया डीएमऔर वीएमडायहेड्रल कोण के फलकों में इस किनारे तक।

तो, ∠ डीएममेंडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

इसलिए हमने डायहेड्रल कोण, डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण को परिभाषित किया है।

अगले पाठ में हम रेखाओं और तलों की लंबवतता को देखेंगे, फिर हम सीखेंगे कि आकृतियों के आधार पर एक डायहेड्रल कोण क्या होता है।

"डायहेड्रल कोण", "ज्यामितीय आकृतियों के आधार पर डायहेड्रल कोण" विषय पर संदर्भों की सूची

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गृहकार्य"डायहेड्रल कोण" विषय पर, आंकड़ों के आधार पर डायहेड्रल कोण का निर्धारण

ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और।) प्रोफ़ाइल स्तर) / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार।

कार्य 2, 3 पृष्ठ 67.

रैखिक डायहेड्रल कोण क्या है? इसका निर्माण कैसे करें?

एबीसीडी- चतुष्फलक. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं:

ए) मेंडीबी) डीसाथ।

एबीसीडी.ए. 1 बी 1 सी 1 डी 1 - घनक्षेत्र डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करें ए 1 एबीसीपसली के साथ अब. इसकी डिग्री माप निर्धारित करें।

ज्यामिति में, आकृतियों का अध्ययन करने के लिए दो का उपयोग किया जाता है। महत्वपूर्ण विशेषताएँ: भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण। स्थानिक आकृतियों के मामले में, इन विशेषताओं में डायहेड्रल कोण जोड़े जाते हैं। आइए देखें कि यह क्या है, और पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन कोणों को निर्धारित करने की विधि का भी वर्णन करें।

डायहेड्रल कोण की अवधारणा

हर कोई जानता है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाएं अपने प्रतिच्छेदन बिंदु पर शीर्ष के साथ एक निश्चित कोण बनाती हैं। इस कोण को चाँदे या चाँदे का उपयोग करके मापा जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्यइसकी गणना करने के लिए. दो समकोणों से बनने वाला कोण रैखिक कहलाता है।

अब कल्पना करें कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो तल हैं जो एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। उन्हें चित्र में दिखाया गया है.

डायहेड्रल कोण दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण है। रैखिक की तरह, इसे डिग्री या रेडियन में मापा जाता है। यदि उस रेखा पर किसी भी बिंदु पर जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, हम इन विमानों में स्थित दो लंबों को पुनर्स्थापित करते हैं, तो उनके बीच का कोण वांछित डायहेड्रल होगा। इस कोण को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका समतल समीकरणों का उपयोग करना है सामान्य रूप से देखें.

समतलों का समीकरण और उनके बीच के कोण का सूत्र

अंतरिक्ष में किसी भी तल का समीकरण आम तौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

ए × एक्स + बी × वाई + सी × जेड + डी = 0.

यहां x, y, z समतल से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक हैं, गुणांक A, B, C, D कुछ ज्ञात संख्याएं हैं। डायहेड्रल कोणों की गणना के लिए इस समानता की सुविधा यह है कि इसमें स्पष्ट रूप से विमान के दिशा वेक्टर के निर्देशांक शामिल हैं। हम इसे n¯ से निरूपित करेंगे। तब:

वेक्टर n¯ समतल पर लंबवत है। दो तलों के बीच का कोण उनके n 1 ¯ और n 2 ¯ के बीच के कोण के बराबर होता है। गणित से ज्ञात होता है कि दो सदिशों द्वारा निर्मित कोण उनके अदिश गुणनफल से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। यह हमें दो विमानों के बीच के डायहेड्रल कोण की गणना के लिए एक सूत्र लिखने की अनुमति देता है:

φ = आर्ककोस (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

यदि हम सदिशों के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें, तो सूत्र स्पष्ट रूप से लिखा जाएगा:

φ = आर्ककोस (|ए 1 × ए 2 + बी 1 × बी 2 + सी 1 × सी 2 | / (√(ए 1 2 + बी 1 2 + सी 1 2) × √(ए 2 2 + बी 2 2 + सी 2 2))).

अंश में मापांक चिह्न का प्रयोग केवल निर्धारण के लिए किया जाता है तेज़ कोने, क्योंकि डायहेड्रल कोण हमेशा 90 o से कम या उसके बराबर होता है।

पिरामिड और उसके कोने

पिरामिड एक आकृति है जो एक n-गॉन और n त्रिभुजों से बनती है। यहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर एक पूर्णांक है जो पिरामिड का आधार है। यह स्थानिक आकृति एक बहुफलक या बहुफलक है, क्योंकि इसमें सपाट फलक (भुजाएँ) होते हैं।

पिरामिड बहुफलक दो प्रकार के हो सकते हैं:

• आधार और भुजा के बीच (त्रिकोण);
• दोनों पक्षों के बीच.

यदि हम एक नियमित पिरामिड पर विचार कर रहे हैं, तो इसके लिए नामित कोणों को निर्धारित करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, तीन ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके, आपको विमानों का एक समीकरण बनाना चाहिए, और फिर कोण φ के लिए उपरोक्त पैराग्राफ में दिए गए सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

नीचे हम एक उदाहरण देते हैं जिसमें हम दिखाते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कैसे खोजें।

चतुर्भुज और उसके आधार पर कोण

आइए मान लें कि हमें वर्गाकार आधार वाला एक नियमित पिरामिड दिया गया है। वर्ग की भुजा की लंबाई a है, आकृति की ऊंचाई h है। आइए पिरामिड के आधार और उसकी भुजा के बीच का कोण ज्ञात करें।

आइए समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को वर्ग के केंद्र में रखें। तब चित्र में दिखाए गए बिंदु A, B, C, D के निर्देशांक बराबर होंगे:

ए = (ए/2; -ए/2; 0);

बी = (ए/2; ए/2; 0);

सी = (-ए/2; ए/2; 0);

आइए विमानों एसीबी और एडीबी पर विचार करें। जाहिर है, विमान एसीबी के लिए दिशा वेक्टर एन 1 ¯ इसके बराबर होगा:

एडीबी विमान के दिशा वेक्टर एन 2 ¯ को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: हम इससे संबंधित दो मनमाने ढंग से वेक्टर पाते हैं, उदाहरण के लिए, एडी¯ और एबी¯, फिर हम उनकी गणना करते हैं वेक्टर उत्पाद. इसका परिणाम निर्देशांक n 2 ¯ देगा। हमारे पास है:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

एबी¯ = बी - ए = (ए/2; ए/2; 0) - (ए/2; -ए/2; 0) = (0; ए; 0);

n 2 ¯ = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

चूँकि किसी वेक्टर को किसी संख्या से गुणा करने और विभाजित करने से उसकी दिशा नहीं बदलती है, हम उसके निर्देशांकों को -a से विभाजित करके परिणामी n 2 ¯ को बदल देते हैं, हमें मिलता है:

हमने बेस प्लेन ACB और साइड प्लेन ADB के लिए दिशा वैक्टर n 1 ¯ और n 2 ¯ को परिभाषित किया है। कोण φ के लिए सूत्र का उपयोग करना बाकी है:

φ = आर्ककोस (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = आर्ककोस (ए / (2 × √h 2 + a 2 /4))।

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और इसे इस तरह फिर से लिखें:

φ = आर्ककोस (ए / √(ए 2 + 4 × एच 2))।

हमने एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है। आकृति की ऊंचाई और उसकी भुजा की लंबाई जानकर, आप कोण φ की गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, चेप्स पिरामिड के लिए, जिसका आधार पक्ष 230.4 मीटर है, और प्रारंभिक ऊंचाई 146.5 मीटर थी, कोण φ 51.8 o के बराबर होगा।

चतुर्भुज के लिए डायहेड्रल कोण निर्धारित करें नियमित पिरामिडयह ज्यामितीय विधि से भी संभव है। ऐसा करने के लिए, यह विचार करने के लिए पर्याप्त है सही त्रिकोण, ऊँचाई h, आधार की आधी लंबाई a/2 और एक समद्विबाहु त्रिभुज के एपोथेम से बनता है।