पाठ सारांश "एक रेखा और एक वृत्त की पारस्परिक स्थिति।" पाठ "एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति"

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एल.ए. अतानास्यान की पाठ्यपुस्तक के अनुसार सीधी और वृत्ताकार ज्यामिति ग्रेड 8 की सापेक्ष स्थिति

आपके अनुसार एक सीधी रेखा और एक वृत्त में कितने सामान्य बिंदु हो सकते हैं? के बारे में

O सबसे पहले, आइए याद रखें कि एक वृत्त को कैसे परिभाषित किया जाए वृत्त (O, r) r - त्रिज्या r A B AB - जीवा C D CD - व्यास

आइए पहले मामले में सीधी रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति की जाँच करें: d - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा O A B N d तक की दूरी

दूसरा मामला: ओ एन आर एक सामान्य बिंदु डी = आर डी - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा डी तक की दूरी

तीसरा मामला: O H d r d > r d - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है

एक रेखा और एक वृत्त में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं? d r दो उभयनिष्ठ बिंदु एक उभयनिष्ठ बिंदु में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है, तो सीधी रेखा और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं। यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक ही होता है आम बात. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा और वृत्त में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

वृत्त की स्पर्शरेखा परिभाषा: एक सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, वृत्त की स्पर्शरेखा कहलाती है, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है। ओ एस = आर एम एम

सीधी रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए यदि: r = 15 सेमी, s = 11 सेमी r = 6 सेमी, s = 5.2 सेमी r = 3.2 मीटर, s = 4.7 m r = 7 सेमी, s = 0.5 डीएम आर = 4 सेमी, एस = 4 0 मिमी सीधी रेखा - छेदक रेखा - छेदक रेखा कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं सीधी रेखा - छेदक रेखा - स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा गुण: किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है। m - केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखा M - संपर्क बिंदु OM - त्रिज्या O M m

एक बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का गुण: ▼ स्पर्शरेखा गुण के अनुसार ∆ ABO, ∆ ACO-आयताकार ∆ ABO= ∆ ACO-कर्ण और पाद द्वारा: OA - सामान्य, OB=OS - त्रिज्या AB=AC और ▲ O BCA A 1 2 3 4 एक बिंदु से खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

स्पर्शरेखा चिह्न: यदि कोई रेखा वृत्त पर पड़ी त्रिज्या के अंत से होकर गुजरती है और त्रिज्या के लंबवत है, तो वह स्पर्शरेखा होती है। त्रिज्या OM m का केंद्र O वाला वृत्त - एक सीधी रेखा जो बिंदु M और m से होकर गुजरती है - स्पर्श रेखा O M m

संख्या 633 को हल करें। दिया गया है: OABC- वर्ग AB = 6 सेमी, 5 सेमी त्रिज्या वाले केंद्र O वाला वृत्त खोजें: रेखाओं OA, AB, BC, AC O A B C O से छेदक रेखाएँ

हल संख्या 638, 640. डी/जेड: नोट्स सीखें, संख्या 631, 635

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

लक्ष्य: एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करने की क्षमता को मजबूत करना, समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करना और टीम वर्क की भावना पैदा करना। ...

एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति. 8 वीं कक्षा।

प्रस्तुति में तैयार चित्रों का उपयोग करके हल की गई चार मौखिक समस्याएं शामिल हैं। लक्ष्य: विद्यार्थियों को नई सामग्री सीखने के लिए तैयार करना....

एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति. दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति.

"एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति। दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति" विषय पर पाठ के लिए नोट्स और प्रस्तुति। पाठ्यपुस्तक "गणित - 6" संस्करण का उपयोग करते हुए छठी कक्षा में पाठ। जी.वी. डोरोफ़ीव, मैं...

मान लीजिए कि एक समतल पर एक वृत्त और कुछ सीधी रेखा दी गई है। आइए हम वृत्त C के केंद्र से इस सीधी रेखा पर एक लंब गिराएँ; आइए हम इस लंब के आधार से निरूपित करें। एक बिंदु वृत्त के सापेक्ष तीन संभावित स्थान ले सकता है: a) वृत्त के बाहर स्थित, b) वृत्त पर, c) वृत्त के अंदर। इसके आधार पर, सीधी रेखा नीचे वर्णित वृत्त के सापेक्ष तीन संभावित विभिन्न स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेगी।

a) मान लीजिए कि वृत्त के केंद्र C से सीधी रेखा में गिराए गए लम्ब का आधार वृत्त के बाहर स्थित है (चित्र 197)। तब सीधी रेखा वृत्त को नहीं काटती है; इसके सभी बिंदु बाहरी क्षेत्र में स्थित होते हैं। दरअसल, संकेतित मामले में, शर्त के अनुसार, इसे केंद्र से त्रिज्या से अधिक दूरी पर हटा दिया जाता है)। इसके अलावा, एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु M के लिए हमारे पास यह है कि दी गई सीधी रेखा का प्रत्येक बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।

बी) मान लीजिए कि लम्ब का आधार वृत्त पर पड़ता है (चित्र 198)। फिर सीधी रेखा a का वृत्त के साथ बिल्कुल एक उभयनिष्ठ बिंदु है। वास्तव में, यदि M रेखा का कोई अन्य बिंदु है, तो (झुकाव वाले बिंदु लंबवत से अधिक लंबे होते हैं) बिंदु M बाहरी क्षेत्र में स्थित होता है। ऐसी रेखा, जिसका वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु हो, इस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है। आइए हम दिखाते हैं कि, इसके विपरीत, यदि एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है, तो इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या इस सीधी रेखा के लंबवत होती है। दरअसल, आइए हम इस रेखा पर केंद्र से एक लंब गिराएं। यदि इसका आधार वृत्त के अंदर होता है, तो सीधी रेखा के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु होंगे, जैसा कि सी में दिखाया गया है)। यदि यह वृत्त के बाहर स्थित है, तो a) के आधार पर सीधी रेखा में वृत्त के साथ उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होंगे।

इसलिए, यह मान लेना बाकी है कि लंब रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु पर - उनकी स्पर्शरेखा के बिंदु पर पड़ता है। महत्वपूर्ण सिद्ध हुआ

प्रमेय. वृत्त पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा वृत्त को तभी छूती है जब वह उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत हो।

ध्यान दें कि यहां दी गई वृत्त की स्पर्श रेखा की परिभाषा अन्य वक्रों पर लागू नहीं होती है। एक सीधी रेखा से एक घुमावदार रेखा की स्पर्शरेखा की अधिक सामान्य परिभाषा सीमा के सिद्धांत की अवधारणाओं से जुड़ी है और पाठ्यक्रम में विस्तार से चर्चा की गई है उच्च गणित. यहां हम सिर्फ इसी के बारे में बात करेंगे सामान्य सिद्धांत. मान लीजिए कि एक वृत्त और उस पर बिंदु A दिया गया है (चित्र 199)।

आइए वृत्त पर एक और बिंदु A लें और सीधी रेखा AA के दोनों बिंदुओं को जोड़ें। मान लीजिए कि बिंदु A, एक वृत्त के अनुदिश गति करते हुए, लगातार नए स्थान ग्रहण करता है, अधिक से अधिक बिंदु A के करीब पहुंचता है। सीधी रेखा AA, A के चारों ओर घूमती हुई, कई स्थान लेती है: इस मामले में, जैसे-जैसे गतिमान बिंदु बिंदु A के करीब पहुंचता है , सीधी रेखा स्पर्शरेखा AT के साथ संपाती होती है। इसलिए, हम स्पर्शरेखा के बारे में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले छेदक की सीमित स्थिति और वक्र पर एक बिंदु के रूप में बात कर सकते हैं जो बिना किसी सीमा के उस तक पहुंचता है। इस रूप में, स्पर्शरेखा की परिभाषा वक्रों पर भी लागू होती है सामान्य रूप से देखें(चित्र 200)।

ग) अंत में, बिंदु को वृत्त के अंदर स्थित होने दें (चित्र 201)। तब । हम केंद्र C से सीधी रेखा a पर खींचे गए झुके हुए वृत्तों पर विचार करेंगे, जिनका आधार दो संभावित दिशाओं में से किसी एक बिंदु से दूर जा रहा है। जैसे-जैसे इसका आधार बिंदु से दूर जाता जाएगा, झुकाव की लंबाई एकरस रूप से बढ़ जाएगी; झुकाव की लंबाई में यह वृद्धि मनमाने ढंग से बड़े मूल्यों के करीब के मूल्यों से धीरे-धीरे ("लगातार") होती है, इसलिए यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि झुके हुए आधारों की एक निश्चित स्थिति में उनकी लंबाई बिल्कुल बराबर होगी, रेखा के संगत बिंदु K और L वृत्त पर स्थित होंगे।

आइए एक महत्वपूर्ण परिभाषा को याद करें - वृत्त की परिभाषा]

परिभाषा:

बिंदु O पर केंद्र और त्रिज्या R वाला एक वृत्त, बिंदु O से दूरी R पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समूह है।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक वृत्त एक समुच्चय है सब लोगवर्णित स्थिति को संतुष्ट करने वाले बिंदु। आइए एक उदाहरण देखें:

वर्ग के बिंदु A, B, C, D बिंदु E से समान दूरी पर हैं, लेकिन वे एक वृत्त नहीं हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

इस मामले में, आकृति एक वृत्त है, क्योंकि यह सभी केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है।

यदि आप किसी वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो आपको एक राग मिलता है। केंद्र से गुजरने वाली जीवा को व्यास कहा जाता है।

एमबी - राग; एबी - व्यास; एमएनबी एक चाप है, यह एमवी कॉर्ड द्वारा अनुबंधित है;

कोण को केंद्रीय कहा जाता है।

बिंदु O वृत्त का केंद्र है।

चावल। 2. उदाहरण के लिए चित्रण

इस प्रकार, हमें याद आया कि एक वृत्त क्या है और इसके मुख्य तत्व क्या हैं। आइए अब वृत्त और सीधी रेखा की सापेक्ष स्थिति पर विचार करें।

केंद्र O और त्रिज्या r वाला एक वृत्त दिया गया है। सीधी रेखा P, केंद्र से सीधी रेखा की दूरी, यानी OM के लंबवत, d के बराबर है।

हम मानते हैं कि बिंदु O रेखा P पर स्थित नहीं है।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा को देखते हुए, हमें उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी होगी।

मामला एक - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है:

पहले मामले में, जब दूरी d वृत्त r की त्रिज्या से कम है, तो बिंदु M वृत्त के अंदर स्थित है। इस बिंदु से हम दो खंड - एमए और एमबी प्लॉट करेंगे, जिनकी लंबाई होगी। हम r और d के मान जानते हैं, d, r से कम है, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्ति मौजूद है और बिंदु A और B मौजूद हैं। ये दोनों बिंदु निर्माण द्वारा एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। आइए देखें कि क्या वे वृत्त पर स्थित हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके OA और OB की दूरी की गणना करें:

चावल। 3. केस 1 के लिए चित्रण

केंद्र से दो बिंदुओं की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, इस प्रकार हमने साबित कर दिया है कि बिंदु A और B वृत्त के हैं।

तो, बिंदु ए और बी निर्माण द्वारा रेखा से संबंधित हैं, जो सिद्ध किया गया है वे वृत्त से संबंधित हैं - वृत्त और रेखा में दो सामान्य बिंदु हैं। आइए हम सिद्ध करें कि कोई अन्य बिंदु नहीं हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रमाण के लिए चित्रण

ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु C लें और मान लें कि यह एक वृत्त पर स्थित है - दूरी OS = r। इस मामले में, त्रिभुज समद्विबाहु है और इसकी माध्यिका ON, जो खंड OM से मेल नहीं खाती है, ऊंचाई है। हमें एक विरोधाभास मिलता है: बिंदु O से दो लंब एक सीधी रेखा पर गिराए जाते हैं।

इस प्रकार, वृत्त के साथ रेखा P पर कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं। हमने साबित कर दिया है कि उस स्थिति में जहां दूरी d, वृत्त r की त्रिज्या से कम है, सीधी रेखा और वृत्त में केवल दो बिंदु समान हैं।

केस दो - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (चित्र 5):

चावल। 5. केस 2 के लिए चित्रण

याद रखें कि एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब की लंबाई है, इस मामले में OH लंब है। चूँकि, शर्त के अनुसार, लंबाई OH वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो बिंदु H वृत्त का है, इस प्रकार बिंदु H रेखा और वृत्त के लिए उभयनिष्ठ है।

आइए हम साबित करें कि कोई अन्य सामान्य बिंदु नहीं हैं। इसके विपरीत: मान लीजिए कि रेखा पर बिंदु C वृत्त का है। इस स्थिति में, दूरी OS, r के बराबर है, और फिर OS, OH के बराबर है। लेकिन एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण OC पैर OH से बड़ा होता है। हमें एक विरोधाभास मिला. इस प्रकार, धारणा गलत है और H के अलावा कोई अन्य बिंदु नहीं है जो रेखा और वृत्त में उभयनिष्ठ हो। हमने साबित कर दिया है कि इस मामले में केवल एक ही सामान्य बिंदु है।

केस 3 - वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक होती है:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब की लंबाई है। हम बिंदु O से रेखा P पर एक लंब खींचते हैं, हमें बिंदु H मिलता है, जो वृत्त पर स्थित नहीं है, क्योंकि OH, शर्त के अनुसार, वृत्त की त्रिज्या से बड़ा है। आइए हम सिद्ध करें कि रेखा पर कोई अन्य बिंदु वृत्त पर स्थित नहीं है। इससे यह साफ़ पता चलता है सही त्रिकोण, जिसका कर्ण OM पैर OH से बड़ा है, और इसलिए वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, इस प्रकार, बिंदु M, रेखा पर किसी भी अन्य बिंदु की तरह, वृत्त से संबंधित नहीं है। हमने सिद्ध कर दिया है कि इस मामले में वृत्त और सीधी रेखा में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं (चित्र 6)।

चावल। 6. केस 3 के लिए चित्रण

चलो गौर करते हैं प्रमेय . आइए मान लें कि सीधी रेखा AB में वृत्त के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. प्रमेय के लिए चित्रण

हमारे पास एक राग AB है। परंपरा के अनुसार बिंदु H, जीवा AB का मध्य है और व्यास CD पर स्थित है।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि इस मामले में व्यास जीवा के लंबवत है।

सबूत:

समद्विबाहु त्रिभुज OAB पर विचार करें, यह समद्विबाहु है क्योंकि।

परंपरा के अनुसार, बिंदु H, जीवा का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका AB का मध्यबिंदु। हम जानते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका उसके आधार पर लंबवत होती है, जिसका अर्थ है कि यह ऊंचाई है:, इसलिए, इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि जीवा के मध्य से गुजरने वाला व्यास इसके लंबवत है।

निष्पक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय : यदि व्यास जीवा के लंबवत है, तो यह उसके मध्य से होकर गुजरता है।

केंद्र O वाला एक वृत्त, इसका व्यास CD और जीवा AB दिया गया है। यह ज्ञात है कि व्यास जीवा के लंबवत है, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि यह इसके मध्य से होकर गुजरता है (चित्र 8)।

चावल। 8. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

समद्विबाहु त्रिभुज OAB पर विचार करें, यह समद्विबाहु है क्योंकि। परंपरा के अनुसार, OH, त्रिभुज की ऊंचाई है, क्योंकि व्यास जीवा के लंबवत है। समद्विबाहु त्रिभुज में ऊंचाई भी माध्यिका होती है, इसलिए AN = HB, जिसका अर्थ है कि बिंदु H जीवा AB का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है कि यह सिद्ध है कि जीवा का लंबवत व्यास इसके मध्यबिंदु से होकर गुजरता है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है।

प्रमेय:

एक व्यास किसी जीवा पर लंबवत होता है यदि और केवल यदि वह इसके मध्य बिंदु से होकर गुजरता है।

इसलिए, हमने एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति के सभी मामलों पर विचार किया है। अगले पाठ में हम वृत्त की स्पर्शरेखा को देखेंगे।

ग्रन्थसूची

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Edu.glovsprav.ru ()।
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Fmclass.ru ()।

गृहकार्य

कार्य 1. जीवा के दो खंडों की लंबाई ज्ञात करें जिनमें वृत्त का व्यास इसे विभाजित करता है, यदि जीवा की लंबाई 16 सेमी है और व्यास इसके लंबवत है।

कार्य 2. एक रेखा और एक वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या इंगित करें यदि:

a) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 6 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 6.05 सेमी है;

बी) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 6.05 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है;

ग) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 8 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 16 सेमी है।

कार्य 3. जीवा की लंबाई ज्ञात करें यदि व्यास इसके लंबवत है, और व्यास द्वारा काटे गए खंडों में से एक 2 सेमी है।

अध्ययन पत्रक

विषय पर “एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति। दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति"

(3 घंटे)

करने में सक्षम हों:

एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति के लिए शर्तें;

एक वृत्त के छेदक और स्पर्शरेखा का निर्धारण;

एक वृत्त की स्पर्श रेखा के गुण;

व्यास और जीवा की लंबवतता और उसके व्युत्क्रम के बारे में प्रमेय;

दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति के लिए शर्तें;

संकेंद्रित वृत्तों की परिभाषा.

वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए;

समस्याओं को हल करते समय स्पर्शरेखा के गुणों का उपयोग करें;

व्यास और जीवा की लंबवतता पर प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करें;

एक रेखा और एक वृत्त तथा दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति की स्थितियों पर समस्याएँ हल करें।

आपके लिए आवश्यक विषय का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप:

साहित्य:

1. ज्यामिति। 7 वीं कक्षा। ज़ेड. कायदासोव, जी. दोसमागमबेटोवा, वी. अब्दिएव। अल्माटी "मेक्टेप"। 2012

2. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। के.ओ. बुकुबेवा, ए.टी. अल्माटी "अटामुरा" 2012

3. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। विधिवत मैनुअल. के.ओ. बुकुबेवा. अल्माटी "अटामुरा" 2012

4. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। उपदेशात्मक सामग्री. ए.एन. शाइनीबेकोव। अल्माटी "अटामुरा" 2012

5. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। कार्यों और अभ्यासों का संग्रह. के.ओ. बुकुबेवा, ए.टी. अल्माटी "अटामुरा" 2012

ज्ञान प्राप्त करना साहस है,

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मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

अभ्यास 1

1) में विचार करें एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति और तालिका भरें (3बी):

मामला एक: एक सीधी रेखा का वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है(प्रतिच्छेद न करें)

ए डी

आर– वृत्त त्रिज्या

डी > आर ,

केस 2 : एक सीधी रेखा और एक वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है (चिंता)

डी- एक बिंदु (वृत्त के केंद्र) से एक सीधी रेखा की दूरी

आर– वृत्त त्रिज्या

ए - स्पर्शरेखा

डी = आर ,

केस 3: एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं(प्रतिच्छेद)

डी- एक बिंदु (वृत्त के केंद्र) से एक सीधी रेखा की दूरी

आर– वृत्त त्रिज्या

अब - राग, छेदक

डी < आर ,

अंतःक्रिया की स्थितियाँ (सीधी रेखा से दूरी और त्रिज्या (d और)आर))

सामान्य बिंदुओं की संख्या

2) परिभाषाएँ, प्रमेय, परिणाम पढ़ें और उन्हें सीखें (5बी):

परिभाषा: एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हों, कहलाती है काटनेवाला

परिभाषा : एक सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है और त्रिज्या के लंबवत होती है, कहलाती है वृत्त की स्पर्शरेखा.

प्रमेय 1:

एक जीवा को आधे में विभाजित करने वाले वृत्त का व्यास इस जीवा के लंबवत होता है।

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 का उलटा):

यदि वृत्त का व्यास जीवा के लंबवत है, तो यह जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित कर देगा।

परिणाम 1 : यदि वृत्त के केन्द्र से छेदक रेखा तक की दूरी है कम लंबाईवृत्त की त्रिज्या, तो सीधी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

परिणाम 2: किसी वृत्त की केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।

प्रमेय 3: स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा के बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

परिणाम 3 : यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा स्पर्शरेखा होती है।

साथ परिणाम 4 : यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा वृत्त को नहीं काटती है।

प्रमेय 4:

एक बिंदु से खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

3) प्रश्नों के उत्तर दें (3बी):

1) एक समतल पर एक सीधी रेखा और एक वृत्त कैसे स्थित हो सकते हैं?

2) क्या एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ तीन बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं?

3) आप वृत्त पर स्थित एक बिंदु से होकर वृत्त पर स्पर्श रेखा कैसे खींचते हैं?

4) एक बिंदु से होकर वृत्त पर कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं:

क) एक घेरे पर लेटा हुआ;

बी) सर्कल के अंदर झूठ बोलना;

ग) घेरे के बाहर लेटा हुआ?

5) एक वृत्त ω (O; r) और वृत्त के अंदर स्थित एक बिंदु A दिया गया है। कितने प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे: क) सीधी रेखा OA; बी) बीम ओए; ग) खंड OA?

6) किसी वृत्त की जीवा को आधा कैसे बाँटें?

पास चेक नंबर 1

कार्य 2

1) पाठ पढ़ें और चित्र देखें। अपनी नोटबुक में चित्र बनाएं, अपने निष्कर्ष लिखें और उन्हें सीखें (3बी):

चलो गौर करते हैं संभावित मामलेदो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति. दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति उनके केंद्रों के बीच की दूरी से संबंधित होती है।

पी
प्रतिच्छेदी वृत्त: दो वृत्तप्रतिच्छेद करना, यदि उनके पास हैदो सामान्य बिंदु. होने देनाआर 1 औरआर 2 – वृत्तों की त्रिज्याω 1 औरω 2 , डी – उनके केन्द्रों के बीच की दूरी. मंडलियांω 1 औरω 2 यदि और केवल यदि संख्याएँ प्रतिच्छेद करती हैंआर 1 , आर 2 , डी एक निश्चित त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई होती है, अर्थात, वे त्रिभुज की सभी असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

आर 1 + आर 2 > डी , आर 1 + डी > आर 2 , आर 2 + डी > आर 1 .

निष्कर्ष: अगर आर 1 + आर 2 > डी या | आर 1 − आर 2 | < डी, फिर वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

स्पर्शरेखा वृत्त: दो वृत्तचिंता, यदि उनके पास हैएक सामान्य बिंदु. एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा रखेंए . होने देनाआर 1 औरआर 2 – वृत्तों की त्रिज्याω 1 औरω 2 , डी

वृत्त स्पर्श करते हैंबाहर से , यदि वे स्थित हैं

वी
एक दूसरे को नहीं. बाह्य रूप से स्पर्श करने पर, वृत्तों के केंद्र उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं। मंडलियांω 1 औरω 2 बाह्य रूप से स्पर्श करें यदि और केवल यदिआर 1 + आर 2 = डी .

के बारे में वृत्त स्पर्श करते हैंआंतरिक रूप , यदि उनमें से एक दूसरे के अंदर स्थित है। बाह्य रूप से स्पर्श करने पर, वृत्तों के केंद्र उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के एक तरफ स्थित होते हैं। मंडलियांω 1 औरω 2 आंतरिक रूप से स्पर्श करें यदि और केवल यदि| आर 1 − आर 2 |= डी .

निष्कर्ष: अगर आर 1 + आर 2 = डी या | आर 1 − आर 2 |= डी , फिर वृत्त, वृत्तों के केंद्रों से गुजरने वाली रेखा पर स्थित एक सामान्य बिंदु को स्पर्श करते हैं।

एन प्रतिच्छेदी वृत्त: दो वृत्तप्रतिच्छेद न करें , यदि वेकोई सामान्य बिंदु नहीं है . इस मामले में, उनमें से एक दूसरे के अंदर स्थित होता है, या वे एक दूसरे के बाहर स्थित होते हैं।

पी अस्टआर 1 औरआर 2 – वृत्तों की त्रिज्याω 1 औरω 2 , डी – उनके केन्द्रों के बीच की दूरी.

घेरा ω 1 और ω 2 एक दूसरे के बाहर स्थित हैं यदि और केवल यदि आर 1 + आर 2 < डी . घेरा ω 1 अंदर पड़ा है ω 2 तब और केवल जब | आर 1 − आर 2 | > डी .

निष्कर्ष:अगरआर 1 + आर 2 < डी या | आर 1 − आर 2 | > डी, तब वृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते।

2) परिभाषा लिखें और इसे सीखें (1बी):

परिभाषा: एक उभयनिष्ठ केंद्र वाले वृत्त संकेंद्रित कहलाते हैं ( डी = 0).

3) प्रश्नों के उत्तर दें (3 बी):

1) एक समतल पर दो वृत्त कैसे स्थित हो सकते हैं?

2) वृत्तों का स्थान क्या निर्धारित करता है?

3) क्या यह सच है कि दो वृत्त तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं?

4) वृत्त कैसे स्थित हैं यदि:

ए) वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है;

बी) वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से कम है;

ग) केंद्रों के बीच की दूरी दो त्रिज्याओं के योग से अधिक है;

d) वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी शून्य है।

5) दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति के सूचीबद्ध तीन मामलों में से कौन संकेंद्रित वृत्त हैं?

6) वृत्तों के संपर्क बिंदु से गुजरने वाली रेखा का क्या नाम है?

पास चेक नंबर 2

कार्य 3

बहुत अच्छा! आप प्रारंभ कर सकते हैंपरीक्षण कार्य №1.

कार्य 4

1) तय करें कि सम या विषम समस्याओं को चुनना है (2बी):

1. एक रेखा और एक वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या इंगित करें यदि:

a) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 6 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है;

बी) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 7 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है;

ग) सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी 8 सेमी है, और वृत्त की त्रिज्या 8 सेमी है।

2. रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें यदि:

1. आर=16 सेमी, डी=12 सेमी; 2. आर=8 सेमी, डी=1.2 डीएम; 3. आर=5 सेमी, डी=50मिमी

3. वृत्तों की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि:

डी= 1डीएम, आर 1 = 0.8डीएम, आर 2 = 0.2डीएम

डी = 4 0 सेमी, आर 1 = 110 सेमी, आर 2 = 70 सेमी

डी= 12 सेमी, आर 1 = 5 सेमी, आर 2 = 3 सेमी

डी= 15डीएम, आर 1 = 10 डीएम, आर 2 = 22 सेमी

4. दो वृत्तों की परस्पर क्रिया के बिंदुओं की संख्या त्रिज्या और केंद्रों के बीच की दूरी से इंगित करें:

ए)आर= 4 सेमी,आर= 3 सेमी, OO 1 = 9 सेमी; बी)आर= 10 सेमी,आर= 5 सेमी, OO 1 = 4 सेमी

वी)आर= 4 सेमी,आर= 3 सेमी, OO 1 = 6 सेमी; जी)आर= 9 सेमी,आर= 7 सेमी, ऊ 1 = 4 सेमी.

2) चुनने के लिए एक समस्या का समाधान करें (2बी):

1. जीवा के दो खंडों की लंबाई ज्ञात करें जिनमें इसका वृत्त व्यास विभाजित होता है, यदि जीवा की लंबाई 16 सेमी है और व्यास इसके लंबवत है।

2. जीवा की लंबाई ज्ञात करें यदि व्यास इसके लंबवत है, और व्यास द्वारा काटे गए खंडों में से एक 2 सेमी है।

3) सम या विषम निर्माण कार्यों का चयन पूरा करें (2बी):

1. 2 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त बनाएं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी शून्य हो।

2. अलग-अलग त्रिज्या (3 सेमी और 2 सेमी) के दो वृत्त बनाएं ताकि वे स्पर्श करें। उनके केंद्रों के बीच की दूरी को एक रेखाखंड से चिह्नित करें। अपने विकल्पों पर विचार करें.

3. 3 सेमी की त्रिज्या और वृत्त के केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर स्थित एक सीधी रेखा वाला एक वृत्त बनाएं।

4. 4 सेमी त्रिज्या और वृत्त के केंद्र से 2 सेमी की दूरी पर स्थित एक सीधी रेखा वाला एक वृत्त बनाएं।

पास चेक नंबर 4

कार्य 5

बहुत अच्छा! आप प्रारंभ कर सकते हैंपरीक्षण कार्य संख्या 2.

कार्य 6

1) कथन में त्रुटि ढूंढें और अपनी राय को उचित ठहराते हुए उसे सुधारें। कोई भी दो कथन चुनें (4बी):
ए) दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी त्रिज्याएँ R = 8 सेमी और r = 2 सेमी के बराबर हैं, केंद्रों के बीच की दूरी d = 6 है।
बी) दो वृत्तों में कम से कम तीन बिंदु उभयनिष्ठ हैं।
बी) आर = 4, आर = 3, डी = 5। वृत्तों में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
डी) आर = 8, आर = 6, डी = 4। छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर स्थित है।
डी) दो वृत्तों को इस प्रकार नहीं रखा जा सकता कि एक दूसरे के अंदर हो।

2) तय करें कि सम या विषम समस्याओं को चुनना है (66.):

1. दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की त्रिज्या 19 सेमी है, और छोटे वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी कम है। वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

2. दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की त्रिज्या 26 सेमी है, और छोटे वृत्त की त्रिज्या 2 गुना छोटी है। वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

3. दो अंक लेंडी औरएफ ताकिडीएफ = 6 सेमी . दो वृत्त बनाएं(डी, 2 सेमी) और(एफ, 3 सेमी)। ये दोनों वृत्त एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित हैं? एक निष्कर्ष निकालो।

4. बिंदुओं के बीच की दूरीए औरमें के बराबर होती है7 सेमी बिंदुओं पर केंद्र बनाकर वृत्त बनाएंए औरमें , त्रिज्या के बराबर3 सेमी और4 सेमी . वृत्तों की व्यवस्था कैसे की जाती है? एक निष्कर्ष निकालो।

5. 4 सेमी और 8 सेमी त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच एक तीसरा वृत्त इस प्रकार स्थित है कि यह पहले दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इस वृत्त की त्रिज्या क्या है?

6. वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 6 सेमी और 2 सेमी हैं, प्रतिच्छेद करते हैं। इसके अलावा, बड़ा वृत्त छोटे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

परीक्षा #6 पास करें

परीक्षण कार्य क्रमांक 1

परीक्षण विकल्पों में से एक चुनें और हल करें (10 प्रश्न, प्रत्येक के लिए 1 अंक):

1. एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हों, कहलाती है...

एक स्वर; बी) व्यास;

सी) सेकेंट; डी) स्पर्शरेखा.

2. वृत्त पर स्थित एक बिंदु से आप ....... स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं

एक; बी) दो;

3. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या की लंबाई से कम है, तो सीधी रेखा...

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

4. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा...

ए) वृत्त को एक बिंदु पर छूता है; बी) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है;

सी) वृत्त के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

5. वृत्त प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करते यदि...

ए)आर 1 + आर 2 = डी ; में)आर 1 + आर 2 < डी ;

साथ)आर 1 + आर 2 > डी ; डी)डी = 0 .

6. स्पर्शरेखा के बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा और त्रिज्या...

ए) समानांतर; बी) लंबवत;

सी) संयोग; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

7. वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। छोटे वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है, बड़े वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है केंद्रों के बीच की दूरी क्या है?

8. दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि केंद्रों के बीच की दूरी 4 है और त्रिज्याएँ 11 और 7 हैं:

9. यदि वृत्त का व्यास 7.2 सेमी है और वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी 0.4 डीएम है तो सीधी रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है:

10. केंद्र O और बिंदु A वाला एक वृत्त दिया गया है। यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और खंड OA की लंबाई 70 मिमी है तो बिंदु A कहाँ स्थित है?

ए) सर्कल के अंदर; बी) एक वृत्त पर.

सी) सर्कल के बाहर; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

विकल्प 2

1. एक सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है और जो त्रिज्या के लंबवत होती है, कहलाती है...

एक स्वर; बी) व्यास;

सी) सेकेंट; डी) स्पर्शरेखा.

2. वृत्त पर नहीं पड़े एक बिंदु से, आप वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं

एक; बी) दो;

सी) कोई नहीं; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

3. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा

ए) वृत्त को एक बिंदु पर छूता है; बी) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है;

सी) वृत्त के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

4. वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि...

ए)आर 1 + आर 2 = डी ; में)आर 1 + आर 2 < डी ;

साथ)आर 1 + आर 2 > डी ; डी)डी = 0 .

5. वृत्त एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं यदि...

ए)आर 1 + आर 2 = डी ; में)आर 1 + आर 2 < डी ;

साथ)आर 1 + आर 2 > डी ; डी)डी = 0 .

6. वृत्त संकेंद्रित कहलाते हैं यदि...

ए)आर 1 + आर 2 = डी ; में)आर 1 + आर 2 < डी ;

साथ)आर 1 + आर 2 > डी ; डी)डी = 0 .

7. वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं। छोटे वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है। बड़े वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के केन्द्रों के बीच की दूरी क्या है?

ए) 8 सेमी; बी) 2 एस एम; सी) 15 सेमी; डी) 3 सेमी.

8. दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि केंद्रों के बीच की दूरी 10 है और त्रिज्याएँ 8 और 2 हैं:

ए) बाहरी स्पर्श; बी) आंतरिक स्पर्श;

सी) प्रतिच्छेद; डी) प्रतिच्छेद न करें।

9. यदि वृत्त का व्यास 7.2 सेमी है और वृत्त के केंद्र से रेखा की दूरी 3.25 सेमी है तो रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है:

एक स्पर्श; बी) प्रतिच्छेद न करें.

सी) प्रतिच्छेद; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

10. केंद्र O और बिंदु A वाला एक वृत्त दिया गया है। यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और खंड OA की लंबाई 4 सेमी है तो बिंदु A कहाँ स्थित है?

ए) सर्कल के अंदर;

बी) एक वृत्त पर.

सी) सर्कल के बाहर;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

रेटिंग: 10 अंक. – “5”, 9 - 8 बी. – “4”, 7 – 6 बी. - "3", 5 बी. और नीचे - "2"

परीक्षण कार्य क्रमांक 2

1) तालिका भरें. विकल्पों में से एक चुनें (6बी):

ए)दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति:

1. जीवा के दो खंडों की लंबाई ज्ञात करें जिनमें इसका वृत्त व्यास विभाजित होता है, यदि जीवा की लंबाई 0.8 डीएम है और व्यास इसके लंबवत है।

2. जीवा की लंबाई ज्ञात करें यदि व्यास इसके लंबवत है, और व्यास द्वारा काटे गए खंडों में से एक 0.4 डीएम के बराबर है।

3) चुनने के लिए एक समस्या का समाधान करें (2बी):

1. ऐसे वृत्त बनाएं जिनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर से कम हो। वृत्त के केन्द्रों के बीच की दूरी अंकित करें। एक निष्कर्ष निकालो।

2. ऐसे वृत्त बनाएं जिनके केंद्रों के बीच की दूरी इन वृत्तों की त्रिज्याओं के अंतर के बराबर हो। वृत्त के केन्द्रों के बीच की दूरी अंकित करें। एक निष्कर्ष निकालो।

रेटिंग: 10 - 9 अंक। – “5”, 8-7 बी. – “4”, 6-5 बी. - "3", 4 बी. और नीचे - "2"

रेटिंग सूची

अध्ययन पत्रक

विषय पर “एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति। दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति"

(3 घंटे)

जानना:

करने में सक्षम हों:

एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति के लिए शर्तें;

एक वृत्त के छेदक और स्पर्शरेखा का निर्धारण;

एक वृत्त की स्पर्श रेखा के गुण;

व्यास और जीवा की लंबवतता और उसके व्युत्क्रम के बारे में प्रमेय;

दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति के लिए शर्तें;

संकेंद्रित वृत्तों की परिभाषा.

वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए;

समस्याओं को हल करते समय स्पर्शरेखा के गुणों का उपयोग करें;

व्यास और जीवा की लंबवतता पर प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करें;

आपके लिए आवश्यक विषय का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप:

साहित्य:

2. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। , . अल्माटी "अतामुरा"। 2012

3. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। विधिवत मैनुअल. . अल्माटी "अतामुरा"। 2012

4. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। उपदेशात्मक सामग्री. . अल्माटी "अतामुरा"। 2012

5. ज्यामिति. 7 वीं कक्षा। कार्यों और अभ्यासों का संग्रह. , . अल्माटी "अतामुरा"। 2012

ज्ञान प्राप्त करना साहस है,

उन्हें बढ़ाना ही बुद्धिमानी है,

और उन्हें कुशलतापूर्वक लागू करना एक महान कला है।

याद रखें कि आपको एल्गोरिथम के अनुसार काम करने की आवश्यकता है।

जांच करना, हाशिये पर नोट्स बनाना और विषय रेटिंग शीट भरना न भूलें।

कृपया कोई भी प्रश्न अनुत्तरित न छोड़ें।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

अभ्यास 1

1) में विचार करेंएक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति और तालिका भरें (3बी):

मामला एक: सीधी रेखा में वृत्त के साथ एक भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है (प्रतिच्छेद न करें)

ए https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width=”41” ऊंचाई=”20”>

केस 2 : एक सीधी रेखा और एक वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है (वे स्पर्श करते हैं)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width=”41” ऊंचाई=”20”>

केस 3: एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं (प्रतिच्छेद)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width=”45” ऊंचाई=”17”>

2) परिभाषाएँ, प्रमेय, परिणाम पढ़ें और उन्हें सीखें (5बी):

परिभाषा: एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हों, कहलाती है काटनेवाला

परिभाषा : एक सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है और त्रिज्या के लंबवत होती है, कहलाती है वृत्त की स्पर्शरेखा.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "127" ऊंचाई = "114 src = "> परिणाम 4: यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा वृत्त को नहीं काटती है।

प्रमेय 4:

3) प्रश्नों के उत्तर दें (3बी):

1) एक समतल पर एक सीधी रेखा और एक वृत्त कैसे स्थित हो सकते हैं?

2) क्या एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ तीन बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं?

3) आप वृत्त पर स्थित एक बिंदु से होकर वृत्त पर स्पर्श रेखा कैसे खींचते हैं?

4) एक बिंदु से होकर वृत्त पर कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं:

क) एक घेरे पर लेटा हुआ;

बी) सर्कल के अंदर झूठ बोलना;

ग) घेरे के बाहर लेटा हुआ?

6) किसी वृत्त की जीवा को आधा कैसे बाँटें?

पास चेक नंबर 1

कार्य 2

आइए दो वृत्तों की पारस्परिक व्यवस्था के संभावित मामलों पर विचार करें। दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति उनके केंद्रों के बीच की दूरी से संबंधित होती है।

प्रतिच्छेदी वृत्त: दो वृत्त प्रतिच्छेद करना,यदि उनके पास है दो सामान्य बिंदु.होने देना आर 1 और आर2 – वृत्तों की त्रिज्या ω 1 और ω 2 , डी मंडलियां ω1 और ω2 यदि और केवल यदि संख्याएँ प्रतिच्छेद करती हैं आर 1, आर 2, डी एक निश्चित त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई होती है, अर्थात, वे त्रिभुज की सभी असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

आर 1 + आर2> डी, आर 1+ डी> आर2, आर 2 + डी> आर 1.

निष्कर्ष:अगर आर 1 + आर2> डी या|आर 1−आर2| < डी, फिर वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

स्पर्शरेखा वृत्त: दो वृत्त चिंता,यदि उनके पास है एक सामान्य बिंदु.एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा रखें ए. होने देना आर 1 और आर2 – वृत्तों की त्रिज्या ω 1 और ω 2 , डी – उनके केन्द्रों के बीच की दूरी.

वृत्त स्पर्श करते हैं बाहर से, यदि वे स्थित हैं

एक दूसरे के बाहर. बाह्य रूप से स्पर्श करने पर, वृत्तों के केंद्र उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं। मंडलियां ω1 और ω2 बाह्य रूप से स्पर्श करें यदि और केवल यदि आर 1+ आर2= डी.

वृत्त स्पर्श करते हैं आंतरिक रूप, यदि उनमें से एक दूसरे के अंदर स्थित है। बाह्य रूप से स्पर्श करने पर, वृत्तों के केंद्र उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के एक तरफ स्थित होते हैं। मंडलियां ω1 और ω2 आंतरिक रूप से स्पर्श करें यदि और केवल यदि |आर 1−आर2|=डी.

निष्कर्ष:अगर आर 1 + आर2= डी या|आर 1−आर2|=डी , फिर वृत्त वृत्तों के केंद्रों से गुजरने वाली रेखा पर स्थित एक उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श करते हैं।

असंयुक्त वृत्त:दो वृत्त प्रतिच्छेद न करें, यदि वे कोई सामान्य बिंदु नहीं है. इस मामले में, उनमें से एक दूसरे के अंदर स्थित होता है, या वे एक दूसरे के बाहर स्थित होते हैं।

होने देना आर 1 और आर2 – वृत्तों की त्रिज्या ω 1 और ω 2 , डी – उनके केन्द्रों के बीच की दूरी.

घेरा ω 1 और ω2 एक दूसरे के बाहर स्थित हैं यदि और केवल यदि आर 1 + आर2 < डी . घेरा ω1अंदर पड़ा है ω2तब और केवल जब |आर 1−आर2| > डी .

निष्कर्ष:अगर आर 1 + आर2< डी या|आर 1−आर2| > डी, तब वृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते।

परीक्षण कार्य" href=”/text/category/proverochnie_raboti/” rel=”bookmark”>परीक्षण कार्य क्रमांक 1.

कार्य 4

1) तय करें कि सम या विषम समस्याओं को चुनना है (2बी):

1. एक रेखा और एक वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या इंगित करें यदि:

2. रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें यदि:

1. आर=16 सेमी, डी=12 सेमी; 2. आर=8 सेमी, डी=1.2 डीएम; 3. आर=5 सेमी, डी=50मिमी

3. वृत्तों की सापेक्ष स्थिति क्या है यदि:

d = 1dm, R1 = 0.8dm, R2 = 0.2dm

d = 40 सेमी, R1 = 110 सेमी, R2 = 70 सेमी

d = 12 सेमी, R1 = 5 सेमी, R2 = 3 सेमी

d = 15dm, R1 = 10dm, R2 = 22cm

ए) आर = 4 सेमी, आर = 3 सेमी, ओओ1 = 9 सेमी; बी) आर = 10 सेमी, आर = 5 सेमी, ओओ1 = 4 सेमी

सी) आर = 4 सेमी, आर = 3 सेमी, ओओ1 = 6 सेमी; d) R = 9 सेमी, r = 7 सेमी, OO1 = 4 सेमी।

3) सम या विषम निर्माण कार्यों का चयन पूरा करें (2बी):

1. 2 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त बनाएं, जिनके केंद्रों के बीच की दूरी शून्य हो।

पास चेक नंबर 4

कार्य 5

बहुत अच्छा! आप प्रारंभ कर सकते हैं परीक्षण कार्य संख्या 2.

कार्य 6

1) कथन में त्रुटि ढूंढें और अपनी राय को उचित ठहराते हुए उसे सुधारें। कोई भी दो कथन चुनें (4बी): ए) दो वृत्त बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी त्रिज्याएँ R = 8 सेमी और r = 2 सेमी के बराबर हैं, केंद्रों के बीच की दूरी d = 6 है।
बी) दो वृत्तों में कम से कम तीन बिंदु उभयनिष्ठ हैं।
बी) आर = 4, आर = 3, डी = 5। वृत्तों में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
डी) आर = 8, आर = 6, डी = 4। छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर स्थित है।
डी) दो वृत्तों को इस प्रकार नहीं रखा जा सकता कि एक दूसरे के अंदर हो।

2) तय करें कि सम या विषम समस्याओं को चुनना है (66.):

3. दो अंक लें डीऔर एफताकि डीएफ = 6 सेमी. दो वृत्त बनाएं (डी, 2 सेमी)और (एफ, 3 सेमी)।ये दोनों वृत्त एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित हैं? एक निष्कर्ष निकालो।

4. बिंदुओं के बीच की दूरी एऔर मेंके बराबर होती है 7 सेमीबिंदुओं पर केंद्र बनाकर वृत्त बनाएं एऔर में, त्रिज्या के बराबर 3 सेमीऔर 4 सेमी. वृत्तों की व्यवस्था कैसे की जाती है? एक निष्कर्ष निकालो।

परीक्षा #6 पास करें

परीक्षण कार्य क्रमांक 1

परीक्षण विकल्पों में से एक चुनें और हल करें (10 प्रश्न, प्रत्येक के लिए 1 अंक):

1 विकल्प

एक स्वर; बी) व्यास;

सी) सेकेंट; डी) स्पर्शरेखा.

2. वृत्त पर स्थित एक बिंदु से आप ....... स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं

एक; बी) दो;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

ए) वृत्त को एक बिंदु पर छूता है; बी) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है;

सी) वृत्त के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

5. वृत्त प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करते यदि...

ए) आर 1+ आर2= डी; में) आर 1+ आर2< डी;

साथ) आर 1+ आर2> डी; डी) डी = 0.

6. स्पर्शरेखा के बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा और त्रिज्या...

ए) समानांतर; बी) लंबवत;

सी) संयोग; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

ए) सर्कल के अंदर; बी) एक वृत्त पर.

सी) सर्कल के बाहर; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

विकल्प 2

एक स्वर; बी) व्यास;

सी) सेकेंट; डी) स्पर्शरेखा.

2. वृत्त पर नहीं पड़े एक बिंदु से, आप वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं

एक; बी) दो;

सी) कोई नहीं; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

ए) वृत्त को एक बिंदु पर छूता है; बी) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है;

सी) वृत्त के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

4. वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि...

ए) आर 1+ आर2= डी; में) आर 1+ आर2< डी;

साथ) आर 1+ आर2> डी; डी) डी = 0 .

5. वृत्त एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं यदि...

ए) आर 1+ आर2= डी; में) आर 1+ आर2< डी;

साथ) आर 1+ आर2> डी; डी) डी = 0 .

6. वृत्त संकेंद्रित कहलाते हैं यदि...

ए) आर 1+ आर2= डी; में) आर 1+ आर2< डी;

साथ) आर 1+ आर2> डी; डी) डी = 0 .

ए) 8 सेमी; बी) 2 एस एम; सी) 15 सेमी; डी) 3 सेमी.

ए) बाहरी स्पर्श; बी) आंतरिक स्पर्श;

सी) प्रतिच्छेद; डी) प्रतिच्छेद न करें।

एक स्पर्श; बी) प्रतिच्छेद न करें.

सी) प्रतिच्छेद; डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

ए) सर्कल के अंदर;

बी) एक वृत्त पर.

सी) सर्कल के बाहर;

डी) कोई सही उत्तर नहीं है.

रेटिंग: 10 अंक. – “5”, 9 - 8 बी. – “4”, 7 – 6 बी. - "3", 5 बी. और नीचे - "2"

परीक्षण कार्य क्रमांक 2

1) तालिका भरें. विकल्पों में से एक चुनें (6बी):

क) दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति:

बी) सीधी रेखा और वृत्त की सापेक्ष स्थिति:

2) चुनने के लिए एक समस्या का समाधान करें (2बी):

3) चुनने के लिए एक समस्या का समाधान करें (2बी):

रेटिंग: 10 - 9 अंक। – “5”, 8-7 बी. – “4”, 6-5 बी. - "3", 4 बी. और नीचे - "2"