ज्यामिति वर्कशीट "एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति। दो वृत्तों की सापेक्ष स्थिति" (ग्रेड 7)। एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति

मान लीजिए कि एक समतल पर एक वृत्त और कुछ सीधी रेखा दी गई है। आइए हम वृत्त C के केंद्र से इस सीधी रेखा पर एक लंब गिराएँ; आइए हम इस लंब के आधार से निरूपित करें। एक बिंदु वृत्त के सापेक्ष तीन संभावित स्थान ले सकता है: a) वृत्त के बाहर स्थित, b) वृत्त पर, c) वृत्त के अंदर। इसके आधार पर, सीधी रेखा नीचे वर्णित वृत्त के सापेक्ष तीन संभावित विभिन्न स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेगी।

a) मान लीजिए कि वृत्त के केंद्र C से सीधी रेखा में गिराए गए लम्ब का आधार वृत्त के बाहर स्थित है (चित्र 197)। तब सीधी रेखा वृत्त को नहीं काटती है; इसके सभी बिंदु बाहरी क्षेत्र में स्थित होते हैं। दरअसल, संकेतित मामले में, शर्त के अनुसार, इसे केंद्र से त्रिज्या से अधिक दूरी पर हटा दिया जाता है)। इसके अलावा, एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु M के लिए हमारे पास यह है कि दी गई सीधी रेखा का प्रत्येक बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।

बी) मान लीजिए कि लम्ब का आधार वृत्त पर पड़ता है (चित्र 198)। फिर सीधी रेखा a का वृत्त के साथ बिल्कुल एक उभयनिष्ठ बिंदु है। वास्तव में, यदि M रेखा का कोई अन्य बिंदु है, तो (झुकाव वाले बिंदु लंबवत से अधिक लंबे होते हैं) बिंदु M बाहरी क्षेत्र में स्थित होता है। ऐसी रेखा, जिसका वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु हो, इस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है। आइए हम दिखाते हैं कि, इसके विपरीत, यदि एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है, तो इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या इस सीधी रेखा के लंबवत होती है। दरअसल, आइए हम इस रेखा पर केंद्र से एक लंब गिराएं। यदि इसका आधार वृत्त के अंदर होता है, तो सीधी रेखा के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु होंगे, जैसा कि सी में दिखाया गया है)। यदि यह वृत्त के बाहर स्थित है, तो a) के आधार पर सीधी रेखा में वृत्त के साथ उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होंगे।

इसलिए, यह मान लेना बाकी है कि लंब रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु पर - उनकी स्पर्शरेखा के बिंदु पर पड़ता है। महत्वपूर्ण सिद्ध हुआ

प्रमेय. वृत्त पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा वृत्त को तभी छूती है जब वह उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत हो।

ध्यान दें कि यहां दी गई वृत्त की स्पर्श रेखा की परिभाषा अन्य वक्रों पर लागू नहीं होती है। एक सीधी रेखा से एक घुमावदार रेखा की स्पर्शरेखा की अधिक सामान्य परिभाषा सीमा के सिद्धांत की अवधारणाओं से जुड़ी है और पाठ्यक्रम में विस्तार से चर्चा की गई है उच्च गणित. यहां हम सिर्फ इसी के बारे में बात करेंगे सामान्य सिद्धांत. मान लीजिए कि एक वृत्त और उस पर बिंदु A दिया गया है (चित्र 199)।

आइए वृत्त पर एक और बिंदु A लें और सीधी रेखा AA के दोनों बिंदुओं को जोड़ें। मान लीजिए कि बिंदु A, एक वृत्त के अनुदिश गति करते हुए, लगातार नए स्थान ग्रहण करता है, अधिक से अधिक बिंदु A के करीब पहुंचता है। सीधी रेखा AA, A के चारों ओर घूमती हुई, कई स्थान लेती है: इस मामले में, जैसे-जैसे गतिमान बिंदु बिंदु A के करीब पहुंचता है , सीधी रेखा स्पर्शरेखा AT के साथ संपाती होती है। इसलिए, हम स्पर्शरेखा के बारे में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले छेदक की सीमित स्थिति और वक्र पर एक बिंदु के रूप में बात कर सकते हैं जो बिना किसी सीमा के उस तक पहुंचता है। इस रूप में, स्पर्शरेखा की परिभाषा वक्रों पर भी लागू होती है सामान्य रूप से देखें(चित्र 200)।

ग) अंत में, बिंदु को वृत्त के अंदर स्थित होने दें (चित्र 201)। तब । हम केंद्र C से सीधी रेखा a पर खींचे गए झुके हुए वृत्तों पर विचार करेंगे, जिनका आधार दो संभावित दिशाओं में से किसी एक बिंदु से दूर जा रहा है। जैसे-जैसे इसका आधार बिंदु से दूर जाता जाएगा, झुकाव की लंबाई एकरस रूप से बढ़ जाएगी; झुकाव की लंबाई में यह वृद्धि मनमाने ढंग से बड़े मूल्यों के करीब के मूल्यों से धीरे-धीरे ("लगातार") होती है, इसलिए यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि झुके हुए आधारों की एक निश्चित स्थिति में उनकी लंबाई बिल्कुल बराबर होगी, रेखा के संगत बिंदु K और L वृत्त पर स्थित होंगे।

आपसी व्यवस्थारेखा और वृत्त आइए जानें कि एक रेखा और एक वृत्त में उनकी सापेक्ष स्थिति के आधार पर कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं। स्पष्ट है कि यदि एक सीधी रेखा किसी वृत्त के केन्द्र से होकर गुजरती है तो वह वृत्त को उसके दोनों सिरों पर स्थित व्यास पर काटती है। यह प्राइमा.

इसे सीधा रहने दो आरत्रिज्या वृत्त के केन्द्र से होकर नहीं गुजरती है आर।आइए एक लंब बनाएं वहएक सीधी रेखा की ओर आरऔर अक्षर से निरूपित करें डीइस लंब की लंबाई, यानी, इस वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी (चित्र 1) ). हम एक सीधी रेखा और एक वृत्त के बीच के संबंध के आधार पर उनकी सापेक्ष स्थिति की जांच करते हैं डीऔर आर।तीन संभावित मामले हैं.

1)डी आरबिंदु से एनदो खंड अलग रख दें परऔर एनवी,लंबाई जो बराबर हैं (चित्र 1) पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ओए=,

0 बी = इसलिए, अंक एऔर मेंवृत्त पर स्थित हैं और इसलिए, रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु हैं आरऔर दिया गया वृत्त.

आइए हम उस रेखा को सिद्ध करें आरऔर इस वृत्त में कोई अन्य उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। मान लीजिए कि उनके पास एक और उभयनिष्ठ बिंदु C है। फिर माध्यिका ओ.डी.समद्विबाहु त्रिकोण ओएएस. आधार तक ले जाया गया एसी,इस त्रिभुज की ऊंचाई है, इसलिए के बारे मेंडीपी. सेगमेंट ओ.डी.और वहमेल नहीं खाते

मध्य से डीखंड एसीएक बिंदु के साथ फिट नहीं बैठता एन -खंड का मध्यबिंदु , एबी.हमने पाया कि बिंदु O से दो लंब खींचे गए थे: वहऔर आयुध डिपो-एक सीधी रेखा की ओर आर,जो असंभव है. इसलिए अगरदूरी वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है(डी< р), वह सीधी रेखा और वृत्तदो सामान्य बिंदु हैं.इस स्थिति में लाइन को कॉल किया जाता है काटनेवालावृत्त के संबंध में.

2) घ=आर।इस मामले में वह=आर,यानी बिंदु एनवृत्त पर स्थित है और इसलिए, रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु है (चित्र 1, बी)।सीधा आरऔर किसी भी बिंदु के लिए वृत्त में कोई अन्य बिंदु समान नहीं है एमसीधा आर।मुद्दे से अलग एन,ॐ>ओह= आर(तिरछा ॐअधिक लंबवत वह),और इसलिए , बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है. तो यदि दौड़वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

3) घ>आरइस मामले में -ओह> आरइसीलिए . किसी भी बिंदु के लिए एमसीधा पी 0सोम.>आर(चावल . 1,ए)इसलिए, बिंदु M वृत्त पर स्थित नहीं है। इसलिए, .यदि वृत्त के केंद्र से दूरीयदि सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

हमने सिद्ध कर दिया है कि एक रेखा और वृत्त में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं और कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकता है। वृत्त के साथ एक सीधी रेखाकेवल एक उभयनिष्ठ बिंदु को वृत्त की स्पर्शरेखा कहा जाता है,और उनके आम बातरेखा और वृत्त का स्पर्श बिंदु कहलाता है।चित्र 2 में एक सीधी रेखा है आर- केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा, ए- संपर्क का बिंदु।

आइए स्पर्शरेखा गुण के बारे में प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय. किसी वृत्त की स्पर्शरेखा लंबवत होती हैको संपर्क बिंदु तक खींची गई त्रिज्या।

सबूत। होने देना आर- केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्शरेखा। ए- संपर्क का बिंदु (चित्र 2 देखें)। आइए इसे साबित करें. स्पर्शरेखा क्या है आरत्रिज्या के लंबवत ओए.

चलिए मान लेते हैं कि ऐसा नहीं है. फिर त्रिज्या: ओएएक सीधी रेखा की ओर झुका हुआ है आर।चूँकि बिंदु से लम्ब खींचा गया है के बारे मेंएक सीधी रेखा की ओर आर,कम झुकाव ओए, फिर केंद्र से दूरियां के बारे मेंसीधी रेखा में वृत्त बनाएं आरत्रिज्या से कम. इसलिए, सीधे आरऔर वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं। लेकिन यह स्थिति का खंडन करता है; सीधा आर- स्पर्शरेखा. इस प्रकार, सीधे आरत्रिज्या के लंबवत ओए.प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

केंद्र वाले एक वृत्त की दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें के बारे में, बिंदु से गुजर रहा है एऔर बिंदुओं पर वृत्त को स्पर्श करना मेंऔर सी (चित्र 3)। सेगमेंट अबऔर एसीचलो कॉल करो स्पर्शरेखा खंडnyh, बिंदु A से खींचा गया।उनके पास निम्नलिखित गुण हैं, जो सिद्ध प्रमेय से अनुसरण करते हैं:

एक बिंदु से खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आइए चित्र 3 की ओर मुड़ें। स्पर्शरेखा गुण के बारे में प्रमेय के अनुसार, कोण 1 और 2 समकोण हैं, इसलिए त्रिभुज एबीओऔर आसोआयताकार. वे समान हैं क्योंकि उनका कर्ण एक समान है ओएऔर बराबर पैर ओबीऔर ओएस.इस तरह, एबी=एसीऔर 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width=”432 ऊंचाई=163” ऊंचाई=”163”>

चावल। 2 अंजीर. 3

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संपर्क बिंदु के माध्यम से व्यास खींचना मुझे, होगा: ; इसीलिए

चावल। 1 अंजीर. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width=”191 ऊंचाई=177” ऊंचाई=”177”>.jpg” width=”227 ऊंचाई=197” ऊंचाई=”197” >

चापों, जीवाओं और जीवाओं की केंद्र से दूरी के बीच निर्भरता।

प्रमेय. एक घेरे में यावी समान वृत्त :

1) यदि चाप बराबर हैं, तो उन्हें अंतरित करने वाली जीवाएँ समान हैं और केंद्र से समान दूरी पर हैं;

2) यदि अर्धवृत्त से छोटे दो चाप बराबर नहीं हैं, तो उनमें से बड़े को बड़ी जीवा द्वारा अंतरित किया जाता है और दोनों जीवाओं में से बड़े को केंद्र के करीब स्थित किया जाता है .

1) चाप चलो अबचाप के बराबर सीडी(चित्र 1), यह सिद्ध करना आवश्यक है कि जीवाएँ AB और हैं सीडीबराबर और बराबर और लंबवत भी ँऔर का,केंद्र से स्वरों तक उतारा गया।

आइए सेक्टर को घुमाएँ ओएजेबीकेंद्र के चारों ओर के बारे मेंतीर द्वारा इंगित दिशा में इतना कि त्रिज्या के बारे मेंके साथ संयोग ओएस.फिर चाप वी.ए.एक चाप में चला जाएगा सीडीऔर उनकी समानता के कारण, ये चाप ओवरलैप हो जाएंगे। इसका मतलब यह है कि जीवा AS, जीवा के साथ मेल खाती है सीडीऔर लंबवत ँके साथ मेल खाएगा का(एक बिंदु से केवल एक लंब को एक सीधी रेखा पर उतारा जा सकता है), अर्थात। एबी=सीडीऔर OE=का।

2) चाप चलो अब(चित्र 2) कम चाप सीडी,और, इसके अलावा, दोनों चाप अर्धवृत्त से छोटे हैं; यह सिद्ध करना आवश्यक है कि राग अबकम राग सीडी,और लंबवत ँअधिक लंबवत का. आइए इसे चाप पर रखें सीडीआर्क एसके,बराबर एबी,और एक सहायक राग खींचिए एसके, जो सिद्ध हो चुका है उसके अनुसार, राग के बराबर है अबऔर केंद्र से समान दूरी पर है। त्रिकोण पर सी.ओ.डी.और रसएक की दो भुजाएँ दूसरे की दो भुजाओं के बराबर होती हैं (जैसे त्रिज्याएँ), लेकिन इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर नहीं होते हैं; इस मामले में, जैसा कि हम जानते हैं, बड़े कोणों के विरुद्ध, अर्थात्। एलसीओडी,बड़ा पक्ष झूठ बोलना चाहिए, जिसका अर्थ है सीडी>सीके,और यही कारण है सीडी>एबी.

यह साबित करने के लिए ओई>का,हम आचरण करेंगे ओएलएक्ससीकेऔर इस बात को ध्यान में रखें कि, जो सिद्ध हो चुका है, उसके अनुसार, OE=राजभाषा;इसलिए, हमारे लिए तुलना करना ही पर्याप्त है कासाथ राजभाषा.एक समकोण त्रिभुज में 0 एफएम(आकृति में डैश के साथ कवर किया गया) कर्ण ॐअधिक पैर का;लेकिन ओएल>ओम;इसका मतलब और भी अधिक है ओएल>का।और यही कारण है ओई>का।

हमने जो प्रमेय एक वृत्त के लिए सिद्ध किया है वह समान वृत्तों के लिए भी सत्य रहता है, क्योंकि ऐसे वृत्त केवल स्थिति में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

बातचीत प्रमेय. चूँकि पिछले पैराग्राफ में एक ही त्रिज्या के दो चापों के तुलनात्मक आकार के संबंध में सभी प्रकार के परस्पर अनन्य मामलों पर विचार किया गया था, और जीवाओं के तुलनात्मक आकार और केंद्र से उनकी दूरी के संबंध में परस्पर अनन्य निष्कर्ष प्राप्त किए गए थे, तो विपरीत प्रस्ताव होना चाहिए सच, सी. बिल्कुल:

में एक वृत्त या समान वृत्त:

1) समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं और समान चाप अंतरित करती हैं;

2) केंद्र से समान रूप से दूर की जीवाएँ समान होती हैं और समान चाप अंतरित करती हैं;

3) दो असमान जीवाओं में से, बड़ी राग केंद्र के करीब होती है और बड़े चाप को अंतरित करती है;

4) केंद्र से असमान रूप से दूर दो तारों की, जो केंद्र के करीब है वह बड़ा है और एक बड़ा चाप अंतरित करता है।

इन प्रस्तावों को विरोधाभास द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उनमें से पहले को सिद्ध करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क करते हैं: यदि ये जीवाएँ असमान चाप बनाती हैं, तो, प्रत्यक्ष प्रमेय के अनुसार, वे समान नहीं होंगी, जो स्थिति का खंडन करती है; इसका मतलब यह है कि समान जीवाओं को समान चाप अंतरित करना चाहिए; और यदि चाप बराबर हैं, तो, प्रत्यक्ष प्रमेय के अनुसार, उन्हें अंतरित करने वाली जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं।

प्रमेय. व्यास जीवाओं में सबसे बड़ा है .

अगर हम केंद्र से जुड़ते हैं के बारे मेंकिसी राग के सिरे जो केंद्र से होकर नहीं गुजरते, उदाहरण के लिए एक राग अब(चित्र 3) तो हमें एक त्रिभुज प्राप्त होता है एओबी,जिसमें एक भुजा यह जीवा है, और अन्य दो त्रिज्याएँ हैं, लेकिन एक त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है; इसलिए राग अबदो त्रिज्याओं के योग से कम; जबकि प्रत्येक व्यास सीडीदो त्रिज्याओं के योग के बराबर। इसका मतलब यह है कि व्यास किसी भी तार से बड़ा है जो केंद्र से नहीं गुजरता है। लेकिन चूँकि व्यास भी एक जीवा है, हम कह सकते हैं कि व्यास जीवाओं में सबसे बड़ा है।

चावल। 1 अंजीर. 2

स्पर्शरेखा प्रमेय.

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्शरेखा खंडों की लंबाई समान होती है। इस लंबाई को कहा जाता है स्पर्शरेखा दूरीएक बिंदु से एक वृत्त तक.

स्पर्शरेखा प्रमेय के बिना, अंकित वृत्तों के बारे में एक से अधिक समस्याओं को हल करना असंभव है, दूसरे शब्दों में, बहुभुज के किनारों को छूने वाले वृत्तों के बारे में।

एक त्रिभुज में स्पर्शरेखा दूरियाँ.

उन खंडों की लंबाई ज्ञात कीजिए जिनके लिए त्रिभुज की भुजाएँ हैं एबीसीइसमें अंकित एक वृत्त के साथ स्पर्शरेखा के बिंदुओं से विभाजित किया जाता है (चित्र 1,ए), उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा दूरी ताबिंदु से एवृत्त को. आइए पक्षों को जोड़ें बीऔर सी, और फिर योग में से भुजा को घटा दें ए. एक शीर्ष से खींची गई स्पर्शरेखाओं की समानता को ध्यान में रखते हुए, हमें 2 प्राप्त होता है ता. इसलिए,

टा=(बी+सी-ए)/ 2=पी-ए,

कहाँ पी=(ए+बी+सी)/ 2 इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि है। शीर्षों से सटे पार्श्व खंडों की लंबाई मेंऔर साथ, क्रमशः बराबर हैं पी-बीऔर पी-सी।

इसी प्रकार, किसी त्रिभुज के बाह्य वृत्त के लिए (बाहर) भुजा स्पर्श करें ए(चित्र 1, बी), से स्पर्शरेखा दूरियाँ मेंऔर साथक्रमशः बराबर हैं पी-सीऔर पी-बी, और ऊपर से ए- अभी पी.

ध्यान दें कि इन सूत्रों का उपयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है।

इसे कोने में जाने दो आपएक वृत्त अंकित है, और कोण के शीर्ष से वृत्त की स्पर्श रेखा की दूरी बराबर हैपीयापी- ए, कहाँपी- एक त्रिभुज का अर्ध-परिधि एबीसी, ए ए=बीसी. फिर वृत्त रेखा को स्पर्श करता है सूरज(क्रमशः त्रिभुज के बाहर या अंदर)।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, स्पर्श रेखा की दूरी बराबर होनी चाहिए पी-ए. फिर हमारे वृत्त कोण की भुजाओं को त्रिभुज के अंतःवृत्त के समान बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं एबीसी, जिसका अर्थ है कि यह इसके साथ मेल खाता है। इसलिए, यह रेखा को छूता है सूरज.

वृत्ताकार चतुर्भुज.स्पर्शरेखाओं की समानता पर प्रमेय से यह तुरंत अनुसरण करता है (चित्र 2ए)।

यदि एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो इसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है:

एडी+ बीसी= एबी+ सीडी

ध्यान दें कि वर्णित चतुर्भुज आवश्यक रूप से उत्तल है। उल्टा भी सही है:

यदि चतुर्भुज उत्तल हो और उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

आइए हम इसे समांतर चतुर्भुज के अलावा किसी अन्य चतुर्भुज के लिए सिद्ध करें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए किसी चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाएँ हैं अबऔर डीसी,जारी रखने पर वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे इ(चित्र 2, बी)। आइए एक वृत्त को एक त्रिभुज में अंकित करें एडीई. इसकी स्पर्शरेखा दूरी है तेमुद्दे पर इसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

ते=½ (एई+ईडी-एडी).

परन्तु शर्त के अनुसार चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है, अर्थात् एडी+बीसी=एबी+सीडी, या एडी=एबी+सीडी-ईसा पूर्व. इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना ते, हम पाते हैं

ते=½ ((एई-एबी)+(ईडी-सीडी)+बीसी)= ½ (बीई+ईसी+बीसी),

और यह त्रिभुज का अर्ध-परिधि है ईसा पूर्व. ऊपर प्रमाणित स्पर्शरेखा स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है कि हमारा वृत्त स्पर्श करता है ईसा पूर्व.

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किसी वृत्त के बाहर एक बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएं बराबर होती हैं और इस बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं, जो समानता से निम्नानुसार है समकोण त्रिभुजएओबी और एओबी1

एक गणित शिक्षक द्वारा संकलित

एमबीओयू सेकेंडरी स्कूल नंबर 18, क्रास्नोयार्स्क

एंड्रीवा इंगा विक्टोरोव्ना

एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति

के बारे में आर - RADIUS

साथ डी - व्यास

एबी- तार

• एक बिंदु पर केंद्र बनाकर वृत्त बनाएं के बारे में RADIUS आर
• एक सीधी रेखा जो केंद्र से होकर नहीं गुजरती के बारे में
• आइए हम वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी को अक्षर से निरूपित करें एस

तीन स्थितियाँ संभव हैं:

• 1) एस

• कम वृत्त की त्रिज्या, फिर सीधी रेखा और वृत्त है दो सामान्य बिंदु .

डायरेक्ट AB कहा जाता है काटनेवाला वृत्त के संबंध में.

तीन स्थितियाँ संभव हैं:

• 2 ) एस = आर

• यदि वृत्त के केन्द्र से सीधी रेखा की दूरी है के बराबर होती है वृत्त की त्रिज्या, फिर सीधी रेखा और वृत्त है केवल एक सामान्य बिंदु .

एस = आर

तीन स्थितियाँ संभव हैं:

• 3 ) एसआर

• यदि वृत्त के केन्द्र से सीधी रेखा की दूरी है अधिक एक वृत्त की त्रिज्या, फिर एक सीधी रेखा और एक वृत्त कोई सामान्य बिंदु नहीं है .

एक वृत्त की स्पर्शरेखा

परिभाषा: पी एक रेखा जिसका वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, वृत्त की स्पर्शरेखा कहलाती है, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

एस = आर

• सीधी रेखा - छेदक
• सीधी रेखा - छेदक
• कोई सामान्य बिंदु नहीं
• सीधी रेखा - छेदक
• सीधी रेखा - स्पर्शरेखा

• आर = 15 सेमी, एस = 11 सेमी
• आर = 6 सेमी, एस = 5.2 सेमी
• आर = 3.2 मीटर, एस = 4.7 मीटर
• आर = 7 सेमी, एस = 0.5 डीएम
• आर = 4 सेमी, एस = 4 0 मिमी

हल संख्या 633.

• OABC- वर्ग
• एबी = 6 सेमी
• 5 सेमी त्रिज्या वाला केंद्र O वाला वृत्त

सीधी रेखाओं OA, AB, BC, AC से छेदक

स्पर्शरेखा संपत्ति: किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

एम- केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शरेखा के बारे में

एम- संपर्क का बिंदु

ॐ- त्रिज्या

स्पर्शरेखा चिह्न:यदि एक सीधी रेखा किसी वृत्त पर पड़ी त्रिज्या के अंत से होकर गुजरती है और त्रिज्या के लंबवत है, तो यह एक है असेटिव.

केंद्र के साथ वृत्त के बारे में

RADIUS ॐ

एम- एक सीधी रेखा जो एक बिंदु से होकर गुजरती है एम

एम – स्पर्शरेखा

एक बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखाओं का गुण:

स्पर्शरेखा खंड

वृत्त खींचे गए

एक ही बिंदु से, बराबर हैं और

समान कोण बनाएं

एक सीधी रेखा गुजरने के साथ

यह बिंदु और वृत्त का केंद्र.

▼स्पर्शरेखा गुण से

∆ AVO, ∆ ASO-आयताकार

∆ ABO= ∆ ACO - कर्ण और पैर के अनुदिश:

ओए - सामान्य,

घेरा - ज्यामितीय आकृति, जिसमें किसी दिए गए बिंदु से निश्चित दूरी पर स्थित विमान के सभी बिंदु शामिल हैं।

इस बिंदु (O) को कहा जाता है वृत्त का केंद्र.
वृत्त त्रिज्या- यह केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला एक खंड है। सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है (परिभाषा के अनुसार)।
तार- वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड। वृत्त के केन्द्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास. वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्यबिंदु होता है।
किसी वृत्त पर कोई भी दो बिंदु उसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग को कहा जाता है एक वृत्त का चाप. चाप कहा जाता है आधा गोला, यदि इसके सिरों को जोड़ने वाला खंड एक व्यास है।
एक इकाई अर्धवृत्त की लंबाई को निरूपित किया जाता है π .
उभयनिष्ठ सिरों वाले एक वृत्त के दो चापों की डिग्री माप का योग बराबर होता है 360 º.
समतल का वृत्त से घिरा भाग कहलाता है चारो ओर.
वृत्ताकार क्षेत्र- एक वृत्त का एक भाग जो एक चाप और दो त्रिज्याओं से घिरा होता है जो चाप के सिरों को वृत्त के केंद्र से जोड़ता है। वह चाप जो क्षेत्र को सीमित करता है, कहलाता है सेक्टर का आर्क.
एक उभयनिष्ठ केंद्र वाले दो वृत्त कहलाते हैं गाढ़ा.
समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाले दो वृत्त कहलाते हैं ओर्थोगोनल.

एक सीधी रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति

1. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है ( d), तो सीधी रेखा और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं। इस स्थिति में लाइन को कॉल किया जाता है काटनेवालावृत्त के संबंध में.
2. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो सीधी रेखा और वृत्त में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। इस लाइन को कहा जाता है वृत्त की स्पर्शरेखा, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को कहा जाता है एक रेखा और एक वृत्त के बीच स्पर्शरेखा बिंदु.
3. यदि वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है, तो सीधी रेखा और वृत्त कोई सामान्य बिंदु नहीं है
.

केन्द्रीय एवं अंकित कोण

केन्द्रीय कोणएक कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र पर है।
अंकित कोण- एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को काटती हैं।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय

एक उत्कीर्ण कोण को चाप के आधे भाग से मापा जाता है जिस पर वह झुकता है।

• परिणाम 1.
  एक ही चाप पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।


• परिणाम 2.
  अर्धवृत्त द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण समकोण होता है।

प्रतिच्छेदी जीवाओं के खंडों के गुणनफल पर प्रमेय।

यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है।

मूल सूत्र

• परिधि:

• वृत्ताकार चाप की लंबाई:

• व्यास:

• वृत्ताकार चाप की लंबाई:

• एक वृत्त का क्षेत्रफल:

• वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल:

एक वृत्त का समीकरण

• में आयताकार प्रणालीएक वृत्त की त्रिज्या का समन्वय समीकरण आरएक बिंदु पर केन्द्रित सी(x o;y o) का रूप है:

• मूल बिंदु पर केंद्र वाले त्रिज्या r के एक वृत्त का समीकरण इस प्रकार है: