एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होता है। प्रिज्म पार्श्व सतह क्षेत्र

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प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र. नमस्ते! इस प्रकाशन में हम स्टीरियोमेट्री में समस्याओं के एक समूह का विश्लेषण करेंगे। आइए पिंडों के संयोजन पर विचार करें - एक प्रिज्म और एक सिलेंडर। पर इस पलयह आलेख स्टीरियोमेट्री में कार्यों के प्रकारों पर विचार से संबंधित लेखों की पूरी श्रृंखला को पूरा करता है।

यदि टास्क बैंक में नए लोग दिखाई देते हैं, तो, निश्चित रूप से, भविष्य में ब्लॉग में कुछ जोड़ होंगे। लेकिन जो पहले से मौजूद है वह आपके लिए यह सीखने के लिए काफी है कि परीक्षा के भाग के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ सभी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। आने वाले वर्षों के लिए पर्याप्त सामग्री होगी (गणित कार्यक्रम स्थिर है)।

प्रस्तुत कार्यों में प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना करना शामिल है। मैं ध्यान देता हूं कि नीचे हम एक सीधे प्रिज्म (और, तदनुसार, एक सीधा सिलेंडर) पर विचार करते हैं।

बिना किसी सूत्र को जाने, हम समझते हैं कि प्रिज्म की पार्श्व सतह उसके सभी पार्श्व फलक हैं। एक सीधे प्रिज्म में आयताकार पार्श्व फलक होते हैं।

ऐसे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों (अर्थात आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। यदि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें एक सिलेंडर अंकित है, तो यह स्पष्ट है कि इस प्रिज्म के सभी फलक समान आयत हैं।

औपचारिक रूप से, एक नियमित प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र निम्नानुसार प्रतिबिंबित किया जा सकता है:

27064. एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक बेलन के चारों ओर परिचालित है जिसका आधार त्रिज्या और ऊंचाई 1 के बराबर है। प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

इस प्रिज्म की पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार आयत होते हैं। फलक की ऊँचाई 1 है, प्रिज्म के आधार का किनारा 2 है (ये बेलन की दो त्रिज्याएँ हैं), इसलिए पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है:

पार्श्व सतह क्षेत्र:

73023. एक सिलेंडर के चारों ओर परिचालित एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसका आधार त्रिज्या √0.12 और ऊंचाई 3 है।

किसी दिए गए प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन पार्श्व फलकों (आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। ऊंचाई तीन है. आइए आधार किनारे की लंबाई ज्ञात करें। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित त्रिभुज है जिसमें त्रिज्या √0.12 वाला एक वृत्त अंकित है। समकोण त्रिभुज AOC से हम AC ज्ञात कर सकते हैं। और फिर AD (AD=2AC). स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार:

इसका मतलब है AD = 2AC = 1.2. इस प्रकार, पार्श्व सतह क्षेत्र बराबर है:

27066. एक सिलेंडर के चारों ओर परिचालित एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसका आधार त्रिज्या √75 और ऊंचाई 1 है।

आवश्यक क्षेत्रफल सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।

किसी चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। ऊंचाई ज्ञात है, यह 1 के बराबर है।

आइए आधार किनारे की लंबाई ज्ञात करें। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित षट्भुज है जिसमें त्रिज्या √75 का एक वृत्त अंकित है।

चलो गौर करते हैं सही त्रिकोणएवीओ. हम पैर OB (यह बेलन की त्रिज्या है) जानते हैं। हम कोण AOB भी निर्धारित कर सकते हैं, यह 300 के बराबर है (त्रिकोण AOC समबाहु है, OB एक समद्विभाजक है)।

आइए एक समकोण त्रिभुज में स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करें:

AC = 2AB, चूँकि OB माध्यिका है, अर्थात यह AC को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है AC = 10.

इस प्रकार, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 1∙10=10 है और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

76485. एक बेलन में अंकित नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार त्रिज्या 8√3 और ऊँचाई 6 है।

तीन समान आकार के फलकों (आयत) के निर्दिष्ट प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको प्रिज्म के आधार के किनारे की लंबाई (हम ऊंचाई जानते हैं) जानना आवश्यक है। यदि हम प्रक्षेपण (शीर्ष दृश्य) पर विचार करें, तो हमारे पास एक वृत्त में अंकित एक नियमित त्रिभुज है। इस त्रिभुज की भुजा को त्रिज्या के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

इस रिश्ते का विवरण. तो यह बराबर होगा

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल है: 24∙6=144. और आवश्यक क्षेत्र:

245354. एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक बेलन के चारों ओर परिचालित है जिसका आधार त्रिज्या 2 है। प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 48 है। बेलन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

में स्कूल के पाठ्यक्रमस्टीरियोमेट्री पाठ्यक्रम अध्ययन वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ेआमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय निकाय - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समानांतर तलों में स्थित 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत हैं, जिनका आकार समांतर चतुर्भुज (या आयताकार है, यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है) है।

प्रिज्म कैसा दिखता है?

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक षट्भुज है, जिसके आधार 2 वर्ग हैं, और पार्श्व फलकों को आयतों द्वारा दर्शाया गया है। इसका दूसरा नाम ज्यामितीय आकृति- सीधा समांतर चतुर्भुज।

एक चतुर्भुज प्रिज्म दिखाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

आप तस्वीर में भी देख सकते हैं आवश्यक तत्व, जिसमें से यह शामिल है ज्यामितीय शरीर . इसमे शामिल है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आपको एक अनुभाग की अवधारणा का सामना करना पड़ सकता है। परिभाषा इस प्रकार होगी: एक अनुभाग सभी बिंदु है बड़ा शरीर, काटने वाले विमान से संबंधित। अनुभाग लंबवत हो सकता है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर काटता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (बनाए जा सकने वाले खंडों की अधिकतम संख्या 2 है), जो 2 किनारों और आधार के विकर्णों से होकर गुजरता है।

यदि अनुभाग इस तरह से खींचा गया है कि काटने वाला विमान आधारों या पार्श्व सतहों के समानांतर नहीं है, तो परिणाम एक कटा हुआ प्रिज्म है।

घटे हुए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न संबंधों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, किसी प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, एक वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र को याद करना पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और आयतन

सूत्र का उपयोग करके किसी प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको उसके आधार और ऊंचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = एसबीएएस एच

चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है ए,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए²·ह

यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना निम्नानुसार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके विकास की कल्पना करने की आवश्यकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में की जाती है:

साइड = पॉसन एच

यह ध्यान में रखते हुए कि वर्ग की परिधि बराबर है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:

साइड = 4a घंटा

घन के लिए:

पार्श्व = 4a²

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए पूर्ण सतहएक प्रिज्म के, आपको पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ने होंगे:

Sfull = Sside + 2Smain

एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म के संबंध में, सूत्र इस प्रकार दिखता है:

स्टोटल = 4a h + 2a²

घन के सतह क्षेत्र के लिए:

पूर्ण = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानकर, आप गणना कर सकते हैं व्यक्तिगत तत्वज्यामितीय शरीर.

प्रिज्म तत्व ढूँढना

अक्सर ऐसी समस्याएँ होती हैं जिनमें आयतन दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मान ज्ञात होता है, जहाँ आधार के किनारे की लंबाई या ऊँचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र निकाले जा सकते हैं:

बेस साइड की लंबाई: ए = साइड / 4एच = √(वी / एच);
ऊँचाई या पार्श्व पसली की लंबाई: एच = साइड / 4ए = वी / ए²;
आधार क्षेत्र: एसबीएएस = वी / एच;
पार्श्व चेहरा क्षेत्र: ओर जीआर = साइड / 4.

यह निर्धारित करने के लिए कि विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए d = a√2.इसलिए:

Sdiag = ah√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

dprize = √(2a² + h²)

यह समझने के लिए कि दिए गए रिश्तों को कैसे लागू किया जाए, आप कई सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।

समाधान सहित समस्याओं के उदाहरण

यहां गणित में राज्य की अंतिम परीक्षाओं में पाए जाने वाले कुछ कार्य दिए गए हैं।

अभ्यास 1।

रेत को एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के आकार के बॉक्स में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है। यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाएं, लेकिन आधार दो गुना लंबे होने पर रेत का स्तर क्या होगा?

इसे इस प्रकार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनर में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इससे निरूपित कर सकते हैं ए. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

V₁ = ha² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

क्योंकि वी₁ = वी₂, हम भावों की बराबरी कर सकते हैं:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने के बाद, हमें मिलता है:

नतीजतन नया स्तररेत होगी एच = 10 / 4 = 2.5सेमी।

कार्य 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक सही प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2. शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूँकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार पर 6√2 के विकर्ण वाला एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का आकार समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। इससे पता चलता है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - बराबर हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण के माध्यम से निर्धारित की जाती है:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल सतह क्षेत्र एक घन के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3.

कमरे का नवीनीकरण किया जा रहा है. यह ज्ञात है कि इसका फर्श 9 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाले एक वर्ग के आकार का है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है। यदि 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो कमरे में वॉलपेपर लगाने की सबसे कम लागत क्या है?

चूँकि फर्श और छत वर्गाकार हैं, यानी नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें लंबवत हैं क्षैतिज सतहें, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक सही प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।

क्षेत्र को वॉलपेपर से कवर किया जाएगा पार्श्व = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की कीमत सबसे कम होगी 50·30 = 1500रूबल

इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए, एक वर्ग और आयत के क्षेत्र और परिधि की गणना करने में सक्षम होना, साथ ही आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानना पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

परिभाषा। चश्मेएक बहुफलक है, जिसके सभी शीर्ष दो समानांतर तलों में स्थित हैं, और इन्हीं दो तलों में प्रिज्म के दो फलक स्थित हैं, जो संगत समानांतर भुजाओं वाले समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इन तलों में नहीं हैं, समानांतर हैं।

दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म आधार(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं पार्श्व चेहरे(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी पार्श्व फलक बनते हैं प्रिज्म की पार्श्व सतह .

प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं .

वे किनारे जो आधारों पर नहीं होते, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड है जिसके सिरे एक प्रिज्म के दो शीर्ष हैं जो एक ही सतह पर स्थित नहीं हैं (AD 1)।

प्रिज्म के आधारों तथा दोनों आधारों के लंब को एक ही समय में जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म की ऊंचाई .

पद का नाम:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, ट्रैवर्सल क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल एक आधार में स्थित शीर्षों को निर्दिष्ट किया जाता है बिना किसी अनुक्रमणिका वाले अक्षरों द्वारा, और दूसरे में - एक अनुक्रमणिका के साथ)

प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या से जुड़ा है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में आधार पर एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन क्योंकि ऐसे प्रिज्म के 7 चेहरे हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक - प्रिज्म के आधार, 5 फलक - समांतर चतुर्भुज, - इसके पार्श्व फलक)

सीधे प्रिज्मों के बीच, यह अलग दिखता है निजी दृश्य: सही प्रिज्म.

सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

एक नियमित प्रिज्म में सभी पार्श्व फलक समान आयत होते हैं। प्रिज्म का एक विशेष मामला समांतर चतुर्भुज है।

समानांतर खात

समानांतर खातएक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज (एक झुका हुआ समांतर चतुर्भुज) स्थित है। दायां समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के तलों के लंबवत होते हैं।

आयताकार समान्तर चतुर्भुज - एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समान होते हैं ज्ञात गुणसमांतर चतुर्भुज। समान आयाम वाले आयताकार समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है घनक्षेत्र .एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
a वर्ग की भुजा है.

प्रिज्म का एक विचार निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

विभिन्न स्थापत्य संरचनाएँ;
बच्चों के खिलौने;
पैकेजिंग बक्से;
डिजाइनर आइटम, आदि

प्रिज्म की कुल एवं पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसे इसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। प्रिज्म के आधार समान बहुभुज हैं, फिर उनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं। इसीलिए

एस पूर्ण = एस पक्ष + 2एस मुख्य,

कहाँ एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल, एस ओर-पार्श्व सतह क्षेत्र, एस आधार- आधार क्षेत्र

एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.

एस ओर= पी बेसिक * एच,

कहाँ एस ओर-सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।

प्रिज्म आयतन

प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।