Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, bahkan tugas-tugas khas akan ada lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan di kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam berbagai literatur pendidikan sebutannya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya sepotong demi sepotong, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dengan urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang sama panjangnya dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita ingat salah satunya rumus geometris: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan . Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari – produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( indeks dan jari tengah ) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Anda mungkin mempunyai pertanyaan: basis manakah yang memiliki orientasi kiri? “Tetapkan” ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang paling banyak berubah cermin biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisinya sudah dibahas secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “melipat” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka . Sebenarnya, hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis sama dengan nol.

Kasus spesial– hasil kali vektor suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan tugas ini antara lain kami juga akan menganalisis.

Untuk solusi contoh praktis mungkin diperlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang perkalian vektor sama sekali; kami ditanya tentangnya luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak literalis di kalangan guru, dan tugas yang berkaitan dengannya peluang bagus akan kembali untuk direvisi. Meskipun ini bukan alasan yang tidak masuk akal - jika jawabannya salah, maka orang tersebut mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak mengerti. hal-hal sederhana dan/atau tidak memahami inti tugas. Poin ini harus selalu terkendali ketika memecahkan masalah apa pun matematika yang lebih tinggi, dan dalam mata pelajaran lain juga.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk keputusan independen:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah dari vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatif suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Aksi ini mengingatkan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum di tes, berikut adalah contoh solusi independen:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Sepotong campuran vektor adalah hasil kali tiga vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda, saya biasa menyatakan hasil perkalian campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

A-priori produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.

Tujuan. Kalkulator online dirancang untuk menghitung hasil kali campuran vektor. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.

Tanda-tanda koplanaritas vektor

Tanda koplanaritas. Jika sistem a, b, c adalah sistem kidal, maka abc>0 ; jika dibiarkan, maka abc Arti geometris dari produk campuran. Hasil kali campuran abc dari tiga vektor non-koplanar a, b, c sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor a, b, c, diambil dengan tanda tambah jika sistem a, b, c bertangan kanan , dan dengan tanda minus jika sistem ini kidal.

Sifat-sifat produk campuran

1. Bila faktor-faktornya disusun ulang secara melingkar, hasil kali campurannya tidak berubah; bila dua faktor disusun ulang, tandanya terbalik: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Ini mengikuti dari arti geometris.
2. (a+b)cd=acd+bcd (sifat distributif). Meluas ke sejumlah istilah apa pun.
   Berikut dari definisi produk campuran.
3. (ma)bc=m(abc) (properti kombinatif terhadap faktor skalar).
   Berikut dari definisi produk campuran. Sifat-sifat ini memungkinkan penerapan transformasi pada hasil kali campuran yang berbeda dari hasil kali aljabar biasa hanya karena urutan faktornya hanya dapat diubah dengan mempertimbangkan tanda hasil kali.
4. Hasil kali campuran yang mempunyai paling sedikit dua faktor yang sama sama dengan nol: aab=0.

Contoh No.1. Temukan produk campuran. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Contoh No.2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Semua suku kecuali dua suku ekstrem sama dengan nol. Juga, bca=abc . Oleh karena itu (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Contoh No.3. Hitung hasil kali campuran tiga vektor a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Larutan. Untuk menghitung hasil kali campuran vektor, perlu dicari determinan suatu sistem yang tersusun dari koordinat vektor. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk.

Untuk mempertimbangkan topik seperti itu secara rinci, perlu dibahas beberapa bagian lagi. Topiknya berhubungan langsung dengan istilah-istilah seperti perkalian titik dan perkalian vektor. Pada artikel ini kami telah mencoba memberikan definisi yang tepat, tunjukkan rumus yang akan membantu menentukan hasil kali menggunakan koordinat vektor. Selain itu, artikel tersebut mencakup bagian yang mencantumkan properti karya dan presentasi analisis terperinci persamaan dan masalah yang khas.

Yandex.RTB RA-339285-1

Ketentuan

Untuk menentukan apa itu istilah ini, Anda perlu mengambil tiga vektor.

Definisi 1

Pekerjaan campuran a → , b → dan d → adalah nilai yang sama dengan hasil kali skalar dari a → × b → dan d → , dengan a → × b → adalah perkalian dari a → dan b → . Operasi perkalian a →, b → dan d → sering dilambangkan dengan a → · b → · d →. Anda dapat mengubah rumusnya seperti ini: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Perkalian dalam sistem koordinat

Kita dapat mengalikan vektor jika vektor tersebut ditentukan pada bidang koordinat.

Mari kita ambil i → , j → , k →

Produk dari vektor-vektor yang diberikan kasus tertentu akan memiliki tampilan berikutnya: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (az · b x + a x · b z) · j → + (ax · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Definisi 2

Untuk melakukan perkalian titik dalam sistem koordinat perlu dijumlahkan hasil yang diperoleh pada perkalian koordinat.

Karena itu:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Kita juga dapat mendefinisikan hasil kali campuran vektor jika sistem koordinat tertentu menentukan koordinat vektor yang sedang dikalikan.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a x a y a z b x b y b z d x d kamu d z

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definisi 3

Produk campuran bisa disamakan ke determinan matriks yang baris-barisnya merupakan koordinat vektor. Secara visual terlihat seperti ini: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Sifat-sifat operasi pada vektor Dari ciri-ciri yang menonjol pada suatu perkalian skalar atau vektor, kita dapat memperoleh ciri-ciri yang menjadi ciri perkalian campuran. Di bawah ini kami menyajikan properti utama.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Selain sifat-sifat di atas, perlu diperjelas bahwa jika pengalinya nol, maka hasil perkaliannya juga akan nol.

Hasil perkaliannya juga akan nol jika dua faktor atau lebih sama.

Memang, jika a → = b →, maka mengikuti definisi perkalian vektor [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , maka hasil kali campuran sama dengan nol, karena ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Jika a → = b → atau b → = d →, maka sudut antara vektor [a → × b →] dan d → sama dengan π 2. Berdasarkan definisi hasil kali skalar vektor ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Sifat-sifat operasi perkalian paling sering diperlukan saat menyelesaikan masalah.
Untuk memeriksa secara detail topik ini, mari kita ambil beberapa contoh dan jelaskan secara detail.

Contoh 1

Buktikan persamaan ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), di mana λ adalah suatu bilangan real.

Untuk menemukan solusi terhadap kesetaraan ini, kita harus mengubahnya sisi kiri. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti ketiga dari produk campuran, yang menyatakan:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Kita telah melihat bahwa (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Oleh karena itu,
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Berdasarkan sifat pertama, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →), dan ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Jadi, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Itu sebabnya,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Kesetaraan telah terbukti.

Contoh 2

Perlu dibuktikan bahwa modulus hasil kali campuran tiga vektor tidak lebih besar dari hasil kali panjangnya.

Larutan

Berdasarkan kondisi tersebut, kita dapat menyajikan contohnya dalam bentuk pertidaksamaan a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Berdasarkan definisinya, kita mentransformasikan pertidaksamaan a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Dengan menggunakan fungsi dasar, kita dapat menyimpulkan bahwa 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Ketimpangan telah terbukti.

Analisis tugas-tugas tipikal

Untuk menentukan hasil kali vektor, Anda perlu mengetahui koordinat vektor yang dikalikan. Untuk operasinya, Anda dapat menggunakan rumus berikut a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Contoh 3

DI DALAM sistem persegi panjang koordinatnya terdapat 3 buah vektor dengan koordinat sebagai berikut : a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Kita perlu menentukan berapa hasil kali vektor-vektor yang ditunjukkan a → · b → · d → sama dengan.

Berdasarkan teori yang dikemukakan di atas, kita dapat menggunakan aturan bahwa hasil kali campuran dapat dihitung melalui determinan matriks. Tampilannya seperti ini: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Contoh 4

Kita perlu mencari hasil kali vektor i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , di mana i → , j → , k → adalah vektor satuan dari vektor tersebut sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Berdasarkan kondisi yang menyatakan bahwa vektor-vektor terletak pada suatu sistem koordinat tertentu, maka dapat diturunkan koordinatnya: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) saya → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Kami menggunakan rumus yang digunakan di atas
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Perkalian campuran juga dapat ditentukan dengan menggunakan panjang vektor yang telah diketahui dan sudut di antara vektor-vektor tersebut. Mari kita lihat tesis ini dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Dalam sistem koordinat persegi panjang terdapat tiga buah vektor a →, b → dan d → yang saling tegak lurus. Mereka adalah tripel bertangan kanan dan panjangnya 4, 2 dan 3. Vektor perlu dikalikan.

Mari kita nyatakan c → = a → × b → .

Menurut aturan, hasil perkalian skalar vektor adalah bilangan yang sama dengan hasil perkalian panjang vektor yang digunakan dengan kosinus sudut antar vektor. Kita simpulkan bahwa a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Kita menggunakan panjang vektor d → yang ditentukan dalam kondisi contoh: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Hal ini diperlukan untuk menentukan c → dan c → , d → ^ . Dengan syarat a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vektor c → dicari dengan rumus: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Dapat disimpulkan bahwa c → tegak lurus terhadap a → dan b → . Vektor a → , b → , c → merupakan segitiga siku-siku, sehingga digunakan sistem koordinat Kartesius. Vektor c → dan d → akan searah, yaitu c → , d → ^ = 0 . Dengan menggunakan hasil turunan, kita selesaikan contoh a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Kita menggunakan faktor a → , b → dan d → .

Vektor a → , b → dan d → berasal dari titik yang sama. Kami menggunakannya sebagai sisi untuk membangun sebuah gambar.

Mari kita nyatakan bahwa c → = [ a → × b → ] . Untuk kasus ini, kita dapat mendefinisikan hasil kali vektor sebagai a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , di mana n p c → d → adalah proyeksi numerik dari vektor d → ke arah vektor c → = [ a → × b → ] .

Nilai absolut n p c → d → sama dengan bilangan, yang juga sama dengan tinggi bangun yang menggunakan vektor a → , b → dan d → sebagai sisinya. Berdasarkan hal tersebut, perlu diperjelas bahwa c → = [ a → × b → ] tegak lurus terhadap a → baik vektor maupun vektor menurut definisi perkalian vektor. Nilai c → = a → x b → sama dengan luas parallelepiped yang dibangun di atas vektor a → dan b →.

Kita simpulkan bahwa modulus hasil kali a → · b → · d → = c → · n p c → d → sama dengan hasil perkalian luas alas dengan tinggi bangun yang dibangun di atas vektor a → , b → dan d → .

Definisi 4

Nilai mutlak perkalian silang adalah volume parallelepiped: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Rumus ini memiliki arti geometris.

Definisi 5

Volume tetrahedron, yang dibangun di atas a →, b → dan d →, sama dengan 1/6 volume paralelepiped. Kita peroleh, V t e t r a e da = 1 6 · V par l l e le p i da = 1 6 · a → · b → · d → .

Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, mari kita lihat beberapa contoh umum.

Contoh 6

Kita perlu mencari volume sebuah balok yang sisi-sisinya adalah A B → = (3, 6, 3), AC → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang . Volume suatu parallelepiped dapat dicari dengan menggunakan rumus nilai mutlak. Maka dari ini: A B → · AC → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Maka, V par l l e l e p e da = - 18 = 18 .

V par l l e l e p i p i d a = 18

Contoh 7

Sistem koordinat memuat titik A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Penting untuk menentukan volume tetrahedron yang terletak di titik-titik ini.

Mari kita gunakan rumus V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Koordinat vektor dapat kita tentukan dari koordinat titik-titiknya: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​​​AD → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Selanjutnya kita tentukan hasil kali campuran A B → A C → A D → dengan koordinat vektor: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volume V t et ra e d ra = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r aed r a = 7 6 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Itu kalkulator daring menghitung produk campuran vektor. Diberikan solusi terperinci. Untuk menghitung produk campuran vektor, pilih metode representasi vektor (berdasarkan koordinat atau dua titik), masukkan data ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

×

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau angka desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.

Produk campuran vektor (teori)

Sepotong campuran tiga vektor adalah bilangan yang diperoleh bila produk titik hasil produk vektor dua vektor pertama ke vektor ketiga. Dengan kata lain, jika diberikan tiga vektor a, b Dan C, lalu untuk mendapatkan hasil kali campuran vektor-vektor tersebut, pertama-tama dua vektor pertama dan vektor yang dihasilkan [ ab] dikalikan secara skalar dengan vektor C.

Hasil kali campuran tiga vektor a, b Dan C dilambangkan sebagai berikut: abc atau lebih ( a,b,c). Kemudian kita dapat menulis:

Sebelum merumuskan teorema yang mewakili makna geometri suatu hasil kali campuran, kenali dulu konsep rangkap tiga kanan, rangkap tiga kiri, sistem koordinat kanan, sistem koordinat kiri (definisi 2, 2" dan 3 di halaman produk vektor dari vektor online).

Untuk lebih pastinya, berikut ini kita hanya akan membahas sistem koordinat tangan kanan.

Teorema 1. Produk campuran vektor ([ab],C) sama dengan volume suatu bangun paralel yang dikonstruksikan pada vektor-vektor yang direduksi menjadi titik asal yang sama a, b, c, diambil dengan tanda plus, jika tiga a, b, c benar, dan dengan tanda minus jika tiga a, b, c kiri Jika vektor a, b, c adalah koplanar, maka ([ ab],C) sama dengan nol.

Akibat wajar 1. Persamaan berikut berlaku:

Oleh karena itu, cukup kita buktikan saja

Dari ekspresi (3) jelas bahwa kiri dan bagian kanan sama dengan volume paraleliped. Tetapi tanda-tanda sisi kanan dan kirinya bertepatan, karena merupakan tiga kali lipat vektor abc Dan bca mempunyai orientasi yang sama.

Persamaan yang terbukti (1) memungkinkan kita menulis hasil kali campuran tiga vektor a, b, c hanya dalam bentuk abc, tanpa menentukan dua vektor mana yang dikalikan secara vektor dengan dua vektor pertama atau dua vektor terakhir.

Akibat wajar 2. Syarat perlu dan cukup untuk koplanaritas tiga vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol.

Pembuktiannya mengikuti Teorema 1. Memang, jika vektor-vektornya sebidang, maka hasil kali campuran vektor-vektor tersebut sama dengan nol. Sebaliknya, jika hasil kali campuran sama dengan nol, maka koplanaritas vektor-vektor ini mengikuti Teorema 1 (karena volume suatu paraleliped yang dibangun di atas vektor-vektor yang direduksi menjadi titik asal yang sama adalah sama dengan nol).

Akibat wajar 3. Hasil kali campuran tiga vektor, dua di antaranya berimpit, sama dengan nol.

Benar-benar. Jika dua dari ketiga vektor tersebut berimpit, maka vektor-vektor tersebut koplanar. Oleh karena itu, hasil kali campuran vektor-vektor ini sama dengan nol.

Produk campuran vektor dalam koordinat Cartesius

Teorema 2. Misalkan tiga buah vektor a, b Dan C ditentukan oleh koordinat persegi panjang kartesiusnya

Bukti. Sepotong campuran abc sama dengan hasil kali skalar vektor [ ab] Dan C. Perkalian silang vektor [ ab] dalam koordinat kartesius dihitung dengan rumus ():

Ekspresi terakhir dapat ditulis menggunakan determinan orde kedua:

determinannya perlu dan cukup sama dengan nol, yang baris-barisnya diisi dengan koordinat vektor-vektor tersebut, yaitu:

.

(7)

Untuk membuktikan akibat wajarnya, cukup dengan memperhatikan rumus (4) dan Akibat wajar 2.

Hasil kali campuran vektor beserta contohnya

Contoh 1. Temukan produk campuran vektor abc, Di mana

Produk campuran vektor a, b, c sama dengan determinan matriks L. Mari kita hitung determinan matriksnya L, memperluas determinan sepanjang garis 1:

Titik akhir vektor A.