Paralel iki doğrunun oluşturduğu açılarla ilgili teoremler. Konuyla ilgili geometri sunumu: "İki paralel çizgi ve bir sekantın oluşturduğu açılarla ilgili teoremler"

§ 1 Ters teorem

Bu dersimizde hangi teoremlerin ters teoremler olduğunu öğreneceğiz, ters teoremlere örnekler vereceğiz, iki paralel doğru ve bir sekantın oluşturduğu açılar ile ilgili teoremler formüle edeceğiz ve çelişerek ispat yöntemini öğreneceğiz.

Okurken çeşitli geometrik şekiller tanımlar genellikle formüle edilir, teoremler ispatlanır ve teoremlerden elde edilen sonuçlar dikkate alınır. Her teoremin iki bölümü vardır: bir koşul ve bir sonuç.

Bir teoremin koşulu verilendir ve sonuç, kanıtlanması gereken şeydir. Çoğu zaman bir teoremin koşulu "eğer" sözcüğüyle başlar ve sonuç "o zaman" sözcüğüyle başlar. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin teorem şu şekilde formüle edilebilir: "Üçgen ikizkenarsa, tabanındaki açılar eşittir." Teoremin birinci kısmı “Üçgen ikizkenar ise” teoremin koşulu, ikinci kısmı “tabanlarındaki açılar eşittir” teoremin sonuç kısmıdır.

Koşul ve sonucun birbirinin yerine geçtiği bir teoreme ters teorem denir. Bir ikizkenar üçgenin özellikleri hakkındaki teoremin tersi teoremi kulağa şu şekilde gelecektir: "Bir üçgendeki iki açı eşitse, o zaman böyle bir üçgen ikizkenardır."

Her birini kısaca yazalım:

Koşul ve sonucun tersine döndüğünü görüyoruz.

Bu ifadelerin her biri doğrudur.

Şu soru ortaya çıkıyor: Koşul yer yer sonuçla birlikte değiştiğinde, ifade her zaman doğru mudur?

Bir örnek düşünün.

Açılar dikey ise, o zaman eşittirler. Bu doğru bir sözdür, kanıtı vardır. Ters ifadeyi formüle ediyoruz: eğer açılar eşitse, o zaman dikeydirler. Bu ifade yanlıştır, çürütücü bir örnek vererek bunu doğrulamak kolaydır: iki dik açı alalım (şekle bakın), bunlar eşittir, ancak dikey değildirler.

Bu nedenle, zaten kanıtlanmış iddialara (teoremlere) göre ters iddialar (teoremler) her zaman kanıt gerektirir.

§ 2 İki paralel çizgi ve bir sekant tarafından oluşturulan açılar üzerine teoremler

Şimdi kanıtlanmış ifadeleri - iki doğrunun paralellik işaretlerini ifade eden teoremleri hatırlayalım, bunların tersini formüle edelim ve ispatlar vererek geçerliliklerinden emin olalım.

Paralel çizgilerin ilk işareti.

İki çizginin bir enlemesine kesiştiği noktada, yatma açıları eşitse, o zaman çizgiler paraleldir.

Ters teorem:

İki paralel çizgi bir sekantla kesişiyorsa, bu durumda karşılıklı uzanan açılar eşittir.

Bu ifadeyi kanıtlayalım.

Verilen: a ve b paralel doğruları AB sekantıyla kesişiyor.

1 ve 2 çapraz açılarının eşit olduğunu kanıtlayın. (resme bakın.)

Kanıt:

1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım.

AB kirişinden, 2 açısına eşit olan CAB açısını bir kenara bırakalım, öyle ki, CAB açısı ve 2 açısı, CA ve b doğrularının AB sekantıyla kesiştiği yerde enlemesine uzanan açılardır.

Yapısal olarak, bu çapraz açılar eşittir, yani CA doğrusu b doğrusuna paraleldir.

a ve CA doğrularının A noktasından geçtiğini ve b doğrusuna paralel olduğunu elde ettik. Bu, paralel doğrular aksiyomuyla çelişir: belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen, verilen doğruya yalnızca bir paralel çizgi vardır.

Yani varsayımımız yanlış, 1 ve 2 açıları eşittir.

Teorem kanıtlanmıştır.

§ 3 Çelişkili ispat yöntemi

Bu teoremi ispatlarken, çelişki ile ispat metodu denen bir muhakeme metodu kullandık. İspata başlarken, ispatlanması gerekenin tam tersini varsaydık. Bu varsayımın doğru olduğunu düşünürsek, akıl yürüterek paralel doğrular aksiyomuyla çelişkiye düştük. Bundan, varsayımımızın doğru olmadığı, ancak teoremin iddiasının doğru olduğu sonucuna vardık. Bu ispat yöntemi genellikle matematikte kullanılır.

Kanıtlanmış teoremin bir sonucunu düşünün.

Sonuçlar:

Bir doğru iki paralel doğrudan birine dik ise diğerine de diktir.

A doğrusu b doğrusuna paralel olsun, c doğrusu a doğrusuna dik olsun, yani açı 1 = 90º.

c doğrusu a doğrusuyla kesiştiği için c doğrusu da b doğrusuyla kesişir.

Paralel çizgiler bir sekant ile kesiştiğinde, yatma açıları eşittir, bu da açı 1 \u003d açı 2 anlamına gelir.

1 açısı = 90º olduğundan, 2 açısı = 90º olduğundan, c doğrusu b doğrusuna diktir.

Sonuç kanıtlanmıştır.

Doğruların paralelliğinin ikinci işareti için ters teorem:

İki paralel çizgi bir sekantla kesişiyorsa, karşılık gelen açılar eşittir.

Doğruların paralelliğinin üçüncü işareti için ters teorem:

İki paralel çizgi bir sekant ile kesişiyorsa, tek taraflı açıların toplamı 180º'dir.

Böylece, bu derste hangi teoremlerin ters olarak adlandırıldığını öğrendik, iki paralel çizgi ve bir sekantın oluşturduğu açılar hakkında teoremleri formüle edip ele aldık ve ayrıca çelişerek ispatlama yöntemini tanıdık.

Kullanılan literatür listesi:

Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M .: Eğitim, 2013. - 383 s .: hasta.
Gavrilova N.F. Pourochnye geliştirme geometri 7. sınıf indir. - M.: "WAKO", 2004, 288'ler. - (Okul öğretmenine yardım etmek için).
Belitskaya O.V. Geometri. 7. sınıf. Bölüm 1. Testler. - Saratov: Lise, 2014. - 64 s.

Rybalko Pavel

Bu sunum şunları içerir: kanıtları olan 3 teorem ve çalışılan materyali aşağıdakilerle birleştirmek için 3 görev detaylı çözüm. Sunum, çok zaman kazandıracağı için sınıftaki öğretmen için yararlı olabilir. Ayrıca okul yılının sonunda genelleştirici bir inceleme olarak da kullanılabilir.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunuların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt altyazıları:

İki paralel çizgi ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler. Oyuncu: öğrenci 7 "A" sınıfı Rybalko Pavel Mytishchi, 2012

Teorem: Eğer iki paralel doğru bir sekant ile kesişiyorsa, çaprazlama açıları eşittir. ve A B 1 2  1 =  2 c'de

Kanıt: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel ve MN bunların keseni olsun. 1 ve 2 çapraz açılarının birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım.  1 ve  2'nin eşit olmadığını varsayalım. O noktasından geçen bir KF doğrusu çizelim. O zaman O noktasında  KON'u karşılıklı uzanan ve  2'ye eşit olarak oluşturabiliriz. Ancak  KON =  2 ise, KF doğrusu CD'ye paralel olacaktır. CD doğrusuna paralel O noktasından AB ve KF doğrularının çizildiğini elde ettik. Ama bu olamaz.  1 ve  2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye ulaştık. Bu nedenle varsayımımız yanlıştır ve  1,  2'ye eşit olmalıdır, yani çapraz açılar eşittir. F

Teorem: Eğer iki paralel çizgi bir sekant ile kesişiyorsa, o zaman karşılık gelen açılar eşittir. ve A B 1 2  1 =  2'de

Kanıt: AB B 3'te 2 a 1 Paralel doğrular a ve b AB sekantıyla kesişsin, o zaman kesişen  1 ve  3 eşit olacaktır.  2 ve  3 dikey olarak eşittir.  1 =  3 ve  2 =  3 eşitliklerinden  1 =  2 çıkar.

Teorem: Eğer iki paralel çizgi bir kesen ile kesişiyorsa, tek taraflı açıların toplamı 180°'dir. ve A B 3 1  1 +  3 = 180°'de

Kanıt: Paralel doğrular a ve b kesen AB tarafından kesilsin, o zaman karşılık gelen  1 ve  2 eşit olacaktır,  2 ve  3 komşudur, dolayısıyla  2 +  3 = 180 °.  1 =  2 ve  2 +  3 = 180 ° eşitliklerinden  1 +  3 = 180 ° çıkar. Teorem kanıtlanmıştır. 2 a c A B 3 1

Çözüm: 1. Х  2 olsun, o zaman  1 = (Х+70°), çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı = 180°, çünkü bunlar bitişiktir. Denklemi oluşturalım: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Açı 2) dikeydirler.  3 =  5, çünkü karşısında uzanırlar. 125°  5 =  7, çünkü dikeydirler.  2 =  4, çünkü dikeydirler.  4 =  6, çünkü karşısında uzanırlar. 55°  6 =  8, çünkü dikeydirler. Problem 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B'nin bir C keseniyle kesişmesiyle oluşan tüm açıları bulun.

Çözüm: 1. Çünkü  4 = 45°, sonra  2 = 45°, çünkü  2 =  4 (karşılık gelen) 2.  3,  4'ün bitişiğindedir, dolayısıyla  3+  4=180° ve bunu takiben  3= 180° - 45°= 135° olur. 3.  1 =  3, çünkü karşısında uzanırlar.  1 = 135°. Yanıt:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Görev No. 2: A B 1 Koşul: şekilde, A II B ve C II D düz çizgileri,  4=45°. 1, 2, 3 açılarını bulun. 3 2 4

Çözüm: 1.  1=  2, çünkü dikeydirler, yani  2= 45°. 2.  3,  2'ye bitişiktir, yani  3+  2=180° ve bunu  3= 180° - 45°= 135° takip eder. 3.  4 +  3=180°, çünkü onlar tek taraflıdır.  4 = 45°. Yanıt:  4=45°;  3=135°. Görev №3: A B 2 Koşul: iki paralel çizgi A ve B bir kesen C ile kesişiyor.  1=45° ise,  4 ve  3'e neyin eşit olacağını bulun. 3 4 1

\[(\Large(\text(Merkezi ve Çevresel Açılar))))\]

Tanımlar

Merkez açı, tepe noktası çemberin merkezinde bulunan açıdır.

Çevresel açı, tepesi daire üzerinde olan açıdır.

Bir daire yayının derece ölçüsü, üzerine gelen merkez açının derece ölçüsüdür.

teorem

Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt

İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: ilk olarak, çevre açının kenarlarından birinin çap içerdiği durum için ifadenin geçerliliğini ispatlıyoruz. \(B\) noktası, çevrelenmiş açı \(ABC\)'nin tepe noktası ve \(BC\) çemberin çapı olsun:

Üçgen \(AOB\) ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\açı AOC\) dıştadır, o zaman \(\AOC açısı = \OAB açısı + \ABO açısı = 2\ABC açısı\), Neresi \(\açı ABC = 0,5\cdot\açı AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Şimdi rastgele bir çevrelenmiş açı \(ABC\) düşünün. Çevrelenmiş açının tepe noktasından daire çapını \(BD\) çizin. İki durum mümkündür:

1) çap, açıyı iki açıya bölmüştür \(\açı ABD, \açı CBD\) (bunların her biri için yukarıda kanıtlandığı gibi teorem doğrudur, bu nedenle bu ikisinin toplamı olan orijinal açı için de doğrudur ve bu nedenle üzerinde durdukları yayların toplamının yarısına eşittir, yani üzerinde durduğu yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.

2) çap açıyı iki açıya ayırmadı, o zaman iki yeni yazılı açımız daha var \(\açı ABD, \açı CBD\) , bu nedenle teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de doğrudur (bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların yarı farkına eşittir, yani üzerinde durduğu yayın yarısına eşittir). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yayı temel alan çevre açılar eşittir.

2. Yarım daireye dayalı çevre açı, dik açıdır.

3. Çevresel açı, aynı yaya göre merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Large(\text(Çembere teğet)))\]

Tanımlar

Üç tip var göreceli konum düz çizgi ve daire:

1) \(a\) doğrusu çemberi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda dairenin merkezinden doğruya olan mesafe \(d\) dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).

2) \(b\) doğrusu daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye teğet denir ve ortak nokta\(B\) – dokunma noktası. Bu durumda \(d=R\) (Şek. 4).

teorem

1. Çembere teğet, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Bir doğru çemberin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise çembere teğettir.

Sonuçlar

Bir noktadan daireye çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

Kanıt

Çembere \(K\) noktasından \(KA\) ve \(KB\) iki teğet çizin:

Yani \(OA\perp KA, OB\perp KB\) yarıçap olarak. dik üçgenler\(\üçgen KAO\) ve \(\üçgen KBO\) bacak ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .

Sonuçlar

\(O\) çemberinin merkezi, aynı noktadan çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının açıortay üzerindedir \(K\) .

\[(\Large(\text(Açılarla ilgili teoremler)))\]

Sekantlar arasındaki açı ile ilgili teorem

Aynı noktadan çizilen iki sekant arasındaki açı, kestiği büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.

Kanıt

\(M\), şekilde gösterildiği gibi iki sekantın çizildiği bir nokta olsun:

gösterelim ki \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\açı DAB\) - dış köşeüçgen \(MAD\) , sonra \(\açı DAB = \açı DMB + \açı MDA\), Neresi \(\açı DMB = \açı DAB - \açı MDA\), ancak \(\açı DAB\) ve \(\açı MDA\) açıları çizilir, ardından \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), kanıtlanması gerekiyordu.

Kesişen kirişler arasındaki açı teoremi

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestiği yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

\(\açı BMA = \açı CMD\) dikey olarak.

\(AMD\) üçgeninden : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ancak \(\açı AMD = 180^\circ - \açı CMD\), buradan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\smile\over(CD)).\]

Bir kiriş ve bir teğet arasındaki açıya ilişkin teorem

Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kiriş tarafından çıkarılan yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

\(a\) doğrusu daireye \(A\) noktasında değsin, \(AB\) bu dairenin kirişi, \(O\) merkezi olsun. \(OB\) içeren doğrunun \(a\) ile \(M\) noktasında kesişmesine izin verin. bunu kanıtlayalım \(\açı BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\açı OAB = \alpha\) olarak belirtin. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\açı OBA = \açı OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teğet noktasına çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\) , yani \(\angle OAM = 90^\circ\) , bu nedenle, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Eşit kirişlerle büzülen yaylara ilişkin teorem

Eşit akorlar, eşit yayları, daha küçük yarım daireleri alt eder.

Ve tam tersi: eşit yaylar, eşit kirişler tarafından daraltılır.

Kanıt

1) \(AB=CD\) olsun. Yayın daha küçük yarım daire olduğunu kanıtlayalım.

Üç kenarda, dolayısıyla \(\açı AOB=\açı COD\) . Ama beri \(\açı AOB, \açı COD\) - yaylara dayalı merkez açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) sırasıyla, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki kenar boyunca \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\açı AOB=\açı COD\) . Bu nedenle, \(AB=CD\) .

teorem

Bir yarıçap bir kirişi ikiye bölüyorsa, ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: yarıçap kirişe dik ise, kesişme noktası kirişi ikiye böler.

Kanıt

1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle AOB\) düşünün : ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – daire yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen medyandır, ardından aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.

Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, yani \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Doğruların uzunlukları ile ilgili teoremler))))\]

Akor segmentlerinin çarpımı ile ilgili teorem

Bir çemberin iki kirişi kesişirse, bir kirişin parçalarının çarpımı diğer kirişin parçalarının ürününe eşittir.

Kanıt

\(AB\) ve \(CD\) kirişleri \(E\) noktasında kesişsin.

\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini ele alalım. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları, çizili olduklarından ve aynı yaya dayandıklarından \(BD\) ve \(3\) ve \(4\) açıları dikey olarak eşittir. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (birinci üçgen benzerlik kriterine göre).

Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), dolayısıyla \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teğet ve sekant teoremi

Bir teğet parçasının karesi, sekantın ürününe eşittir ve dış Bölüm.

Kanıt

Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve çembere \(A\) noktasında dokunun. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve çemberi \(B\) ve \(C\) noktalarında kessin ki \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini ele alalım : \(\açı M\) geneldir, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ile bir sekant arasındaki açı teoremine göre, \(\açı BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \açı BCA\). Böylece \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)\(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.

Sonuçlar

\(O\) noktasından çekilen sekantın dış kısmı ile çarpımı, \(O\) noktasından çekilen sekant seçimine bağlı değildir.

Teorem: Eğer iki paralel doğru bir sekant ile kesişiyorsa, çaprazlama açıları eşittir. ve AB \u003d 2 sn'de

Kanıt: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel ve MN onların sekantları olsun. 1 ve 2 çapraz açılarının birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım. Diyelim ki 1 ve 2 eşit değil. O noktasından geçen bir KF doğrusu çizelim. Daha sonra, O noktasında, çapraz uzanan ve 2'ye eşit bir KON çizilebilir. Ancak KON = 2 ise, KF doğrusu CD'ye paralel olacaktır. AB ve KF doğrularının O noktasından çizildiğini ve CD doğrusuna paralel olduğunu elde ettik. Ama bu olamaz. 1 ve 2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye ulaştık. Bu nedenle, varsayımımız yanlıştır ve 1, 2'ye eşit olmalıdır, yani çapraz yatma açıları eşittir. F

Teorem: Eğer iki paralel çizgi bir sekant ile kesişiyorsa, o zaman karşılık gelen açılar eşittir. ve AB = 2'de

Teorem: Eğer iki paralel çizgi bir kesenle kesişiyorsa, tek taraflı açıların toplamı 180°'dir. AB'de a = 180°

Kanıt: a ve b paralel doğrularının AB sekantıyla kesişmesine izin verin, o zaman karşılık gelen 1 ve 2 eşit olacak, 2 ve 3 bitişik olacak, dolayısıyla = 180 °. 1 = 2 ve = 180° eşitliklerinden = 180° çıkar. Teorem kanıtlanmıştır. 2 a c A B 3 1

Çözüm: 1. X 2 olsun, o zaman 1 = (X + 70°), çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı = 180°, çünkü bunlar bitişiktir. Denklemi yapalım: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Açı 2) 2. Bul 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, çünkü dikeydirler. 3 = 5, çünkü karşısında uzanırlar. 125° 5 = 7, çünkü dikeydirler. 2 = 4, çünkü dikeydirler. 4 = 6, çünkü karşısında uzanırlar. 55° 6 = 8, çünkü dikeydirler. Problem 1: A B Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B'nin bir C keseni ile kesişmesiyle oluşan tüm açıları bulun.

Çözüm: 1. 1= 2, çünkü dikeydirler, dolayısıyla 2= 45° 2'ye bitişiktir, dolayısıyla 3+ 2=180° ve bundan 3= 180° - 45°= 135° =180° çıkar, çünkü onlar tek taraflıdır. 4 = 45°. Cevap: 4=45°; 3=135°. Görev 3: A B 2 Koşul: iki paralel çizgi A ve B bir C sekantıyla kesişiyor. 1=45° ise 4 ve 3'e neyin eşit olacağını bulun