Düzgün yüklü bir düzlemin elektrik alanı. Sonsuz düzgün yüklü bir düzlemin alanını hesaplamak için Gauss teoreminin uygulanması

Daha önce göstermiştik Elektrik alanı, sonsuz düzgün yüklü bir plaka tarafından oluşturulan homojendir, yani alan kuvveti tüm noktalarda aynıdır ve kuvvet vektörü düzleme dik olarak yönlendirilir ve modülü eşittir E o = σ/(2ε o). Böyle bir alanın kuvvet çizgileri ailesi, plakaya dik olan bir dizi paralel çizgidir. Şek. 275, 276 ayrıca alan kuvveti vektörünün izdüşümünün bir grafiğini gösterir. Ez aks başına Z plakaya dik (bu eksenin orijinini plakaya yerleştiriyoruz). Bu alanın potansiyelinin yalnızca koordinata bağlı olduğu açıktır. z yani bu durumda eşpotansiyel yüzeyler yüklü levhaya paralel düzlemlerdir.



pirinç. 275



pirinç. 276
Sıfır potansiyel seviyesinin geleneksel seçimi ile φ(z → ∞), keyfi bir noktanın potansiyeli, bir birim pozitif yükü belirli bir noktadan sonsuza taşıma işine eşittir. Gerilme modülü sabit olduğundan, bu tür iş (ve dolayısıyla potansiyel) sonsuza eşittir! Bu nedenle, belirtilen sıfır potansiyel seviyesi seçimi bu durumda uygun değildir.
Bu nedenle, sıfır seviyesini seçme keyfiliği kullanılmalıdır. Koordinat ile rastgele bir nokta seçmek yeterlidir. z = z o ve ona potansiyelin keyfi bir değerini atayın φ(z o) = φ o(Şek. 277).

pirinç. 277
Şimdi, keyfi bir noktadaki potansiyelin değerini hesaplamak için φ(z), kuvvet ve alan potansiyeli arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz

Bu durumda alan şiddetinin sabit olduğu düşünülürse (en z > 0) bu ifade şu şekilde yazılır:

potansiyelin koordinat üzerindeki istenen bağımlılığını takip eder (için z > 0)

Özellikle, plakanın kendisinin potansiyeline keyfi bir değer ayarlanabilir, yani z = z o = 0, φ = φ o. Daha sonra keyfi bir noktadaki potansiyelin değeri fonksiyon tarafından belirlenir.

grafiği Şekil 278'de gösterilmiştir.

pirinç. 278
Sonsuza göre potansiyelin sonsuz derecede büyük olduğu gerçeği oldukça açıktır - sonuçta, sonsuz bir plakanın da sonsuz büyük bir yükü vardır. Daha önce vurguladığımız gibi, böyle bir sistem bir idealleştirmedir - sonsuz levha yoktur. Gerçekte, tüm cisimlerin sonlu boyutları vardır, bu nedenle onlar için geleneksel sıfır potansiyel seçimi mümkündür, ancak bu durumda alan dağılımı çok karmaşık olabilir. Ele alınan idealleştirme çerçevesinde, bizim tarafımızdan kullanılan sıfır seviyesi seçimini kullanmak daha uygundur.

Yükleri mutlak değerde eşit ve 1 işaretinde zıt olan iki özdeş, düzgün yüklü paralel plaka tarafından oluşturulan alan potansiyelinin dağılımını bulalım (Şekil 279).

Pirinç. 279
Yüzey yük yoğunluğunu bir plaka üzerinde gösterelim +σ ve diğer tarafta −σ . plakalar arasındaki mesafe H plakaların boyutlarından çok daha küçük olduğunu düşüneceğiz. Bir koordinat sistemi tanıtıyoruz, eksen z plakalara dik olan koordinatların orijinini plakaların ortasına yerleştiriyoruz. Açıkçası, sonsuz büyük plakalar için, tüm alan özellikleri (kuvvet ve potansiyel) yalnızca koordinata bağlıdır. z. Uzayda çeşitli noktalardaki alan kuvvetini hesaplamak için, sonsuz düzgün yüklü bir plaka ve süperpozisyon ilkesi tarafından oluşturulan alan kuvveti için elde edilen ifadeyi kullanırız.
Her bir düzgün yüklü plaka, yoğunluk modülü şuna eşit olan tek biçimli bir alan oluşturur: E o = σ/(2ε o) ve yönler Şekil 280, 281'de gösterilmiştir.



pirinç. 280

pirinç. 281
Alan kuvvetlerini süperpozisyon ilkesine göre toplayarak, plakalar arasındaki boşlukta alan kuvvetini elde ederiz. E = 2E o = σ/ε o bir levhanın alan kuvvetinin iki katı (burada münferit levhaların alanları paraleldir) ve levhaların dışında alan yoktur (burada münferit levhaların alanları zıttır).
Kesin konuşmak gerekirse, sonlu boyutlu levhalar için alan tekdüze değildir, sonlu boyutlu levhaların alanının alan çizgileri Şekil 282'de gösterilmektedir.



pirinç. 282
Tekdüzelikten en güçlü sapmalar, plakaların kenarlarına yakın yerlerde gözlenir (genellikle bu sapmalara denir. kenar efektleri). Bununla birlikte, plakaların ortasına bitişik bölgede, alan yüksek bir doğruluk derecesi ile üniform olarak kabul edilebilir, yani bu bölgede kenar etkileri ihmal edilebilir. Bu yaklaşımdaki hataların ne kadar küçük olduğuna dikkat edin, plakalar arasındaki mesafenin boyutlarına oranı o kadar küçük olur.
Alan potansiyelinin dağılımını kesin olarak belirlemek için, sıfır potansiyelin seviyesini seçmek gerekir. Plakalar arasında ortada bulunan bir düzlemde potansiyelin sıfıra eşit olduğunu varsayacağız, yani φ = 0 de z = 0.
Potansiyelin sıfır seviyesini seçmedeki keyfiliğe rağmen, seçimimiz sistemin simetrisine göre mantıksal olarak gerekçelendirilebilir. Gerçekten de, incelenmekte olan yükler sistemi, düzleme göre ayna yansıması üzerine kendisini yansıtır. z = 0 ve yüklerin işaretlerinde eşzamanlı bir değişiklik. Bu nedenle, potansiyel dağılımın da aynı simetriye sahip olması arzu edilir: tüm alan fonksiyonlarının işaretinde eşzamanlı bir değişiklikle ayna yansıması ile geri yüklenir. Sıfır potansiyeli seçmek için seçtiğimiz yöntem bu simetriyi karşılar.



pirinç. 283
Pozitif yüklü bir plakanın potansiyelini belirtin +φo, o zaman negatif yüklü plakanın potansiyeli eşit olacaktır φo. Plakalar arasındaki alan gücünün bulunan değeri ve güç ile potansiyel farkı arasındaki ilişki kullanılarak bu potansiyellerin belirlenmesi kolaydır. Elektrik alanı. Bu durumda bu bağlantının denklemi şu şekildedir: +φo - φo = Eh. Bu ilişkiden, plakaların potansiyellerinin değerlerini belirleriz. φ o = σh/(2ε o). Alanın plakalar arasında tekdüze olduğu (dolayısıyla potansiyel doğrusal olarak değişir) ve plakaların dışında alan olmadığı (dolayısıyla burada potansiyel sabittir) dikkate alındığında, potansiyelin koordinata bağımlılığı z forma sahiptir (Şek. 284)

pirinç. 284

 Bağımsız çalışma için görevler.
 1. Ele alınan tüm örneklerde, ters işlemi gerçekleştirin: formülü kullanarak potansiyelin bulunan dağılımına göre E x = −∆φ/∆x ele alınan alanların güçlü yanlarını hesaplar.
 2. Kesinlikle formül (6)'yı elde edin.
 3. Aşağıdaki "paradoksu" niteliksel olarak açıklayın. Düz bir kapasitör alanında, "sonsuz" potansiyel belirsiz bir şekilde tanımlanır: eksenin pozitif yönünde hareket ederken Z"sonsuzluk" potansiyelinin eşit olduğu ortaya çıktı -φ o; eksenin negatif yönünde hareket ederken Z − +φo, eksenler boyunca hareket ederken X veya Y− sıfıra eşittir. Öyleyse, sonlu boyutlarda iki levhadan oluşan gerçek bir sistemde "sonsuz"un potansiyeli nedir?

1 Böyle bir sisteme denir düz kapasitör, bu cihazları daha sonra daha ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Yükün pozitif olduğunu varsayacağız. Uçak, sabit bir yüzey yoğunluğu ile yüklenir. Simetriden, alanın herhangi bir noktasındaki yoğunluğun düzleme dik bir yöne sahip olduğu sonucu çıkar (Şekil 2.10). Açıkçası, düzleme göre simetrik olan noktalarda, alan şiddeti aynı büyüklükte ve zıt yöndedir.

Yüklü düzlemde bir alanı seçelim. Bu alanı kapalı bir yüzeyle çevreleyin. Kapalı bir yüzey olarak, düzleme dik jeneratörler ve düzleme göre simetrik olarak yerleştirilmiş büyüklük tabanları olan silindirik bir yüzey hayal ediyoruz. Bu yüzeye Gauss teoremini uygulayın . Her noktasında sıfıra eşit olduğu için yüzeyin yanal kısmından akış olmayacaktır. Bazlar için, ile aynıdır. Bu nedenle, yüzeyden geçen toplam akış eşit olacaktır. Yüzeyin içinde bir yük vardır. Gauss teoremine göre, aşağıdaki koşul sağlanmalıdır: , Neresi . (3)

Elde edilen sonuç silindirin uzunluğuna bağlı değildir, yani. düzlemden herhangi bir uzaklıkta, alan şiddeti büyüklük olarak aynıdır. Germe çizgilerinin modeli, Şekil 1'de gösterildiği gibi görünür. 2.11. Negatif yüklü bir uçak için vektörlerin yönleri tersine dönecektir. Düzlem sonlu boyutlardaysa, elde edilen sonuç yalnızca plakanın kenarından uzaklığı plakanın kendisinden olan mesafeyi önemli ölçüde aşan noktalar için geçerli olacaktır (Şekil 2.12).