Ders "İki paralel çizgi ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teorem". Daire. Temel teoremler

İki paralel çizgi arasındaki açılar ve bunların kesenleri ile ilgili teoremler hakkındaki video dersi, teoremin yapısının özelliklerini, ters teoremlerin oluşum ve kanıt örneklerini ve bunların sonuçlarını sunan materyali içerir. Bu video dersinin görevi, teorem kavramını derinleştirmek, onu bileşenlere ayırmak, ters teorem kavramını göz önünde bulundurarak, bir teorem oluşturma yeteneğini oluşturmak, bunun tersini, teoremin sonuçlarını oluşturmaktır. ifadeleri kanıtlama yeteneğini oluşturur.

Video dersinin biçimi, materyali gösterirken aksanları başarılı bir şekilde yerleştirmenize olanak tanıyarak materyali anlamayı ve ezberlemeyi kolaylaştırır. Bu video dersinin konusu karmaşık ve önemlidir, bu nedenle görsel bir yardımın kullanılması sadece tavsiye edilmekle kalmaz, aynı zamanda arzu edilir. Eğitim kalitesinin artırılmasına olanak sağlar. Animasyonlu efektler performansı artırır Eğitim materyali, öğrenme sürecini geleneksel olana yaklaştırır ve video kullanımı öğretmenin bireysel çalışmasını derinleştirmesini sağlar.

Video eğitimi konusunun duyurulması ile başlar. Dersin başında teoremin bileşenlere ayrıştırılmasını ele alacağız. daha iyi anlama yapısı ve olanakları daha fazla araştırma. Ekranda teoremin koşulları ve sonuçlarından oluştuğunu gösteren bir diyagram gösterilir. Koşul ve sonuç kavramı, paralel doğruların işareti örneğiyle açıklanır; ifadenin bir kısmının teoremin koşulu, sonucun ise sonuç olduğu dikkate alınır.

Teoremin yapısı hakkında edinilen bilgiler derinleştirilerek öğrencilere verilen teoremin tersi kavramı verilir. Değiştirmenin bir sonucu olarak oluşur - koşul sonuç, sonuç - koşul haline gelir. Öğrencilerin verilere ters teoremler oluşturma yeteneğini oluşturmak için, bunları kanıtlama yeteneği, paralel çizgilerin işaretleri üzerine 25. derste tartışılan teoremlerin tersi olan teoremler dikkate alınır.

Ekranda, çizgilere paralel özelliği açıklayan birinci teoremin tersi olan teorem görüntülenir. Koşulu ve sonucu değiştirerek, herhangi bir paralel doğrunun bir kesenle kesişmesi durumunda aynı anda oluşan yatay açıların eşit olacağı ifadesini elde ederiz. Kanıt, a, b doğrularını ve bu doğrulardan M ve N noktalarında geçen kesenleri gösteren şekilde gösterilmektedir. Görüntüde ∠1 ve ∠2 kesişme açıları işaretlenmiştir. Eşitliklerini kanıtlamak gerekir. Öncelikle ispat sırasında bu açıların eşit olmadığı varsayımı yapılır. Bunu yapmak için, M noktasından geçen belirli bir P çizgisi çizilir. MN'ye göre ∠2 açısıyla çapraz uzanan bir `∠PMN açısı oluşturulur. `∠PMN ve ∠2 açıları yapısal olarak eşittir, dolayısıyla MP║b. Sonuç - noktadan b'ye paralel iki düz çizgi çizilir. Ancak bu imkansızdır çünkü paralel çizgiler aksiyomuna uymamaktadır. Yapılan varsayımın hatalı olduğu ortaya çıkıyor ve orijinal ifadenin geçerliliği kanıtlanıyor. Teorem kanıtlandı.

Daha sonra öğrencilerin dikkati akıl yürütme sürecinde kullanılan ispat yöntemine çekilir. Kanıtlanmakta olan iddianın yanlış olduğu kabul edilen bir kanıta geometride çelişki yoluyla kanıt denir. Bu yöntem genellikle çeşitli geometrik ifadeleri kanıtlamak için kullanılır. Bu durumda, çapraz açıların eşitsizliği varsayıldığında, akıl yürütme sırasında böyle bir çelişkinin geçerliliğini reddeden bir çelişki ortaya çıktı.

Öğrencilere daha önce ispatlarda benzer bir yöntemin kullanıldığı hatırlatılır. Bunun bir örneği, 12. dersteki üçte bire dik iki doğrunun kesişmediği teoreminin ispatı ve 28. dersteki paralel doğrular aksiyomunun sonuçlarının ispatıdır.

Kanıtlanabilir başka bir sonuç, bir doğrunun paralel çizgilerden birine dik olması durumunda her iki paralel çizgiye de dik olduğunu belirtir. Şekilde a ve b çizgileri ve bunlara dik olan bir c doğrusu gösterilmektedir. c çizgisinin a'ya dik olması, onunla oluşan açının 90° olduğu anlamına gelir. A ve b'nin paralelliği, bunların c doğrusu ile kesişmesi, c doğrusu ile b'nin kesiştiği anlamına gelir. b doğrusu ile oluşturulan ∠2 açısı ∠1 açısının çaprazıdır. Doğrular paralel olduğundan verilen açılar eşittir. Buna göre ∠2 açısının değeri de 90° olacaktır. Bu, c çizgisinin b çizgisine dik olduğu anlamına gelir. Ele alınan teorem kanıtlanmıştır.

Daha sonra, paralel doğrular için ikinci kriterin tersi olan teoremi kanıtlıyoruz. Ters teorem, eğer iki doğru paralelse, karşılık gelen açıların eşit olacağını belirtir. İspat, a ve b doğrularının birbirine paralel olduğu bir c keseninin oluşturulmasıyla başlar. Bu şekilde oluşturulan köşeler şekilde işaretlenmiştir. ∠1 ve ∠2 olarak adlandırılan bir çift karşılık gelen açı vardır ve ∠1 açısının karşısında yer alan ∠3 açısı da etiketlenir. A ve b'nin paralelliği, karşı tarafta ∠3=∠1 eşitliği anlamına gelir. ∠3, ∠2 dikey olduklarına göre bunlar da eşittir. Bu tür eşitliklerin bir sonucu da ∠1=∠2 iddiasıdır. Ele alınan teorem kanıtlanmıştır.

Bu derste kanıtlanacak son teorem, paralel doğrular için son kriterin tersidir. Metni, paralel çizgilerden geçen bir kesen durumunda, bu durumda oluşan tek taraflı açıların toplamının 180 °'ye eşit olduğunu söylüyor. İspatın ilerleyişi, sekant c ile kesişen a ve b doğrularını gösteren şekilde gösterilmiştir. Tek taraflı açıların toplamının değerinin 180° olacağını yani ∠4+∠1 = 180° olacağını kanıtlamak gerekir. a ve b doğrularının paralelliği karşılık gelen ∠1 ve ∠2 açılarının eşitliğini ifade eder. ∠4, ∠2 açılarının komşuluğu, toplamlarının 180° olduğu anlamına gelir. Bu durumda ∠1= ∠2 açıları yani ∠1 ile ∠4 açısının toplamı 180° olacaktır. Teorem kanıtlandı.

Ters teoremlerin nasıl oluşturulduğunu ve kanıtlandığını daha iyi anlamak için, bir teoremin kanıtlanmış ve doğru olması, ters teoremin de doğru olacağı anlamına gelmediğini ayrıca belirtmekte fayda var. Bunu anlamak için basit bir örnek verilmiştir. Tüm dikey açıların eşit olduğuna dair bir teorem vardır. Ters teorem, tüm eşit açıların dikey olduğu izlenimini verir, ancak bu doğru değildir. Sonuçta dikey olmayacak iki eşit açı oluşturabilirsiniz. Bu, gösterilen şekilde görülebilir.

"İki paralel çizgi ve bir sekant tarafından oluşturulan açılarla ilgili teoremler" video dersi, bir öğretmen tarafından geometri dersinde kullanılabilecek ve aynı zamanda ters teoremler ve sonuçlar hakkında başarılı bir fikir oluşturabilecek görsel bir yardımcıdır. ve bunların kanıtları bireysel çalışma materyal, uzaktan eğitimde yararlı olacaktır.

§ 1 Ters teorem

Bu derste hangi teoremlere ters denildiğini öğreneceğiz, ters teorem örnekleri vereceğiz, iki paralel doğru ve bir sekantın oluşturduğu açılarla ilgili teoremler formüle edeceğiz ve çelişki yoluyla kanıtlama yöntemini tanıyacağız.

Çeşitli okurken geometrik şekiller tanımlar genellikle formüle edilir, teoremler kanıtlanır ve teoremlerden elde edilen sonuçlar dikkate alınır. Her teoremin iki kısmı vardır: bir koşul ve bir sonuç.

Bir teoremin koşulu verilendir, sonuç ise kanıtlanması gerekendir. Çoğu zaman bir teoremin koşulu "eğer" kelimesiyle başlar ve sonuç "o zaman" kelimesiyle başlar. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin teorem şu şekilde formüle edilebilir: "Üçgen ikizkenar ise, tabanındaki açılar eşittir." Teoremin ilk kısmı “Üçgen ikizkenar ise” teoremin koşuludur, teoremin ikinci kısmı “o zaman tabandaki açılar eşittir” teoremin sonucudur.

Koşul ve sonucun yer değiştirdiği teoreme ters teorem denir. Bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin teoremin ters teoremi şöyle görünecektir: "Bir üçgendeki iki açı eşitse, o zaman böyle bir üçgen ikizkenardır."

Her birini kısaca yazalım:

Durumun ve sonucun tersine döndüğünü görüyoruz.

Bu ifadelerin her biri doğrudur.

Şu soru ortaya çıkıyor: Koşulların sonuçla birlikte değiştiği yerlerde ifade her zaman doğru mu?

Bir örnek düşünün.

Açılar dikey ise eşittir. Bu doğru bir ifadedir, kanıtları vardır. Bunun tersini formüle ediyoruz: eğer açılar eşitse, o zaman dikeydirler. Bu ifade yanlıştır, çürütücü bir örnek vererek bunu doğrulamak kolaydır: iki dik açı alalım (şekle bakın), bunlar eşittir, ancak dikey değildirler.

Bu nedenle, zaten kanıtlanmış iddialara (teoremlere) göre ters iddialar (teoremler) her zaman kanıt gerektirir.

§ 2 İki paralel çizgi ve bir kesenin oluşturduğu açılara ilişkin teoremler

Şimdi kanıtlanmış ifadeleri - iki doğrunun paralellik işaretlerini ifade eden teoremleri - hatırlayalım, bunların tersi olan teoremleri formüle edelim ve ispatlar vererek geçerliliğinden emin olalım.

Paralel çizgilerin ilk işareti.

İki çizginin bir enine kesişme noktasında uzanma açıları eşitse, çizgiler paraleldir.

Ters teorem:

İki paralel doğru bir kesenle kesişirse, bu durumda karşılıklı uzanan açılar eşittir.

Bu ifadeyi kanıtlayalım.

Verilen: a ve b paralel çizgileri AB sekantıyla kesişiyor.

1 ve 2 numaralı çapraz açıların eşit olduğunu kanıtlayın. (resme bakınız)

Kanıt:

1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım.

AB kirişinden CAB açısını 2 açısına eşit olarak ayıralım, böylece CAB açısı ve 2 açısı CA ve b doğrularının AB sekantıyla kesiştiği noktada çapraz uzanan açılardır.

Yapı itibariyle bu çapraz açılar eşittir, yani CA çizgisi b çizgisine paraleldir.

A ve CA doğrularının A noktasından geçtiğini ve b doğrusuna paralel olduklarını elde ettik. Bu, paralel çizgiler aksiyomuyla çelişir: Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan geçen, verilen çizgiye paralel yalnızca bir çizgi vardır.

Yani varsayımımız yanlıştır, 1 ve 2 numaralı açılar eşittir.

Teorem kanıtlandı.

§ 3 Çelişki yoluyla ispat yöntemi

Bu teoremi ispatlarken çelişki yoluyla ispat yöntemi adı verilen bir akıl yürütme yöntemini kullandık. İspatlara başlarken, ispatlanması gerekenin tam tersini varsaydık. Bu varsayımın doğru olduğunu düşünerek akıl yürüterek paralel doğrular aksiyomuyla çelişkiye düştük. Bundan varsayımımızın doğru olmadığı ancak teoremin iddiasının doğru olduğu sonucuna vardık. Bu ispat yöntemi matematikte sıklıkla kullanılır.

Kanıtlanmış teoremin bir sonucunu düşünün.

Sonuçlar:

Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.

A doğrusu b doğrusuna paralel olsun, c doğrusu a doğrusuna dik olsun, yani. açı 1 = 90°.

C doğrusu a doğrusuyla kesiştiğine göre c doğrusu da b doğrusuyla kesişiyor.

Paralel çizgiler bir kesenle kesiştiğinde, yatma açıları eşittir, bu da açı 1 \u003d açı 2 anlamına gelir.

Açı 1 = 90° olduğundan açı 2 = 90° olduğundan c doğrusu b doğrusuna diktir.

Sonuç kanıtlandı.

Doğruların paralelliğinin ikinci işareti için ters teorem:

İki paralel doğru bir kesenle kesişirse, karşılık gelen açılar eşittir.

Doğruların paralelliğinin üçüncü işareti için ters teorem:

İki paralel doğru bir kesenle kesişirse tek taraflı açıların toplamı 180° olur.

Böylece bu derste hangi teoremlere ters denildiğini öğrendik, iki paralel çizgi ve bir sekantın oluşturduğu açılarla ilgili teoremleri formüle edip dikkate aldık ve ayrıca çelişki yoluyla kanıtlama yöntemini öğrendik.

Kullanılan literatürün listesi:

Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Eğitim, 2013. - 383 s .: hasta.
Gavrilova N.F. Geometride pourochnye gelişimi 7. sınıf. - M.: "VAKO", 2004, 288s. - (Okul öğretmenine yardım etmek için).
Belitskaya O.V. Geometri. 7. sınıf. Bölüm 1. Testler. - Saratov: Lyceum, 2014. - 64 s.

\[(\Büyük(\text(Merkez ve Yazılı Açılar))))\]

Tanımlar

Merkezi açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.

Yazılı açı, tepe noktası çember üzerinde bulunan açıdır.

Bir daire yayının derece ölçüsü, ona dayanan merkez açının derece ölçüsüdür.

Teorem

Yazılı bir açının ölçüsü, kestiği yayın ölçüsünün yarısı kadardır.

Kanıt

İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: İlk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin çap içermesi durumu için ifadenin geçerliliğini ispatlayacağız. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:

\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştadır, o halde \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), Neresi \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Şimdi keyfi bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Yazılı açının tepe noktasından daire çapını \(BD\) çizin. İki durum mümkündür:

1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) iki ve dolayısıyla yaslandıkları yayların toplamının yarısına, yani yaslandıkları yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.

2) çap açıyı iki açıya bölmediyse, o zaman iki yeni yazılı açımız daha var \(\angle ABD, \angle CBD\) , kenarları çapı içeriyor, dolayısıyla teorem onlar için doğru, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların yarı farkına eşittir, yani üzerinde bulunduğu yayın yarısına eşittir). dinlenme). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yayı temel alan yazılı açılar eşittir.

2. Yarım daireye dayanan yazılı açı dik açıdır.

3. Yazılı açı, aynı yayı temel alan merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Large(\text(Çembere teğet))))\]

Tanımlar

Üç tip var göreceli konum düz çizgi ve daire:

1) \(a\) doğrusu daireyi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda dairenin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık \(d\), dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).

2) \(b\) doğrusu daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir doğruya teğet denir ve bunların ortak nokta\(B\) – temas noktası. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).

Teorem

1. Çemberin teğeti, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Doğru dairenin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise daireye teğettir.

Sonuçlar

Bir noktadan çembere çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

Kanıt

\(K\) noktasından daireye iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizin:

Yani yarıçap olarak \(OA\perp KA, OB\perp KB\). dik üçgenler\(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) kenar ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .

Sonuçlar

\(O\) dairesinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının açıortayında yer alır.

\[(\Large(\text(Açılarla ilgili Teoremler))))\]

Sekantlar arasındaki açıyla ilgili teorem

Aynı noktadan çizilen iki kesen arasındaki açı, kestiği büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi \(M\) iki sekantın çizildiği bir nokta olsun:

bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\açı DAB\) - dış köşeüçgen \(MAD\) , sonra \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Neresi \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılıdır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\) kanıtlanması gereken bir şeydi.

Kesişen akorlar arasındaki açı teoremi

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.

\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ancak \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) buradan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzerine(CD)).\]

Akor ve teğet arasındaki açıya ilişkin teorem

Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kirişin çıkardığı yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

\(a\) doğrusu daireye \(A\) noktasında değsin, \(AB\) bu dairenin kirişi olsun, \(O\) onun merkezi olsun. \(OB\)'yi içeren doğrunun \(a\)'yı \(M\) noktasında kesmesine izin verin. Hadi bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) değerini belirtin. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teğet noktaya çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\) , yani \(\angle OAM = 90^\circ\) , dolayısıyla, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Eşit kirişlerle daraltılan yaylara ilişkin teorem

Eşit akorlar eşit yaylara, daha küçük yarım dairelere karşılık gelir.

Ve bunun tersi de geçerlidir: eşit yaylar eşit akorlarla daralır.

Kanıt

1) \(AB=CD\) olsun. Yayın yarım dairelerinin daha küçük olduğunu kanıtlayalım.

Bu nedenle üç tarafta \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama o zamandan beri \(\angle AOB, \angle COD\) - yaylara dayalı merkezi açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) sırasıyla, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki kenar boyunca \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle \(AB=CD\) .

Teorem

Eğer yarıçap bir akoru ikiye bölüyorsa, ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: eğer yarıçap kirişe dikse, kesişme noktası onu ikiye böler.

Kanıt

1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – daire yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen ortancadır, bu durumda aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.

Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Doğru parçaların uzunluklarıyla ilgili teoremler))))\]

Akor parçalarının çarpımı üzerine teorem

Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.

Kanıt

\(AB\) ve \(CD\) akorlarının \(E\) noktasında kesişmesine izin verin.

\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yayın \(BD\) üzerindedir ve \(3\) ve \(4\) açıları dikey olarak eşittir. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (birinci üçgen benzerliği kriterine göre).

Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), dolayısıyla \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teğet ve sekant teoremi

Bir teğet parçasının karesi, sekant ile onun çarpımına eşittir. dış Bölüm.

Kanıt

Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve daireye \(A\) noktasında değsin. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmesine izin verin, böylece \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) ortaktır, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ve bir sekant arasındaki açı teoremine göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Dolayısıyla \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), \(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.

Sonuçlar

\(O\) noktasından çizilen kesenin çarpımı ile dış kısmı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.

Teorem: İki paralel doğru bir kesenle kesişirse, çapraz uzanma açıları eşittir. ve A B 1 2 1 = 2 s'de

İspat: A B C DM N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel olsun, MN bunların kesenidir. 1 ve 2 numaralı çapraz açıların birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım. Diyelim ki 1 ve 2 eşit değil. O noktasından geçen bir KF çizgisi çizelim. O zaman O noktasında çapraz ve 2'ye eşit bir KON çizebiliriz. Ancak KON = 2 ise KF doğrusu CD'ye paralel olacaktır. O noktasından CD doğrusuna paralel AB ve KF iki doğrusu çizildiğini elde ettik. Ama bu olamaz. 1 ile 2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye ulaştık. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır ve 1'in 2'ye eşit olması gerekir, yani çapraz uzanma açıları eşittir.

Teorem: İki paralel doğru bir kesenle kesişirse karşılık gelen açılar eşittir. ve A B 1 2 1 =

İspat: AB'de 2 a 3 1 A ve b paralel çizgilerinin AB sekantıyla kesişmesine izin verin, o zaman karşılıklı uzanan 1 ve 3 çizgileri eşit olacaktır. 2 ve 3 dikey olarak eşittir. 1 = 3 ve 2 = 3 eşitliklerinden 1 = 2 sonucu çıkar. Teorem kanıtlanmıştır

Teorem: İki paralel doğru bir kesenle kesişirse tek taraflı açıların toplamı 180° olur. A'da a B 3 1 1 + 3 = 180°

Kanıt: A ve b paralel çizgilerinin AB kesanı ile kesiştiğine göre karşılık gelen 1 ve 2 eşit olacaktır, 2 ve 3 bitişiktir, dolayısıyla 2 + 3 = 180 ° olur. 1 = 2 ve 2 + 3 = 180° eşitliklerinden 1 + 3 = 180° sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı. 2 a c a c

Çözüm: 1. X 2 olsun, sonra 1 = (X + 70°), çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı = 180°, çünkü bunlar bitişiktir. Denklemi yapalım: X+ (X+70°) = 180° 2 X = 110° X = 55° (Açı 2) 2. 1'i bulun. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, çünkü bunlar dikey. Çapraz olarak uzandıkları için 3 = 5'tir. 125° 5 = 7 çünkü dikeydirler. 2 = 4 çünkü dikeydirler. Çapraz oldukları için 4 = 6 olur. 55° 6 = 8 çünkü dikeydirler. Problem #1: A B 4 3 5 8 7 21 6 Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B'nin bir sekant C ile kesişmesiyle oluşan tüm açıları bulun.

Çözüm: 1. 4 = 45° olduğundan 2 = 45°, çünkü 2 = 4 (karşılık gelen) 2. 3, 4'e komşudur, yani 3 + 4 = 180° ve bundan 3 = 180° sonucu çıkar - 45°= 135°. 3. 1 = 3, çünkü çapraz uzanıyorlar. 1 = 135°. Cevap: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Görev No. 2: A B 1 Durum: şekilde A II B ve C II D düz çizgileri, 4=45°. 1, 2, 3 açılarını bulun.

Çözüm: 1. 1= 2 çünkü dikeydirler, yani 2= 45°. 2. 3, 2'ye komşudur, yani 3+ 2=180° ve bundan 3= 180° - 45°= 135° sonucu çıkar. 3. 4 + 3=180° çünkü tek kenarlıdırlar. 4 = 45°. Cevap: 4=45°; 3=135°. Görev № 3: A B 2 Koşul: iki paralel çizgi A ve B bir sekant C ile kesişiyor. 1=45° ise 4 ve 3'e eşit olacak değeri bulun.