Γραφική μέθοδος εκθετικών ανισώσεων. Επίλυση εκθετικών ανισώσεων: βασικές μέθοδοι

Εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις είναι εκείνες στις οποίες ο άγνωστος περιέχεται στον εκθέτη.

Η επίλυση εκθετικών εξισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση της εξίσωσης a x = a b, όπου a > 0, a ≠ 1, x είναι ένας άγνωστος. Αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = b, αφού ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα. Αν a > 0, a ≠ 1 και a x 1 = a x 2, τότε x 1 = x 2.

Ας τεκμηριώσουμε τη θεωρούμενη δήλωση.

Ας υποθέσουμε ότι η ισότητα x 1 = x 2 δεν ισχύει, δηλ. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, τότε η εκθετική συνάρτηση y = a x αυξάνεται και επομένως η ανίσωση a x 1 πρέπει να ικανοποιηθεί< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >α x 2. Και στις δύο περιπτώσεις λάβαμε μια αντίφαση στην συνθήκη a x 1 = a x 2.

Ας εξετάσουμε πολλά προβλήματα.

Λύστε την εξίσωση 4 ∙ 2 x = 1.

Λύση.

Ας γράψουμε την εξίσωση με τη μορφή 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, από την οποία παίρνουμε x + 2 = 0, δηλ. x = -2.

Απάντηση. x = -2.

Λύστε την εξίσωση 2 3x ∙ 3 x = 576.

Λύση.

Εφόσον 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 8 x ∙ 3 x = 24 2 ή ως 24 x = 24 2.

Από εδώ παίρνουμε x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Λύση.

Λαμβάνοντας τον κοινό παράγοντα 3 x - 2 από αγκύλες στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

από όπου 3 x - 2 = 1, δηλ. x – 2 = 0, x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x = 7 x.

Λύση.

Εφόσον 7 x ≠ 0, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 3 x /7 x = 1, από όπου (3/7) x = 1, x = 0.

Απάντηση. x = 0.

Λύστε την εξίσωση 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Λύση.

Αντικαθιστώντας το 3 x = a, αυτή η εξίσωση ανάγεται στην τετραγωνική εξίσωση a 2 – 4a – 45 = 0.

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της: a 1 = 9, και 2 = -5, από όπου 3 x = 9, 3 x = -5.

Η εξίσωση 3 x = 9 έχει ρίζα 2 και η εξίσωση 3 x = -5 δεν έχει ρίζες, αφού η εκθετική συνάρτηση δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές.

Απάντηση. x = 2.

Η επίλυση εκθετικών ανισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση των ανισώσεων a x > a b ή a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Ας δούμε μερικά προβλήματα.

Λύστε την ανίσωση 3 x< 81.

Λύση.

Ας γράψουμε την ανισότητα με τη μορφή 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, τότε η συνάρτηση y = 3 x αυξάνεται.

Επομένως, για το x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Έτσι, στο x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Απάντηση. Χ< 4.

Λύστε την ανίσωση 16 x +4 x – 2 > 0.

Λύση.

Ας συμβολίσουμε 4 x = t, τότε λαμβάνουμε την τετραγωνική ανισότητα t2 + t – 2 > 0.

Αυτή η ανισότητα ισχύει για t< -2 и при t > 1.

Εφόσον t = 4 x, παίρνουμε δύο ανισώσεις 4 x< -2, 4 х > 1.

Η πρώτη ανισότητα δεν έχει λύσεις, αφού 4 x > 0 για όλα τα x € R.

Γράφουμε τη δεύτερη ανίσωση με τη μορφή 4 x > 4 0, από όπου x > 0.

Απάντηση. x > 0.

Λύστε γραφικά την εξίσωση (1/3) x = x – 2/3.

Λύση.

1) Ας φτιάξουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = (1/3) x και y = x – 2/3.

2) Με βάση το σχήμα μας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των εξεταζόμενων συναρτήσεων τέμνονται στο σημείο με την τετμημένη x ≈ 1. Ο έλεγχος αποδεικνύει ότι

x = 1 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης:

(1/3) 1 = 1/3 και 1 – 2/3 = 1/3.

Με άλλα λόγια, βρήκαμε μια από τις ρίζες της εξίσωσης.

3) Ας βρούμε άλλες ρίζες ή ας αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν. Η συνάρτηση (1/3) x είναι φθίνουσα και η συνάρτηση y = x – 2/3 αυξάνεται. Επομένως, για x > 1, οι τιμές της πρώτης συνάρτησης είναι μικρότερες από 1/3 και της δεύτερης - περισσότερες από 1/3. στο x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 και x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Απάντηση. x = 1.

Σημειώστε ότι από τη λύση αυτού του προβλήματος, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι η ανίσωση (1/3) x > x – 2/3 ικανοποιείται για το x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε διάφορες εκθετικές ανισώσεις και θα μάθουμε πώς να τις λύσουμε, με βάση την τεχνική για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων

1. Ορισμός και ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης

Ας θυμηθούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. Η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων βασίζεται σε αυτές τις ιδιότητες.

Εκθετικη συναρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, όρισμα. y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.

Ρύζι. 1. Γράφημα εκθετικής συνάρτησης

Το γράφημα δείχνει αυξανόμενους και φθίνοντες εκθέτες, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση με βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.

Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)

Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται με, μειώνεται με.

Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει καθεμία από τις τιμές της δίνοντας μια μόνο τιμή ορίσματος.

Όταν , όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν συμπεριλαμβανομένου στο συν άπειρο, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος έχουμε μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση (). Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν συμπεριλαμβανομένου, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος έχουμε μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση ().

2. Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις, μέθοδος επίλυσης, παράδειγμα

Με βάση τα παραπάνω, παρουσιάζουμε μια μέθοδο για την επίλυση απλών εκθετικών ανισώσεων:

Τεχνική επίλυσης ανισοτήτων:

Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.

Συγκρίνετε μετρήσεις με αποθήκευση ή αλλαγή σε αντίθετο σημάδιανισότητες.

Η λύση των μιγαδικών εκθετικών ανισώσεων συνήθως συνίσταται στην αναγωγή τους στις απλούστερες εκθετικές ανισώσεις.

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, που σημαίνει ότι διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας:

Ας μεταμορφωθούμε σωστη πλευρασύμφωνα με τις ιδιότητες του πτυχίου:

Η βάση του βαθμού είναι μικρότερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντιστραφεί:

Για να λύσουμε την δευτεροβάθμια ανίσωση, λύνουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta βρίσκουμε τις ρίζες:

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Έτσι, έχουμε μια λύση στην ανισότητα:

Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η δεξιά πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη με εκθέτη μηδέν:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, παίρνουμε:

Ας θυμηθούμε την τεχνική για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων.

Εξετάστε την κλασματική-ορθολογική συνάρτηση:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού:

Εύρεση των ριζών της συνάρτησης:

Η συνάρτηση έχει μια ενιαία ρίζα,

Επιλέγουμε διαστήματα σταθερού πρόσημου και προσδιορίζουμε τα πρόσημα της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 2. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου

Έτσι, λάβαμε την απάντηση.

Απάντηση:

3. Επίλυση τυπικών εκθετικών ανισώσεων

Ας εξετάσουμε τις ανισότητες με τους ίδιους δείκτες, αλλά διαφορετικές βάσεις.

Μία από τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης είναι ότι για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος χρειάζεται αυστηρά θετικές αξίες, που σημαίνει ότι μπορεί να χωριστεί σε μια εκθετική συνάρτηση. Ας διαιρέσουμε τη δεδομένη ανισότητα με τη δεξιά πλευρά της:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη του ενός, το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται.

Ας δείξουμε τη λύση:

Το σχήμα 6.3 δείχνει γραφήματα συναρτήσεων και . Προφανώς, όταν το όρισμα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, το γράφημα της συνάρτησης είναι υψηλότερο, αυτή η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη. Όταν οι τιμές των ορισμάτων είναι αρνητικές, η συνάρτηση πηγαίνει χαμηλότερα, είναι μικρότερη. Εάν το όρισμα είναι ίσο, οι συναρτήσεις είναι ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι αυτό το σημείο είναι επίσης μια λύση στη δεδομένη ανισότητα.

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για παράδειγμα 4

Ας μετατρέψουμε τη δεδομένη ανισότητα σύμφωνα με τις ιδιότητες του βαθμού:

Ακολουθούν μερικοί παρόμοιοι όροι:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη σε:

Τώρα συνεχίζουμε να λύνουμε παρόμοια με το παράδειγμα 4, διαιρώντας και τα δύο μέρη με:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας παραμένει:

4. Γραφική λύση εκθετικών ανισώσεων

Παράδειγμα 6 - Λύστε την ανισότητα γραφικά:

Ας δούμε τις συναρτήσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά και ας φτιάξουμε ένα γράφημα για καθεμία από αυτές.

Η συνάρτηση είναι εκθετική και αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Η συνάρτηση είναι γραμμική και μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Εάν αυτές οι συναρτήσεις τέμνονται, δηλαδή το σύστημα έχει μια λύση, τότε μια τέτοια λύση είναι μοναδική και μπορεί εύκολα να μαντέψει. Για να γίνει αυτό, επαναλαμβάνουμε ακέραιους αριθμούς ()

Είναι εύκολο να δούμε ότι η ρίζα αυτού του συστήματος είναι:

Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται σε ένα σημείο με όρισμα ίσο με ένα.

Τώρα πρέπει να πάρουμε μια απάντηση. Η έννοια της δεδομένης ανισότητας είναι ότι ο εκθέτης πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γραμμική συνάρτηση, δηλαδή να είναι υψηλότερο ή να συμπίπτει με αυτό. Η απάντηση είναι προφανής: (Εικόνα 6.4)

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για παράδειγμα 6

Έτσι, εξετάσαμε την επίλυση διαφόρων τυπικών εκθετικών ανισοτήτων. Στη συνέχεια προχωράμε στην εξέταση πιο περίπλοκων εκθετικών ανισοτήτων.

Βιβλιογραφία

Mordkovich A. G. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μνημοσύνη. Muravin G. K., Muravin O. V. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μπάσταρντ. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Διαφωτισμός.

Μαθηματικά. md. Μαθηματικά-επανάληψη. com. Diffur. κεμσού. ru.

Εργασία για το σπίτι

1. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης, βαθμοί 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Λύστε την ανίσωση:

3. Λύστε την ανισότητα.

Η επίλυση των περισσότερων μαθηματικών προβλημάτων με τον ένα ή τον άλλο τρόπο περιλαμβάνει μετασχηματισμό αριθμητικών, αλγεβρικών ή συναρτησιακών παραστάσεων. Τα παραπάνω ισχύουν ιδιαίτερα για την απόφαση. Στις εκδόσεις του Unified State Exam στα μαθηματικά, αυτό το είδος προβλήματος περιλαμβάνει, ειδικότερα, την εργασία C3. Η εκμάθηση επίλυσης εργασιών C3 είναι σημαντική όχι μόνο για το σκοπό της επιτυχής ολοκλήρωσηΕνιαία Κρατική Εξέταση, αλλά και για το λόγο ότι αυτή η δεξιότητα θα είναι χρήσιμη κατά τη μελέτη ενός μαθήματος μαθηματικών στο ανώτερο σχολείο.

Όταν ολοκληρώνετε τις εργασίες C3, πρέπει να αποφασίσετε διαφορετικά είδηεξισώσεις και ανισώσεις. Μεταξύ αυτών είναι ορθολογικές, παράλογες, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, που περιέχουν ενότητες (απόλυτες τιμές), καθώς και συνδυασμένες. Αυτό το άρθρο εξετάζει τους κύριους τύπους εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων, καθώς και διάφορες μεθόδουςτις αποφάσεις τους. Διαβάστε σχετικά με την επίλυση άλλων τύπων εξισώσεων και ανισώσεων στην ενότητα "" σε άρθρα αφιερωμένα σε μεθόδους επίλυσης προβλημάτων C3 από Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςμαθηματικά.

Πριν αρχίσουμε να αναλύουμε συγκεκριμένα εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις, ως δάσκαλος μαθηματικών, σας προτείνω να εμβαθύνετε σε κάποιο θεωρητικό υλικό που θα χρειαστούμε.

Εκθετικη συναρτηση

Τι είναι η εκθετική συνάρτηση;

Λειτουργία της φόρμας y = ένα x, Οπου ένα> 0 και ένα≠ 1 ονομάζεται εκθετικη συναρτηση.

Βασικός ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης y = ένα x:

Γράφημα εκθετικής συνάρτησης

Η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης είναι εκθέτης:

Γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων (εκθέτες)

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων

Ενδεικτικόςονομάζονται εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται μόνο σε εκθέτες ορισμένων δυνάμεων.

Για λύσεις εκθετικές εξισώσειςπρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο απλό θεώρημα:

Θεώρημα 1.Εκθετική εξίσωση ένα φά(Χ) = ένα σολ(Χ) (Οπου ένα > 0, ένα≠ 1) ισοδυναμεί με την εξίσωση φά(Χ) = σολ(Χ).

Επιπλέον, είναι χρήσιμο να θυμάστε τους βασικούς τύπους και τις πράξεις με βαθμούς:

Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}

Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:Χρησιμοποιούμε τους παραπάνω τύπους και αντικατάσταση:

Τότε η εξίσωση γίνεται:

Διακριτικός του ληφθέντος τετραγωνική εξίσωσηθετικός:

Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}

Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Τα βρίσκουμε:

Προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:

Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά θετική σε όλο το πεδίο ορισμού. Ας λύσουμε το δεύτερο:

Λαμβάνοντας υπόψη όσα ειπώθηκαν στο Θεώρημα 1, προχωράμε στην ισοδύναμη εξίσωση: Χ= 3. Αυτή θα είναι η απάντηση στην εργασία.

Απάντηση: Χ = 3.

Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:Η εξίσωση δεν έχει περιορισμούς στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών, αφού η ριζική έκφραση έχει νόημα για οποιαδήποτε τιμή Χ(εκθετικη συναρτηση y = 9 4 -Χθετικό και όχι ίσο με μηδέν).

Λύνουμε την εξίσωση με ισοδύναμους μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας τους κανόνες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων:

Η τελευταία μετάβαση πραγματοποιήθηκε σύμφωνα με το Θεώρημα 1.

Απάντηση:Χ= 6.

Παράδειγμα 3.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:Και οι δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης μπορούν να διαιρεθούν με 0,2 Χ. Αυτή η μετάβαση θα είναι ισοδύναμη, καθώς αυτή η έκφραση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν για οποιαδήποτε τιμή Χ(η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά θετική στον τομέα ορισμού της). Τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

Απάντηση: Χ = 0.

Παράδειγμα 4.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:απλοποιούμε την εξίσωση σε μια στοιχειώδη μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαίρεσης και πολλαπλασιασμού των δυνάμεων που δίνονται στην αρχή του άρθρου:

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4 Χ, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός, καθώς αυτή η έκφραση δεν είναι ίση με μηδέν για καμία τιμή Χ.

Απάντηση: Χ = 0.

Παράδειγμα 5.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:λειτουργία y = 3Χ, που στέκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, αυξάνεται. Λειτουργία y = —ΧΤο -2/3 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης μειώνεται. Αυτό σημαίνει ότι αν οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων τέμνονται, τότε το πολύ ένα σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι τα γραφήματα τέμνονται στο σημείο Χ= -1. Δεν θα υπάρχουν άλλες ρίζες.

Απάντηση: Χ = -1.

Παράδειγμα 6.Λύστε την εξίσωση:

Λύση:απλοποιούμε την εξίσωση μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών, έχοντας υπόψη παντού ότι η εκθετική συνάρτηση είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν για οποιαδήποτε τιμή Χκαι χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον υπολογισμό του γινομένου και του πηλίκου δυνάμεων που δίνονται στην αρχή του άρθρου:

Απάντηση: Χ = 2.

Επίλυση εκθετικών ανισώσεων

Ενδεικτικόςονομάζονται ανισότητες στις οποίες η άγνωστη μεταβλητή περιέχεται μόνο σε εκθέτες κάποιων δυνάμεων.

Για λύσεις εκθετικές ανισότητεςαπαιτείται γνώση του παρακάτω θεωρήματος:

Θεώρημα 2.Αν ένα> 1, τότε η ανισότητα ένα φά(Χ) > ένα σολ(Χ) ισοδυναμεί με μια ανισότητα της ίδιας σημασίας: φά(Χ) > σολ(Χ). Αν 0< ένα < 1, то εκθετική ανισότητα ένα φά(Χ) > ένα σολ(Χ) ισοδυναμεί με μια ανισότητα με την αντίθετη σημασία: φά(Χ) < σολ(Χ).

Παράδειγμα 7.Λύστε την ανισότητα:

Λύση:Ας παρουσιάσουμε την αρχική ανισότητα με τη μορφή:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ανισότητας με το 3 2 Χ, σε αυτήν την περίπτωση (λόγω της θετικότητας της συνάρτησης y= 3 2Χ) το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει:

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση:

Τότε η ανισότητα θα πάρει τη μορφή:

Άρα, η λύση της ανισότητας είναι το διάστημα:

μεταβαίνοντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:

Λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης, η αριστερή ανισότητα ικανοποιείται αυτόματα. Εκμεταλλεύομαι γνωστή ιδιοκτησίαλογάριθμο, προχωράμε στην ισοδύναμη ανισότητα:

Εφόσον η βάση του βαθμού είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος του ενός, ισοδύναμη (από το Θεώρημα 2) είναι η μετάβαση στην ακόλουθη ανισότητα:

Λοιπόν, επιτέλους καταφέραμε απάντηση:

Παράδειγμα 8.Λύστε την ανισότητα:

Λύση:Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων, ξαναγράφουμε την ανισότητα με τη μορφή:

Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή:

Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την αντικατάσταση, η ανισότητα παίρνει τη μορφή:

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 7, προκύπτει η ακόλουθη ισοδύναμη ανισότητα:

Έτσι, οι ακόλουθες τιμές της μεταβλητής ικανοποιούν την ανισότητα t:

Στη συνέχεια, προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, παίρνουμε:

Δεδομένου ότι η βάση του βαθμού εδώ είναι μεγαλύτερη από ένα, η μετάβαση στην ανισότητα θα είναι ισοδύναμη (από το Θεώρημα 2):

Τελικά παίρνουμε απάντηση:

Παράδειγμα 9.Λύστε την ανισότητα:

Λύση:

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με την έκφραση:

Είναι πάντα μεγαλύτερο από το μηδέν (λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης), επομένως δεν χρειάζεται να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας. Παίρνουμε:

t που βρίσκεται στο διάστημα:

Προχωρώντας στην αντίστροφη αντικατάσταση, βρίσκουμε ότι η αρχική ανισότητα χωρίζεται σε δύο περιπτώσεις:

Η πρώτη ανισότητα δεν έχει λύσεις λόγω της θετικότητας της εκθετικής συνάρτησης. Ας λύσουμε το δεύτερο:

Παράδειγμα 10.Λύστε την ανισότητα:

Λύση:

Κλαδιά παραβολής y = 2Χ+2-Χ 2 κατευθύνονται προς τα κάτω, επομένως περιορίζεται από πάνω από την τιμή που φτάνει στην κορυφή του:

Κλαδιά παραβολής y = Χ 2 -2ΧΤα +2 στον δείκτη κατευθύνονται προς τα πάνω, πράγμα που σημαίνει ότι περιορίζεται από κάτω από την τιμή που φτάνει στην κορυφή του:

Ταυτόχρονα, η συνάρτηση αποδεικνύεται επίσης περιορισμένη από κάτω y = 3 Χ 2 -2Χ+2, που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Πετυχαίνει το στόχο της χαμηλότερη τιμήστο ίδιο σημείο με την παραβολή στον εκθέτη, και αυτή η τιμή είναι ίση με 3 1 = 3. Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να είναι αληθής μόνο εάν η συνάρτηση στα αριστερά και η συνάρτηση στα δεξιά λάβουν τιμή ίση με 3 στο ίδιο σημείο (από την τομή Το εύρος τιμών αυτών των συναρτήσεων είναι μόνο αυτός ο αριθμός). Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται σε ένα μόνο σημείο Χ = 1.

Απάντηση: Χ= 1.

Για να μάθουμε να αποφασίζουμε εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις,είναι απαραίτητο να εκπαιδεύεστε συνεχώς στην επίλυσή τους. Διάφορα πράγματα μπορούν να σας βοηθήσουν σε αυτό το δύσκολο έργο. μεθοδολογικά εγχειρίδια, προβληματικά βιβλία μαθηματικών δημοτικού, συλλογές αγωνιστικών προβλημάτων, μαθήματα μαθηματικών στο σχολείο, καθώς και ατομικά μαθήματα με επαγγελματία δάσκαλο. Σας εύχομαι ειλικρινά καλή επιτυχία στην προετοιμασία σας και άριστα αποτελέσματα στις εξετάσεις.

Σεργκέι Βαλέριεβιτς

P.S. Αγαπητοί επισκέπτες! Παρακαλώ μην γράφετε αιτήματα για να λύσετε τις εξισώσεις σας στα σχόλια. Δυστυχώς, δεν έχω καθόλου χρόνο για αυτό. Τέτοια μηνύματα θα διαγραφούν. Παρακαλώ διαβάστε το άρθρο. Ίσως σε αυτό θα βρείτε απαντήσεις σε ερωτήσεις που δεν σας επέτρεψαν να λύσετε μόνοι σας την εργασία σας.

Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι οι εκθετικές ανισότητες είναι κάτι πολύπλοκο και ακατανόητο. Και ότι το να μάθεις να τα λύνεις είναι σχεδόν μια μεγάλη τέχνη, που μόνο οι Εκλεκτοί μπορούν να κατανοήσουν...

Πλήρης ανοησία! Οι εκθετικές ανισότητες είναι εύκολες. Και πάντα λύνονται απλά. Λοιπόν, σχεδόν πάντα. :)

Σήμερα θα εξετάσουμε αυτό το θέμα μέσα και έξω. Αυτό το μάθημα θα είναι πολύ χρήσιμο για όσους μόλις αρχίζουν να κατανοούν αυτήν την ενότητα των σχολικών μαθηματικών. Ας ξεκινήσουμε με απλά προβλήματα και ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα ζητήματα. Δεν θα υπάρξει σκληρή δουλειά σήμερα, αλλά αυτό που πρόκειται να διαβάσετε θα είναι αρκετό για να λύσετε τις περισσότερες ανισότητες σε κάθε είδους τεστ και τεστ. ανεξάρτητη εργασία. Και σε αυτήν την εξέτασή σου επίσης.

Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό. Εκθετική ανισότητα είναι κάθε ανισότητα που περιέχει εκθετική συνάρτηση. Με άλλα λόγια, μπορεί πάντα να αναχθεί σε μια ανισότητα της μορφής

\[((a)^(x)) \gt b\]

Όπου ο ρόλος του $b$ μπορεί να είναι ένας συνηθισμένος αριθμός, ή ίσως κάτι πιο σκληρό. Παραδείγματα; Ναι παρακαλώ:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\τετράγωνο ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(Χ))). \\\end(στοίχιση)\]

Νομίζω ότι το νόημα είναι ξεκάθαρο: υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση $((a)^(x))$, συγκρίνεται με κάτι και στη συνέχεια ζητείται να βρει το $x$. Σε ιδιαίτερα κλινικές περιπτώσεις, αντί για τη μεταβλητή $x$, μπορούν να βάλουν κάποια συνάρτηση $f\left(x \right)$ και έτσι να περιπλέξουν λίγο την ανισότητα. :)

Φυσικά, σε ορισμένες περιπτώσεις η ανισότητα μπορεί να φαίνεται πιο σοβαρή. Για παράδειγμα:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ή ακόμα και αυτό:

Γενικά, η πολυπλοκότητα τέτοιων ανισοτήτων μπορεί να είναι πολύ διαφορετική, αλλά στο τέλος εξακολουθούν να μειώνονται στην απλή κατασκευή $((a)^(x)) \gt b$. Και κάπως θα καταλάβουμε μια τέτοια κατασκευή (σε ειδικά κλινικές περιπτώσεις, όταν δεν μας έρχεται τίποτα στο μυαλό, οι λογάριθμοι θα μας βοηθήσουν). Επομένως, τώρα θα σας μάθουμε πώς να λύσετε τέτοιες απλές κατασκευές.

Επίλυση απλών εκθετικών ανισώσεων

Ας σκεφτούμε κάτι πολύ απλό. Για παράδειγμα, αυτό:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Προφανώς, ο αριθμός στα δεξιά μπορεί να ξαναγραφτεί ως δύναμη δύο: $4=((2)^(2))$. Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί σε μια πολύ βολική μορφή:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Και τώρα τα χέρια μου φαγούρα για να «σταυρώνω» τα δύο στις βάσεις των δυνάμεων για να πάρω την απάντηση $x \gt 2$. Αλλά πριν διαγράψουμε οτιδήποτε, ας θυμηθούμε τις δυνάμεις δύο:

\[((2)^(1))=2;\τέταρτο ((2)^(2))=4;\τετράγωνο ((2)^(3))=8;\τετράγωνο ((2)^( 4))=16;...\]

Όπως μπορείτε να δείτε, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός στον εκθέτη, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός εξόδου. «Ευχαριστώ, Καπ»! - θα αναφωνήσει ένας από τους μαθητές. Είναι κάτι διαφορετικό; Δυστυχώς, συμβαίνει. Για παράδειγμα:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ δεξιά))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\αριστερά(\frac(1)(2) \δεξιά))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Και εδώ όλα είναι λογικά: όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο περισσότερες φορές πολλαπλασιάζεται ο αριθμός 0,5 από τον εαυτό του (δηλαδή διαιρείται στο μισό). Έτσι, η προκύπτουσα ακολουθία αριθμών μειώνεται και η διαφορά μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης ακολουθίας βρίσκεται μόνο στη βάση:

• Εάν η βάση του βαθμού $a \gt 1$, τότε καθώς αυξάνεται ο εκθέτης $n$, θα αυξάνεται και ο αριθμός $((a)^(n))$.
• Και αντίστροφα, εάν $0 \lt a \lt 1$, τότε καθώς αυξάνεται ο εκθέτης $n$, ο αριθμός $((a)^(n))$ θα μειωθεί.

Συνοψίζοντας αυτά τα γεγονότα, λαμβάνουμε την πιο σημαντική δήλωση στην οποία βασίζεται ολόκληρη η λύση των εκθετικών ανισοτήτων:

Αν $a \gt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \gt n$. Αν $0 \lt a \lt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \lt n$.

Με άλλα λόγια, εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε - το σύμβολο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, τότε μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά ταυτόχρονα θα πρέπει να αλλάξετε το σύμβολο της ανισότητας.

Λάβετε υπόψη ότι δεν έχουμε εξετάσει τις επιλογές $a=1$ και $a\le 0$. Γιατί σε αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει αβεβαιότητα. Ας πούμε πώς λύνεται μια ανισότητα της μορφής $((1)^(x)) \gt 3$; Ένας σε οποιαδήποτε δύναμη θα δώσει ξανά ένα - δεν θα πάρουμε ποτέ τρεις ή περισσότερες. Εκείνοι. δεν υπάρχουν λύσεις.

Με αρνητικούς λόγους όλα είναι ακόμα πιο ενδιαφέροντα. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη αυτήν την ανισότητα:

\[((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(x)) \gt 4\]

Με την πρώτη ματιά, όλα είναι απλά:

Σωστά? Αλλά όχι! Αρκεί να αντικαταστήσετε δύο ζυγούς και δύο περιττούς αριθμούς αντί για $x$ για να βεβαιωθείτε ότι η λύση είναι λανθασμένη. Ρίξε μια ματιά:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημάδια εναλλάσσονται. Υπάρχουν όμως και κλασματικές δυνάμεις και άλλες ανοησίες. Πώς, για παράδειγμα, θα παραγγείλατε να υπολογίσετε το $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (μείον δύο στη δύναμη του επτά); Με τιποτα!

Επομένως, για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι σε όλες τις εκθετικές ανισότητες (και τις εξισώσεις, παρεμπιπτόντως, επίσης) $1\ne a \gt 0$. Και τότε όλα λύνονται πολύ απλά:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \δεξιά), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \δεξιά). \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σε γενικές γραμμές, θυμηθείτε τον κύριο κανόνα για άλλη μια φορά: εάν η βάση σε μια εκθετική εξίσωση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε. και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει.

Παραδείγματα λύσεων

Ας δούμε λοιπόν μερικές απλές εκθετικές ανισώσεις:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(στοίχιση)\]

Το πρωταρχικό καθήκον σε όλες τις περιπτώσεις είναι το ίδιο: να μειωθούν οι ανισότητες στην απλούστερη μορφή $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Αυτό ακριβώς θα κάνουμε τώρα με κάθε ανισότητα και ταυτόχρονα θα επαναλάβουμε τις ιδιότητες των μοιρών και των εκθετικών συναρτήσεων. Λοιπόν πάμε!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Τι μπορείτε να κάνετε εδώ; Λοιπόν, στα αριστερά έχουμε ήδη μια ενδεικτική έκφραση - τίποτα δεν χρειάζεται να αλλάξει. Αλλά στα δεξιά υπάρχει κάποιο είδος χάλια: ένα κλάσμα, ακόμη και μια ρίζα στον παρονομαστή!

Ωστόσο, ας θυμηθούμε τους κανόνες για την εργασία με κλάσματα και δυνάμεις:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(στοίχιση)\]

Τι σημαίνει? Πρώτον, μπορούμε εύκολα να απαλλαγούμε από το κλάσμα μετατρέποντάς το σε δύναμη με αρνητικός δείκτης. Και δεύτερον, αφού ο παρονομαστής έχει ρίζα, θα ήταν ωραίο να τον μετατρέψουμε σε δύναμη - αυτή τη φορά με κλασματικό εκθέτη.

Ας εφαρμόσουμε αυτές τις ενέργειες διαδοχικά στη δεξιά πλευρά της ανισότητας και ας δούμε τι συμβαίνει:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \δεξιά))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \δεξιά)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Μην ξεχνάτε ότι όταν ανεβάζετε έναν βαθμό σε μια ισχύ, οι εκθέτες αυτών των μοιρών αθροίζονται. Και γενικά, όταν εργάζεστε με εκθετικές εξισώσεις και ανισότητες, είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζετε τουλάχιστον τους απλούστερους κανόνες για την εργασία με δυνάμεις:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(στοίχιση)\]

Στην πραγματικότητα, μόλις εφαρμόσαμε τον τελευταίο κανόνα. Επομένως, η αρχική μας ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Δεξί βέλος ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Τώρα ξεφορτώνουμε τα δύο στη βάση. Από 2 > 1, το πρόσημο της ανισότητας θα παραμείνει το ίδιο:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Right arrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Αυτή είναι η λύση! Η κύρια δυσκολία δεν έγκειται καθόλου στην εκθετική συνάρτηση, αλλά στον ικανό μετασχηματισμό της αρχικής έκφρασης: πρέπει να τη φέρετε προσεκτικά και γρήγορα στην απλούστερη μορφή της.

Εξετάστε τη δεύτερη ανισότητα:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Ετσι κι έτσι. Τα δεκαδικά κλάσματα μας περιμένουν εδώ. Όπως έχω πει πολλές φορές, σε οποιεσδήποτε εκφράσεις με δυνάμεις θα πρέπει να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά - αυτός είναι συχνά ο μόνος τρόπος για να δείτε μια γρήγορη και απλή λύση. Εδώ θα απαλλαγούμε από:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(10) \δεξιά))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]

Εδώ πάλι έχουμε την απλούστερη ανισότητα, και μάλιστα με βάση το 1/10, δηλ. λιγότερο από ένα. Λοιπόν, αφαιρούμε τις βάσεις, αλλάζοντας ταυτόχρονα το σύμβολο από "λιγότερο" σε "περισσότερο", και παίρνουμε:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]

Λάβαμε την τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Παρακαλώ σημειώστε: η απάντηση είναι ακριβώς ένα σύνολο, και σε καμία περίπτωση μια κατασκευή της μορφής $x \lt -1$. Διότι τυπικά, μια τέτοια κατασκευή δεν είναι καθόλου σύνολο, αλλά ανισότητα ως προς τη μεταβλητή $x$. Ναι, είναι πολύ απλό, αλλά δεν είναι η απάντηση!

Σημαντική σημείωση. Αυτή η ανισότητα θα μπορούσε να λυθεί με άλλο τρόπο - με την αναγωγή και των δύο πλευρών σε δύναμη με βάση μεγαλύτερη από τη μία. Ρίξε μια ματιά:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(((10)^(-1)) \δεξιά))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Δεξί βέλος ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Μετά από έναν τέτοιο μετασχηματισμό, θα λάβουμε ξανά μια εκθετική ανισότητα, αλλά με βάση 10 > 1. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε απλά να διαγράψουμε το δέκα - το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, η απάντηση ήταν ακριβώς η ίδια. Ταυτόχρονα, σωθήκαμε από την ανάγκη να αλλάξουμε το σήμα και γενικά να θυμηθούμε τυχόν κανόνες. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ωστόσο, μην αφήσετε αυτό να σας τρομάξει. Ανεξάρτητα από το τι υπάρχει στους δείκτες, η ίδια η τεχνολογία για την επίλυση της ανισότητας παραμένει η ίδια. Επομένως, ας σημειώσουμε πρώτα ότι 16 = 2 4. Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]

Ζήτω! Πήραμε τη συνηθισμένη τετραγωνική ανισότητα! Το πρόσημο δεν έχει αλλάξει πουθενά, αφού η βάση είναι δύο - αριθμός μεγαλύτερος του ενός.

Μηδενικά μιας συνάρτησης στην αριθμητική γραμμή

Τακτοποιούμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - προφανώς, η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, οπότε θα υπάρχουν "συν ” στα πλάγια. Μας ενδιαφέρει η περιοχή όπου η συνάρτηση είναι μικρότερη από το μηδέν, δηλ. Το $x\in \left(2;5 \right)$ είναι η απάντηση στο αρχικό πρόβλημα.

Τέλος, εξετάστε μια άλλη ανισότητα:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Και πάλι βλέπουμε μια εκθετική συνάρτηση με δεκαδικό κλάσμα στη βάση. Ας μετατρέψουμε αυτό το κλάσμα σε κοινό κλάσμα:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\αριστερά(((5)^(-1)) \δεξιά))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \αριστερά(1+((x)^(2)) \δεξιά)))\end(στοίχιση)\]

Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήσαμε την παρατήρηση που δόθηκε προηγουμένως - μειώσαμε τη βάση στον αριθμό 5 > 1 για να απλοποιήσουμε την περαιτέρω λύση μας. Ας κάνουμε το ίδιο με τη δεξιά πλευρά:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα λαμβάνοντας υπόψη και τους δύο μετασχηματισμούς:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(-1\cdot \αριστερά(1+ ((x)^(2)) \δεξιά)))\ge ((5)^(-2))\]

Οι βάσεις και στις δύο πλευρές είναι ίδιες και ξεπερνούν τη μία. Δεν υπάρχουν άλλοι όροι δεξιά και αριστερά, οπότε απλά «διαβάζουμε» τις πεντάδες και παίρνουμε μια πολύ απλή έκφραση:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(στοίχιση)\]

Εδώ πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί. Σε πολλούς μαθητές αρέσει απλώς να εξάγουν Τετραγωνική ρίζακαι των δύο πλευρών της ανισότητας και γράψτε κάτι σαν $x\le 1\Δεξί βέλος x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το κάνετε αυτό, καθώς η ρίζα ενός ακριβούς τετραγώνου είναι ενότητα, και σε καμία περίπτωση η αρχική μεταβλητή:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]

Ωστόσο, η εργασία με ενότητες δεν είναι ό,τι καλύτερο ευχάριστη δραστηριότητα, Αλήθεια? Άρα δεν θα δουλέψουμε. Αντίθετα, απλώς μετακινούμε όλους τους όρους προς τα αριστερά και λύνουμε τη συνηθισμένη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Σημειώνουμε ξανά τα ληφθέντα σημεία στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια:

Εφόσον λύναμε μια μη αυστηρή ανισότητα, όλα τα σημεία στο γράφημα είναι σκιασμένα. Επομένως, η απάντηση θα είναι: Το $x\in \left[ -1;1 \right]$ δεν είναι ένα διάστημα, αλλά ένα τμήμα.

Γενικά, θα ήθελα να σημειώσω ότι δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στις εκθετικές ανισότητες. Το νόημα όλων των μετασχηματισμών που πραγματοποιήσαμε σήμερα καταλήγει σε έναν απλό αλγόριθμο:

• Βρείτε τη βάση στην οποία θα μειώσουμε όλους τους βαθμούς.
• Εκτελέστε προσεκτικά τους μετασχηματισμούς για να λάβετε μια ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Φυσικά, αντί για τις μεταβλητές $x$ και $n$ μπορεί να υπάρχουν πολύ πιο σύνθετες συναρτήσεις, αλλά το νόημα δεν θα αλλάξει.
• Διαγράψτε τις βάσεις των μοιρών. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να αλλάξει εάν η βάση $a \lt 1$.

Ουσιαστικά αυτό είναι καθολικός αλγόριθμοςλύσεις σε όλες αυτές τις ανισότητες. Και όλα τα άλλα που θα σας πουν σε αυτό το θέμα είναι απλώς συγκεκριμένες τεχνικές και κόλπα που θα απλοποιήσουν και θα επιταχύνουν τη μεταμόρφωση. Θα μιλήσουμε για μία από αυτές τις τεχνικές τώρα. :)

Μέθοδος εξορθολογισμού

Ας εξετάσουμε ένα άλλο σύνολο ανισοτήτων:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \δεξιά))^(16-x)); \\ & ((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\end(στοίχιση)\]

Τι το ιδιαίτερο έχουν λοιπόν; Είναι ελαφριά. Αν και σταμάτα! Ο αριθμός π αυξάνεται σε κάποια ισχύ; Τι ασυναρτησίες?

Πώς να αυξήσετε τον αριθμό $2\sqrt(3)-3$ σε μια δύναμη; Ή $3-2\sqrt(2)$; Οι προβληματικοί συγγραφείς προφανώς ήπιαν πάρα πολύ Hawthorn πριν καθίσουν στη δουλειά. :)

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα τρομακτικό σε αυτές τις εργασίες. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: μια εκθετική συνάρτηση είναι μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$, όπου η βάση $a$ είναι οποιαδήποτε θετικός αριθμός, με εξαίρεση ένα. Ο αριθμός π είναι θετικός - το γνωρίζουμε ήδη. Οι αριθμοί $2\sqrt(3)-3$ και $3-2\sqrt(2)$ είναι επίσης θετικοί - αυτό είναι εύκολο να δούμε αν τους συγκρίνετε με το μηδέν.

Αποδεικνύεται ότι όλες αυτές οι «τρομακτικές» ανισότητες δεν επιλύονται καθόλου από τις απλές που συζητήθηκαν παραπάνω; Και λύνονται με τον ίδιο τρόπο; Ναι, αυτό είναι απολύτως σωστό. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το παράδειγμά τους, θα ήθελα να εξετάσω μια τεχνική που εξοικονομεί πολύ χρόνο σε ανεξάρτητη εργασία και εξετάσεις. Θα μιλήσουμε για τη μέθοδο του εξορθολογισμού. Προσοχή λοιπόν:

Οποιαδήποτε εκθετική ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ισοδυναμεί με την ανισότητα $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ δεξιά) \gt 0 $.

Αυτή είναι η όλη μέθοδος. :) Πιστεύατε ότι θα υπήρχε κάποιο άλλο παιχνίδι; Τίποτα σαν αυτό! Αλλά αυτό το απλό γεγονός, γραμμένο κυριολεκτικά σε μια γραμμή, θα απλοποιήσει πολύ τη δουλειά μας. Ρίξε μια ματιά:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2) \\ \Κάτω βέλος \\ \αριστερά(x+7-\αριστερά(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Άρα δεν υπάρχουν πλέον εκθετικές συναρτήσεις! Και δεν χρειάζεται να θυμάστε αν το σημάδι αλλάζει ή όχι. Αλλά προκύπτει νέο πρόβλημα: τι να κάνετε με τον γαμημένο πολλαπλασιαστή \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]; Δεν ξέρουμε περί τίνος πρόκειται ακριβής αξίααριθμοί π. Ωστόσο, ο καπετάνιος φαίνεται να υπαινίσσεται το αυτονόητο:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\περίπου 3,14... \gt 3\Δεξί βέλος \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Γενικά, η ακριβής τιμή του π δεν μας αφορά πραγματικά - είναι σημαντικό μόνο να καταλάβουμε ότι σε κάθε περίπτωση $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. Αυτή είναι μια θετική σταθερά, και μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με αυτήν:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, σε μια συγκεκριμένη στιγμή έπρεπε να διαιρέσουμε με μείον ένα - και το πρόσημο της ανισότητας άλλαξε. Στο τέλος, επέκτεινα το τετραγωνικό τριώνυμο χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta - είναι προφανές ότι οι ρίζες είναι ίσες με $((x)_(1))=5$ και $((x)_(2))=-1$ . Τότε όλα αποφασίζονται κλασική μέθοδοςδιαστήματα:

Όλα τα σημεία αφαιρούνται επειδή η αρχική ανισότητα είναι αυστηρή. Μας ενδιαφέρει η περιοχή με αρνητικές τιμές, οπότε η απάντηση είναι $x\in \left(-1;5 \right)$. Αυτή είναι η λύση. :)

Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:

\[((\αριστερά(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Όλα εδώ είναι γενικά απλά, γιατί υπάρχει μια μονάδα στα δεξιά. Και θυμόμαστε ότι ένα είναι οποιοσδήποτε αριθμός αυξημένος στη μηδενική ισχύ. Ακόμα κι αν αυτός ο αριθμός είναι μια παράλογη έκφραση στη βάση στα αριστερά:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(0)); \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, ας εκλογικεύσουμε:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Το μόνο που μένει είναι να καταλάβουμε τα σημάδια. Ο παράγοντας $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ δεν περιέχει τη μεταβλητή $x$ - είναι απλώς μια σταθερά και πρέπει να μάθουμε το πρόσημό της. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τα εξής:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \δεξιά)=0 \\\end(μήτρα)\]

Αποδεικνύεται ότι ο δεύτερος παράγοντας δεν είναι απλώς μια σταθερά, αλλά μια αρνητική σταθερά! Και όταν διαιρείται με αυτό, το πρόσημο της αρχικής ανισότητας αλλάζει στο αντίθετο:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\αριστερά(x-2 \δεξιά) \gt 0. \\\end(στοίχιση)\]

Τώρα όλα γίνονται εντελώς προφανή. Οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου στα δεξιά είναι: $((x)_(1))=0$ και $((x)_(2))=2$. Τα σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα που σημειώνονται με το σύμβολο συν. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση:

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ δεξιά))^(16-x))\]

Λοιπόν, όλα είναι εντελώς προφανή εδώ: οι βάσεις περιέχουν δυνάμεις του ίδιου αριθμού. Επομένως, θα γράψω τα πάντα εν συντομία:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Κάτω βέλος \\ ((\αριστερά(((3)^(-1)) \δεξιά))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\αριστερά(((3)^(-2)) \δεξιά))^(16-x)) \\\end(μήτρα)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ αριστερά (16-x \δεξιά))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε επί αρνητικός αριθμός, άρα το πρόσημο της ανισότητας έχει αλλάξει. Στο τέλος, εφάρμοσα και πάλι το θεώρημα του Vieta για να παραγοντοποιήσω το τετραγωνικό τριώνυμο. Ως αποτέλεσμα, η απάντηση θα είναι η εξής: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ο καθένας μπορεί να το επαληθεύσει σχεδιάζοντας μια αριθμητική γραμμή, σημειώνοντας τα σημεία και μετρώντας τα σημάδια. Εν τω μεταξύ, θα προχωρήσουμε στην τελευταία ανισότητα από το «σύνολο» μας:

\[((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Όπως μπορείτε να δείτε, στη βάση υπάρχει και πάλι ένας παράλογος αριθμός και στα δεξιά υπάρχει πάλι μια μονάδα. Επομένως, ξαναγράφουμε την εκθετική μας ανισότητα ως εξής:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ δεξιά))^(0))\]

Εφαρμόζουμε εξορθολογισμό:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ωστόσο, είναι προφανές ότι $1-\sqrt(2) \lt 0$, αφού $\sqrt(2)\περίπου 1,4... \gt 1$. Επομένως, ο δεύτερος παράγοντας είναι και πάλι μια αρνητική σταθερά, με την οποία μπορούν να διαιρεθούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Κάτω βέλος \ \\end(μήτρα)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\αριστερά(x-3 \δεξιά) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]

Μετακίνηση σε άλλη βάση

Ένα ξεχωριστό πρόβλημα κατά την επίλυση εκθετικών ανισοτήτων είναι η αναζήτηση της «σωστής» βάσης. Δυστυχώς, δεν είναι πάντα προφανές με την πρώτη ματιά σε μια εργασία τι πρέπει να ληφθεί ως βάση και τι πρέπει να γίνει ανάλογα με το βαθμό αυτής της βάσης.

Αλλά μην ανησυχείτε: δεν υπάρχει μαγική ή «μυστική» τεχνολογία εδώ. Στα μαθηματικά, κάθε δεξιότητα που δεν μπορεί να αλγοριθμηθεί μπορεί εύκολα να αναπτυχθεί μέσω της πρακτικής. Αλλά για αυτό θα πρέπει να λύσετε προβλήματα διαφορετικών επιπέδων πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)\]

Δύσκολος? Τρομακτικός? Είναι πιο εύκολο από το να χτυπήσεις ένα κοτόπουλο στην άσφαλτο! Ας δοκιμάσουμε. Πρώτη ανισότητα:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Λοιπόν, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα εδώ:

Ξαναγράφουμε την αρχική ανισότητα, μειώνοντας τα πάντα στη βάση δύο:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Δεξί βέλος \αριστερά(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ναι, ναι, σωστά ακούσατε: μόλις εφάρμοσα τη μέθοδο εξορθολογισμού που περιγράφεται παραπάνω. Τώρα πρέπει να δουλέψουμε προσεκτικά: έχουμε μια κλασματική-ορθολογική ανισότητα (αυτή είναι αυτή που έχει μια μεταβλητή στον παρονομαστή), οπότε πριν εξισώσουμε οτιδήποτε με το μηδέν, πρέπει να φέρουμε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή και να απαλλαγούμε από τον σταθερό παράγοντα .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]

Τώρα χρησιμοποιούμε την τυπική μέθοδο διαστήματος. Αριθμητικά μηδενικά: $x=\pm 4$. Ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν μόνο όταν $x=0$. Υπάρχουν τρία σημεία συνολικά που πρέπει να σημειωθούν στην αριθμητική γραμμή (όλα τα σημεία είναι καρφιτσωμένα επειδή το πρόσημο της ανισότητας είναι αυστηρό). Παίρνουμε:

Όπως μπορείτε να μαντέψετε, η σκίαση επισημαίνει εκείνα τα διαστήματα στα οποία η έκφραση στα αριστερά παίρνει αρνητικές τιμές. Επομένως, η τελική απάντηση θα περιλαμβάνει δύο διαστήματα ταυτόχρονα:

Τα άκρα των διαστημάτων δεν περιλαμβάνονται στην απάντηση επειδή η αρχική ανισότητα ήταν αυστηρή. Δεν απαιτείται περαιτέρω επαλήθευση αυτής της απάντησης. Από αυτή την άποψη, οι εκθετικές ανισότητες είναι πολύ απλούστερες από τις λογαριθμικές: χωρίς ODZ, χωρίς περιορισμούς κ.λπ.

Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:

\[((\αριστερά(\frac(1)(3) \δεξιά))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Δεν υπάρχουν προβλήματα και εδώ, καθώς γνωρίζουμε ήδη ότι $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, οπότε ολόκληρη η ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Δεξί βέλος ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]

Παρακαλώ σημειώστε: στην τρίτη γραμμή αποφάσισα να μην χάσω χρόνο σε μικροπράγματα και να διαιρέσω αμέσως τα πάντα με (−2). Ο Μινούλ μπήκε στην πρώτη παρένθεση (τώρα υπάρχουν πλεονεκτήματα παντού) και δύο μειώθηκαν με σταθερό παράγοντα. Αυτό ακριβώς πρέπει να κάνετε όταν προετοιμάζετε πραγματικές οθόνες σε ανεξάρτητα και δοκιμές— δεν χρειάζεται να περιγράψουμε κάθε ενέργεια και μεταμόρφωση.

Στη συνέχεια, μπαίνει στο παιχνίδι η γνωστή μέθοδος των διαστημάτων. Αριθμητικά μηδενικά: αλλά δεν υπάρχουν. Γιατί η διάκριση θα είναι αρνητική. Με τη σειρά του, ο παρονομαστής επαναφέρεται μόνο όταν $x=0$ - όπως και την προηγούμενη φορά. Λοιπόν, είναι σαφές ότι στα δεξιά του $x=0$ το κλάσμα θα πάρει θετικές τιμές και στα αριστερά - αρνητικό. Εφόσον μας ενδιαφέρουν οι αρνητικές τιμές, η τελική απάντηση είναι: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\αριστερά(0,16 \δεξιά))^(1+2x))\cdot ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x))\ge 1\]

Τι πρέπει να κάνετε με τα δεκαδικά κλάσματα σε εκθετικές ανισώσεις; Αυτό είναι σωστό: ξεφορτωθείτε τα, μετατρέποντάς τα σε συνηθισμένα. Εδώ θα μεταφράσουμε:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ αριστερά(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Δεξί βέλος ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x)=((\αριστερά(\ frac(25) (4)\δεξιά))^(x)). \\\end(στοίχιση)\]

Τι πήραμε λοιπόν στα θεμέλια των εκθετικών συναρτήσεων; Και πήραμε δύο αμοιβαία αντίστροφους αριθμούς:

\[\frac(25)(4)=((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(25)(4) \ δεξιά))^(x))=((\αριστερά(((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1)) \δεξιά))^(x))=((\ αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-x))\]

Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \δεξιά))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(στοίχιση)\]

Φυσικά, όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αθροίζονται, κάτι που συνέβη στη δεύτερη γραμμή. Επιπλέον, αντιπροσωπεύσαμε τη μονάδα στα δεξιά, επίσης ως ισχύ στη βάση 4/25. Το μόνο που μένει είναι να εξορθολογίσουμε:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Δεξί βέλος \αριστερά(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Σημειώστε ότι $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, δηλ. ο δεύτερος παράγοντας είναι μια αρνητική σταθερά και όταν διαιρείται με αυτήν, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει:

\[\αρχή(στοίχιση) & x+1-0\le 0\Δεξί βέλος x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Τέλος, η τελευταία ανισότητα από το τρέχον «σύνολο»:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Κατ 'αρχήν, η ιδέα της λύσης εδώ είναι επίσης σαφής: όλες οι εκθετικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην ανισότητα πρέπει να μειωθούν στη βάση "3". Αλλά για αυτό θα πρέπει να ασχοληθείτε λίγο με τις ρίζες και τις δυνάμεις:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\τετράγωνο 81=((3)^(4)). \\\end(στοίχιση)\]

Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα δεδομένα, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\δεξιά))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(στοίχιση)\]

Προσέξτε τη 2η και την 3η γραμμή των υπολογισμών: πριν κάνετε οτιδήποτε με την ανισότητα, φροντίστε να τη φέρετε στη μορφή που μιλήσαμε από την αρχή του μαθήματος: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Εφόσον έχετε κάποιους αριστερόστροφους παράγοντες, πρόσθετες σταθερές κ.λπ. αριστερά ή δεξιά, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί εξορθολογισμός ή «διαγραφή» λόγων! Αμέτρητες εργασίες έχουν ολοκληρωθεί λανθασμένα λόγω αδυναμίας κατανόησης αυτού του απλού γεγονότος. Εγώ ο ίδιος παρατηρώ συνεχώς αυτό το πρόβλημα με τους μαθητές μου όταν μόλις αρχίζουμε να αναλύουμε εκθετικές και λογαριθμικές ανισότητες.

Ας επιστρέψουμε όμως στο έργο μας. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε χωρίς εξορθολογισμό αυτή τη φορά. Ας θυμηθούμε: η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, επομένως οι τριάδες μπορούν απλά να διαγραφούν - το πρόσημο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Αυτό είναι όλο. Τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Απομόνωση μιας σταθερής έκφρασης και αντικατάσταση μιας μεταβλητής

Εν κατακλείδι, προτείνω την επίλυση τεσσάρων ακόμη εκθετικών ανισοτήτων, που είναι ήδη αρκετά δύσκολες για απροετοίμαστους μαθητές. Για να τα αντιμετωπίσετε, πρέπει να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία. Συγκεκριμένα, βάζοντας εκτός παρενθέσεων κοινούς παράγοντες.

Αλλά το πιο σημαντικό πράγμα είναι να μάθετε να κατανοείτε τι ακριβώς μπορεί να αφαιρεθεί από παρενθέσεις. Μια τέτοια έκφραση ονομάζεται σταθερή - μπορεί να υποδηλωθεί με μια νέα μεταβλητή και έτσι να απαλλαγεί από την εκθετική συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν τις εργασίες:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]

Ας ξεκινήσουμε από την πρώτη κιόλας γραμμή. Ας γράψουμε αυτήν την ανισότητα χωριστά:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Σημειώστε ότι $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, οπότε το δεξί χέρι η πλευρά μπορεί να ξαναγραφτεί:

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν άλλες εκθετικές συναρτήσεις εκτός από $((5)^(x+1))$ στην ανισότητα. Και γενικά, η μεταβλητή $x$ δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού, οπότε ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή: $((5)^(x+1))=t$. Παίρνουμε την εξής κατασκευή:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Επιστρέφουμε στην αρχική μεταβλητή ($t=((5)^(x+1))$), και ταυτόχρονα θυμόμαστε ότι 1=5 0 . Εχουμε:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η λύση! Απάντηση: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη ανισότητα:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ολα είναι ίδια εδώ. Σημειώστε ότι $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Επειτα αριστερή πλευράμπορεί να ξαναγραφτεί:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \δεξιά. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Δεξί βέλος x\in \αριστερά[ 2;+\infty \δεξιά). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτός είναι περίπου ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να συντάξετε μια λύση για πραγματικές δοκιμές και ανεξάρτητη εργασία.

Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε κάτι πιο περίπλοκο. Για παράδειγμα, εδώ είναι η ανισότητα:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Ποιο είναι το πρόβλημα εδώ; Πρώτα απ 'όλα, οι βάσεις των εκθετικών συναρτήσεων στα αριστερά είναι διαφορετικές: 5 και 25. Ωστόσο, 25 = 5 2, οπότε ο πρώτος όρος μπορεί να μετατραπεί:

\[\αρχή(στοίχιση) & ((25)^(x+1,5))=((\αριστερά(((5)^(2)) \δεξιά))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Όπως μπορείτε να δείτε, στην αρχή φέραμε τα πάντα στην ίδια βάση και, στη συνέχεια, παρατηρήσαμε ότι ο πρώτος όρος μπορεί εύκολα να μειωθεί στον δεύτερο - απλά πρέπει να επεκτείνετε τον εκθέτη. Τώρα μπορείτε να εισάγετε με ασφάλεια μια νέα μεταβλητή: $((5)^(2x+2))=t$ και ολόκληρη η ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Και πάλι, χωρίς δυσκολίες! Τελική απάντηση: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Ας περάσουμε στην τελική ανισότητα στο σημερινό μάθημα:

\[((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να προσέξεις είναι, φυσικά, δεκαδικόςστη βάση του πρώτου βαθμού. Είναι απαραίτητο να το ξεφορτωθείτε και ταυτόχρονα να φέρετε όλες τις εκθετικές συναρτήσεις στην ίδια βάση - τον αριθμό "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Δεξί βέλος ((16)^(x+1,5))=((\αριστερά(((2)^(4)) \δεξιά))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]

Ωραία, κάναμε το πρώτο βήμα - όλα οδήγησαν στην ίδια βάση. Τώρα πρέπει να επιλέξετε μια σταθερή έκφραση. Σημειώστε ότι $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Εάν εισάγουμε μια νέα μεταβλητή $((2)^(4x+6))=t$, τότε η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(στοίχιση)\]

Φυσικά, μπορεί να προκύψει το ερώτημα: πώς ανακαλύψαμε ότι 256 = 2 8; Δυστυχώς, εδώ χρειάζεται απλώς να γνωρίζετε τις δυνάμεις του δύο (και ταυτόχρονα τις δυνάμεις του τριών και του πέντε). Λοιπόν, ή διαιρέστε το 256 με το 2 (μπορείτε να διαιρέσετε, αφού το 256 είναι ζυγός αριθμός) μέχρι να πάρουμε το αποτέλεσμα. Θα μοιάζει κάπως έτσι:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(στοίχιση )\]

Το ίδιο ισχύει με το τρία (οι αριθμοί 9, 27, 81 και 243 είναι οι μοίρες του) και με το επτά (οι αριθμοί 49 και 343 θα ήταν επίσης καλό να θυμόμαστε). Λοιπόν, το πέντε έχει επίσης "όμορφα" πτυχία που πρέπει να γνωρίζετε:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(στοίχιση)\]

Φυσικά, αν το επιθυμείτε, όλοι αυτοί οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν στο μυαλό σας απλά πολλαπλασιάζοντάς τους διαδοχικά ο ένας με τον άλλον. Ωστόσο, όταν πρέπει να λύσετε πολλές εκθετικές ανισώσεις και κάθε επόμενη είναι πιο δύσκολη από την προηγούμενη, τότε το τελευταίο πράγμα που θέλετε να σκεφτείτε είναι οι δυνάμεις ορισμένων αριθμών. Και υπό αυτή την έννοια, αυτά τα προβλήματα είναι πιο περίπλοκα από τις «κλασικές» ανισότητες που επιλύονται με τη μέθοδο του διαστήματος.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Εκθετικές εξισώσεις και εκθετικές ανισώσεις"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 11η τάξη
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 9-11 "Τριγωνομετρία"
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 "Λογάριθμοι"

Ορισμός Εκθετικών Εξισώσεων

Ορισμός. Οι εξισώσεις της μορφής: $a^(f(x))=a^(g(x))$, όπου $a>0$, $a≠1$ ονομάζονται εκθετικές εξισώσεις.

Υπενθυμίζοντας τα θεωρήματα που μελετήσαμε στο θέμα "Εκθετική Συνάρτηση", μπορούμε να εισαγάγουμε ένα νέο θεώρημα:
Θεώρημα. Η εκθετική εξίσωση $a^(f(x))=a^(g(x))$, όπου $a>0$, $a≠1$ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $f(x)=g(x) $.

Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων

Β) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Τότε η εξίσωσή μας μπορεί να ξαναγραφτεί: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Απάντηση: $x=0$.

Γ) Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ και $x_2=-3$.
Απάντηση: $x_1=6$ και $x_2=-3$.

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Λύση:
Ας κάνουμε μια σειρά από ενέργειες διαδοχικά και ας φέρουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσής μας στις ίδιες βάσεις.
Ας εκτελέσουμε μια σειρά από λειτουργίες στην αριστερή πλευρά:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Ας προχωρήσουμε στη δεξιά πλευρά:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:
$((\frac(1)(4))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Απάντηση: $x=0$.

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Λύση:
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Ας κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών, ας $a=3^x$.
Σε καινούργια μεταβλητή εξίσωσηθα πάρει τη μορφή: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ και $a_2=3$.
Ας εκτελέσουμε την αντίστροφη αλλαγή των μεταβλητών: $3^x=-12$ και $3^x=3$.
Στο τελευταίο μάθημα μάθαμε ότι οι εκθετικές εκφράσεις μπορούν να λάβουν μόνο θετικές τιμές, θυμηθείτε το γράφημα. Αυτό σημαίνει ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, η δεύτερη εξίσωση έχει μία λύση: $x=1$.
Απάντηση: $x=1$.

Ας κάνουμε μια υπενθύμιση του τρόπου επίλυσης εκθετικών εξισώσεων:
1. Γραφική μέθοδος.Αντιπροσωπεύουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μορφή συναρτήσεων και κατασκευάζουμε τα γραφήματα τους, βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων. (Αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιήσαμε στο τελευταίο μάθημα).
2. Η αρχή της ισότητας των δεικτών.Η αρχή βασίζεται στο γεγονός ότι δύο εκφράσεις με τις ίδιες βάσεις είναι ίσες αν και μόνο αν οι μοίρες (εκθέτες) αυτών των βάσεων είναι ίσοι. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης.Αυτή η μέθοδος θα πρέπει να χρησιμοποιείται εάν η εξίσωση, κατά την αντικατάσταση μεταβλητών, απλοποιεί τη μορφή της και είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί.

Παράδειγμα.
Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: $\begin (περίπτωση) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (περιπτώσεις)$.
Λύση.
Ας εξετάσουμε και τις δύο εξισώσεις του συστήματος χωριστά:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3ε)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών, έστω $y=2^(x+y)$.
Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ και $y_2=-3$.
Ας προχωρήσουμε στις αρχικές μεταβλητές, από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε $x+y=2$. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει λύσεις. Τότε το αρχικό μας σύστημα εξισώσεων είναι ισοδύναμο με το σύστημα: $\begin (περιπτώσεις) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (περιπτώσεις)$.
Αφαιρούμε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε: $\αρχή (περιπτώσεις) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (περιπτώσεις)$.
$\αρχή (περιπτώσεις) y=-1, \\ x=3. \end (περιπτώσεις)$.
Απάντηση: $(3;-1)$.

Εκθετικές ανισότητες

Θεώρημα. Αν $a>1$, τότε η εκθετική ανισότητα $a^(f(x))>a^(g(x))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $f(x)>g(x)$.
Εάν $0 Το a^(g(x))$ ισοδυναμεί με την ανισότητα $f(x)

Παράδειγμα.
Λύστε ανισότητες:
α) $3^(2x+3)>81$.
β) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) γ) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Λύση.
α) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Η ανισότητα μας είναι ισοδύναμη με την ανισότητα:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

Β) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Στην εξίσωσή μας, η βάση είναι όταν ο βαθμός είναι μικρότερο από 1, τότε Κατά την αντικατάσταση μιας ανισότητας με μια ισοδύναμη, είναι απαραίτητο να αλλάξετε το πρόσημο.
$2x-4>2$.
$x>3$.

Γ) Η ανισότητα μας είναι ισοδύναμη με την ανισότητα:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο λύσης διαστήματος:
Απάντηση: $(-∞;-5]U)