यदि हम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के बाईं ओर संख्या 0 जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है सकारात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

ऋणात्मक पूर्णांक

आइए एक छोटा सा उदाहरण देखें. बाईं ओर का चित्र एक थर्मामीटर दिखाता है जो 7°C का तापमान दिखाता है। यदि तापमान 4° गिर जाता है, तो थर्मामीटर 3° ताप दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

यदि तापमान 7° तक गिर जाता है, तो थर्मामीटर 0° दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

यदि तापमान 8° तक गिर जाता है, तो थर्मामीटर -1° (शून्य से 1° नीचे) दिखाएगा। लेकिन 7 - 8 घटाने का परिणाम प्राकृतिक संख्याओं और शून्य का उपयोग करके नहीं लिखा जा सकता है।

आइए पूर्णांकों की एक श्रृंखला का उपयोग करके घटाव का वर्णन करें सकारात्मक संख्या:

1) संख्या 7 से बायीं ओर की 4 संख्याएँ गिनें और 3 प्राप्त करें:

2) संख्या 7 से बायीं ओर की 7 संख्याएँ गिनें और 0 प्राप्त करें:

धनात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला में संख्या 7 से बायीं ओर की 8 संख्याओं को गिनना असंभव है। क्रियाएँ 7-8 को व्यवहार्य बनाने के लिए, हम धनात्मक पूर्णांकों की सीमा का विस्तार करते हैं। ऐसा करने के लिए, शून्य के बाईं ओर, हम सभी प्राकृतिक संख्याओं को क्रम में (दाएं से बाएं) लिखते हैं, उनमें से प्रत्येक में - चिन्ह जोड़ते हैं, जो दर्शाता है कि यह संख्या शून्य के बाईं ओर है।

प्रविष्टियाँ -1, -2, -3, ... माइनस 1, माइनस 2, माइनस 3, आदि पढ़ें:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

संख्याओं की परिणामी श्रृंखला कहलाती है पूर्णांकों की श्रृंखला. इस प्रविष्टि में बाएँ और दाएँ बिंदुओं का अर्थ है कि श्रृंखला को दाएँ और बाएँ अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।

इस पंक्ति में संख्या 0 के दाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं प्राकृतिकया सकारात्मक पूर्णांक(संक्षेप में - सकारात्मक).

इस पंक्ति में संख्या 0 के बाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं पूर्णांक नकारात्मक(संक्षेप में - नकारात्मक).

संख्या 0 एक पूर्णांक है, लेकिन न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक संख्या है। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को अलग करता है।

इस तरह, पूर्णांकों की श्रृंखला में ऋणात्मक पूर्णांक, शून्य और धनात्मक पूर्णांक होते हैं.

पूर्णांक तुलना

दो पूर्णांकों की तुलना करें- इसका अर्थ है यह पता लगाना कि कौन बड़ा है, कौन छोटा है, या यह निर्धारित करना कि संख्याएँ समान हैं।

आप पूर्णांकों की एक पंक्ति का उपयोग करके पूर्णांकों की तुलना कर सकते हैं, क्योंकि यदि आप पंक्ति में बाएँ से दाएँ चलते हैं तो इसमें संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी की ओर व्यवस्थित होती हैं। इसलिए, पूर्णांकों की श्रृंखला में, आप अल्पविराम को इससे कम चिह्न से बदल सकते हैं:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

इस तरह, दो पूर्णांकों में, श्रृंखला में दाईं ओर वाली संख्या जितनी बड़ी होगी, और बाईं ओर वाली संख्या उतनी ही छोटी होगी, मतलब:

1) कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से बड़ी और किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है:

1 > 0; 15 > -16

2) शून्य से कम कोई भी ऋणात्मक संख्या:

7 < 0; -357 < 0

3) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जो पूर्णांकों की श्रृंखला में दाईं ओर है वह बड़ी है।

विषय

पाठ का प्रकार

• नई सामग्री का अध्ययन और प्राथमिक आत्मसात

पाठ मकसद

शिक्षण योजना

1 परिचय।
2. सैद्धांतिक भाग
3. व्यावहारिक भाग.
4. गृहकार्य.
5. प्रश्न

परिचय

चलो देखते हैं वीडियोऋणात्मक संख्याओं को कैसे क्रमबद्ध करें

अब ऋणात्मक संख्याओं को व्यवस्थित करें और पाठ का विषय समझें:

उत्तर: शब्द "तुलना"।

सैद्धांतिक भाग

संख्याओं की तुलना. नियम

दो संख्याओं की तुलना करते समय, पहली चीज़ जिस पर आपको ध्यान देने की ज़रूरत है वह है तुलना की जा रही संख्याओं के संकेत। ऋण (ऋणात्मक) वाली संख्या सदैव धनात्मक संख्या से छोटी होती है।

यदि तुलना की जा रही दोनों संख्याओं में ऋण चिह्न (ऋणात्मक) हैं, तो हमें उनके निरपेक्ष मानों की तुलना करनी चाहिए, अर्थात ऋण चिह्न को ध्यान में रखे बिना उनकी तुलना करनी चाहिए। जिस संख्या का मापांक अधिक होता है वह वास्तव में कम होती है।

उदाहरण के लिए -3 और -5. तुलना की जा रही संख्याएँ नकारात्मक हैं। इसका मतलब है कि हम उनके मॉड्यूल 3 और 5 की तुलना करते हैं। 5, 3 से बड़ा है, जिसका मतलब है -5, -3 से कम है।

यदि तुलना की जा रही संख्याओं में से एक संख्या शून्य है, तो ऋणात्मक संख्या शून्य से कम होगी। (-3 < 0) और भी सकारात्मक है. (3 > 0)

आप क्षैतिज निर्देशांक रेखा का उपयोग करके भी संख्याओं की तुलना कर सकते हैं। बाईं ओर का नंबर कम संख्यादाईं ओर स्थित है. मान्य भी उलटा नियम. निर्देशांक रेखा पर बड़े निर्देशांक वाला बिंदु छोटे निर्देशांक वाले बिंदु की तुलना में दाईं ओर स्थित होता है।

उदाहरण के लिए, चित्र में, बिंदु E, बिंदु A के दाईं ओर है और इसका निर्देशांक बड़ा है। (5 > 1)

पूर्णांक तुलना

संख्याओं के निरपेक्ष मानों (मॉड्यूल) की तुलना

मापांक के साथ असमानताएँ

व्यावहारिक भाग

संख्या रेखा पर संख्याओं की तुलना करना

कार्य

1. स्पष्ट करें क्यों:
-5 -1 से कम,
-2 ओवर -16,
-25 3 से कम,
0 और - 9.

2. तुलना करें:
निर्देशांक रेखा पर संख्याएँ दर्शाई गई हैं: 0; ए; वी; साथ। तुलना करना:

1) ए > 0; 2) में< 0; 3) 0 >साथ।
निर्देशांक रेखा पर संख्याएँ दर्शाई गई हैं: 0; ए; वी; साथ। उनकी तुलना करें:

1) ए > बी; 2) साथ< а; 3) в < с.

3. कौन सी असमानता सत्य है?
संख्याएँ a और b ऋणात्मक हैं; | ए | > | में |.
ए) ए > बी; बी ० ए< в.

4. संख्या a और b के मापांक की तुलना करें।
संख्याएँ a और b ऋणात्मक हैं; ए< в.

5. कौन सी असमानता सत्य है?
a एक धनात्मक संख्या है,
c एक ऋणात्मक संख्या है.
ए) ए > बी; बी ० ए< в?

6. तुलना करें:

गृहकार्य

1. संख्याओं की तुलना करें

2. गणना करें

3. संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें

प्रशन

किसी रेखा पर किसी बिंदु का निर्देशांक क्या दर्शाता है?
किसी संख्या c का मापांक क्या है? ज्यामितीय बिंदुदृष्टि?
किसी धनात्मक संख्या का मापांक क्या होता है?
ऋणात्मक संख्या का मापांक क्या है?
शून्य का मापांक क्या है?
क्या किसी संख्या का मापांक ऋणात्मक संख्या हो सकता है?
संख्या का नाम बताएं विपरीत संख्या 5?
कौन सी संख्या स्वयं के विपरीत है?

निष्कर्ष

कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी धनात्मक संख्या से छोटी होती है।

दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिसका परिमाण अधिक है वह छोटी है।

शून्य किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ा लेकिन किसी भी धनात्मक संख्या से कम होता है।

क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर, बड़े निर्देशांक वाला एक बिंदु छोटे निर्देशांक वाले बिंदु के दाईं ओर स्थित होता है।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. गणितीय विश्वकोश (5 खंडों में)। - एम.: सोवियत इनसाइक्लोपीडिया, 2002. - टी. 1.
2. "नवीनतम स्कूली बच्चों की संदर्भ पुस्तक" "हाउस XXI सेंचुरी" 2008
3. "संख्याओं की तुलना" विषय पर पाठ सारांश लेखक: पेट्रोवा वी.पी., गणित शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
4. एन.या.विलेंकिन, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड, वी.आई. झोखोव, ग्रेड 6 के लिए गणित, हाई स्कूल के लिए पाठ्यपुस्तक

हमने पाठ पर काम किया
पौटिंका ए.वी.
पेट्रोवा वी.पी.

पौतिंका ए.वी. द्वारा संकलित और संपादित।

के बारे में एक प्रश्न पूछें आधुनिक शिक्षा, एक विचार व्यक्त करें या एक गंभीर समस्या का समाधान करें, आप कर सकते हैं शैक्षिक मंच, जहां नई सोच और कार्रवाई की एक शैक्षिक परिषद अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मिलती है। बनाया है

प्रथम स्तर

संख्याओं की तुलना. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

समीकरणों और असमानताओं, साथ ही मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करते समय, आपको पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, पाई जाने वाली जड़ें भिन्न हो सकती हैं। वे इस प्रकार हो सकते हैं: , या वे इस प्रकार हो सकते हैं: , .

तदनुसार, यदि संख्याएँ तर्कसंगत नहीं बल्कि अपरिमेय हैं (यदि आप भूल गए हैं कि वे क्या हैं, तो विषय में देखें), या जटिल गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं, तो उन्हें संख्या रेखा पर रखना बहुत समस्याग्रस्त है। इसके अलावा, आप परीक्षा के दौरान कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, और अनुमानित गणना 100% गारंटी नहीं देती है कि एक संख्या दूसरे से कम है (यदि तुलना की जा रही संख्याओं के बीच कोई अंतर है तो क्या होगा?)।

बेशक, आप जानते हैं कि सकारात्मक संख्याएँ हमेशा नकारात्मक से बड़ी होती हैं, और यदि हम एक संख्या अक्ष की कल्पना करते हैं, तो तुलना करते समय, सबसे बड़ी संख्यासबसे छोटे वाले से दाईं ओर स्थित होगा: ; ; वगैरह।

लेकिन क्या सब कुछ हमेशा इतना आसान होता है? जहां संख्या रेखा पर हम अंकित करते हैं, .

उदाहरण के लिए, उनकी तुलना किसी संख्या से कैसे की जा सकती है? यह रगड़ है...)

सबसे पहले बात करते हैं सामान्य रूपरेखाकैसे और क्या तुलना करें.

महत्वपूर्ण: ऐसे परिवर्तन करने की सलाह दी जाती है ताकि असमानता का चिह्न न बदले!अर्थात्, परिवर्तनों के दौरान ऋणात्मक संख्या से गुणा करना अवांछनीय है, और यह वर्जित हैयदि एक भाग ऋणात्मक है तो वर्गाकार।

भिन्नों की तुलना

इसलिए, हमें दो भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है: और।

इसे कैसे करें इस पर कई विकल्प हैं।

विकल्प 1. भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ।

आइए इसे साधारण भिन्न के रूप में लिखें:

- (जैसा कि आप देख सकते हैं, मैंने अंश और हर को भी कम कर दिया है)।

अब हमें भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है:

अब हम दो तरह से तुलना करना जारी रख सकते हैं. हम कर सकते हैं:

1. बस सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ, दोनों भिन्नों को अनुचित के रूप में प्रस्तुत करें (अंश हर से बड़ा है):

   कौन सी संख्या बड़ी है? यह सही है, बड़े अंश वाला, यानी पहला वाला।

2. "आइए त्यागें" (मान लें कि हमने प्रत्येक भिन्न में से एक घटा दिया है, और तदनुसार, भिन्नों का एक-दूसरे से अनुपात नहीं बदला है) और भिन्नों की तुलना करें:

   हम उन्हें एक सामान्य विभाजक में भी लाते हैं:

   हमें पिछले मामले जैसा ही परिणाम मिला - पहली संख्या दूसरी से बड़ी है:

   आइए यह भी देखें कि क्या हमने एक सही घटाया है? आइए पहली गणना और दूसरी गणना में अंश के अंतर की गणना करें:
   1)
   2)

इसलिए, हमने देखा कि भिन्नों की तुलना कैसे की जाए, उन्हें एक सामान्य हर में लाया जाए। आइए दूसरी विधि पर चलते हैं - भिन्नों की तुलना करना, उन्हें एक सामान्य... अंश में लाना।

विकल्प 2. भिन्नों को एक सामान्य अंश में घटाकर उनकी तुलना करना।

हां हां। यह कोई टाइपो नहीं है. यह विधि स्कूल में शायद ही किसी को सिखाई जाती है, लेकिन अक्सर यह बहुत सुविधाजनक होती है। ताकि आप इसका सार जल्दी से समझ सकें, मैं आपसे केवल एक प्रश्न पूछूंगा - "किन मामलों में भिन्न का मान सबसे बड़ा होता है?" निःसंदेह, आप कहेंगे "जब अंश यथासंभव बड़ा हो और हर यथासंभव छोटा हो।"

उदाहरण के लिए, आप निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह सच है? यदि हमें निम्नलिखित भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा: ? मुझे लगता है कि आप तुरंत संकेत को सही ढंग से डाल देंगे, क्योंकि पहले मामले में वे भागों में विभाजित होते हैं, और दूसरे में पूरे में, जिसका अर्थ है कि दूसरे मामले में टुकड़े बहुत छोटे हो जाते हैं, और तदनुसार:। जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां हर अलग-अलग हैं, लेकिन अंश समान हैं। हालाँकि, इन दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको एक सामान्य हर की तलाश करने की ज़रूरत नहीं है। हालाँकि... इसे ढूंढें और देखें कि क्या तुलना चिह्न अभी भी ग़लत है?

लेकिन संकेत वही है.

आइए अपने मूल कार्य पर वापस जाएँ - तुलना करें और... हम तुलना करेंगे और... आइए हम इन भिन्नों को एक सामान्य हर में नहीं, बल्कि एक सामान्य अंश में घटाएँ। ऐसा करना सरल है मीटर और विभाजकपहले भिन्न को इससे गुणा करें. हम पाते हैं:

और। कौन सा अंश बड़ा है? यह सही है, पहला वाला।

विकल्प 3: घटाव का उपयोग करके भिन्नों की तुलना करना।

घटाव का उपयोग करके भिन्नों की तुलना कैसे करें? हाँ, बहुत सरल. हम एक भिन्न से दूसरा घटा देते हैं। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो पहला अंश (न्यूएंड) दूसरे (सबट्रेंड) से बड़ा है, और यदि नकारात्मक है, तो इसके विपरीत।

हमारे मामले में, आइए पहले भिन्न को दूसरे से घटाने का प्रयास करें:।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम भी एक साधारण भिन्न में परिवर्तित होते हैं और वही परिणाम प्राप्त करते हैं -। हमारी अभिव्यक्ति इस प्रकार होती है:

इसके बाद, हमें अभी भी एक सामान्य भाजक में कमी का सहारा लेना होगा। सवाल यह है: पहले तरीके से, भिन्नों को अनुचित में परिवर्तित करना, या दूसरे तरीके से, जैसे कि इकाई को "हटाना"? वैसे, इस कार्रवाई का पूरी तरह से गणितीय औचित्य है। देखना:

मुझे दूसरा विकल्प बेहतर लगता है, क्योंकि जब अंश को सामान्य हर में घटा दिया जाता है तो अंश में गुणा करना बहुत आसान हो जाता है।

आइए इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

यहां मुख्य बात यह है कि इस भ्रम में न पड़ें कि हमने कौन सी संख्या कहां से घटाई है। समाधान की प्रगति को ध्यान से देखें और संकेतों को गलती से भ्रमित न करें। हमने पहली संख्या को दूसरी संख्या से घटा दिया और नकारात्मक उत्तर मिला, तो?.. यह सही है, पहली संख्या दूसरी से बड़ी है।

समझ गया? भिन्नों की तुलना करने का प्रयास करें:

बंद करो बंद करो। एक सामान्य हर लाने या घटाने में जल्दबाजी न करें। देखिए: आप इसे आसानी से दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं। कितनी देर हो जाएगी? सही। आखिर में और क्या है?

यह एक अन्य विकल्प है - भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करके तुलना करना।

विकल्प 4: भाग का उपयोग करके भिन्नों की तुलना करना।

हां हां। और ये संभव भी है. तर्क सरल है: जब हम किसी बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें जो उत्तर मिलता है वह एक से बड़ी संख्या होती है, और यदि हम छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, तो उत्तर से के अंतराल पर आता है।

इस नियम को याद रखने के लिए किन्हीं दो की तुलना करें प्रमुख संख्या, उदाहरण के लिए, और। तुम्हें पता है और क्या है? अब विभाजित करते हैं. हमारा उत्तर है. तदनुसार, सिद्धांत सही है. यदि हम विभाजित करते हैं, तो हमें जो मिलता है वह एक से कम होता है, जो बदले में पुष्टि करता है कि यह वास्तव में कम है।

आइए इस नियम को लागू करने का प्रयास करें साधारण अंश. आइए तुलना करें:

पहले भिन्न को दूसरे से विभाजित करें:

आइए धीरे-धीरे छोटा करें।

प्राप्त परिणाम कम है, जिसका अर्थ है कि लाभांश भाजक से कम है, अर्थात:

हमने सब कुछ सुलझा लिया है संभावित विकल्पभिन्नों की तुलना करना। आप उन्हें कैसे देखते हैं 5:

• एक सामान्य भाजक में कमी;
• एक सामान्य अंश में कमी;
• दशमलव अंश के रूप में कमी;
• घटाव;
• विभाजन।

प्रशिक्षण के लिए तैयार हैं? भिन्नों की तुलना सर्वोत्तम तरीके से करें:

आइए उत्तरों की तुलना करें:

1. (- दशमलव में बदलें)
2. (एक भिन्न को दूसरे से भाग दें और अंश तथा हर से घटाएँ)
3. (संपूर्ण भाग का चयन करें और समान अंश के सिद्धांत के आधार पर भिन्नों की तुलना करें)
4. (एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करें और अंश तथा हर से घटाएँ)।

2. डिग्रियों की तुलना

अब कल्पना करें कि हमें न केवल संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है, बल्कि उन अभिव्यक्तियों की भी तुलना करनी है जहां डिग्री () है।

बेशक, आप आसानी से एक संकेत लगा सकते हैं:

आख़िरकार, यदि हम घात को गुणन से प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता है:

इस छोटे और आदिम उदाहरण से नियम इस प्रकार है:

अब निम्नलिखित की तुलना करने का प्रयास करें: . आप आसानी से एक चिन्ह भी लगा सकते हैं:

क्योंकि यदि हम घातांक को गुणन से बदल दें...

सामान्य तौर पर, आप सब कुछ समझते हैं, और यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

कठिनाइयाँ तभी उत्पन्न होती हैं, जब तुलना करते समय डिग्रियों के आधार और संकेतक अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, आम सहमति बनाने का प्रयास करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:

बेशक, आप जानते हैं कि यह, तदनुसार, अभिव्यक्ति का रूप लेता है:

आइए कोष्ठक खोलें और तुलना करें कि हमें क्या मिलता है:

कुछ हद तक विशेष मामला तब होता है जब डिग्री का आधार () एक से कम होता है।

यदि, तो दो डिग्री का और अधिक वाला वह है जिसका सूचकांक कम है।

आइए इस नियम को सिद्ध करने का प्रयास करें। रहने दो।

आइए कुछ का परिचय दें प्राकृतिक संख्या, और के बीच अंतर की तरह।

तार्किक, है ना?

और अब आइए एक बार फिर हालत पर ध्यान दें- .

क्रमश: । इस तरह, ।

उदाहरण के लिए:

जैसा कि आप समझते हैं, हमने उस स्थिति पर विचार किया जब शक्तियों के आधार समान हों। अब देखते हैं कि आधार कब से के अंतराल में है, लेकिन घातांक बराबर हैं। यहां सब कुछ बहुत सरल है.

आइए याद रखें कि एक उदाहरण का उपयोग करके इसकी तुलना कैसे करें:

बेशक, आपने गणित जल्दी कर लिया:

इसलिए, जब आप तुलना के लिए समान समस्याओं का सामना करते हैं, तो कुछ सरल समान उदाहरणों को ध्यान में रखें, जिनकी आप तुरंत गणना कर सकते हैं, और इस उदाहरण के आधार पर, संकेतों को अधिक जटिल तरीके से लिखें।

परिवर्तन करते समय, याद रखें कि यदि आप गुणा, जोड़, घटाव या भाग करते हैं, तो सभी क्रियाएँ बाएँ और दाएँ दोनों से की जानी चाहिए दाहिनी ओर(यदि आप गुणा करते हैं, तो आपको दोनों को गुणा करना होगा)।

इसके अलावा, ऐसे मामले भी होते हैं जब कोई भी हेरफेर करना लाभहीन होता है। उदाहरण के लिए, आपको तुलना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, किसी शक्ति को बढ़ाना और इसके आधार पर चिन्ह को व्यवस्थित करना इतना कठिन नहीं है:

का अभ्यास करते हैं। डिग्री की तुलना करें:

उत्तरों की तुलना करने के लिए तैयार हैं? यहाँ मुझे क्या मिला:

1. - बराबर
2. - बराबर
3. - बराबर
4. - बराबर

3. संख्याओं की जड़ों से तुलना करना

सबसे पहले, आइए याद करें कि जड़ें क्या हैं? क्या आपको यह रिकॉर्डिंग याद है?

किसी वास्तविक संख्या की घात का मूल वह संख्या है जिसके लिए समानता होती है।

जड़ोंनहीं सम डिग्रीऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है, और यहां तक ​​कि जड़ें भी- केवल सकारात्मक लोगों के लिए.

मूल मान अक्सर अनंत दशमलव होता है, जिससे इसे कठिन बना दिया जाता है सटीक गणना, इसलिए जड़ों की तुलना करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

अगर आप भूल गए हैं कि यह क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - . यदि आपको सब कुछ याद है, तो आइए चरण दर चरण जड़ों की तुलना करना सीखें।

मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है:

इन दोनों जड़ों की तुलना करने के लिए, आपको कोई गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बस "रूट" की अवधारणा का विश्लेषण करें। क्या आप समझ रहे हैं कि मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? हां, इसके बारे में: अन्यथा इसे मूल अभिव्यक्ति के बराबर किसी संख्या की तीसरी शक्ति के रूप में लिखा जा सकता है।

इससे ज्यादा और क्या? या? निःसंदेह, आप इसकी तुलना बिना किसी कठिनाई के कर सकते हैं। हम जितनी बड़ी संख्या को घात तक बढ़ाएंगे, मूल्य उतना ही अधिक होगा।

इसलिए। आइए एक नियम निकालें.

यदि जड़ों के घातांक समान हैं (हमारे मामले में यह है), तो मूल अभिव्यक्तियों की तुलना करना आवश्यक है (और) - मूल संख्या जितनी बड़ी होगी, अधिक मूल्यजड़ें समान दर पर.

याद रखना मुश्किल है? तो बस एक उदाहरण अपने दिमाग में रखें और... की अधिक?

मूल के घातांक समान हैं, क्योंकि मूल वर्गाकार है। एक संख्या () की मूल अभिव्यक्ति दूसरे () से बड़ी है, जिसका अर्थ है कि नियम वास्तव में सत्य है।

क्या होगा यदि मूल अभिव्यक्तियाँ समान हैं, लेकिन मूलों की डिग्री अलग-अलग हैं? उदाहरण के लिए: ।

यह भी बिल्कुल स्पष्ट है कि बड़ी डिग्री का मूल निकालने पर छोटी संख्या प्राप्त होगी। आइए उदाहरण के लिए लें:

आइए हम पहले मूल का मान इस रूप में और दूसरे का मान इस रूप में निरूपित करें, फिर:

आप आसानी से देख सकते हैं कि इन समीकरणों में और भी कुछ होना चाहिए, इसलिए:

यदि मूल भाव समान हैं(हमारे मामले में), और जड़ों के घातांक अलग-अलग हैं(हमारे मामले में यह है और), तो घातांकों की तुलना करना आवश्यक है(और) - सूचक जितना अधिक होगा, यह अभिव्यक्ति उतनी ही छोटी होगी.

निम्नलिखित जड़ों की तुलना करने का प्रयास करें:

आइए परिणामों की तुलना करें?

हमने इसे सफलतापूर्वक सुलझा लिया :)। एक और सवाल उठता है: क्या होगा अगर हम सभी अलग-अलग हों? डिग्री और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति दोनों? सब कुछ इतना जटिल नहीं है, हमें बस... जड़ से "छुटकारा पाने" की जरूरत है। हां हां। बस इससे छुटकारा पाएं)

यदि हमारे पास अलग-अलग डिग्री और कट्टरपंथी अभिव्यक्तियां हैं, तो हमें जड़ों के घातांक के लिए सबसे कम सामान्य गुणक (इसके बारे में अनुभाग पढ़ें) खोजने की जरूरत है और दोनों अभिव्यक्तियों को कम से कम सामान्य एकाधिक के बराबर घात तक बढ़ाना होगा।

कि हम सब शब्दों और शब्दों में हैं। यहाँ एक उदाहरण है:

1. हम जड़ों के संकेतकों को देखते हैं - और। उनका लघुत्तम समापवर्त्य है।
2. आइए दोनों अभिव्यक्तियों को एक घात तक बढ़ाएं:
3. आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और कोष्ठक खोलें (अध्याय में अधिक विवरण):
4. आइए गिनें कि हमने क्या किया है और एक चिन्ह लगाएं:

4. लघुगणक की तुलना

तो, धीरे-धीरे लेकिन निश्चित रूप से, हम इस सवाल पर पहुंचे कि लघुगणक की तुलना कैसे करें। यदि आपको याद नहीं है कि यह किस प्रकार का जानवर है, तो मैं आपको पहले अनुभाग से सिद्धांत पढ़ने की सलाह देता हूं। क्या आपने इसे पढ़ा है? फिर कुछ महत्वपूर्ण प्रश्नों के उत्तर दें:

1. लघुगणक का तर्क क्या है और इसका आधार क्या है?
2. यह क्या निर्धारित करता है कि कोई फ़ंक्शन बढ़ता है या घटता है?

यदि आपको सब कुछ याद है और आपने इसमें पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो चलिए शुरू करते हैं!

लघुगणक की एक दूसरे से तुलना करने के लिए, आपको केवल 3 तकनीकों को जानना होगा:

• उसी आधार पर कमी;
• उसी तर्क में कमी;
• तीसरे नंबर से तुलना.

प्रारंभ में लघुगणक के आधार पर ध्यान दें। क्या आपको याद है कि यदि यह कम हो तो कार्य कम हो जाता है और यदि अधिक हो तो कार्य बढ़ जाता है। इसी पर हमारे निर्णय आधारित होंगे।

आइए लघुगणक की तुलना पर विचार करें जिन्हें पहले ही उसी आधार या तर्क पर घटा दिया गया है।

आरंभ करने के लिए, आइए समस्या को सरल बनाएं: तुलना किए गए लघुगणक को शामिल करें समान आधार. तब:

1. फ़ंक्शन, के लिए, से अंतराल पर बढ़ता है, जिसका अर्थ है, परिभाषा के अनुसार, फिर ("प्रत्यक्ष तुलना")।
2. उदाहरण:- आधार समान हैं, हम तदनुसार तर्कों की तुलना करते हैं: इसलिए:
3. फ़ंक्शन, पर, से अंतराल पर घटता है, जिसका अर्थ है, परिभाषा के अनुसार, फिर ("रिवर्स तुलना")। - आधार समान हैं, हम तदनुसार तर्कों की तुलना करते हैं: हालाँकि, लघुगणक का चिह्न "रिवर्स" होगा, क्योंकि फ़ंक्शन घट रहा है:।

अब उन मामलों पर विचार करें जहां कारण अलग-अलग हैं, लेकिन तर्क समान हैं।

1. आधार बड़ा है.
   • . इस मामले में हम "रिवर्स तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:- तर्क समान हैं, और। आइए आधारों की तुलना करें: हालाँकि, लघुगणक का चिह्न "उलटा" होगा:
2. आधार a अंतराल में है।
   • . इस मामले में हम "प्रत्यक्ष तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:
   • . इस मामले में हम "रिवर्स तुलना" का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:

आइए सब कुछ सामान्य सारणीबद्ध रूप में लिखें:

तदनुसार, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, लघुगणक की तुलना करते समय, हमें एक ही आधार या तर्क पर ले जाना होगा। हम एक आधार से दूसरे पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करके एक ही आधार पर पहुंचते हैं।

आप लघुगणक की तुलना तीसरी संख्या से भी कर सकते हैं और इसके आधार पर यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्या कम है और क्या अधिक है। उदाहरण के लिए, सोचें कि इन दोनों लघुगणक की तुलना कैसे करें?

एक छोटा सा संकेत - तुलना के लिए एक लघुगणक आपकी बहुत मदद करेगा, जिसका तर्क बराबर होगा।

सोचा? आइए मिलकर निर्णय लें.

हम आपके साथ इन दोनों लघुगणक की तुलना आसानी से कर सकते हैं:

पता नहीं कैसे? ऊपर देखें। हमने अभी इसे सुलझा लिया है. कौन सा चिन्ह होगा? सही:

सहमत होना?

आइए एक दूसरे से तुलना करें:

आपको निम्नलिखित मिलना चाहिए:

अब हमारे सभी निष्कर्षों को एक में मिला दें। घटित?

5. त्रिकोणमितीय व्यंजकों की तुलना।

साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट क्या है? यूनिट सर्कल किसके लिए है और इस पर मूल्य कैसे ज्ञात करें त्रिकोणमितीय कार्य? यदि आप इन सवालों के जवाब नहीं जानते हैं, तो मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि आप इस विषय पर सिद्धांत पढ़ें। और यदि आप जानते हैं, तो त्रिकोणमितीय व्यंजकों की एक दूसरे से तुलना करना आपके लिए कठिन नहीं है!

आइए अपनी याददाश्त को थोड़ा ताज़ा करें। आइए एक इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त और उसमें अंकित एक त्रिभुज बनाएं। क्या आप संभाल पाओगे? अब त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग करके चिह्नित करें कि हम किस तरफ कोज्या और किस तरफ ज्या खींचते हैं। (बेशक, आपको याद है कि ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है, और कोज्या आसन्न भुजा है?)। क्या आपने इसे चित्रित किया? महान! अंतिम स्पर्श यह लिखना है कि हमारे पास यह कहां होगा, कहां इत्यादि। क्या आपने इसे नीचे रख दिया? ओफ़्फ़) आइए तुलना करें कि आपके और मेरे साथ क्या हुआ।

ओह! अब तुलना शुरू करते हैं!

मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है और। इकाई वृत्त पर बिंदु रखकर बक्सों में दिए संकेतों का उपयोग करके (जहां हमने कहां चिह्नित किया है) इन कोणों को बनाएं। क्या आप संभाल पाओगे? मुझे यही मिला।

आइए अब वृत्त पर हमारे द्वारा चिह्नित बिंदुओं से अक्ष पर एक लंब गिराएं... कौन सा? कौन सा अक्ष ज्या का मान दर्शाता है? सही, । आपको यही मिलना चाहिए:

इस चित्र को देखकर, कौन बड़ा है: या? बेशक, क्योंकि बिंदु बिंदु से ऊपर है।

इसी प्रकार, हम कोज्या के मान की तुलना करते हैं। हम केवल अक्ष पर लंब को नीचे करते हैं... यह सही है, . तदनुसार, हम देखते हैं कि कौन सा बिंदु दाईं ओर है (या उच्चतर, जैसा कि साइन के मामले में होता है), तो मान अधिक होता है।

आप शायद पहले से ही जानते हैं कि स्पर्शरेखाओं की तुलना कैसे की जाती है, है ना? आपको बस इतना जानना है कि स्पर्शरेखा क्या है। तो स्पर्श रेखा क्या है?) यह सही है, ज्या से कोज्या का अनुपात।

स्पर्शरेखाओं की तुलना करने के लिए, हम पिछले मामले की तरह ही एक कोण बनाते हैं। मान लीजिए कि हमें तुलना करने की आवश्यकता है:

क्या आपने इसे चित्रित किया? अब हम निर्देशांक अक्ष पर ज्या मान भी अंकित करते हैं। क्या तुमने ध्यान दिया? अब निर्देशांक रेखा पर कोज्या का मान अंकित करें। घटित? आइए तुलना करें:

अब आपने जो लिखा उसका विश्लेषण करें। - हम एक बड़े खंड को एक छोटे खंड में विभाजित करते हैं। उत्तर में एक मान होगा जो निश्चित रूप से एक से अधिक होगा। सही?

और जब हम छोटे को बड़े से विभाजित करते हैं। उत्तर एक ऐसी संख्या होगी जो बिल्कुल एक से कम है।

तो किस त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति का मूल्य अधिक है?

सही:

जैसा कि आप अब समझते हैं, कोटैंजेंट की तुलना करना एक ही बात है, केवल विपरीत में: हम देखते हैं कि कोसाइन और साइन को परिभाषित करने वाले खंड एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय व्यंजकों की स्वयं तुलना करने का प्रयास करें:

उदाहरण।

उत्तर.

संख्याओं की तुलना. औसत स्तर।

कौन सी संख्या बड़ी है: या? उत्तर स्पष्ट है. और अब: या? अब इतना स्पष्ट नहीं है, है ना? तो: या?

अक्सर आपको यह जानने की आवश्यकता होती है कि कौन सा संख्यात्मक अभिव्यक्ति बड़ा है। उदाहरण के लिए, किसी असमानता को हल करते समय बिंदुओं को अक्ष पर सही क्रम में रखने के लिए।

अब मैं तुम्हें ऐसी संख्याओं की तुलना करना सिखाऊंगा।

यदि आपको संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है और, हम उनके बीच एक चिन्ह लगाते हैं (से आता है)। लैटिन शब्दबनाम या संक्षिप्त बनाम. - ख़िलाफ़): । यह चिन्ह अज्ञात असमानता चिन्ह () का स्थान लेता है। इसके बाद, हम समान परिवर्तन करेंगे जब तक कि यह स्पष्ट न हो जाए कि संख्याओं के बीच कौन सा चिह्न लगाने की आवश्यकता है।

संख्याओं की तुलना करने का सार यह है: हम संकेत को ऐसे मानते हैं जैसे कि यह किसी प्रकार की असमानता का संकेत हो। और इस अभिव्यक्ति के साथ हम वह सब कुछ कर सकते हैं जो हम आमतौर पर असमानताओं के साथ करते हैं:

• दोनों पक्षों में कोई भी संख्या जोड़ें (और, निश्चित रूप से, हम घटा भी सकते हैं)
• "हर चीज़ को एक तरफ ले जाएँ", यानी, दोनों हिस्सों से तुलना किए गए भावों में से एक को घटाएँ। घटाए गए व्यंजक के स्थान पर रहेगा: .
• एक ही संख्या से गुणा या भाग करना। यदि यह संख्या ऋणात्मक है, तो असमानता चिह्न उलट दिया जाता है:।
• दोनों पक्षों को समान शक्ति तक उठाएँ। यदि यह डिग्री सम है, तो आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों पक्षों के पास है वही संकेत; यदि दोनों भाग सकारात्मक हैं, तो घात तक बढ़ाए जाने पर संकेत नहीं बदलता है, लेकिन यदि वे नकारात्मक हैं, तो यह विपरीत में बदल जाता है।
• दोनों भागों से समान डिग्री की जड़ निकालें। यदि हम एक सम डिग्री का मूल निकाल रहे हैं, तो हमें पहले यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों अभिव्यक्तियाँ गैर-नकारात्मक हैं।
• कोई अन्य समकक्ष परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: ऐसे परिवर्तन करने की सलाह दी जाती है ताकि असमानता का चिह्न न बदले! अर्थात्, परिवर्तनों के दौरान, किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करना अवांछनीय है, और यदि कोई एक भाग ऋणात्मक है तो आप उसका वर्ग नहीं कर सकते।

आइए कुछ विशिष्ट स्थितियों पर नजर डालें।

1. घातांक।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

चूँकि असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक हैं, हम मूल से छुटकारा पाने के लिए इसका वर्ग कर सकते हैं:

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

यहां हम इसे स्क्वायर भी कर सकते हैं, लेकिन इससे हमें छुटकारा पाने में ही मदद मिलेगी वर्गमूल. यहां इसे इस हद तक बढ़ाना जरूरी है कि दोनों जड़ें गायब हो जाएं। इसका मतलब यह है कि इस डिग्री का घातांक दोनों (पहली जड़ की डिग्री) और से विभाज्य होना चाहिए। इसलिए, इस संख्या को वें घात तक बढ़ा दिया गया है:

2. इसके संयुग्म द्वारा गुणन।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

आइए प्रत्येक अंतर को संयुग्म योग से गुणा और विभाजित करें:

जाहिर है, दाहिनी ओर का हर बायीं ओर के हर से बड़ा है। इसलिए, दायां अंश बाएं अंश से छोटा है:

3. घटाव

आइए इसे याद रखें.

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

निःसंदेह, हम हर चीज़ को वर्गाकार कर सकते हैं, पुनः समूहित कर सकते हैं, और इसे फिर से वर्गाकार कर सकते हैं। लेकिन आप कुछ बेहतर कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद दाईं ओर के प्रत्येक पद से छोटा है।

तदनुसार, बायीं ओर के सभी पदों का योग दाहिनी ओर के सभी पदों के योग से कम है।

लेकिन सावधान रहना! हमसे पूछा गया कि और क्या...

दाहिना भाग बड़ा है.

उदाहरण।

संख्याओं की तुलना करें और...

समाधान।

आइए त्रिकोणमिति सूत्र याद रखें:

आइए देखें कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर कौन से क्वार्टर में बिंदु हैं और झूठ बोलते हैं।

4. प्रभाग.

यहां हम एक सरल नियम का भी उपयोग करते हैं: .

पर या, वह है।

जब चिन्ह बदलता है: .

उदाहरण।

तुलना करना: ।

समाधान।

5. संख्याओं की तुलना तीसरी संख्या से करें

यदि और, तो (परिवर्तनशीलता का नियम)।

उदाहरण।

तुलना करना।

समाधान।

आइए संख्याओं की तुलना एक दूसरे से नहीं, बल्कि संख्या से करें।

यह तो स्पष्ट है.

दूसरी ओर, ।

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

दोनों संख्याएँ बड़ी हैं, लेकिन छोटी हैं। आइए एक ऐसी संख्या चुनें जो एक से बड़ी हो, लेकिन दूसरे से छोटी हो। उदाहरण के लिए, । की जाँच करें:

6. लघुगणक का क्या करें?

कुछ भी खास नहीं। लघुगणक से कैसे छुटकारा पाया जाए, इसका विषय में विस्तार से वर्णन किया गया है। बुनियादी नियम हैं:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \वेज (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \वेज y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

हम लघुगणक के बारे में एक नियम भी जोड़ सकते हैं भिन्न कारणों सेऔर वही तर्क:

इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है: आधार जितना बड़ा होगा, समान चीज़ प्राप्त करने के लिए उसे उतनी ही कम डिग्री बढ़ानी होगी। यदि आधार छोटा है, तो विपरीत सत्य है, क्योंकि संबंधित फ़ंक्शन नीरस रूप से घट रहा है।

उदाहरण।

संख्याओं की तुलना करें: और।

समाधान।

उपरोक्त नियमों के अनुसार:

और अब उन्नत के लिए सूत्र.

लघुगणक की तुलना करने का नियम अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण।

कौन सा अधिक है: या?

समाधान।

उदाहरण।

तुलना करें कि कौन सी संख्या अधिक है: .

समाधान।

संख्याओं की तुलना. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. घातांक

यदि असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक हैं, तो मूल से छुटकारा पाने के लिए उन्हें वर्गित किया जा सकता है

2. इसके संयुग्म द्वारा गुणन

संयुग्म एक ऐसा कारक है जो वर्ग सूत्र के अंतर की अभिव्यक्ति को पूरक करता है: - के लिए संयुग्म और इसके विपरीत, क्योंकि .

3. घटाव

4. प्रभाग

कब या वह है

जब चिन्ह बदलता है:

5. तीसरे नंबर से तुलना

यदि और तब

6. लघुगणक की तुलना

बुनियादी नियम।

संख्याओं की तुलना करना गणित पाठ्यक्रम में सबसे आसान और सबसे मनोरंजक विषयों में से एक है। हालाँकि, यह कहा जाना चाहिए कि यह इतना सरल नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लोगों को एकल या दोहरे अंक वाली सकारात्मक संख्याओं की तुलना करने में कठिनाई होती है।

लेकिन संख्या से बड़ी राशिसंकेत पहले से ही समस्याएं पैदा कर रहे हैं, अक्सर लोग नकारात्मक संख्याओं की तुलना करते समय भ्रमित हो जाते हैं और उन्हें याद नहीं रहता कि दो संख्याओं की तुलना कैसे करें विभिन्न संकेत. हम इन सभी सवालों का जवाब देने की कोशिश करेंगे।

धनात्मक संख्याओं की तुलना करने के नियम

आइए सबसे सरल से शुरू करें - उन संख्याओं से जिनके सामने कोई चिह्न नहीं है, यानी सकारात्मक संख्याओं के साथ।

• सबसे पहले, यह याद रखने योग्य है कि परिभाषा के अनुसार सभी सकारात्मक संख्याएँ शून्य से बड़ी होती हैं, भले ही हम पूर्णांक के बिना भिन्नात्मक संख्या के बारे में बात कर रहे हों। उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 0.2 शून्य से बड़ा होगा, क्योंकि समन्वय रेखा पर संबंधित बिंदु अभी भी शून्य से दो छोटे विभाजन दूर है।
• यदि हम बड़ी संख्या में संकेतों के साथ दो सकारात्मक संख्याओं की तुलना करने के बारे में बात कर रहे हैं, तो आपको प्रत्येक अंक की तुलना करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, 32 और 33। इन संख्याओं के लिए दहाई का स्थान समान है, लेकिन संख्या 33 बड़ी है, क्योंकि इकाई के स्थान पर "2" की तुलना में "3" अधिक हैं।
• दो की तुलना कैसे करें दशमलव? यहां आपको सबसे पहले पूरे भाग को देखना होगा - उदाहरण के लिए, अंश 3.5, 4.6 से कम होगा। क्या होगा यदि पूरा भाग एक ही है, लेकिन दशमलव स्थान अलग-अलग हैं? इस मामले में, पूर्णांकों के लिए नियम लागू होता है - आपको अंकों द्वारा संकेतों की तुलना करने की आवश्यकता होती है जब तक कि बड़े और छोटे दसवें, सौवें, हजारवें की खोज न हो जाए। उदाहरण के लिए - 4.86, 4.75 से बड़ा है, क्योंकि आठ दसवां हिस्सा सात से बड़ा है।

ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करना

यदि किसी समस्या में हमारे पास कुछ संख्याएँ -a और -c हैं, और हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी बड़ी है, तो हम इसका उपयोग करते हैं सार्वभौमिक नियम. सबसे पहले, इन नंबरों के मॉड्यूल लिखे गए हैं - |ए| और |एस| - और एक दूसरे से तुलना करें। वह संख्या जिसका मापांक बड़ा है, ऋणात्मक संख्याओं की तुलना में छोटी होगी, और इसके विपरीत - बड़ी संख्या वह होगी जिसका मापांक छोटा होगा।

यदि आपको ऋणात्मक और धनात्मक संख्या की तुलना करने की आवश्यकता हो तो क्या करें?

यहां केवल एक ही नियम काम करता है, और वह प्राथमिक है। धनात्मक संख्याएँ हमेशा ऋण चिह्न वाली संख्याओं से बड़ी होती हैं - चाहे वे कोई भी हों। उदाहरण के लिए, संख्या "1" हमेशा संख्या "-1458" से बड़ी होगी क्योंकि एक निर्देशांक रेखा पर शून्य के दाईं ओर है।

आपको यह भी याद रखना होगा कि कोई भी ऋणात्मक संख्या हमेशा शून्य से कम होती है।

§ 1 सकारात्मक संख्याओं की तुलना

इस पाठ में, हम समीक्षा करेंगे कि सकारात्मक संख्याओं की तुलना कैसे करें और नकारात्मक संख्याओं की तुलना कैसे करें।

चलिए कार्य शुरू करते हैं। दिन के दौरान हवा का तापमान +7 डिग्री था, शाम को यह गिरकर +2 डिग्री हो गया, रात में यह -2 डिग्री हो गया और सुबह में यह और भी गिरकर -7 डिग्री हो गया। हवा का तापमान कैसे बदला?

समस्या कमी के बारे में है, अर्थात्। घटते तापमान के बारे में. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मामले में अंतिम तापमान मान प्रारंभिक से कम है, इसलिए 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

आइए निर्देशांक रेखा पर संख्याओं 7, 2, -2, -7 को निरूपित करें। याद रखें कि निर्देशांक रेखा पर, बड़ी धनात्मक संख्या दाईं ओर स्थित होती है।

आइए ऋणात्मक संख्याओं को देखें, संख्या -2, -7 से दाईं ओर अधिक है, अर्थात। निर्देशांक रेखा पर ऋणात्मक संख्याओं के लिए, वही क्रम बनाए रखा जाता है: जब कोई बिंदु दाईं ओर जाता है, तो उसका निर्देशांक बढ़ता है, और जब कोई बिंदु बाईं ओर जाता है, तो उसका निर्देशांक घट जाता है।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से बड़ी और किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है। 1 > 0; 12 > -2.5. कोई भी ऋणात्मक संख्या शून्य से कम और किसी भी धनात्मक संख्या से कम होती है। -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

मापांक का उपयोग करके परिमेय संख्याओं (अर्थात, सभी पूर्णांकों और भिन्नों) की तुलना करना सुविधाजनक है।

धनात्मक संख्याएँ निर्देशांक रेखा पर मूल से आरोही क्रम में स्थित होती हैं, जिसका अर्थ है कि संख्या मूल से जितनी दूर होगी, शून्य से संख्या तक खंड की लंबाई उतनी ही अधिक होगी, अर्थात। इसका मॉड्यूल. इसलिए, दो धनात्मक संख्याओं में से जिसका परिमाण अधिक है वह बड़ा है।

§ 2 ऋणात्मक संख्याओं की तुलना

दो नकारात्मक संख्याओं की तुलना करते समय, बड़ी संख्या दाईं ओर स्थित होगी, यानी मूल के करीब। इसका मतलब है कि इसका मापांक (शून्य से एक संख्या तक खंड की लंबाई) छोटा होगा। इस प्रकार, दो ऋणात्मक संख्याओं में, छोटे मापांक वाली संख्या बड़ी होती है।

उदाहरण के लिए। आइए संख्याओं -1 और -5 की तुलना करें। संख्या -1 से संबंधित बिंदु संख्या -5 से संबंधित बिंदु की तुलना में मूल बिंदु के अधिक निकट स्थित है। इसका मतलब यह है कि 0 से -1 तक के खंड की लंबाई या संख्या -1 का मापांक 0 से -5 तक के खंड की लंबाई या संख्या -5 के मापांक से कम है, जिसका अर्थ है कि संख्या -1 संख्या -5 से बड़ी है.

हम निष्कर्ष निकालते हैं:

तुलना करते समय भिन्नात्मक संख्याएंपर ध्यान दें:

संकेत: एक ऋणात्मक संख्या हमेशा एक धनात्मक संख्या और शून्य से कम होती है;

समन्वय रेखा पर स्थान पर: दाईं ओर जितना आगे, उतना अधिक;

मापांक के लिए: धनात्मक संख्याओं का मापांक बड़ा और संख्या बड़ी होती है, ऋणात्मक संख्याओं का मापांक बड़ा और संख्या छोटी होती है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित। छठी कक्षा: आई.आई. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच //लेखक-संकलक एल.ए. टोपिलिना। निमोसिने 2009
2. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों. आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच। - एम.: मेनेमोसिन, 2013।
3. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। /एन.या. विलेनकिन, वी.आई. ज़ोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्टज़बर्ड। - एम.: मेनेमोसिन, 2013।
4. गणित की पुस्तिका - http://lyudmilanik.com.ua
5. के लिए विद्यार्थी मार्गदर्शिका हाई स्कूल http://shkolo.ru