पावर फ़ंक्शन के मूल गुण दिए गए हैं, जिनमें जड़ों के सूत्र और गुण शामिल हैं। व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार में बिजली की श्रृंखलाऔर किसी शक्ति फलन की जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

परिभाषा
ऊर्जा समीकरणप्रतिपादक पी के साथफ़ंक्शन f है (एक्स) = एक्स पी, जिसका बिंदु x पर मान बिंदु p पर आधार x के साथ घातीय फलन के मान के बराबर है।
इसके अलावा, एफ (0) = 0 पी = 0पी > के लिए 0 .

घातांक के प्राकृतिक मानों के लिए, घात फलन x के बराबर n संख्याओं का गुणनफल है:
.
इसे सभी वैध के लिए परिभाषित किया गया है।

घातांक के सकारात्मक तर्कसंगत मूल्यों के लिए, पावर फ़ंक्शन संख्या x की डिग्री m की n जड़ों का उत्पाद है:
.
विषम m के लिए, इसे सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित किया गया है। सम m के लिए, पावर फ़ंक्शन को गैर-नकारात्मक लोगों के लिए परिभाषित किया गया है।

नकारात्मक के लिए, पावर फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
इसलिए, इसे बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

घातांक पी के अपरिमेय मूल्यों के लिए, शक्ति फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
जहां a एक मनमाना धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है: .
कब, इसके लिए परिभाषित किया गया है।
जब, पावर फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है।

निरंतरता. एक शक्ति फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर रहता है।

x ≥ 0 के लिए घात फलन के गुण और सूत्र

यहां हम पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करेंगे नकारात्मक मानतर्क एक्स. जैसा कि ऊपर बताया गया है, घातांक पी के कुछ मानों के लिए, पावर फ़ंक्शन को एक्स के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इसके गुणों को सम या विषम का उपयोग करके, के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इन मामलों पर पृष्ठ "" पर विस्तार से चर्चा और चित्रण किया गया है।

एक घात फलन, y = x p, घातांक p के साथ निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) सेट पर परिभाषित और निरंतर
पर ,
पर ;
(1.2) के कई अर्थ हैं
पर ,
पर ;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है,
के रूप में सख्ती से घटता है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

गुणों का प्रमाण "पावर फ़ंक्शन (निरंतरता और गुणों का प्रमाण)" पृष्ठ पर दिया गया है

जड़ें - परिभाषा, सूत्र, गुण

परिभाषा
किसी संख्या x की डिग्री n का मूलवह संख्या है जिसे घात n तक बढ़ाने पर x प्राप्त होता है:
.
यहाँ n= 2, 3, 4, ... - एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या।

आप यह भी कह सकते हैं कि घात n वाली संख्या x का मूल समीकरण का मूल (अर्थात् समाधान) है
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है।

x का वर्गमूलडिग्री 2 का मूल है: .

x का घनमूलडिग्री 3 का मूल है: .

यहां तक ​​कि डिग्री भी

सम घातों के लिए n = 2 मी, मूल को x ≥ के लिए परिभाषित किया गया है 0 . अक्सर उपयोग किया जाने वाला सूत्र सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों के लिए मान्य है:
.
वर्गमूल के लिए:
.

जिस क्रम में संचालन किया जाता है वह यहां महत्वपूर्ण है - यानी, स्क्वेरिंग पहले किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप नहीं होता है एक ऋणात्मक संख्या, और फिर उससे मूल निकाला जाता है (आप किसी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ले सकते हैं)। यदि हमने क्रम बदल दिया:, तो ऋणात्मक x के लिए मूल अपरिभाषित होगा, और इसके साथ संपूर्ण अभिव्यक्ति अपरिभाषित होगी।

अजीब डिग्री

विषम शक्तियों के लिए, मूल को सभी x के लिए परिभाषित किया गया है:
;
.

जड़ों के गुण एवं सूत्र

x का मूल एक घात फलन है:
.
जब x ≥ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
;
;
, ;
.

ये सूत्र चरों के ऋणात्मक मानों के लिए भी लागू किये जा सकते हैं। आपको बस यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि सम शक्तियों की मौलिक अभिव्यक्ति नकारात्मक न हो।

निजी मूल्य

0 का मूल 0: है।
मूल 1, 1 के बराबर है:।
0 का वर्गमूल 0: है।
1 का वर्गमूल 1: है।

उदाहरण। जड़ की जड़

आइए जड़ों के वर्गमूल का एक उदाहरण देखें:
.
आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आंतरिक वर्गमूल को रूपांतरित करें:
.
आइए अब मूल रूट को रूपांतरित करें:
.
इसलिए,
.

घातांक p के विभिन्न मानों के लिए y = x p।

यहां तर्क x के गैर-नकारात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं। x के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ "पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" पृष्ठ पर दिए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक p के साथ एक घात फलन का व्युत्क्रम घातांक 1/p के साथ एक घात फलन है।

तो अगर।

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

nवें क्रम का व्युत्पन्न:
;

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

पी ≠ - 1 ;
.

शक्ति शृंखला विस्तार

पर - 1 < x < 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
एफ (जेड) = जेड टी.
आइए हम जटिल चर z को मापांक r और तर्क φ (r = |z|) के संदर्भ में व्यक्त करें:
z = r e i φ .
हम सम्मिश्र संख्या t को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में निरूपित करते हैं:
टी = पी + आई क्यू .
हमारे पास है:

इसके बाद, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है:
,

आइए उस मामले पर विचार करें जब q = 0 , अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या है, t = p. तब
.

यदि p एक पूर्णांक है, तो kp एक पूर्णांक है। फिर, त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता के कारण:
.
अर्थात्, किसी दिए गए z के लिए पूर्णांक घातांक वाले घातांकीय फ़ंक्शन का केवल एक ही मान होता है और इसलिए यह स्पष्ट है।

यदि p अपरिमेय है, तो किसी भी k के लिए गुणनफल kp पूर्णांक उत्पन्न नहीं करता है। चूँकि k मानों की एक अनंत श्रृंखला से होकर गुजरता है के = 0, 1, 2, 3, ..., तो फलन z p में अपरिमित रूप से अनेक मान हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं।

यदि p परिमेय है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
, कहाँ एम, एन- पूर्णांक जिनमें उभयनिष्ठ भाजक नहीं होते। तब
.
पहले n मान, k = k के साथ 0 = 0, 1, 2, ...एन-1, दिया गया विभिन्न अर्थकेपी:
.
हालाँकि, बाद के मान ऐसे मान देते हैं जो पिछले वाले से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, जब k = k 0+एनहमारे पास है:
.
त्रिकोणमितीय कार्य, जिनके तर्क उन मानों से भिन्न होते हैं जो गुणज होते हैं 2π, समान मूल्य हैं। इसलिए, k में और वृद्धि के साथ, हमें z p का वही मान प्राप्त होता है जो k = k के लिए होता है 0 = 0, 1, 2, ...एन-1.

इस प्रकार, एक तर्कसंगत घातांक वाला एक घातांकीय फलन बहुमूल्यांकित होता है और इसमें n मान (शाखाएँ) होते हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं। ऐसी क्रांतियों के बाद हम पहली शाखा पर लौटते हैं जहाँ से उलटी गिनती शुरू हुई थी।

विशेष रूप से, डिग्री n के मूल में n मान होते हैं। उदाहरण के तौर पर, एक वास्तविक धनात्मक संख्या z = x के nवें मूल पर विचार करें। इस मामले में φ 0 = 0 , z = r = |z| = एक्स, .
.
तो, एक वर्गमूल के लिए, n = 2 ,
.
सम k के लिए, (- 1 ) के = 1. विषम k के लिए, (- 1 ) के = - 1.
अर्थात वर्गमूल के दो अर्थ होते हैं: + और -।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

प्रथम स्तर

जड़ और उसके गुण. विस्तृत सिद्धांतउदाहरण सहित (2019)

आइए यह जानने का प्रयास करें कि "जड़" की यह अवधारणा क्या है और "इसके साथ क्या खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, आइए उन उदाहरणों को देखें जिनका सामना आप कक्षा में पहले ही कर चुके हैं (ठीक है, या आप बस इसका सामना करने वाले हैं)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है। इस समीकरण का हल क्या है? किन संख्याओं का वर्ग करके प्राप्त किया जा सकता है? गुणन सारणी को याद करके आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (आखिरकार, जब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरल बनाने के लिए गणितज्ञों ने परिचय दिया विशेष अवधारणावर्गमूल और उसे सौंपा विशेष वर्ण.

आइए हम अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या को गैर-ऋणात्मक क्यों होना चाहिए? उदाहरण के लिए, यह किसके बराबर है? अच्छा, ठीक है, आइए एक को चुनने का प्रयास करें। शायद तीन? आइए जांचें: , नहीं। शायद, ? फिर से, हम जाँचते हैं: . अच्छा, यह फिट नहीं है? यह अपेक्षित है - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो!
आपको यह याद रखने की आवश्यकता है: मूल चिन्ह के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए!

हालाँकि, सबसे चौकस लोगों ने शायद पहले ही नोटिस कर लिया है कि परिभाषा कहती है कि "किसी संख्या के वर्गमूल के समाधान को यह कहा जाता है" गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग " के बराबर है। आप में से कुछ लोग कहेंगे कि शुरुआत में ही हमने उदाहरण का विश्लेषण किया, उन संख्याओं का चयन किया जिनका वर्ग किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, लेकिन यहां हम किसी प्रकार की "गैर-नकारात्मक संख्या" के बारे में बात कर रहे हैं! यह टिप्पणी बिल्कुल उचित है. यहां आपको बस द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के समकक्ष नहीं है.

यह इस प्रकार है कि, वह है, या। (विषय पढ़ें "")

और यह उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना आवश्यक है कि चिह्न समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय हमें सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर, देगा सही परिणाम. हमारे में द्विघात समीकरणदोनों के लिए उपयुक्त.

हालांकि, यदि बस वर्गमूल लेंकिसी चीज़ से, तो हमेशा हमें एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है.

अब इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। अब सब कुछ इतना सरल और सहज नहीं है, क्या ऐसा है? संख्याओं पर गौर करने का प्रयास करें, शायद कुछ बात बनेगी? आइए बिल्कुल शुरुआत से शुरू करें - शून्य से: - फिट नहीं है, आगे बढ़ें - तीन से कम, एक तरफ भी स्वीप करें, क्या होगा। आइए जांचें: - उपयुक्त भी नहीं, क्योंकि... यह तीन से अधिक है. नकारात्मक संख्याओं के साथ भी यही कहानी है। तो अब क्या करे? क्या सचमुच खोज से हमें कुछ नहीं मिला? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर और के बीच, साथ ही और के बीच में कुछ संख्या होगी। साथ ही, जाहिर तौर पर समाधान पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं. तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और उस पर समाधान चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को धोखा देने का प्रयास करें और कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें! आइए इसकी जड़ निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है। यह संख्या कभी ख़त्म नहीं होती. आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं होगा!? सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस अनुमानित मूल्य याद रखने (या तुरंत अनुमान लगाने में सक्षम होने) की आवश्यकता है। और उत्तर स्वयं। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है; ऐसी संख्याओं के लेखन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।

आइए इसे सुदृढ़ करने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए निम्नलिखित समस्या को देखें: आपको किमी की भुजा वाले एक वर्गाकार मैदान को विकर्ण रूप से पार करना है, आपको कितने किमी जाना होगा?

यहां सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस प्रकार, । तो यहाँ आवश्यक दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती, हमें यह पता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले देखा, - पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

समस्याओं को उत्पन्न किए बिना उदाहरणों को जड़ों से हल करने के लिए, आपको उन्हें देखने और पहचानने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानना होगा, और उन्हें पहचानने में भी सक्षम होना होगा। उदाहरण के लिए, आपको यह जानना होगा कि वर्ग के बराबर क्या है, और इसके विपरीत, वर्ग के बराबर क्या है।

क्या आपने समझ लिया कि वर्गमूल क्या होता है? फिर कुछ उदाहरण हल करें.

उदाहरण।

अच्छा, यह कैसे हुआ? आइए अब इन उदाहरणों को देखें:

उत्तर:

क्युब जड़

खैर, ऐसा लगता है कि हमने वर्गमूल की अवधारणा का पता लगा लिया है, अब यह जानने का प्रयास करें कि यह क्या है क्युब जड़और उनका अंतर क्या है.

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है जिसका घन बराबर होता है। क्या आपने देखा है कि यहाँ सब कुछ बहुत सरल है? पर कोई प्रतिबंध नहीं है संभावित मानघनमूल चिह्न के अंतर्गत दोनों मान और निकाली जा रही संख्या। अर्थात किसी भी संख्या से घनमूल निकाला जा सकता है: .

क्या आप समझते हैं कि घनमूल क्या है और इसे कैसे निकाला जाता है? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों को हल करें।

उदाहरण।

उत्तर:

जड़ - ओह डिग्री

खैर, हमने वर्ग और घनमूल की अवधारणा को समझ लिया है। आइए अब अवधारणा के साथ प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें पहली जड़.

पहली जड़किसी संख्या की वह संख्या होती है जिसकी वां घात बराबर होती है, अर्थात

समकक्ष।

अगर यहाँ तक कि, वह:

• नकारात्मक के साथ, अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है (ऋणात्मक संख्याओं का समवाँ मूल)। हटाया नहीं जा सकता!);
• गैर-नकारात्मक के लिए() अभिव्यक्ति का एक गैर-नकारात्मक मूल है।

यदि - विषम है, तो अभिव्यक्ति में किसी के लिए एक अद्वितीय जड़ है।

चिंतित न हों, यहां भी वही सिद्धांत लागू होते हैं जो वर्ग और घनमूल के साथ होते हैं। अर्थात्, वे सिद्धांत जिन्हें हमने विचार करते समय लागू किया था वर्गमूल, सम डिग्री की सभी जड़ों तक विस्तारित।

और जो गुण घनमूल के लिए उपयोग किए गए थे वे विषम डिग्री की जड़ों पर भी लागू होते हैं।

अच्छा, क्या यह स्पष्ट हो गया है? आइए उदाहरण देखें:

यहां सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: पहले हम देखते हैं - हाँ, डिग्री सम है, मूल के नीचे की संख्या सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि हमारा कार्य एक ऐसी संख्या खोजना है जिसकी चौथी शक्ति हमें देगी। अच्छा, कोई अनुमान? शायद, ? बिल्कुल!

अत: घात बराबर-विषम है, मूल के नीचे की संख्या ऋणात्मक है। हमारा कार्य एक ऐसी संख्या खोजना है, जो घात तक बढ़ाए जाने पर उत्पन्न हो। जड़ पर तुरंत ध्यान देना काफी कठिन है। हालाँकि, आप तुरंत अपनी खोज को सीमित कर सकते हैं, है ना? सबसे पहले, आवश्यक संख्या निश्चित रूप से नकारात्मक है, और दूसरी बात, कोई यह देख सकता है कि यह विषम है, और इसलिए वांछित संख्या विषम है। जड़ खोजने का प्रयास करें. बेशक, आप इसे सुरक्षित रूप से खारिज कर सकते हैं। शायद, ?

हाँ, हम यही तलाश रहे थे! ध्यान दें कि गणना को सरल बनाने के लिए हमने डिग्री के गुणों का उपयोग किया:।

जड़ों के मूल गुण

यह स्पष्ट है? यदि नहीं, तो उदाहरणों को देखने के बाद सब कुछ ठीक हो जाना चाहिए।

जड़ों का बहुगुणन

जड़ों को कैसे गुणा करें? सबसे सरल और सबसे बुनियादी संपत्ति इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करती है:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

क्या परिणामी संख्याओं की जड़ें ठीक-ठीक नहीं निकाली गई हैं? कोई समस्या नहीं - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यदि दो नहीं, बल्कि अधिक गुणक हों तो क्या होगा? जो उसी! जड़ों को गुणा करने का सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निःसंदेह, तीनों को मूल के नीचे छिपाएँ, याद रखें कि तीन का वर्गमूल है!

हमें इसकी ज़रूरत क्यों है? हाँ, उदाहरणों को हल करते समय हमारी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या इससे जीवन बहुत आसान हो जाता है? मेरे लिए, यह बिल्कुल सही है! बस आपको ये याद रखना है हम केवल सम डिग्री के मूल चिह्न के अंतर्गत धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं.

आइए देखें कि यह और कहां उपयोगी हो सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या के लिए दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है:

की अधिक:

आप तुरंत नहीं बता सकते. ठीक है, आइए मूल चिन्ह के नीचे एक संख्या दर्ज करने की विघटित संपत्ति का उपयोग करें? तो आगे बढ़ो:

खैर, यह जानते हुए कि मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा! वे। तो अगर, । इससे हम दृढ़तापूर्वक यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई भी हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

इससे पहले, हमने मूल के चिह्न के नीचे एक गुणक दर्ज किया था, लेकिन इसे कैसे हटाया जाए? आपको बस इसे कारकों में शामिल करना होगा और जो आप निकालते हैं उसे निकालना होगा!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विस्तार करना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, अपनी इच्छानुसार निर्णय लें।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन यदि यह विषम हो तो क्या होगा? फिर से, घातांक के गुणों को लागू करें और हर चीज़ का गुणनखंड करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या का मूल किसी घात तक कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत सरल, है ना? यदि डिग्री दो से अधिक हो तो क्या होगा? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर यहाँ एक उदाहरण है:

ये हैं ख़तरे, उनके बारे में हमेशा याद रखने लायक. यह वास्तव में संपत्ति के उदाहरणों में परिलक्षित होता है:

यह स्पष्ट है? उदाहरणों के साथ सुदृढ़ करें:

हाँ, हम देखते हैं कि मूल एक सम घात का है, मूल के नीचे की ऋणात्मक संख्या भी एक सम घात की है। अच्छा, क्या यह वैसे ही काम करता है? यहाँ क्या है:

बस इतना ही! अब यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों को हल करें।

उदाहरण।

उत्तर.

यदि आपको उत्तर मिल गए हैं, तो आप मन की शांति के साथ आगे बढ़ सकते हैं। यदि नहीं, तो आइए इन उदाहरणों को समझें:

आइए जड़ों के दो अन्य गुणों पर नजर डालें:

इन गुणों का उदाहरणों में विश्लेषण किया जाना चाहिए। अच्छा, चलो यह करें?

समझ गया? आइए इसे सुरक्षित करें.

उदाहरण।

उत्तर.

जड़ें और उनके गुण. औसत स्तर

अंकगणित वर्गमूल

समीकरण के दो समाधान हैं: और. ये वे संख्याएँ हैं जिनका वर्ग बराबर है।

समीकरण पर विचार करें. आइए इसे आलेखीय रूप से हल करें। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और स्तर पर एक रेखा बनाएं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान होंगे। हम देखते हैं कि इस समीकरण के भी दो समाधान हैं - एक सकारात्मक, दूसरा नकारात्मक:

लेकिन इस मामले में समाधान पूर्णांक नहीं हैं। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं. इन अतार्किक निर्णयों को लिखने के लिए, हम एक विशेष वर्गमूल चिह्न प्रस्तुत करते हैं।

अंकगणित वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग बराबर होता है। जब अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर हो।

वर्गमूल: .

उदाहरण के लिए, । और यह उसका अनुसरण करता है या।

मैं एक बार फिर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं, यह बहुत महत्वपूर्ण है: वर्गमूल हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है: !

क्युब जड़किसी संख्या का वह संख्या है जिसका घन बराबर होता है। घनमूल सभी के लिए परिभाषित है। इसे किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है: . जैसा कि आप देख सकते हैं, यह नकारात्मक मान भी ले सकता है।

किसी संख्या का वां मूल वह संख्या है जिसकी वां घात बराबर होती है, अर्थात

यदि यह सम है, तो:

• यदि, तो a का वां मूल परिभाषित नहीं है।
• यदि, तो समीकरण के गैर-नकारात्मक मूल को वें डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है।

यदि - विषम है, तो समीकरण में किसी के लिए एक अद्वितीय जड़ है।

क्या आपने देखा है कि मूल के चिह्न के ऊपर बायीं ओर हम उसकी डिग्री लिखते हैं? लेकिन वर्गमूल के लिए नहीं! यदि आपको कोई मूल बिना डिग्री के दिखाई देता है, तो इसका मतलब है कि वह वर्ग (डिग्री) है।

उदाहरण।

जड़ों के मूल गुण

जड़ें और उनके गुण. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल)एक गैर-ऋणात्मक संख्या से इसे कहा जाता है अऋणात्मक संख्या जिसका वर्ग है

जड़ों के गुण:

बधाई हो: आज हम जड़ों पर नज़र डालेंगे - 8वीं कक्षा में सबसे अधिक दिमाग चकरा देने वाले विषयों में से एक। :)

बहुत से लोग जड़ों के बारे में भ्रमित हो जाते हैं, इसलिए नहीं कि वे जटिल हैं (इसमें इतना जटिल क्या है - कुछ परिभाषाएँ और कुछ और गुण), बल्कि इसलिए कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में जड़ों को ऐसे जंगल के माध्यम से परिभाषित किया जाता है कि केवल पाठ्यपुस्तकों के लेखक ही इस लिखावट को वे स्वयं समझ सकते हैं। और तब भी केवल अच्छी व्हिस्की की एक बोतल के साथ। :)

इसलिए, अब मैं जड़ की सबसे सही और सबसे सक्षम परिभाषा दूंगा - केवल वही जिसे आपको वास्तव में याद रखना चाहिए। और फिर मैं समझाऊंगा: यह सब क्यों आवश्यक है और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

लेकिन पहले एक बात याद रखें महत्वपूर्ण बिंदु, जिसके बारे में कई पाठ्यपुस्तक संकलनकर्ता किसी कारणवश "भूल जाते हैं":

जड़ें सम डिग्री की हो सकती हैं (हमारा पसंदीदा $\sqrt(a)$, साथ ही सभी प्रकार के $\sqrt(a)$ और यहां तक ​​कि $\sqrt(a)$) और विषम डिग्री (सभी प्रकार के $\sqrt (ए)$, $\ sqrt(ए)$, आदि)। और विषम घात के मूल की परिभाषा सम घात से कुछ भिन्न होती है।

संभवतः जड़ों से जुड़ी सभी त्रुटियों और गलतफहमियों में से 95% इस "कुछ अलग" में छिपी हुई हैं। तो आइए शब्दावली को हमेशा के लिए स्पष्ट कर लें:

परिभाषा। यहां तक ​​कि जड़ भी एनसंख्या $a$ से कोई भी है गैर नकारात्मकसंख्या $b$ ऐसी है कि $((b)^(n))=a$. और एक ही संख्या $a$ का विषम मूल आम तौर पर कोई भी संख्या $b$ होता है जिसके लिए समान समानता होती है: $((b)^(n))=a$।

किसी भी स्थिति में, मूल को इस प्रकार दर्शाया गया है:

\(ए)\]

ऐसे अंकन में संख्या $n$ को मूल घातांक कहा जाता है, और संख्या $a$ को मूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। विशेष रूप से, $n=2$ के लिए हमें अपना "पसंदीदा" वर्गमूल मिलता है (वैसे, यह सम डिग्री का मूल है), और $n=3$ के लिए हमें एक घनमूल (विषम डिग्री) मिलता है, जो है अक्सर समस्याओं और समीकरणों में भी पाया जाता है।

उदाहरण। क्लासिक उदाहरणवर्गमूल:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(संरेखित करें)\]

वैसे, $\sqrt(0)=0$, और $\sqrt(1)=1$. यह काफी तार्किक है, क्योंकि $((0)^(2))=0$ और $((1)^(2))=1$।

घनमूल भी आम हैं - इनसे डरने की जरूरत नहीं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(संरेखित करें)\]

खैर, कुछ "विदेशी उदाहरण":

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(संरेखित करें)\]

यदि आप यह नहीं समझ पा रहे हैं कि सम और विषम डिग्री के बीच क्या अंतर है, तो परिभाषा को दोबारा पढ़ें। बहुत जरुरी है!

इस बीच, हम जड़ों की एक अप्रिय विशेषता पर विचार करेंगे, जिसके कारण हमें सम और विषम घातांकों के लिए एक अलग परिभाषा पेश करने की आवश्यकता पड़ी।

आखिर जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

परिभाषा पढ़ने के बाद, कई छात्र पूछेंगे: "जब गणितज्ञ इसे लेकर आए तो वे क्या धूम्रपान कर रहे थे?" और वास्तव में: इन सभी जड़ों की आखिर आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक पल के लिए पीछे चलें प्राथमिक कक्षाएँ. याद रखें: उन दूर के समय में, जब पेड़ हरे थे और पकौड़े स्वादिष्ट थे, हमारी मुख्य चिंता संख्याओं को सही ढंग से गुणा करना था। खैर, "पाँच बटा पाँच - पच्चीस" जैसा कुछ, बस इतना ही। लेकिन आप संख्याओं को जोड़ियों में नहीं, बल्कि त्रिक, चौगुनी और आम तौर पर पूरे सेट में गुणा कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(संरेखित)\]

हालाँकि, बात ये नहीं है. तरकीब अलग है: गणितज्ञ आलसी लोग होते हैं, इसलिए उन्हें दस पाँच का गुणन इस तरह लिखने में कठिनाई होती थी:

इसीलिए वे डिग्रियाँ लेकर आये। लंबी स्ट्रिंग के बजाय कारकों की संख्या को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में क्यों नहीं लिखा जाता? कुछ इस तरह:

यह बहुत सुविधाजनक है! सभी गणनाएँ काफी हद तक कम हो गई हैं, और आपको लगभग 5,183 लिखने के लिए चर्मपत्र और नोटबुक की ढेर सारी शीट बर्बाद नहीं करनी पड़ेगी। इस रिकॉर्ड को संख्या की शक्ति कहा जाता था; इसमें बहुत सारी संपत्तियां पाई गईं, लेकिन खुशी अल्पकालिक साबित हुई।

एक भव्य शराब पार्टी के बाद, जो केवल डिग्री की "खोज" के लिए आयोजित की गई थी, कुछ विशेष रूप से जिद्दी गणितज्ञ ने अचानक पूछा: "क्या होगा यदि हम किसी संख्या की डिग्री जानते हैं, लेकिन संख्या स्वयं अज्ञात है?" अब, वास्तव में, यदि हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $b$, मान लीजिए, 5वीं घात 243 देती है, तो हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि संख्या $b$ स्वयं किसके बराबर है?

यह समस्या पहली नज़र में लगने से कहीं अधिक वैश्विक निकली। क्योंकि यह पता चला कि अधिकांश "तैयार" शक्तियों के लिए ऐसी कोई "प्रारंभिक" संख्याएँ नहीं हैं। अपने लिए जज करें:

\[\begin(संरेखित) और ((बी)^(3))=27\राइटएरो b=3\cdot 3\cdot 3\राइटएरो b=3; \\ & ((b)^(3))=64\राइटएरो b=4\cdot 4\cdot 4\राइटएरो b=4. \\ \end(संरेखित करें)\]

क्या होगा यदि $((b)^(3))=50$? यह पता चला है कि हमें एक निश्चित संख्या खोजने की ज़रूरत है, जिसे तीन बार गुणा करने पर, हमें 50 मिलेगा। लेकिन यह संख्या क्या है? यह स्पष्ट रूप से 3 से बड़ा है, क्योंकि 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. अर्थात यह संख्या तीन और चार के बीच में है, लेकिन आप यह नहीं समझ पाएंगे कि यह किसके बराबर है।

यही कारण है कि गणितज्ञ $n$वें मूल लेकर आए। यही कारण है कि रेडिकल प्रतीक $\sqrt(*)$ पेश किया गया था। बहुत ही संख्या $b$ को निर्दिष्ट करने के लिए, जो संकेतित डिग्री तक हमें पहले से ज्ञात मूल्य देगा

\[\sqrt[n](a)=b\राइटएरो ((b)^(n))=a\]

मैं बहस नहीं करता: अक्सर इन जड़ों की गणना आसानी से की जाती है - हमने ऊपर ऐसे कई उदाहरण देखे हैं। लेकिन फिर भी, ज्यादातर मामलों में, यदि आप एक मनमानी संख्या के बारे में सोचते हैं और फिर उसमें से एक मनमानी डिग्री का मूल निकालने का प्रयास करते हैं, तो आप एक भयानक परेशानी में पड़ जाएंगे।

वहाँ क्या है! यहां तक ​​कि सबसे सरल और सबसे परिचित $\sqrt(2)$ को हमारे सामान्य रूप में - पूर्णांक या भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। और यदि आप इस नंबर को कैलकुलेटर में दर्ज करते हैं, तो आपको यह दिखाई देगा:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक अंतहीन क्रम होता है जो किसी भी तर्क का पालन नहीं करता है। निःसंदेह, आप अन्य संख्याओं के साथ शीघ्रता से तुलना करने के लिए इस संख्या को पूर्णांकित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

\[\sqrt(2)=1.4142...\लगभग 1.4 \lt 1.5\]

या यहाँ एक और उदाहरण है:

\[\sqrt(3)=1.73205...\लगभग 1.7 \gt 1.5\]

लेकिन ये सभी गोलियाँ, सबसे पहले, काफी कठिन हैं; और दूसरी बात, आपको अनुमानित मूल्यों के साथ काम करने में सक्षम होने की भी आवश्यकता है, अन्यथा आप गैर-स्पष्ट त्रुटियों का एक समूह पकड़ सकते हैं (वैसे, तुलना और पूर्णांकन के कौशल को एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल पर परीक्षण किया जाना आवश्यक है)।

इसलिए, गंभीर गणित में आप मूलों के बिना नहीं रह सकते - वे सभी वास्तविक संख्याओं $\mathbb(R)$ के समुच्चय के समान प्रतिनिधि हैं, बिल्कुल भिन्नों और पूर्णांकों की तरह जो लंबे समय से हमारे परिचित हैं।

किसी मूल को $\frac(p)(q)$ के रूप के एक अंश के रूप में प्रस्तुत करने में असमर्थता का अर्थ है कि यह मूल नहीं है तर्कसंगत संख्या. ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और उन्हें मूलांक या विशेष रूप से इसके लिए डिज़ाइन की गई अन्य संरचनाओं (लघुगणक, घात, सीमाएँ, आदि) की सहायता के अलावा सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। लेकिन उस पर फिर कभी।

आइए कई उदाहरणों पर विचार करें, जहां सभी गणनाओं के बाद भी उत्तर में अपरिमेय संख्याएँ बनी रहेंगी।

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\लगभग 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\लगभग -1.2599... \\ \end(संरेखित)\]

स्वाभाविक रूप से, के अनुसार उपस्थितिरूट में यह अनुमान लगाना लगभग असंभव है कि दशमलव बिंदु के बाद कौन सी संख्याएँ आएंगी। हालाँकि, आप एक कैलकुलेटर पर भरोसा कर सकते हैं, लेकिन सबसे उन्नत दिनांक कैलकुलेटर भी हमें केवल एक अपरिमेय संख्या के पहले कुछ अंक ही देता है। इसलिए, उत्तरों को $\sqrt(5)$ और $\sqrt(-2)$ के रूप में लिखना अधिक सही है।

यही कारण है कि उनका आविष्कार किया गया था। उत्तरों को आसानी से रिकॉर्ड करने के लिए।

दो परिभाषाओं की आवश्यकता क्यों है?

चौकस पाठक ने शायद पहले ही नोटिस कर लिया है कि उदाहरणों में दिए गए सभी वर्गमूल यहीं से लिए गए हैं सकारात्मक संख्या. तब में एक अंतिम उपाय के रूप मेंशुरूुआत से। लेकिन घनमूल किसी भी संख्या से शांतिपूर्वक निकाला जा सकता है - चाहे वह सकारात्मक हो या नकारात्मक।

ऐसा क्यों हो रहा है? फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें $y=((x)^(2))$:

आइए इस ग्राफ़ का उपयोग करके $\sqrt(4)$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, ग्राफ़ (लाल रंग में चिह्नित) पर एक क्षैतिज रेखा $y=4$ खींची जाती है, जो परवलय के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है: $((x)_(1))=2$ और $((x )_(2)) =-2$. चूँकि, यह काफी तर्कसंगत है

पहले अंक से सब कुछ स्पष्ट है - यह सकारात्मक है, इसलिए यह मूल है:

लेकिन फिर दूसरे बिंदु का क्या करें? जैसे चार की एक साथ दो जड़ें होती हैं? आख़िरकार, यदि हम संख्या −2 का वर्ग करें, तो हमें 4 भी मिलता है। फिर $\sqrt(4)=-2$ क्यों नहीं लिखते? और शिक्षक ऐसी पोस्टों को ऐसे क्यों देखते हैं जैसे वे आपको खा जाना चाहते हैं? :)

यदि आप कोई भी लागू नहीं करते हैं तो यही परेशानी है अतिरिक्त शर्तों, तो चतुर्भुज के दो वर्गमूल होंगे - धनात्मक और ऋणात्मक। और किसी भी धनात्मक संख्या में भी दो होंगे। लेकिन ऋणात्मक संख्याओं का कोई मूल नहीं होगा - इसे उसी ग्राफ से देखा जा सकता है, क्योंकि परवलय कभी भी अक्ष से नीचे नहीं गिरता है य, अर्थात। नकारात्मक मूल्यों को स्वीकार नहीं करता.

सम घातांक वाले सभी मूलों के लिए एक समान समस्या उत्पन्न होती है:

1. कड़ाई से बोलते हुए, प्रत्येक धनात्मक संख्या में सम घातांक $n$ के साथ दो मूल होंगे;
2. ऋणात्मक संख्याओं से, सम $n$ वाला मूल बिल्कुल भी नहीं निकाला जाता है।

इसीलिए सम घात $n$ के मूल की परिभाषा में यह विशेष रूप से निर्धारित किया गया है कि उत्तर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए। इस तरह हम अस्पष्टता से छुटकारा पाते हैं।

लेकिन विषम $n$ के लिए ऐसी कोई समस्या नहीं है। इसे देखने के लिए, आइए फ़ंक्शन $y=((x)^(3))$ के ग्राफ़ को देखें:

इस ग्राफ से दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. एक घन परवलय की शाखाएँ, एक नियमित परवलय के विपरीत, दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती हैं - ऊपर और नीचे दोनों। इसलिए, चाहे हम कितनी भी ऊंचाई पर क्षैतिज रेखा खींचें, यह रेखा निश्चित रूप से हमारे ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेद करेगी। नतीजतन, घनमूल हमेशा किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है;
2. इसके अलावा, ऐसा प्रतिच्छेदन हमेशा अद्वितीय होगा, इसलिए आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि किस संख्या को "सही" मूल माना जाए और किसे अनदेखा किया जाए। यही कारण है कि विषम डिग्री के लिए मूल निर्धारित करना सम डिग्री की तुलना में आसान है (गैर-नकारात्मकता के लिए कोई आवश्यकता नहीं है)।

अफ़सोस की बात है कि अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में इन सरल बातों को नहीं समझाया गया है। इसके बजाय, हमारा मस्तिष्क सभी प्रकार की अंकगणितीय जड़ों और उनके गुणों से भरा होने लगता है।

हाँ, मैं बहस नहीं करता: आपको यह भी जानना होगा कि अंकगणितीय मूल क्या है। और मैं इस बारे में एक अलग पाठ में विस्तार से बात करूंगा। आज हम इसके बारे में भी बात करेंगे, क्योंकि इसके बिना $n$-th बहुलता की जड़ों के बारे में सभी विचार अधूरे होंगे।

लेकिन सबसे पहले आपको ऊपर दी गई परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है। अन्यथा शब्दों की अधिकता के कारण आपके दिमाग में ऐसी गड़बड़ी शुरू हो जाएगी कि अंत में आपको कुछ भी समझ नहीं आएगा।

आपको बस सम और विषम संकेतकों के बीच अंतर को समझने की जरूरत है। इसलिए, आइए एक बार फिर से वह सब कुछ एकत्र करें जो आपको जड़ों के बारे में जानने के लिए आवश्यक है:

1. एक सम डिग्री का मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है और स्वयं हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए ऐसा मूल अपरिभाषित है।
2. लेकिन एक विषम डिग्री की जड़ किसी भी संख्या से मौजूद होती है और स्वयं कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक संख्याओं के लिए यह सकारात्मक है, और नकारात्मक संख्याओं के लिए, जैसा कि कैप संकेत देता है, यह नकारात्मक है।

क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है. यह स्पष्ट है? हाँ, यह बिल्कुल स्पष्ट है! तो अब हम गणनाओं का थोड़ा अभ्यास करेंगे।

बुनियादी गुण और सीमाएँ

जड़ों में कई अजीब गुण और सीमाएँ होती हैं - इस पर एक अलग पाठ में चर्चा की जाएगी। इसलिए, अब हम केवल सबसे महत्वपूर्ण "ट्रिक" पर विचार करेंगे, जो केवल एक समान सूचकांक वाली जड़ों पर लागू होती है। आइए इस गुण को एक सूत्र के रूप में लिखें:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\दाएं|\]

दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी संख्या को सम घात तक बढ़ाते हैं और फिर उसी घात का मूल निकालते हैं, तो हमें मूल संख्या नहीं, बल्कि उसका मापांक प्राप्त होगा। यह एक सरल प्रमेय है जिसे आसानी से सिद्ध किया जा सकता है (यह गैर-नकारात्मक $x$ पर अलग से और फिर नकारात्मक पर अलग से विचार करने के लिए पर्याप्त है)। शिक्षक लगातार इसके बारे में बात करते हैं, यह हर स्कूल की पाठ्यपुस्तक में दिया गया है। लेकिन जैसे ही अपरिमेय समीकरणों (अर्थात मूल चिह्न वाले समीकरण) को हल करने की बात आती है, छात्र सर्वसम्मति से इस सूत्र को भूल जाते हैं।

मुद्दे को विस्तार से समझने के लिए, आइए एक मिनट के लिए सभी सूत्रों को भूल जाएं और सीधे दो संख्याओं की गणना करने का प्रयास करें:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

ये बहुत सरल उदाहरण. ज़्यादातर लोग पहला उदाहरण तो सुलझा लेंगे, लेकिन कई लोग दूसरे पर अटक जाते हैं। ऐसी किसी भी समस्या को बिना किसी समस्या के हल करने के लिए हमेशा इस प्रक्रिया पर विचार करें:

1. सबसे पहले, संख्या को चौथी घात तक बढ़ाया जाता है। ख़ैर, यह काफ़ी आसान है। आपको एक नया नंबर मिलेगा जो गुणन सारणी में भी पाया जा सकता है;
2. और अब इस नए नंबर से चौथा रूट निकालना जरूरी है. वे। जड़ों और शक्तियों की कोई "कमी" नहीं होती - ये क्रमिक क्रियाएं हैं।

आइए पहली अभिव्यक्ति देखें: $\sqrt(((3)^(4)))$। जाहिर है, आपको सबसे पहले रूट के तहत अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

फिर हम संख्या 81 का चौथा मूल निकालते हैं:

अब दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। सबसे पहले, हम संख्या −3 को चौथी घात तक बढ़ाते हैं, जिसके लिए इसे 4 बार गुणा करने की आवश्यकता होती है:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ बाएँ(-3 \दाएँ)=81\]

हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, क्योंकि उत्पाद में माइनस की कुल संख्या 4 है, और वे सभी एक-दूसरे को रद्द कर देंगे (आखिरकार, माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है)। फिर हम दोबारा जड़ निकालते हैं:

सिद्धांत रूप में, यह पंक्ति लिखी नहीं जा सकती थी, क्योंकि यह कोई संदेह नहीं है कि उत्तर वही होगा। वे। समान शक्ति की एक समान जड़ माइनस को "जला" देती है, और इस अर्थ में परिणाम एक नियमित मॉड्यूल से अप्रभेद्य है:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \दाएं|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \दाएं|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

ये गणनाएँ सम डिग्री के मूल की परिभाषा के साथ अच्छी तरह मेल खाती हैं: परिणाम हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, और मूल चिह्न में हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या भी होती है। अन्यथा, मूल अपरिभाषित है.

प्रक्रिया पर टिप्पणी

1. नोटेशन $\sqrt(((a)^(2)))$ का अर्थ है कि हम पहले संख्या $a$ का वर्ग करते हैं और फिर परिणामी मान का वर्गमूल लेते हैं। इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मूल चिह्न के नीचे हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है, क्योंकि किसी भी स्थिति में $((a)^(2))\ge 0$;
2. लेकिन संकेतन $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, इसके विपरीत, इसका मतलब है कि हम पहले एक निश्चित संख्या $a$ का मूल लेते हैं और उसके बाद ही परिणाम का वर्ग करते हैं। इसलिए, संख्या $a$ किसी भी स्थिति में ऋणात्मक नहीं हो सकती - यह है अनिवार्य आवश्यकता, परिभाषा में शामिल है।

इस प्रकार, किसी भी मामले में किसी को बिना सोचे-समझे जड़ों और डिग्री को कम नहीं करना चाहिए, जिससे मूल अभिव्यक्ति कथित तौर पर "सरल" हो जाए। क्योंकि यदि मूल में एक ऋणात्मक संख्या है और उसका घातांक सम है, तो हमें समस्याओं का एक समूह मिलता है।

हालाँकि, ये सभी समस्याएँ केवल सम संकेतकों के लिए ही प्रासंगिक हैं।

मूल चिह्न के नीचे से ऋण चिह्न हटाना

स्वाभाविक रूप से, विषम घातांक वाली जड़ों की भी अपनी विशेषता होती है, जो सिद्धांततः सम घातांक वाली जड़ों में मौजूद नहीं होती है। अर्थात्:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

संक्षेप में, आप विषम डिग्री की जड़ों के चिह्न के नीचे से ऋण हटा सकते हैं। ये बहुत उपयोगी संपत्ति, जो आपको सभी नकारात्मकताओं को "बाहर फेंकने" की अनुमति देता है:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(संरेखित करें)\]

यह सरल गुण कई गणनाओं को बहुत सरल बना देता है। अब आपको चिंता करने की आवश्यकता नहीं है: क्या होगा यदि मूल के नीचे एक नकारात्मक अभिव्यक्ति छिपी हुई थी, लेकिन मूल की डिग्री सम हो गई? यह जड़ों के बाहर सभी माइनस को "बाहर फेंकने" के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद उन्हें एक-दूसरे से गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और आम तौर पर कई संदिग्ध चीजें की जा सकती हैं, जो "शास्त्रीय" जड़ों के मामले में हमें ले जाने की गारंटी है एक गलती।

और यहां एक और परिभाषा सामने आती है - वही जिसके साथ अधिकांश स्कूलों में तर्कहीन अभिव्यक्तियों का अध्ययन शुरू होता है। और जिसके बिना हमारा तर्क अधूरा होगा. मिलो!

अंकगणित मूल

आइए एक क्षण के लिए मान लें कि मूल चिन्ह के नीचे केवल धनात्मक संख्याएँ या, चरम मामलों में, शून्य हो सकती हैं। आइए सम/विषम संकेतकों के बारे में भूल जाएं, आइए ऊपर दी गई सभी परिभाषाओं के बारे में भूल जाएं - हम केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करेंगे। तो क्या?

और फिर हमें एक अंकगणितीय मूल मिलेगा - यह आंशिक रूप से हमारी "मानक" परिभाषाओं के साथ ओवरलैप होता है, लेकिन फिर भी उनसे भिन्न होता है।

परिभाषा। एक गैर-नकारात्मक संख्या $a$ की $n$वीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-नकारात्मक संख्या $b$ है जैसे कि $((b)^(n))=a$।

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमें अब समानता में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसके बजाय, एक नया प्रतिबंध सामने आया: कट्टरपंथी अभिव्यक्ति अब हमेशा गैर-नकारात्मक है, और जड़ स्वयं भी गैर-नकारात्मक है।

यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि अंकगणितीय मूल सामान्य से किस प्रकार भिन्न है, वर्ग और घन परवलय के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें जिनसे हम पहले से ही परिचित हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब से हम केवल ग्राफ़ के उन टुकड़ों में रुचि रखते हैं जो पहले समन्वय तिमाही में स्थित हैं - जहां निर्देशांक $x$ और $y$ सकारात्मक हैं (या कम से कम शून्य)। अब आपको यह समझने के लिए संकेतक को देखने की आवश्यकता नहीं है कि हमें मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या डालने का अधिकार है या नहीं। क्योंकि नकारात्मक संख्याओं को अब सिद्धांत रूप में नहीं माना जाता है।

आप पूछ सकते हैं: "अच्छा, हमें ऐसी निष्प्रभावी परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?" या: "हम ऊपर दी गई मानक परिभाषा के साथ काम क्यों नहीं कर सकते?"

खैर, मैं सिर्फ एक गुण बताऊंगा जिसके कारण नई परिभाषा उपयुक्त हो जाती है। उदाहरण के लिए, घातांक का नियम:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

कृपया ध्यान दें: हम मूल अभिव्यक्ति को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं और साथ ही मूल घातांक को उसी घात से गुणा कर सकते हैं - और परिणाम वही संख्या होगी! यहाँ उदाहरण हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(संरेखित)\]

तो इसमें बड़ी बात क्या है? हम ऐसा पहले क्यों नहीं कर सके? उसकी वजह यहाँ है। आइए एक सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें: $\sqrt(-2)$ - यह संख्या हमारी शास्त्रीय समझ में काफी सामान्य है, लेकिन अंकगणितीय मूल के दृष्टिकोण से बिल्कुल अस्वीकार्य है। आइए इसे परिवर्तित करने का प्रयास करें:

$\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(संरेखित)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में हमने मूलांक के नीचे से ऋण को हटा दिया (हमारे पास पूरा अधिकार है, क्योंकि घातांक विषम है), और दूसरे मामले में हमने उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया। वे। गणितीय दृष्टिकोण से, सब कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है।

डब्ल्यूटीएफ?! एक ही संख्या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कैसे हो सकती है? बिलकुल नहीं। यह सिर्फ इतना है कि घातांक का सूत्र, जो सकारात्मक संख्याओं और शून्य के लिए बहुत अच्छा काम करता है, नकारात्मक संख्याओं के मामले में पूर्ण विधर्म उत्पन्न करना शुरू कर देता है।

ऐसी अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए अंकगणितीय जड़ों का आविष्कार किया गया था। एक अलग बड़ा पाठ उनके लिए समर्पित है, जहां हम उनकी सभी संपत्तियों पर विस्तार से विचार करते हैं। इसलिए अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे - पाठ पहले ही बहुत लंबा हो गया है।

बीजगणितीय मूल: उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं

मैंने बहुत देर तक सोचा कि इस विषय को एक अलग अनुच्छेद में रखूँ या नहीं। अंत में मैंने इसे यहीं छोड़ने का निर्णय लिया। यह सामग्री उन लोगों के लिए है जो जड़ों को और भी बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं - अब औसत "स्कूल" स्तर पर नहीं, बल्कि ओलंपियाड स्तर के करीब।

तो: किसी संख्या के $n$वें मूल की "शास्त्रीय" परिभाषा और सम और विषम घातांक में संबंधित विभाजन के अलावा, एक अधिक "वयस्क" परिभाषा है जो समता और अन्य सूक्ष्मताओं पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करती है। इसे बीजगणितीय मूल कहते हैं।

परिभाषा। किसी भी $a$ का बीजगणितीय $n$वां मूल सभी संख्याओं $b$ का समुच्चय है, जैसे कि $((b)^(n))=a$। ऐसी जड़ों के लिए कोई स्थापित पदनाम नहीं है, इसलिए हम केवल शीर्ष पर एक डैश लगा देंगे:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

पाठ की शुरुआत में दी गई मानक परिभाषा से मूलभूत अंतर यह है कि बीजगणितीय मूल एक विशिष्ट संख्या नहीं है, बल्कि एक सेट है। और चूँकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं, यह सेट केवल तीन प्रकारों में आता है:

1. खाली सेट। तब होता है जब आपको किसी ऋणात्मक संख्या से सम अंश का बीजीय मूल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
2. एक एकल तत्व से युक्त एक सेट। विषम शक्तियों की सभी जड़ें, साथ ही शून्य की सम शक्तियों की जड़ें, इस श्रेणी में आती हैं;
3. अंत में, सेट में दो नंबर शामिल हो सकते हैं - वही $((x)_(1))$ और $((x)_(2))=-((x)_(1))$ जो हमने देखा था ग्राफ़ द्विघात फ़ंक्शन। तदनुसार, ऐसी व्यवस्था तभी संभव है जब किसी धनात्मक संख्या से सम अंश का मूल निकाला जाए।

अंतिम मामला अधिक विस्तृत विचार का पात्र है। आइए अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरण गिनें।

उदाहरण। भावों का मूल्यांकन करें:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

समाधान। पहली अभिव्यक्ति सरल है:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

यह दो संख्याएँ हैं जो सेट का हिस्सा हैं। क्योंकि उनमें से प्रत्येक का वर्ग करने पर एक चार मिलता है।

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

यहां हम केवल एक संख्या से युक्त एक सेट देखते हैं। यह काफी तार्किक है, क्योंकि मूल घातांक विषम है।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

हमें एक खाली सेट मिला. क्योंकि ऐसी एक भी वास्तविक संख्या नहीं है, जिसे चौथी (अर्थात्, सम!) घात तक बढ़ाने पर, हमें ऋणात्मक संख्या −16 प्राप्त हो।

अंतिम नोट. कृपया ध्यान दें: यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने हर जगह नोट किया कि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं। चूँकि जटिल संख्याएँ भी हैं - वहाँ $\sqrt(-16)$ और कई अन्य अजीब चीजों की गणना करना काफी संभव है।

हालाँकि, आधुनिक में स्कूल पाठ्यक्रमगणित में, जटिल संख्याओं का लगभग कभी भी सामना नहीं किया जाता है। उन्हें अधिकांश पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है क्योंकि हमारे अधिकारी इस विषय को "समझने में बहुत कठिन" मानते हैं।

डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

यह लेख विस्तृत जानकारी का एक संग्रह है जो जड़ों के गुणों के विषय से संबंधित है। विषय पर विचार करते हुए, हम गुणों से शुरुआत करेंगे, सभी फॉर्मूलेशन का अध्ययन करेंगे और साक्ष्य प्रदान करेंगे। विषय को समेकित करने के लिए, हम nवीं डिग्री के गुणों पर विचार करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

जड़ों के गुण

हम संपत्तियों के बारे में बात करेंगे.

1. संपत्ति गुणा संख्या एऔर बी, जिसे समानता ए · बी = ए · बी के रूप में दर्शाया गया है। इसे सकारात्मक या शून्य के बराबर कारकों के रूप में दर्शाया जा सकता है ए 1 , ए 2 , … , ए केजैसे a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. भागफल a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 से, इसे a b = a b इस रूप में भी लिखा जा सकता है;
3. किसी संख्या की शक्ति से संपत्ति एकिसी भी संख्या के लिए सम घातांक a 2 m = a m के साथ ए, उदाहरण के लिए, किसी संख्या के वर्ग से गुण 2 = a.

प्रस्तुत किसी भी समीकरण में, आप डैश चिह्न के पहले और बाद के हिस्सों को स्वैप कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, समानता ए · बी = ए · बी को ए · बी = ए · बी के रूप में बदल दिया जाता है। जटिल समीकरणों को सरल बनाने के लिए अक्सर समानता गुणों का उपयोग किया जाता है।

पहले गुणों का प्रमाण वर्गमूल की परिभाषा और प्राकृतिक घातांक वाली घातों के गुणों पर आधारित है। तीसरे गुण को उचित ठहराने के लिए किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उल्लेख करना आवश्यक है।

सबसे पहले वर्गमूल a · b = a · b के गुणों को सिद्ध करना आवश्यक है। परिभाषा के अनुसार, यह विचार करना आवश्यक है कि a b एक संख्या है, धनात्मक या शून्य के बराबर, जो के बराबर होगी ए बीनिर्माण के दौरान एक वर्ग में. अभिव्यक्ति a·b का मान धनात्मक है या गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल के रूप में शून्य के बराबर है। गुणित संख्याओं की घातों का गुण हमें समानता को (a · b) 2 = a 2 · b 2 के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, a 2 = a और b 2 = b, तो a · b = a 2 · b 2 = a · b।

इसी प्रकार कोई उत्पाद से यह सिद्ध कर सकता है कमल्टीप्लायरों ए 1 , ए 2 , … , ए केइन कारकों के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होगा। वास्तव में, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k।

इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

आइए विषय को सुदृढ़ करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 और 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

भागफल के अंकगणितीय वर्गमूल के गुण को सिद्ध करना आवश्यक है: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. संपत्ति हमें समानता a: b 2 = a 2: b 2, और a 2: b 2 = a: b लिखने की अनुमति देती है, जबकि a: b एक सकारात्मक संख्या है या शून्य के बराबर है। यही अभिव्यक्ति प्रमाण बनेगी.

उदाहरण के लिए, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 और 30.121 = 30.121।

आइए किसी संख्या के वर्ग के वर्गमूल के गुण पर विचार करें। इसे समानता के रूप में 2 = a सिद्ध करने के लिए लिखा जा सकता है यह संपत्ति, इसके लिए कई समानताओं पर विस्तार से विचार करना आवश्यक है ए ≥ 0और कम से ए< 0 .

जाहिर है, a ≥ 0 के लिए समानता a 2 = a सत्य है। पर ए< 0 समानता a 2 = - a सत्य होगी। दरअसल, इस मामले में − ए > 0और (- ए) 2 = ए 2। हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 2

5 2 = 5 = 5 और - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36।

सिद्ध गुण 2 m = a m को उचित ठहराने में मदद करेगा, जहाँ ए– वास्तविक, और एम-प्राकृतिक संख्या। दरअसल, बिजली बढ़ाने की संपत्ति हमें बिजली को बदलने की अनुमति देती है एक 2 मीअभिव्यक्ति (ए एम) 2, तो ए 2 एम = (ए एम) 2 = ए एम।

उदाहरण 3

3 8 = 3 4 = 3 4 और (- 8 , 3) ​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​7 .

nवें मूल के गुण

सबसे पहले, हमें nवीं जड़ों के मूल गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है:

1. संख्याओं के गुणनफल से संपत्ति एऔर बी, जो सकारात्मक या शून्य के बराबर हैं, उन्हें समानता ए · बी एन = ए एन · बी एन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह संपत्ति उत्पाद के लिए मान्य है कनंबर ए 1 , ए 2 , … , ए केजैसे a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. भिन्नात्मक संख्या से गुण a b n = a n b n होता है, जहाँ एक्या कोई वास्तविक संख्या सकारात्मक या शून्य के बराबर है, और बी– सकारात्मक वास्तविक संख्या;
3. किसी के लिए एऔर यहां तक ​​कि संकेतक भी n = 2 मी a 2 · m 2 · m = a सत्य है, और विषम के लिए एन = 2 एम − 1समानता a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a रखती है।
4. ए एम एन = ए एन एम से निष्कर्षण की संपत्ति, जहां ए- कोई भी संख्या, धनात्मक या शून्य के बराबर, एनऔर एम – पूर्णांकों, इस संपत्ति को फॉर्म में भी दर्शाया जा सकता है। . . ए एन के एन 2 एन 1 = ए एन 1 · एन 2। . . · एन के ;
5. किसी भी गैर-नकारात्मक ए और मनमाना के लिए एनऔर एम, जो स्वाभाविक हैं, हम निष्पक्ष समानता को भी परिभाषित कर सकते हैं a m n · m = a n ;
6. डिग्री की संपत्ति एनकिसी संख्या की शक्ति से ए, जो धनात्मक या शून्य के बराबर है प्राकृतिक डिग्री एम, समानता ए एम एन = ए एन एम द्वारा परिभाषित;
7. तुलना गुण जिसका घातांक समान हो: किसी भी धनात्मक संख्या के लिए एऔर बीऐसा है कि ए< b , असमानता ए एन< b n ;
8. तुलनात्मक गुण जो हैं वही संख्याएँजड़ के नीचे: यदि एमऔर एन -प्राकृतिक संख्याएँ म > एन, तो फिर 0 < a < 1 असमानता a m > a n सत्य है, और कब ए > 1एक एम निष्पादित< a n .

यदि समान चिह्न के पहले और बाद के हिस्सों की अदला-बदली कर दी जाए तो ऊपर दी गई समानताएँ मान्य हैं। इन्हें इस रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है. इसका उपयोग अक्सर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या रूपांतरित करते समय किया जाता है।

किसी मूल के उपरोक्त गुणों का प्रमाण किसी संख्या की परिभाषा, घात के गुण तथा मापांक की परिभाषा पर आधारित होता है। इन गुणों को सिद्ध किया जाना चाहिए। लेकिन सब कुछ क्रम में है.

1. सबसे पहले, आइए उत्पाद के nवें मूल के गुणों को सिद्ध करें a · b n = a n · b n । के लिए एऔर बी, जोहैं सकारात्मक या शून्य के बराबर , मान a n · b n भी धनात्मक या शून्य के बराबर है, क्योंकि यह गैर-ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है। किसी उत्पाद की प्राकृतिक शक्ति का गुण हमें समानता a n · b n n = a n n · b n n लिखने की अनुमति देता है। जड़ की परिभाषा के अनुसार एन-वीं डिग्री ए एन एन = ए और बी एन एन = बी, इसलिए, ए एन · बी एन एन = ए · बी। परिणामी समानता बिल्कुल वही है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

यह गुण उत्पाद के लिए भी इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कगुणक: गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

यहां रूट प्रॉपर्टी का उपयोग करने के उदाहरण दिए गए हैं एन-उत्पाद से शक्ति: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 और 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4।

1. आइए हम भागफल a b n = a n b n के मूल का गुण सिद्ध करें। पर ए ≥ 0और बी > 0शर्त a n b n ≥ 0 संतुष्ट है, और a n b n n = a n n b n n = a b।

आइए उदाहरण दिखाएं:

उदाहरण 4

8 27 3 = 8 3 27 3 और 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10।

1. अगले चरण के लिए nवीं डिग्री के गुणों को संख्या से डिग्री तक सिद्ध करना आवश्यक है एन. आइए इसे किसी वास्तविक के लिए समानता a 2 m 2 m = a और a 2 m - 1 2 m - 1 = a के रूप में कल्पना करें एऔर प्राकृतिक एम. पर ए ≥ 0हमें a = a और a 2 m = a 2 m मिलता है, जो समानता a 2 m 2 m = a को सिद्ध करता है, और समानता a 2 m - 1 2 m - 1 = a स्पष्ट है। पर ए< 0 हम क्रमशः, a = - a और a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m प्राप्त करते हैं। किसी संख्या का अंतिम परिवर्तन घात गुण के अनुसार मान्य होता है। यह बिल्कुल वही है जो समानता साबित करता है a 2 m 2 m = a, और a 2 m - 1 2 m - 1 = a सत्य होगा, क्योंकि विषम डिग्री मानी जाती है - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 किसी भी संख्या के लिए सी ,सकारात्मक या शून्य के बराबर.

प्राप्त जानकारी को समेकित करने के लिए, आइए संपत्ति का उपयोग करने वाले कई उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 और (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39।

1. आइए हम निम्नलिखित समानता a m n = a n m सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, आपको समान चिह्न a n · m = a m n से पहले और बाद की संख्याओं को स्वैप करना होगा। इसका मतलब यह होगा कि प्रविष्टि सही है. के लिए ए,जो सकारात्मक है या शून्य के बराबर , a m n के रूप में एक संख्या धनात्मक या शून्य के बराबर होती है। आइए हम एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने की संपत्ति और उसकी परिभाषा की ओर मुड़ें। उनकी सहायता से आप समानताओं को a m n n · m = a m n n m = a m m = a के रूप में रूपांतरित कर सकते हैं। इससे विचाराधीन जड़ का गुणधर्म सिद्ध होता है।

अन्य गुण भी इसी प्रकार सिद्ध होते हैं। वास्तव में, । . . ए एन के एन 2 एन 1 एन 1 · एन 2 · . . . · एन के = . . . ए एन के एन 3 एन 2 एन 2 · एन 3 ·। . . · एन के = . . . ए एन के एन 4 एन 3 एन 3 · एन 4 ·। . . · एन के = . . . = ए एन के एन के = ए .

उदाहरण के लिए, 7 3 5 = 7 5 3 और 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24।

1. आइए हम निम्नलिखित गुण a m n · m = a n सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि n एक संख्या है, धनात्मक या शून्य के बराबर। जब घात n m तक बढ़ाया जाता है तो यह बराबर होता है पूर्वाह्न. यदि संख्या एतो फिर, सकारात्मक या शून्य के बराबर है एन-वीं डिग्री बीच से एएक धनात्मक संख्या है या शून्य के बराबर है। इस मामले में, a n · m n = a n n m, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

प्राप्त ज्ञान को समेकित करने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

1. आइए हम निम्नलिखित गुण सिद्ध करें - a m n = a n m रूप की घात की जड़ का गुण। जाहिर सी बात है कि जब ए ≥ 0घात a n m एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इसके अलावा, उसे एनवें शक्ति के बराबर है पूर्वाह्न, वास्तव में, ए एन एम एन = ए एन एम · एन = ए एन एन एम = ए एम। इससे विचाराधीन डिग्री की संपत्ति सिद्ध होती है।

उदाहरण के लिए, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. किसी भी धनात्मक संख्या के लिए इसे सिद्ध करना आवश्यक है एऔर बी शर्त संतुष्ट है ए< b . असमानता पर विचार करें< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ए< b . इसलिए, एक एन< b n при ए< b .

उदाहरण के लिए, आइए 12 4 दें< 15 2 3 4 .

1. जड़ की संपत्ति पर विचार करें एन-वीं डिग्री. सबसे पहले असमानता के पहले भाग पर विचार करना आवश्यक है। पर म > एनऔर 0 < a < 1 सत्य ए म > ए एन . आइए मान लें कि a m ≤ a n. गुण आपको अभिव्यक्ति को a n m · n ≤ a m m · n तक सरल बनाने की अनुमति देंगे। फिर, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुणों के अनुसार, असमानता a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n धारण करती है, अर्थात, ए एन ≤ ए एम. पर प्राप्त मूल्य म > एनऔर 0 < a < 1 ऊपर दिए गए गुणों के अनुरूप नहीं है.

इसी प्रकार यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि कब म > एनऔर ए > 1स्थिति a m सत्य है< a n .

उपरोक्त संपत्तियों को समेकित करने के लिए, कई पर विचार करें विशिष्ट उदाहरण. आइए विशिष्ट संख्याओं का उपयोग करके असमानताओं को देखें।

उदाहरण 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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