Bentuk volumetrik geometris dan namanya: bola, kubus, piramida, prisma, tetrahedron. Badan volumetrik

Mengenai soal mencari luas, Anda memerlukan keterampilan menggambar yang percaya diri - ini mungkin merupakan hal yang paling penting (karena integralnya sendiri sering kali mudah). Anda dapat menguasai teknik pembuatan grafik yang kompeten dan cepat dengan menggunakan bahan ajar dan Transformasi Geometri Grafik. Namun sebenarnya saya sudah beberapa kali membicarakan pentingnya menggambar di kelas.

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan rotasi, dan banyak lagi. lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

– di sekitar sumbu absis;
– di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun pada kenyataannya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun, dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

bangun datar di sekitar sumbu

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Ini adalah pengingat Tiongkok, dan seterusnya saat ini Saya tidak berhenti lagi.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru, yaitu yang berputar pada sumbunya, dan sebagai hasil dari putaran tersebut diperoleh piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematis, tapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa pun di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda yang berotasi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Bisa jadi sentimeter kubik, bisa jadi Meter kubik, mungkin kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau kecil yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang oleh imajinasi Anda.

Contoh 2

Temukan volume tubuh, dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu gambar, dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda revolusi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Perhatikan gambar yang dilingkari hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum minuman yang setara dengan ruangan dengan luas 18 sepanjang hidupnya. meter persegi, yang sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang diterbitkan pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang humoris, memahami dan mengajarkan Anda untuk mencari yang asli. solusi non-standar masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, sudah tepat untuk memutuskan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik dengan benar fungsi trigonometri, izinkan saya mengingatkan Anda tentang materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik: jika argumennya dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
bangun datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat juga cukup sering dilakukan tes. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang, bahkan orang bodoh sekalipun. Selain itu, materi yang dipelajari pada paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Contoh 5

Diberikan angka datar dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen tersebut ;
- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, integral adalah akar, dan akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi limit integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: yaitu pindah ke fungsi terbalik dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Dalam hal ini, pada ruas tersebut garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini yang paling banyak cara yang rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Namun, bukan kupu-kupu yang sakit-sakitan.

Perhatikan bahwa jika bangun datar yang sama diputar mengelilingi sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Contoh 6

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegrasikan variabelnya.
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang berminat juga dapat mencari luas suatu bangun dengan cara “biasa”, dengan memeriksa poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar bangun datar di sekitar sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga bagi mereka yang suka memecahkan masalah).

Solusi lengkap untuk dua poin tugas yang diajukan ada di akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa miringkan kepala ke kanan untuk memahami benda rotasi dan batas integrasinya!

Topik: “Bentuk datar dan benda volumetrik»

Sasaran:

menggeneralisasi gagasan tentang bangun datar dan benda geometris volumetrik;

menciptakan kondisi di mana siswa “menemukan” cara untuk memperoleh bangun tiga dimensi.

Tugas:

mengkonsolidasikan pengetahuan tentang klasifikasi bangun datar dan benda tiga dimensi, perbedaan mendasarnya;

memperkenalkan konsep “badan revolusi” dan “polihedra”;

menjalin hubungan antara ilmu geometri dan seni rupa;

membuat model kubus menggunakan teknik origami;

mengembangkan pemikiran logis dan spasial, perhatian, memori, imajinasi, kreativitas;

menumbuhkan akurasi dan kepatuhan terhadap peraturan keselamatan saat bekerja dengan alat.

Peralatan: papan tulis interaktif, presentasi, model bentuk geometris tiga dimensi, handout (kartu individu).

Selama kelas.

Waktu pengorganisasian. Menciptakan situasi sukses.

II . Memperbarui pengetahuan dasar.

Guru utama: - Teman-teman, hari ini pelajaran kita didedikasikan untuk geometri.

Mari kita ingat apa itu geometri? (Diterjemahkan dari bahasa Yunani, kata “geometri” berarti “survei tanah.” Dalam matematika, “geometri” adalah ilmu yang mempelajari angka geometris dan propertinya)

Guru utama: - Bentuk geometris apa yang kamu ketahui? (Persegi, persegi panjang, kubus, bola, dll.)

Guru utama: - Bentuk geometris ini dapat dibagi menjadi jenis apa? (Benda geometris volumetrik, bentuk geometris datar, konsep dasar geometri)

Guru utama: - Topik pelajaran kita adalah “Bentuk datar dan benda tiga dimensi”.

Semua benda berbentuk datar atau tiga dimensi.

Apa perbedaan bangun datar dengan benda tiga dimensi? (Bangunan datar hanya mempunyai panjang dan lebar, sedangkan bangun datar mempunyai panjang, tinggi dan lebar.)

Guru seni: - Anda disanatugas pertama (sesuai pilihan):warna bentuk datar warna-warna hangat, dan benda volumetrik bersifat dingin. Mari kita ingat warna mana yang disebut hangat dan mana yang dingin?

Guru utama: - Bagaimana struktur benda volumetrik? (Tepi, muka, alas, atas).

- Siapa yang akan menunjukkan bagian-bagian benda volumetrik yang terdaftar pada model?

Guru utama: - Untuk melakukan konsolidasi, ayo lakukantugas kedua

(sesuai pilihan):

1 pilihan - Bayangkan tepi depan dan atas kubus.

pilihan 2 - Gambarlah tepi yang hilang.

Pilihan 3 - Hitung jumlah simpul pada prisma pentagonal.

Guru utama: - Sekarang mari kita bermain. Mari kita cari tahu siapa yang “berteman” dengan siapa (Jeruk dengan bola, wortel dengan kerucut, lemon dengan oval, kotak dengan persegi panjang).

Guru seni: - Kita juga dapat menemukan geometri dalam seni. Misalnya, monumen figur geometris:

Patung Kubus di Zabeel Park, Dubai UEA

Kubus bersinar di Beijing

Seperti inibola marmer dipasang di Bolshaya Sadovaya, jalan pusat kota Rostov-on-Don. Bentuk bola yang sangat presisi ini mengejutkan semua pecinta matematika, dan khususnya geometri.

Monumen polihedra biasa di Jerman

Segitiga tidak beraturan di desa Belgia

Proyek monumen seniman Kazimir Malevich di wilayah Moskow

Kazemir Malevich adalah seorang seniman Soviet yang hidup pada abad ke-20, yang menciptakan karya non-figuratif yang terdiri dari figur geometris, di mana Pemeran utama drama persegi.

Potret diri Kazimir Malevich

Seni ini disebut “suprematisme” (superioritas, supremasi). Misalnya, salah satu lukisan pertamanya “Black Square”.

Wanita membawa air

AKU AKU AKU . Penemuan sesuatu yang baru.

1. Badan revolusi dan polihedra.

Guru utama: - Benda volumetrik juga dibagi menjadi dua kelompok: benda rotasi dan polihedra.

Mengapa kamu berpikirbadan-badan revolusi ? (Silinder dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar persegi panjang pada sisinya sebagai sumbu. Kerucut dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku di sekitar sisinya sebagai sumbu.)

Guru seni: - Lihatlah tata letaknya.

Guru utama: - Bagaimana mengkarakterisasi polihedra? ( Polihedron - tubuh geometris, dibatasi di semua sisi oleh tepinya. Sisi-sisi mukanya disebut tepi polihedron, dan ujung-ujung tepinya disebut simpul polihedron.)

Guru seni: - Bagaimana cara menggambarkan sosok tiga dimensi?

Gambar tiga dimensi digambarkan menggunakan chiaroscuro, jika tidak, tidak mungkin untuk menunjukkan bahwa gambar tersebut “naik” di atas selembar kertas. Dan dengan menggunakan garis putus-putus, kontur yang tidak terlihat digambarkan. Mari kita coba menunjukkan volume benda revolusi dan polihedra menggunakan chiaroscuro.Tugas ketiga :

Opsi 1 - kerucut;

Opsi 2 - piramida;

Opsi 3 - silinder.( Analisis karya.)

IV . menit pendidikan jasmani. ( Dilakukan dengan lagu “Titik, titik, koma…”)

Titik, titik, koma.

Mereka menunjukkan dengan tangan sambil berjongkok.

Ternyata wajahnya lucu.

Tangan ke telinga, badan berputar.

Tangan, kaki, mentimun

Tunjukkan lengan, kaki, gambar oval dengan tangan

Ternyata itu adalah seorang pria kecil.

Tangan di ikat pinggang, memutar badan ke kiri, ke kanan.

Apa yang akan dilihat titik-titik ini?

Berkedip bulu mata - jari

Apa yang akan dibuat oleh pena ini?

Tangan ke depan ke bahu

Seberapa jauh kaki-kaki ini?

Mereka akan membawanya pergi

Langkah-langkah di tempatnya

Bagaimana dia akan hidup di dunia -

Kami tidak bertanggung jawab atas hal ini:

Tangan di ikat pinggang - badan miring ke kiri dan ke kanan

Kami menggambarnya

Duduk

Itu saja!

Bangun

V . Kerja praktek.

Guru seni: - Salah satu bangun ruang yang penting adalah kubus.

Berapakah bangun datar muka kubus? (Persegi)

Berapa banyak muka yang dimiliki sebuah kubus? (6)

Dan sekarang kita akan merakit sebuah kubus menggunakan teknik origami. Kubus seperti itu dapat dilipat dari bagian yang identik. Jumlahnya harus sebanyak permukaan kubus. Hubungkan bagian-bagiannya sesuai dengan diagram. Sudut tajam masukkan ke dalam sakumu. Ingat: setiap sudut harus dimasukkan ke dalam saku. Anda akan bekerja berpasangan. Setiap pasangan akan memecahkan kubusnya sendiri. Dari kubus yang dikumpulkan kita akan membuat sosok geometris lain - piramida berundak.

VI . Pameran dan analisis karya.

VII . Ringkasan pelajaran. - Benda volumetrik dapat dibagi menjadi kelompok apa? (Badan revolusi dan polihedra)

Berikan contoh badan revolusi. Bangun datar manakah yang mendasari kerucut, bola, atau silinder?

Berikan contoh polihedra. Berapa banyak muka yang dimiliki sebuah kubus?

VIII .Cerminan.

VIII . Pekerjaan rumah. G.s.46-47 (tunjukkan volume prisma, silinder, limas, tuliskan sisi dan sisi yang terlihat dan tidak terlihat)

Angka volumetrik geometris adalah padatan, yang menempati volume bukan nol dalam ruang Euclidean (tiga dimensi). Angka-angka ini dipelajari oleh cabang matematika yang disebut “geometri spasial”. Pengetahuan tentang sifat-sifat bangun tiga dimensi digunakan dalam bidang teknik dan ilmu alam. Dalam artikel ini kita akan membahas pertanyaan tentang bangun ruang geometris tiga dimensi dan namanya.

Padatan geometris

Karena benda-benda ini memiliki dimensi terbatas dalam tiga arah spasial, sistem tiga sumbu koordinat digunakan untuk menggambarkannya dalam geometri. Sumbu ini mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Mereka ortogonal satu sama lain, yaitu tegak lurus.
2. Sumbu-sumbu ini dinormalisasi, artinya vektor basis setiap sumbu memiliki panjang yang sama.
3. Salah satu sumbu koordinat adalah hasilnya produk vektor dua lainnya.

Berbicara tentang bangun ruang geometris dan namanya, perlu dicatat bahwa semuanya termasuk dalam salah satu dari 2 kelas besar:

1. Kelas polihedra. Angka-angka ini, berdasarkan nama kelasnya, mempunyai tepi lurus dan muka rata. Wajah adalah bidang yang membatasi suatu bentuk. Titik pertemuan dua sisi disebut sisi, dan titik pertemuan tiga sisi disebut titik sudut. Polihedra meliputi bangun geometri kubus, tetrahedron, prisma, dan limas. Untuk gambar-gambar ini, teorema Euler valid, yang menetapkan hubungan antara jumlah sisi (C), tepi (P) dan simpul (B) untuk setiap polihedron. Secara matematis teorema ini ditulis sebagai berikut: C + B = P + 2.
2. Kelas badan bulat atau badan revolusi. Angka-angka ini memiliki setidaknya satu permukaan yang membentuknya melengkung. Misalnya bola, kerucut, silinder, torus.

Adapun sifat-sifat bangun volumetrik, ada dua hal yang paling penting yang perlu disoroti:

1. Kehadiran volume tertentu yang ditempati suatu bangun ruang.
2. Kehadiran setiap sosok tiga dimensi

Kedua properti untuk setiap gambar dijelaskan oleh rumus matematika tertentu.

Mari kita perhatikan di bawah ini bangun ruang volumetrik geometris yang paling sederhana dan namanya: kubus, limas, prisma, tetrahedron, dan bola.

Gambar kubus: deskripsi

Kubus bangun geometri adalah benda tiga dimensi yang dibentuk oleh 6 bidang atau permukaan berbentuk persegi. Gambar ini disebut juga segi enam beraturan karena mempunyai 6 sisi, atau persegi panjang sejajar, karena terdiri dari 3 pasang sisi sejajar yang saling tegak lurus. Disebut kubus yang alasnya persegi dan tingginya sama dengan sisi alasnya.

Karena kubus adalah polihedron atau polihedron, teorema Euler dapat diterapkan padanya untuk menentukan jumlah rusuknya. Diketahui jumlah sisinya adalah 6, dan kubus mempunyai 8 titik sudut, maka jumlah rusuknya adalah: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Jika panjang sisi kubus dinotasikan dengan huruf “a”, maka rumus volume dan luas permukaannya akan menjadi seperti ini: V = a 3 dan S = 6*a 2.

Sosok piramida

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari polihedron sederhana (alas piramida) dan segitiga-segitiga yang terhubung ke alasnya dan mempunyai satu titik sudut yang sama (puncak piramida). Segitiga disebut sisi lateral piramida.

Ciri-ciri geometri piramida bergantung pada poligon mana yang terletak pada alasnya, serta apakah piramida itu lurus atau miring. Piramida lurus dipahami sebagai piramida yang garis lurus tegak lurus alasnya, ditarik melalui puncak limas, memotong alas pada pusat geometrinya.

Salah satu piramida sederhana adalah piramida lurus berbentuk segi empat, yang alasnya terdapat persegi dengan sisi “a”, tinggi piramida tersebut adalah “h”. Untuk bangun limas ini, volume dan luas permukaannya masing-masing akan sama: V = a 2 *h/3 dan S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Menerapkannya, dengan memperhitungkan fakta bahwa jumlah sisi adalah 5, dan jumlah simpul adalah 5, kita memperoleh jumlah sisi: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Sosok tetrahedron: deskripsi

Sosok geometris tetrahedron dipahami sebagai benda tiga dimensi yang dibentuk oleh 4 muka. Berdasarkan sifat-sifat ruang, wajah-wajah tersebut hanya dapat mewakili segitiga. Jadi, tetrahedron adalah kasus khusus dari piramida, yang memiliki segitiga di alasnya.

Jika keempat segitiga yang membentuk muka-muka suatu tetrahedron adalah sama sisi dan sama besar satu sama lain, maka tetrahedron tersebut disebut beraturan. Tetrahedron ini mempunyai 4 muka dan 4 titik sudut, banyaknya rusuknya adalah 4 + 4 - 2 = 6. Dengan menerapkan rumus standar geometri bidang untuk gambar tersebut, diperoleh: V = a 3 * √2/12 dan S = √ 3*a 2, dimana a adalah panjang sisi segitiga sama sisi.

Menarik untuk dicatat bahwa di alam beberapa molekul berbentuk tetrahedron beraturan. Misalnya, molekul metana CH 4, yang atom hidrogennya terletak di puncak tetrahedron dan terikat ke atom karbon melalui ikatan kovalen. ikatan kimia. Atom karbon terletak di pusat geometri tetrahedron.

Bentuk tetrahedron yang mudah dibuat juga digunakan dalam bidang teknik. Misalnya, bentuk tetrahedral digunakan dalam pembuatan jangkar kapal. Perhatikan bahwa wahana antariksa Mars Pathfinder milik NASA, yang mendarat di permukaan Mars pada tanggal 4 Juli 1997, juga berbentuk tetrahedron.

Sosok prisma

Bentuk geometris ini dapat diperoleh dengan mengambil dua polihedra, menempatkannya sejajar satu sama lain pada bidang ruang yang berbeda, dan menghubungkan simpul-simpulnya. Hasilnya adalah sebuah prisma, dua polihedra disebut alasnya, dan permukaan yang menghubungkan polihedra tersebut akan berbentuk jajar genjang. Suatu prisma disebut lurus jika sisi-sisinya (jajar genjang) berbentuk persegi panjang.

Prisma adalah polihedron, jadi teorema Euler juga berlaku untuk itu. Misalnya alas prisma berbentuk segi enam, maka jumlah sisi prisma adalah 8 dan jumlah titik sudutnya adalah 12. Banyaknya rusuknya sama dengan: P = 8 + 12 - 2 = 18 . Untuk prisma lurus yang tingginya h, yang alasnya terdapat segi enam beraturan dengan sisi a, volumenya sama dengan: V = a 2 *h*√3/4, luas permukaannya sama dengan: S = 3*a*(a* √3 + 2*jam).

Berbicara tentang bangun ruang geometris sederhana dan namanya, kita harus menyebutkan bola. Benda volumetrik yang disebut bola dipahami sebagai benda yang dibatasi oleh bola. Pada gilirannya, bola adalah kumpulan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari satu titik, yang disebut pusat bola.

Karena bola termasuk dalam kelas benda bulat, maka tidak ada konsep sisi, tepi, dan simpul untuk bola tersebut. Luas permukaan bola yang melingkupi bola dicari dengan rumus: S = 4*pi*r 2, dan volume bola dapat dihitung dengan rumus: V = 4*pi*r 3 /3, dimana pi adalah bilangan pi (3,14), r adalah jari-jari bola (bola).

Benda volumetrik Lihatlah sekeliling Anda, dan Anda akan menemukan benda volumetrik di mana-mana. Ini adalah bentuk geometris yang memiliki tiga dimensi: panjang, lebar dan tinggi. Misalnya saja membayangkan gedung bertingkat, cukuplah dikatakan: “Rumah ini panjangnya tiga pintu masuk, lebarnya dua jendela, dan tingginya enam lantai.” Diketahui oleh Anda dari sekolah dasar paralelepiped persegi panjang dan kubus dijelaskan secara lengkap dalam tiga dimensi. Semua benda disekitar kita mempunyai tiga dimensi, namun tidak semuanya dapat diberi nama panjang, lebar dan tinggi. Misalnya, untuk pohon kita hanya dapat menentukan tingginya, untuk tali - panjangnya, untuk lubang - kedalamannya. Dan untuk bolanya? Apakah ia juga memiliki tiga dimensi? Suatu benda dikatakan mempunyai tiga dimensi (bersifat volumetrik) jika sebuah kubus atau bola dapat ditempatkan di dalamnya. Bola, silinder, dan kerucut mempunyai tiga dimensi.

Polihedra Benda yang dibatasi oleh poligon bidang disebut polihedron. Misalnya, sebuah kubus dibatasi oleh persegi-persegi yang sama besar. Poligon yang membentuk permukaan polihedron disebut muka. Sisi-sisi poligon ini adalah tepi polihedra. Simpul poligon, simpul polihedra. Misalnya, sebuah kubus memiliki 6 sisi (semuanya sama persegi), 12 sisi, dan 8 titik sudut.

Polihedra. Piramida. Polihedron di sebelah kanan memiliki nama khusus: piramida segi empat beraturan. Piramida Cheops yang terkenal memiliki bentuk yang persis seperti ini: pada dasarnya ada persegi, dan sisi-sisinya berbentuk segitiga sama kaki. Berapa banyak sisi, tepi, dan simpul yang dimiliki polihedron ini? Bentuk pada gambar ada yang polihedra dan ada pula yang bukan. Nomor berapakah yang ditunjukkan pada polihedra?

Poligon cembung dan non-cembung Poligon, seperti yang telah kita ketahui, dapat berbentuk cembung dan tidak cembung. Poligon cembung terletak pada salah satu sisi garis yang memuat salah satu sisi poligon tersebut. Dan untuk poligon non-cembung, Anda dapat menemukan sisi sedemikian rupa sehingga garis lurus yang memuatnya “memotong” poligon menjadi beberapa bagian. Pada gambar, poligon kuning berbentuk cembung, dan poligon biru tidak cembung. Polihedra juga bisa berbentuk cembung atau non-cembung. Sebuah polihedron cembung terletak di salah satu sisi bidang apa pun yang memuat salah satu sisinya. Dan untuk polihedron non-cembung, seseorang dapat menemukan permukaan sedemikian rupa sehingga bidang yang melewatinya akan “memotong” menjadi beberapa bagian. Polihedron kuning pada gambar berbentuk cembung, sedangkan polihedron biru tidak cembung. Angka manakah pada gambar yang menunjukkan polihedra cembung, dan angka manakah yang menunjukkan polihedra tidak cembung?

Jawablah pertanyaan: 1. Berapakah muka kubus: a) sebuah ruas; b) sebuah titik; c) sebuah persegi. 2. Berapakah rusuk kubus: a) sebuah ruas; b) sebuah titik; c) sebuah persegi. 3. Titik sudut suatu kubus dilambangkan dengan: a) sebuah ruas; b) sebuah titik; c) sebuah persegi. 4. Berapa banyak wajah yang dimilikinya? paralelepiped persegi panjang: a) 8b) 6c) 12 5. Polihedron adalah a) sembarang benda volumetrik b) benda yang dibatasi oleh poligon datar

Jawablah pertanyaan: 6. Apa yang terletak pada dasarnya piramida biasa a) persegi panjangb) persegic) jajar genjang 7. Gambar manakah yang merupakan muka limas beraturan a) persegi panjangb) persegic) segitiga beraturan 8. Sebuah polihedron cembung a) terletak pada salah satu sisi bidang yang memuat salah satu sisinya b) suatu benda volumetrik c) terletak pada kedua sisi suatu bidang yang memuat salah satu mukanya. 9.Bilangan apa yang ditunjukkan pada gambar untuk polihedra cembung?

Sumber daya yang digunakan: Situs web sekolah pembelajaran jarak jauh(Moskow) sekolah pembelajaran jarak jauh (Moskow) Ensiklopedia Online di Seluruh Dunia OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / gambar %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8 %D0%B4 %D0 %B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Buku teks Geometri 6-9