Perluasan pangkat x. Perluasan fungsi menjadi deret pangkat

Perluasan fungsi menjadi rangkaian Taylor, Maclaurin dan Laurent di situs untuk melatih keterampilan praktis. Perluasan deret suatu fungsi ini memungkinkan ahli matematika memperkirakan perkiraan nilai suatu fungsi pada titik tertentu dalam domain definisinya. Menghitung nilai fungsi seperti itu jauh lebih mudah dibandingkan dengan menggunakan tabel Bredis, yang sudah tidak relevan lagi di era teknologi komputer. Memperluas suatu fungsi menjadi deret Taylor berarti menghitung koefisien fungsi linier deret tersebut dan menuliskannya dalam bentuk yang benar. Siswa mengacaukan kedua rangkaian ini, tidak memahami apa kasus umum dan apa kasus khusus dari rangkaian kedua. Izinkan kami mengingatkan Anda sekali dan untuk selamanya bahwa deret Maclaurin adalah kasus khusus dari deret Taylor, yaitu deret Taylor, tetapi pada titik x = 0. Semua entri singkat untuk perluasan fungsi yang terkenal, seperti e^x, Sin(x), Cos(x) dan lain-lain, ini adalah ekspansi deret Taylor, tetapi pada titik 0 untuk argumennya. Untuk fungsi argumen kompleks, deret Laurent adalah masalah paling umum di TFCT, karena deret Laurent mewakili deret tak hingga dua sisi. Ini adalah jumlah dari dua seri. Kami menyarankan Anda melihat contoh dekomposisi langsung di situs web; ini sangat mudah dilakukan dengan mengklik “Contoh” dengan nomor apa pun, lalu tombol “Solusi”. Justru perluasan suatu fungsi menjadi suatu deret yang diasosiasikan dengan deret mayorisasi yang membatasi fungsi asal pada suatu daerah tertentu sepanjang sumbu ordinat jika variabel tersebut termasuk dalam daerah absis. Analisis vektor dibandingkan dengan disiplin ilmu menarik lainnya dalam matematika. Karena setiap terminnya perlu diteliti, maka prosesnya memerlukan waktu yang cukup lama. Deret Taylor apa pun dapat dikaitkan dengan deret Maclaurin dengan mengganti x0 dengan nol, tetapi untuk deret Maclaurin terkadang tidak jelas untuk merepresentasikan deret Taylor secara terbalik. Seolah-olah hal ini tidak perlu dilakukan dalam bentuknya yang murni, ini menarik untuk pengembangan diri secara umum. Setiap deret Laurent berhubungan dengan deret pangkat tak hingga dua sisi dengan pangkat bilangan bulat za, dengan kata lain, deret bertipe Taylor yang sama, tetapi perhitungan koefisiennya sedikit berbeda. Kita akan membahas daerah konvergensi deret Laurent nanti, setelah beberapa perhitungan teoretis. Seperti pada abad terakhir, perluasan fungsi secara bertahap menjadi suatu deret hampir tidak dapat dicapai hanya dengan membawa suku-suku tersebut ke penyebut yang sama, karena fungsi-fungsi dalam penyebutnya adalah nonlinier. Perhitungan perkiraan nilai fungsional diperlukan untuk rumusan masalah. Bayangkan fakta bahwa jika argumen deret Taylor adalah variabel linier, maka pemuaian terjadi dalam beberapa tahap, namun gambarannya sangat berbeda jika argumen fungsi yang diperluas adalah fungsi kompleks atau nonlinier, maka proses merepresentasikan fungsi seperti itu dalam deret pangkat adalah jelas, karena, dengan cara ini, mudah untuk menghitung, meskipun merupakan nilai perkiraan, pada titik mana pun di wilayah definisi, dengan kesalahan minimum yang memiliki sedikit pengaruh pada perhitungan lebih lanjut. Hal ini juga berlaku untuk deret Maclaurin. ketika perlu menghitung fungsi di titik nol. Namun, deret Laurent sendiri di sini diwakili oleh perluasan pada bidang dengan satuan imajiner. Selain itu, solusi yang tepat untuk masalah selama keseluruhan proses tidak akan berhasil. Pendekatan ini tidak dikenal dalam matematika, tetapi secara obyektif ada. Hasilnya, Anda dapat sampai pada kesimpulan dari apa yang disebut himpunan bagian titik, dan ketika memperluas suatu fungsi dalam suatu deret, Anda perlu menggunakan metode yang dikenal untuk proses ini, seperti penerapan teori turunan. Sekali lagi kami yakin bahwa guru yang membuat asumsinya tentang hasil perhitungan pasca komputasi benar. Perhatikan bahwa deret Taylor, yang diperoleh menurut semua kanon matematika, ada dan terdefinisi pada seluruh sumbu numerik, namun, pengguna layanan situs yang terhormat, jangan lupa jenis fungsi aslinya, karena mungkin saja ternyata bahwa pada mulanya perlu ditetapkan domain definisi fungsi, yaitu menuliskan dan mengecualikan dari pertimbangan lebih lanjut titik-titik di mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dalam domain bilangan real. Jadi bisa dikatakan, ini akan menunjukkan efisiensi Anda dalam memecahkan masalah. Konstruksi deret Maclaurin dengan nilai argumen nol tidak terkecuali terhadap apa yang telah dikatakan. Proses mencari domain definisi suatu fungsi belum dibatalkan, dan operasi matematika ini harus didekati dengan sangat serius. Dalam kasus deret Laurent yang memuat bagian utama, parameter "a" akan disebut titik tunggal terisolasi, dan deret Laurent akan diperluas dalam sebuah cincin - ini adalah perpotongan area konvergensi bagian-bagiannya, maka teorema yang sesuai akan mengikuti. Namun tidak semuanya serumit yang terlihat pada pandangan pertama bagi siswa yang tidak berpengalaman. Setelah mempelajari deret Taylor, Anda dapat dengan mudah memahami deret Laurent - kasus umum perluasan ruang bilangan. Perluasan deret suatu fungsi hanya dapat dilakukan pada suatu titik dalam domain definisi fungsi tersebut. Sifat-sifat fungsi seperti periodisitas atau diferensiasi tak terbatas harus diperhitungkan. Kami juga menyarankan agar Anda menggunakan tabel perluasan fungsi dasar deret Taylor yang sudah jadi, karena satu fungsi dapat diwakili oleh hingga lusinan deret pangkat yang berbeda, seperti yang dapat dilihat dari penggunaan kalkulator online kami. Seri Maclaurin online sangat mudah untuk ditentukan, jika Anda menggunakan layanan website unik, Anda hanya perlu memasukkan fungsi penulisan yang benar dan Anda akan menerima jawaban yang disajikan dalam hitungan detik, dijamin akurat dan masuk bentuk tertulis standar. Anda dapat menyalin hasilnya langsung ke salinan bersih untuk diserahkan kepada guru. Adalah benar untuk terlebih dahulu menentukan analitik dari fungsi yang dimaksud dalam gelanggang, dan kemudian dengan jelas menyatakan bahwa fungsi tersebut dapat diperluas dalam deret Laurent di semua gelanggang tersebut. Penting untuk tidak melupakan istilah deret Laurent yang mengandung pangkat negatif. Fokus pada hal ini sebanyak mungkin. Manfaatkan teorema Laurent tentang perluasan fungsi dalam pangkat bilangan bulat.

16.1. Perluasan fungsi dasar menjadi deret Taylor dan

Maclaurin

Mari kita tunjukkan bahwa jika suatu fungsi sembarang didefinisikan pada suatu himpunan
, di sekitar titik tersebut
memiliki banyak turunan dan merupakan jumlah dari deret pangkat:

maka Anda dapat mencari koefisien deret ini.

Mari kita gantikan dengan deret pangkat
. Kemudian
.

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut
:

Pada
:
.

Untuk turunan kedua kita peroleh:

Pada
:
.

Melanjutkan prosedur ini N setelah kita mendapatkan:
.

Jadi, kami memperoleh deret pangkat dalam bentuk:

,

yang disebut di sebelah Taylor untuk fungsi
di sekitar titik tersebut
.

Kasus khusus dari deret Taylor adalah Seri Maclaurin pada
:

Sisa deret Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang deret utama N anggota pertama dan dilambangkan sebagai
. Lalu fungsinya
dapat ditulis sebagai jumlah N anggota pertama dari seri ini
dan sisanya
:,

.

Biasanya sisanya
dinyatakan dalam rumus yang berbeda.

Salah satunya dalam bentuk Lagrange:

, Di mana
.
.

Perhatikan bahwa dalam praktiknya deret Maclaurin lebih sering digunakan. Jadi, untuk menulis fungsinya
dalam bentuk penjumlahan deret pangkat diperlukan:

1) temukan koefisien deret Maclaurin (Taylor);

2) mencari daerah konvergensi deret pangkat yang dihasilkan;

3) buktikan bahwa deret ini konvergen ke fungsi tersebut
.

Dalil1 (kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret Maclaurin). Biarkan jari-jari konvergensi deret tersebut
. Agar deret ini konvergen pada interval tersebut
berfungsi
,perlu dan cukup agar kondisi terpenuhi:
dalam interval yang ditentukan.

Teorema 2. Jika turunan dari sembarang orde fungsi
dalam beberapa interval
dibatasi nilai absolutnya pada bilangan yang sama M, itu adalah
, maka dalam interval ini fungsinya
dapat diperluas menjadi deret Maclaurin.

Contoh1 . Perluas deret Taylor di sekitar titik tersebut
fungsi.

Larutan.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Wilayah konvergensi
.

Contoh2 . Perluas suatu fungsi dalam deret Taylor di sekitar suatu titik
.

Larutan:

Tentukan nilai fungsi dan turunannya di
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Mari kita letakkan nilai-nilai ini secara berurutan. Kita mendapatkan:

atau
.

Mari kita cari daerah konvergensi deret ini. Berdasarkan uji d'Alembert, suatu deret konvergen jika

.

Oleh karena itu, untuk siapa pun batas ini kurang dari 1, sehingga rentang konvergensi deret tersebut adalah:
.

Mari kita perhatikan beberapa contoh perluasan fungsi dasar dasar deret Maclaurin. Ingatlah bahwa deret Maclaurin:

.

menyatu pada interval tersebut
berfungsi
.

Perhatikan bahwa untuk memperluas suatu fungsi menjadi suatu rangkaian, perlu:

a) temukan koefisien deret Maclaurin untuk fungsi ini;

b) menghitung jari-jari konvergensi deret yang dihasilkan;

c) buktikan bahwa deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi tersebut
.

Contoh 3. Pertimbangkan fungsinya
.

Larutan.

Mari kita hitung nilai fungsi dan turunannya di
.

Maka koefisien numerik deret tersebut berbentuk:

untuk siapa pun N. Mari kita substitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam deret Maclaurin dan dapatkan:

Mari kita cari jari-jari konvergensi deret yang dihasilkan, yaitu:

.

Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut
.

Deret ini konvergen ke fungsinya untuk nilai apa pun , karena pada interval apa pun
fungsi dan turunan nilai absolutnya terbatas jumlahnya .

Contoh4 . Pertimbangkan fungsinya
.

Larutan.

:

Sangat mudah untuk melihat bahwa turunan berorde genap
, dan turunannya berorde ganjil. Mari kita substitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam deret Maclaurin dan dapatkan ekspansi:

Mari kita cari interval konvergensi deret ini. Menurut tanda d'Alembert:

untuk siapa pun . Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut
.

Deret ini konvergen ke fungsinya
, karena semua turunannya terbatas pada kesatuan.

Contoh5 .
.

Larutan.

Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di
:

Jadi, koefisien deret ini:
Dan
, karena itu:

Mirip dengan baris sebelumnya, luas konvergensi
. Deret tersebut konvergen ke fungsinya
, karena semua turunannya terbatas pada kesatuan.

Harap dicatat bahwa fungsinya
perluasan ganjil dan deret pangkat ganjil, fungsi
– genap dan perluasan menjadi rangkaian dalam pangkat genap.

Contoh6 . Deret binomial:
.

Larutan.

Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di
:

Dari sini terlihat bahwa:

Mari kita substitusikan nilai koefisien ini ke dalam deret Maclaurin dan peroleh perluasan fungsi ini menjadi deret pangkat:

Mari kita cari jari-jari konvergensi deret ini:

Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut
. Pada titik batas di
Dan
suatu deret mungkin konvergen atau tidak tergantung pada eksponennya
.

Deret yang dipelajari konvergen pada interval tersebut
berfungsi
, yaitu jumlah deretnya
pada
.

Contoh7 . Mari kita perluas fungsi pada deret Maclaurin
.

Larutan.

Untuk memperluas fungsi ini menjadi suatu deret, kita menggunakan deret binomial di
. Kita mendapatkan:

Berdasarkan sifat deret pangkat (deret pangkat dapat diintegrasikan pada daerah konvergensinya), kita cari integral ruas kiri dan kanan deret tersebut:

Mari kita cari luas konvergensi deret ini:
,

artinya, luas konvergensi deret ini adalah intervalnya
. Mari kita tentukan kekonvergenan deret pada ujung-ujung interval. Pada

. Deret ini merupakan deret harmonis, yaitu divergen. Pada
kita mendapatkan deret bilangan dengan suku yang sama
.

Deret tersebut konvergen menurut kriteria Leibniz. Jadi, daerah konvergensi deret tersebut adalah intervalnya
.

16.2. Penerapan deret pangkat dalam perhitungan perkiraan

Dalam perhitungan perkiraan, deret pangkat memainkan peran yang sangat penting. Dengan bantuan mereka, tabel fungsi trigonometri, tabel logaritma, tabel nilai fungsi lain telah disusun, yang digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan, misalnya dalam teori probabilitas dan statistik matematika. Selain itu, perluasan fungsi menjadi deret pangkat berguna untuk kajian teoritisnya. Masalah utama saat menggunakan deret pangkat dalam perhitungan perkiraan adalah pertanyaan memperkirakan kesalahan saat mengganti jumlah deret dengan jumlah deret pertama. N anggota.

Mari kita pertimbangkan dua kasus:

fungsinya diperluas menjadi rangkaian pergantian tanda;

fungsinya diperluas menjadi serangkaian tanda konstan.

Perhitungan menggunakan deret bolak-balik

Biarkan fungsinya
diperluas menjadi rangkaian daya bolak-balik. Kemudian saat menghitung fungsi ini untuk nilai tertentu kita memperoleh deret bilangan yang dapat kita terapkan kriteria Leibniz. Sesuai dengan kriteria ini, jika jumlah suatu deret diganti dengan jumlah deret pertamanya N suku, maka kesalahan mutlaknya tidak melebihi suku pertama sisa deret tersebut, yaitu:
.

Contoh8 . Menghitung
dengan akurasi 0,0001.

Larutan.

Kami akan menggunakan deret Maclaurin untuk
, dengan mengganti nilai sudut dalam radian:

Jika kita membandingkan suku pertama dan suku kedua deret tersebut dengan ketelitian tertentu, maka: .

Periode ekspansi ketiga:

kurang dari keakuratan perhitungan yang ditentukan. Oleh karena itu, untuk menghitung
cukup menyisakan dua suku pada deret tersebut, yaitu

.

Dengan demikian
.

Contoh9 . Menghitung
dengan akurasi 0,001.

Larutan.

Kita akan menggunakan rumus deret binomial. Untuk melakukan ini, mari menulis
sebagai:
.

Dalam ungkapan ini
,

Mari kita bandingkan setiap suku deret tersebut dengan ketelitian yang ditentukan. Sudah jelas itu
. Oleh karena itu, untuk menghitung
cukup menyisakan tiga suku dari deret tersebut.

atau
.

Perhitungan menggunakan deret positif

Contoh10 . Hitung angka dengan akurasi 0,001.

Larutan.

Berturut-turut untuk suatu fungsi
mari kita gantikan
. Kita mendapatkan:

Mari kita perkirakan kesalahan yang timbul ketika mengganti jumlah suatu deret dengan jumlah deret pertama anggota. Mari kita tuliskan ketidaksetaraan yang jelas:

itu adalah 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Berdasarkan masalahnya, Anda perlu menemukannya N sedemikian rupa sehingga terjadi ketimpangan berikut:
atau
.

Sangat mudah untuk memeriksa kapan N= 6:
.

Karena itu,
.

Contoh11 . Menghitung
dengan akurasi 0,0001.

Larutan.

Perhatikan bahwa untuk menghitung logaritma seseorang dapat menggunakan deret untuk fungsinya
, tetapi deret ini menyatu dengan sangat lambat dan untuk mencapai keakuratan yang diberikan, perlu mengambil 9999 suku! Oleh karena itu, untuk menghitung logaritma, biasanya digunakan deret fungsi
, yang konvergen pada interval tersebut
.

Mari kita hitung
menggunakan seri ini. Membiarkan
, Kemudian .

Karena itu,
,

Untuk menghitung
dengan akurasi tertentu, ambil jumlah empat suku pertama:
.

Sisa seri
ayo kita buang. Mari kita perkirakan kesalahannya. Jelas sekali

atau
.

Jadi, pada deret yang digunakan untuk perhitungan, cukup mengambil empat suku pertama saja, bukan 9999 pada deret tersebut untuk fungsinya.
.

Pertanyaan diagnosis diri

1. Apa yang dimaksud dengan deret Taylor?

2. Bentuk apa yang dimiliki deret Maclaurin?

3. Merumuskan teorema perluasan fungsi pada deret Taylor.

4. Tuliskan perluasan fungsi utama deret Maclaurin.

5. Tunjukkan daerah konvergensi deret yang ditinjau.

6. Bagaimana cara memperkirakan kesalahan dalam perhitungan perkiraan menggunakan deret pangkat?

Dalam teori deret fungsional, tempat sentral ditempati oleh bagian yang dikhususkan untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret.

Jadi, tugasnya ditetapkan: untuk fungsi tertentu kita perlu menemukan rangkaian pangkat seperti itu

yang konvergen pada interval tertentu dan jumlahnya sama dengan
, itu.

= ..

Tugas ini disebut masalah perluasan suatu fungsi menjadi deret pangkat.

Kondisi yang diperlukan untuk penguraian suatu fungsi dalam deret pangkat adalah diferensiasinya berkali-kali - ini mengikuti sifat-sifat deret pangkat konvergen. Kondisi ini biasanya dipenuhi untuk fungsi-fungsi dasar dalam domain definisinya.

Jadi mari kita asumsikan fungsinya
memiliki turunan dari urutan apa pun. Apakah mungkin untuk mengembangkannya menjadi rangkaian pangkat? Jika demikian, bagaimana kita dapat menemukan rangkaian ini? Bagian kedua dari masalah ini lebih mudah diselesaikan, jadi mari kita mulai.

Mari kita asumsikan fungsinya
dapat direpresentasikan sebagai jumlah deret pangkat yang konvergen pada interval yang memuat titik tersebut X 0 :

= .. (*)

Di mana A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – koefisien yang tidak diketahui (belum).

Mari kita masukkan persamaan (*) nilainya x = x 0 , lalu kita dapatkan

.

Mari kita bedakan deret pangkat (*) suku demi suku

= ..

dan percaya di sini x = x 0 , kita mendapatkan

.

Dengan diferensiasi berikutnya kita memperoleh deret tersebut

= ..

percaya x = x 0 , kita mendapatkan
, Di mana
.

Setelah P-berbagai diferensiasi yang kita dapatkan

Dengan asumsi persamaan terakhir x = x 0 , kita mendapatkan
, Di mana

Jadi, koefisiennya ditemukan

,
,
, …,
,….,

mensubstitusikan yang ke dalam deret (*), kita peroleh

Deret yang dihasilkan disebut di sebelah Taylor untuk fungsi
.

Jadi, kami telah menetapkannya jika fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret pangkat dengan pangkat (x - x 0 ), maka pemuaian ini bersifat unik dan deret yang dihasilkan tentu saja merupakan deret Taylor.

Perhatikan bahwa deret Taylor dapat diperoleh untuk fungsi apa pun yang mempunyai turunan dengan orde apa pun di titik tersebut x = x 0 . Namun ini tidak berarti bahwa tanda sama dengan dapat ditempatkan antara fungsi dan deret yang dihasilkan, yaitu. bahwa jumlah deret tersebut sama dengan fungsi aslinya. Pertama, persamaan seperti itu hanya masuk akal di daerah konvergensi, dan deret Taylor yang diperoleh untuk fungsi tersebut mungkin berbeda, dan kedua, jika deret Taylor konvergen, maka jumlahnya mungkin tidak sesuai dengan fungsi aslinya.

3.2. Kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Taylor

Mari kita merumuskan pernyataan yang dengannya tugas akan diselesaikan.

Jika fungsinya
di beberapa lingkungan titik x 0 memiliki turunan hingga (N+ 1) pesanan inklusif, maka di lingkungan ini kita punyarumus Taylor

Di manaR N (X)-sisa suku rumus Taylor – berbentuk (bentuk Lagrange)

Di mana dotξ terletak di antara x dan x 0 .

Perhatikan bahwa ada perbedaan antara deret Taylor dan rumus Taylor: rumus Taylor adalah jumlah berhingga, yaitu. P - nomor tetap.

Ingatlah bahwa jumlah deret tersebut S(X) dapat didefinisikan sebagai limit barisan fungsional dari jumlah parsial S P (X) pada interval tertentu X:

.

Oleh karena itu, memperluas suatu fungsi menjadi deret Taylor berarti mencari deret sedemikian rupa sehingga untuk sembarang XX

Mari kita tuliskan rumus Taylor dalam bentuk dimana

perhatikan itu
mendefinisikan kesalahan yang kita dapatkan, ganti fungsinya F(X) polinomial S N (X).

Jika
, Itu
,itu. fungsinya diperluas menjadi deret Taylor. Begitu pula sebaliknya jika
, Itu
.

Demikianlah kami membuktikannya kriteria keteruraian suatu fungsi dalam deret Taylor.

Agar fungsinyaF(x) berkembang menjadi deret Taylor, perlu dan cukup pada interval ini
, Di manaR N (X) adalah sisa suku deret Taylor.

Dengan menggunakan kriteria yang dirumuskan, seseorang dapat memperoleh memadaikondisi untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Taylor.

Jika dibeberapa lingkungan titik x 0 nilai absolut semua turunan fungsi dibatasi pada bilangan yang sama M≥ 0, yaitu

, To di lingkungan ini fungsinya meluas menjadi deret Taylor.

Dari penjelasan di atas berikut ini algoritmaperluasan fungsi F(X) dalam deret Taylor di sekitar suatu titik X 0 :

1. Menemukan turunan fungsi F(X):

f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…

2. Hitung nilai fungsi dan nilai turunannya di titik tersebut X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Secara formal kita menulis deret Taylor dan mencari daerah konvergensi deret pangkat yang dihasilkan.

4. Kami memeriksa pemenuhan syarat cukup, yaitu. kami menetapkan untuk yang mana X dari daerah konvergensi, sisa suku R N (X) cenderung nol pada
atau
.

Perluasan fungsi menjadi deret Taylor dengan menggunakan algoritma ini disebut perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor menurut definisi atau dekomposisi langsung.

Siswa matematika tingkat tinggi harus mengetahui bahwa jumlah deret pangkat tertentu yang termasuk dalam interval konvergensi deret yang diberikan kepada kita ternyata merupakan fungsi terdiferensiasi yang kontinu dan berkali-kali tidak terbatas. Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk mengatakan bahwa suatu fungsi sembarang f(x) adalah jumlah dari deret pangkat tertentu? Artinya, dalam kondisi apa fungsi f(x) dapat direpresentasikan dengan deret pangkat? Pentingnya pertanyaan ini terletak pada kenyataan bahwa fungsi f(x) dapat diganti dengan jumlah beberapa suku pertama suatu deret pangkat, yaitu polinomial. Penggantian fungsi dengan ekspresi yang cukup sederhana - polinomial - juga berguna saat menyelesaikan masalah tertentu, yaitu: saat menyelesaikan integral, saat menghitung, dll.

Telah dibuktikan bahwa untuk fungsi tertentu f(x), yang memungkinkan untuk menghitung turunan hingga orde ke-(n+1), termasuk yang terakhir, di lingkungan (α - R; x 0 + R ) suatu titik x = α, benar rumusnya:

Rumus ini dinamai ilmuwan terkenal Brooke Taylor. Deret yang diperoleh dari deret sebelumnya disebut deret Maclaurin:

Aturan yang memungkinkan dilakukannya perluasan pada deret Maclaurin:

1. Tentukan turunan orde pertama, kedua, ketiga....
2. Hitung turunannya di x=0.
3. Tuliskan deret Maclaurin untuk fungsi ini, lalu tentukan interval konvergensinya.
4. Tentukan interval (-R;R), dimana sisa rumus Maclaurin

R n (x) -> 0 pada n -> tak terhingga. Jika ada, fungsi f(x) di dalamnya harus sama dengan jumlah deret Maclaurin.

Sekarang mari kita pertimbangkan deret Maclaurin untuk masing-masing fungsi.

1. Jadi, persamaan pertama adalah f(x) = e x. Tentu saja, berdasarkan karakteristiknya, fungsi tersebut mempunyai turunan dengan orde yang sangat berbeda, dan f (k) (x) = e x , dimana k sama dengan semua. Substitusikan x = 0. Kita mendapatkan f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Berdasarkan penjelasan di atas, maka deret e x akan terlihat seperti ini:

2. Deret Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Mari kita segera perjelas bahwa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan memiliki turunan, selain itu, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), dimana k sama dengan sembarang bilangan asli Artinya, setelah melakukan perhitungan sederhana, kita dapat memperoleh kesimpulannya deret f(x) = sin x akan terlihat seperti ini:

3. Sekarang mari kita coba perhatikan fungsi f(x) = cos x. Untuk semua yang tidak diketahui, ia memiliki turunan dengan urutan sembarang, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Jadi, kami telah membuat daftar fungsi terpenting yang dapat diperluas dalam deret Maclaurin, tetapi fungsi tersebut dilengkapi dengan deret Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan membuat daftarnya. Perlu juga dicatat bahwa deret Taylor dan Maclaurin adalah bagian penting dari kerja praktek dalam menyelesaikan deret dalam matematika tingkat tinggi. Jadi, deret Taylor.

1. Deret pertama adalah deret fungsi f(x) = ln(1+x). Seperti pada contoh sebelumnya, untuk f(x) = ln(1+x) yang diberikan kita dapat menjumlahkan deret tersebut menggunakan bentuk umum deret Maclaurin. namun, untuk fungsi ini deret Maclaurin dapat diperoleh dengan lebih sederhana. Setelah mengintegrasikan deret geometri tertentu, diperoleh deret f(x) = ln(1+x) dari sampel berikut:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi final dalam artikel kita, adalah deret untuk f(x) = arctan x. Untuk x yang termasuk dalam interval [-1;1] perluasannya valid:

Itu saja. Artikel ini membahas deret Taylor dan Maclaurin yang paling banyak digunakan dalam matematika tingkat tinggi, khususnya di universitas ekonomi dan teknik.

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde pada interval tertentu yang mengandung titik a, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:
,
Di mana tidak– yang disebut sisa suku atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:
, dimana bilangan x berada di antara x dan a.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Jika untuk beberapa nilai X tidak→0 jam N→∞, maka pada limit rumus Taylor menjadi konvergen untuk nilai ini Seri Taylor:
,
Jadi, fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor di titik x yang ditinjau jika:
1) memiliki turunan dari semua pesanan;
2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.

Ketika a = 0 kita mendapat suatu deret yang disebut dekat Maclaurin:
,
Perluasan fungsi (dasar) paling sederhana dalam deret Maclaurin:
Fungsi eksponensial
, R=∞
Fungsi trigonometri
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak meluas dalam pangkat x, karena ctg0=∞
Fungsi hiperbolik


Fungsi logaritma
, -1
Seri binomial
.

Contoh No.1. Perluas fungsinya menjadi deret pangkat f(x)= 2X.
Larutan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X dalam 2 2, F""( 0) = 2 0 dalam 2 2= dalam 2 2;
…
f(n)(x) = 2X dalam N 2, f(n)( 0) = 2 0 dalam N 2=dalam N 2.
Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita memperoleh:

Jari-jari konvergensi deret ini sama dengan tak terhingga, oleh karena itu pemuaian ini berlaku untuk -∞<X<+∞.

Contoh No.2. Tuliskan deret Taylor dalam pangkat ( X+4) untuk fungsi f(x)= e X.
Larutan. Mencari turunan fungsi e X dan nilai-nilai mereka pada saat itu X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, F"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, F""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Oleh karena itu, deret Taylor dari fungsi tersebut memiliki bentuk:

Perluasan ini juga berlaku untuk -∞<X<+∞.

Contoh No.3. Perluas suatu fungsi f(x)=dalam X dalam rangkaian kekuatan ( X- 1),
(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).
Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita memperoleh deret Taylor yang diinginkan:

Dengan menggunakan uji d'Alembert, Anda dapat memverifikasi bahwa deret tersebut konvergen di ½x-1½<1 . Действительно,

Deret tersebut konvergen jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi kriteria Leibniz. Ketika x=0 fungsinya tidak terdefinisi. Jadi, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).

Contoh No.4. Perluas fungsinya menjadi deret pangkat.
Larutan. Pada ekspansi (1) kita ganti x dengan -x 2, kita peroleh:
, -∞

Contoh No.5. Perluas fungsinya menjadi deret Maclaurin.
Larutan. Kita punya
Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:

dengan mengganti –x dan bukan x ke dalam rumus, kita mendapatkan:

Dari sini kita menemukan: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Membuka tanda kurung, menyusun ulang suku-suku deret tersebut dan membawa suku-suku serupa, kita peroleh
. Deret ini konvergen pada interval (-1;1), karena diperoleh dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval tersebut.

Komentar .
Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi-fungsi yang bersesuaian menjadi deret Taylor, yaitu. untuk memperluas fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu melakukan transformasi identik pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), yang sebaliknya X biaya k( Ha) m , dimana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk melakukan perubahan variabel T=Ha dan perluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.

Metode ini didasarkan pada teorema keunikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat. Inti dari teorema ini adalah bahwa di lingkungan titik yang sama tidak dapat diperoleh dua deret pangkat berbeda yang konvergen pada fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana pemuaiannya dilakukan.

Contoh No.5a. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin dan tunjukkan daerah konvergensinya.
Larutan. Pertama kita cari 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ke dasar:

Pecahan 3/(1-3x) dapat dianggap sebagai jumlah barisan geometri yang menurun tak hingga dan berpenyebut 3x, jika |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

dengan daerah konvergensi |x|< 1/3.

Contoh No.6. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Taylor di sekitar titik x = 3.
Larutan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan definisi deret Taylor, yang untuk itu kita perlu mencari turunan fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan ekspansi yang ada (5):
=
Deret yang dihasilkan konvergen pada atau –3

Contoh No.7. Tuliskan deret Taylor dalam pangkat (x -1) dari fungsi ln(x+2) .
Larutan.


Deret tersebut konvergen di , atau -2< x < 5.

Contoh No.8. Perluas fungsi f(x)=sin(πx/4) menjadi deret Taylor di sekitar titik x =2.
Larutan. Mari kita lakukan penggantian t=x-2:

Dengan menggunakan ekspansi (3), yang mana kita substitusikan π / 4 t sebagai pengganti x, kita peroleh:

Deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi tertentu di -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Dengan demikian,
, (-∞

Perkiraan perhitungan menggunakan deret pangkat

• jika deret yang dihasilkan bolak-balik, maka digunakan sifat berikut: untuk deret bolak-balik yang memenuhi syarat Leibniz, nilai absolut deret yang tersisa tidak melebihi suku pertama yang dibuang.
• jika suatu deret tertentu bertanda tetap, maka deret yang terdiri dari suku-suku yang dibuang tersebut dibandingkan dengan barisan geometri yang menurun tak terhingga.
• secara umum, untuk memperkirakan sisa deret Taylor dapat menggunakan rumus Lagrange: a X ).

Contoh No.1. Hitung ln(3) hingga 0,01 terdekat.
Larutan. Mari kita gunakan perluasan di mana x=1/2 (lihat contoh 5 di topik sebelumnya):

Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisa setelah tiga suku pertama pemuaian; untuk melakukan ini, kita akan mengevaluasinya menggunakan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:

Jadi kita bisa membuang sisa ini dan mendapatkannya

Contoh No.2. Hitung hingga 0,0001 terdekat.
Larutan. Mari kita gunakan deret binomial. Karena 5 3 adalah pangkat tiga dari bilangan bulat yang paling mendekati 130, disarankan untuk menyatakan bilangan 130 sebagai 130 = 5 3 +5.



karena suku keempat dari deret bolak-balik yang dihasilkan yang memenuhi kriteria Leibniz kurang dari ketelitian yang disyaratkan:
, jadi itu dan istilah-istilah yang mengikutinya dapat dibuang.
Banyak integral pasti atau integral tak wajar yang diperlukan secara praktis tidak dapat dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz, karena penerapannya dikaitkan dengan pencarian antiturunan, yang seringkali tidak memiliki ekspresi dalam fungsi dasar. Menemukan antiturunan juga mungkin dilakukan, tetapi hal itu membutuhkan banyak tenaga kerja. Namun, jika fungsi integran diperluas menjadi deret pangkat, dan batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret tersebut, maka perhitungan perkiraan integral dengan akurasi yang telah ditentukan dapat dilakukan.

Contoh No.3. Hitung integral ∫ 0 1 4 sin (x) x hingga 10 -5 .
Larutan. Integral tak tentu yang bersesuaian tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, yaitu. mewakili “integral tidak permanen”. Rumus Newton-Leibniz tidak dapat diterapkan di sini. Mari kita hitung kira-kira integralnya.
Membagi suku demi suku deret dosa X pada X, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan deret ini suku demi suku (hal ini dimungkinkan, karena batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret ini), kita memperoleh:

Karena deret yang dihasilkan memenuhi kondisi Leibniz dan cukup dengan menjumlahkan dua suku pertama untuk mendapatkan nilai yang diinginkan dengan akurasi tertentu.
Jadi, kami menemukan
.

Contoh No.4. Hitung integral ∫ 0 1 4 e x 2 dengan ketelitian 0,001.
Larutan.
. Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisanya setelah suku kedua dari deret yang dihasilkan.
0,0001<0.001. Следовательно, .