Jika kita menambahkan angka 0 di sebelah kiri rangkaian bilangan asli, kita mendapatkan rangkaian bilangan bulat positif:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Bilangan bulat negatif

Mari kita lihat contoh kecilnya. Gambar di sebelah kiri menunjukkan termometer yang menunjukkan suhu 7°C. Jika suhu turun 4°, termometer akan menunjukkan panas 3°. Penurunan suhu berhubungan dengan tindakan pengurangan:

Jika suhu turun 7°, termometer akan menunjukkan 0°. Penurunan suhu berhubungan dengan tindakan pengurangan:

Jika suhu turun 8°, termometer akan menunjukkan -1° (1° di bawah nol). Namun hasil pengurangan 7 - 8 tidak dapat dituliskan menggunakan bilangan asli dan nol.

Mari kita ilustrasikan pengurangan menggunakan serangkaian bilangan bulat angka positif:

1) Dari angka 7, hitung 4 angka ke kiri dan dapatkan 3:

2) Dari angka 7, hitung 7 angka ke kiri dan dapatkan 0:

Tidak mungkin menghitung 8 bilangan dari bilangan 7 ke kiri dalam rangkaian bilangan bulat positif. Agar tindakan 7 - 8 dapat dilakukan, kami memperluas jangkauan bilangan bulat positif. Untuk melakukan ini, di sebelah kiri nol, kita menulis (dari kanan ke kiri) secara berurutan semua bilangan asli, menambahkan tanda - ke masing-masing bilangan tersebut, yang menunjukkan bahwa bilangan ini berada di sebelah kiri nol.

Entri -1, -2, -3, ... dibaca minus 1, minus 2, minus 3, dst.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Deretan angka yang dihasilkan disebut serangkaian bilangan bulat. Titik-titik di kiri dan kanan dalam entri ini berarti bahwa rangkaian tersebut dapat dilanjutkan tanpa batas ke kanan dan kiri.

Di sebelah kanan angka 0 pada baris ini terdapat angka-angka yang dipanggil alami atau bilangan bulat positif(secara singkat - positif).

Di sebelah kiri angka 0 pada baris ini terdapat angka-angka yang dipanggil bilangan bulat negatif(secara singkat - negatif).

Angka 0 adalah bilangan bulat, namun bukan bilangan positif atau negatif. Ini memisahkan angka positif dan negatif.

Karena itu, rangkaian bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.

Perbandingan Bilangan Bulat

Bandingkan dua bilangan bulat- berarti mencari tahu mana yang lebih besar, mana yang lebih kecil, atau menentukan bilangan yang sama.

Anda dapat membandingkan bilangan bulat menggunakan deretan bilangan bulat, karena bilangan di dalamnya disusun dari terkecil hingga terbesar jika Anda menelusuri baris tersebut dari kiri ke kanan. Oleh karena itu, dalam rangkaian bilangan bulat, Anda dapat mengganti koma dengan tanda kurang dari:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Karena itu, dari dua bilangan bulat, bilangan yang berada di sebelah kanan deret tersebut adalah bilangan yang lebih besar, dan bilangan yang berada di sebelah kiri deret tersebut adalah bilangan yang lebih kecil, Cara:

1) Setiap bilangan positif lebih besar dari nol dan lebih besar dari bilangan negatif:

1 > 0; 15 > -16

2) Bilangan negatif apa pun yang kurang dari nol:

7 < 0; -357 < 0

3) Dari dua bilangan negatif, bilangan yang berada di sebelah kanan barisan bilangan bulat yang lebih besar.

Subjek

Jenis pelajaran

• mempelajari dan asimilasi utama materi baru

Tujuan Pelajaran

Rencana belajar

1. Perkenalan.
2. Bagian teoritis
3. Bagian praktis.
4. Pekerjaan rumah.
5. Pertanyaan

Perkenalan

Mari kita lihat video cara mengurutkan bilangan negatif

Sekarang susunlah bilangan negatifnya dan uraikan topik pelajarannya:

Jawaban: kata “perbandingan”.

Bagian teoritis

Perbandingan angka. Aturan

Saat membandingkan dua angka, hal pertama yang perlu Anda perhatikan adalah tanda-tanda angka yang dibandingkan. Bilangan yang bertanda minus (negatif) selalu lebih kecil dari bilangan positif.

Jika kedua bilangan yang dibandingkan mempunyai tanda minus (negatif), maka kita harus membandingkan nilai absolutnya, yaitu membandingkannya tanpa memperhitungkan tanda minusnya. Bilangan yang modulusnya lebih besar sebenarnya lebih kecil.

Misalnya -3 dan -5. Angka-angka yang dibandingkan adalah negatif. Artinya kita bandingkan modulnya 3 dan 5. 5 lebih besar dari 3, artinya -5 lebih kecil dari -3.

Jika salah satu bilangan yang dibandingkan adalah nol, maka bilangan negatifnya lebih kecil dari nol. (-3 < 0) Dan masih ada lagi yang positif. (3 > 0)

Anda juga dapat membandingkan angka menggunakan garis koordinat horizontal. Nomor di sebelah kiri angka yang lebih sedikit terletak di sebelah kanan. Juga sah aturan terbalik. Titik dengan koordinat lebih besar pada suatu garis koordinat terletak di sebelah kanan dibandingkan titik dengan koordinat lebih kecil.

Misalnya pada gambar, Titik E berada di sebelah kanan titik A dan koordinatnya lebih besar. (5 > 1)

Perbandingan Bilangan Bulat

Perbandingan nilai absolut (modul) bilangan

Pertidaksamaan dengan modulus

Bagian praktis

Membandingkan angka-angka pada garis bilangan

Tugas

1. Jelaskan alasannya:
-5 kurang dari -1,
-2 atas -16,
-25 kurang dari 3,
0 lagi – 9.

2. Bandingkan:
angka ditampilkan pada garis koordinat: 0; A; V; Dengan. Membandingkan:

1) sebuah > 0; 2) di< 0; 3) 0 >Dengan.
angka ditampilkan pada garis koordinat: 0; A; V; Dengan. Membandingkan mereka:

1) sebuah > b; 2) dengan< а; 3) в < с.

3. Pertidaksamaan manakah yang benar?
Angka a dan b negatif; | sebuah | > | di |.
a) sebuah > b; b) a< в.

4. Bandingkan modulus bilangan a dan b.
Angka a dan b negatif; A< в.

5. Pertidaksamaan manakah yang benar?
a adalah bilangan positif,
c adalah bilangan negatif.
a) sebuah > b; b) a< в?

6. Bandingkan:

Pekerjaan rumah

1. Bandingkan angkanya

2. Hitung

3. Susunlah angka-angka tersebut secara menaik

Pertanyaan

Apa yang ditunjukkan oleh koordinat suatu titik pada suatu garis?
Berapakah modulus suatu bilangan c titik geometris penglihatan?
Berapa modulus bilangan positif?
Berapa modulus bilangan negatif?
Berapakah modulus nol?
Bisakah modulus suatu bilangan menjadi bilangan negatif?
Sebutkan nomornya nomor berlawanan 5?
Berapakah bilangan yang berlawanan dengan dirinya sendiri?

Kesimpulan

Bilangan negatif mana pun lebih kecil dari bilangan positif mana pun.

Dari dua bilangan negatif, bilangan yang besarnya lebih besar akan lebih kecil.

Nol lebih besar dari bilangan negatif mana pun, tetapi lebih kecil dari bilangan positif mana pun.

Pada garis koordinat mendatar, suatu titik yang koordinatnya lebih besar terletak di sebelah kanan titik yang koordinatnya lebih kecil.

Daftar sumber yang digunakan

1. Ensiklopedia Matematika (dalam 5 jilid). - M.: Ensiklopedia Soviet, 2002. - T.1.
2. “Buku Referensi Anak Sekolah Terbaru” “RUMAH Abad XXI” 2008
3. Ringkasan pelajaran dengan topik “Membandingkan angka” Penulis: Petrova V.P., guru matematika (kelas 5-9), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Zhokhov, Matematika untuk kelas 6, Buku teks untuk sekolah menengah

Kami mengerjakan pelajaran
Pausinka A.V.
Petrova V.P.

Disusun dan diedit oleh Pautinka A.V.

Ajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide atau memecahkan masalah yang mendesak, Anda bisa forum pendidikan, tempat dewan pendidikan yang berisi pemikiran dan tindakan segar bertemu secara internasional. Setelah dibuat

Tingkat pertama

Perbandingan angka. Panduan komprehensif (2019)

Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta soal modul, Anda perlu menempatkan akar-akar yang ditemukan pada garis bilangan. Seperti yang Anda ketahui, akar yang ditemukan mungkin berbeda. Bisa seperti ini: , atau bisa seperti ini: , .

Oleh karena itu, jika bilangan-bilangan tersebut tidak rasional tetapi irasional (jika Anda lupa, lihat topiknya), atau merupakan ekspresi matematika yang kompleks, maka menempatkannya pada garis bilangan akan sangat bermasalah. Selain itu, Anda tidak dapat menggunakan kalkulator selama ujian, dan perhitungan perkiraan tidak memberikan jaminan 100% bahwa satu angka lebih kecil dari angka lainnya (bagaimana jika ada perbedaan antara angka yang dibandingkan?).

Tentu saja Anda tahu bahwa bilangan positif selalu lebih besar daripada bilangan negatif, dan jika kita membayangkan sebuah sumbu bilangan, maka ketika membandingkan, angka terbesar akan ditempatkan di sebelah kanan daripada yang terkecil: ; ; dll.

Namun apakah semuanya selalu mudah? Dimana pada garis bilangan tersebut kita tandai, .

Bagaimana cara membandingkannya, misalnya dengan angka? Inilah intinya...)

Pertama, mari kita bicara garis besar umum bagaimana dan apa yang harus dibandingkan.

Penting: disarankan untuk melakukan transformasi sedemikian rupa sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah! Artinya, selama transformasi, tidak diinginkan untuk mengalikan dengan bilangan negatif, dan itu dilarang persegi jika salah satu bagiannya negatif.

Perbandingan pecahan

Jadi, kita perlu membandingkan dua pecahan: dan.

Ada beberapa opsi tentang cara melakukan ini.

Pilihan 1. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Mari kita tuliskan dalam bentuk pecahan biasa:

- (seperti yang Anda lihat, saya juga mengurangi pembilang dan penyebutnya).

Sekarang kita perlu membandingkan pecahan:

Sekarang kita dapat terus membandingkan dengan dua cara. Kita dapat:

1. cukup bawa semuanya ke penyebut yang sama, dengan menampilkan kedua pecahan sebagai pecahan biasa (pembilangnya lebih besar dari penyebutnya):

   Angka manakah yang lebih besar? Betul, yang pembilangnya lebih besar, yaitu yang pertama.

2. “ayo kita buang” (anggap kita telah mengurangkan satu dari setiap pecahan, dan perbandingan pecahan satu sama lain tidak berubah) dan bandingkan pecahannya:

   Kami juga membawanya ke penyebut yang sama:

   Kami mendapatkan hasil yang persis sama seperti pada kasus sebelumnya - angka pertama lebih besar dari angka kedua:

   Mari kita periksa juga apakah kita mengurangi satu dengan benar? Mari kita hitung selisih pembilangnya pada perhitungan pertama dan kedua:
   1)
   2)

Jadi, kami melihat cara membandingkan pecahan, membawanya ke penyebut yang sama. Mari kita beralih ke metode lain - membandingkan pecahan, membawanya ke... pembilang yang sama.

Pilihan 2. Membandingkan pecahan dengan mereduksi menjadi pembilang yang sama.

Ya ya. Ini bukan salah ketik. Metode ini jarang diajarkan kepada siapa pun di sekolah, tetapi seringkali sangat mudah dilakukan. Agar Anda segera memahami esensinya, saya hanya akan menanyakan satu pertanyaan - “dalam hal apa nilai pecahan paling besar?” Tentu saja, Anda akan mengatakan “bila pembilangnya sebesar mungkin dan penyebutnya sekecil mungkin”.

Misalnya, Anda pasti bisa mengatakan itu benar? Bagaimana jika kita perlu membandingkan pecahan berikut: ? Saya pikir Anda juga akan segera memasang tandanya dengan benar, karena dalam kasus pertama mereka dibagi menjadi beberapa bagian, dan yang kedua menjadi utuh, yang berarti bahwa dalam kasus kedua potongan-potongannya menjadi sangat kecil, dan karenanya: . Seperti yang Anda lihat, penyebutnya berbeda, tetapi pembilangnya sama. Namun, untuk membandingkan kedua pecahan ini, Anda tidak perlu mencari penyebut yang sama. Meskipun... temukan dan lihat apakah tanda perbandingannya masih salah?

Tapi tandanya sama.

Mari kita kembali ke tugas awal kita - membandingkan dan... Kami akan membandingkan dan... Mari kita kurangi pecahan-pecahan ini bukan menjadi penyebut yang sama, tetapi menjadi pembilang yang sama. Untuk melakukan ini secara sederhana pembilang dan penyebut kalikan pecahan pertama dengan. Kita mendapatkan:

Dan. Pecahan manakah yang lebih besar? Itu benar, yang pertama.

Opsi 3: Membandingkan pecahan menggunakan pengurangan.

Bagaimana cara membandingkan pecahan menggunakan pengurangan? Ya, sangat sederhana. Kami mengurangi pecahan lain dari satu pecahan. Jika hasilnya positif maka pecahan pertama (minuend) lebih besar dari pecahan kedua (pengurang), dan jika negatif maka sebaliknya.

Dalam kasus kita, mari kita coba kurangi pecahan pertama dari pecahan kedua: .

Seperti yang sudah Anda pahami, kami juga mengonversi ke pecahan biasa dan mendapatkan hasil yang sama - . Ekspresi kami mengambil bentuk:

Selanjutnya, kita masih harus menggunakan penyebut yang sama. Pertanyaannya: cara pertama, mengubah pecahan menjadi pecahan biasa, atau cara kedua, seolah-olah “menghilangkan” satuannya? Omong-omong, tindakan ini memiliki pembenaran matematis sepenuhnya. Lihat:

Saya lebih menyukai opsi kedua, karena mengalikan pembilangnya jika direduksi menjadi penyebut yang sama menjadi lebih mudah.

Mari kita bawa ke penyebut yang sama:

Hal utama di sini adalah jangan bingung tentang bilangan apa yang kita kurangi dan di mana. Perhatikan baik-baik kemajuan solusinya dan jangan sampai membingungkan tanda-tandanya secara tidak sengaja. Kita mengurangkan bilangan pertama dari bilangan kedua dan mendapat jawaban negatif, jadi?.. Betul, bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua.

Mengerti? Coba bandingkan pecahan:

Berhenti berhenti. Jangan terburu-buru membawa ke penyebut atau pengurangan yang sama. Lihat: Anda dapat dengan mudah mengubahnya menjadi pecahan desimal. Berapa lama lagi? Benar. Apa lagi pada akhirnya?

Ini adalah pilihan lain - membandingkan pecahan dengan mengonversi ke desimal.

Opsi 4: Membandingkan pecahan menggunakan pembagian.

Ya ya. Dan ini juga mungkin terjadi. Logikanya sederhana: ketika kita membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, maka jawaban yang kita peroleh adalah bilangan yang lebih besar dari satu, dan jika kita membagi bilangan yang lebih kecil dengan bilangan yang lebih besar, maka jawabannya berada pada interval dari ke.

Untuk mengingat aturan ini, bandingkan keduanya bilangan prima, misalnya, dan. Anda tahu apa lagi? Sekarang mari kita bagi. Jawaban kami adalah. Oleh karena itu, teori tersebut benar. Jika kita membaginya, yang kita peroleh kurang dari satu, yang pada gilirannya menegaskan bahwa sebenarnya kurang.

Mari kita coba menerapkan aturan ini pecahan biasa. Mari kita bandingkan:

Bagilah pecahan pertama dengan pecahan kedua:

Mari kita persingkat sedikit demi sedikit.

Hasil yang didapat lebih kecil artinya pembagiannya lebih kecil dari pembaginya, yaitu:

Kami sudah menyelesaikan semuanya pilihan yang memungkinkan membandingkan pecahan. Bagaimana Anda melihatnya 5:

• pengurangan ke penyebut yang sama;
• pengurangan ke pembilang yang sama;
• pengurangan ke bentuk pecahan desimal;
• pengurangan;
• divisi.

Siap untuk berlatih? Bandingkan pecahan dengan cara yang optimal:

Mari kita bandingkan jawabannya:

1. (- ubah ke desimal)
2. (bagi satu pecahan dengan pecahan lainnya dan kurangi dengan pembilang dan penyebutnya)
3. (pilih seluruh bagian dan bandingkan pecahan berdasarkan prinsip pembilang yang sama)
4. (bagi satu pecahan dengan pecahan lainnya dan kurangi dengan pembilang dan penyebutnya).

2. Perbandingan derajat

Sekarang bayangkan kita perlu membandingkan bukan hanya angka, tetapi juga ekspresi yang memiliki derajat ().

Tentu saja, Anda dapat dengan mudah memasang tanda:

Lagi pula, jika kita mengganti derajat dengan perkalian, kita mendapatkan:

Dari contoh kecil dan primitif ini, aturannya sebagai berikut:

Sekarang coba bandingkan yang berikut ini: . Anda juga dapat dengan mudah memberi tanda:

Karena jika kita mengganti eksponensial dengan perkalian...

Secara umum, Anda memahami segalanya, dan itu tidak sulit sama sekali.

Kesulitan muncul hanya ketika, ketika membandingkan, derajat-derajat tersebut memiliki dasar dan indikator yang berbeda. Dalam hal ini, perlu diusahakan untuk mencapai titik temu. Misalnya:

Tentu saja, Anda tahu bahwa ungkapan ini berbentuk:

Mari kita buka tanda kurung dan bandingkan apa yang kita dapatkan:

Kasus yang agak istimewa adalah ketika basis derajat () kurang dari satu.

Jika , maka dua derajat dan lebih besar adalah yang indeksnya lebih kecil.

Mari kita coba buktikan aturan ini. Biarlah.

Mari kita perkenalkan beberapa bilangan asli, seperti perbedaan antara dan.

Logis, bukan?

Dan sekarang mari kita perhatikan kembali kondisinya - .

Masing-masing: . Karena itu, .

Misalnya:

Seperti yang Anda pahami, kami mempertimbangkan kasus ketika basis derajatnya sama. Sekarang mari kita lihat ketika basisnya berada pada interval dari ke, tetapi eksponennya sama. Semuanya sangat sederhana di sini.

Mari kita ingat bagaimana membandingkannya menggunakan sebuah contoh:

Tentu saja, Anda menghitungnya dengan cepat:

Oleh karena itu, ketika Anda menemukan masalah serupa untuk perbandingan, ingatlah beberapa contoh sederhana yang serupa yang dapat Anda hitung dengan cepat, dan berdasarkan contoh ini, letakkan tanda-tanda dalam masalah yang lebih kompleks.

Saat melakukan transformasi, ingatlah bahwa jika Anda mengalikan, menambah, mengurangi, atau membagi, maka semua tindakan harus dilakukan dengan kiri dan kanan. sisi kanan(jika dikalikan dengan, maka Anda perlu mengalikan keduanya).

Selain itu, ada kalanya melakukan manipulasi apa pun tidak menguntungkan. Misalnya, Anda perlu membandingkan. Dalam hal ini, tidak begitu sulit untuk menaikkan pangkat dan menyusun tanda berdasarkan ini:

Ayo berlatih. Bandingkan derajat:

Siap membandingkan jawaban? Inilah yang saya dapatkan:

1. - sama seperti
2. - sama seperti
3. - sama seperti
4. - sama seperti

3. Membandingkan bilangan dengan akar

Pertama, mari kita ingat apa itu akar? Apakah Anda ingat rekaman ini?

Akar pangkat suatu bilangan real adalah bilangan yang persamaannya berlaku.

Akar Bukan gelar genap ada untuk bilangan negatif dan positif, dan bahkan akar- hanya untuk yang positif.

Nilai akar seringkali berupa desimal tak terhingga, sehingga sulit untuk dilakukan perhitungan yang tepat, jadi penting untuk bisa membandingkan akar.

Jika Anda lupa apa itu dan dimakan dengan apa - . Jika Anda ingat semuanya, mari belajar membandingkan akar selangkah demi selangkah.

Katakanlah kita perlu membandingkan:

Untuk membandingkan kedua akar ini, Anda tidak perlu melakukan perhitungan apa pun, cukup menganalisis konsep “root” itu sendiri. Apakah Anda mengerti apa yang saya bicarakan? Ya, tentang ini: jika tidak maka dapat ditulis sebagai pangkat ketiga dari suatu bilangan, sama dengan ekspresi radikal.

Apalagi? atau? Tentu saja, Anda dapat membandingkannya tanpa kesulitan apa pun. Semakin besar angka yang kita pangkatkan maka semakin besar pula nilainya.

Jadi. Mari kita buat sebuah aturan.

Jika eksponen dari akar-akarnya sama (dalam kasus kita ini adalah), maka kita perlu membandingkan ekspresi radikal (dan) - semakin besar bilangan radikalnya, maka nilai lebih akar dengan kecepatan yang sama.

Sulit diingat? Kemudian simpan saja contohnya di kepala Anda dan... Lebih dari itu?

Pangkat akar-akarnya sama, karena akarnya persegi. Ekspresi radikal suatu bilangan () lebih besar dari bilangan lainnya (), yang berarti aturan tersebut benar.

Bagaimana jika ekspresi akarnya sama, tetapi derajat akarnya berbeda? Misalnya: .

Cukup jelas juga bahwa ketika mengekstraksi akar dengan derajat yang lebih tinggi, angka yang lebih kecil akan diperoleh. Mari kita ambil contoh:

Mari kita nyatakan nilai akar pertama sebagai, dan akar kedua sebagai, maka:

Anda dapat dengan mudah melihat bahwa pasti ada lebih banyak persamaan dalam persamaan ini, oleh karena itu:

Jika ekspresi radikalnya sama(dalam kasus kami), dan eksponen akarnya berbeda(dalam kasus kami ini adalah dan), maka perlu membandingkan eksponennya(Dan) - semakin tinggi indikatornya, semakin kecil ekspresi ini.

Coba bandingkan akar-akar berikut:

Mari kita bandingkan hasilnya?

Kami berhasil menyelesaikan masalah ini :). Pertanyaan lain muncul: bagaimana jika kita semua berbeda? Baik derajat maupun ekspresi radikal? Tidak semuanya rumit, kita hanya perlu... “menyingkirkan” akarnya. Ya ya. Buang saja)

Jika kita mempunyai derajat dan ekspresi radikal yang berbeda, kita perlu mencari kelipatan persekutuan terkecil (baca bagian tentang) untuk eksponen akar-akarnya dan pangkatkan kedua ekspresi tersebut ke pangkat yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil.

Bahwa kita semua ada dalam kata-kata dan kata-kata. Berikut ini contohnya:

1. Kami melihat indikator akar - dan. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah .
2. Mari kita naikkan kedua ekspresi menjadi pangkat:
3. Mari kita ubah ekspresi dan buka tanda kurung (detail lebih lanjut di bab ini):
4. Mari kita hitung apa yang telah kita lakukan dan beri tanda:

4. Perbandingan logaritma

Jadi, perlahan tapi pasti, kita sampai pada pertanyaan bagaimana cara membandingkan logaritma. Jika Anda tidak ingat jenis hewan apa ini, saya sarankan Anda membaca teori dari bagian tersebut terlebih dahulu. Sudahkah Anda membacanya? Kemudian jawab beberapa pertanyaan penting:

1. Apa argumen logaritma dan apa basisnya?
2. Apa yang menentukan apakah suatu fungsi bertambah atau berkurang?

Jika Anda mengingat semuanya dan menguasainya dengan sempurna, mari kita mulai!

Untuk membandingkan logaritma satu sama lain, Anda hanya perlu mengetahui 3 teknik:

• pengurangan dengan dasar yang sama;
• pengurangan argumen yang sama;
• perbandingan dengan angka ketiga.

Pertama, perhatikan basis logaritma. Ingatkah Anda jika lebih kecil maka fungsinya berkurang, dan jika lebih besar maka fungsinya bertambah. Inilah yang akan menjadi dasar penilaian kami.

Mari kita pertimbangkan perbandingan logaritma yang telah direduksi menjadi basis atau argumen yang sama.

Untuk memulainya, mari kita sederhanakan masalahnya: masukkan logaritma yang dibandingkan alasan yang sama. Kemudian:

1. Fungsinya, untuk, bertambah pada interval dari, yang berarti, menurut definisi, maka (“perbandingan langsung”).
2. Contoh:- alasannya sama, kami membandingkan argumennya sesuai: , oleh karena itu:
3. Fungsinya, pada, berkurang pada interval dari, yang berarti, menurut definisi, maka (“perbandingan terbalik”). - basisnya sama, kami membandingkan argumennya sesuai: namun, tanda logaritmanya akan "terbalik", karena fungsinya menurun: .

Sekarang pertimbangkan kasus-kasus di mana alasannya berbeda, namun argumennya sama.

1. Basisnya lebih besar.
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan terbalik”. Misalnya: - argumennya sama, dan. Mari kita bandingkan basisnya: namun, tanda logaritmanya akan “terbalik”:
2. Basis a ada di celah.
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan langsung”. Misalnya:
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan terbalik”. Misalnya:

Mari kita tuliskan semuanya dalam bentuk tabel umum:

Oleh karena itu, seperti yang sudah Anda pahami, ketika membandingkan logaritma, kita perlu mengarah ke basis atau argumen yang sama.Kita sampai pada basis yang sama menggunakan rumus untuk berpindah dari satu basis ke basis lainnya.

Anda juga dapat membandingkan logaritma dengan angka ketiga dan, berdasarkan ini, menarik kesimpulan tentang mana yang lebih kecil dan mana yang lebih. Misalnya, pikirkan bagaimana cara membandingkan kedua logaritma ini?

Sedikit petunjuk - sebagai perbandingan, logaritma akan banyak membantu Anda, yang argumennya akan sama.

Pikiran? Mari kita putuskan bersama.

Kami dapat dengan mudah membandingkan kedua logaritma ini dengan Anda:

Tidak tahu caranya? Lihat di atas. Kami baru saja menyelesaikan masalah ini. Tanda apa yang akan muncul? Benar:

Setuju?

Mari kita bandingkan satu sama lain:

Anda harus mendapatkan yang berikut ini:

Sekarang gabungkan semua kesimpulan kita menjadi satu. Telah terjadi?

5. Perbandingan ekspresi trigonometri.

Apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen? Untuk apa lingkaran satuan dan bagaimana mencari nilainya fungsi trigonometri? Jika Anda tidak mengetahui jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini, saya sangat menyarankan Anda membaca teori tentang topik ini. Dan jika Anda mengetahuinya, maka membandingkan ekspresi trigonometri satu sama lain tidaklah sulit bagi Anda!

Mari kita segarkan ingatan kita sedikit. Mari kita menggambar lingkaran trigonometri satuan dan sebuah segitiga tertulis di dalamnya. Apakah Anda berhasil? Sekarang tandai di sisi mana kita menggambar kosinus dan di sisi mana sinus, menggunakan sisi-sisi segitiga. (Anda tentu ingat bahwa sinus adalah perbandingan sisi berlawanan dengan sisi miring, dan kosinus adalah sisi yang berdekatan?). Apakah kamu menggambarnya? Besar! Sentuhan terakhir adalah meletakkan dimana kita akan menyimpannya, dimana dan seterusnya. Apakah kamu meletakkannya? Fiuh) Mari kita bandingkan apa yang terjadi padamu dan aku.

Fiuh! Sekarang mari kita mulai perbandingannya!

Katakanlah kita perlu membandingkan dan. Gambarlah sudut-sudut ini menggunakan petunjuk di dalam kotak (yang telah kita tandai di mana), tempatkan titik-titik pada lingkaran satuan. Apakah Anda berhasil? Inilah yang saya dapatkan.

Sekarang mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari titik yang kita tandai pada lingkaran ke sumbunya... Yang mana? Sumbu manakah yang menunjukkan nilai sinus? Benar, . Inilah yang harus Anda dapatkan:

Melihat gambar ini, mana yang lebih besar: atau? Tentu saja karena poinnya berada di atas poin tersebut.

Dengan cara yang sama, kita membandingkan nilai cosinus. Kita hanya menurunkan tegak lurus terhadap sumbu... Betul sekali, . Oleh karena itu, kita melihat titik mana yang ke kanan (atau lebih tinggi, seperti pada kasus sinus), maka nilainya lebih besar.

Anda mungkin sudah tahu cara membandingkan garis singgung, bukan? Yang perlu Anda ketahui hanyalah apa itu garis singgung. Jadi apa itu garis singgung?) Betul, perbandingan sinus dan cosinus.

Untuk membandingkan garis singgung, kita menggambar sudut dengan cara yang sama seperti pada kasus sebelumnya. Katakanlah kita perlu membandingkan:

Apakah kamu menggambarnya? Sekarang kita juga menandai nilai sinus pada sumbu koordinat. Apakah kamu menyadari? Sekarang tunjukkan nilai cosinus pada garis koordinat. Telah terjadi? Mari kita bandingkan:

Sekarang analisislah apa yang Anda tulis. - kami membagi segmen besar menjadi segmen kecil. Jawabannya akan mengandung nilai yang pasti lebih besar dari satu. Benar?

Dan saat kita membagi yang kecil dengan yang besar. Jawabannya adalah angka yang kurang dari satu.

Jadi ekspresi trigonometri manakah yang nilainya lebih besar?

Benar:

Seperti yang Anda pahami sekarang, membandingkan kotangen adalah hal yang sama, hanya saja sebaliknya: kita melihat bagaimana segmen yang menentukan kosinus dan sinus berhubungan satu sama lain.

Coba bandingkan sendiri ekspresi trigonometri berikut:

Contoh.

Jawaban.

PERBANDINGAN ANGKA. LEVEL RATA-RATA.

Angka mana yang lebih besar: atau? Jawabannya jelas. Dan sekarang: atau? Tidak begitu jelas lagi, bukan? Jadi: atau?

Seringkali Anda perlu mengetahui ekspresi numerik mana yang lebih besar. Misalnya, untuk menempatkan titik-titik pada sumbu pada urutan yang benar saat menyelesaikan pertidaksamaan.

Sekarang saya akan mengajari Anda cara membandingkan angka-angka tersebut.

Jika Anda perlu membandingkan angka dan, kami memberi tanda di antara keduanya (berasal dari kata Latin Versus atau disingkat vs. - melawan): . Tanda ini menggantikan tanda pertidaksamaan yang tidak diketahui (). Selanjutnya kita akan melakukan transformasi yang sama hingga menjadi jelas tanda mana yang perlu ditempatkan di antara angka-angka tersebut.

Inti dari membandingkan bilangan adalah: kita memperlakukan suatu tanda seolah-olah itu semacam tanda pertidaksamaan. Dan dengan ekspresi tersebut kita dapat melakukan segala sesuatu yang biasa kita lakukan dengan ketidaksetaraan:

• tambahkan angka apa saja pada kedua ruas (dan, tentu saja, kita juga bisa menguranginya)
• “pindahkan semuanya ke satu sisi”, yaitu, kurangi salah satu ekspresi yang dibandingkan dari kedua bagian. Di tempat ekspresi yang dikurangi akan tetap ada: .
• mengalikan atau membagi dengan angka yang sama. Jika bilangan ini negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik: .
• menaikkan kedua belah pihak ke kekuatan yang sama. Jika derajatnya genap, Anda perlu memastikan bahwa kedua belah pihak memilikinya tanda yang sama; jika kedua ruasnya positif maka tandanya tidak berubah jika dipangkatkan, tetapi jika negatif maka berubah menjadi sebaliknya.
• ekstrak akar dengan derajat yang sama dari kedua bagian. Jika kita mengekstrak akar dengan derajat genap, pertama-tama kita harus memastikan bahwa kedua ekspresi tersebut non-negatif.
• transformasi setara lainnya.

Penting: disarankan untuk melakukan transformasi sedemikian rupa sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah! Artinya, selama transformasi, tidak diinginkan untuk mengalikan dengan bilangan negatif, dan Anda tidak dapat mengkuadratkannya jika salah satu bagiannya negatif.

Mari kita lihat beberapa situasi yang umum.

1. Eksponensial.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Karena kedua ruas pertidaksamaan tersebut positif, kita dapat mengkuadratkannya untuk menghilangkan akarnya:

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Di sini kita juga bisa mengkuadratkannya, tapi ini hanya akan membantu kita menyingkirkannya akar pangkat dua. Di sini perlu untuk menaikkannya sedemikian rupa sehingga kedua akarnya hilang. Artinya eksponen derajat ini harus habis dibagi (derajat akar pertama) dan oleh. Oleh karena itu, angka ini dipangkatkan ke th:

2. Perkalian dengan konjugasinya.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Mari kalikan dan bagi setiap selisih dengan jumlah konjugasinya:

Tentu saja penyebut di sebelah kanan lebih besar daripada penyebut di sebelah kiri. Oleh karena itu, pecahan kanan lebih kecil dari pecahan kiri:

3. Pengurangan

Mari kita ingat itu.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Tentu saja, kita dapat mengatur segalanya, menyusun kembali, dan menyusunnya kembali. Namun Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih cerdas:

Terlihat bahwa setiap suku di ruas kiri lebih kecil dari setiap suku di ruas kanan.

Oleh karena itu, jumlah semua suku di ruas kiri lebih kecil dari jumlah semua suku di ruas kanan.

Tetapi berhati-hatilah! Kami ditanya apa lagi...

Sisi kanan lebih besar.

Contoh.

Bandingkan angka dan...

Larutan.

Mari kita ingat rumus trigonometri:

Mari kita periksa di bagian mana pada lingkaran trigonometri titik-titik tersebut dan terletak.

4. Divisi.

Di sini kami juga menggunakan aturan sederhana: .

Pada atau, itu.

Ketika tandanya berubah: .

Contoh.

Membandingkan: .

Larutan.

5. Bandingkan angka tersebut dengan angka ketiga

Jika dan, maka (hukum transitivitas).

Contoh.

Membandingkan.

Larutan.

Mari kita bandingkan angkanya bukan satu sama lain, tapi dengan angkanya.

Jelas sekali.

Di sisi lain, .

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Kedua angka tersebut lebih besar, namun lebih kecil. Mari kita pilih suatu bilangan yang lebih besar dari satu, tetapi lebih kecil dari yang lain. Misalnya, . Mari kita periksa:

6. Apa hubungannya dengan logaritma?

Tidak ada yang spesial. Cara menghilangkan logaritma dijelaskan secara rinci di topik. Aturan dasarnya adalah:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Panah kiri-kanan (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \irisan (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \irisan y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Kita juga dapat menambahkan aturan tentang logaritma dengan karena alasan yang berbeda dan argumen yang sama:

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: semakin besar alasnya, semakin kecil derajat yang harus dinaikkan untuk mendapatkan benda yang sama. Jika basisnya lebih kecil, maka yang terjadi adalah sebaliknya, karena fungsi yang bersesuaian menurun secara monoton.

Contoh.

Bandingkan angkanya: dan.

Larutan.

Menurut aturan di atas:

Dan sekarang formula untuk tingkat lanjut.

Aturan perbandingan logaritma dapat ditulis lebih singkat:

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Contoh.

Bandingkan angka mana yang lebih besar: .

Larutan.

PERBANDINGAN ANGKA. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Eksponensial

Jika kedua ruas pertidaksamaan bernilai positif, maka pertidaksamaan tersebut dapat dikuadratkan untuk menghilangkan akarnya

2. Perkalian dengan konjugasinya

Konjugasi adalah faktor yang melengkapi persamaan selisih kuadrat rumus: - konjugasi untuk dan sebaliknya, karena .

3. Pengurangan

4. Divisi

Kapan atau itu

Saat tandanya berubah:

5. Perbandingan dengan angka ketiga

Jika dan kemudian

6. Perbandingan logaritma

Aturan Dasar.

Membandingkan angka adalah salah satu topik termudah dan paling menyenangkan dalam kursus matematika. Namun, harus dikatakan bahwa hal ini tidak sesederhana itu. Misalnya, hanya sedikit orang yang mengalami kesulitan membandingkan bilangan positif satu atau dua digit.

Tapi angka dari jumlah besar tanda-tandanya sudah menimbulkan masalah, seringkali orang bingung saat membandingkan bilangan negatif dan tidak ingat cara membandingkan dua bilangan tanda-tanda yang berbeda. Kami akan mencoba menjawab semua pertanyaan ini.

Aturan untuk membandingkan bilangan positif

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - dengan bilangan yang tidak memiliki tanda apa pun di depannya, yaitu bilangan positif.

• Pertama-tama, perlu diingat bahwa semua bilangan positif menurut definisinya lebih besar dari nol, meskipun kita berbicara tentang bilangan pecahan tanpa bilangan bulat. Misalnya, pecahan desimal 0,2 akan lebih besar dari nol, karena pada garis koordinat titik yang bersesuaian masih berjarak dua pembagian kecil dari nol.
• Jika kita berbicara tentang membandingkan dua bilangan positif dengan jumlah tanda yang banyak, maka Anda perlu membandingkan masing-masing angkanya. Misalnya 32 dan 33. Tempat puluhan pada bilangan-bilangan ini sama, tetapi angka 33 lebih besar, karena pada tempat satuan terdapat lebih banyak “3” daripada “2”.
• Bagaimana membandingkan keduanya desimal? Di sini pertama-tama Anda perlu melihat seluruh bagiannya - misalnya, pecahan 3,5 akan lebih kecil dari 4,6. Bagaimana jika seluruh bagiannya sama, tetapi tempat desimalnya berbeda? Dalam hal ini, aturan untuk bilangan bulat berlaku - Anda perlu membandingkan tanda dengan angka hingga persepuluhan, perseratus, seperseribu yang lebih besar dan lebih kecil ditemukan. Misalnya - 4,86 ​​lebih besar dari 4,75, karena delapan persepuluh lebih besar dari tujuh.

Membandingkan Bilangan Negatif

Jika dalam suatu soal kita mempunyai bilangan tertentu -a dan -c, dan kita perlu menentukan mana yang lebih besar, maka kita gunakan aturan universal. Pertama, modul angka-angka ini ditulis - |a| dan |s| - dan bandingkan satu sama lain. Bilangan yang modulusnya lebih besar akan lebih kecil dibandingkan dengan bilangan negatif, dan sebaliknya bilangan yang lebih besar adalah bilangan yang modulusnya lebih kecil.

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu membandingkan bilangan negatif dan bilangan positif?

Hanya ada satu aturan yang berlaku di sini, dan itu bersifat mendasar. Bilangan positif selalu lebih besar daripada bilangan bertanda minus - apa pun bilangannya. Misalnya, angka “1” akan selalu lebih besar dari angka “-1458” hanya karena angka satu berada di sebelah kanan nol pada garis koordinat.

Perlu Anda ingat juga bahwa bilangan negatif apa pun selalu lebih kecil dari nol.

§ 1 Perbandingan bilangan positif

Dalam pelajaran ini, kita akan meninjau cara membandingkan bilangan positif dan melihat perbandingan bilangan negatif.

Mari kita mulai dengan tugasnya. Pada siang hari suhu udara +7 derajat, pada malam hari turun menjadi +2 derajat, malam hari menjadi -2 derajat, dan pada pagi hari turun lagi menjadi -7 derajat. Bagaimana suhu udara berubah?

Masalahnya adalah tentang pengurangan, yaitu. tentang penurunan suhu. Ini berarti bahwa dalam setiap kasus nilai suhu akhir lebih kecil dari suhu awal, oleh karena itu 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Mari kita nyatakan angka 7, 2, -2, -7 pada garis koordinat. Ingatlah bahwa pada garis koordinat, bilangan positif yang lebih besar terletak di sebelah kanan.

Mari kita lihat bilangan negatif, bilangan -2 lebih ke kanan dari -7, yaitu untuk bilangan negatif pada garis koordinat, urutannya tetap sama: ketika suatu titik bergerak ke kanan, koordinatnya bertambah, dan ketika suatu titik bergerak ke kiri, koordinatnya berkurang.

Kita dapat menyimpulkan: Setiap bilangan positif lebih besar dari nol dan lebih besar dari bilangan negatif mana pun. 1 > 0; 12 > -2,5. Bilangan negatif apa pun lebih kecil dari nol dan lebih kecil dari bilangan positif mana pun. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Lebih mudah untuk membandingkan bilangan rasional (yaitu semua bilangan bulat dan pecahan) menggunakan modulus.

Bilangan positif terletak pada garis koordinat menaik dari titik asal, artinya semakin jauh bilangan tersebut dari titik asal maka semakin besar panjang ruas dari nol sampai bilangan tersebut, yaitu. modulnya. Oleh karena itu, dari dua bilangan positif, bilangan yang besarnya lebih besar akan lebih besar.

§ 2 Perbandingan bilangan negatif

Saat membandingkan dua bilangan negatif, bilangan yang lebih besar akan terletak di sebelah kanan, yaitu lebih dekat ke titik asal. Artinya modulusnya (panjang ruas dari nol sampai suatu bilangan) akan semakin kecil. Jadi, dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil akan lebih besar.

Misalnya. Mari kita bandingkan angka -1 dan -5. Titik yang bersesuaian dengan angka -1 terletak lebih dekat ke titik asal dibandingkan dengan titik yang bersesuaian dengan angka -5. Artinya panjang ruas dari 0 sampai -1 atau modulus bilangan -1 lebih kecil dari panjang ruas 0 sampai -5 atau modulus bilangan -5, yang berarti bilangan -1 lebih besar dari angka -5.

Kami menarik kesimpulan:

Saat membandingkan angka rasional perhatikan:

Tanda: bilangan negatif selalu lebih kecil dari bilangan positif dan nol;

Berdasarkan letaknya pada garis koordinat: semakin ke kanan semakin banyak;

Untuk moduli: bilangan positif mempunyai modulus lebih besar dan bilangan lebih besar, bilangan negatif mempunyai modulus lebih besar dan bilangan lebih kecil.

Daftar literatur bekas:

1. Matematika Kelas 6: RPP menurut buku teks karya I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //penulis-kompiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. Matematika. kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan. aku. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
4. Buku Pegangan Matematika - http://lyudmilanik.com.ua
5. Panduan Siswa untuk sekolah menengah atas http://shkolo.ru