İkinci derecenin aritmetik kökü

Tanım 1

$a$'ın ikinci kökü (veya karekökü) Karesi alındığında $a$ değerine eşit olan bir sayıyı arayın.

örnek 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, yani $7$ sayısı $49$ sayısının 2. köküdür;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, yani $0,9$ sayısı, $0,81$ sayısının 2. köküdür;

$1^2=1 \cdot 1=1$, yani $1$ sayısı, $1$ sayısının 2. köküdür.

Not 2

Basitçe söylemek gerekirse, herhangi bir $a sayısı için

Negatif $a$ için $a=b^2$ yanlıştır, çünkü $a=b^2$, $b$'ın herhangi bir değeri için negatif olamaz.

Sonuç olarak denebilir ki gerçek sayılar için negatif bir sayının 2. kökü olamaz.

Not 3

Çünkü $0^2=0 \cdot 0=0$ ise tanımdan sıfırın sıfırın ikinci kökü olduğu sonucu çıkar.

Tanım 2

$a$ sayısının 2. derecesinin aritmetik kökü($a \ge 0$) değil negatif bir sayı, karesi alındığında $a$'a eşit olacaktır.

2. derecenin köklerine de denir Karekök.

$a$ sayısının 2. derecesinin aritmetik kökü $\sqrt(a)$ olarak gösterilir veya $\sqrt(a)$ gösterimini görebilirsiniz. Ancak çoğu zaman karekök için $2$ sayısı kök üssü- belirtilmemiş. “$\sqrt( )$” işareti “” olarak da adlandırılan 2. derecenin aritmetik kökünün işaretidir. kök işareti" “Kök” ve “radikal” kavramları aynı nesnenin adlarıdır.

Aritmetik kök işaretinin altında bir sayı varsa buna denir radikal sayı, ve eğer ifade ise, o zaman – radikal ifade.

$\sqrt(8)$ girişi “sekizin 2. derecesinin aritmetik kökü” olarak okunur ve “aritmetik” kelimesi sıklıkla kullanılmaz.

Tanım 3

Tanıma göre 2. derecenin aritmetik kökü yazılabilir:

Herhangi bir $a \ge 0$ için:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

İkinci kök ile aritmetik ikinci kök arasındaki farkı gösterdik. Ayrıca yalnızca negatif olmayan sayıların ve ifadelerin köklerini ele alacağız; sadece aritmetik.

Üçüncü derecenin aritmetik kökü

Tanım 4

$a$ sayısının 3. derecesinin (veya küp kökünün) aritmetik kökü($a \ge 0$), küpü alındığında $a$'a eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

Çoğu zaman aritmetik sözcüğü atlanır ve “$a$ sayısının 3. kökü” derler.

$a$'ın 3. derecesinin aritmetik kökü $\sqrt(a)$, “$\sqrt( )$” işareti 3. derecenin aritmetik kökünün işareti ve $3$ sayısı ile gösterilir. bu gösterime denir kök dizini. Kök işaretinin altında görünen sayıya veya ifadeye denir radikal.

Örnek 2

$\sqrt(3,5)$ – $3,5$'ın 3. derecesinin aritmetik kökü veya $3,5$'ın küp kökü;

$\sqrt(x+5)$ – $x+5$'ın 3. derecesinin aritmetik kökü veya $x+5$'ın küp kökü.

Aritmetik n'inci kök

Tanım 5

Aritmetik kök n'inci derece $a \ge 0$ sayısından negatif olmayan bir sayı çağrılır ve bu sayı $n$'ıncı kuvvetine yükseltildiğinde $a$'a eşit olur.

$n$ derecesinin $a \ge 0$ derecesinin aritmetik kökü gösterimi:

burada $a$ radikal bir sayı veya ifadedir,

Bu yazıda tanıtacağız bir sayının kökü kavramı. Sırayla ilerleyeceğiz: Karekökle başlayacağız, oradan kübik kökün tanımına geçeceğiz, ardından kök kavramını genelleştirerek n'inci kökü tanımlayacağız. Aynı zamanda tanımları, notasyonları tanıtacağız, kök örnekleri vereceğiz ve gerekli açıklama ve yorumları vereceğiz.

Karekök, aritmetik karekök

Bir sayının kökünün, özellikle de karekökünün tanımını anlamak için, . Bu noktada bir sayının ikinci kuvvetiyle (bir sayının karesi) sıklıkla karşılaşacağız.

İle başlayalım karekök tanımları.

Tanım

a'nın karekökü karesi a'ya eşit olan bir sayıdır.

getirmek için örnekler Karekök , birkaç sayı alın, örneğin 5, −0,3, 0,3, 0 ve bunların karesini alın, sırasıyla 25, 0,09, 0,09 ve 0 sayılarını elde ederiz (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 ve 0 2 =0·0=0 ). O halde, yukarıda verilen tanıma göre, 5 sayısı 25 sayısının kareköküdür, -0,3 ve 0,3 sayıları 0,09'un karekökleridir ve 0, sıfırın kareköküdür.

Şunu belirtmek gerekir ki, karesi a'ya eşit olan herhangi bir a sayısı için mevcut değildir. Yani herhangi bir negatif a sayısı için karesi a'ya eşit olan bir b gerçek sayısı yoktur. Aslında, herhangi bir negatif a için a=b 2 eşitliği imkansızdır çünkü b 2, herhangi bir b için negatif olmayan bir sayıdır. Böylece, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü yoktur. Başka bir deyişle, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir ve hiçbir anlamı yoktur.

Bu mantıksal bir soruya yol açar: "Negatif olmayan herhangi bir a'nın karekökü var mıdır?" Cevap Evet. Bu gerçeğin gerekçesi düşünülebilir yapıcı yol, karekökün değerini bulmak için kullanılır.

Sonra bir sonraki mantıksal soru ortaya çıkıyor: "Belirli bir negatif olmayan a sayısının kareköklerinin sayısı nedir - bir, iki, üç veya daha fazla"? Cevap şu: eğer a sıfırsa, sıfırın tek karekökü sıfırdır; a pozitif bir sayıysa, o zaman a sayısının karekök sayısı ikidir ve kökleri . Bunu meşrulaştıralım.

a=0 durumuyla başlayalım. Öncelikle sıfırın aslında sıfırın karekökü olduğunu gösterelim. Bu, 0 2 =0·0=0 açık eşitliğinden ve karekök tanımından kaynaklanır.

Şimdi sıfırın tek karekökünün 0 olduğunu kanıtlayalım. Tam tersi yöntemi kullanalım. Sıfırın karekökü olan sıfırdan farklı bir b sayısının olduğunu varsayalım. O zaman b 2 = 0 koşulunun karşılanması gerekir ki bu imkansızdır, çünkü sıfırdan farklı herhangi bir b için b 2 ifadesinin değeri pozitiftir. Bir çelişkiye ulaştık. Bu, sıfırın tek karekökünün 0 olduğunu kanıtlar.

a'nın pozitif bir sayı olduğu durumlara geçelim. Yukarıda, negatif olmayan herhangi bir sayının karekökünün her zaman olduğunu söylemiştik, a'nın karekökü b sayısı olsun. Diyelim ki aynı zamanda a'nın karekökü olan bir c sayısı var. O halde, karekök tanımına göre, b 2 =a ve c 2 =a eşitlikleri doğrudur, bundan b 2 −c 2 =a−a=0 sonucu çıkar, ancak b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , sonra (b−c)·(b+c)=0 . Ortaya çıkan eşitlik geçerlidir Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri yalnızca b−c=0 veya b+c=0 olduğunda mümkündür. Dolayısıyla b ve c sayıları eşit veya zıttır.

A sayısının bir başka karekökü olan bir d sayısının olduğunu varsayarsak, daha önce verilenlere benzer bir mantıkla d'nin b sayısına veya c sayısına eşit olduğu kanıtlanır. Yani pozitif bir sayının karekök sayısı iki, karekökleri ise zıt sayılardır.

Kareköklerle çalışmanın kolaylığı için, negatif kök pozitif olandan "ayrılır". Bu amaçla tanıtılıyor aritmetik karekök tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının aritmetik karekökü a karesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

a'nın aritmetik karekökünün gösterimi şöyledir. Bu işarete aritmetik karekök işareti denir. Aynı zamanda radikal işareti olarak da adlandırılır. Bu nedenle bazen aynı nesne anlamına gelen “kök” ve “radikal” kelimelerini de duyabilirsiniz.

Aritmetikte karekök işaretinin altındaki sayıya ne denir radikal sayı ve kök işaretinin altındaki ifade şu şekildedir: radikal ifade"Radikal sayı" terimi genellikle "radikal ifade" ile değiştirilir. Örneğin notasyonda 151 sayısı köklü bir sayıdır ve notasyonda a ifadesi köklü bir ifadedir.

Okurken "aritmetik" kelimesi sıklıkla atlanır, örneğin giriş "yedi virgül yirmi dokuzun karekökü" olarak okunur. "Aritmetik" kelimesi yalnızca bir sayının pozitif karekökünden bahsettiğimizi vurgulamak istediklerinde kullanılır.

Sunulan gösterim ışığında, aritmetik karekök tanımından, negatif olmayan herhangi bir sayı için a olduğu sonucu çıkar.

Pozitif bir a sayısının karekökleri, aritmetik karekök işareti ve olarak kullanılarak yazılır. Örneğin 13'ün karekökleri ve'dir. Sıfırın aritmetik karekökü sıfırdır, yani. Negatif a sayıları için, çalışmadan notasyona anlam yüklemeyeceğiz. Karışık sayılar. Örneğin ve ifadeleri anlamsızdır.

Karekök tanımına dayanarak, pratikte sıklıkla kullanılan kareköklerin özellikleri kanıtlanmıştır.

Bu noktanın sonucunda, a sayısının kareköklerinin x değişkenine göre x 2 =a formunun çözümleri olduğuna dikkat çekiyoruz.

Bir sayının küp kökü

cube root'un tanımı a sayısının karekök tanımına benzer şekilde verilir. Sadece bir sayının karesi değil küpü kavramına dayanmaktadır.

Tanım

a'nın küp kökü küpü a'ya eşit olan bir sayıdır.

Hadi verelim küp kök örnekleri. Bunu yapmak için birkaç sayı alın, örneğin 7, 0, −2/3 ve bunların küpünü alın: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . O halde küp kökün tanımına göre 7 sayısının 343'ün küp kökü, 0'ın sıfırın küp kökü ve -2/3'ün -8/27'nin küp kökü olduğunu söyleyebiliriz.

Bir sayının küp kökünün, karekökten farklı olarak, yalnızca negatif olmayan a için değil, aynı zamanda herhangi bir gerçek sayı a için de her zaman mevcut olduğu gösterilebilir. Bunu yapmak için karekökleri incelerken bahsettiğimiz yöntemin aynısını kullanabilirsiniz.

Üstelik sadece tek bir küp kökü var verilen numara A. Son ifadeyi kanıtlayalım. Bunu yapmak için üç durumu ayrı ayrı ele alın: a pozitif bir sayıdır, a=0 ve a negatif bir sayıdır.

Eğer a pozitifse, a'nın küp kökünün ne negatif bir sayı ne de sıfır olabileceğini göstermek kolaydır. Aslında b, a'nın küp kökü olsun, o zaman tanım gereği b 3 =a eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitliğin negatif b ve b=0 için doğru olamayacağı açıktır, çünkü bu durumlarda b 3 =b·b·b sırasıyla negatif bir sayı veya sıfır olacaktır. Yani pozitif bir a sayısının küp kökü pozitif bir sayıdır.

Şimdi b sayısının yanı sıra a sayısının bir küp kökü daha olduğunu varsayalım, buna c diyelim. O halde c 3 =a. Dolayısıyla b 3 −c 3 =a−a=0, ancak b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(bu kısaltılmış çarpma formülüdür küp farkı), dolayısıyla (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Ortaya çıkan eşitlik yalnızca b−c=0 veya b 2 +b·c+c 2 =0 olduğunda mümkündür. İlk eşitlikten b=c elde ederiz ve ikinci eşitliğin çözümü yoktur çünkü sol tarafı herhangi bir sayı için pozitif bir sayıdır. pozitif sayılar b ve c, b 2, b·c ve c 2 pozitif terimlerinin toplamı olarak. Bu, pozitif bir a sayısının küp kökünün benzersizliğini kanıtlar.

a=0 olduğunda a sayısının küp kökü yalnızca sıfır sayısıdır. Aslında, sıfırın sıfır olmayan küp kökü olan bir b sayısının olduğunu varsayarsak, o zaman b 3 = 0 eşitliğinin geçerli olması gerekir ki bu yalnızca b=0 olduğunda mümkündür.

Negatif a için, pozitif a için geçerli olan duruma benzer argümanlar verilebilir. Öncelikle negatif bir sayının küp kökünün pozitif bir sayıya veya sıfıra eşit olamayacağını gösteriyoruz. İkinci olarak, negatif bir sayının ikinci bir küp kökünün olduğunu varsayıyoruz ve bunun mutlaka birinciyle çakışacağını gösteriyoruz.

Yani, verilen herhangi bir a gerçek sayısının her zaman bir küp kökü ve benzersiz bir sayısı vardır.

Hadi verelim aritmetik küp kökü tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının aritmetik küp kökü a küpü a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

Negatif olmayan bir a sayısının aritmetik küp kökü ile gösterilir, işaretine aritmetik küp kökün işareti denir, bu gösterimdeki 3 sayısına denir kök dizini. Kök işaretinin altındaki sayı radikal sayı, kök işaretinin altındaki ifade radikal ifade.

Aritmetik küp kökü yalnızca negatif olmayan a sayıları için tanımlansa da, negatif sayıların aritmetik küp kökü işareti altında bulunduğu gösterimlerin kullanılması da uygundur. Bunları şu şekilde anlayacağız: burada a pozitif bir sayıdır. Örneğin, .

Köklerin özellikleri genel yazımızda küp köklerin özelliklerinden bahsedeceğiz.

Bir küp kökünün değerinin hesaplanmasına küp kökünün çıkarılması denir; bu eylem, köklerin çıkarılması: yöntemler, örnekler, çözümler makalesinde tartışılmaktadır.

Bu noktayı sonuçlandırmak için a sayısının küp kökünün x 3 =a formunun bir çözümü olduğunu varsayalım.

n'inci kök, n derecesinin aritmetik kökü

Bir sayının kökü kavramını genelleştirelim - tanıtıyoruz n'inci kökün tanımı n için.

Tanım

a'nın n'inci kökü n'inci kuvveti a'ya eşit olan bir sayıdır.

İtibaren bu tanım a sayısının birinci derece kökünün a sayısının kendisi olduğu açıktır, çünkü dereceyi doğal bir üsle çalışırken 1 =a aldık.

Yukarıda n=2 ve n=3 - karekök ve küpkök - için n'inci kökün özel durumlarına baktık. Yani, karekök ikinci derecenin köküdür ve küp kök üçüncü derecenin köküdür. N=4, 5, 6, ... için n'inci dereceden kökleri incelemek için bunları iki gruba ayırmak uygundur: birinci grup - çift dereceli kökler (yani n = 4, 6, 8 için) , ...), ikinci grup - tek dereceli kökler (yani n=5, 7, 9, ... ile). Bunun nedeni, çift kuvvetlerin köklerinin kareköklere, tek kuvvetlerin köklerinin ise kübik köklere benzer olmasıdır. Bunları tek tek ele alalım.

Üsleri 4, 6, 8, ... çift sayılar olan köklerle başlayalım, daha önce de söylediğimiz gibi, a sayısının kareköküne benzerler. Yani herhangi bir kök çift ​​derece a sayısından yalnızca negatif olmayan a için var olur. Üstelik a=0 ise a'nın kökü tektir ve sıfıra eşittir, a>0 ise a sayısının çift dereceli iki kökü vardır ve bunlar zıt sayılardır.

Son ifadeyi kanıtlayalım. B çift dereceli bir kök olsun (bunu 2 m olarak belirtiyoruz, burada m bir miktardır) doğal sayı) a numarasından. Diyelim ki bir c sayısı var - a sayısından 2 m uzaklıkta başka bir derece kökü. O halde b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ama b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) formunu biliyoruz (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), sonra (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Bu eşitlikten b−c=0 veya b+c=0 veya b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. İlk iki eşitlik, b ve c sayılarının eşit olduğu veya b ve c'nin zıt olduğu anlamına gelir. Ve son eşitlik yalnızca b=c=0 için geçerlidir, çünkü sol tarafında negatif olmayan sayıların toplamı olarak herhangi bir b ve c için negatif olmayan bir ifade vardır.

Tek n'nin n'inci derecedeki kökleri ise kübik köke benzer. Yani, a sayısının herhangi bir tek derecesinin kökü, herhangi bir a gerçek sayısı için mevcuttur ve belirli bir a sayısı için benzersizdir.

A sayısının 2·m+1 tek dereceli kökünün benzersizliği, a'nın küp kökünün benzersizliğinin kanıtıyla analoji yoluyla kanıtlanır. Eşitlik yerine sadece burada a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = biçiminde bir eşitlik kullanılır (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Son parantez içindeki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Örneğin m=2 ile elimizde b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). a ve b'nin her ikisi de pozitif veya her ikisi de negatif olduğunda, çarpımları pozitif bir sayı olur, bu durumda en yüksek içiçe parantez içindeki b 2 +c 2 +b·c ifadesi pozitif sayıların toplamı olarak pozitiftir. Şimdi önceki iç içe geçme derecelerinin parantez içindeki ifadelerine sırayla geçerek, bunların da pozitif sayıların toplamı olarak pozitif olduğuna ikna olduk. Sonuç olarak b 2 m+1 −c 2 m+1 = eşitliğini elde ederiz. (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 yalnızca b−c=0 olduğunda, yani b sayısı c sayısına eşit olduğunda mümkündür.

N'inci köklerin gösterimini anlamanın zamanı geldi. Bu amaçla verilmiştir n'inci derecenin aritmetik kökü tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının n'inci derecesinin aritmetik kökü a n'inci kuvveti a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

Kök derecesi N gerçek bir sayıdan A, Nerede N- buna doğal bir sayı denir gerçek Numara X, N derecesi şuna eşit olan A.

Kök derecesi N numaradan A sembolüyle gösterilir. Bu tanıma göre.

Kök bulma N-aralarından derece A kök çıkarma denir. Sayı A radikal sayı (ifade) olarak adlandırılır, N- kök göstergesi. Tek için N bir kök var N Herhangi bir gerçek sayının -inci kuvveti A. Ne zaman bile N bir kök var N-th kuvveti yalnızca negatif olmayan sayılar için A. Kökü netleştirmek için N-aralarından derece A aritmetik kök kavramı tanıtıldı N-aralarından derece A.

N derecesinin aritmetik kökü kavramı

Eğer N- doğal sayı, daha büyük 1 , o zaman negatif olmayan yalnızca bir sayı vardır X eşitlik sağlanacak şekilde. Bu numara X aritmetik kök denir N Negatif olmayan bir sayının kuvveti A ve belirlenir. Sayı A radikal sayı denir N- kök göstergesi.

Yani, tanıma göre, burada , ilk olarak şunu ve ikinci olarak şunu ifade eder, yani. .

Rasyonel üssü olan derece kavramı

Doğal üslü derece: let A gerçek bir sayıdır ve N- birden büyük bir doğal sayı, N sayının -inci kuvveti A işi aramak N her biri eşit olan faktörler A yani . Sayı A- derecenin temeli, N- üs. Üssü sıfır olan bir kuvvet: tanımı gereği if , o zaman . Bir sayının sıfır kuvveti 0 mantıklı değil. Negatif tamsayı üssü olan bir derece: tanım gereği varsayılırsa ve N o halde bir doğal sayıdır. Kesirli üslü bir derece: tanım gereği, eğer ve N- doğal sayı, M o halde bir tam sayıdır.

Köklerle işlemler.

Aşağıdaki tüm formüllerde sembol, bir aritmetik kök anlamına gelir (kök ifadesi pozitiftir).

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini n kat artırırsanız ve aynı zamanda radikal sayıyı n'inci kuvvete yükseltirseniz, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini n kat azaltırsanız ve aynı anda radikal sayının n'inci kökünü çıkarırsanız, kökün değeri değişmeyecektir:

Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak kuvvetleri ve kökleri olan işlemler aynı zamanda negatif, sıfır ve kesirli üslere de yol açabilir. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.

Negatif üslü bir derece. Negatif (tamsayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü mutlak değere eşit olan aynı sayının kuvvetine bölümü olarak tanımlanır. negatif gösterge:

Şimdi a m: a n = a m - n formülü yalnızca n'den büyük m için değil, n'den küçük m için de kullanılabilir.

ÖRNEK a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Eğer a m: a n = a m - n formülünün m = n için geçerli olmasını istiyorsak, sıfır derece tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEKLER. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Bir a gerçek sayısını m/n üssüne çıkarmak için, bu a sayısının m'inci kuvvetinin n'inci kökünü çıkarmanız gerekir:

Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var.

Dava 1.

a ≠ 0'ın bulunmadığı yer.

Aslında x'in belirli bir sayı olduğunu varsayarsak, bölme işleminin tanımına uygun olarak elimizde: a = 0 x, yani. a = 0, şu koşulla çelişiyor: a ≠ 0

Durum 2.

Herhangi bir numara.

Aslında bu ifadenin belirli bir x sayısına eşit olduğunu varsayarsak bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · x olur. Ancak bu eşitlik herhangi bir x sayısı için geçerlidir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Gerçekten mi,

Çözüm: Üç ana durumu ele alalım:

1) x = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor

2) x > 0 için şunu elde ederiz: x / x = 1, yani. 1 = 1, bu da x'in herhangi bir sayı olduğu anlamına gelir; ancak bizim durumumuzda x > 0 olduğunu hesaba katarsak cevap x > 0 olur;

3) x'te< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

bu durumda çözüm yok. Böylece x > 0 olur.

İlk seviye

Kök ve özellikleri. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)

Bu “kök” kavramının ne olduğunu ve “neyle yenildiğini” anlamaya çalışalım. Bunu yapmak için, sınıfta daha önce karşılaştığınız örneklere bakalım (peki, ya da bununla karşılaşmak üzeresiniz).

Mesela bir denklemimiz var. Bu denklemin çözümü nedir? Hangi sayıların karesi alınıp elde edilebilir? Çarpım tablosunu hatırlayarak cevabı kolayca verebilirsiniz: ve (sonuçta, iki negatif sayı çarpıldığında pozitif bir sayı elde edilir)! Basitleştirmek için matematikçiler şunu tanıttı: özel konsept karekök ve ona atandım özel karakter.

Aritmetik karekökü tanımlayalım.

Sayının neden negatif olmaması gerekiyor? Örneğin neye eşittir? Peki, birini seçmeye çalışalım. Belki üç? Kontrol edelim: , değil. Belki, ? Tekrar kontrol ediyoruz: . Peki uymuyor mu? Bu beklenen bir durumdur; çünkü karesi alındığında negatif sayı veren hiçbir sayı yoktur!
Hatırlamanız gerekenler: kök işaretinin altındaki sayı veya ifade negatif olmamalıdır!

Bununla birlikte, en dikkatli olanlar muhtemelen tanımın "bir sayının karekökünün çözümünün buna denir" dediğini fark etmişlerdir. negatif olmayan karesi "'ye eşit olan sayı. Bazılarınız, en başta örneği analiz ettiğimizi, karesi alınabilen ve elde edilen sayıları seçtiğimizi, cevabın ve olduğunu söyleyecektir, ancak burada bir tür "negatif olmayan sayıdan" bahsediyoruz! Bu açıklama oldukça yerinde. Burada ikinci dereceden denklem kavramlarını ve bir sayının aritmetik karekökünü birbirinden ayırmanız yeterlidir. Örneğin ifadesine eşdeğer değildir.

Şunu takip eder, yani veya. ("Konuyu okuyun")

Ve bunu takip ediyor.

Tabii ki, bu çok kafa karıştırıcı, ancak işaretlerin denklem çözmenin sonucu olduğunu hatırlamak gerekir, çünkü denklemi çözerken tüm X'leri yazmamız gerekir, bu da orijinal denklemde yerine konulduğunda şu sonucu verir: doğru sonuç. bizim ikinci dereceden denklem her ikisi için de uygundur.

Ancak eğer sadece karekökünü al bir şeyden, o zaman her zaman negatif olmayan bir sonuç elde ederiz.

Şimdi bu denklemi çözmeye çalışın. Artık her şey o kadar basit ve pürüzsüz değil, değil mi? Rakamları gözden geçirmeyi deneyin, belki bir şeyler yoluna girer? En baştan başlayalım - sıfırdan: - uymuyor, devam edelim - üçten az, ayrıca kenara süpürelim, ya olursa. Şunu kontrol edelim: - aynı zamanda uygun değil, çünkü... bu üçten fazla. Negatif sayılarla aynı hikaye. Öyleyse şimdi ne yapmalıyız? Arama bize gerçekten hiçbir şey vermedi mi? Hiç de değil, artık cevabın hem ile arasında hem de ile arasında bir sayı olacağından eminiz. Ayrıca, açıkçası çözümler tamsayı olmayacak. Üstelik rasyonel değiller. Peki sırada ne var? Fonksiyonun grafiğini çizelim ve çözümleri üzerinde işaretleyelim.

Sistemi kandırmaya çalışalım ve hesap makinesini kullanarak cevabı bulalım! Hadi bunun kökünü çıkaralım! Oh-oh-oh, öyle görünüyor. Bu sayı hiç bitmiyor. Sınavda hesap makinesi olmayacağına göre bunu nasıl hatırlayacaksın!? Her şey çok basit, hatırlamanıza gerek yok, sadece yaklaşık değeri hatırlamanız (veya hızlı bir şekilde tahmin edebilmeniz) gerekiyor. ve cevapların kendisi. Bu tür sayılara irrasyonel denir; karekök kavramının ortaya atılması, bu tür sayıların yazılmasını kolaylaştırmaktı.

Bunu pekiştirmek için başka bir örneğe bakalım. Şimdi şu probleme bakalım: Kenarı km olan kare bir alandan geçmeniz gerekiyor, kaç km gitmeniz gerekiyor?

Burada en belirgin olan şey üçgeni ayrı ayrı ele alıp Pisagor teoremini kullanmaktır: . Böylece, . Peki burada gerekli mesafe nedir? Açıkçası mesafe negatif olamaz, bunu anlıyoruz. İkinin kökü yaklaşık olarak eşittir, ancak daha önce de belirttiğimiz gibi - zaten tam bir cevaptır.

Köklü örnekleri sorun yaratmadan çözmek için onları görmeniz ve tanımanız gerekir. Bunu yapmak için en azından ile arasındaki sayıların karelerini bilmeniz ve bunları tanıyabilmeniz gerekir. Örneğin, neyin kareye eşit olduğunu ve tam tersine neyin kareye eşit olduğunu bilmeniz gerekir.

Karekökün ne olduğunu anladınız mı? Daha sonra birkaç örnek çözün.

Örnekler.

Peki nasıl oldu? Şimdi bu örneklere bakalım:

Yanıtlar:

Küp kökü

Evet, karekök kavramını çözmüş gibiyiz, şimdi küp kökün ne olduğunu ve aralarındaki farkın ne olduğunu bulmaya çalışalım.

Küp kökü Belirli bir sayının küpü kendisine eşit olan sayıdır. Burada her şeyin çok daha basit olduğunu fark ettiniz mi? Herhangi bir kısıtlama yoktur olası değerler hem küp kök işaretinin altındaki değerler hem de çıkarılan sayı. Yani küp kökü herhangi bir sayıdan çıkarılabilir: .

Küp kökünün ne olduğunu ve nasıl çıkarılacağını anlıyor musunuz? Daha sonra devam edin ve örnekleri çözün.

Örnekler.

Yanıtlar:

Kök - ah derece

Artık kare ve küp kök kavramlarını anladık. Şimdi kavramla edinilen bilgileri özetleyelim 1. kök.

1. kök Bir sayının kuvveti eşit olan bir sayıdır, yani.

eş değer.

Öyle bile olsa, O:

• negatif ile, ifade mantıklı değil (negatif sayıların çift kökleri kaldırılamaz!);
• negatif olmayanlar için() ifadesinin negatif olmayan bir kökü vardır.

- tek ise, ifadenin herhangi biri için benzersiz bir kökü vardır.

Paniğe kapılmayın, kare ve küp köklerde olduğu gibi aynı prensipler burada da geçerlidir. Yani karekökleri ele alırken uyguladığımız prensipler çift dereceli tüm köklere genişletilir.

Kübik kök için kullanılan özellikler tek dereceli kökler için de geçerlidir.

Peki, daha netleşti mi? Örneklere bakalım:

Burada her şey aşağı yukarı açık: ilk önce bakıyoruz - evet, derece çift, kökün altındaki sayı pozitif, bu da bizim görevimizin bize dördüncü kuvvetini verecek bir sayı bulmak olduğu anlamına geliyor. Peki tahminin var mı? Belki, ? Kesinlikle!

Yani derece eşittir - tek, kökün altındaki sayı negatiftir. Görevimiz, bir kuvvete yükseltildiğinde üreten bir sayı bulmaktır. Kökü hemen fark etmek oldukça zordur. Ancak aramanızı hemen daraltabilirsiniz, değil mi? Birincisi, gerekli sayı kesinlikle negatiftir ve ikincisi, bunun tek olduğu ve dolayısıyla istenen sayının tek olduğu fark edilebilir. Kökünü bulmaya çalışın. Tabii ki, güvenle reddedebilirsiniz. Belki, ?

Evet, aradığımız şey buydu! Hesaplamayı basitleştirmek için derecelerin özelliklerini kullandığımızı unutmayın: .

Köklerin temel özellikleri

Apaçık? Değilse, örneklere baktıktan sonra her şey yerine oturmalıdır.

Köklerin çoğaltılması

Kökler nasıl çoğaltılır? En basit ve en temel özellik bu soruyu yanıtlamaya yardımcı olur:

Basit bir şeyle başlayalım:

Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmamış mı? Sorun değil; işte bazı örnekler:

Ya iki değil de daha fazla çarpan varsa? Aynısı! Kökleri çarpma formülü herhangi bir sayıda faktörle çalışır:

Bununla ne yapabiliriz? Tabii ki, üçün karekökü olduğunu hatırlayarak üçü kökün altına saklayın!

buna neden ihtiyacımız var? Evet, örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:

Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok kolaylaştırıyor mu? Benim için bu kesinlikle doğru! Sadece şunu hatırlaman gerekiyor Pozitif sayıları yalnızca çift dereceli kök işaretinin altına girebiliriz.

Bunun başka nerede yararlı olabileceğini görelim. Örneğin, problem iki sayının karşılaştırılmasını gerektiriyor:

Daha fazlası:

Hemen söyleyemezsin. Peki, kök işaretinin altına bir sayı girmenin demonte özelliğini kullanalım mı? O halde devam edin:

Kök işaretinin altındaki sayı ne kadar büyük olursa, kökün kendisi de o kadar büyük olur! Onlar. eğer öyleyse, . Bundan kesin olarak şu sonuca varıyoruz. Ve kimse bizi aksi yönde ikna edemeyecek!

Bundan önce kök işaretinin altına bir çarpan girmiştik ama onu nasıl kaldıracağız? Sadece onu faktörlere ayırmanız ve çıkardığınız şeyi çıkarmanız gerekiyor!

Farklı bir yol izlemek ve diğer faktörlere doğru genişlemek mümkündü:

Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, nasıl karar verirseniz verin.

Örneğin, burada bir ifade var:

Bu örnekte derece çifttir, peki ya tekse? Yine üslü sayıların özelliklerini uygulayın ve her şeyi çarpanlara ayırın:

Bununla her şey açık görünüyor, ancak bir sayının kökü bir kuvvete nasıl çıkarılır? Örneğin burada şu var:

Oldukça basit, değil mi? Derece ikiden büyükse ne olur? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı izliyoruz:

Peki her şey açık mı? O zaman işte bir örnek:

Bunlar onlarla ilgili tuzaklar her zaman hatırlamaya değer. Bu aslında özellik örneklerine de yansıyor:

Apaçık? Örneklerle pekiştirin:

Evet, kökün çift kuvvette olduğunu görüyoruz, kökün altındaki negatif sayının da çift kuvvette olduğunu görüyoruz. Peki aynı şekilde mi çalışıyor? İşte şu:

Bu kadar! Şimdi işte bazı örnekler:

Anladım? Daha sonra devam edin ve örnekleri çözün.

Örnekler.

Yanıtlar.

Cevap aldıysanız gönül rahatlığıyla yolunuza devam edebilirsiniz. Değilse, şu örnekleri anlayalım:

Köklerin diğer iki özelliğine bakalım:

Bu özelliklerin örneklerle incelenmesi gerekmektedir. Peki şunu yapalım mı?

Anladım? Güvenliğini sağlayalım.

Örnekler.

Yanıtlar.

KÖKLER VE ÖZELLİKLERİ. ORTALAMA SEVİYE

Aritmetik karekök

Denklemin iki çözümü vardır: ve. Bunlar kareleri eşit olan sayılardır.

Denklemi düşünün. Grafiksel olarak çözelim. Fonksiyonun grafiğini ve düzeyde bir çizgi çizelim. Bu doğruların kesişme noktaları çözüm olacaktır. Bu denklemin de biri pozitif, diğeri negatif olmak üzere iki çözümü olduğunu görüyoruz:

Ancak bu durumda çözümler tam sayı değildir. Üstelik rasyonel değiller. Bu irrasyonel kararları yazmak için özel bir karekök sembolü sunuyoruz.

Aritmetik karekök karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. İfade tanımlanmadığında, çünkü Karesi negatif bir sayıya eşit olan bir sayı yoktur.

Kare kök: .

Örneğin, . Ve bunu takip ediyor veya.

Bir kez daha dikkatinizi çekeyim, şu çok önemli: Karekök her zaman negatif olmayan bir sayıdır: !

Küp kökü Bir sayının küpü kendisine eşit olan sayıdır. Küp kökü herkes için tanımlanır. Herhangi bir sayıdan çıkarılabilir: . Gördüğünüz gibi negatif değerler de alabiliyor.

Bir sayının inci kökü, kuvveti eşit olan bir sayıdır, yani.

Eğer eşitse, o zaman:

• eğer öyleyse a'nın inci kökü tanımlanmamıştır.
• ise denklemin negatif olmayan köküne derecenin aritmetik kökü denir ve gösterilir.

- tek ise, denklemin herhangi biri için benzersiz bir kökü vardır.

Kök işaretinin solunda derecesini yazdığımızı fark ettiniz mi? Ama karekök için değil! Derecesiz bir kök görürseniz, bu onun kare (derece) olduğu anlamına gelir.

Örnekler.

Köklerin temel özellikleri

KÖKLER VE ÖZELLİKLERİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Karekök (aritmetik karekök) Negatif olmayan bir sayıdan buna denir karesi olan negatif olmayan sayı

Köklerin özellikleri: