Formüller ve köklerin özellikleri de dahil olmak üzere kuvvet fonksiyonunun temel özellikleri verilmiştir. Türev, integral, açılım güç serisi ve bir kuvvet fonksiyonunun karmaşık sayılarla temsili.

Tanım

Tanım
Güç fonksiyonuüslü p ile f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

Üssün doğal değerleri için güç fonksiyonu, x'e eşit n sayıların çarpımıdır:
.
Geçerli olanların tümü için tanımlanır.

Üssün pozitif rasyonel değerleri için güç fonksiyonu, x sayısının m derecesinin n köklerinin çarpımıdır:
.
Tek m için, tüm gerçek x'ler için tanımlanır. Hatta m için, negatif olmayanlar için güç fonksiyonu tanımlanır.

Negatif için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Bu nedenle noktada tanımlanmamıştır.

Üs p'nin irrasyonel değerleri için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
,
burada a, bire eşit olmayan rastgele bir pozitif sayıdır: .
Ne zaman için tanımlanır.
Ne zaman, güç fonksiyonu için tanımlanır.

Süreklilik. Bir güç fonksiyonu tanım alanında süreklidir.

x ≥ 0 için kuvvet fonksiyonlarının özellikleri ve formülleri

Burada güç fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız. negatif değerler argüman x. Yukarıda belirtildiği gibi p üssünün belirli değerleri için, x'in negatif değerleri için de kuvvet fonksiyonu tanımlanır. Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak ’nin özelliklerinden elde edilebilir. Bu durumlar "" sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmakta ve gösterilmektedir.

p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
;
(1.2) birçok anlamı var
,
;
(1.3) kesinlikle ile artar,
kesinlikle şu şekilde azalır;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Özelliklerin kanıtı “Güç fonksiyonu (sürekliliğin ve özelliklerin kanıtı)” sayfasında verilmiştir.

Kökler - tanım, formüller, özellikler

Tanım
N dereceli bir x sayısının kökü n üssüne yükseltildiğinde x'i veren sayıdır:
.
burada n = 2, 3, 4, ... - birden büyük bir doğal sayı.

Ayrıca n dereceli bir x sayısının kökünün denklemin kökü (yani çözümü) olduğunu da söyleyebilirsiniz.
.
Fonksiyonun fonksiyonun tersi olduğuna dikkat edin.

x'in karekökü derece 2'nin bir köküdür: .

x'in küp kökü 3. derecenin bir köküdür: .

Çift derece

Eşit kuvvetler için n = 2 m, kök x ≥ için tanımlanır 0 . Sıklıkla kullanılan bir formül hem pozitif hem de negatif x için geçerlidir:
.
Karekök için:
.

Burada işlemlerin gerçekleştirilme sırası önemlidir; yani ilk önce kare alma işlemi yapılır ve sonuçta hiçbir sonuç elde edilmez. negatif bir sayı ve sonra kök ondan alınır (negatif olmayan bir sayının karekökünü alabilirsiniz). Eğer sırayı değiştirirsek: negatif x için kök tanımsız olur ve bununla birlikte tüm ifade de tanımsız olur.

Tek derece

Tek kuvvetler için kök, tüm x için tanımlanır:
;
.

Köklerin özellikleri ve formülleri

X'in kökü bir kuvvet fonksiyonudur:
.
x ≥ olduğunda 0 aşağıdaki formüller geçerlidir:
;
;
, ;
.

Bu formüller değişkenlerin negatif değerleri için de uygulanabilir. Sadece eşit güçlerin radikal ifadesinin olumsuz olmadığından emin olmanız gerekir.

Özel değerler

0'ın kökü 0: .
Kök 1, 1'e eşittir: .
0'ın karekökü 0: .
1'in karekökü 1: .

Örnek. Köklerin kökü

Köklerin karekökü örneğine bakalım:
.
Yukarıdaki formülleri kullanarak iç karekökü dönüştürelim:
.
Şimdi orijinal kökü dönüştürelim:
.
Bu yüzden,
.

p üssünün farklı değerleri için y = x p.

İşte x argümanının negatif olmayan değerleri için fonksiyonun grafikleri. X'in negatif değerleri için tanımlanan bir güç fonksiyonunun grafikleri “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında verilmiştir.

Ters fonksiyon

Üssü p olan bir kuvvet fonksiyonunun tersi, üssü 1/p olan bir kuvvet fonksiyonudur.

Eğer öyleyse.

Bir güç fonksiyonunun türevi

N'inci dereceden türev:
;

Formüllerin türetilmesi > > >

Bir güç fonksiyonunun integrali

P ≠ - 1 ;
.

Kuvvet serisi genişletmesi

- 1 < x < 1 aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
F (z) = zt.
Karmaşık değişken z'yi r modülü ve φ (r = |z|) argümanı cinsinden ifade edelim:
z = r e ben φ .
Karmaşık sayı t'yi gerçek ve sanal kısımlar biçiminde temsil ediyoruz:
t = p + ben q.
Sahibiz:

Daha sonra, φ argümanının benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını dikkate alıyoruz:
,

q = olduğu durumu ele alalım. 0 yani üs bir gerçel sayıdır, t = p. Daha sonra
.

Eğer p bir tam sayı ise kp de bir tam sayıdır. Daha sonra trigonometrik fonksiyonların periyodikliği nedeniyle:
.
Yani, belirli bir z için tamsayı üssü olan üstel fonksiyonun yalnızca bir değeri vardır ve bu nedenle belirsizdir.

Eğer p irrasyonelse, herhangi bir k için kp çarpımları bir tamsayı üretmez. k sonsuz sayıda değerden geçtiği için k = 0, 1, 2, 3, ... ise z p fonksiyonunun sonsuz sayıda değeri vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz.

Eğer p rasyonel ise şu şekilde temsil edilebilir:
, Nerede m, n- ortak bölenler içermeyen tam sayılar. Daha sonra
.
İlk n değerleri, k = k ile 0 = 0, 1, 2, ... n-1 n'yi ver Farklı anlamlar kp:
.
Ancak sonraki değerler öncekilerden bir tam sayı farklılık gösteren değerler verir. Örneğin, k = k olduğunda 0+n sahibiz:
.
Trigonometrik fonksiyonlar argümanları katları olan değerlere göre farklılık gösteren 2π, eşit değerlere sahiptir. Bu nedenle, k'de daha fazla bir artışla, k = k ile aynı z p değerlerini elde ederiz. 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Böylece, rasyonel bir üste sahip bir üstel fonksiyon çok değerlidir ve n değeri (dalları) vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz. Bu tür n sayıda devrimden sonra geri sayımın başladığı ilk şubeye dönüyoruz.

Özellikle, n dereceli bir kökün n değeri vardır. Örnek olarak, z = x gerçek pozitif sayısının n'inci kökünü düşünün. Bu durumda φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Yani karekök için n = 2 ,
.
Hatta k için, (- 1 ) k = 1. Tek k için, (- 1 ) k = - 1.
Yani karekökün iki anlamı vardır: + ve -.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

İlk seviye

Kök ve özellikleri. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Bu “kök” kavramının ne olduğunu ve “neyle yenildiğini” anlamaya çalışalım. Bunu yapmak için, sınıfta daha önce karşılaştığınız örneklere bakalım (peki, ya da bununla karşılaşmak üzeresiniz).

Mesela bir denklemimiz var. Bu denklemin çözümü nedir? Hangi sayıların karesi alınıp elde edilebilir? Çarpım tablosunu hatırlayarak cevabı kolayca verebilirsiniz: ve (sonuçta, iki negatif sayı çarpıldığında pozitif bir sayı elde edilir)! Basitleştirmek için matematikçiler şunu tanıttı: özel konsept karekök ve ona atandım özel karakter.

Aritmetik karekökü tanımlayalım.

Sayının neden negatif olmaması gerekiyor? Örneğin neye eşittir? Peki, birini seçmeye çalışalım. Belki üç? Kontrol edelim: , değil. Belki, ? Tekrar kontrol ediyoruz: . Peki uymuyor mu? Bu beklenen bir durumdur; çünkü karesi alındığında negatif sayı veren hiçbir sayı yoktur!
Hatırlamanız gerekenler: kök işaretinin altındaki sayı veya ifade negatif olmamalıdır!

Bununla birlikte, en dikkatli olanlar muhtemelen tanımın "bir sayının karekökünün çözümünün buna denir" dediğini fark etmişlerdir. negatif olmayan karesi "'ye eşit olan sayı. Bazılarınız, en başta örneği analiz ettiğimizi, karesi alınabilen ve elde edilen sayıları seçtiğimizi, cevabın ve olduğunu söyleyecektir, ancak burada bir tür "negatif olmayan sayıdan" bahsediyoruz! Bu açıklama oldukça yerinde. Burada ikinci dereceden denklem kavramlarını ve bir sayının aritmetik karekökünü birbirinden ayırmanız yeterlidir. Örneğin ifadesine eşdeğer değildir.

Şunu takip eder, yani veya. ("Konuyu okuyun")

Ve bunu takip ediyor.

Tabii ki, bu çok kafa karıştırıcı, ancak işaretlerin denklem çözmenin sonucu olduğunu hatırlamak gerekir, çünkü denklemi çözerken tüm X'leri yazmamız gerekir, bu da orijinal denklemde yerine konulduğunda şu sonucu verir: doğru sonuç. bizim ikinci dereceden denklem her ikisi için de uygundur.

Ancak eğer sadece karekökünü al bir şeyden, o zaman her zaman negatif olmayan bir sonuç elde ederiz.

Şimdi bu denklemi çözmeye çalışın. Artık her şey o kadar basit ve pürüzsüz değil, değil mi? Rakamları gözden geçirmeyi deneyin, belki bir şeyler yoluna girer? En baştan başlayalım - sıfırdan: - uymuyor, devam edelim - üçten az, ayrıca kenara süpürelim, ya olursa. Şunu kontrol edelim: - aynı zamanda uygun değil, çünkü... bu üçten fazla. Negatif sayılarla aynı hikaye. Öyleyse şimdi ne yapmalıyız? Arama bize gerçekten hiçbir şey vermedi mi? Hiç de değil, artık cevabın hem ile arasında hem de ile arasında bir sayı olacağından eminiz. Ayrıca, açıkçası çözümler tamsayı olmayacak. Üstelik rasyonel değiller. Peki sırada ne var? Fonksiyonun grafiğini çizelim ve çözümleri üzerinde işaretleyelim.

Sistemi kandırmaya çalışalım ve hesap makinesini kullanarak cevabı bulalım! Hadi bunun kökünü çıkaralım! Oh-oh-oh, öyle görünüyor. Bu sayı hiç bitmiyor. Sınavda hesap makinesi olmayacağına göre bunu nasıl hatırlayacaksın!? Her şey çok basit, hatırlamanıza gerek yok, sadece yaklaşık değeri hatırlamanız (veya hızlı bir şekilde tahmin edebilmeniz) gerekiyor. ve cevapların kendisi. Bu tür sayılara irrasyonel denir; karekök kavramının tanıtılması, bu tür sayıların yazılmasını kolaylaştırmaktı.

Bunu pekiştirmek için başka bir örneğe bakalım. Şimdi şu probleme bakalım: Kenarı km olan kare bir alandan geçmeniz gerekiyor, kaç km gitmeniz gerekiyor?

Burada en belirgin olan şey üçgeni ayrı ayrı ele alıp Pisagor teoremini kullanmaktır: . Böylece, . Peki burada gerekli mesafe nedir? Açıkçası mesafe negatif olamaz, bunu anlıyoruz. İkinin kökü yaklaşık olarak eşittir, ancak daha önce de belirttiğimiz gibi - zaten tam bir cevaptır.

Köklü örnekleri sorun yaratmadan çözmek için onları görmeniz ve tanımanız gerekir. Bunu yapmak için en azından ile arasındaki sayıların karelerini bilmeniz ve bunları tanıyabilmeniz gerekir. Örneğin, neyin kareye eşit olduğunu ve tam tersine neyin kareye eşit olduğunu bilmeniz gerekir.

Karekökün ne olduğunu anladınız mı? Daha sonra birkaç örnek çözün.

Örnekler.

Peki nasıl oldu? Şimdi bu örneklere bakalım:

Yanıtlar:

Küp kökü

Karekök kavramını çözdük gibi görünüyor, şimdi ne olduğunu bulmaya çalışalım küp kökü ve bunların farkı nedir?

Bir sayının küp kökü, küpü kendisine eşit olan sayıdır. Burada her şeyin çok daha basit olduğunu fark ettiniz mi? Herhangi bir kısıtlama yoktur olası değerler hem küp kök işaretinin altındaki değerler hem de çıkarılan sayı. Yani küp kökü herhangi bir sayıdan çıkarılabilir: .

Küp kökünün ne olduğunu ve nasıl çıkarılacağını anlıyor musunuz? Daha sonra devam edin ve örnekleri çözün.

Örnekler.

Yanıtlar:

Kök - ah derece

Artık kare ve küp kök kavramlarını anladık. Şimdi kavramla edinilen bilgileri özetleyelim 1. kök.

1. kök Bir sayının kuvveti eşit olan bir sayıdır, yani.

eş değer.

Öyle bile olsa, O:

• negatif ile, ifade mantıklı değil (negatif sayıların çiftinci kökleri kaldırılamaz!);
• negatif olmayanlar için() ifadesinin negatif olmayan bir kökü vardır.

- tek ise, ifadenin herhangi biri için benzersiz bir kökü vardır.

Paniğe kapılmayın, kare ve küp köklerde olduğu gibi aynı prensipler burada da geçerlidir. Yani, değerlendirirken uyguladığımız ilkeler Karekök, çift dereceli tüm köklere kadar uzanır.

Kübik kök için kullanılan özellikler tek dereceli kökler için de geçerlidir.

Peki, daha netleşti mi? Örneklere bakalım:

Burada her şey az çok açık: ilk önce bakıyoruz - evet, derece çift, kökün altındaki sayı pozitif, bu da bizim görevimizin bize dördüncü kuvvetini verecek bir sayı bulmak olduğu anlamına geliyor. Peki tahminin var mı? Belki, ? Kesinlikle!

Yani derece eşittir - tek, kökün altındaki sayı negatiftir. Görevimiz, bir kuvvete yükseltildiğinde üreten bir sayı bulmaktır. Kökü hemen fark etmek oldukça zordur. Ancak aramanızı hemen daraltabilirsiniz, değil mi? Birincisi, gerekli sayı kesinlikle negatiftir ve ikincisi, bunun tek olduğu ve dolayısıyla istenen sayının tek olduğu fark edilebilir. Kökünü bulmaya çalışın. Tabii ki, güvenle reddedebilirsiniz. Belki, ?

Evet, aradığımız şey buydu! Hesaplamayı basitleştirmek için derecelerin özelliklerini kullandığımızı unutmayın: .

Köklerin temel özellikleri

Apaçık? Değilse, örneklere baktıktan sonra her şey yerine oturmalıdır.

Köklerin çoğaltılması

Kökler nasıl çoğaltılır? En basit ve en temel özellik bu soruyu yanıtlamaya yardımcı olur:

Basit bir şeyle başlayalım:

Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmamış mı? Sorun değil; işte bazı örnekler:

Ya iki değil de daha fazla çarpan varsa? Aynısı! Kökleri çarpma formülü herhangi bir sayıda faktörle çalışır:

Bununla ne yapabiliriz? Tabii ki, üçün karekökü olduğunu hatırlayarak üçü kökün altına saklayın!

buna neden ihtiyacımız var? Evet, örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:

Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok kolaylaştırıyor mu? Benim için bu kesinlikle doğru! Sadece şunu hatırlaman gerekiyor Pozitif sayıları yalnızca çift dereceli kök işaretinin altına girebiliriz.

Bunun başka nerede yararlı olabileceğini görelim. Örneğin, problem iki sayının karşılaştırılmasını gerektiriyor:

Daha fazlası:

Hemen söyleyemezsin. Peki, kök işaretinin altına bir sayı girmenin demonte özelliğini kullanalım mı? O halde devam edin:

Kök işaretinin altındaki sayı ne kadar büyük olursa, kökün kendisi de o kadar büyük olur! Onlar. eğer öyleyse, . Bundan kesin olarak şu sonuca varıyoruz. Ve kimse bizi aksi yönde ikna edemeyecek!

Bundan önce kök işaretinin altına bir çarpan girmiştik ama onu nasıl kaldıracağız? Sadece onu faktörlere ayırmanız ve çıkardığınız şeyi çıkarmanız gerekiyor!

Farklı bir yol izlemek ve diğer faktörlere doğru genişlemek mümkündü:

Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, nasıl karar verirseniz verin.

Örneğin, burada bir ifade var:

Bu örnekte derece çifttir, peki ya tekse? Yine üslü sayıların özelliklerini uygulayın ve her şeyi çarpanlara ayırın:

Bununla her şey açık görünüyor, ancak bir sayının kökü bir kuvvete nasıl çıkarılır? Örneğin burada şu var:

Oldukça basit, değil mi? Derece ikiden büyükse ne olur? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı izliyoruz:

Peki her şey açık mı? O zaman işte bir örnek:

Bunlar onlarla ilgili tuzaklar her zaman hatırlamaya değer. Bu aslında özellik örneklerine de yansıyor:

Apaçık? Örneklerle pekiştirin:

Evet, kökün çift kuvvette olduğunu görüyoruz, kökün altındaki negatif sayının da çift kuvvette olduğunu görüyoruz. Peki aynı şekilde mi çalışıyor? İşte şu:

Bu kadar! Şimdi işte bazı örnekler:

Anladım? Daha sonra devam edin ve örnekleri çözün.

Örnekler.

Yanıtlar.

Cevap aldıysanız gönül rahatlığıyla yolunuza devam edebilirsiniz. Değilse, şu örnekleri anlayalım:

Köklerin diğer iki özelliğine bakalım:

Bu özelliklerin örneklerle incelenmesi gerekmektedir. Peki şunu yapalım mı?

Anladım? Güvenliğini sağlayalım.

Örnekler.

Yanıtlar.

KÖKLER VE ÖZELLİKLERİ. ORTALAMA SEVİYE

Aritmetik karekök

Denklemin iki çözümü vardır: ve. Bunlar kareleri eşit olan sayılardır.

Denklemi düşünün. Grafiksel olarak çözelim. Fonksiyonun grafiğini ve düzeyde bir çizgi çizelim. Bu doğruların kesişme noktaları çözüm olacaktır. Bu denklemin de biri pozitif, diğeri negatif olmak üzere iki çözümü olduğunu görüyoruz:

Ancak bu durumda çözümler tam sayı değildir. Üstelik rasyonel değiller. Bu irrasyonel kararları yazmak için özel bir karekök sembolü sunuyoruz.

Aritmetik karekök karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. İfade tanımlanmadığında, çünkü Karesi negatif bir sayıya eşit olan bir sayı yoktur.

Kare kök: .

Örneğin, . Ve bunu takip ediyor veya.

Bir kez daha dikkatinizi çekeyim, şu çok önemli: Karekök her zaman negatif olmayan bir sayıdır: !

Küp kökü Bir sayının küpü kendisine eşit olan sayıdır. Küp kökü herkes için tanımlanır. Herhangi bir sayıdan çıkarılabilir: . Gördüğünüz gibi negatif değerler de alabiliyor.

Bir sayının inci kökü, kuvveti eşit olan bir sayıdır, yani.

Eğer eşitse, o zaman:

• eğer öyleyse a'nın inci kökü tanımlanmamıştır.
• ise denklemin negatif olmayan köküne derecenin aritmetik kökü denir ve gösterilir.

- tek ise, denklemin herhangi biri için benzersiz bir kökü vardır.

Kök işaretinin solunda derecesini yazdığımızı fark ettiniz mi? Ama karekök için değil! Derecesiz bir kök görürseniz, bu onun kare (derece) olduğu anlamına gelir.

Örnekler.

Köklerin temel özellikleri

KÖKLER VE ÖZELLİKLERİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Karekök (aritmetik karekök) Negatif olmayan bir sayıdan buna denir karesi olan negatif olmayan sayı

Köklerin özellikleri:

Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız. :)

Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, bunun nedeni köklerin karmaşık olması değil (bunun nesi karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları bunu yapabilir. bu yazıyı kendileri anlayabilirler. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyuluyor ve pratikte nasıl uygulanıyor.

Ama önce birini hatırla önemli nokta, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı "unuttuğu":

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.

Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:

Tanım. Hatta kök N$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda kök şu şekilde gösterilir:

\(A)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü denir ve $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alıyoruz (bu arada, bu çift dereceli bir kök) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alıyoruz; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.

Örnekler. Klasik örnekler Karekök:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]

Birkaç “egzotik örnek”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]

Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üslü sayılar için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.

Neden köklere ihtiyaç var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?

Bu soruyu cevaplamak için biraz geriye gidelim birincil sınıflar. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Yani “beşe beş – yirmi beş” gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:

Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayda bir sayının kuvvetleri adı verildi, içinde bir sürü özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]

Ya $((b)^(3))=50$ ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.

Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve sonra da bundan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizle (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin test edilmesi gerekir).

Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökün $\frac(p)(q)$ formunun bir kesri olarak temsil edilememesi, bu kökün kesirli olmadığı anlamına gelir. rasyonel sayı. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, güçler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka zaman anlatacağım.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]

Doğal olarak ona göre dış görünüş root'ta virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.

İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanıma ihtiyaç var?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin buradan alındığını fark etmiştir. pozitif sayılar. Peki Son çare olarak sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü

İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:

Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Sanki dördünün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyoruz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar? :)

Hiçbirini uygulamazsanız sorun budur ek koşullar, o zaman dörtlü iki kare köke sahip olacaktır - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen yani negatif değerleri kabul etmez.

Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:

1. Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$ çift dereceli bir kökün tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında anlatılmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bundan ayrı bir derste detaylı olarak bahsedeceğim. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.

Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:

1. Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:

\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]

Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü çıkarırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilecek basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı dikkate almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.

Konuyu detaylı anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))))=?\]

Bu çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak sayının dördüncü kuvvetine yükseltilir. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:

Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı çift gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Bu hesaplamalar, çift dereceli bir kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.

Prosedürle ilgili not

1. $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu zorunlu ihtiyaç, tanımına dahil edilmiştir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.

Ancak tüm bu sorunlar yalnızca eşit göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu çok kullanışlı özellik, tüm negatifleri "atmanıza" olanak tanır:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]

Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.

Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulda irrasyonel ifadeler üzerinde çalışmaya başlarken kullanılan tanımın aynısı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Tanışmak!

Aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - kısmen "standart" tanımlarımızla örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz - burada $x$ ve $y$ koordinatları pozitif (veya en azından sıfır). Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"

Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Lütfen unutmayın: Radikal ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4))))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.

Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız ayrı bir büyük ders onlara ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.

Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için

Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.

Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
2. Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı ikinci dereceden grafik fonksiyonu. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Son olarak son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.

Ancak modern anlamda okul kursu Matematikte karmaşık sayılarla neredeyse hiç karşılaşılmaz. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda inşa etmek N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Bu makale köklerin özellikleri konusuyla ilgili ayrıntılı bilgilerin bir derlemesidir. Konuyu göz önünde bulundurarak özelliklerle başlayacağız, tüm formülasyonları inceleyeceğiz ve kanıt sunacağız. Konuyu pekiştirmek için n'inci derecenin özelliklerini ele alacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Köklerin özellikleri

Özellikleri hakkında konuşacağız.

1. Mülk çarpılan sayılar A Ve B a · b = a · b eşitliğiyle temsil edilir. Pozitif veya sıfıra eşit faktörler şeklinde temsil edilebilir. a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k olarak;
2. a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 bölümünden a b = a b;
3. Bir sayının kuvvetinden elde edilen özellik Açift ​​üslü a 2 m = herhangi bir sayı için a m Aörneğin bir a sayısının karesinin özelliği 2 = a.

Sunulan denklemlerin herhangi birinde, tire işaretinden önceki ve sonraki kısımları değiştirebilirsiniz; örneğin, a · b = a · b eşitliği a · b = a · b olarak dönüştürülür. Eşitlik özellikleri genellikle karmaşık denklemleri basitleştirmek için kullanılır.

İlk özelliklerin ispatı, karekök tanımına ve doğal üslü kuvvetlerin özelliklerine dayanmaktadır. Üçüncü özelliği doğrulamak için bir sayının modülünün tanımına bakmak gerekir.

Öncelikle a · b = a · b karekökünün özelliklerini kanıtlamak gerekir. Tanıma göre, a b'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu düşünmek gerekir; bu sayı şuna eşit olacaktır: bir b Inşaat sırasında bir kareye. a · b ifadesinin değeri, negatif olmayan sayıların çarpımı olarak pozitif veya sıfıra eşittir. Çarpan sayıların kuvvetleri özelliği, eşitliği (a · b) 2 = a 2 · b 2 biçiminde temsil etmemizi sağlar. Karekök tanımı gereği, a 2 = a ve b 2 = b, bu durumda a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Benzer şekilde üründen bunu kanıtlayabiliriz kçarpanlar a 1 , a 2 , … , a k bu faktörlerin kareköklerinin çarpımına eşit olacaktır. Aslında, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Bu eşitlikten şu sonuç çıkar: a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Konuyu pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

örnek 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ve 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Bölümün aritmetik karekökünün özelliğini kanıtlamak gerekir: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Bu özellik, a: b 2 = a 2: b 2 ve a 2: b 2 = a: b eşitliğini yazmamıza olanak tanır; a: b ise pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir. Bu ifade kanıt olacaktır.

Örneğin, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ve 30,121 = 30,121.

Bir sayının karesinin karekökü özelliğini ele alalım. 2 = a şeklinde eşitlik olarak yazılabilir. Bu mülk için çeşitli eşitliklerin ayrıntılı olarak dikkate alınması gerekir. a ≥ 0 ve A< 0 .

Açıkçası, a ≥ 0 için a 2 = a eşitliği doğrudur. Şu tarihte: A< 0 a 2 = - a eşitliği doğru olacaktır. Aslında bu durumda - a > 0 ve (− a) 2 = a 2 . a 2 = a, a ≥ 0 - a, a sonucunu çıkarabiliriz< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 2

5 2 = 5 = 5 ve - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Kanıtlanmış özellik, 2 m = a m'nin gerekçelendirilmesine yardımcı olacaktır; A– gerçek ve M-doğal sayı. Gerçekten de, bir gücü yükseltme özelliği, o gücün yerini almamıza olanak sağlar. 2 m ifade (bir m) 2, bu durumda a 2 m = (a m) 2 = a m.

Örnek 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ve (- 8, 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8, 3) ​​7 .

N'inci kökün özellikleri

Öncelikle n'inci köklerin temel özelliklerini dikkate almamız gerekiyor:

1. Sayıların çarpımından elde edilen özellik A Ve B Pozitif veya sıfıra eşit olan , a · b n = a n · b n eşitliği olarak ifade edilebilir, bu özellik çarpım için geçerlidir. k sayılar a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n olarak;
2. kesirli bir sayıdan a b n = a n b n özelliğine sahiptir, burada A pozitif veya sıfıra eşit olan herhangi bir gerçek sayıdır ve B– pozitif gerçek sayı;
3. Herhangi A ve hatta göstergeler n = 2 m a 2 · m 2 · m = a doğrudur ve tek sayı için n = 2 m - 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a eşitliği geçerlidir.
4. a m n = a n m'den çıkarma özelliği, burada A– pozitif veya sıfıra eşit herhangi bir sayı, N Ve M – tamsayılar, bu özellik formda da temsil edilebilir. . . bir n k n 2 n 1 = bir n 1 · n 2 . . . · nk ;
5. Negatif olmayan herhangi bir a ve keyfi için N Ve M doğaldır, adil eşitliği a m n · m = a n olarak da tanımlayabiliriz;
6. Derecenin özelliği N bir sayının kuvvetinden A pozitif veya sıfıra eşit olan doğal derece M a m n = a n m eşitliğiyle tanımlanır;
7. Aynı üslere sahip karşılaştırma özelliği: herhangi bir pozitif sayı için A Ve Böyle ki A< b , eşitsizlik a n< b n ;
8. Karşılaştırma özellikleri aynı sayılar kökün altında: eğer M Ve N - doğal sayılar m > n, sonra 0 < a < 1 a m > a n eşitsizliği doğrudur ve ne zaman a > 1 bir m idam edildi< a n .

Yukarıda verilen eşitlikler, eşittir işaretinden önceki ve sonraki kısımların yer değiştirmesi durumunda geçerlidir. Bu formda da kullanılabilirler. Bu genellikle ifadeleri basitleştirirken veya dönüştürürken kullanılır.

Bir kökün yukarıdaki özelliklerinin kanıtı, bir sayının tanımına, derecenin özelliklerine ve modülünün tanımına dayanmaktadır. Bu özelliklerin kanıtlanması gerekir. Ama her şey yolunda.

1. Öncelikle a · b n = a n · b n çarpımının n'inci kökünün özelliklerini kanıtlayalım. İçin A Ve b hangisiöyle pozitif veya sıfıra eşit , a n · b n değeri de pozitiftir veya sıfıra eşittir, çünkü negatif olmayan sayıların çarpılmasının bir sonucudur. Bir ürünün doğal güce sahip olması, a n · b n n = a n n · b n n eşitliğini yazmamızı sağlar. Bir kökün tanımı gereği N-'inci derece a n n = a ve b n n = b , dolayısıyla a n · b n n = a · b . Ortaya çıkan eşitlik tam olarak kanıtlanması gereken şeydir.

Bu özellik ürün için de benzer şekilde kanıtlanabilir. kçarpanlar: negatif olmayan sayılar için a 1, a 2, …, an n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Root özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler aşağıda verilmiştir NÇarpımdan gelen -inci kuvvet: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ve 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. a b n = a n b n bölümünün kökünün özelliğini kanıtlayalım. Şu tarihte: a ≥ 0 Ve b > 0 a n b n ≥ 0 koşulu karşılanmıştır ve a n b n n = a n n b n n = a b .

Örnekleri gösterelim:

Örnek 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ve 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Bir sonraki adım için sayıdan dereceye kadar n'inci derecenin özelliklerini kanıtlamak gerekir. N. Bunu herhangi bir gerçek için a 2 m 2 m = a ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği olarak düşünelim. A ve doğal M. Şu tarihte: a ≥ 0 a = a ve a 2 m = a 2 m elde ederiz, bu da a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlar ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği açıktır. Şu tarihte: A< 0 sırasıyla a = - a ve a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m elde ederiz. Bir sayının son dönüşümü kuvvet özelliğine göre geçerlidir. Bu tam olarak a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlayan şeydir ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a doğru olacaktır, çünkü tek derece dikkate alınır - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 herhangi bir sayı için C , pozitif veya sıfıra eşit.

Alınan bilgileri pekiştirmek için özelliği kullanan birkaç örneği ele alalım:

Örnek 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ve (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Aşağıdaki eşitliği kanıtlayalım: a m n = a n m. Bunu yapmak için, eşittir işaretinden önceki ve sonraki sayıların yerini değiştirmeniz gerekir a n · m = a m n . Bu, girişin doğru olduğu anlamına gelecektir. İçin A, hangisi olumlu veya sıfıra eşit , a m n formundaki pozitif veya sıfıra eşit bir sayıdır. Gelelim bir gücü güce yükseltme özelliğine ve tanımına. Onların yardımıyla eşitlikleri a m n n · m = a m n n m = a m m = a biçiminde dönüştürebilirsiniz. Bu, söz konusu kökün kökünün özelliğini kanıtlar.

Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır. Gerçekten mi, . . . an k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · nk = . . . an k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · nk = . . . an k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · nk = . . . = bir n k n k = bir .

Örneğin, 7 3 5 = 7 5 3 ve 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Aşağıdaki a m n · m = a n özelliğini kanıtlayalım. Bunu yapmak için n'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu göstermek gerekir. Nm gücüne yükseltildiğinde eşittir bir m. eğer sayı A pozitif veya sıfıra eşitse, o zaman N-aralarından derece A pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir Bu durumda, a n · m n = a n n m , bunun kanıtlanması gerekiyor.

Edinilen bilgiyi pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

1. Aşağıdaki özelliği kanıtlayalım: a m n = a n m formundaki bir kuvvetin kökünün özelliği. Açıkça görülüyor ki ne zaman a ≥ 0 a n m derecesi negatif olmayan bir sayıdır. Üstelik onun N inci kuvvet eşittir bir m, aslında, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Bu, söz konusu derecenin özelliğini kanıtlar.

Örneğin, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Herhangi bir pozitif sayı için bunu kanıtlamak gerekir. A ve b koşulu sağlanır A< b . a n eşitsizliğini düşünün< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Bu nedenle, bir n< b n при A< b .

Mesela 12 4'ü verelim< 15 2 3 4 .

1. Kökün özelliğini düşünün N-inci derece. Öncelikle eşitsizliğin ilk kısmını dikkate almak gerekir. Şu tarihte: m > n Ve 0 < a < 1 doğru a m > a n. a m ≤ a n olduğunu varsayalım. Özellikler, ifadeyi bir n m · n ≤ a m m · n şeklinde basitleştirmenize olanak tanır. O halde, doğal üssü olan bir derecenin özelliklerine göre, a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n eşitsizliği geçerlidir, yani, a n ≤ a m. Elde edilen değer m > n Ve 0 < a < 1 yukarıda verilen özelliklere uymuyor.

Aynı şekilde şu da kanıtlanabilir: m > n Ve a > 1 a m koşulu doğrudur< a n .

Yukarıdaki özellikleri birleştirmek için birkaçını göz önünde bulundurun spesifik örnekler. Belirli sayıları kullanarak eşitsizliklere bakalım.

Örnek 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.