Araştırma projesi dikkat çekici üçgen noktaları. Araştırma çalışması “Üçgenin dikkat çekici noktaları

Bir üçgende sözde dört tane var harika noktalar: orta refüjlerin kesişme noktası. Açıortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birine bakalım.

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası

Teorem 1

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Hadi düşünelim orta çizgi$A_1B_1$ (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Üçgen açıortayların kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$AM,\BP,\CK$'nin ortaortayları olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. $O$ noktası $AM\ ve\BP$ açıortaylarının kesişme noktası olsun. Bu noktadan üçgenin kenarlarına dikler çizelim (Şekil 2).

Şekil 2. Üçgen ortaylar

Teorem 3

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OX=OZ,\ OX=OY$. Bu nedenle $OY=OZ$. Bu, $O$ noktasının $ACB$ açısının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $CK$ açıortayı üzerinde bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 4

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası, $n\ ve\ m$ orta dikmelerinin kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

Teorem 5

Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OB=OC,\ OB=OA$. Bu nedenle $OA=OC$. Bu, $O$ noktasının $AC$ doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $p$ dik açıortayında bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun yüksekliğidir. Üçgenin her köşesinden, köşenin karşısındaki kenara paralel bir düz çizgi çizelim. Yeni bir $A_2B_2C_2$ üçgeni elde ediyoruz (Şekil 4).

Şekil 4. Üçgen yükseklikleri

$AC_2BC$ ve $B_2ABC$ ortak kenarlı paralelkenarlar olduğundan, $AC_2=AB_2$, yani $A$ noktası $C_2B_2$ kenarının orta noktasıdır. Benzer şekilde, $B$ noktasının $C_2A_2$ kenarının orta noktası olduğunu ve $C$ noktasının $A_2B_2$ kenarının orta noktası olduğunu buluruz. Yapıdan şunu elde ederiz: $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Dolayısıyla $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$, $A_2B_2C_2$ üçgeninin dik açıortaylarıdır. O halde Teorem 4'e göre $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini elde ederiz.

Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu Federal eyalet bütçesi Eğitim kurumu daha yüksek mesleki Eğitim

"Magnitogorsk Devlet Üniversitesi»

Fizik ve Matematik Fakültesi

Cebir ve Geometri Bölümü

Ders çalışması

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Tamamlayan: 41. grup öğrencisi

Vakhrameeva A.M.

Bilimsel yönetmen

Velikih A.S.

Magnitogorsk 2014

giriiş

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen adeta geometrinin sembolü olmuştur; ama o sadece bir sembol değil, geometrinin bir atomudur.

Bir üçgen neden geometrinin bir atomu olarak düşünülebilir? Çünkü önceki kavramlar - nokta, düz çizgi ve açı - bir dizi ilişkili teorem ve problemle birlikte belirsiz ve soyut soyutlamalardır. Bu nedenle, bugün okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir.

Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Bu, üçgenin geometrisi derinlemesine incelenmeden okul geometrisi çalışmasının gerçekleştirilemeyeceği anlamına gelir; Bir çalışma nesnesi olarak üçgenin çeşitliliği ve dolayısıyla onu incelemek için çeşitli yöntemlerin kaynağı olduğu göz önüne alındığında, üçgenin dikkat çekici noktalarının geometrisini incelemek için malzeme seçmek ve geliştirmek gereklidir. Üstelik bu materyali seçerken kendinizi sadece yukarıda belirtilen dikkat çekici noktalarla sınırlamamalısınız. Okul müfredatı Durum eğitim standardı, iç çemberin merkezi (ortayların kesişme noktası), çevrel çemberin merkezi (ortayların kesişme noktası), kenarortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası gibi. Ama için derin nüfuzÜçgenin doğası ve tükenmezliğinin anlaşılması için üçgenin mümkün olduğu kadar dikkat çekici noktaları hakkında fikir sahibi olmak gerekir. Üçgenin geometrik bir nesne olarak tükenmezliğine ek olarak şunu da belirtmek gerekir: en muhteşem mülk bir çalışma nesnesi olarak üçgen: bir üçgenin geometrisinin incelenmesi, onun herhangi bir özelliğinin temel alınarak incelenmesiyle başlayabilir; daha sonra üçgeni inceleme metodolojisi, üçgenin diğer tüm özelliklerinin bu temele dayanabileceği şekilde oluşturulabilir. Başka bir deyişle, üçgeni incelemeye nereden başlarsanız başlayın, bu muhteşem figürün istediğiniz derinliğine her zaman ulaşabilirsiniz. Ancak daha sonra - bir seçenek olarak - üçgenin dikkat çekici noktalarını inceleyerek çalışmaya başlayabilirsiniz.

Hedef ders çalışması Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesinden oluşur. Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri çözmek gerekir:

· Açıortay, ortanca, yükseklik, dik açıortay kavramlarını ve özelliklerini inceleyin.

· Okulda çalışılmayan Gergonne noktasını, Euler çemberini ve Euler çizgisini düşünün.

1. BÖLÜM Üçgenin ortaortayı, üçgenin yazılı çemberinin merkezi. Bir üçgenin açıortayının özellikleri. Gergonna noktası

1 Bir üçgenin yazılı dairesinin merkezi

Bir üçgenin dikkat çekici noktaları, konumu üçgen tarafından benzersiz bir şekilde belirlenen ve üçgenin kenarlarının ve köşelerinin alınma sırasına bağlı olmayan noktalardır.

Bir üçgenin açıortayı, bir üçgenin köşesini karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir açının açıortay kısmıdır.

Teorem. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası, kenarlarından eşit uzaklıkta (yani üçgenin kenarlarını içeren çizgilerden eşit uzaklıkta). Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur.

Kanıt. 1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın. Dik üçgenleri düşünün ?AMK ve ?AML. Hipotenüs ve dar açı bakımından eşittirler (AM - ortak hipotenüs, geleneksel olarak 1 = 2). Bu nedenle MK=ML olur.

) M noktasının içinizde olmasına izin verin ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olsun. AM ışınının BAC açıortay olduğunu kanıtlayalım. AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgilerini çizelim. AKM ve ALM dik üçgenleri hipotenüs ve kenar açısından eşittir (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak MK = ML). Dolayısıyla 1 = 2. Ancak bu, AM ışınının BAC'ın açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Bir üçgenin açıortayları bir noktada kesişir (çemberin merkezi ve merkez).

ABC üçgeninin AA1 ve BB1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizelim. Teoremine göre (Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıktaki her nokta açıortay üzerinde bulunur) OK = OM ve OK = deriz. OL. Bu nedenle OM = OL, yani O noktası ACB kenarlarından eşit uzaklıktadır ve dolayısıyla bu açının CC1 açıortayında yer alır. Bu nedenle üç açıortay da ?ABC O noktasında kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyor.

daire açıortay üçgen çizgisi

1.2 Bir üçgenin açıortayının özellikleri

Herhangi bir açının açıortay BD'si (Şekil 1.1) ?ABC, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı AD ve CD parçalarına böler.

ABD = DBC ise AD: DC = AB: BC olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

CE'yi gerçekleştirelim || BD, AB kenarının devamı ile E noktasındaki kesişim noktasına kadar. Daha sonra, birkaç paralel çizgiyle kesişen çizgiler üzerinde oluşan bölümlerin orantılılığı teoremine göre şu oranı elde edeceğiz: AD: DC = AB: BE. Bu orandan kanıtlanması gereken orana geçmek için BE = BC denklemini bulmak yeterlidir. ?TÜM ikizkenarlar. Bu üçgende E = ABD (paralel çizgilerle karşılık gelen açılar olarak) ve ALL = DBC (aynı paralel çizgilerle çapraz açılar olarak).

Ancak koşula göre ABD = DBC; bu E = ALL anlamına gelir ve bu nedenle eşit açıların karşısında bulunan BE ve BC kenarları eşittir.

Şimdi yukarıda yazılan orandaki BE'yi BC ile değiştirerek ispatlanması gereken oranı elde ediyoruz.

20 Bir üçgenin iç ve komşu açılarının orta açıları birbirine diktir.

Kanıt. BD, ABC'nin açıortayı olsun (Şekil 1.2) ve BE, belirtilen iç açıya bitişik dış CBF'nin açıortayı olsun, ?ABC. O halde ABD = DBC ='yi belirtirsek ?, CBE = EBF = ?, sonra 2 ? + 2?= 1800 ve dolayısıyla ?+ ?= 900. Bu da BD anlamına mı geliyor? OLMAK.

30 Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarı böler dışarıdan bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür.

(Şek.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Bir üçgenin herhangi bir açısının açıortayı, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı parçalara böler.

Kanıt. Hadi düşünelim ?ABC. Kesinlik sağlamak için CAB açıortayının BC kenarını D noktasında kesmesine izin verin (Şekil 1.4). BD: DC = AB: AC olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, C noktasından AB çizgisine paralel bir çizgi çizin ve bu AD çizgisinin kesişme noktasını E ile belirtin. O halde DAB=DEC, ABD=ECD ve dolayısıyla ?DAB~ ?DEC, üçgenlerin benzerliğinin ilk kriterine dayanmaktadır. Ayrıca, AD ışını bir açıortay CAD olduğundan CAE = EAB = AEC olur ve bu nedenle, ?ECA ikizkenarları. Dolayısıyla AC=CE olur. Ancak bu durumda benzerlikten ?DAB ve ?DEC, BD: DC=AB: CE =AB: AC sonucunu takip eder ve kanıtlanması gereken de budur.

Bir üçgenin dış açısının açıortayı, bu açının tepe noktasının karşısındaki tarafın uzantısıyla kesişirse, ortaya çıkan kesişme noktasından karşı tarafın uçlarına kadar olan bölümler, üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılıdır.

Kanıt. Hadi düşünelim ?ABC. F, CA kenarının uzantısı üzerinde bir nokta olsun; D, BAF dış üçgeninin açıortayının CB kenarının uzantısı ile kesişme noktası olsun (Şekil 1.5). DC:DB=AC:AB olduğunu gösterelim. Aslında, C noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru çizelim ve bu doğrunun DA doğrusu ile kesişme noktasını E ile gösterelim. Daha sonra ADB üçgeni ~ ?EDC ve dolayısıyla DC:DB=EC:AB. Dan beri ?EAC= ?KÖTÜ= ?CEA, daha sonra ikizkenar olarak ?CEA tarafı AC=EC ve dolayısıyla DC:DB=AC:AB, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

3 Açıortayın özelliklerini kullanarak problem çözme

Problem 1. O, şeklinde yazılı bir dairenin merkezi olsun. ?ABC, CAB = ?. COB = 900 + olduğunu kanıtlayın? /2.

Çözüm. O yazılı olanın merkezi olduğundan ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.6), BO ve CO ışınları sırasıyla ABC ve BCA'nın ortaortaylarıdır. Ve sonra COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, kanıtlanması gereken şey buydu.

Problem 2. O'nun anlatılanların merkezi olmasına izin verin. ?Bir çemberin ABC'si, H, BC kenarına çizilen yüksekliğin tabanıdır. CAB açıortayının aynı zamanda açıortay olduğunu kanıtlayın? Ah.

AD, CAB'nin açıortayı olsun, AE çevrelenenin çapı olsun ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.7, 1.8). Eğer ?ABC akuttur (Şekil 1.7) ve dolayısıyla ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ AC yayları ve ?BHA ve ?ECA dikdörtgen (BHA =ECA = 900), o zaman ?ah~ ?ECA ve dolayısıyla CAO = CAE =HAB. Ayrıca, BAD ve CAD koşula göre eşittir, yani HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Şimdi ABC = 900 olsun. Bu durumda AH yüksekliği AB kenarına denk geliyorsa, O noktası AC hipotenüsüne ait olacaktır ve dolayısıyla problem ifadesinin geçerliliği açıktır.

ABC > 900 olduğu durumu ele alalım (Şekil 1.8). Burada ABCE dörtgeni bir daire içine yazılmıştır ve dolayısıyla AEC = 1800 - ABC'dir. Öte yandan ABH = 1800 - ABC, yani. AEC = ABH. Dan beri ?BHA ve ?ECA dikdörtgendir ve dolayısıyla HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, bu durumda HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. BAC ve ACB'nin geniş olduğu durumlar benzer şekilde ele alınır. ?

4 Noktalı Gergonna

Gergonne noktası, üçgenin köşelerini bu köşelerin karşısındaki kenarların teğet noktalarına ve üçgenin yazılı dairesine bağlayan doğruların kesişme noktasıdır.

ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi O noktası olsun. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına değmesine izin verin. D,E noktaları ve F sırasıyla. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır. O noktası yazılı dairenin merkezi olsun ?ABC. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında değmesine izin verin. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır.

Bu üç doğru parçasının aslında bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Çemberin merkezinin açıortayların kesişme noktası olduğuna dikkat edin. ?ABC ve iç çemberin yarıçapları OD, OE ve OF'dir ?üçgenin kenarları. Böylece, üç çift eşit üçgenimiz var (AFO ve AEO, BFO ve BDO, CDO ve CEO).

AF?BD çalışıyor mu? CE ve AE? OLMAK? CF eşittir, çünkü BF = BD, CD = CE, AE = AF, dolayısıyla bu çarpımların oranı eşittir ve Ceva teoremine göre (A1, B1, C1 noktaları BC, AC ve AB taraflarında olsun? Sırasıyla ABC. AA1 , BB1 ve CC1 doğru parçalarının bir noktada kesişmesine izin verin.

(üçgenin etrafında saat yönünde dönüyoruz)), segmentler bir noktada kesişiyor.

Yazılı dairenin özellikleri:

Bir dairenin tüm kenarlarına değmesi durumunda üçgenin içine yazıldığı söylenir.

Herhangi bir üçgenin içine bir daire yazılabilir.

Verilenler: ABC - bu üçgen, O - açıortayların kesişme noktası, M, L ve K - dairenin üçgenin kenarlarına teğet noktaları (Şekil 1.11).

Kanıt: O, ABC'de yazılı bir dairenin merkezidir.

Kanıt. O noktasından sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarına OK, OL ve OM dikmelerini çizelim (Şekil 1.11). O noktası ABC üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan OK = OL = OM olur. Bu nedenle, OK yarıçaplı O merkezli bir daire K, L, M noktalarından geçer. ABC üçgeninin kenarları, OK, OL ve OM yarıçaplarına dik oldukları için bu daireye K, L, M noktalarında dokunur. Bu, ABC üçgeninde OK yarıçaplı O merkezli bir çemberin yazılı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktasıdır.

ABC verilsin, O, içine yazılan dairenin merkezi olsun, D, E ve F, dairenin kenarlarla temas noktaları olsun (Şekil 1.12). ? AEO = ? Hipotenüs ve kenardaki AOD (EO = OD - yarıçap olarak, AO - toplam). Üçgenlerin eşitliğinden ne çıkar? OAD = ? O.A.E. Yani AO, EAD açısının açıortayıdır. Aynı şekilde O noktasının üçgenin diğer iki açıortayında olduğu kanıtlanır.

Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Kanıt. Çevreleyen (O; R) belirli bir daire olsun (Şekil 1.13), düz bir a çizgisi ona P noktasında değiyor. OP yarıçapının a'ya dik olmamasına izin verin. O noktasından teğete dik bir OD çizelim. Teğetin tanımı gereği, P noktası ve özellikle D noktası dışındaki tüm noktalar çemberin dışında yer alır. Bu nedenle dik OD'nin uzunluğu, eğik OP'nin R uzunluğundan daha büyüktür. Bu, eğik özelliğe aykırıdır ve sonuçta ortaya çıkan çelişki, ifadeyi kanıtlar.

BÖLÜM 2. Üçgenin dikkat çekici 3 noktası, Euler çemberi, Euler düz çizgisi.

1 Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi

Bir segmente dik bir açıortay, segmentin ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.

Teorem. Bir parçanın dik açıortayının her noktası, o parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.

Kanıt. Düz çizgi m, AB doğru parçasına dik açıortay olsun ve O noktası da parçanın orta noktası olsun.

m düz çizgisi üzerinde keyfi bir M noktası düşünelim ve AM=BM olduğunu kanıtlayalım. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O farklı noktalar olsun. Dikdörtgen ?OAM ve ?OBM iki ayak üzerinde eşittir (OA = OB, OM ortak ayaktır), dolayısıyla AM = BM.

) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. Eğer N noktası AB doğrusu üzerinde değilse, o zaman şunu düşünün: ?AN=BN olduğundan ikizkenar olan ANB. NO segmenti bu üçgenin medyanı ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO AB'ye diktir, bu nedenle ON ve m çizgileri çakışır ve bu nedenle N, m çizgisinin bir noktasıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar bir noktada (çevrel dairenin merkezi) kesişir.

AB ve BC kenarlarına m ve n dikmelerinin kesişme noktası olan O'yu gösterelim. ?ABC. Teoremine göre (bir doğru parçasına dik olan açıortayın her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır.) OB = OA olduğu sonucuna varırız ve OB = OC dolayısıyla: OA = OC, Yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır ve dolayısıyla bu parçaya dik olan p ortay üzerinde yer alır. Bu nedenle, her üç açıortay m, n ve p yanlara doğru ?ABC O noktasında kesişiyor.

Dar bir üçgen için bu nokta üçgenin içinde, geniş bir üçgen için üçgenin dışında, dik bir üçgen için hipotenüsün ortasında yer alır.

Bir üçgenin dik açıortayının özelliği:

İç ve dış açıortayların üzerinde bulunduğu çizgiler dış köşeler Bir tepe noktasından çıkan üçgenler, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin taban tabana zıt noktalarında karşı kenara dik olan orta yol ile kesişir.

Kanıt. Örneğin, ABC açıortayının yukarıda açıklananla kesişmesine izin verin. ?D noktasındaki ABC çemberi (Şekil 2.1). O halde, yazılı ABD ve DBC eşit olduğundan, AD = yay DC olur. Ancak AC kenarına dik açıortay aynı zamanda AC yayını da ikiye böler, dolayısıyla D noktası da bu dik açıortaya ait olacaktır. Ayrıca, paragraf 1.3'teki özellik 30 uyarınca, ABC'ye bitişik BD ABC açıortayı olduğundan, ABC, yazılı bir dik açı her zaman çapa dayandığından, daireyi D noktasına taban tabana zıt bir noktada kesecektir.

2 Bir üçgenin çemberinin ortosantırı

Yükseklik, bir üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren bir düz çizgiye çizilen dikmedir.

Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada (ortomerkez) kesişir.

Kanıt. Keyfi düşünün ?ABC'yi bulun ve yüksekliklerini içeren AA1, BB1, CC1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. Her köşeden geçelim ?ABC, karşı kenara paralel bir düz çizgidir. Aldık ?A2B2C2. A, B ve C noktaları bu üçgenin orta noktalarıdır. Aslında AB=A2C ve AB=CB2, ABA2C ve ABCB2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A2C=CB2. Benzer şekilde C2A=AB2 ve C2B=BA2. Ayrıca yapıdan da anlaşılacağı üzere CC1 A2B2'ye dik, AA1 B2C2'ye dik ve BB1 A2C2'ye diktir. Böylece, AA1, BB1 ve CC1 doğruları kenarlara dik açıortaylardır. ?A2B2C2. Bu nedenle bir noktada kesişirler.

Üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkez, dar açılarda üçgenin içinde, dışında - geniş açılarda veya tepe noktasıyla çakışabilir, dikdörtgen olanlarda ise tepe noktasıyla dik açıyla çakışır.

Bir üçgenin yüksekliğinin özellikleri:

Dar bir üçgenin iki yüksekliğinin tabanlarını birleştiren bir bölüm, ortak açının kosinüsüne eşit bir benzerlik katsayısı ile verilene benzer bir üçgeni ondan keser.

Kanıt. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve ABC = ?(Şekil 2.2). BA1A ve CC1B dik üçgenlerinin ortak noktası ?yani benzerler, yani BA1/BA = BC1/BC = cos ?. Bundan BA1/BC1=BA/BC = cos çıkar. ?yani V ?C1BA1 ve ?Ortak alana bitişik ABC kenarları ??C1BA1~ ?ABC, benzerlik katsayısı cos'a eşit ?. Benzer şekilde kanıtlanmıştır ki ?A1CB1~ ?Benzerlik katsayısı cos BCA olan ABC ve ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC çünkü CAB.

Bir dik üçgenin hipotenüsüne düşen yükseklik, onu birbirine benzer ve orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Kanıt. Dikdörtgen düşünün ?ABC, sahip olduğu ?BCA = 900 ve CD yüksekliğidir (Şekil 2.3).

Daha sonra benzerlik ?ADC ve ?BDC, örneğin, AD/CD = CD/DB olduğundan, dik üçgenlerin iki bacağın orantılılığıyla benzerlik işaretinden çıkar. ADC ve BDC dik üçgenlerinin her biri, en azından iki açıdaki benzerliğe dayalı olarak orijinal dik üçgene benzer.

Yükseklik özelliklerinin kullanımını içeren problemlerin çözümü

Problem 1. Köşelerinden biri verilen geniş üçgenin köşesi, diğer iki köşesi geniş açılı üçgenin diğer iki köşesi hariç tutulan yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgenin aşağıdakine benzer olduğunu kanıtlayın: benzerlik katsayısı birinci tepe noktasındaki açının kosinüsü modülüne eşit olan üçgen.

Çözüm. Geniş bir düşünün ?Aptal CAB ile ABC. Yükseklikleri AA1, BB1, CC1 olsun (Şekil 2.4, 2.5, 2.6) ve CAB = olsun ?, ABC = ? , BCA = ?.

Bunun kanıtı ?C1BA1~ ?Benzerlik katsayısı k = cos olan ABC (Şekil 2.4) ?, mülkiyet kanıtı 1, paragraf 2.2'de yürütülen gerekçeyi tamamen tekrarlamaktadır.

Hadi bunu kanıtlayalım ?A1CB~ ?Benzerlik katsayısı k1= cos olan ABC (Şekil 2.5) ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Şekil 2.6) benzerlik katsayısı k2 = |cos? |.

Aslında CA1A ve CB1B dik üçgenlerinin ortak bir açısı vardır. ?ve dolayısıyla benzer. Buradan B1C/ BC = A1C / AC= cos çıkar. ?ve dolayısıyla B1C/ A1C = BC / AC = cos ?yani A1CB1 ve ABC üçgenlerinde ortak bir kenar oluşturan kenarlar ??, orantılıdır. Ve sonra, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre ?A1CB~ ?ABC, benzerlik katsayısı k1= cos ile ?. Son duruma gelince (Şekil 2.6), dik üçgenlerin dikkate alınmasından ?BB1A ve ?CC1A, eşit dikey açılara sahip BAB1 ve C1AC'nin benzer olduğunu ve dolayısıyla B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |çünkü ?|, beri ??- köreltmek. Dolayısıyla B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| ve böylece üçgenlerde ?B1AC1 ve ?Eşit açı oluşturan ABC kenarları orantılıdır. Ve bu şu anlama geliyor ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC k2 = |cos? |.

Problem 2. Eğer O noktası bir ABC dar üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası ise ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Problem cümlesinde verilen formüllerden ilkinin geçerliliğini kanıtlayalım. Geriye kalan iki formülün geçerliliği de benzer şekilde kanıtlanmıştır. O halde ABC = olsun ?, AOC = ?. A1, B1 ve C1, sırasıyla A, B ve C köşelerinden çizilen üçgenin yüksekliklerinin tabanlarıdır (Şekil 2.7). Daha sonra BC1C dik üçgeninden BCC1 = 900 - çıkar. ?ve dolayısıyla OA1C dik üçgeninde COA1 açısı eşittir ?. Ancak AOC + COA1 açılarının toplamı = ? + ?düz bir açı verir ve bu nedenle AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Problem 3. Dar bir üçgenin yüksekliklerinin, köşeleri bu üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgenin açılarının ortaortayları olduğunu kanıtlayın.

is.2.8

Çözüm. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve CAB = olsun ?(Şekil 2.8). Örneğin AA1 yüksekliğinin C1A1B1 açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım. Aslında, C1BA1 ve ABC üçgenleri benzer olduğundan (özellik 1), bu durumda BA1C1 = ?ve dolayısıyla C1A1A = 900 - ?. A1CB1 ve ABC üçgenlerinin benzerliğinden AA1B1 = 900 - sonucu çıkar. ?ve dolayısıyla C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Ancak bu, AA1'in C1A1B1 açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin diğer iki yüksekliğinin, A1B1C1 üçgeninin karşılık gelen diğer iki açısının ortaortayları olduğu kanıtlanmıştır.

3 Üçgen çemberinin ağırlık merkezi

Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın orta noktasına bağlayan bir segmenttir.

Teorem. Üçgenin kenarortayları bir noktada (ağırlık merkezi) kesişir.

Kanıt. Keyfi olarak mı düşünelim? ABC.

AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişim noktasını O harfi ile gösterelim ve bu üçgenin A1B1 orta çizgisini çizelim. A1B1 doğru parçası AB kenarına paralel olduğundan 1 = 2 ve 3 = 4 olur. Bu nedenle, ?AOB ve ?A1OB1 iki açıda benzerdir ve dolayısıyla kenarları orantılıdır: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Ama AB=2A1B1, yani AO=2A1O ve BO=2B1O. Böylece, AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler.

Benzer şekilde, BB1 ve CC1 medyanlarının kesişme noktasının her birini tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böldüğü ve bu nedenle O noktasıyla çakıştığı ve ona 2:1 oranında bölündüğü kanıtlanmıştır. tepe noktasından sayma.

Bir üçgenin medyanının özellikleri:

10 Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.

Verilen: ?ABC, AA1, BB1 - medyanlar.

Kanıt: AO:OA1=VO:OB1=2:1

Kanıt. Orta çizgi A1B1||AB'nin özelliğine göre A1B1=1/2 AB orta çizgisini çizelim (Şekil 2.10). A1B1'den bu yana || AB, bu durumda 1 = 2, AB ve A1B1 paralel çizgileri ve AA1 sekantıyla çapraz olarak uzanır. 3 = 4, A1B1 ve AB paralel çizgileri ve BB1 sekantıyla çapraz olarak uzanıyor.

Buradan, ?AOB~ ?A1OB1 iki açının eşitliği ile belirlenir, bu da kenarların orantılı olduğu anlamına gelir: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Kanıt. BD - medyan ?ABC (Şekil 2.11), BE - yüksekliği. Daha sonra ?ABD ve ?DBC'nin boyutları eşittir çünkü sırasıyla AD ve DC tabanları ve BE ortak yüksekliğine sahiptirler.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Üçgenin ortancasının devamında, üçgenin kenarının ortasından ortancaya eşit uzunlukta bir parça çıkarılırsa, bu parçanın bitiş noktası ve üçgenin köşeleri köşelerdir. paralelkenar.

Kanıt. BC kenarının orta noktası D olsun ?ABC (Şekil 2.12), E, AD doğrusu üzerinde DE=AD olacak şekilde bir noktadır. Bu durumda, ABEC dörtgeninin D noktasındaki AE ve BC köşegenleri ikiye bölündüğü için, özellik 13.4'ten ABEC dörtgeninin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar.

Ortancaların özelliklerini kullanarak problemleri çözme:

Problem 1. O'nun medyanların kesişme noktası olduğunu kanıtlayın ?ABC o zaman ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin boyutu eşittir.

Çözüm. AA1 ve BB1 medyan olsun ?ABC(Şekil 2.13). Hadi düşünelim ?AOB ve ?BOC. Açıkça görülüyor ki S ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O,S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. Ama özellik 2'ye göre elimizde S var ?AB1B=S ?BB1C,S ?AOB = S ?OB1C, yani S ?AOB = S ?BOC. Eşitlik S ?AOB = S ?AOC.

Problem 2. O noktasının içeride olduğunu kanıtlayın ?ABC ve ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin alanı eşitse, O medyanların kesişme noktası mıdır? ABC.

Çözüm. Hadi düşünelim ?ABC (2.14) ve O noktasının BB1 medyanı üzerinde olmadığını varsayalım. O zaman OB1 medyan olduğundan ?AOC sonra S ?AOB1 = S ?B1OC ve S koşuluna göre ?AOB = S ?BOC, sonra S ?AB1OB = S ?BOB1C. Ama bu olamaz çünkü S ?ABB1 = S ?B1BC. Ortaya çıkan çelişki, O noktasının BB1 medyanı üzerinde olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde O noktasının diğer iki medyana ait olduğu kanıtlanmıştır. ?ABC. Buradan O noktasının gerçekten üç medyanın kesişme noktası olduğu sonucu çıkıyor? ABC.

Problem 3. Aşağıdakileri kanıtlayın: ?ABC kenarları AB ve BC eşit değilse, bu durumda onun ortayağı BD BM ortancası ile BH yüksekliği arasında yer alır.

Kanıt. hakkında anlatalım ?ABC bir dairedir ve açıortay BD'yi daireyi K noktasında kesinceye kadar uzatır. K noktasından ortancaya sahip olan AC parçasına (özellik 1, 2.1 noktasından) dik bir dik olacaktır. ortak nokta M. Ancak BH ve MK doğru parçaları paralel olduğuna ve B ve K noktaları AC doğrusunun karşıt taraflarında bulunduğuna göre, BK ve AC doğru parçalarının kesişme noktası HM doğru parçasına aittir ve bu neyin gerekli olduğunu kanıtlar.

Problem 4.B ?ABC ortanca BM, AB kenarının yarısı kadardır ve onunla 400 derecelik bir açı oluşturur. ABC'yi bulun.

Çözüm. Medyan BM'yi uzunluğu kadar M noktasının ötesine uzatalım ve D noktasını elde edelim (Şekil 2.15). AB = 2BM olduğuna göre AB = BD yani ABD üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla KÖTÜ = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. ABCD dörtgeni bir paralelkenardır çünkü köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Bu, CBD = ADB = 700 anlamına gelir. O halde ABC = ABD + CBD =1100. Cevap 1100'dür.

Problem 5. ABC kenarları a, b, c'ye eşittir. c kenarına çizilen medyan mc'yi hesaplayın (Şekil 2.16).

Çözüm. ACBP paralelkenarına ?ABC derleyerek medyanı ikiye katlayalım ve bu paralelkenara Teorem 8'i uygulayalım: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, yani. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, buradan şunu buluyoruz:

2.4 Euler çemberi. Euler çizgisi

Teorem. Medyanların tabanları, rastgele bir üçgenin yükseklikleri ve üçgenin köşelerini diklik merkezi ile birleştiren bölümlerin orta noktaları, yarıçapı, etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşit olan aynı daire üzerinde yer alır. üçgen. Bu daireye dokuz noktalı daire veya Euler dairesi denir.

Kanıt. Ortadaki?MNL'yi alalım (Şekil 2.17) ve onun etrafında bir W çemberi tanımlayalım.LQ segmenti dikdörtgensel?AQB'deki ortancadır, dolayısıyla LQ=1/2AB. MN=1/2AB segmenti, çünkü MN - orta çizgi? ABC. Buradan yamuk QLMN'nin ikizkenar olduğu sonucu çıkar. W çemberi bir ikizkenar yamuk L, M, N'nin 3 köşesinden geçtiği için dördüncü Q köşe noktasından da geçecektir. Benzer şekilde P'nin W'ye, R'nin W'ye ait olduğu kanıtlanmıştır.

X, Y, Z noktalarına geçelim. XL doğru parçası BH'ye orta çizgi olan AHB'ye diktir. BH segmenti AC'ye diktir ve AC, LM'ye paralel olduğundan BH, LM'ye diktir. Bu nedenle XLM=P/2. Aynı şekilde XNM= P/2.

LXNM dörtgeninde, iki zıt açı dik açıdır, dolayısıyla onun etrafında bir daire tanımlanabilir. Bu W çemberi olacak. Yani X W'ye ait, aynı şekilde Y de W'ye ait, Z de W'ye ait.

Ortadaki?LMN,?ABC'ye benzer. Benzerlik katsayısı 2'dir. Dolayısıyla dokuz noktalı dairenin yarıçapı R/2'dir.

Euler çemberinin özellikleri:

Dokuz noktalı dairenin yarıçapı, ?ABC etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşittir.

Dokuz noktalı daire, ABC katsayısı ile çevrelenen daireye homotetiktir. ½ ve H noktasındaki homotetik merkez.

Teorem. Ortomerkez, ağırlık merkezi, çevrel merkez ve dokuz noktalı daire merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler'in düz çizgisi.

Kanıt. H diklik merkezi olsun, ABC (Şekil 2.18) ve O çevrelenen dairenin merkezi olsun. Yapı itibariyle, dik ortaortay-ABC ortanca-MNL'nin yüksekliklerini içerir, yani O aynı anda ortomerkez-LMN'dir. ?LMN ~ ?ABC, benzerlik katsayıları 2, yani BH=2ON.

H ve O noktalarından geçen düz bir çizgi çizelim. İki benzer üçgen elde ediyoruz:NOG ve?BHG. BH=2ON olduğundan BG=2GN olur. İkincisi, G noktasının ABC'nin ağırlık merkezi olduğu anlamına gelir. G noktası için HG:GO=2:1 oranı sağlanır.

Ayrıca TF dik açıortay olsun, MNL ve F bu dikmenin HO çizgisiyle kesişme noktası olsun. Benzer ?TGF ve ?STK'yı ele alalım. G noktası ?MNL'nin ağırlık merkezidir, dolayısıyla ?TGF ve ?NGO'nun benzerlik katsayısı 2'ye eşittir. Dolayısıyla OG=2GF ve HG=2GO olduğundan HF=FO ve F, HO segmentinin ortasıdır.

Aynı mantığı karşı taraf?MNL'ye dik açıortay için de yaparsak, bu durumda HO doğru parçasının da ortasından geçmesi gerekir. Ancak bu, F noktasının dik açıortayların (MNL) noktası olduğu anlamına gelir. Bu nokta Euler çemberinin merkezidir. Teorem kanıtlandı.

ÇÖZÜM

Bu çalışmada, okulda incelenen üçgenin 4 harika noktasına ve bu noktaların birçok problemi çözebileceğimiz özelliklerine baktık. Gergonne noktası, Euler çemberi ve Euler düz çizgisi de dikkate alındı.

KULLANILAN KAYNAKLARIN LİSTESİ

1.Geometri 7-9. Ortaokullar için ders kitabı // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. ve diğerleri - M.: Eğitim, 1994.

2.Amelkin V.V. Düzlemde geometri: Teori, problemler, çözümler: Proc. Matematik üzerine bir el kitabı // V.V. Amelkin, V.L. Rabtsevich, V.L. Timokhovich - Mn .: “Asar”, 2003.

.VS. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Temel geometri kılavuzu. Orenburg, OGPI, 1991.

.Prasolov V.G. Planimetride sorunlar. - 4. baskı, eklenmiş - M.: Moskova Sürekli Matematik Eğitimi Merkezi yayınevi, 2001.

Bu dersimizde üçgenin dört harika noktasına bakacağız. Bunlardan ikisi üzerinde detaylı olarak duralım, önemli teoremlerin ispatlarını hatırlayalım ve problemi çözelim. Geriye kalan ikisini hatırlayalım ve karakterize edelim.

Ders:8.sınıf geometri dersinin tekrarı

Ders: Bir Üçgenin Dört Harika Noktası

Bir üçgen her şeyden önce üç parça ve üç açıdan oluşur, bu nedenle parçaların ve açıların özellikleri temeldir.

AB segmenti veriliyor. Her doğru parçasının bir orta noktası vardır ve bu noktadan geçen bir dikme çizilebilir; buna p diyelim. Dolayısıyla p dik açıortaydır.

Teorem (dik açıortayın ana özelliği)

Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Kanıtla

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve (bkz. Şekil 1). Dikdörtgen ve eşittirler çünkü. ortak bir OM bacağı var ve AO ve OB bacakları koşula göre eşit, dolayısıyla iki ayakta eşit olan iki dik üçgenimiz var. Buradan üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gereken şeyin eşit olduğu sonucu çıkıyor.

Pirinç. 1

Ters teorem doğrudur.

Teorem

Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

Bir AB parçası verildiğinde, ona dik bir açıortay p, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bir M noktası var (bkz. Şekil 2).

M noktasının doğru parçasının dik açıortayında bulunduğunu kanıtlayın.

Pirinç. 2

Kanıt:

Bir üçgen düşünün. Koşullara göre ikizkenardır. Bir üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının ortasıdır, OM medyandır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre tabanına çizilen kenarortay hem yükseklik hem de açıortaydır. Bunu takip ediyor. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. O noktasında AB doğru parçasına tek bir dik çizgi çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz; bu, OM ve p çizgilerinin çakıştığı anlamına gelir; bundan M noktasının p düz çizgisine ait olduğu sonucu çıkar ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Bir parçanın etrafındaki bir daireyi tanımlamak gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların her birinin merkezi, parçaya dik açıortay üzerinde yer alacaktır.

Dik açıortayın, bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.

Bir üçgen üç parçadan oluşur. Bunlardan ikisine orta dikmeler çizelim ve kesişimlerinin O noktasını elde edelim (bkz. Şekil 3).

O noktası üçgenin BC kenarına dik açıortaya aittir, yani B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır, bu mesafeyi R olarak gösterelim: .

Ek olarak, O noktası AB segmentine dik açıortay üzerinde bulunur, yani. , aynı zamanda buradan.

Böylece iki orta noktanın kesişimindeki O noktası

Pirinç. 3

Üçgenin dik açıları köşelerinden eşit uzaklıktadır, bu da onun aynı zamanda üçüncü açıortay üzerinde de bulunduğu anlamına gelir.

Önemli bir teoremin ispatını tekrarladık.

Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir - çevrel çemberin merkezi.

Böylece üçgenin ilk dikkat çekici noktasına baktık - orta dikmelerin kesişme noktası.

İsteğe bağlı bir açının özelliğine geçelim (bkz. Şekil 4).

Açı verilmiştir, ortayağı AL'dır, M noktası açıortay üzerindedir.

Pirinç. 4

M noktası bir açının açıortayında yer alıyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani M noktasından AC'ye ve açının kenarlarının BC'ye olan mesafeleri eşittir.

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... Ortak bir AM hipotenüsü vardır ve AL, açının ortancası olduğundan açılar eşittir. Dolayısıyla dik üçgenlerin hipotenüsleri ve dar açıları eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir. Bu nedenle, bir açının açıortayı üzerindeki bir nokta, o açının kenarlarına eşit uzaklıktadır.

Ters teorem doğrudur.

Teorem

Bir nokta, gelişmemiş bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman açıortayında bulunur (bkz. Şekil 5).

Gelişmemiş bir açı veriliyor, M noktası, öyle ki, ondan açının kenarlarına olan mesafe aynı olsun.

M noktasının açınınortay üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

Pirinç. 5

Kanıt:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe dikmenin uzunluğudur. M noktasından AB kenarına MK dikmelerini ve AC kenarına MR dikmelerini çiziyoruz.

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... ortak bir hipotenüs AM'ye sahiptir, bacaklar MK ve MR koşula göre eşittir. Böylece dik üçgenlerin hipotenüsü ve kenarı eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden karşılık gelen elemanların eşitliği çıkar; eşit açılar eşit kenarların karşısında yer alır, dolayısıyla, Bu nedenle M noktası verilen açının açıortayında yer alır.

Bir açıyla bir daire çizmeniz gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların merkezleri belirli bir açının açıortayında yer alır.

Açıortayın, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.

Bir üçgen üç açıdan oluşur. Bunlardan ikisinin orta açısını oluşturalım ve kesişimlerinin O noktasını alalım (bkz. Şekil 6).

O noktası açının açıortayında yer alır, yani AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır, mesafeyi r olarak gösterelim: . Ayrıca O noktası açının ortay üzerinde yer alır, yani buradan AC ve BC kenarlarına eşit uzaklıkta olur: , .

Açıortayların kesişme noktasının üçüncü açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu fark etmek kolaydır, bu da onun üzerinde olduğu anlamına gelir.

Pirinç. 6

açıortay. Böylece üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.

Böylece bir başka önemli teoremin ispatını hatırladık.

Bir üçgenin açılarının açıortayları bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi.

Böylece üçgenin ikinci dikkat çekici noktasına, açıortayların kesişme noktasına baktık.

Açıortay'a baktık ve işaretledik önemli özellikler: Açıortayın noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıkta olup ayrıca bir noktadan çembere çizilen teğet parçalar da eşittir.

Bazı gösterimleri tanıtalım (bkz. Şekil 7).

Eşit teğet parçaları x, y ve z ile gösterelim. A tepe noktasının karşısındaki BC kenarı a olarak gösterilir, benzer şekilde AC b olarak, AB ise c olarak gösterilir.

Pirinç. 7

Problem 1: Bir üçgende a kenarının yarı çevresi ve uzunluğu biliniyor. A - AK köşesinden çizilen ve x ile gösterilen teğetin uzunluğunu bulun.

Açıkçası, üçgen tam olarak tanımlanmamıştır ve bu tür birçok üçgen vardır, ancak bazı ortak unsurların olduğu ortaya çıkmıştır.

Yazılı daire içeren problemler için aşağıdaki çözüm yöntemi önerilebilir:

1. Açıortayları çizin ve yazılı dairenin merkezini alın.

2. O merkezinden kenarlara dik çizgiler çizin ve teğet noktaları elde edin.

3. Eşit teğetleri işaretleyin.

4. Üçgenin kenarları ile teğetler arasındaki ilişkiyi yazın.

Bir üçgende dört dikkat çekici nokta vardır: kenarortayların kesişme noktası. Açıortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birine bakalım.

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası

Teorem 1

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Orta çizgiyi $A_1B_1$ ele alalım (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Üçgen açıortayların kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

Şekil 2. Üçgen ortaylar

Teorem 3

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 4

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası, $n\ ve\ m$ orta dikmelerinin kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

Teorem 5

Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

Şekil 4. Üçgen yükseklikleri

İçerik

Giriş…………………………………………………………………………………3

Bölüm 1.

1.1 Üçgen………………………………………………………………………………..4

1.2. Bir üçgenin medyanları

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Kitapçık

giriiş

Geometri, çeşitli şekiller ve bunların özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur; ama bu sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.

Çalışmamda bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin kesişme noktalarının özelliklerini ele alıp, bunların dikkat çekici özelliklerinden ve üçgenin çizgilerinden bahsedeceğim.

İncelenen bu noktalar arasında okul kursu geometri şunları içerir:

a) açıortayların kesişme noktası (yazılı dairenin merkezi);

b) açıortay diklerinin kesişme noktası (sınırlandırılmış dairenin merkezi);

c) yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez);

d) medyanların kesişme noktası (merkez).

Uygunluk: üçgen hakkındaki bilginizi genişletin,onun özellikleriharika noktalar.

Hedef: üçgenin dikkat çekici noktalarına kadar araştırılması,onları incelemekSınıflandırmalar ve özellikler.

Görevler:

1. Gerekli literatürü inceleyin

2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin

3. Dikkat çekici üçgen noktalar oluşturabilecektir.

4. Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetleyin.

Proje hipotezi:

Herhangi bir üçgende dikkat çekici noktalar bulma yeteneği, geometrik inşaat problemlerini çözmenize olanak sağlar.

Bölüm 1. Üçgenin dikkat çekici noktaları hakkında tarihi bilgiler

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden şu sonuç çıkıyor: üç açıortay iç köşelerüçgenler bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Principia, bir üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez ( Yunan kelimesi"orthos", "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu.

Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı. Yukarıdaki dört noktaya değinildi Özel dikkat 18. yüzyıldan beri üçgenin “dikkat çekici” veya “özel” noktaları olarak adlandırılıyorlar.

Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. 1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı.

Üçgen - geometrik şekil Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan. Puanlar -zirveler üçgen, bölümler -taraflar üçgen.

İÇİNDE A, B, C - köşeler

AB, BC, SA - taraflar

Her üçgenin kendisiyle ilişkili dört noktası vardır:

Medyanların kesişme noktası;

Açıortayların kesişme noktası;

Yüksekliklerin kesişme noktası.

Dik açıortayların kesişme noktası;

1.2. Bir üçgenin medyanları

Bir üçgenin Medine'si - , köşeyi bağlayan karşı tarafın ortasından (Şekil 1). Medyanın üçgenin kenarını kestiği noktaya medyanın tabanı denir.

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Üçgenin kenarlarının orta noktalarını oluşturalım ve her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçaları çizelim. Bu tür bölümlere medyan denir.

Ve yine bu parçaların bir noktada kesiştiğini görüyoruz. Ortaya çıkan medyan bölümlerinin uzunluklarını ölçersek, bir özelliği daha kontrol edebiliriz: Medyanların kesişme noktası, köşe noktalarından itibaren sayılarak tüm medyanları 2:1 oranında böler. Ancak yine de kenarortayların kesiştiği noktada iğnenin ucunda duran üçgen dengededir! Bu özelliğe sahip bir noktaya ağırlık merkezi (barycenter) adı verilir. Eşit kütlenin merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu nedenle, bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.

1.3. Bir üçgenin açıortayları

Açıortay isminde açının tepe noktasından karşı kenarla kesiştiği noktaya kadar çizilen açının açıortayı. Bir üçgenin üç köşesine karşılık gelen üç açıortayı vardır (Şekil 2).

Şekil 2. Üçgen ortay

Herhangi bir ABC üçgeninde açılarının ortaylarını çiziyoruz. Ve yine, kesin bir yapıyla, üç açıortay da bir D noktasında kesişecektir. D noktası da alışılmadık bir durumdur: üçgenin üç kenarına da eşit mesafededir. Bu, DA 1, DB 1 ve DC1 dik açılarının üçgenin kenarlarına indirilmesiyle doğrulanabilir. Hepsi birbirine eşittir: DA1=DB1=DC1.

Merkezi D noktasında ve yarıçapı DA 1 olan bir daire çizerseniz, üçgenin üç kenarına da dokunacaktır (yani her biriyle yalnızca bir ortak noktaya sahip olacaktır). Böyle bir daireye üçgen içine yazılı denir. Yani bir üçgenin açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezinde kesişir.

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Üçgenin yüksekliği - , üstten düştü karşı tarafa veya karşı tarafa denk gelen düz bir çizgiye. Üçgenin türüne bağlı olarak yükseklik üçgenin içinde kalabilir (örneğin üçgen), kendi tarafıyla çakışır (olur) üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin (Şekil 3).

Şekil 3. Üçgenlerde yükseklikler

Bir üçgende üç yükseklik oluşturursanız, bunların hepsi bir H noktasında kesişecektir. Bu noktaya diklik merkezi denir. (Şekil 4).

Yapıları kullanarak üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkezin farklı konumlandırıldığını kontrol edebilirsiniz:

dar bir üçgen için - içeride;

dikdörtgen olan için - hipotenüs üzerinde;

geniş bir açı için dışarıdadır.

Şekil 4. Üçgenin ortomerkezi

Böylece üçgenin dikkat çekici bir noktasıyla daha tanıştık ve şunu söyleyebiliriz: Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.

1.5. Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar

Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.

Rastgele bir ABC üçgeni çizelim ve kenarlarına dik açıortaylar çizelim. İnşaat doğru yapılırsa, tüm dikler bir noktada kesişecektir - O noktası. Bu nokta, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Yani merkezi O noktasında olan ve üçgenin köşelerinden birinden geçen bir daire çizerseniz, bu daire diğer iki köşeden de geçecektir.

Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen daireye çevresi çevrelenmiş daire denir. Bu nedenle, bir üçgenin belirlenmiş özelliği şu şekilde formüle edilebilir: Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, çevrelenen dairenin merkezinde kesişir (Şekil 5).

Şekil 5. Bir daire içine yazılan üçgen

Bölüm 2. Üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesi.

Üçgenlerde yükseklik çalışması

Bir üçgenin her üç yüksekliği de bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

Dar bir üçgenin yükseklikleri kesinlikle üçgenin içinde bulunur.

Buna göre yüksekliklerin kesişme noktası da üçgenin içinde yer alır.

Bir dik üçgende iki yükseklik kenarlarla çakışır. (Bunlar köşelerden çizilen yüksekliklerdir keskin köşeler bacaklara).

Hipotenüse çizilen yükseklik üçgenin içindedir.

AC, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.

AB, B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliktir.

AK - tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı Ve BC hipotenüsüne.

Bir dik üçgenin yükseklikleri dik açının tepe noktasında kesişir (A diklik merkezidir).

Geniş bir üçgende, üçgenin içinde yalnızca bir yükseklik vardır; geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklik.

Diğer iki yükseklik üçgenin dışında yer alır ve üçgenin kenarlarının devamına kadar alçalır.

AK, BC kenarına çizilen yüksekliktir.

BF - AC tarafının devamına kadar çizilen yükseklik.

CD, AB kenarının devamına çizilen yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası da üçgenin dışındadır:

H, ABC üçgeninin diklik merkezidir.

Bir üçgende açıortayların incelenmesi

Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açısının (ışın) açıortayının üçgenin içindeki kısmıdır.

Bir üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.

Açıortayların akut, geniş ve keskin bir şekilde kesişme noktası dik üçgenler, üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir ve içinde bulunur.

Bir üçgende medyanların incelenmesi

Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı olduğundan, köşeyi karşı kenarın ortasıyla birleştiren üç doğru parçası da vardır.

Bu üçgenleri inceledikten sonra herhangi bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini fark ettim. Bu noktaya denir üçgenin ağırlık merkezi.

Bir üçgenin bir kenarına dik açıortayların incelenmesi

Dik açıortay Bir üçgenin bir tarafının ortasına çizilen dikmedir.

Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir ve çevrel çemberin merkezidir.

Dar bir üçgende dik açıortayların kesişme noktası üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - üçgenin dışında; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında.

Çözüm

Yapılan çalışma sırasında aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:

Hedefe ulaşıldı:üçgeni araştırdı ve dikkat çekici noktalarını buldu.

Atanan görevler çözüldü:

1). Gerekli literatürü inceledik;

2). Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceledik;

3). Harika üçgen noktalarının nasıl oluşturulacağını öğrendik;

4). Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetledik.

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını bulma yeteneğinin inşaat problemlerinin çözümüne yardımcı olduğu hipotezi doğrulandı.

Çalışma, bir üçgenin dikkat çekici noktalarının oluşturulmasına yönelik tekniklerin ana hatlarını tutarlı bir şekilde özetlemektedir. tarihi bilgi Geometrik yapılar hakkında.

Bu çalışmadan elde edilen bilgiler 7. sınıf geometri derslerinde faydalı olabilir. Kitapçık, sunulan konuyla ilgili geometri konusunda bir referans kitabı haline gelebilir.

Kaynakça

Ders Kitabı. L.S. Atanasyan “Geometri 7-9. SınıflarMnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Scarlet Yelkenleri

Lider eğitim portalı Rusya http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157