Bir dik üçgenin 4 harika noktası. Üçgenin dikkat çekici noktaları
Liskinsky bölgesi, belediye eğitim kurumu Anoshkinskaya ortaokulu.
Matematik öğretmeni Smorchkova E.B.
Projenin amacı: Geometri ile ilgili çeşitli literatürü kullanmayı öğrenmek, referans malzemeleri“Üçgenin dikkat çekici noktaları” konusunu daha ayrıntılı incelemek için konuyu daha kapsamlı bir şekilde anlayın, konuşmalar sırasında ve derslerde gösterilmek üzere bu konuyla ilgili bir sunum hazırlayın.
Geometri şununla başlar:üçgen. Zaten iki buçukyeni milenyumda üçgen geometrinin sembolü gibidir; ama bu sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.Ve bugün bile okul geometrisi ilgi çekici hale geliyor veanlamlıdır, geometri ancak başlangıçtan itibaren uygun hale gelirbir üçgenin görünümü. Önceki kavramlar - nokta, düzah, açı - belirsiz soyutlamalar gibi görünüyor, amaTeoremlerin ve bunlarla ilişkili problemlerin analizi tek kelimeyle sıkıcıdır.
Zaten gelişiminin ilk adımlarından itibaren insan ve özellikle modern adam, her türlü geometrik nesneyle - figürler ve cisimlerle çarpışır. Bebeklik olmasa da genç yaştaki bir kişinin geometriyle ilgilenmeye başladığı ve hatta bağımsız geometrik keşifler yaptığı durumlar vardır. Böylece, küçük Blaise Pascal, "madeni paralar" - daireler, "eğik şapkalar" - üçgenler, "masalar" - dikdörtgenler, "çubuklar" - segmentler içeren bir "geometri oyunu" buldu. Derin bir matematik bilgisine sahip olan babası, küçük Blaise'in de farklı olmadığı için ilk başta kararlı bir şekilde oğluna öğrettiği derslerden matematiği hariç tuttu. sağlık. Ancak oğlunun tutkusunu keşfettikten sonra ona gizemli geometri hakkında bir şeyler anlattı ve Blaise'i bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu keşfettiği anda yakaladığında duygulanan baba 12 yaşındaki çocuğuna verdi. Ev kütüphanesinde saklanan matematik kitaplarına oğul erişimi.
Üçgen tükenmez; yeni özellikleri sürekli keşfediliyor. Bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek için, Büyük Ansiklopedi'nin hacmiyle karşılaştırılabilecek bir cilde ihtiyacınız var. Bazıları hakkında, daha doğrusu bazıları hakkında harika noktalar,üçgenle ilgili olarak size şunu söylemek istiyoruz.
Önce “” ifadesinin anlamını açıklayalım. harika noktalarüçgen." Hepimiz biliyoruz ki bisektörler iç köşelerüçgenler bir noktada kesişir - bu üçgenin içine yazılan dairenin merkezi. Aynı şekilde bir üçgenin kenarortayları, yükseklikleri ve kenarlarına dik olan açılar bir noktada kesişir.
Listelenen üçlü çizgilerin kesişmesinden kaynaklanan noktalar elbette dikkat çekicidir (sonuçta, kural olarak üç çizgi üç farklı noktada kesişir). Diğer türden dikkate değer noktalar da mümkündür; örneğin, üçgenin tüm noktaları için tanımlanan bazı fonksiyonların bir uç noktaya ulaştığı noktalar. Öte yandan “üçgenin dikkat çekici noktaları” kavramının biçimsel-matematiksel düzeyden ziyade edebi-duygusal düzeyde yorumlanması gerekmektedir. Her şeyin olduğunu “kanıtlayan” iyi bilinen bir safsata vardır. tamsayılar"ilginç". (“İlginç olmayan” sayıların olduğunu varsayarak bunların en küçüğünü alalım. Şüphesiz bu sayı “ilginçtir”: “ilginç olmayan” sayılar arasında en küçüğü olduğu için ilginçtir.) Benzer akıl yürütme, “kanıtlama” Bizim durumumuzda üçgenin tüm noktalarının “dikkat çekici” olduğu yorumu yapılabilir. Bazı örnekleri ele almaya devam edelim.
DAİRE MERKEZİ
Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir nokta olduğunu, başka bir deyişle şunu kanıtlayalım: geçen bir daire varüçgenin üç köşesi boyunca. Noktalardan eşit uzaklıktaki noktaların yeri A Ve İÇİNDE, segmente diktir AB, orta noktasından geçen (segmente dik açıortay) AB).Önemli noktayı düşünün HAKKINDA, segmentlere dik olanların açıortaylarının kesiştiği yer AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA A ve B noktalarından ve noktalardan eşit uzaklıkta İÇİNDE Ve İLE. Bu nedenle noktalara eşit uzaklıkta A Ve İLE, yani aynı zamanda segmente dik açıortay üzerinde de bulunur AC(Şek. 50).
Merkez HAKKINDAçevrel daire yalnızca üçgen dar olduğunda üçgenin içinde yer alır. Üçgen dik açılı ise nokta HAKKINDA hipotenüsün ortasına denk gelir,
ve eğer tepe noktasındaki açı İLEönce künt sonra düz AB O ve C noktalarını ayırır.
Δ ise ABC tepe açısı İLE keskin sonra yan AB O noktasından 2'ye eşit bir açıyla görülebilir
Matematikte, tamamen farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.
A 1, B 1 ve C 1 kenarların orta noktaları olsun VS, SA Ve AB.Δ AB 1 C 1 civarında çevrelenen dairelerin olduğu kanıtlanabilir. , Δ A 1 M.Ö. 1 ve Δ A 1 B 1 C , bir noktada kesişir ve bu nokta çevrel çemberin merkezidir Δ ABC(Şek. 51). Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: açıortayın kenarlara dik kesişme noktası Δ ABC ve çevrelenen dairelerin kesişme noktası Δ AB 1 İLE 1 , Δ AiBCi ve Δ AiBiC . Ancak bir nedenden dolayı bu iki noktanın örtüştüğü ortaya çıktı!
Ancak gelin vaat edilen kanıtı yerine getirelim. Çevrel çemberin O merkezinin Δ olduğunu kanıtlamak yeterlidir. ABCΔ civarında çevrelenen daireler üzerinde yer alır AB 1 İLE 1 , Δ A iBCi ve Δ A 1 B 1 C . Açılar doğum günü 1 A Ve işletim sistemi 1 A düz çizgiler, yani noktalar İÇİNDE 1 Ve İLE 1 çapı olan bir daire üzerinde uzanmak OA, bu, O noktasının Δ civarında çevrelenmiş bir daire üzerinde olduğu anlamına gelir AB 1 C 1 . Δ için AiBCi ve Δ A 1 İÇİNDE 1 İLE kanıt benzerdir.
Kanıtlanmış ifade çok ilginç bir teoremin özel bir durumudur: eğer yanlardaysaAB, BCVeSAüçgenABCalınan keyfi noktalarİLE 1 , A 1 VeİÇİNDE 1 , sonra tarif edildidaire ΔAB 1 İLE 1 , ΔA 1 Güneş 1 ve ΔA 1 İÇİNDE 1 İLE birinde kesişmeknokta.
Sınırlandırılmış dairenin merkezi ile ilgili son bir açıklama yapalım. Doğrudan A 1 İÇİNDE 1 Ve AB paraleldir, bu nedenle işletim sistemi 1 dik A 1 İÇİNDE 1 Aynı şekilde doğum günü 1 dik A 1 C 1 Ve OA 1 dik İÇİNDE 1 İLE 1 , yani. HAKKINDA- üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası A 1 B 1 İLE 1 ... Bekleyin bekleyin! Bir üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini henüz kanıtlamadık. Bunu kanıtlamanın bir yolu yok mu? Bu konuşmaya daha sonra döneceğiz.
İNDİK ÇEMBERİN MERKEZİ
Açıortayların Δ olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Açıortayların kesişimindeki O noktasını düşünün A ve B. Herhangi bir açıortay noktası A düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve AC, ve açıortayın herhangi bir noktası B düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve güneş, dolayısıyla O noktası doğrulara eşit uzaklıkta AC Ve güneş, yani C açısının ortaortasında yer alır. O noktası düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, BC Ve SA, Bu, merkezi olan bir daire olduğu anlamına gelir HAKKINDA, bu çizgilere teğettir ve teğet noktaları uzantılarında değil, kenarlarda bulunur. Aslında köşelerdeki açılar A ve BΔ AOB keskin, dolayısıyla O noktasının düz bir çizgiye izdüşümü AB segmentin içinde yer alıyor AB. Partiler için Güneş Ve SA kanıt benzerdir.
İzin vermek A 1 , İÇİNDE 1 Ve İLE 1 - bir üçgenin yazılı dairesinin kenarlarla temas noktaları VS, SA Ve AB(Şek. 52). Daha sonra AB 1 =AC 1 , M.Ö. 1 = B.A. 1 Ve SA 1 = SV 1 . Ayrıca açı B 1 A 1 C 1 ikizkenar tabandaki açılara eşit Δ AB 1 İLE 1 (teğet ve kiriş arasındaki açıya ilişkin teoreme göre), vb. Açı için B 1 C 1 A 1 ve açı A 1 B 1 C 1 kanıt benzerdir.
Herhangi bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar dardır, dolayısıyla herhangi bir Δ ABC için Δ A 1 B 1 C 1 dardır.
Eğer X = AB 1 , sen = M.Ö. 1 Ve z = CA. 1 , O x+y = c,sen + z = A Ve z + X = B , Nerede A,B Ve İle- kenar uzunlukları Δ ABC.İlk iki eşitliği toplayıp üçüncüyü çıkarırsak, şunu elde ederiz: y= (a+c-c)/2. Aynı şekilde x=(b+c-a)/2 Ve z =(a+b-c)/2. Dörtgen için bu tür bir akıl yürütmenin istenen sonuca yol açmayacağına dikkat edilmelidir, çünkü karşılık gelen denklem sistemi
ya hiç çözümü yoktur ya da sonsuz sayıda çözümü vardır. Aslında eğer x+y=a,sen + z = B , z + T = C Ve T + X = D , O y=a-X,z = B -sen = B - a+x Ve T = C - B + A -X, ve eşitlikten T + X = D bunu takip ediyor A + C = B + D . Bu nedenle eğer a+c, b+'ya eşit değildir D , o zaman sistemin hiçbir çözümü yoktur ve eğer A + C = B + D , O X keyfi olarak seçilebilir ve sen,z , T aracılığıyla ifade edilir X.
Tekrar üçgen denklem sisteminin çözümünün benzersizliğine dönelim. Bunu kullanarak şu ifadeyi kanıtlayabiliriz: A, B ve C merkezli çemberlerin dıştan A 1 noktalarına değmesine izin verin, İÇİNDE 1 Ve İLE 1 (Şek. 53). Daha sonra çevrel çember Δ A 1 B 1 C 1 Δ'da yazılı ABC. Aslında eğer x, y Ve z - dairelerin yarıçapları; A , B Ve İle- kenar uzunlukları Δ ABC, O x+y = c,sen + z = A , sen + X = B .
Merkezin üç özelliğini kanıtlayalım HAKKINDA yazılı daire Δ ABC .
1. Açıortayın devamı ise İLEçevrel çemberle kesişiyor Δ ABC noktada M, O MA=MV=MO(Şek. 54).
Örneğin şunu kanıtlayalım: Δ AMO A ve O köşelerindeki açılar eşittir.Aslında,<OAM = < OAB + < BAM Ve < AOM =< OAC +<А CO , < OAB=<ОАС Ve< SİZ=SİZ<ВСМ = < ÖKO . Buradan, AM=MO. Aynı şekilde VM=MO.
2. Eğer AB- ikizkenar tabanı Δ ABC, daha sonra kenarlara teğet olan daire<ACB noktalarda A ve B, O noktasından geçer (Şek. 55).
O" (daha küçük) yayın orta noktası olsun AB söz konusu daire. Bir teğet ile bir kiriş arasındaki açının özelliği ile<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, yani O" noktası açıortay üzerinde yer alır < A . Benzer şekilde açıortay üzerinde olduğu da gösterilebilir. < B , yani. Ö" = Ö.
3. O noktasından geçen bir doğru kenara paralel ise AB, yanları geçer Güneş Ve SA noktalarda A 1 Ve İÇİNDE 1 , O A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Δ olduğunu kanıtlayalım. AB 1 Ö ikizkenar. Aslında, < B 1 O.A. = < OAB = < B 1 A.O. (Şekil 56). Bu yüzden AB 1 = B 1 0. Aynı şekilde A 1 B = A 1 Ö , bunun anlamı A 1 B 1 = A 1 O+O.B. 1 = A 1 B + AB 1 .
Δ'yı içeri al ABC tepe açıları A, B ve Cα, β, γ'ya eşittir . Kenarın hangi açıda olduğunu hesaplayalım AB O noktasından görülebilir. Açılardan beri Δ JSC B A ve B köşelerinde α/2 ve β/2 eşittir, o zaman
< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Bu
Formül birçok problemin çözümünde faydalı olabilir.
kenarların orta noktaları Δ ABC; izin vermek H
1
ve H - bunların ortomerkezleri (Şekil 65). H 1 noktası merkeze denk geliyor HAKKINDAçevrel daire Δ ABC.Δ olduğunu kanıtlayalım. 
|
|
|
|
| dar açılı | geniş | dikdörtgen |
Sonuçlar
sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.
Benzer şekilde kanıtlanmıştır A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.
Böylece:
Bu özelliğe sinüs teoremi denir.
Matematikte, tamamen farklı tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar.
Örnek. A1, B1, C1 sırasıyla ∆ABC BC, AC, AB kenarlarının orta noktaları olsun. AB1C1, A1B1C, A1BC1 üçgenlerinin etrafında tanımlanan dairelerin bir noktada kesiştiğini gösterin. Ayrıca bu nokta ∆ABC etrafında çevrelenen bir dairenin merkezidir.
|
| AO parçasını ele alalım ve bu parçanın üzerine çapta olduğu gibi bir daire çizelim. C1 ve B1 noktaları bu çemberin üzerine düşüyor çünkü AO'ya göre dik açıların köşeleridir. A, C1, B1 noktaları bir daire üzerinde yer alır = bu daire ∆AB1C1 civarında çevrelenmiştir. Benzer şekilde BO parçasını çizelim ve bu parçanın üzerine çapta olduğu gibi bir daire çizelim. Bu, ∆ВС1 А1 civarında çevrelenen bir daire olacaktır. Bir CO doğru parçası çizelim ve bu parçanın üzerine çapta olduğu gibi bir daire çizelim. Bu yaklaşık olarak çevrelenen bir daire olacak Bu üç daire, ∆ABC civarında çevrelenen dairenin merkezi olan O noktasından geçer. |
Genelleme.∆ABC AC, BC, AC kenarlarında rastgele A 1, B 1, C 1 noktaları alırsak, AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 üçgenleri etrafında çevrelenen daireler bir noktada kesişir .
1.2 Üçgen açıortayların kesişme noktası
Bunun tersi de doğrudur: Bir nokta, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açıortay üzerinde bulunur.
Bir köşenin yarısını aynı harflerle işaretlemek faydalıdır:
OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.
O noktası, A ve B açılarının ortaortaylarının kesişme noktası olsun. A açısının ortaortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre, OF=OD=r olsun. B açısının açıortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre OE=OD=r olur. Dolayısıyla, OE=OD= OF=r= O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani. O, yazılı dairenin merkezidir. (O noktası tek noktadır).
Çözüm: dolayısıyla, eğer O noktası bir üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası ise, o zaman OE=OD= OF=r, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarına eşit uzaklıkta olup, bu da onun yazılı çemberin merkezi olduğu anlamına gelir. Bir üçgenin iç açılarının açıortaylarının kesişme noktası O noktası üçgenin dikkat çekici bir noktasıdır.
Sonuçlar:
AOF ve AOD üçgenlerinin hipotenüs ve dar açı boyunca eşitliğinden (Şekil 1) şu sonuç çıkar: A.F. = reklam . OBD ve OBE üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: BD = OLMAK , COE ve COF üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: İLE F = C.E. . Böylece çembere bir noktadan çizilen teğet parçalar eşittir.
AF=AD= z, BD=BE= sen, CF=CE= X
a=x+y (1), B=x+z (2), c=x+y (3).
+ (2) – (3), o zaman şunu elde ederiz: a+B-с=X+ sen+ X+ z- z- sen = a+B-с= 2X =
x=( B + C -a)/2
Benzer şekilde: (1) + (3) – (2), o zaman şunu elde ederiz: y = (a + c –B)/2.
Benzer şekilde: (2) + (3) – (1), o zaman şunu elde ederiz: z= (bir +B - C)/2.
Bir üçgenin açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.
1.3 Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası (merkez)
Kanıt 1. ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA ve AB kenarlarının orta noktaları A1, B1 ve C1 olsun (Şekil 4).
G, iki medyan AA 1 ve BB 1'in kesişme noktası olsun. Önce AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 olduğunu kanıtlayalım.
Bunu yapmak için AG ve BG segmentlerinin P ve Q orta noktalarını alın. Bir üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre, B 1 A 1 ve PQ parçaları AB tarafının yarısına eşit ve ona paraleldir. Bu nedenle, A 1 B 1 dörtgeni bir PQ paralelkenardır. Daha sonra PA 1 ve QB 1 köşegenlerinin kesişme noktası G noktası her birini ikiye böler. Bu nedenle, P ve G noktaları AA 1 ortancasını üç eşit parçaya böler ve Q ve G noktaları da BB 1 ortancasını üç eşit parçaya böler. Yani bir üçgenin iki kenarortayının kesişimindeki G noktası, köşeden itibaren her birini 2:1 oranında böler.
Üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasına denir merkez veya ağırlık merkezi üçgen. Bu isim, homojen üçgen plakanın ağırlık merkezinin bu noktada bulunmasından kaynaklanmaktadır.
1.4 Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası (ortomerkez)
1,5 Torricelli noktası
Yol ABC üçgeni ile verilmiştir. Bu üçgenin Torricelli noktası, bu üçgenin kenarlarının 120° açıyla görülebildiği O noktasıdır; AOB, AOC ve BOC açıları 120°'ye eşittir.
Bir üçgenin tüm açılarının 120°'den küçük olması durumunda Torricelli noktasının var olduğunu kanıtlayalım.
ABC üçgeninin AB tarafında bir ABC" eşkenar üçgeni oluşturuyoruz (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlıyoruz. AB doğru parçası bu dairenin 120°'lik bir yayına karşılık geliyor. Sonuç olarak bu yayın A dışındaki noktaları ve B, AB doğru parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin AC tarafında bir ACB eşkenar üçgeni (Şekil 6, a) oluşturacağız ve bunun etrafında bir daire tanımlayacağız. BT. Karşılık gelen yayın noktaları, A ve C'den farklı olarak, AC parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Üçgenin açılarının 120°'den küçük olması durumunda, bu yaylar bir iç O noktasında kesişir. Bu durumda, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Bu nedenle ∟BOC = 120°. Bu nedenle O noktası istenilen noktadır.
Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin, 120°'ye eşit olması durumunda, dairesel yayların kesişme noktası B noktası olacaktır (Şekil 6, b). Bu durumda Torricelli'nin noktası mevcut değildir, çünkü bu noktadan AB ve BC kenarlarının görülebildiği açılardan bahsetmek imkansızdır.
Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin, 120°'den büyük olması durumunda (Şekil 6, c), karşılık gelen daire yayları kesişmez ve Torricelli'nin noktası da mevcut değildir.
Torricelli noktası, Fermat'ın (bunu II. Bölüm'de ele alacağız), verilen üç noktaya olan uzaklıkları toplamı en küçük olan noktayı bulma problemi ile ilişkilidir.
1.6 Dokuz noktalı daire
Aslında A 3 B 2, AHC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2, ABC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla B 2 A 2 || AB. CC 1 ┴ AB olduğundan A 3 B 2 A 2 = 90°. Benzer şekilde A 3 C 2 A 2 = 90°. Bu nedenle A 2, B 2, C 2, A 3 noktaları A 2 A 3 çapında aynı daire üzerinde yer alır. AA 1 ┴BC olduğuna göre A 1 noktası da bu çembere aittir. Böylece A 1 ve A 3 noktaları A2B2C2 üçgeninin çevrel çemberi üzerinde yer alır. Benzer şekilde B 1 ve B 3, C 1 ve C 3 noktalarının da bu çember üzerinde olduğu gösterilmiştir. Bu, dokuz noktanın tamamının aynı çember üzerinde olduğu anlamına gelir.
Bu durumda dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi, yüksekliklerin kesişme merkezi ile çevrelenen dairenin merkezi arasında ortada yer alır. Aslında, ABC üçgeninde (Şekil 9), O noktası çevrelenen dairenin merkezi olsun; G – medyanların kesişme noktası. H yüksekliklerin kesiştiği noktadır. O, G, H noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu ve dokuz N noktasından oluşan dairenin merkezinin OH parçasını ikiye böldüğünü kanıtlamanız gerekir.
Merkezi G noktasında ve katsayısı -0,5 olan bir homojenlik düşünün. ABC üçgeninin A, B, C köşeleri sırasıyla A 2, B 2, C 2 noktalarına gidecektir. ABC üçgeninin yükseklikleri A 2 B 2 C 2 üçgeninin yüksekliklerine girecek ve dolayısıyla H noktası O noktasına gidecektir. Dolayısıyla O, G, H noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır.
OH doğru parçasının N orta noktasının dokuz noktalı çemberin merkezi olduğunu gösterelim. Aslında C 1 C 2 dokuz noktadan oluşan bir çemberin akorudur. Dolayısıyla bu kirişin dik açıortay'ı bir çaptır ve OH'yi N'nin ortasında keser. Benzer şekilde, B 1 B 2 kirişinin dik açıortay'ı da bir çaptır ve OH ile aynı N noktasında kesişir. Yani N, kirişin merkezidir. dokuz noktalı daire. Q.E.D.
Aslında P, ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olsun; D, E, F - P noktasından üçgenin kenarlarına düşen dik çizgilerin tabanları (Şekil 10). D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim.
AP dairenin merkezinden geçiyorsa, D ve E noktalarının B ve C köşeleriyle çakıştığını unutmayın. Aksi takdirde, ABP veya ACP açılarından biri dar, diğeri geniş olur. Buradan D ve E noktalarının BC doğrusunun karşıt taraflarında yer alacağı ve D, E ve F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlamak için ∟CEF =∟BED olduğunu kontrol etmek yeterlidir.
Çapı CP olan bir çember tanımlayalım. ∟CFP = ∟CEP = 90° olduğuna göre E ve F noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle, ∟CEF =∟CPF, bir dairenin bir yayının oluşturduğu yazılı açılardır. Sonra, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. BP çapında bir çember tanımlayalım. ∟BEP = ∟BDP = 90° olduğuna göre F ve D noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle ∟BPD =∟BED. Bu nedenle, sonunda ∟CEF =∟BED sonucunu elde ederiz. Bu, D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.
BölümIIProblem çözme
Bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin konumuyla ilgili problemlerle başlayalım. Bunları çözmek bir yandan daha önce işlenen konuları hatırlamanıza olanak tanır, diğer yandan gerekli geometrik kavramları geliştirerek sizi daha karmaşık problemleri çözmeye hazırlar.
Görev 1. ABC üçgeninin A ve B açılarında (∟A
Çözüm. CD yükseklik ve CE açıortay olsun, o zaman
∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.
Bu nedenle ∟DCE =.
Çözüm. ABC üçgeninin ortaortaylarının kesişme noktası O olsun (Şekil 1). Büyük açının üçgenin büyük kenarının karşısında yer alması gerçeğinden yararlanalım. AB BC ise ∟A
Çözüm. ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası O olsun (Şekil 2). Eğer AC ∟B ise. BC çapında bir daire F ve G noktalarından geçecektir. İki kirişten küçük olanın, daha küçük yazılı açının dayandığı daire olduğunu göz önünde bulundurarak, CG'yi elde ederiz.
Kanıt. ABC üçgeninin AC ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi daireler oluşturuyoruz. A 1, B 1, C 1 noktaları bu çemberlere aittir. Bu nedenle, bir dairenin aynı yayına dayalı açılar olarak ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 kenarları birbirine dik olan açılardır. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1, bir dairenin aynı yayının gördüğü açılardır. Bu nedenle, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, yani. CC1, B 1 C 1 A 1 açısının açıortayıdır. Benzer şekilde AA 1 ve BB 1'in B 1 A 1 C 1 ve A 1 B 1 C 1 açılarının ortaortayları olduğu gösterilmiştir.
Köşeleri belirli bir dar üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan dikkate alınan üçgen, klasik ekstrem problemlerden birine bir cevap sağlar.
Çözüm. Verilen dar üçgen ABC olsun. Yanlarında A 1 , B 1 , C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olacağı A 1 B 1 C 1 noktalarını bulmanız gerekir (Şekil 4).
Önce C 1 noktasını sabitleyelim ve A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu (C 1 noktasının belirli bir konumu için) A 1 ve B 1 noktalarını arayalım.
Bunu yapmak için, D ve E noktalarının AC ve BC düz çizgilerine göre C1 noktasına simetrik olduğunu düşünün. O zaman B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E ve dolayısıyla A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi, DB 1 A 1 E kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. B 1, A 1 noktaları DE doğrusu üzerinde yer aldığında bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük olacağı açıktır.
Şimdi C1 noktasının konumunu değiştireceğiz ve karşılık gelen A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu konumu arayacağız.
D noktası AC'ye göre C1'e simetrik olduğundan, CD = CC 1 ve ACD = ACC 1 olur. Benzer şekilde CE=CC 1 ve BCE=BCC 1. Bu nedenle CDE üçgeni ikizkenardır. Yan tarafı CC 1'e eşittir. DE tabanı çevreye eşittir P A 1 B 1 C 1 üçgeni. DCE açısı, ABC üçgeninin ACB çift açısına eşittir ve bu nedenle C1 noktasının konumuna bağlı değildir.
Tepe noktasında belirli bir açıya sahip bir ikizkenar üçgende kenar ne kadar küçükse taban da o kadar küçüktür. Bu nedenle en küçük çevre değeri P en düşük CC 1 değeri durumunda elde edilir. Bu değer eğer CC 1 ABC üçgeninin yüksekliği ise alınır. Böylece, AB tarafındaki gerekli C1 noktası, C köşesinden çizilen yüksekliğin tabanıdır.
İlk önce C1 noktasını değil, A1 noktasını veya B1 noktasını sabitleyebileceğimizi ve A1 ve B1'in ABC üçgeninin karşılık gelen yüksekliklerinin tabanları olduğunu elde edebileceğimizi unutmayın.
Bundan, belirli bir ABC dar üçgeninde yazılı olan en küçük çevrenin gerekli üçgeninin, köşeleri ABC üçgeninin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgen olduğu sonucu çıkar.
Çözüm.Üçgenin açıları 120°'den küçükse Steiner probleminde gerekli noktanın Torricelli noktası olduğunu kanıtlayalım.
ABC üçgenini C köşesi etrafında 60° açıyla döndürelim, Şekil 1. 7. A’B’C üçgenini elde ediyoruz. ABC üçgeninde rastgele bir O noktası alalım. Dönerken bir O' noktasına gidecektir. OO'C üçgeni eşkenardır çünkü CO = CO' ve ∟OCO' = 60°, dolayısıyla OC = OO'. Dolayısıyla OA + OB + OC uzunluklarının toplamı, AO + OO' + O'B' kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. A, O, O', B' noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük değeri alacağı açıktır. Eğer O bir Torricelli noktası ise bu böyledir. Aslında, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Dolayısıyla A, O, O' noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Benzer şekilde, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Bu nedenle O, O', B' noktaları aynı doğru üzerindedir; bu, tüm A, O, O', B' noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.
Çözüm
Bir üçgenin geometrisi, temel matematiğin diğer bölümleriyle birlikte, genel olarak matematiğin güzelliğini hissetmeyi mümkün kılar ve birisi için "büyük bilime" giden yolun başlangıcı olabilir.
Geometri muhteşem bir bilimdir. Tarihi bin yıldan daha eskiye dayanır, ancak onunla her buluşma (hem öğrenciye hem de öğretmene) küçük bir keşfin heyecan verici yeniliğini, yaratıcılığın inanılmaz neşesini hediye edebilir ve zenginleştirebilir. Aslına bakılırsa, temel geometrideki herhangi bir problem özünde bir teoremdir ve çözümü mütevazı (ve bazen çok büyük) bir matematiksel zaferdir.
Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.
Bu çalışmada bir üçgenin açıortayları, kenarortayları, dik açıortayları ve yükseklikleri ele alınmış, üçgenin dikkate değer nokta ve doğru sayıları genişletilmiş, teoremler formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Bu teoremlerin uygulanmasına ilişkin bir takım problemler çözülmüştür.
Sunulan materyal hem temel derslerde hem de seçmeli derslerde ve ayrıca merkezi sınavlara ve matematik olimpiyatlarına hazırlıkta kullanılabilir.
Kaynakça
Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.
Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Matematik 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.
Scanavi MI Matematik. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.
Sverdlovsk Bölgesi Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı.
Yekaterinburg Belediye Eğitim Kurumu.
Eğitim kurumu – MOUSOSH No. 212 “Ekaterinburg Kültür Lisesi”
Eğitim alanı – matematik.
Konu - geometri.
Üçgenin dikkat çekici noktaları
Açıklaması: 8. sınıf öğrencisi
Selitsky Dmitry Konstantinovich.
Bilim danışmanı:
Rabkanov Sergey Petrovich.
Ekaterinburg, 2001
giriiş 3
Açıklayıcı kısım:
Ortomerkez 4
Merkez 5
Ağırlık merkezi 7
Çevre merkezi 8
Euler hattı 9
Pratik kısım:
Ortosentrik üçgen 10
Sonuç 11
Referanslar 11
Giriiş.
Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Sürekli yeni özellikleri keşfediliyor. Bir üçgenin bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek çok zaman alacaktır. “Üçgenin dikkat çekici noktaları” olarak adlandırılan şeyler ilgimi çekti. Bu tür noktalara örnek olarak açıortayların kesişme noktası verilebilir. Dikkat çekici olan şu ki, uzayda rastgele üç nokta alıp onlardan bir üçgen oluşturursanız ve açıortaylar çizerseniz, bu açıortaylar bir noktada kesişecektir! Rastgele puanlar aldığımız için bu mümkün değil gibi görünüyor, ancak bu kural her zaman geçerlidir. Diğer “dikkate değer noktalar” da benzer özelliklere sahiptir.
Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra kendime beş harika noktanın ve bir üçgenin tanımlarını ve özelliklerini belirledim. Ama işim burada bitmedi, bu noktaları kendim araştırmak istedim.
Bu yüzden hedef Bu çalışma, bir üçgenin dikkat çekici bazı özelliklerinin incelenmesi ve ortosentrik bir üçgenin incelenmesidir. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:
Bir öğretmenin yardımıyla edebiyat seçimi
Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve çizgilerinin temel özelliklerinin incelenmesi
Bu özelliklerin genelleştirilmesi
Ortosentrik üçgen içeren bir problemin çizilmesi ve çözülmesi
Bu araştırmada elde edilen sonuçları sundum. Tüm çizimleri bilgisayar grafiklerini (vektör grafik editörü CorelDRAW) kullanarak yaptım.
Diklik merkezi. (Yüksekliklerin kesişme noktası)
Yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Hadi sizi zirvelerden geçirelim A, İÇİNDE Ve İLEüçgen ABC zıt kenarlara paralel düz çizgiler. Bu çizgiler bir üçgen oluşturur A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . üçgenin yüksekliği ABCüçgenin kenarlarına dik açıortaylardır A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . bu nedenle bir noktada kesişirler - üçgenin çevrel çemberinin merkezinde A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına diklik merkezi denir ( H).
Merkez, yazılı dairenin merkezidir.
(Ortaortayların kesişme noktası)
Bir üçgenin açılarının ortaortaylarının olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Önemli noktayı düşünün HAKKINDA açıortay kesişimleri A Ve İÇİNDE. A açısının açıortayının herhangi bir noktası doğrulardan eşit uzaklıktadır AB Ve AC ve açıortayın herhangi bir noktası İÇİNDE düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve Güneş yani nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AC Ve Güneş yani açının ortaortasında yer alır İLE. nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, Güneş Ve SA yani merkezi olan bir daire var HAKKINDA, bu çizgilere teğettir ve teğet noktaları uzantılarında değil, yanlarda bulunur. Aslında köşelerdeki açılar A Ve İÇİNDEüçgen AOB keskin dolayısıyla projeksiyon noktası HAKKINDA direkt olarak AB segmentin içinde yer alıyor AB.
Partiler için Güneş Ve SA kanıt benzerdir.
Icenter'ın üç özelliği vardır:
Açıortayın devamı ise İLE bir üçgenin çevrel çemberi ile kesişir ABC noktada M, O yüksek lisans=OG=MO.
Eğer AB- ikizkenar üçgenin tabanı ABC, ardından açının kenarlarına teğet olan daire DIA noktalarda A Ve İÇİNDE, noktadan geçer HAKKINDA.
Bir noktadan geçen bir çizgi ise HAKKINDA kenara paralel AB, yanları geçiyor Güneş Ve SA noktalarda A 1 Ve İÇİNDE 1 , O A 1 İÇİNDE 1 =A 1 İÇİNDE+AB 1 .
Ağırlık merkezi. (Orta refüjlerin kesişme noktası)
Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Bunun için şu noktayı göz önünde bulundurun M medyanların kesiştiği yer AA 1 Ve BB 1 . hadi bir üçgen çizelim BB 1 İLE orta çizgi A 1 A 2 , paralel BB 1 . Daha sonra A 1 M:AM=İÇİNDE 1 A 2 :AB 1 =İÇİNDE 1 A 2 :İÇİNDE 1 İLE=VA 1 :GÜNEŞ=1:2, yani medyan kesişme noktası BB 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Benzer şekilde medyanların kesişme noktası SS 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Bu nedenle medyanların kesişme noktası AA 1 Ve BB 1 medyanların kesişme noktasıyla çakışıyor AA 1 Ve SS 1 .
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgenler eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Aslında bunu kanıtlamak yeterlidir R– medyanın herhangi bir noktası AA 1 bir üçgende ABC, sonra üçgenlerin alanları AVR Ve ASR eşittir. Sonuçta ortancalar AA 1 Ve RA 1 üçgenlerde ABC Ve RVS bunları eşit alanlı üçgenlere bölün.
Tersi ifade de doğrudur: eğer bir noktada R, üçgenin içinde yatıyor ABC, üçgenlerin alanı AVR, ÇARŞAMBA GÜNÜ Ve SAR o zaman eşittir R– medyanların kesişme noktası.
Kesişme noktasının bir özelliği daha vardır: Herhangi bir malzemeden bir üçgen keserseniz, üzerine medyanlar çizerseniz, medyanların kesişme noktasına bir çubuk bağlarsanız ve süspansiyonu bir tripod üzerine sabitlerseniz, model (üçgen) şu şekilde olacaktır: bir denge durumu, dolayısıyla kesişme noktası üçgenin ağırlık merkezinden başka bir şey değildir.
Sınırlandırılmış dairenin merkezi.
Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktanın olduğunu, yani üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin olduğunu ispatlayalım. Noktalardan eşit uzaklıktaki noktaların yeri A Ve İÇİNDE, segmente diktir AB, ortasından geçerek (segmente dik açıortay) AB). Önemli noktayı düşünün HAKKINDA segmentlere dik olanların açıortaylarının kesiştiği yer AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İÇİNDE ve ayrıca noktalardan İÇİNDE Ve İLE. bu nedenle noktalardan eşit uzaklıktadır A Ve İLE yani aynı zamanda segmente dik açıortay üzerinde de bulunur AC.
Merkez HAKKINDAçevrel daire yalnızca üçgen dar olduğunda üçgenin içinde yer alır. Üçgen dik açılı ise nokta HAKKINDA hipotenüsün ortasıyla çakışıyorsa ve tepe noktasındaki açı ise İLEönce künt sonra düz AB noktaları ayırır HAKKINDA Ve İLE.
Matematikte, tamamen farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.
İzin vermek A 1 , İÇİNDE 1 ,İLE 1 – kenarların orta noktaları Güneş,SA ve AB. Üçgenlerin sınırlı dairelerinin olduğu kanıtlanabilir AB 1 İLE, A 1 Güneş 1 Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrel merkezidir ABC. Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: dik açıortayların üçgenin kenarlarına kesişme noktası ABC ve üçgenlerin çevrel çemberlerinin kesişme noktası AB 1 İLE 1 , A 1 Güneş Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . ancak bu iki noktanın çakıştığı ortaya çıktı.
Euler'in düz çizgisi.
Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirine belirli ilişkilerle bağlı olmasıdır. Örneğin ağırlık merkezi M, diklik merkezi N ve çevrel çemberin merkezi HAKKINDA Aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası OH parçasını böler, böylece ilişki geçerli olur OM:MN=1:2. Bu teorem 1765 yılında İsviçreli bilim adamı Leonardo Euler tarafından kanıtlandı.
Ortosentrik üçgen.
Ortosentrik üçgen(dik üçgen) bir üçgendir ( MNİLE), köşeleri bu üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan ( ABC). Bu üçgenin birçok ilginç özelliği var. Bir tanesini verelim.
Mülk.
Kanıtlamak:
üçgenler AKM, CMN Ve BKNüçgene benzer ABC;
Dik üçgenin açıları MNKşunlardır: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Kanıt:
Sahibiz ABçünkü A, AKçünkü A. Buradan, sabah/AB = AK/AC..
Çünkü üçgenlerde ABC Ve AKM köşe A– ortak iseler benzerdirler ve bundan şu sonuca varırız: L AKM = L C. Bu yüzden L BKM = L C. Sonraki elimizde L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C yani SK– açıortay MNK. Bu yüzden, L MNK= π – 2 L C. Geriye kalan eşitlikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır.
Çözüm.
Bu araştırma çalışmasının sonunda aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:
Üçgenin dikkate değer noktaları ve çizgileri şunlardır:
diklik merkezi bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıdır;
vemerkezüçgen, açıortayların kesişme noktasıdır;
ağırlık merkezi bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasıdır;
çevre merkezi– ortaorta dikmelerinin kesişme noktasıdır;
Euler'in düz çizgisi- bu, ağırlık merkezinin, diklik merkezinin ve çevrelenen dairenin merkezinin bulunduğu düz çizgidir.
Ortosentrik bir üçgen, belirli bir üçgeni üç benzer üçgene böler.
Bu çalışmayı yaptıktan sonra üçgenin özellikleri hakkında çok şey öğrendim. Bu çalışma benim için matematik alanındaki bilgilerimi geliştirmem açısından önemliydi. Gelecekte bu ilginç konuyu geliştirmeyi planlıyorum.
Kaynakça.
Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.
Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi MI Matematik. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.
Hedefler:
- Öğrencilerin “Bir üçgenin dört dikkat çekici noktası” konusundaki bilgilerini özetlemek, bir üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını oluşturma becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmalara devam etmek;
Öğrencileri bir üçgenin içine yazılan ve onun etrafında çevrelenen daireye ilişkin yeni kavramlarla tanıştırın;
Araştırma becerilerini geliştirin;
- Öğrencilerde kalıcılığı, doğruluğu ve düzeni geliştirin.
Görev: Geometri konusuna yönelik bilişsel ilgiyi genişletin.
Teçhizat: tahta, çizim araçları, renkli kalemler, yatay kağıt üzerindeki üçgen modeli; bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.
Dersler sırasında
1.
Organizasyon anı (1 dakika)
Öğretmen: Bu dersimizde her biriniz kendinizi bir araştırma mühendisi gibi hissedecek, pratik çalışmaları tamamladıktan sonra kendinizi değerlendirebileceksiniz. Çalışmanın başarılı olması için ders esnasında modelle yapılan tüm eylemlerin çok doğru ve düzenli bir şekilde yapılması gerekmektedir. Sana başarılar diliyorum.
2.
Öğretmen: defterinize açık bir açı çizin
S. Bir açının açıortayını oluşturmak için hangi yöntemleri biliyorsunuz?
Bir açının ortaortasının belirlenmesi. İki öğrenci tahtada açıortayları (önceden hazırlanmış modelleri kullanarak) iki şekilde oluşturur: cetvel veya pergel kullanarak. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir açının açıortay noktaları hangi özelliklere sahiptir?
2. Açının içinde kalan ve açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir?
Öğretmen: bir ABC dörtgen üçgeni çizin ve herhangi bir şekilde A açısı ile C açısının ortaortaylarını ve bunların noktalarını oluşturun.
kesişim - O noktası. VO ışını hakkında hangi hipotezi öne sürebilirsiniz? BO ışınının ABC üçgeninin açıortay olduğunu kanıtlayın. Bir üçgenin tüm açıortaylarının konumu hakkında bir sonuç formüle edin.
3.
Üçgen modeliyle çalışma (5-7 dakika).
Seçenek 1 - dar üçgen;
Seçenek 2 - sağ üçgen;
Seçenek 3 - geniş üçgen.
Öğretmen: Üçgen modeline iki açıortay çizin ve onları sarı daire içine alın. Kesişme noktasını işaretleyin
açıortay noktası K. 1 numaralı slayta bakın.
4.
Dersin ana aşamasına hazırlık (10-13 dakika).
Öğretmen: AB doğru parçasını defterinize çizin. Bir doğru parçasına dik bir açıortay oluşturmak için hangi araçlar kullanılabilir? Dik açıortayın belirlenmesi. İki öğrenci tahtada dik bir açıortay oluşturuyor
(önceden hazırlanmış modellere göre) iki şekilde: cetvelle, pusulayla. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir doğru parçasına dik açıortay noktalarının özellikleri nelerdir?
2. AB doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir Öğretmen: Defterinize bir ABC dik üçgeni çizin ve ABC üçgeninin herhangi iki kenarına dik açıortayları çizin.
O kesişim noktasını işaretleyin. Üçüncü tarafa O noktasından geçen bir dik çizin. Ne fark ettiniz? Bunun doğru parçasının dik açıortayı olduğunu kanıtlayın.
5.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).Öğretmen: Üçgen modeli üzerinde, üçgenin iki kenarına dik açılar çizin ve bunları yeşil renkle daire içine alın. Ortaya dik diklerin kesişme noktasını bir O noktasıyla işaretleyin. 2 numaralı slayta bakın.
6.
Dersin ana aşamasına hazırlık (5-7 dakika).Öğretmen: geniş bir ABC üçgeni çizin ve iki yükseklik oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin.
1. Üçüncü yükseklik hakkında ne söylenebilir (üçüncü yükseklik tabanın ötesine uzatılırsa O noktasından geçecektir)?
2. Tüm yüksekliklerin bir noktada kesiştiği nasıl kanıtlanır?
3. Bu yükseklikler hangi yeni şekli oluşturuyor ve içinde neler var?
7.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modeline göre üç yükseklik oluşturun ve bunları mavi renkle daire içine alın. Yüksekliklerin H noktasıyla kesiştiği noktayı işaretleyin. 3 numaralı slayta bakın.
Ders iki
8.
Dersin ana aşamasına hazırlık (10-12 dakika).
Öğretmen: Bir ABC dar üçgeni çizin ve tüm kenarortaylarını oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin. Bir üçgenin kenarortayları hangi özelliğe sahiptir?
9.
Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modelinde üç kenarortay oluşturun ve bunları kahverengi daire içine alın.
Medyanların kesişme noktasını bir T noktasıyla işaretleyin. 4 numaralı slayta bakın.
10.
İnşaatın doğruluğunun kontrol edilmesi (10-15 dakika).
1. K noktası hakkında ne söylenebilir? / K noktası ortaortayların kesişme noktasıdır, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır /
2. K noktasından üçgenin yarım kenarına kadar olan mesafeyi model üzerinde gösterin. Hangi şekli çizdin? Bu nasıl konumlanıyor?
yandan mı kesildi? Basit bir kalemle cesurca vurgulayın. (5 numaralı slayta bakın).
3. Düzlemin aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktasına eşit uzaklıktaki nokta nedir? Sarı bir kalem kullanarak merkezi K olan ve yarıçapı basit bir kalemle işaretlenen mesafeye eşit olan bir daire çizin. (6 numaralı slayta bakın).
4. Ne fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Bir üçgenin içine bir daire yazdınız. Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz?
Öğretmen üçgenin içindeki yazılı dairenin tanımını verir.
5. O noktası hakkında ne söylenebilir? \Noktası O dik açıortayların kesişme noktasıdır ve üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır\. A, B, C ve O noktalarını birleştirerek hangi şekil oluşturulabilir?
6. Yeşili kullanarak bir daire (O; OA) oluşturun. (7 numaralı slayta bakın).
7. Neyi fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz? Bu durumda üçgeni nasıl çağırabiliriz?
Öğretmen bir üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin tanımını verir.
8. O, H ve T noktalarına bir cetvel takın ve bu noktalardan kırmızı bir çizgi çizin. Bu çizgiye düz denir
Euler (8 numaralı slayta bakınız).
9. OT ve TN'yi karşılaştırın. FROM:TN=1'i kontrol edin: 2. (9 numaralı slayta bakın).
10. a) Üçgenin kenarortaylarını bulun (kahverengi). Medyanların tabanlarını mürekkeple işaretleyin.
Bu üç nokta nerede?
b) Üçgenin (mavi) yüksekliklerini bulun. Yüksekliklerin tabanlarını mürekkeple işaretleyin. Bu noktalardan kaç tane var? \ Seçenek 1-3; 2 seçenek-2; Seçenek 3-3\.c) Köşelerden yüksekliklerin kesişme noktasına kadar olan mesafeyi ölçün. Bu mesafeleri adlandırın (AN,
VN, SN). Bu bölümlerin orta noktalarını bulun ve bunları mürekkeple vurgulayın. Bunlardan kaç tanesi
puan? \1 seçenek-3; 2 seçenek-2; Seçenek 3-3\.
11. Mürekkeple kaç noktanın işaretlendiğini sayın? \ 1 seçenek - 9; Seçenek 2-5; Seçenek 3-9\. Atamak
noktalar D 1, D 2,…, D 9. (10 numaralı slayta bakın) Bu noktaları kullanarak bir Euler çemberi oluşturabilirsiniz. Çemberin merkezi E noktası OH doğru parçasının ortasındadır. Kırmızı bir daire (E; ED 1) çiziyoruz. Bu daire, düz bir çizgi gibi, adını büyük bilim insanından almıştır. (11 numaralı slayta bakın).
11.
Euler hakkında sunum (5 dakika).
12. Özet(3 dakika) Puan: “5” - tam olarak sarı, yeşil ve kırmızı daireleri ve Euler düz çizgisini elde ederseniz. “4” - eğer daireler 2-3 mm hatalıysa. “3” - eğer daireler 5-7 mm hatalıysa.
Silchenkov Ilya
ders materyalleri, animasyonlu sunum
İndirmek:
Ön izleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren ve bu kenarın yarısına eşit olan bir segmenttir. Ayrıca teoreme göre bir üçgenin orta çizgisi, kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.
Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir
Üçgenin dikkat çekici noktaları
Bir üçgenin dikkate değer noktaları Kenarortayların kesişme noktası (üçgenin ağırlık merkezi); Açıortayların kesişme noktası, yazılı dairenin merkezi; Dik açıortayların kesişme noktası; Yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez); Euler'in düz çizgisi ve dokuz noktalı çemberi; Gergonne ve Nagel noktaları; Point Fermat-Torricelli;
Medyan kesişme noktası
Bir üçgenin ortancası, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasını karşı tarafın ortasıyla birleştiren bir segmenttir.
I. Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her kenarortay, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür.
Kanıt:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ABC üçgeninin iki ortancası AA 1 ve B B1'in kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu üçgenin orta çizgisi A 1 B 1'i çizelim. 2. A 1 B 1 segmenti AB kenarına paraleldir ve 1/2 AB = A 1 B 1 yani AB = 2A1B1 (üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre), dolayısıyla 1 = 4 ve 3 = 2 (çünkü bunlar AB ve A 1 B 1 paralel çizgileri ve 1, 4 için BB 1 ve 3, 2 3 için AA 1 ile iç çapraz açılardır. Sonuç olarak, AOB ve A 1 OB 1 üçgenleri iki açıda benzerdir ve bu nedenle bunların taraflar orantılıdır, yani AO ve A 1 O, BO ve B 1 O, AB ve A 1 B 1 kenarlarının oranları eşittir, ancak AB = 2A 1 B 1, dolayısıyla AO = 2A 1 O ve BO = 2B 1 O. Böylece, BB 1 ve AA 1 medyanlarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler.Teorem kanıtlanmıştır.Benzer şekilde, diğer iki medyan hakkında da ispat yapabilirsiniz.
Kütle merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu yüzden medyanların kesişme noktasının üçgenin ağırlık merkezi olduğunu söylüyorlar. Homojen üçgen plakanın kütle merkezi aynı noktada bulunmaktadır. Böyle bir plaka, pimin ucu üçgenin ağırlık merkezine tam olarak çarpacak şekilde bir pim üzerine yerleştirilirse, o zaman plaka dengede olacaktır. Ayrıca medyanların kesişme noktası, medyan üçgeninin yazılı dairesinin merkezidir. Medyanların kesişme noktasının ilginç bir özelliği, kütle merkezinin fiziksel kavramıyla ilişkilidir. Bir üçgenin köşelerine eşit kütleler yerleştirirseniz merkezlerinin tam olarak bu noktaya düşeceği ortaya çıktı.
Açıortay kesişme noktası
Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan açıortayın bir bölümüdür.
Bir üçgenin açıortayları kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. 3. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktasının kenarlarından eşit uzaklıkta olması ve bunun tersinin de geçerli olmasından yararlanalım: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde yer alır. Daha sonra OK=OL ve OK=OM. Bu, OM=OL anlamına gelir, yani O noktası ABC üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle C açısının CC1 açıortayında yer alır. 4. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişir. K L M Teorem kanıtlanmıştır. 2.Bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizin.
Dik açıortayların kesişme noktası
Dik açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.
Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
B C A m n 1. ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına m ve n orta dikmelerinin kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. O 2. Bir parçaya dik açıortaydaki her noktanın bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu teoremini kullanarak: parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır ve şunu elde ederiz: OB = OA ve OB = OC. 3. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır. 4. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir. Teorem kanıtlanmıştır. R
Yüksekliklerin (veya uzantılarının) kesişme noktası
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir açısının köşesinden karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen diktir.
Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları, üçgenin içinde veya dışında olabilen bir noktada kesişir.
Kanıt:
AA 1, BB 1 ve CC 1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı kenara paralel bir düz çizgi çizin. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. 2. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında AB=A 2 C ve AB=CB 2, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A 2 C=CB 2. Benzer şekilde C 2 A=AB 2 ve C 2 B=BA 2. Ek olarak, yapıdan da anlaşılacağı üzere CC 1, A 2 B 2'ye diktir, AA 1, B 2 C 2'ye diktir ve BB 1, A 2 C 2'ye diktir (paralel doğrular ve kesantlar teoreminin sonucundan) ). Dolayısıyla, AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri, A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Bu nedenle bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.
(1 ortalama olarak derecelendirmeler: 5,00 5 üzerinden) 
Yükleniyor...
