Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına giriyormuşuz gibi görünebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. skaler çarpım, eşit tipik görevler daha az olacak. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler geri yüklemek veya yeniden edinmek temel bilgi vektörler hakkında. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilir; sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki, hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. yalnızca uzaysal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlem, tıpkı skaler çarpım gibi, şunları içerir: iki vektör. Bunlar ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi ile gösterilir Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak ben vektörlerin vektör çarpımını bu şekilde köşeli parantez içinde ve çarpı işaretiyle göstermeye alışkınım.

Ve hemen soru: eğer içerideyse vektörlerin skaler çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Bariz fark, her şeyden önce SONUÇ'tadır:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu SAYI'dır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Çeşitliliğinde eğitim literatürü Tanımlamalar da değişebilir, harfi kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çarpımı doğrusal olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı VEKTÖR adı verilen, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı parça parça inceleyelim, burada pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Vektörler alınır kesin olarak tanımlanmış bir sırayla: – "a" "olmak" ile çarpılır, “a” ile “olmak” değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ile çarpılırsa Ters sipariş, sonra eşit uzunlukta ve zıt yönde (ahududu rengi) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve doğal olarak vektör ürününün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Bir tanesini hatırlayalım geometrik formüller: Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülün vektörün kendisi ile değil, vektörün UZUNLUĞU ile ilgili olduğunu vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

İkinci önemli formülü elde edelim. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeli) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

4) Aynı derecede önemli bir gerçek de vektörün vektörlere dik olmasıdır; . Elbette zıt yönlü vektör (ahududu oku) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel Var Sağ oryantasyon. Konuyla ilgili derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzay yöneliminin ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak – vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağ odaklı bir temeldir (şekildeki budur). Şimdi vektörleri değiştirin ( indeks ve orta parmaklar ) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Bir sorunuz olabilir: Hangi temelin sola yönelimi var? Aynı parmaklara “atama” sol el vektörleri kullanın ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büküyor" veya yönlendiriyor. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönelimi en çok değişir düzenli ayna ve eğer "yansıyan nesneyi aynanın dışına çıkarırsanız", o zaman genel durumda onu "orijinal" ile birleştirmek mümkün olmayacaktır. Bu arada, üç parmağınızı aynaya doğru tutun ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları korkutucu =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak tartışıldı, vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfıra eşittir. Aynı şey formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece eğer öyleyse . Kesin olarak konuşursak, vektör çarpımının kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve bunun basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel durum– bir vektörün kendisiyle vektör çarpımı:

Çapraz çarpımı kullanarak üç boyutlu vektörlerin eşdoğrusallığını kontrol edebilir ve bu görev diğerlerinin yanı sıra analiz de yapacağız.

Çözümler için pratik örnekler gerekli olabilir trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Hadi ateşi yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz.

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, cümlelerdeki başlangıç ​​verilerini bilinçli olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşula göre bulmanız gerekir uzunluk vektör (çapraz çarpım). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk hakkında soru sorulursa, cevapta boyut birimlerini belirtiriz.

b) Koşula göre bulmanız gerekir kare Vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak vektör ürününün uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen cevabın vektör çarpımı hakkında hiçbir şekilde konuşmadığını unutmayın; bize şunu sordular: şeklin alanı buna göre boyut birim karedir.

Her zaman duruma göre NE bulmamız gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Literalizm gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında çok sayıda edebiyatçı var ve bu görev iyi şanslar revizyon için geri dönecektir. Her ne kadar bu özellikle abartılı bir kelime oyunu olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin anlamadığı izlenimi edinilir. basit şeyler ve/veya görevin özünü anlamadı. Herhangi bir problemi çözerken bu nokta daima kontrol altında tutulmalıdır. yüksek Matematik ve diğer konularda da.

Büyük “en” harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak eklenebilirdi ama girişi kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve bu da aynı şeyin tanımıdır.

için popüler bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Pratikte bu görev gerçekten çok yaygındır; üçgenler genellikle size eziyet edebilir.

Diğer sorunları çözmek için ihtiyacımız olacak:

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten değerlendirdik, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler ve rastgele bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu madde genellikle özelliklerde vurgulanmaz ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) – mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolaylıkla vektör çarpımının dışına taşınabilir. Gerçekten orada ne yapmaları gerekiyor?

4) – dağıtım veya dağıtıcı vektör çarpım yasaları. Braketlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Göstermek için kısa bir örneğe bakalım:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşul yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre sabitleri vektör çarpımının kapsamı dışında tutuyoruz.

(2) Sabiti modülün dışına taşırız ve modül eksi işaretini “yer”. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Gerisi açıktır.

Cevap:

Ateşe daha fazla odun eklemenin zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . İşin püf noktası, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak sunulmasıdır. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik sağlamak için çözümü üç aşamaya ayıracağız:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, bir vektörü bir vektör cinsinden ifade edelim. Uzunluklarla ilgili henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak tüm sabitleri vektör çarpımlarının ötesine taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. adımlar aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Nice özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu hareketÖrnek 3'ü hatırlatır:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. aşamaları tek satırda yazılabilirdi.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır testler, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

Formül gerçekten basit: Determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını "koyuyoruz" ve şunu koyuyoruz: sıkı bir düzende– önce “ve” vektörünün koordinatları, ardından “çift-ve” vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa satırların yeri değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, vektör çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Vektörlerin karma çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma, geometrik anlama ve birkaç çalışma formülüne bağlı olacaktır.

Vektörlerin karışık bir çarpımı üç vektörün çarpımıdır:

Yani bir tren gibi sıraya girdiler ve kimliklerinin tespit edilmesi için sabırsızlanıyorlar.

Öncelikle yine bir tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, isminde paralel yüzlü hacim, bu vektörler üzerine kuruludur ve taban doğruysa “+” işaretiyle, taban soldaysa “–” işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı çizgilerle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Vektörler alınır belli bir sırayla yani çarpımdaki vektörlerin yeniden düzenlenmesi tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz olmuyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce bariz bir gerçeğe dikkat çekeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir; karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu “pe” harfiyle belirtmeye alışkınım.

A-tarikatı karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, belirli bir paralel yüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve mekanın yönelimi kavramını bir daha dert etmeyelim. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Doğrudan tanımdan, vektörler üzerine kurulu bir paralel borunun hacmini hesaplamak için formül gelir.

cevrimici hesap makinesi Vektörlerin karma çarpımını hesaplar. Verilen detaylı çözüm. Vektörlerin karışık bir çarpımını hesaplamak için, vektörleri temsil etme yöntemini seçin (koordinatlara göre veya iki noktaya göre), hücrelere verileri girin ve "Hesapla" düğmesine tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayılardır veya ondalık sayılar. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.

Vektörlerin karışık çarpımı (teori)

Karışık parçaüç vektör, ilk iki vektör ile üçüncü vektörün vektör çarpımının sonucunun skaler çarpımı ile elde edilen sayıdır. Başka bir deyişle üç vektör verilirse a, b Ve C, daha sonra bu vektörlerin karışık çarpımını elde etmek için önce ilk iki vektör ve elde edilen vektör [ ab] vektör ile skaler olarak çarpılır C.

Üç vektörün karışık çarpımı a, b Ve Cşu şekilde ifade edilir: ABC ya da öylesine ( ABC). O zaman şunu yazabiliriz:

Karışık bir çarpımın geometrik anlamını temsil eden bir teorem formüle etmeden önce, sağ üçlü, sol üçlü, sağ koordinat sistemi, sol koordinat sistemi (çevrimiçi vektörlerin vektör çarpımı sayfasındaki 2, 2" ve 3 tanımları) kavramlarına aşina olun.

Kesinlik sağlamak için, aşağıda yalnızca sağ koordinat sistemlerini ele alacağız.

Teorem 1. Vektörlerin karışık çarpımı ([ab],C) indirgenmiş üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın hacmine eşittir genel başlangıç vektörler a, b, c, üç ise artı işaretiyle alınır a, b, c doğru ve üç ise eksi işaretiyle a, b, c sol Eğer vektörler a, b, c eş düzlemlidir, o zaman ([ ab],C) sıfıra eşittir.

Sonuç 1. Aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Bu nedenle şunu kanıtlamamız yeterli olacaktır.

İfade (3)'ten açıktır ki sol ve sağ kısım paralelkenarın hacmine eşittir. Ancak vektörlerin üçlüleri olduğundan sağ ve sol tarafların işaretleri çakışıyor ABC Ve M.Ö. aynı yönelime sahiptir.

Kanıtlanmış eşitlik (1), üç vektörün karma çarpımını yazmamızı sağlar a, b, c sadece formda ABC, hangi iki vektörün ilk iki veya son iki ile vektörel olarak çarpıldığını belirtmeden.

Sonuç 2. Üç vektörün eş düzlemliliği için gerekli ve yeterli koşul, bunların karma çarpımının sıfıra eşit olmasıdır.

Kanıt, Teorem 1'den gelmektedir. Aslında, eğer vektörler aynı düzlemde ise, bu vektörlerin karışık çarpımı sıfıra eşittir. Tersine, eğer karışık çarpım sıfıra eşitse, bu vektörlerin eş düzlemliliği Teorem 1'den çıkar (çünkü ortak bir orijine indirgenmiş vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın hacmi sıfıra eşittir).

Sonuç 3. İkisi çakışan üç vektörün karışık çarpımı sıfıra eşittir.

Gerçekten mi. Üç vektörden ikisi çakışırsa eş düzlemlidirler. Dolayısıyla bu vektörlerin karma çarpımı sıfıra eşittir.

Kartezyen koordinatlarda vektörlerin karışık çarpımı

Teorem 2. Üç vektör olsun a, b Ve C Kartezyen dikdörtgen koordinatlarıyla tanımlanır

Kanıt. Karışık parça ABC vektörlerin skaler çarpımına eşit [ ab] Ve C. Vektör çizimleri vektörler [ ab]V Kartezyen koordinatları() formülüyle hesaplanır:

Son ifade ikinci dereceden determinantlar kullanılarak yazılabilir:

satırları bu vektörlerin koordinatlarıyla doldurulmuş olan determinantın sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani:

.

(7)

Sonucu kanıtlamak için formül (4) ve Sonuç 2'yi dikkate almak yeterlidir.

Örneklerle vektörlerin karışık çarpımı

Örnek 1. Vektörlerin karışık bir çarpımını bulun abs, Nerede

Vektörlerin karışık çarpımı a, b, c matrisin determinantına eşit L. Matrisin determinantını hesaplayalım L determinantı 1 çizgisi boyunca genişleterek:

Vektör bitiş noktası A.

Amaç. Çevrimiçi hesap makinesi, vektörlerin karışık çarpımını hesaplamak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir. Ayrıca Excel'de bir çözüm şablonu oluşturulur.

Vektörlerin eş düzlemlilik işaretleri

Eş düzlemlilik işareti. a, b, c sistemi sağ yönlü ise abc>0; eğer bırakılırsa abc Karışık ürünün geometrik anlamı. Üç eş düzlemli olmayan vektör a, b, c'nin karışık çarpımı abc eşittir vektörlere dayalı bir paralelyüzün hacmi a, b, c, a, b, c sistemi sağ yönlüyse artı işaretiyle, bu sistem solaksa eksi işaretiyle alınır.

Karışık bir ürünün özellikleri

1. Faktörler dairesel olarak yeniden düzenlendiğinde karma çarpım değişmez; iki faktör yeniden düzenlendiğinde işaret ters çevrilir: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Geometrik anlamdan kaynaklanmaktadır.
2. (a+b)cd=acd+bcd (dağılma özelliği). Herhangi bir sayıda terime uzanır.
   Karışık bir ürünün tanımından çıkar.
3. (ma)bc=m(abc) (skaler faktöre göre bileşik özellik).
   Karışık bir ürünün tanımından çıkar. Bu özellikler, sıradan cebirsel olanlardan farklı olan karma çarpımlara dönüşümlerin uygulanmasını mümkün kılar; yalnızca faktörlerin sırası yalnızca çarpımın işareti dikkate alınarak değiştirilebilmektedir.
4. En az iki eşit çarpanı olan karma çarpım sıfıra eşittir: aab=0.

Örnek No.1. Karışık bir ürün bulun. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Örnek No.2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. İki uç nokta dışındaki tüm terimler sıfıra eşittir. Ayrıca bca=abc . Bu nedenle (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Örnek No. 3. a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k üç vektörünün karışık çarpımını hesaplayın.
Çözüm. Vektörlerin karma çarpımını hesaplamak için vektör koordinatlarından oluşan bir sistemin determinantını bulmak gerekir. Sistemi formda yazalım.