Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin çapraz çarpımı Ve vektörlerin karışık ürünü (ihtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için olur, ek olarak vektörlerin iç çarpımı, daha fazlasına ihtiyaç var. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına girdiğimiz izlenimi edinilebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki de Pinokyo için yeterli olan dışında, genellikle çok az yakacak odun vardır. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynısından neredeyse daha zor skaler çarpım, eşit tipik görevler daha az olacak Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin göreceği veya daha önce görmüş olacağı gibi, HESAPLAMALARDA YANLIŞ OLMAMAKTIR. Bir büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzakta bir yerde ufukta şimşek gibi parlıyorsa önemli değil, dersten başlayın Aptallar için vektörler geri yüklemek veya yeniden satın almak için temel bilgi vektörler hakkında. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilir, sıklıkla bulunan en eksiksiz örnek koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni ne mutlu edecek? Ben küçükken iki ve hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi çalıştı. Düşüneceğimiz için artık hokkabazlık yapmaya gerek yok. sadece uzay vektörleri ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık ürünü tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlemde, skaler çarpımda olduğu gibi, iki vektör. Ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var ama ben vektörlerin çapraz çarpımını bu şekilde, artı işaretiyle köşeli parantez içinde belirtmeye alışkınım.

Ve derhal soru: içinde ise vektörlerin iç çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, sonra fark ne? Her şeyden önce SONUÇ'ta net bir fark:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu bir SAYIdır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu bir VEKTÖR'dür: , yani vektörleri çarparız ve tekrar bir vektör elde ederiz. Kapalı kulüp. Aslında, dolayısıyla operasyonun adı. Çeşitliliğinde eğitim literatürü gösterim de değişebilir, harfini kullanacağım.

çapraz ürünün tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Çapraz ürün doğrusal olmayan vektörler, bu sırayla alınan, VEKTÖR olarak adlandırılır, uzunluk hangisi sayısal olarak paralelkenarın alanına eşittir, bu vektörler üzerine kurulu; vektör vektörlere ortogonal, ve temel doğru yönde olacak şekilde yönlendirilir:

Tanımı kemiklere göre analiz ediyoruz, pek çok ilginç şey var!

Böylece, aşağıdaki önemli noktaları vurgulayabiliriz:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen kaynak vektörler eşdoğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Alınan vektörler sıkı bir sırayla: – "a", "be" ile çarpılır, "a" için "olmak" değil. Vektör çarpmasının sonucu mavi ile gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ile çarpılırsa Ters sipariş, sonra eşit uzunlukta ve zıt yönde bir vektör elde ederiz (kızıl renk). Yani, eşitlik .

3) Şimdi vektörel çarpımın geometrik anlamını öğrenelim. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın ALANINA eşittir. Şekilde, bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz çarpımın nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

birini hatırlıyoruz geometrik formüller: bir paralelkenarın alanı, bitişik kenarların ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplama formülü geçerlidir:

Formülde vektörün UZUNLUĞU hakkında konuştuğumuzu ve vektörün kendisinden bahsetmediğimizi vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde, bir paralelkenarın alanı genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunur:

İkinci önemli formülü elde ediyoruz. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeleme) aşağıdaki formülle bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek, vektörün vektörlere ortogonal olmasıdır, yani . Tabii ki, ters yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere ortogonaldir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel sahip Sağ oryantasyon. hakkında bir derste yeni bir temele geçiş hakkında ayrıntılı olarak konuştum düzlem oryantasyonu, ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu anlayacağız. parmaklarına açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak - vektör çarpımı yukarı bakacaktır. Bu doğru yönelimli temeldir (şekildedir). Şimdi vektörleri değiştirin ( dizin ve orta parmaklar ) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı çoktan aşağı bakacaktır. Bu da hak odaklı bir temeldir. Belki de bir sorunuz var: Sola yönelimin temeli nedir? Aynı parmakları "atayın" sol el vektörler ve sol temel ve sol boşluk yönlendirmesini alın (bu durumda, başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi olarak konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büker" veya yönlendirir. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönü çok değişir. sıradan ayna ve "yansıyan nesneyi aynadan çıkarırsanız", genel durumda onu "orijinal" ile birleştirmek mümkün olmayacaktır. Bu arada, üç parmağınızı aynaya getirin ve yansımayı analiz edin ;-)

... hakkında bilgi sahibi olmanız ne kadar iyi sağ ve sol odaklı bazlar, çünkü bazı öğretim üyelerinin yön değişikliği ile ilgili açıklamaları korkunç =)

Doğrusal vektörlerin vektör ürünü

Tanım ayrıntılı olarak çalışılmıştır, geriye vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olduğunu bulmak kalır. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgiye “katlanır”. Böyle bir alan, matematikçilerin dediği gibi, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynı şey formülden de çıkar - sıfırın sinüsü veya 180 derece sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece, eğer , o zaman . Kesin olarak, çapraz çarpımın kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

özel durum bir vektörün ve kendisinin vektör ürünüdür:

Çapraz çarpımı kullanarak, üç boyutlu vektörlerin doğrusallığını kontrol edebilirsiniz ve bu görev diğerleri arasında ayrıca analiz edeceğiz.

çözümler için pratik örnekler gerekli olabilir trigonometrik tablo ondan sinüslerin değerlerini bulmak için.

Pekala, bir ateş yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektörel çarpımının uzunluğunu bulun:

b) Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını bulun

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, koşul öğelerindeki ilk verileri kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Şarta göre bulunması zorunludur. uzunluk vektör (vektör ürünü). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk sorulduğundan, cevapta boyutu - birimleri belirtiyoruz.

b) Şarta göre bulunması zorunludur. kare vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak çapraz çarpımın uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen vektör çarpımıyla ilgili yanıtta hiç konuşma olmadığını, bize şu soru soruldu: şekil alanı, sırasıyla boyut kare birimlerdir.

Her zaman koşul tarafından bulunması gereken NE'ye bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz temizlemek cevap. Bilgiçlik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterince edebiyatçı var ve görev iyi şanslar revizyon için geri dönecektir. Bu özellikle gergin bir nitpick olmasa da - cevap yanlışsa, o zaman kişinin anlamadığı izlenimi edinilir. basit şeyler ve / veya görevin özünü anlamadı. Bu an her zaman kontrol altında tutulmalı, herhangi bir sorun çözülmelidir. yüksek Matematik ve diğer konularda da.

Büyük "en" harfi nereye gitti? Prensip olarak, çözüme ek olarak yapıştırılabilirdi, ancak rekoru kısaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin tanımıdır.

için popüler bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanını bulun

Vektör çarpımından bir üçgenin alanını bulma formülü, tanımdaki yorumlarda verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Uygulamada, görev gerçekten çok yaygın, üçgenler genellikle işkence edilebilir.

Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:

Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten ele aldık, ancak bunları bu listeye ekleyeceğim.

İsteğe bağlı vektörler ve isteğe bağlı bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu madde genellikle özelliklerde ayırt edilmez, ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) - özellik yukarıda da tartışılmaktadır, bazen buna denir antideğişimlilik. Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kombinasyon veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolayca vektör çarpımının limitlerinden çıkarılır. Gerçekten, orada ne yapıyorlar?

4) - dağıtım veya dağıtım vektör çarpım yasaları. Parantez açmada da sorun yok.

Bir gösteri olarak, kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3

bul eğer

Çözüm: Koşula göre yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmak gerekiyor. Minyatürümüzü çizelim:

(1) İlişkisel yasalara göre, vektör çarpımının sınırlarının ötesindeki sabitleri çıkarırız.

(2) Modül eksi işaretini “yerken” sabiti modülden çıkarıyoruz. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Bundan sonrası açıktır.

Cevap:

Ateşe odun atma zamanı:

Örnek 4

Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanını hesaplayın

Çözüm: Formülü kullanarak bir üçgenin alanını bulun . Buradaki engel, "ce" ve "te" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatır. Vektörlerin iç çarpımı. Anlaşılır olması için bunu üç adıma ayıralım:

1) İlk adımda vektörel çarpımı vektörel çarpım üzerinden ifade ediyoruz aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin. Uzunluk hakkında henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştiririz.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açın.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak, vektör çarpımlarının ötesindeki tüm sabitleri çıkarırız. Çok az deneyimle, 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Hoş özelliği nedeniyle ilk ve son terim sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde, vektör çarpımının değişme karşıtı özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimler sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün, elde edilmesi gereken şey olan bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu hareketÖrnek 3'ü anımsatan:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3 adımları tek bir satırda düzenlenebilir.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır kontrol işi, işte kendin yap çözümü için bir örnek:

Örnek 5

bul eğer

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap. Önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli olduğunuzu görelim ;-)

Koordinatlarda vektörlerin çapraz çarpımı

Formül gerçekten basit: koordinat vektörlerini determinantın en üst satırına yazıyoruz, vektörlerin koordinatlarını ikinci ve üçüncü satırlara “paketliyoruz” ve kesin sırayla- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa, satırlar da değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Test, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler eşdoğrusal ise, çapraz çarpımları sıfırdır (sıfır vektör): .

a) Vektörel çarpımı bulun:

Yani vektörler doğrusal değildir.

b) Vektörel çarpımı bulun:

Cevap: a) eşdoğrusal değil, b)

Burada, belki de, vektörlerin vektörel çarpımı hakkında tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Bu bölüm çok geniş olmayacak çünkü vektörlerin karışık çarpımının kullanıldığı birkaç problem var. Aslında, her şey tanım, geometrik anlam ve birkaç çalışma formülüne dayanacaktır.

karışık ürün vektörler üç vektörün ürünüdür:

İşte böyle tren gibi dizilip beklerler, hesaplanana kadar bekleyemezler.

İlk olarak yine tanım ve resim:

Tanım: Karışık ürün eş düzlemli olmayan vektörler, bu sırayla alınan, denir paralel yüzlü hacmi, bu vektörler üzerine inşa edilmiş, taban sağ ise "+" işareti ve temel sol ise "-" işareti ile donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim göremediğimiz çizgiler noktalı bir çizgi ile çizilir:

Gelelim tanımına:

2) Alınan vektörler belirli bir sırayla yani, çarpımdaki vektörlerin permütasyonu, tahmin edebileceğiniz gibi, sonuçsuz gitmez.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce, bariz gerçeği not edeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe, tasarım biraz farklı olabilir, karma bir ürünü "pe" harfi ile hesaplamaların sonucu olarak belirlerdim.

bir manastır karışık ürün paralelyüzün hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani, sayı verilen paralelyüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Taban ve uzayın yönelimi kavramıyla tekrar uğraşmayalım. Son bölümün anlamı, hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmini hesaplama formülü, doğrudan tanımdan gelir.

Randevu. Çevrimiçi hesaplayıcı, vektörlerin karışık çarpımını hesaplamak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir. Ek olarak, Excel'de bir çözüm şablonu oluşturulur.

Vektör uyumluluğunun belirtileri

eş düzlemlilik işareti. a, b, c sistemi doğru ise abc>0 ; eğer bırakılırsa, o zaman abc Karışık ürünün geometrik anlamı. Eş düzlemli olmayan üç a, b, c vektörünün karışık çarpımı abc, a, b, c vektörleri üzerine inşa edilen paralelyüzün hacmine eşittir, a, b, c sistemi sağdaysa artı işaretiyle ve bu sistem soldaysa eksi işaretiyle alınır.

Karışık ürün özellikleri

1. Faktörlerin dairesel permütasyonu ile karışık çarpım değişmez, iki faktörün permütasyonu ile işaretini tersine çevirir: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Geometrik anlamdan çıkar.
2. (a+b)cd=acd+bcd (dağılma özelliği). Herhangi bir sayıda terime uzanır.
   Karışık bir ürünün tanımından çıkar.
3. (ma)bc=m(abc) (skaler faktöre göre ilişkisel özellik).
   Karışık bir ürünün tanımından çıkar. Bu özellikler, yalnızca çarpanların sırasının yalnızca çarpım işareti dikkate alınarak değiştirilebilmesi açısından, sıradan cebirsel olanlardan farklı olan karma ürünlere dönüşümlerin uygulanmasını mümkün kılar.
4. En az iki eşit çarpanı olan bir karma çarpım sıfıra eşittir: aab=0 .

Örnek 1. Karışık bir ürün bulun. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Örnek 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Uçtaki iki terim dışındaki tüm terimler sıfıra eşittir. Ayrıca, bca=abc . Bu nedenle (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Örnek 3. a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k vektörlerinin karışık çarpımını hesaplayın.
Çözüm. Vektörlerin karma çarpımını hesaplamak için vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin determinantını bulmak gerekir. şeklinde sistemi yazıyoruz.

Bu konuyu ayrıntılı olarak ele almak için birkaç bölüm daha ele almanız gerekir. Konu, nokta ve çapraz çarpım gibi terimlerle doğrudan ilgilidir. Bu yazıda vermeye çalıştık kesin tanım, vektörlerin koordinatlarını kullanarak ürünü belirlemeye yardımcı olacak bir formül belirtin. Ayrıca eserde eserin özelliklerini sıralayan bölümler yer almakta ve detaylı analiz tipik eşitlikler ve problemler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Terim

ne olduğunu belirlemek için bu dönem, üç vektör almanız gerekir.

tanım 1

karışık ürün a → , b → ve d →, a → × b → ve d →'nin iç çarpımına eşit olan değerdir; burada a → × b →, a → ve b →'nin çarpımıdır. a → , b → ve d → çarpma işlemi genellikle a → · b → · d → ile gösterilir. Formülü şu şekilde dönüştürebilirsiniz: a → b → d → = (a → × b → , d →) .

Koordinat sisteminde çarpma

Koordinat düzleminde belirtilirlerse vektörleri çarpabiliriz.

al ben → , j → , k →

Belirli bir vektörün çarpımı özel durum sahip olacak sonraki görünüm: a → × b → = (a y bz - a z b y) ben → + (a z b x + a x bz) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z ben → - a x a z b x b z j → + a x a y b x by y k →

Tanım 2

nokta çarpımı gerçekleştirmek için koordinat sisteminde, koordinatların çarpılması sırasında elde edilen sonuçları eklemelisiniz.

Öyleyse:

a → × b → = (a y bz - a z b y) ben → + (a z bx + a x bz) j → + (a x b y + a y bx) k → = a y a z b y b z ben → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Belirli bir koordinat sisteminde çarpılmakta olan vektörlerin koordinatları belirtilmişse, vektörlerin karışık bir çarpımını da tanımlayabiliriz.

a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →, d x i → + d y b z d x, z k →) = = a y a z y b z d x - a x a z b x b z d x z d z d x z d Z d z d z d z d z d z d z d z d z d y d z d x d x a x a y x a x a y x b x,

Böylece, şu sonuca varılabilir:

a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Tanım 3

Karışık bir ürün eşitlenebilir satırları vektör koordinatları olan bir matrisin determinantına. Görsel olarak şuna benzer: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Vektörler üzerindeki işlemlerin özellikleri Bir skaler veya vektörel çarpımda öne çıkan özelliklerden, karma çarpımı karakterize eden özellikleri türetebilirsiniz. Aşağıda ana özellikleri sunuyoruz.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b (1) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d ( 2) → + a → b → d (2) →

Yukarıdaki özelliklere ek olarak, çarpan sıfır ise çarpma sonucunun da sıfır olacağı açıklığa kavuşturulmalıdır.

İki veya daha fazla çarpan eşitse çarpma sonucu da sıfır olacaktır.

Aslında, a → = b → ise, o zaman, vektör çarpımının [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 tanımını takiben, karışık ürün sıfıra eşittir, çünkü ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

a → = b → veya b → = d → ise, [ a → × b → ] ve d → vektörleri arasındaki açı π 2'ye eşittir. Vektörlerin skaler çarpımının tanımıyla ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Çarpma işleminin özellikleri çoğunlukla problem çözme sırasında gereklidir.
Ayrıntılı olarak analiz etmek için bu konu Birkaç örnek alıp ayrıntılı olarak açıklayalım.

örnek 1

λ'nın bir gerçek sayı olduğu ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) eşitliğini kanıtlayın.

Bu eşitliğe bir çözüm bulmak için onu dönüştürmeliyiz. Sol Taraf. Bunu yapmak için, karışık ürünün üçüncü özelliğini kullanmanız gerekir, bu özellik şu şekildedir:

([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ([ a → × b → ] , b →)
(([ a → × b → ] , b →) = 0 olduğunu analiz ettik. Buradan şu sonuç çıkıyor:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ([ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d → ) + ([ bir → × b → ] , λ bir →)

İlk özelliğe göre ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , ve ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Böylece, ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . Bu yüzden,
([ bir ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ bir ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ bir ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ bir ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ bir ⇀ × b ⇀ ] , d →)

Eşitlik kanıtlanmıştır.

Örnek 2

Üç vektörün karma çarpımının modülünün, uzunluklarının çarpımından büyük olmadığını kanıtlamak gerekir.

Çözüm

Koşulu temel alarak, örneği a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → eşitsizliği olarak gösterebiliriz.

Tanım gereği, a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = a → b → günah (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d) eşitsizliğini dönüştürürüz

Temel fonksiyonları kullanarak, 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 olduğu sonucuna varabiliriz.

Buradan şu sonuca varılabilir
(a → × b → , d →) = a → b → günah (a → , b →) ^ d → çünkü (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →

Eşitsizlik kanıtlanmıştır.

Tipik görevlerin analizi

Vektörlerin çarpımının ne olduğunu belirlemek için, çarpılan vektörlerin koordinatlarının bilinmesi gerekir. İşlem için a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y dz formülünü kullanabilirsiniz.

Örnek 3

İÇİNDE dikdörtgen sistem koordinatlar, aşağıdaki koordinatlara sahip 3 vektör vardır: a → = (1 , - 2 , 3) ​​​​, b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5) . Belirtilen a → · b → · d → vektörlerinin çarpımının neye eşit olduğunu belirlemek gerekir.

Yukarıda sunulan teoriye dayanarak, karışık çarpımın matris determinantı cinsinden hesaplanabileceğini belirten kuralı kullanabiliriz. Şöyle görünecektir: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x by y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Örnek 4

i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → vektörlerinin çarpımını bulmak gerekir, burada i → , j → , k → dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleridir.

Vektörlerin belirli bir koordinat sisteminde bulunması koşuluna bağlı olarak, koordinatlarını türetebiliriz: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)

Yukarıdaki formülü kullanın
ben → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 ben → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Bilinen vektörün uzunluğu ve aralarındaki açı kullanılarak da karışık çarpımı tanımlamak mümkündür. Bu tezi bir örnek üzerinde inceleyelim.

Örnek 5

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, birbirine dik olan a → , b → ve d → üç vektör vardır. Bunlar bir dik üçlüdür ve uzunlukları 4, 2 ve 3'tür. Vektörleri çarpmamız gerekiyor.

c → = a → × b → .

Kurala göre, skaler vektörlerin çarpılması sonucu, kullanılan vektörlerin uzunluklarının aralarındaki açının kosinüsü ile çarpılması sonucuna eşit olan bir sayıdır. a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) olduğu sonucuna varıyoruz.

Örnek koşulda belirtilen d → vektörünün uzunluğunu kullanıyoruz: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . c → ve c → , d → ^ tanımlamak gerekir. a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 koşuluyla. c → vektörünü şu formülü kullanarak buluyoruz: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
c →'nin a → ve b →'ye dik olduğu sonucuna varılabilir. a → , b → , c → vektörleri doğru üçlü olacaktır, bu nedenle Kartezyen koordinat sistemi kullanılır. c → ve d → vektörleri tek yönlü olacaktır, yani c → , d → ^ = 0 . Elde edilen sonuçları kullanarak a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 örneğini çözüyoruz.

a → · b → · d → = 24 .

a → , b → ve d → faktörlerini kullanıyoruz.

a → , b → ve d → vektörleri aynı noktadan gelir. Bir figür oluşturmak için bunları kenar olarak kullanıyoruz.

c → = [ a → × b → ] olduğunu belirtin. Bu durumda, vektörlerin çarpımını a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → olarak tanımlayabiliriz; burada n p c → d →, d → vektörünün c → = [ a → × b → ] vektörünün yönüne sayısal izdüşümüdür.

n p c → d →'nin mutlak değeri, a → , b → ve d → vektörlerinin kenar olarak kullanıldığı şeklin yüksekliğine de eşit olan bir sayıya eşittir. Buna dayanarak, c → = [ a → × b → ]'nin a →'ye dik olduğu ve vektör çarpımının tanımına göre bir vektör ve bir vektör olduğu açıklığa kavuşturulmalıdır. c → = a → x b → değeri, a → ve b → vektörleri üzerine inşa edilmiş paralelyüzün alanına eşittir.

a → b → d → = c → n p c → d → çarpımının modülünün, a → , b → ve d → vektörleri üzerine inşa edilen şeklin taban alanı ile çarpılmasının sonucuna eşit olduğu sonucuna vardık.

Tanım 4

Çapraz çarpımın mutlak değeri paralelyüzün hacmidir.: V paralelelepi pida = a → · b → · d → .

Bu formül geometrik anlamdır.

Tanım 5

Bir tetrahedronun hacmi a → , b → ve d → üzerine kurulu olan paralelyüzün hacminin 1/6'sına eşittir

Bilgiyi pekiştirmek için birkaç tipik örneği analiz edeceğiz.

Örnek 6

Kenarları A B → = (3 , 6 , 3) ​​​​, AC → = (1 , 3 , - 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) olan paralel yüzün hacmini bulmak gerekir , dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilir. Bir paralelkenarın hacmi, mutlak değer formülü kullanılarak bulunabilir. Bundan şu sonuç çıkar: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

O zaman, V paralel boru = - 18 = 18 .

V parallelelelepipida = 18

Örnek 7

Koordinat sistemi A (0 , 1 , 0) , B (3 , - 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) ​​​​, D (- 2 , 3 , 1) noktalarını içerir. Bu noktalarda bulunan tetrahedronun hacmini belirlemek gerekir.

V t e t r hedra = 1 6 · AB → · A C → · AD → formülünü kullanalım. Noktaların koordinatlarından vektörlerin koordinatlarını belirleyebiliriz: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) AC → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0) = (1 , - 1 , 3) ​​​​AD → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = ( - 2 , 2 , 1)

Daha sonra, A B → A C → AD → karışık ürününü vektörlerin koordinatlarıyla tanımlarız: A B → A C → AD → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 \u003d - 7 Cilt V t e tra hedra \u003d 1 6 - 7 \u003d 7 6 .

V t e t ra hedra = 7 6 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

bu cevrimici hesap makinesi vektörlerin karışık çarpımını hesaplar. verilen detaylı çözüm. Vektörlerin karışık çarpımını hesaplamak için, vektörleri temsil etme yöntemini seçin (koordinatlarla veya iki noktayla), verileri hücrelere girin ve "Hesapla"ya tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatı. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (ör. 67., 102.54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b şeklinde yazılmalıdır, burada a ve b (b>0) tam sayıdır veya ondalık sayılar. Örnekler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, vs.

Vektörlerin karışık ürünü (teori)

karışık ürünüç vektör, sonuçtaki sayıdır nokta ürün sonuç vektör ürünü ilk iki vektörden üçüncü vektöre. Başka bir deyişle, verilen üç vektör bir, b Ve C, daha sonra bu vektörlerin karışık çarpımını elde etmek için önce ilk iki vektör ve elde edilen vektör [ ab] skaler çarpı vektördür C.

Üç vektörün karışık ürünü bir, b Ve Cşu şekilde belirtilir: ABC ya da öylesine ( ABC). O zaman şunu yazabilirsiniz:

Karışık bir çarpımın geometrik anlamını temsil eden bir teoremi formüle etmeden önce, sağ üçlü, sol üçlü, sağ koordinat sistemi, sol koordinat sistemi (tanımlar 2, 2 "ve 3 sayfadaki) kavramlarını öğrenin. çevrimiçi vektörlerin çapraz çarpımı).

Kesinlik için, aşağıda sadece sağ-elli koordinat sistemlerini ele alacağız.

teorem 1. Vektörlerin karışık ürünü ([ab],C) ortak bir orijine indirgenmiş vektörler üzerine inşa edilmiş paralel yüzün hacmine eşittir bir, b, c, eğer üçlü ise artı işaretiyle alınır bir, b, c sağ ve üçlü ise eksi işareti ile bir, b, c sol. eğer vektörler bir, b, c eş düzlemlidir, o zaman ([ ab],C) sıfırdır.

Sonuç 1. Aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Bu nedenle, bunu kanıtlamamız yeterlidir.

(3) ifadesinden sol ve sağ kısım paralelkenarın hacmine eşittir. Ancak sağ ve sol tarafların işaretleri de çakışıyor, çünkü vektörlerin üçlüleri ABC Ve bca aynı oryantasyona sahiptir.

Kanıtlanmış eşitlik (1), üç vektörün karışık çarpımını yazmamıza izin verir. bir, b, c sadece formda ABC, hangi iki vektörün vektörel olarak ilk iki veya son iki ile çarpılacağını belirtmeden.

Sonuç 2. Üç vektörün eş düzlemli olması için gerekli ve yeterli koşul, karışık çarpımlarının yok olmasıdır.

Kanıt, Teorem 1'den gelir. Aslında, eğer vektörler eş düzlemliyse, bu vektörlerin karışık çarpımı sıfıra eşittir. Tersine, eğer karışık çarpım sıfıra eşitse, o zaman bu vektörlerin eş düzlemliliği Teorem 1'den çıkar (çünkü ortak bir orijine indirgenmiş vektörler üzerinde oluşturulan paralelkenarın hacmi sıfıra eşittir).

Sonuç 3. İkisi aynı olan üç vektörün karma ürünü sıfıra eşittir.

Gerçekten mi. Üç vektörden ikisi aynıysa, bunlar eş düzlemlidir. Bu nedenle, bu vektörlerin karma ürünü sıfırdır.

Kartezyen koordinatlarda vektörlerin karışık çarpımı

Teorem 2. Üç vektör olsun bir, b Ve C Kartezyen dikdörtgen koordinatları ile tanımlanır

Kanıt. karışık ürün ABC vektörlerin skaler ürününe eşittir [ ab] Ve C. Vektörlerin vektör ürünü [ ab] Kartezyen koordinatlarda formül () ile hesaplanır:

Son ifade, ikinci dereceden belirleyiciler kullanılarak yazılabilir:

determinantın sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir, satırları bu vektörlerin koordinatlarıyla doldurulur, yani:

.

(7)

Sonucu kanıtlamak için, formül (4) ve Sonuç 2'yi dikkate almak yeterlidir.

Örneklerle Vektörlerin Karma Çarpımı

Örnek 1. Vektörlerin karışık çarpımını bulun karın kası, Nerede

Vektörlerin karışık ürünü bir, b, c matris determinantına eşittir L. Matris determinantını hesapla L, determinantı satır 1 boyunca genişleterek:

Vektör Bitiş Noktası A.