Различни начини за доказване на Питагоровата теорема: примери, описания и прегледи. Интересни факти за Питагоровата теорема: научете нещо ново за известната теорема

Всеки знае Питагоровата теорема от училище. Изключителен математик доказа страхотна хипотеза, която в момента се използва от много хора. Правилото е следното: квадратът на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите. В продължение на много десетилетия нито един математик не е успял да спори това правило. В края на краищата Питагор вървеше към целта си дълго време, така че в резултат на това рисунките да се проведат в Ежедневието.

Малък стих към тази теорема, който беше измислен малко след доказателството, директно доказва свойствата на хипотезата: „ Питагорови панталониравни във всички посоки." Този двуредов ред се е запечатал в паметта на много хора - до днес стихотворението се помни, когато се правят изчисления.
Тази теорема беше наречена „Питагорови панталони“ поради факта, че при изчертаване в средата се получаваше правоъгълен триъгълник с квадрати от всяка страна. На външен вид тази рисунка приличаше на панталони - оттам и името на хипотезата.
Питагор се гордееше с разработената теорема, тъй като тази хипотеза се различава от подобни в максималното количество доказателства. Важно: уравнението е включено в Книгата на рекордите на Гинес поради 370 верни доказателства.
Хипотезата е доказана от огромен брой математици и професори от различни странипо много начини. Английският математик Джоунс скоро обяви хипотезата и я доказа с помощта на диференциално уравнение.
В момента никой не знае доказателството на теоремата от самия Питагор.. Фактите за доказателствата на един математик днес не са известни на никого. Смята се, че доказателството на Евклид за чертежите е доказателството на Питагор. Въпреки това, някои учени спорят с това твърдение: мнозина смятат, че Евклид независимо доказва теоремата, без помощта на създателя на хипотезата.
Днешните учени са открили това страхотен математикне беше първият, който откри тази хипотеза. Уравнението е известно много преди откриването му от Питагор. Този математик успя само да обедини отново хипотезата.
Питагор не е дал името на уравнението „Питагоровата теорема“. Това име остана след „шумната двуредова дума“. Математикът искаше само целият свят да знае и използва неговите усилия и открития.
Мориц Кантор, великият математик, намери и видя бележки с рисунки върху древен папирус. Скоро след това Кантор разбира, че тази теорема е била известна на египтяните още през 2300 г. пр.н.е. Само че тогава никой не се възползва от това и не се опита да го докаже.
Съвременните учени смятат, че хипотезата е била известна още през 8 век пр.н.е. Индийските учени от онова време откриха приблизително изчисление на хипотенузата на триъгълник, надарен с прави ъгли. Вярно е, че по това време никой не успя да докаже със сигурност уравнението с помощта на приблизителни изчисления.
Големият математик Бартел ван дер Ваерден, след доказване на хипотезата, стигна до важно заключение: „За заслуга на гръцкия математик се смята не откриването на посоката и геометрията, а само нейното обосноваване. Питагор държеше в ръцете си изчислителни формули, които се основаваха на предположения, неточни изчисления и неясни идеи. Един изключителен учен обаче успя да я превърне в точна наука.
Известният поет каза, че в деня на откриването на рисунката му той издигнал славно жертвоприношение за биковете. След откриването на хипотезата започнаха да се разпространяват слухове, че жертвата на сто бика „отишла да се скита из страниците на книги и публикации“. И до днес акълите се шегуват, че оттогава всички бикове ги е страх от новото откритие.
Доказателство, че не Питагор е измислил поемата за панталоните, за да докаже чертежите, които е изложил: По време на живота на великия математик все още нямаше панталони. Те са изобретени няколко десетилетия по-късно.
Размишленията на Питагор върху собственото му правило: тайната на всичко на земята се крие в числата. В крайна сметка математикът, разчитайки на собствената си хипотеза, изучава свойствата на числата, идентифицира четността и нечетността и създава пропорции.

Едно нещо, в което можете да сте сто процента сигурни е, че когато го попитат колко е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на катетите“. Тази теорема е твърдо вкоренена в съзнанието на всеки образован човек, но просто трябва да помолите някой да я докаже и могат да възникнат трудности. Така че нека си спомним и помислим различни начинидоказателство на Питагоровата теорема.

Кратка биография

Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е донесъл в света, не е толкова популярна. Това може да се поправи. Ето защо, преди да изследвате различните начини за доказване на теоремата на Питагор, трябва накратко да опознаете неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, развили се в памет на този велик човек. Но както следва от трудовете на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.

Съдейки по легендата, раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче е трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което е точно това, което той направи.

Раждането на теоремата

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне там с известни египетски мъдреци. След като се среща с тях, той получава разрешение да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал своята велика теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известен един метод за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са извършвали своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете изчисления, трябва да разберете каква теория искате да докажете. Питагоровата теорема гласи следното: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90°, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.“

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че ще обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Първо, нека да определим какво ни е дадено. Тези данни ще се прилагат и за други методи за доказване на Питагоровата теорема, така че си струва веднага да запомните всички налични нотации.

Да предположим, че ни е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият метод на доказателство се основава на факта, че трябва да нарисувате квадрат от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да добавите отсечка, равна на крака b, към дължината на крака a и обратно. Това трябва да доведе до две равни страни на квадрата. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ас и св трябва да начертаете две успоредни отсечки, равни на с. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да начертаете четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че в допълнение към вътрешния квадрат има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0.5av.

Следователно площта е равна на: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Следователно (a+c) 2 =2ab+c 2

И следователно c 2 =a 2 +b 2

Теоремата е доказана.

Втори метод: подобни триъгълници

Тази формула за доказване на Питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия за подобни триъгълници. Той гласи, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и сегмента на хипотенузата, излизащ от върха на 90° ъгъл.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, страните на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да бъде завършено чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.

AC 2 = AB * AD и CB 2 = AB * DV

Сега трябва да съберем получените неравенства.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), където AD + DV = AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 = AB*AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Доказателство на Питагоровата теорема и различни начининейните решения изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанията на различни методи за доказване на Питагоровата теорема може да не означават нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много техники включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от страната BC. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(от 2 - до 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

от 2 - до 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Тъй като от различните методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас тази опция едва ли е подходяща, можете да използвате следния метод.

Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви

Според историците този метод е използван за първи път за доказване на теоремата през г древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако начертаете картината правилно, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 = c 2 ще бъде ясно видимо.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, приемете, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Също така трябва да начертаете квадрат към краката AB и CB и да начертаете по една диагонална права линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получения чертеж. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, а отстрани има два, това показва верността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“.

Доказателство от J. Garfield

Джеймс Гарфийлд е двадесетият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоучител.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в държавно училище, но скоро става директор на едно от най-високите образователни институции. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теориядоказателство на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да образуват в крайна сметка трапец.

Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S=ср/2 *2 + s 2 /2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

За Питагоровата теорема и методите за нейното доказване може да се напише повече от един том. учебно помагало. Но има ли смисъл от това, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление в съвременното училищни програмиТази теорема е предназначена да се използва само в геометрични задачи. Абсолвентите скоро ще напуснат училище, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност всеки може да използва Питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионална дейност, но и в обикновените домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказване може да са изключително необходими.

Връзка между теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците на хартия могат да бъдат свързани. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Известно е, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Нека наречем траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И нека наречем половината от времето, необходимо на светлината, за да стигне от точка А до точка Б T. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при наблюдение на телата по този начин тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще започнат да се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще започнат да се движат наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще достигне нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, с което се е преместила точка А, трябва да умножите скоростта на лайнера по половината от времето за пътуване на лъча (t").

И за да намерите колко далеч може да измине един светлинен лъч през това време, трябва да маркирате половината път с нова буква s и да получите следния израз:

Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената обвивка, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава сегментът от точка А до обвивката ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова нека разгледаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но биха ли били много полезни, ако не можеха да свържат абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената. мобилен оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на стационарна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус глобус) = 6380 км;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки Питагоровата теорема, откриваме това минимална височинакулата трябва да е дълга 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на гардероб, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но много хора се чудят защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се повдига и монтира към стената. Следователно, по време на процеса на повдигане на конструкцията, страната на шкафа трябва да се движи свободно както по височина, така и по диагонал на стаята.

Да приемем, че има гардероб с дълбочина 800 mm. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - всичко пасва.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Откакто го повдигна в вертикално положениеможе да настъпи увреждане на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно уверени, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

Джарг. училище Шегувам се. Питагоровата теорема, която установява връзката между площите на квадратите, построени върху хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник. BTS, 835… Голям речникРуски поговорки

Питагорови панталони- Комично име за Питагоровата теорема, възникнало поради факта, че квадратите, изградени от страните на правоъгълник и разминаващи се в различни посоки, приличат на кройка на панталони. Обичах геометрията... и на приемния изпит в университета дори получих... РазговорникРуски литературен език

Питагорови панталони- Хумористично име за Питагоровата теорема, която установява връзката между площите на квадратите, изградени върху хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник, който прилича на кройката на панталоните на снимките... Речник на много изрази

Монах: за надарен човек ср. Това несъмнено е мъдрец. В древни времена той вероятно щеше да изобрети питагорейските панталони... Салтиков. Разноцветни букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник квадратът на хипотенузата е равен на квадратите на краката (преподаване ... ... Голям тълковен и фразеологичен речник на Майкелсън

Питагоровите панталони са еднакви от всички страни- Броят на бутоните е известен. Защо членът е стегнат? (грубо) за панталоните и мъжкия полов орган. Питагоровите панталони са еднакви от всички страни. За да се докаже това, е необходимо да се премахне и покаже 1) за Питагоровата теорема; 2) относно широките панталони... Жива реч. Речник на разговорните изрази

Питагорови панталони (измислят) монах. за надарен човек. ср. Това несъмнено е мъдрец. В древни времена той вероятно щеше да изобрети питагорейските панталони... Салтиков. Пъстри букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник има квадрат на хипотенузата... ... Голям тълковен и фразеологичен речник на Майкелсън (оригинален правопис)

Питагоровите панталони са равни във всички посоки- Хумористично доказателство на Питагоровата теорема; също и като виц за широките панталони на приятел... Речник на народната фразеология

Прил., грубо...

ПАНТАЛОНИТЕ НА ПИТАГОР СА ЕДНАКВИ ОТ ВСИЧКИ СТРАНИ (ЗНАЕ СЕ БРОЯ НА КОПЧЕТАТА. ЗАЩО Е СТЯГАН? / ЗА ДОКАЖЕТЕ ТОВА ТРЯБВА ДА ГО СВАЛИТЕ И ПОКАЖЕТЕ)- наречие, груб... Речниксъвременни разговорни фразеологични единици и поговорки

Съществително име, множествено число, използвано сравнявам често Морфология: мн. Какво? панталони, (не) какво? панталони, какво? панталони, (виж) какво? панталони, какво? панталони, какво ще кажеш? относно панталоните 1. Панталоните са облекло, което има два къси или дълги крачоли и покривала долна част… … Обяснителен речник на Дмитриев

Книги

Как е открита Земята, Сахарнов Святослав Владимирович. Как са пътували финикийците? На какви кораби са плавали викингите? Кой откри Америка и кой пръв обиколи света? Кой състави първия в света атлас на Антарктида и кой изобрети...
Чудеса на колела, Маркуша Анатолий. Милиони колела се въртят по цялата земя - колите се търкалят, измерват времето в часовници, тропат под влакове, изпълняват безброй задачи в машини и различни механизми. Те…

Известен Питагорова теорема - „в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите“- всеки го знае от училище.

Е, помниш ли "Питагорови панталони", който "равен във всички посоки"- схематичен чертеж, обясняващ теоремата на гръцкия учен.

Тук аИ b- крака и с- хипотенуза:

Сега ще ви разкажа за едно оригинално доказателство на тази теорема, за което може би не сте знаели...

Но първо нека разгледаме един лема- доказано твърдение, което е полезно не само по себе си, а за доказване на други твърдения (теореми).

Нека вземем правоъгълен триъгълник с върхове х, YИ З, Където З- прав ъгъл и пуснете перпендикуляра от прав ъгъл Зкъм хипотенузата. Тук У- точката, в която надморската височина пресича хипотенузата.

Тази линия (перпендикулярна) ZWразделя триъгълника на подобни негови копия.

Нека ви напомня, че подобни се наричат триъгълници, чиито ъгли са съответно равни, а страните на един триъгълник са пропорционални на подобните страни на друг триъгълник.

В нашия пример, получените триъгълници XWZИ YWZподобни един на друг и също подобни на оригиналния триъгълник XYZ.

Това не е трудно да се докаже.

Нека започнем с триъгълник XWZ, имайте предвид, че ∠XWZ = 90 и следователно ∠XZW = 180–90-∠X. Но 180–90-∠X - е точно това, което е ∠Y, така че триъгълник XWZ трябва да е подобен (всички ъгли равни) на триъгълник XYZ. Същото упражнение може да се направи за триъгълника YWZ.

Лемата е доказана! В правоъгълен триъгълник надморската височина (перпендикуляр), спусната към хипотенузата, разделя триъгълника на два подобни, които от своя страна са подобни на оригиналния триъгълник.

Но да се върнем към нашите „Питагорови панталони“...

Спуснете перпендикуляра към хипотенузата ° С. В резултат на това имаме два правоъгълни триъгълника вътре в нашия правоъгълен триъгълник. Нека обозначим тези триъгълници (на снимката по-горе зелено) букви АИ б, а оригиналният триъгълник е буква СЪС.

Разбира се, площта на триъгълника СЪСравна на сумата от площите на триъгълниците АИ б.

Тези. А+ б= СЪС

Сега нека разделим фигурата отгоре („Питагорови панталони“) на три фигури на къщи:

Както вече знаем от лемата, триъгълници А, бИ ° Сса подобни една на друга, следователно получените фигури на къщи също са подобни и са умалени версии една на друга.

Това означава, че съотношението площ АИ a², - това е същото като съотношението на площта бИ b²,и ° СИ c².

Така имаме A/a² = B/b² = C/c² .

Нека означим с буквата това съотношение на площите на триъгълник и квадрат във фигура на къща к.

Тези. к- това е определен коефициент, който свързва площта на триъгълника (покрива на къщата) с площта на квадрата под него:
k = A / a² = B / b² = C / c²

От това следва, че площите на триъгълниците могат да бъдат изразени чрез площите на квадратите под тях по следния начин:
A = ka², B = kb², И C = kc²

Но ние помним това A+B = C, което означава ka² + kb² = kc²

Или a² + b² = c²

И това е доказателство на Питагоровата теорема!

Описание на презентацията по отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

Ученически проект на средно училище MBOU Bondarskaya на тема: „Питагор и неговата теорема“ Изготвен от: Константин Ектов, ученик от 7А клас Ръководител: Надежда Ивановна Долотова, учител по математика, 2015 г.

2 слайд

Описание на слайда:

3 слайд

Описание на слайда:

Анотация. Геометрията е много интересна наука. Той съдържа много теореми, които не са подобни една на друга, но понякога са толкова необходими. Много се заинтересувах от Питагоровата теорема. За съжаление едно от най-важните твърдения научаваме едва в осми клас. Реших да повдигна завесата на тайната и да изследвам Питагоровата теорема.

4 слайд

Описание на слайда:

5 слайд

Описание на слайда:

6 слайд

Описание на слайда:

Цели: Изучаване на биографията на Питагор. Разгледайте историята и доказателството на теоремата. Разберете как теоремата се използва в изкуството. Намерете исторически задачи, в които се използва Питагоровата теорема. Запознайте се с отношението на децата от различни времена към тази теорема. Създайте проект.

7 слайд

Описание на слайда:

Напредък на изследването Биография на Питагор. Заповеди и афоризми на Питагор. Питагорова теорема. История на теоремата. Защо „Питагоровите панталони са еднакви във всички посоки“? Различни доказателства на Питагоровата теорема от други учени. Приложение на Питагоровата теорема. Изследване. Заключение.

8 слайд

Описание на слайда:

Питагор - кой е той? Питагор от Самос (580 - 500 г. пр. н. е.) древногръцки математик и философ идеалист. Роден на остров Самос. Получил добро образование. Според легендата Питагор, за да се запознае с мъдростта на източните учени, отишъл в Египет и живял там 22 години. След като усвоил добре всички египетски науки, включително математиката, той се преместил във Вавилон, където живял 12 години и се запознал с научните знания на вавилонските жреци. Традициите приписват на Питагор посещение в Индия. Това е много вероятно, тъй като Йония и Индия тогава са имали търговски отношения. Връщайки се в родината си (ок. 530 г. пр. н. е.), Питагор се опитва да организира своя собствена философска школа. По неизвестни причини обаче той скоро напуска Самос и се установява в Кротоне (гръцка колония в Северна Италия). Тук Питагор успява да организира своето училище, което работи почти тридесет години. Школата на Питагор, или както я наричат още, Питагорейският съюз, е едновременно философска школа и политическа партияи религиозно братство. Състоянието на питагорейския съюз беше много тежко. Във философските си възгледи Питагор е идеалист, защитник на интересите на робовладелската аристокрация. Може би това е причината за заминаването му от Самос, тъй като в Йония има много голямо влияниеимаше привърженици на демократичните възгледи. В социалните въпроси под „заповед“ питагорейците разбират господството на аристократите. Те осъждат древногръцката демокрация. Питагорейската философия е примитивен опит да се оправдае господството на аристокрацията на робовладелците. В края на 5в. пр.н.е д. Вълна от демократично движение заля Гърция и нейните колонии. Демокрацията победи в Кротоне. Питагор, заедно със своите ученици, напуска Кротон и заминава за Тарент, а след това за Метапонт. Пристигането на питагорейците в Метапонт съвпада с избухването на народно въстание там. В една от нощните схватки почти деветдесетгодишният Питагор загина. Училището му престава да съществува. Учениците на Питагор, бягайки от преследване, се заселили из Гърция и нейните колонии. Изкарвайки прехраната си, те организирали училища, в които преподавали предимно аритметика и геометрия. Информация за техните постижения се съдържа в трудовете на по-късни учени - Платон, Аристотел и др.

Слайд 9

Описание на слайда:

Заповеди и афоризми на Питагор Мисълта е преди всичко между хората на земята. Не сядайте на мярката за зърно (т.е. не живейте безделие). Когато си тръгвате, не поглеждайте назад (т.е. преди смъртта не се придържайте към живота). Не вървете по утъпкания път (тоест следвайте не мненията на тълпата, а мненията на малцината, които разбират). Не дръжте лястовици в къщата си (т.е. не приемайте гости, които са приказливи или несдържани в езика си). Бъдете с тези, които носят товара, не бъдете с тези, които изхвърлят товара (т.е. насърчавайте хората не към безделие, а към добродетел, към работа). В полето на живота, като сеяч, върви с равна и постоянна стъпка. Истинското отечество е там, където има добри нрави. Не бъди член на учено общество: най-мъдрите, когато образуват общество, стават обикновени хора. чест свещени числа, тегло и мярка, като деца на грациозно равенство. Измерете желанията си, претеглете мислите си, пребройте думите си. Не се учудвайте на нищо: боговете бяха изненадани.

10 слайд

Описание на слайда:

Изложение на теоремата. В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.

11 слайд

Описание на слайда:

Доказателство на теоремата. На този моментВ научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Разбира се, всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях са: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства.

12 слайд

Описание на слайда:

Доказателство на Питагоровата теорема Даден е правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c. Нека докажем, че c² = a² + b² Ще завършим триъгълника до квадрат със страна a + b. Площта S на този квадрат е (a + b)². От друга страна, квадратът е съставен от четири равни правоъгълни триъгълници, всяко от които S е равно на ½ a b, и квадрат със страна c. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Следователно (a + b)² = 2 a b + c², откъдето c² = a² + b² c c c c c a b

Слайд 13

Описание на слайда:

Историята на Питагоровата теорема Историята на Питагоровата теорема е интересна. Въпреки че тази теорема се свързва с името на Питагор, тя е била известна много преди него. Във вавилонските текстове тази теорема се появява 1200 години преди Питагор. Възможно е доказателствата му да не са били все още известни по това време, но връзката между хипотенузата и краката е установена емпиричновъз основа на измервания. Питагор очевидно е намерил доказателство за тази връзка. Запазена е древна легенда, че в чест на откритието си Питагор принесъл в жертва на боговете бик, а според други свидетелства дори сто бика. През следващите векове бяха намерени различни други доказателства на Питагоровата теорема. В момента има повече от сто от тях, но най-популярната теорема е изграждането на квадрат с помощта на даден правоъгълен триъгълник.

Слайд 14

Описание на слайда:

Теорема в Древен Китай„Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4.“

15 слайд

Описание на слайда:

Теорема в Древен ЕгипетКантор (най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 3² + 4² = 5² вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д., по времето на крал Аменемхет (според папирус 6619 на Берлинския музей). Според Кантор харпедонаптите или „теглечите на въжета“ изграждат прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

16 слайд

Описание на слайда:

За теоремата във Вавилония „Заслугата на първите гръцки математици, като Талес, Питагор и питагорейците, не е откриването на математиката, а нейното систематизиране и обосноваване. В техните ръце изчислителните рецепти, базирани на неясни идеи, са се превърнали в точна наука."

Слайд 17

Описание на слайда:

Защо „Питагоровите панталони са еднакви във всички посоки“? В продължение на две хилядолетия най-разпространеното доказателство на Питагоровата теорема е това на Евклид. То е поставено в известната му книга “Принципи”. Евклид свали височината CH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху страните. Чертежът, използван за доказване на тази теорема, се нарича шеговито „Питагорови панталони“. Дълго време се смяташе за един от символите на математическата наука.

18 слайд

Описание на слайда:

Отношението на древните деца към доказателството на Питагоровата теорема се смяташе за много трудно от учениците от Средновековието. Слабите ученици, които наизустяваха теоремите, без да ги разбират, и поради това бяха наречени „магарета“, не успяха да преодолеят Питагоровата теорема, която им послужи като непреодолим мост. Заради чертежите, придружаващи Питагоровата теорема, учениците я наричат още „ вятърна мелница”, съчинява стихотворения като „Питагоровите гащи са равни от всички страни”, рисува карикатури.

Слайд 19

Описание на слайда:

Доказателство на теоремата Най-простото доказателство на теоремата се получава в случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Всъщност достатъчно е просто да погледнете мозайката от равнобедрени правоъгълни триъгълници, за да се убедите във валидността на теоремата. Например за триъгълник ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 оригинални триъгълника, а квадратите, построени върху страните, съдържат два.

20 слайд

Описание на слайда:

„Стол на булката” На фигурата квадратите, построени върху краката, са разположени на стъпки, един до друг. Тази фигура, която се появява в доказателства, датиращи не по-късно от 9 век сл. Хр. д., индусите го нарекли „столът на булката“.

21 слайда

Описание на слайда:

Приложение на теоремата на Питагор В момента е общопризнато, че успехът на развитието на много области на науката и технологиите зависи от развитието на различни области на математиката. Важно условиеповишаването на ефективността на производството е широкото въвеждане на математически методи в технологията и Национална икономика, което включва създаването на нови, ефективни методикачество и количествени изследвания, които позволяват решаване на проблеми, поставени от практиката.

22 слайд

Описание на слайда:

Приложение на теоремата в строителството В готически и Романски стилгорните части на прозорците са разделени с каменни ребра, които не само играят ролята на орнамент, но и допринасят за здравината на прозорците.

Слайд 23

Описание на слайда:

24 слайд

Описание на слайда:

Исторически задачи За да закрепите мачтата, трябва да инсталирате 4 кабела. Единият край на всеки кабел трябва да бъде закрепен на височина 12 m, а другият на земята на разстояние 5 m от мачтата. Достатъчни ли са 50 м кабел за закрепване на мачтата?