Y je jednako korijenu od X. Funkcija moći i korijeni - definicija, svojstva i formule

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Kubni korijen. Svojstva kubnog korijena"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u internet prodavnici Integral za 9. razred
Obrazovni kompleks 1C: "Algebarski zadaci sa parametrima, 9-11 razredi" Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.0"

Definicija funkcije stepena - kubni korijen

Provjerimo jednakost: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Neka je $\sqrt((-x))=a$ i $\sqrt(x)=b$. Podignimo oba izraza na treći stepen. $–x=a^3$ i $x=b^3$. Tada $a^3=-b^3$ ili $a=-b$. Koristeći notaciju za korijene dobijamo željeni identitet.

Svojstva kubnih korijena

Dokažimo drugu osobinu. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Otkrili smo da je broj $\sqrt(\frac(a)(b))$ u kocki jednak $\frac(a)(b)$, a zatim jednak $\sqrt(\frac(a)(b))$ , što je i trebalo dokazati.

Ljudi, hajde da napravimo graf naše funkcije.
1) Domen definicije je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna, budući da je $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Zatim, razmotrite našu funkciju za $x≥0$, a zatim prikažite graf u odnosu na ishodište.
3) Funkcija se povećava kada je $x≥0$. Za našu funkciju, veća vrijednost argumenta odgovara veća vrijednost funkcije, što znači povećanje.
4) Funkcija nije ograničena odozgo. U stvari, od bilo kojeg veliki broj treći korijen se može izračunati, a možemo se kretati prema gore neograničeno, pronalazeći sve veće vrijednosti argumenta.
5) Za $x≥0$ najmanju vrijednost jednako 0. Ovo svojstvo je očigledno.
Napravimo graf funkcije po tačkama na x≥0.

Konstruirajmo naš graf funkcije u cijelom domenu definicije. Zapamtite da je naša funkcija čudna.

Svojstva funkcije:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Neparna funkcija.
3) Povećava se za (-∞;+∞).
4) Neograničeno.
5) Ne postoji minimalna ili maksimalna vrijednost.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konveksno nadole za (-∞;0), konveksno nagore za (0;+∞).

Primjeri rješavanja funkcija stepena

2. Konstruirajte graf funkcije. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Rješenje. Naš graf se dobija iz grafa funkcije $y=\sqrt(x)$, paralelni transfer dvije jedinice desno i tri jedinice dolje.

3. Grafikujte funkciju i pročitajte je. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Rješenje. Napravimo dva grafika funkcija na istoj koordinatnoj ravni, uzimajući u obzir naše uslove. Za $x≥-1$ gradimo graf kubnog korijena, za $x≤-1$ gradimo graf linearne funkcije.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija nije ni parna ni neparna.
3) Smanjuje se za (-∞;-1), povećava za (-1;+∞).
4) Neograničeno odozgo, ograničeno odozdo.
5) Ne postoji najveća vrijednost. Najmanja vrijednost je minus jedan.
6) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj.
7) E(y)= (-1;+∞).

Problemi koje treba riješiti samostalno

N-ti stepen pravi broj, primijetio je da se korijen bilo kojeg stepena (drugi, treći, četvrti, itd.) može izvući iz bilo kojeg nenegativnog broja, a korijen bilo kojeg neparnog stepena može se izvući iz negativnog broja. Ali onda biste trebali razmisliti o funkciji oblika, o njegovom grafu, o njegovim svojstvima. To je ono što ćemo uraditi u ovom paragrafu. Najprije razgovarajmo o funkciji u slučaju nenegativnih vrijednosti argument.

Počnimo sa poznatim slučajem kada je n = 2, tj. iz funkcije na sl. 166 prikazuje grafik funkcije i graf funkcije y = x 2, x>0. Oba grafikona predstavljaju istu krivu - granu parabole, samo različito smještenu na koordinatnoj ravni. Da pojasnimo: ovi grafovi su simetrični u odnosu na pravu liniju y = x, budući da se sastoje od tačaka koje su simetrične jedna drugoj u odnosu na zadanu pravu liniju. Pogledajte: na razmatranoj grani parabole y = x 2 nalaze se tačke (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), a na funkciji na grafu postoje tačke (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Tačke (2; 4) i (4; 2), (3; 9) i (9; 3), (4; 16) i (16; 4) su simetrične oko prave y = x, (i tačke (0 ; 0 ) i (1; 1) leže na ovoj pravoj). I općenito, za bilo koju tačku (a; a 2) na graf funkcije y = x 2 je tačka (a 2 ; a) simetrična njoj u odnosu na pravu liniju y = x na grafu funkcije i obrnuto. Sljedeća teorema je tačna.

Dokaz. Radi određenosti, pretpostavljamo da su a i b pozitivni brojevi. Razmotrimo trouglove OAM i OVR (Sl. 167). Oni su jednaki, što znači OP = OM i . Ali onda pošto je prava y = x simetrala ugla AOB. Dakle, trokut ROM je jednakokračan, OH je njegova simetrala, a time i osa simetrije. Tačke M i P su simetrične u odnosu na pravu liniju OH, što je i trebalo dokazati.
Dakle, graf funkcije se može dobiti iz grafa funkcije y = x 2, x>0 upotrebom simetrične transformacije oko prave linije y = x. Slično, graf funkcije se može dobiti iz grafa funkcije y = x 3, x> 0 upotrebom simetrične transformacije oko prave linije y = x; graf funkcije se može dobiti iz grafa funkcije pomoću transformacije simetrije oko prave linije y = x, itd. Podsjetimo se da graf funkcije po izgledu podsjeća na granu parabole. Što je n veća, to grana strmije juri nagore u intervalu i što se više približava osi x u blizini tačke x = 0 (sl. 168).

Formulirajmo opći zaključak: grafik funkcije je simetričan grafu funkcije u odnosu na pravu liniju y = x (slika 169).

Svojstva funkcije

1)
2) funkcija nije ni parna ni neparna;
3) povećava se za
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo;
5) nema najveći značaj;
6) kontinuirano;
7)

Obratite pažnju na jednu zanimljivu okolnost. Razmotrimo dvije funkcije, čiji su grafovi prikazani na Sl. 169: Upravo smo naveli sedam svojstava za prvu funkciju, ali druga funkcija ima apsolutno ista svojstva. Verbalni “portreti” dvoje razne funkcije su isti. Ali, da pojasnimo, oni su i dalje isti.

Matematičari nisu mogli podnijeti toliku nepravdu kada se različite funkcije s različitim grafovima verbalno opisuju na isti način, te uvode koncepte konveksnosti naviše i konveksnosti naniže. Graf funkcije je konveksan prema gore, dok je graf funkcije y = x n konveksan prema dolje.

Obično se kaže da je neprekidna funkcija konveksna nadole ako se povezivanjem bilo koje dve tačke njenog grafika sa pravim segmentom otkrije da odgovarajući deo grafika leži ispod nacrtanog segmenta (Sl. 170); neprekidna funkcija je konveksna prema gore ako se povezivanjem bilo koje dvije tačke njenog grafa sa pravim segmentom otkrije da odgovarajući dio grafa leži iznad nacrtanog segmenta (Sl. 171).

Svojstvo konveksnosti ćemo dalje uključiti u proceduru čitanja grafa. Zabilježimo to" (nastavljajući numeriranje ranije opisanih svojstava) za funkciju koja se razmatra:

8) funkcija je konveksna prema gore na zraku
U prethodnom poglavlju smo se upoznali sa još jednim svojstvom funkcije – diferencijabilnošću; vidjeli smo da je funkcija y = x n diferencijabilna u bilo kojoj tački, njen izvod je jednak nx n-1. Geometrijski, to znači da se u bilo kojoj tački na grafu funkcije y = x n na nju može povući tangenta. Graf funkcije također ima isto svojstvo: u bilo kojoj tački je moguće nacrtati tangentu na graf. Dakle, možemo uočiti još jedno svojstvo funkcije
9) funkcija je diferencibilna u bilo kojoj tački x > 0.
Napomena: ne govorimo o diferencijabilnosti funkcije u tački x = 0 - u ovoj tački tangenta na graf funkcije poklapa se sa y-osom, tj. okomito na x-osu.
Primjer 1. Grafikon funkcije
Rješenje. 1) Idemo dalje pomoćni sistem koordinate sa ishodištem u tački (-1; -4) - isprekidane linije x = -1 i y = -4 na Sl. 172.
2) “Vezi” funkciju za novi sistem koordinate Ovo će biti potreban raspored.
Primjer 2. Riješite jednačinu

Rješenje. Prvi način. 1) Hajde da uvedemo dvije funkcije
2) Nacrtajmo funkciju

3) Napravimo grafik linearne funkcije y=2-x (vidi sliku 173).

4) Konstruisani grafovi seku se u jednoj tački A, a iz grafika možemo pretpostaviti da su koordinate tačke A sledeće: (1; 1). Provjera pokazuje da zapravo tačka (1; 1) pripada i grafu funkcije i grafu funkcije y=2-x. To znači da naša jednadžba ima jedan korijen: x = 1 - apscisa tačke A.

Drugi način.
Geometrijski model predstavljen na sl. 173, jasno je ilustrovan sljedećom tvrdnjom, koja vam ponekad omogućava da vrlo elegantno riješite jednačinu (i koju smo već koristili u § 35 pri rješavanju primjera 2):

Ako se funkcija y=f(x) povećava, a funkcija y=g(x) smanjuje, i ako jednačina f(x)=g(x) ima korijen, onda postoji samo jedan.

Evo kako, na osnovu ove tvrdnje, možemo riješiti datu jednačinu:

1) primetite da za x = 1 važi jednakost, što znači da je x = 1 koren jednačine (pogodili smo ovaj koren);
2) funkcija y=2-x opada, a funkcija raste; To znači da data jednadžba ima samo jedan korijen, a taj korijen je vrijednost x = 1 koja se nalazi iznad.

Odgovori: x = 1.

Do sada smo govorili o funkciji samo za nenegativne vrijednosti argumenata. Ali ako je n neparan broj, izraz ima smisla i za x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

U stvari, samo jedna nekretnina će biti dodata navedenima:

ako je n neparan broj (n = 3,5, 7,...), onda je to neparna funkcija.

U stvari, neka takve transformacije budu istinite za neparan eksponent n. Dakle, f(-x) = -f(x), a to znači da je funkcija neparna.

Kako izgleda graf funkcije u slučaju neparnog eksponenta n? Kada je kao što je prikazano na sl. 169, je grana željenog grafa. Dodavanjem grane koja joj je simetrična u odnosu na ishodište koordinata (što je, podsjetimo, tipično za svaku neparnu funkciju), dobijamo graf funkcije (Sl. 174). Imajte na umu da je y-osa tangenta na graf na x = 0.
Pa da ponovimo ponovo:
ako je n paran broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 169;
ako je n neparan broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 174.

Primjer 3. Konstruirajte i pročitajte graf funkcije y = f(x), gdje je
Rješenje. Prvo, napravimo graf funkcije i označimo njen dio na zraku (Sl. 175).
Zatim ćemo konstruirati graf funkcije i odabrati njen dio na otvorenoj gredi (Sl. 176). Na kraju ćemo prikazati oba “komada” u istom koordinatnom sistemu - to će biti grafik funkcije y = f(x) (slika 177).
Hajde da navedemo (na osnovu nacrtanog grafika) svojstva funkcije y = f(x):

1)
2) ni paran ni neparan;
3) opada na zraku, raste na zraku
4) nije ograničeno odozdo, ograničeno odozgo;
5) ne postoji minimalna vrednost, a (postignuta u tački x = 1);
6) kontinuirano;
7)
8) konveksna na dole na , konveksna nagore na segmentu , konveksna na dole na
9) funkcija je svugdje diferencibilna osim za tačke x = 0 i x = 1.
10) graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, što znači, prisjetite se toga

Primjer 4. Pronađite domenu funkcije:

rješenje, a) Pod znakom korijena parnog stepena mora postojati nenegativan broj, što znači da se problem svodi na rješavanje nejednakosti
b) Bilo koji broj može biti pod znakom neparnog korijena, što znači da ovdje nema ograničenja na x, tj. D(f) = R.
c) Izraz ima smisla pod uslovom da izraz znači da dvije nejednakosti moraju biti zadovoljene istovremeno: one. problem se svodi na rješavanje sistema nejednakosti:

Rješavanje nejednakosti
Rešimo nejednačinu. Razložimo levu stranu nejednačine: Leva strana nejednačine prelazi u 0 u tačkama -4 i 4. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj (Sl. 178). Brojevna prava je podeljena označenim tačkama na tri intervala, a na svakom intervalu izraz p(x) = (4-x)(4 + x) zadržava konstantan predznak (znaci su prikazani na slici 178). Interval u kojem važi nejednakost p(x)>0 zasjenjen je na Sl. 178. Prema uslovima zadatka, interesuju nas i one tačke x u kojima važi jednakost p(x) = 0. Postoje dve takve tačke: x = -4, x = 4 - označene su na sl. . 178 tamnih krugova. Dakle, na sl. 178 predstavlja geometrijski model za rješavanje druge nejednakosti sistema.

Označimo pronađena rješenja prve i druge nejednačine sistema na istoj koordinatnoj liniji, koristeći gornji šraf za prvu i donji šraf za drugu (Sl. 179). Rješenje sistema nejednačina će biti presjek rješenja nejednakosti sistema, tj. interval u kojem se oba šrafura poklapaju. Takav jaz je segment [-1, 4].

Odgovori. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, Matematika u školi

Razmotrimo funkciju y=√x. Grafikon ove funkcije prikazan je na donjoj slici.

Grafikon funkcije y=√x

Kao što vidite, graf liči na rotiranu parabolu, odnosno jednu od njenih grana. Dobijamo granu parabole x=y^2. Sa slike se vidi da graf samo jednom dodiruje osu Oy, u tački sa koordinatama (0;0).
Sada je vrijedno napomenuti glavna svojstva ove funkcije.

Svojstva funkcije y=√x

1. Domen definicije funkcije je zraka)