Ako dodamo broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobićemo niz pozitivnih cijelih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negativni cijeli brojevi

Pogledajmo mali primjer. Na slici lijevo je termometar koji pokazuje temperaturu od 7°C. Ako temperatura padne za 4°, termometar će pokazati 3° toplote. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:

Ako temperatura padne za 7°, termometar će pokazati 0°. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:

Ako temperatura padne za 8°, termometar će pokazati -1° (1° ispod nule). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule.

Ilustrirajmo oduzimanje pomoću niza cijelih brojeva pozitivni brojevi:

1) Od broja 7 izbrojite 4 broja lijevo i dobijete 3:

2) Od broja 7 izbrojite 7 brojeva lijevo i dobijete 0:

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva od broja 7 lijevo u nizu pozitivnih cijelih brojeva. Da bi akcije 7 - 8 bile izvodljive, širimo raspon pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak - , što pokazuje da je ovaj broj lijevo od nule.

Unosi -1, -2, -3, ... čitaju minus 1, minus 2, minus 3, itd.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Rezultirajući niz brojeva se zove niz cijelih brojeva. Tačke lijevo i desno u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi prirodno ili pozitivni cijeli brojevi(ukratko - pozitivno).

Lijevo od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi cijeli broj negativan(ukratko - negativan).

Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan broj. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.

dakle, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nule i pozitivnih cijelih brojeva.

Integer Comparision

Usporedite dva cijela broja- znači saznati koji je veći, koji manji ili utvrditi da su brojevi jednaki.

Možete upoređivati ​​cijele brojeve koristeći red cijelih brojeva, jer su brojevi u njemu raspoređeni od najmanjeg do najvećeg ako se krećete duž reda slijeva nadesno. Stoga, u nizu cijelih brojeva, možete zamijeniti zareze znakom manje od:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

dakle, od dva cijela broja, veći je broj koji je desno u nizu, a manji je onaj koji je lijevo, znači:

1) Svaki pozitivan broj je veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:

1 > 0; 15 > -16

2) Bilo koji negativan broj manji od nule:

7 < 0; -357 < 0

3) Od dva negativna broja veći je onaj koji je desno u nizu cijelih brojeva.

Predmet

Vrsta lekcije

• proučavanje i primarno usvajanje novog gradiva

Ciljevi lekcije

Plan lekcije

1. Uvod.
2. Teorijski dio
3. Praktični dio.
4. Zadaća.
5. Pitanja

Uvod

da vidimo video kako naručiti negativne brojeve

Sada rasporedite negativne brojeve i dešifrirajte temu lekcije:

Odgovor: riječ “poređenje”.

Teorijski dio

Poređenje brojeva. Pravila

Kada upoređujete dva broja, prva stvar na koju morate obratiti pažnju su znakovi brojeva koji se porede. Broj sa minusom (negativnim) je uvijek manji od pozitivnog broja.

Ako oba broja koja se porede imaju predznak minus (negativan), onda moramo uporediti njihove apsolutne vrednosti, odnosno uporediti ih bez uzimanja u obzir predznaka minus. Broj čiji je modul veći je zapravo manji.

Na primjer -3 i -5. Brojevi koji se porede su negativni. To znači da upoređujemo njihove module 3 i 5. 5 je veće od 3, što znači da je -5 manje od -3.

Ako je jedan od brojeva koji se porede jednak nuli, tada će negativni broj biti manji od nule. (-3 < 0) A ima i više pozitivnog. (3 > 0)

Također možete upoređivati ​​brojeve koristeći horizontalnu koordinatnu liniju. Broj na lijevoj strani manji broj nalazi se desno. Također vrijedi obrnuto pravilo. Tačka sa većom koordinatom na koordinatnoj liniji nalazi se desno od tačke sa manjom koordinatom.

Na primjer, na slici je tačka E desno od tačke A i njena koordinata je veća. (5 > 1)

Integer Comparision

Poređenje apsolutnih vrijednosti (modula) brojeva

Nejednakosti sa modulom

Praktični dio

Upoređivanje brojeva na brojevnoj pravoj

Zadaci

1. Objasnite zašto:
-5 manje od -1,
-2 preko -16,
-25 manje od 3,
0 više – 9.

2. Uporedite:
brojevi su prikazani na koordinatnoj liniji: 0; A; V; With. uporedi:

1) a > 0; 2) u< 0; 3) 0 >With.
brojevi su prikazani na koordinatnoj liniji: 0; A; V; With. Uporedite ih:

1) a > b; 2) sa< а; 3) в < с.

3. Koja od nejednakosti je tačna?
Brojevi a i b su negativni; | a | > | u |.
a) a > b; b) a< в.

4. Uporedite module brojeva a i b.
Brojevi a i b su negativni; A< в.

5. Koja od nejednakosti je tačna?
a je pozitivan broj,
c je negativan broj.
a) a > b; b) a< в?

6. Uporedite:

Zadaća

1. Uporedite brojeve

2. Izračunajte

3. Rasporedite brojeve u rastućem redosledu

Pitanja

Šta pokazuje koordinate tačke na pravoj?
Koliki je modul broja c geometrijska tačka viziju?
Koliki je modul pozitivnog broja?
Koliki je modul negativnog broja?
Koliki je modul nule?
Može li modul bilo kojeg broja biti negativan broj?
Imenujte broj suprotan broj 5?
Koji je broj suprotan samom sebi?

Zaključak

Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja.

Od dva negativna broja manji je onaj čija je veličina veća.

Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja, ali manja od bilo kojeg pozitivnog broja.

Na horizontalnoj koordinatnoj liniji, tačka sa većom koordinatom leži desno od tačke sa manjom koordinatom.

Spisak korištenih izvora

1. Matematička enciklopedija (u 5 tomova). - M.: Sovjetska enciklopedija, 2002. - T. 1.
2. “Najnoviji školski priručnik” “KUĆA XXI vek” 2008.
3. Sažetak lekcije na temu „Upoređivanje brojeva“ Autor: Petrova V.P., nastavnik matematike (5-9. razred), Kijev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za srednju školu

Radili smo na lekciji
Pautinka A.V.
Petrova V.P.

Sastavila i uredila Pautinka A.V.

Postavite pitanje o savremeno obrazovanje, možete izraziti ideju ili riješiti hitan problem Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnom nivou. Nakon što je stvorio

Prvi nivo

Poređenje brojeva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina, kao i zadataka s modulima, potrebno je da nađene korijene postavite na brojevnu pravu. Kao što znate, pronađeni korijeni mogu biti različiti. Mogu biti ovako: , ili mogu biti ovako: , .

Shodno tome, ako brojevi nisu racionalni već iracionalni (ako ste zaboravili šta su, pogledajte u temi), ili su složeni matematički izrazi, onda je njihovo postavljanje na brojevnu pravu vrlo problematično. Štaviše, ne možete koristiti kalkulatore tokom ispita, a približne kalkulacije ne daju 100% garancije da je jedan broj manji od drugog (šta ako postoji razlika između brojeva koji se porede?).

Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih i da ako zamislimo brojevnu osu, onda kada upoređujemo, najveći brojevi nalaziće se desno od najmanjih: ; ; itd.

Ali da li je uvek sve tako lako? Gdje na brojevnoj liniji označavamo, .

Kako se mogu porediti, na primjer, s brojem? Ovo je problem...)

Prvo, hajde da razgovaramo generalni nacrt kako i šta porediti.

Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, tokom transformacija je nepoželjno množiti negativnim brojem i zabranjeno je kvadrat ako je jedan od dijelova negativan.

Poređenje razlomaka

Dakle, moramo uporediti dva razlomka: i.

Postoji nekoliko opcija kako to učiniti.

Opcija 1. Smanjite razlomke na zajednički imenilac.

Zapišimo to u obliku običnog razlomka:

- (kao što vidite, smanjio sam i brojilac i imenilac).

Sada treba da uporedimo razlomke:

Sada možemo nastaviti porediti na dva načina. Možemo:

1. samo dovedite sve do zajedničkog nazivnika, predstavljajući oba razlomka kao nepravilna (brojilac je veći od nazivnika):

   Koji je broj veći? Tako je, onaj sa većim brojicom, odnosno prvi.

2. "odbacimo" (uzmite u obzir da smo od svakog razlomka oduzeli jedan, a odnos razlomaka prema drugom se, prema tome, nije promijenio) i usporedite razlomke:

   Dovodimo ih i do zajedničkog nazivnika:

   Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog:

   Provjerimo i da li smo tačno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojiocu u prvom i drugom izračunu:
   1)
   2)

Dakle, pogledali smo kako da uporedimo razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Pređimo na drugu metodu - upoređivanje razlomaka, dovođenje do zajedničkog... brojioca.

Opcija 2. Poređenje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.

Da da. Ovo nije greška u kucanju. Ovu metodu rijetko ko uči u školi, ali je vrlo često vrlo zgodna. Da biste brzo shvatili njegovu suštinu, postaviću vam samo jedno pitanje - "u kojim slučajevima je vrijednost razlomka najveća?" Naravno, reći ćete „kada je brojilac što je moguće veći, a imenilac što manji“.

Na primjer, možete definitivno reći da je to istina? Šta ako trebamo uporediti sljedeće razlomke: ? Mislim da ćete i vi odmah ispravno staviti znak, jer su u prvom slučaju podijeljeni na dijelove, a u drugom na cijele, što znači da u drugom slučaju dijelovi ispadaju vrlo mali, pa prema tome: . Kao što vidite, nazivnici su ovde različiti, ali su brojnici isti. Međutim, da biste uporedili ova dva razlomka, ne morate tražiti zajednički nazivnik. Iako... pronađite ga i vidite da li je znak poređenja još uvijek pogrešan?

Ali znak je isti.

Vratimo se našem prvobitnom zadatku - uporedimo i... Uporedićemo i... Svodimo ove razlomke ne na zajednički nazivnik, već na zajednički brojnik. Za to jednostavno brojilac i imenilac pomnožite prvi razlomak sa. Dobijamo:

I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi.

Opcija 3: Upoređivanje razlomaka pomoću oduzimanja.

Kako porediti razlomke pomoću oduzimanja? Da, vrlo jednostavno. Od jednog razlomka oduzimamo drugi. Ako je rezultat pozitivan, tada je prvi razlomak (minuend) veći od drugog (subtrahend), a ako je negativan, onda je obrnuto.

U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: .

Kao što već razumijete, također pretvaramo u običan razlomak i dobivamo isti rezultat - . Naš izraz ima oblik:

Zatim ćemo i dalje morati pribjeći redukciji na zajednički nazivnik. Pitanje je: na prvi način pretvaranje razlomaka u nepravilne, ili na drugi način, kao da se „uklanja“ jedinica? Inače, ova akcija ima potpuno matematičko opravdanje. pogledajte:

Druga opcija mi se više sviđa, jer množenje u brojniku kada se svede na zajednički imenilac postaje mnogo lakše.

Hajde da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Ovdje je glavna stvar da se ne zbunite oko toga od kojeg broja smo oduzimali i gdje. Pažljivo pogledajte napredak rješenja i nemojte slučajno zbuniti znakove. Od drugog broja smo oduzeli prvi broj i dobili negativan odgovor, pa?.. Tako je, prvi broj je veći od drugog.

Jasno? Pokušajte uporediti razlomke:

Stani, stani. Nemojte žuriti da dovedete do zajedničkog nazivnika ili oduzmete. Pogledajte: možete ga lako pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će to trajati? U redu. Šta je više na kraju?

Ovo je još jedna opcija - poređenje razlomaka pretvaranjem u decimalu.

Opcija 4: Poređenje razlomaka pomoću dijeljenja.

Da da. I ovo je takođe moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo manjim, odgovor koji dobijemo je broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo većim brojem, onda odgovor pada na interval od do.

Da biste zapamtili ovo pravilo, uporedite bilo koja dva primarni brojevi, na primjer, i. Znate šta je više? Hajde sada da podelimo po. Naš odgovor je . Prema tome, teorija je tačna. Ako podijelimo sa, ono što dobijemo je manje od jedan, što zauzvrat potvrđuje da je zapravo manje.

Pokušajmo primijeniti ovo pravilo na obične frakcije. uporedimo:

Podijelite prvi razlomak drugim:

Skratimo malo malo.

Dobijeni rezultat je manji, što znači da je dividenda manja od djelitelja, odnosno:

Sve smo sredili moguće opcije upoređivanje razlomaka. Kako ih vidite 5:

• svođenje na zajednički imenilac;
• svođenje na zajednički brojnik;
• svođenje na oblik decimalnog razlomka;
• oduzimanje;
• divizije.

Spremni za trening? Uporedite razlomke na optimalan način:

Uporedimo odgovore:

1. (- pretvoriti u decimale)
2. (podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojnik i nazivnik)
3. (odaberite cijeli dio i uporedite razlomke na osnovu principa istog brojila)
4. (podijelite jedan razlomak drugim i smanjite brojicom i nazivnikom).

2. Poređenje stepena

Sada zamislite da ne trebamo upoređivati ​​samo brojeve, već i izraze gdje postoji stepen ().

Naravno, lako možete postaviti znak:

Uostalom, ako stepen zamijenimo množenjem, dobićemo:

Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo:

Sada pokušajte uporediti sljedeće: . Takođe možete jednostavno staviti znak:

Jer ako zamijenimo stepenovanje množenjem...

Općenito, sve razumiješ i uopće nije teško.

Poteškoće nastaju samo kada, kada se porede, stepeni imaju različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničkog. Na primjer:

Naravno, znate da ovaj, shodno tome, izraz poprima oblik:

Hajde da otvorimo zagrade i uporedimo šta smo dobili:

Donekle poseban slučaj je kada je baza stepena () manja od jedan.

Ako, onda od dva stepena i veći je onaj čiji je indeks manji.

Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude.

Hajde da predstavimo neke prirodni broj, poput razlike između i.

Logično, zar ne?

A sada još jednom obratimo pažnju na uslov - .

Odnosno: . Dakle, .

Na primjer:

Kao što ste shvatili, razmatrali smo slučaj kada su baze snaga jednake. Sada da vidimo kada je baza u intervalu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno.

Prisjetimo se kako to usporediti koristeći primjer:

Naravno, brzo ste izračunali:

Stoga, kada naiđete na slične probleme radi poređenja, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati i na osnovu ovog primjera zapisati znakove u složeniji.

Prilikom izvođenja transformacija, zapamtite da ako množite, dodajete, oduzimate ili dijelite, sve radnje moraju biti obavljene i lijevom i desnom desna strana(ako množite sa, onda morate pomnožiti oba).

Osim toga, postoje slučajevi kada je jednostavno neisplativo raditi bilo kakve manipulacije. Na primjer, trebate uporediti. U ovom slučaju nije tako teško podići na potenciju i rasporediti znak na osnovu ovoga:

Vježbajmo. Uporedite stepene:

Spremni za poređenje odgovora? Evo šta sam dobio:

1. - isto kao
2. - isto kao
3. - isto kao
4. - isto kao

3. Poređenje brojeva s korijenima

Prvo, prisjetimo se šta su korijeni? Sjećate li se ovog snimka?

Korijen potencije realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost.

Roots Ne čak stepen postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korenje- samo za pozitivne.

Vrijednost korijena je često beskonačna decimala, što otežava to tacna kalkulacija, pa je važno biti u mogućnosti uporediti korijene.

Ako ste zaboravili šta je i sa čime se jede - . Ako se svega sjećate, naučimo upoređivati ​​korijene korak po korak.

Recimo da treba da uporedimo:

Da biste uporedili ova dva korijena, ne morate raditi nikakve kalkulacije, samo analizirajte sam koncept "korijena". Razumijete li o čemu govorim? Da, o ovome: inače se može napisati kao treći stepen nekog broja, jednako radikalnom izrazu.

Šta više? ili? Naravno, ovo možete uporediti bez ikakvih poteškoća. Što veći broj podignemo na stepen, to će biti veća vrijednost.

Dakle. Hajde da izvedemo pravilo.

Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju je to), onda je potrebno uporediti radikalne izraze (i) - što je veći radikalni broj, to je više vrijednosti korijenje jednakim stopama.

Teško za pamćenje? Onda samo zadržite primjer u svojoj glavi i... To više?

Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Radikalni izraz jednog broja () veći je od drugog (), što znači da je pravilo zaista tačno.

Šta ako su radikalni izrazi isti, ali su stepeni korijena različiti? Na primjer: .

Takođe je sasvim jasno da će se prilikom vađenja korena većeg stepena dobiti manji broj. Uzmimo za primjer:

Označimo vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, tada:

Lako možete vidjeti da u ovim jednačinama mora biti više, dakle:

Ako su radikalni izrazi isti(u našem slučaju), a eksponenti korijena su različiti(u našem slučaju ovo je i), tada je potrebno uporediti eksponente(i) - što je indikator veći, to je ovaj izraz manji.

Pokušajte uporediti sljedeće korijene:

Hajde da uporedimo rezultate?

Ovo smo uspješno riješili :). Postavlja se još jedno pitanje: šta ako smo svi različiti? I stepen i radikalan izraz? Nije sve tako komplikovano, samo treba da se... “otarasimo” root-a. Da da. Samo ga se riješi)

Ako imamo različite stupnjeve i radikalne izraze, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (pročitati odjeljak o) za eksponente korijena i podići oba izraza na stepen jednak najmanjem zajedničkom višekratniku.

Da smo svi u rečima i rečima. Evo primjera:

1. Gledamo indikatore korijena - i. Njihov najmanji zajednički višekratnik je .
2. Podignimo oba izraza na stepen:
3. Transformirajmo izraz i otvorimo zagrade (više detalja u poglavlju):
4. Hajde da prebrojimo šta smo uradili i stavimo znak:

4. Poređenje logaritama

Tako smo polako ali sigurno došli do pitanja kako uporediti logaritme. Ako se ne sjećate kakva je ovo životinja, savjetujem vam da prvo pročitate teoriju iz odjeljka. Jeste li ga pročitali? Zatim odgovorite na nekoliko važnih pitanja:

1. Šta je argument logaritma i koja je njegova baza?
2. Što određuje da li se funkcija povećava ili smanjuje?

Ako se svega sećate i savršeno ste savladali, hajde da počnemo!

Da biste međusobno uporedili logaritme, morate znati samo 3 tehnike:

• svođenje na istu osnovu;
• svođenje na isti argument;
• poređenje sa trećim brojem.

U početku obratite pažnju na bazu logaritma. Sjećate li se da ako je manje, onda funkcija opada, a ako je više, onda se povećava. Na tome će se zasnivati ​​naše prosudbe.

Razmotrimo poređenje logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument.

Za početak, pojednostavimo problem: ubacimo upoređene logaritme jednake osnove. onda:

1. Funkcija, za, raste na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim (“direktno poređenje”).
2. primjer:- razlozi su isti, shodno tome upoređujemo argumente: , dakle:
3. Funkcija, at, opada na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim („obrnuto poređenje”). - baze su iste, u skladu s tim upoređujemo argumente: međutim, predznak logaritma će biti „obrnut“, budući da je funkcija opadajuća: .

Sada razmotrite slučajeve u kojima su razlozi različiti, ali su argumenti isti.

1. Baza je veća.
   • . U ovom slučaju koristimo „obrnuto poređenje“. Na primjer: - argumenti su isti, i. Uporedimo baze: međutim, predznak logaritama će biti "obrnut":
2. Osnova a je u procjepu.
   • . U ovom slučaju koristimo „direktno poređenje“. Na primjer:
   • . U ovom slučaju koristimo „obrnuto poređenje“. Na primjer:

Zapišimo sve u opštoj tabelarnoj formi:

Shodno tome, kao što ste već shvatili, kada upoređujemo logaritme, moramo dovesti do iste baze, odnosno argumenta.Do iste baze dolazimo koristeći formulu za prelazak sa jedne baze na drugu.

Možete i porediti logaritme sa trećim brojem i na osnovu toga izvući zaključak šta je manje, a šta više. Na primjer, razmislite o tome kako uporediti ova dva logaritma?

Mali nagovještaj - za poređenje, puno će vam pomoći logaritam, čiji će argument biti jednak.

Mislio? Hajde da odlučimo zajedno.

Lako možemo uporediti ova dva logaritma sa vama:

Ne znam kako? Vidi gore. Upravo smo ovo riješili. Koji znak će biti? desno:

Slažem se?

Hajde da uporedimo jedno sa drugim:

Trebali biste dobiti sljedeće:

Sada spojite sve naše zaključke u jedan. Desilo se?

5. Poređenje trigonometrijskih izraza.

Šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens? Čemu služi jedinični krug i kako pronaći vrijednost na njemu trigonometrijske funkcije? Ako ne znate odgovore na ova pitanja, toplo preporučujem da pročitate teoriju na ovu temu. A ako znate, onda vam upoređivanje trigonometrijskih izraza nije teško!

Osvježimo malo pamćenje. Nacrtajmo jedinični trigonometrijski krug i trokut upisan u njega. Jeste li uspjeli? Sada označite na kojoj strani crtamo kosinus, a na kojoj sinus, koristeći stranice trokuta. (naravno, zapamtite da je sinus omjer suprotne strane i hipotenuze, a kosinus susjedna stranica?). Jesi li ti nacrtao? Odlično! Završni dodir je da zapišemo gdje ćemo to imati, gdje i tako dalje. Jesi li ga spustio? Fuj) Hajde da uporedimo šta se desilo tebi i meni.

Phew! A sada krenimo sa poređenjem!

Recimo da treba da uporedimo i. Nacrtajte ove uglove koristeći upute u kutijama (gdje smo označili gdje), postavljajući tačke na jedinični krug. Jeste li uspjeli? Evo šta sam dobio.

Sada spustimo okomicu iz tačaka koje smo označili na kružnici na osu... Koju? Koja os pokazuje vrijednost sinusa? U redu, . Ovo bi trebalo da dobijete:

Gledajući ovu sliku, koja je veća: ili? Naravno, jer je poenta iznad tačke.

Na sličan način upoređujemo vrijednost kosinusa. Spuštamo samo okomicu na osu... Tako je, . Shodno tome, gledamo koja je točka desno (ili viša, kao u slučaju sinusa), tada je vrijednost veća.

Verovatno već znate kako da uporedite tangente, zar ne? Sve što treba da znate je šta je tangenta. Dakle, šta je tangenta?) Tako je, omjer sinusa i kosinusa.

Da bismo uporedili tangente, crtamo ugao na isti način kao u prethodnom slučaju. Recimo da treba da uporedimo:

Jesi li ti nacrtao? Sada također označavamo vrijednosti sinusa na koordinatnoj osi. Jeste li primijetili? Sada označite vrijednosti kosinusa na koordinatnoj liniji. Desilo se? uporedimo:

Sada analiziraj šta si napisao. - veliki segment dijelimo na mali. Odgovor će sadržavati vrijednost koja je definitivno veća od jedan. zar ne?

A kad malo podijelimo velikim. Odgovor će biti broj koji je tačno manji od jedan.

Dakle, koji trigonometrijski izraz ima veću vrijednost?

desno:

Kao što sada shvatate, poređenje kotangensa je ista stvar, samo obrnuto: gledamo kako se segmenti koji definišu kosinus i sinus odnose jedan prema drugom.

Pokušajte sami uporediti sljedeće trigonometrijske izraze:

Primjeri.

Odgovori.

POREĐENJE BROJEVA. PROSJEČAN NIVO.

Koji je broj veći: ili? Odgovor je očigledan. A sada: ili? Nije više tako očigledno, zar ne? Dakle: ili?

Često morate znati koji je numerički izraz veći. Na primjer, da bi se tačke na osi postavile ispravnim redoslijedom prilikom rješavanja nejednačine.

Sada ću vas naučiti kako da uporedite takve brojeve.

Ako trebate uporediti brojeve i, između njih stavljamo znak (dolazi iz latinska reč Versus ili skraćeno vs. - protiv): . Ovaj znak zamjenjuje nepoznati znak nejednakosti (). Zatim ćemo izvršiti identične transformacije dok ne postane jasno koji znak treba staviti između brojeva.

Suština poređenja brojeva je sledeća: tretiramo znak kao da je neka vrsta znaka nejednakosti. A sa izrazom možemo učiniti sve što obično radimo sa nejednačinama:

• dodajte bilo koji broj na obje strane (i, naravno, možemo i oduzeti)
• „pomeriti sve na jednu stranu“, odnosno oduzeti jedan od upoređenih izraza iz oba dela. Na mjestu oduzetog izraza ostat će: .
• pomnožite ili podijelite istim brojem. Ako je ovaj broj negativan, predznak nejednakosti je obrnut: .
• podići obje strane na istu snagu. Ako je ovaj stepen paran, morate se pobrinuti da obje strane imaju isti znak; ako su oba dijela pozitivna, znak se ne mijenja kada se podigne na stepen, ali ako su negativni, onda se mijenja u suprotno.
• izdvojiti korijen istog stepena iz oba dijela. Ako izvlačimo korijen parnog stepena, prvo moramo biti sigurni da oba izraza nisu negativna.
• bilo koje druge ekvivalentne transformacije.

Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, tokom transformacija je nepoželjno množiti negativnim brojem, a ne možete ga kvadrirati ako je jedan od dijelova negativan.

Pogledajmo nekoliko tipičnih situacija.

1. Eksponencijacija.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Budući da su obje strane nejednakosti pozitivne, možemo je kvadrirati da se riješimo korijena:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Ovdje ga također možemo kvadratirati, ali to će nam samo pomoći da ga se riješimo kvadratni korijen. Ovdje ga je potrebno podići do tog stepena da oba korijena nestanu. To znači da eksponent ovog stepena mora biti djeljiv i sa (stepen prvog korijena) i sa. Ovaj broj se, dakle, diže na stepen:

2. Množenje svojim konjugatom.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Pomnožimo i podijelimo svaku razliku konjugiranim zbrojem:

Očigledno je imenilac na desnoj strani veći od nazivnika na lijevoj strani. Dakle, desni razlomak je manji od lijevog:

3. Oduzimanje

Zapamtimo to.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Naravno, mogli bismo sve izjednačiti, pregrupirati i ponovo poravnati. Ali možete učiniti nešto pametnije:

Može se vidjeti da je na lijevoj strani svaki član manji od svakog člana na desnoj strani.

Prema tome, zbir svih članova na lijevoj strani manji je od zbira svih članova na desnoj strani.

Ali budite oprezni! Pitali su nas šta još...

Desna strana je veća.

Primjer.

Uporedite brojeve i...

Rješenje.

Prisjetimo se trigonometrijskih formula:

Provjerimo u kojim četvrtima trigonometrijskog kruga se nalaze tačke i leže.

4. Divizija.

Ovdje također koristimo jednostavno pravilo: .

Na ili, to jest.

Kada se znak promijeni: .

Primjer.

Uporedite: .

Rješenje.

5. Uporedite brojeve sa trećim brojem

Ako i, onda (zakon tranzitivnosti).

Primjer.

Uporedite.

Rješenje.

Hajde da uporedimo brojeve ne jedni s drugima, već sa brojem.

Očigledno je da.

Na drugoj strani, .

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Oba broja su veća, ali manja. Odaberimo broj takav da je veći od jednog, ali manji od drugog. Na primjer, . provjerimo:

6. Šta raditi s logaritmima?

Ništa posebno. Kako se riješiti logaritama detaljno je opisano u temi. Osnovna pravila su:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \klin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Također možemo dodati pravilo o logaritmima sa iz različitih razloga i isti argument:

To se može objasniti na ovaj način: što je baza veća, to će se morati podići na manji stepen da bi se dobila ista stvar. Ako je baza manja, onda je tačno suprotno, jer je odgovarajuća funkcija monotono opadajuća.

Primjer.

Uporedite brojeve: i.

Rješenje.

Prema gore navedenim pravilima:

A sada formula za napredne.

Pravilo za poređenje logaritama se može ukratko napisati:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Primjer.

Uporedite koji je broj veći: .

Rješenje.

POREĐENJE BROJEVA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Eksponencijacija

Ako su obje strane nejednakosti pozitivne, mogu se kvadrirati da se riješi korijena

2. Množenje svojim konjugatom

Konjugat je faktor koji nadopunjuje izraz formule razlike kvadrata: - konjugat za i obrnuto, jer .

3. Oduzimanje

4. Divizija

Kada ili to jeste

Kada se znak promeni:

5. Poređenje sa trećim brojem

Ako i tada

6. Poređenje logaritama

Osnovna pravila.

Upoređivanje brojeva je jedna od najlakših i najugodnijih tema na kursu matematike. Međutim, mora se reći da to nije tako jednostavno. Na primjer, malo ljudi ima poteškoća u poređenju jednocifrenih ili dvocifrenih pozitivnih brojeva.

Ali brojevi od veliki iznos znakovi već uzrokuju probleme, često se ljudi zbune kada upoređuju negativne brojeve i ne sjećaju se kako da uporede dva broja sa različiti znakovi. Pokušaćemo da odgovorimo na sva ova pitanja.

Pravila za poređenje pozitivnih brojeva

Počnimo s najjednostavnijim - brojevima koji nemaju predznak, odnosno pozitivnim brojevima.

• Prije svega, vrijedi zapamtiti da su svi pozitivni brojevi po definiciji veći od nule, čak i ako govorimo o razlomku bez cijelog broja. Na primjer, decimalni razlomak 0,2 bit će veći od nule, jer je na koordinatnoj liniji odgovarajuća tačka još uvijek dvije male podjele udaljena od nule.
• Ako govorimo o usporedbi dva pozitivna broja s velikim brojem znakova, onda trebate uporediti svaku od znamenki. Na primjer, 32 i 33. Mjesto desetice za ove brojeve je isto, ali je broj 33 veći, jer na mjestu jedinica ima više “3” nego “2”.
• Kako uporediti dva decimale? Ovdje morate prije svega pogledati cijeli dio - na primjer, razlomak 3,5 bit će manji od 4,6. Šta ako je cijeli dio isti, ali su decimalna mjesta različita? U ovom slučaju vrijedi pravilo za cijele brojeve - trebate upoređivati ​​znakove po ciframa dok se ne otkriju veće i manje desetine, stotinke, hiljaditi dionice. Na primjer - 4,86 ​​je veće od 4,75, jer je osam desetina veće od sedam.

Poređenje negativnih brojeva

Ako u zadatku imamo određene brojeve -a i -c, a trebamo odrediti koji je veći, koristimo univerzalno pravilo. Prvo se ispisuju moduli ovih brojeva - |a| i |s| - i uporedite jedni s drugima. Broj čiji je modul veći biće manji u odnosu na negativne brojeve, i obrnuto - veći će biti onaj čiji je modul manji.

Što učiniti ako trebate uporediti negativan i pozitivan broj?

Ovdje postoji samo jedno pravilo, i ono je elementarno. Pozitivni brojevi su uvijek veći od brojeva sa predznakom minus - bez obzira koji su. Na primjer, broj “1” će uvijek biti veći od broja “-1458” jednostavno zato što je jedan desno od nule na koordinatnoj liniji.

Također morate zapamtiti da je svaki negativan broj uvijek manji od nule.

§ 1 Poređenje pozitivnih brojeva

U ovoj lekciji ćemo razmotriti kako uporediti pozitivne brojeve i pogledati upoređivanje negativnih brojeva.

Počnimo sa zadatkom. Tokom dana temperatura vazduha bila je +7 stepeni, uveče je pala na +2 stepena, noću je bila -2 stepena, a ujutru je pala još do -7 stepeni. Kako se promijenila temperatura zraka?

Problem je u redukciji, tj. o smanjenju temperature. To znači da je u svakom slučaju konačna vrijednost temperature manja od početne, dakle 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Označimo brojeve 7, 2, -2, -7 na koordinatnoj liniji. Podsjetimo da se na koordinatnoj liniji veći pozitivni broj nalazi desno.

Pogledajmo negativne brojeve, broj -2 je dalje desno od -7, tj. za negativne brojeve na koordinatnoj liniji održava se isti redoslijed: kada se tačka pomiče udesno, njena koordinata se povećava, a kada se tačka pomiče ulijevo, njena koordinata se smanjuje.

Možemo zaključiti: Svaki pozitivan broj je veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja. 1 > 0; 12 > -2.5. Svaki negativan broj manji je od nule i manji od bilo kojeg pozitivnog broja. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Zgodno je upoređivati ​​racionalne brojeve (tj. sve cijele brojeve i razlomke) koristeći modul.

Pozitivni brojevi se nalaze na koordinatnoj liniji u rastućem redosledu od početka, što znači da što je broj dalje od početka, dužina odseka od nule do broja je veća, tj. njegov modul. Dakle, od dva pozitivna broja veći je onaj čija je veličina veća.

§ 2 Poređenje negativnih brojeva

Kada se porede dva negativna broja, veći će se nalaziti desno, odnosno bliže ishodištu. To znači da će njegov modul (dužina segmenta od nule do broja) biti manji. Dakle, od dva negativna broja veći je onaj sa manjim modulom.

Na primjer. Uporedimo brojeve -1 i -5. Tačka koja odgovara broju -1 nalazi se bliže ishodištu od tačke koja odgovara broju -5. To znači da je dužina segmenta od 0 do -1 ili modula broja -1 manja od dužine segmenta od 0 do -5 ili modula broja -5, što znači da je broj -1 je veći od broja -5.

Izvlačimo zaključke:

Kada se poredi racionalni brojevi obratite pažnju na:

Znakovi: negativan broj je uvijek manji od pozitivnog broja i nule;

Na lokaciji na koordinatnoj liniji: što dalje udesno, to više;

Za module: pozitivni brojevi imaju veći modul i veći broj, negativni brojevi imaju veći modul i manji broj.

Spisak korišćene literature:

1. Matematika 6. razred: planovi časova za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-sastavljač L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
4. Priručnik iz matematike - http://lyudmilanik.com.ua
5. Student's Guide to srednja škola http://shkolo.ru