Ποιο σημάδι δίνει συν στο συν. Γιατί το μείον φορές το μείον δίνει συν;

1) Γιατί το μείον ένα επί το μείον ένα ίσον συν ένα;
2) Γιατί το μείον ένα συν ένα ίσον μείον ένα;

«Ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου».

Ο ευκολότερος τρόπος να απαντήσετε είναι: «Επειδή αυτοί οι κανόνες δράσης έχουν τελειώσει αρνητικούς αριθμούς" Κανόνες που μαθαίνουμε στο σχολείο και εφαρμόζουμε σε όλη μας τη ζωή. Ωστόσο, τα σχολικά βιβλία δεν εξηγούν γιατί οι κανόνες είναι έτσι όπως είναι. Θα προσπαθήσουμε πρώτα να το καταλάβουμε αυτό με βάση την ιστορία της ανάπτυξης της αριθμητικής και στη συνέχεια θα απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα από τη σκοπιά των σύγχρονων μαθηματικών.

Πριν από πολύ καιρό, οι άνθρωποι γνώριζαν μόνο φυσικούς αριθμούς: 1, 2, 3, ... Χρησιμοποιούνταν για να μετράνε σκεύη, λάφυρα, εχθρούς κ.λπ. Αλλά οι ίδιοι οι αριθμοί είναι αρκετά άχρηστοι - πρέπει να μπορείτε να τους χειρίζεστε. Η πρόσθεση είναι σαφής και κατανοητή, και επιπλέον, το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι επίσης φυσικός αριθμός (ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι κλειστό με την πράξη της πρόσθεσης). Ο πολλαπλασιασμός είναι ουσιαστικά ίδιος με την πρόσθεση αν μιλάμε για φυσικούς αριθμούς. Στη ζωή, συχνά εκτελούμε ενέργειες που σχετίζονται με αυτές τις δύο πράξεις (για παράδειγμα, όταν ψωνίζουμε, προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε) και είναι περίεργο να πιστεύουμε ότι οι πρόγονοί μας τις αντιμετώπισαν λιγότερο συχνά - η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός κατακτήθηκαν από την ανθρωπότητα για πολύ καιρό πριν. Συχνά πρέπει να διαιρέσετε ορισμένες ποσότητες με άλλες, αλλά εδώ το αποτέλεσμα δεν εκφράζεται πάντα ως φυσικός αριθμός - έτσι εμφανίστηκαν οι κλασματικοί αριθμοί.

Αρνητικοί αριθμοί εμφανίζονται σε ινδικά έγγραφα από τον 7ο αιώνα μ.Χ. Οι Κινέζοι προφανώς άρχισαν να τα χρησιμοποιούν λίγο νωρίτερα. Χρησιμοποιήθηκαν για να λογιστικοποιήσουν χρέη ή σε ενδιάμεσους υπολογισμούς για να απλοποιήσουν τη λύση των εξισώσεων - ήταν απλώς ένα εργαλείο για τη λήψη θετικής απάντησης. Το γεγονός ότι οι αρνητικοί αριθμοί, σε αντίθεση με τους θετικούς αριθμούς, δεν εκφράζουν την παρουσία οποιασδήποτε οντότητας προκάλεσε έντονη δυσπιστία. Οι άνθρωποι κυριολεκτικά απέφευγαν τους αρνητικούς αριθμούς: αν ένα πρόβλημα είχε αρνητική απάντηση, πίστευαν ότι δεν υπήρχε καθόλου απάντηση. Αυτή η δυσπιστία παρέμεινε για πολύ καιρό, και ακόμη και ο Descartes - ένας από τους «ιδρυτές» των σύγχρονων μαθηματικών - τα αποκάλεσε «ψεύτικα» (τον 17ο αιώνα!).

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση 7x – 17 = 2x – 2. Μπορεί να λυθεί με αυτόν τον τρόπο: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο σε αριστερή πλευρά, και τα υπόλοιπα - προς τα δεξιά, θα λειτουργήσει 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Με αυτή τη λύση, δεν συναντήσαμε καν αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά ήταν δυνατό να το κάνουμε κατά λάθος διαφορετικά: να μετακινήσετε τους όρους με το άγνωστο σε σωστη πλευρακαι παρε 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να διαιρέσετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν άλλο: x = (–15)/(–5). Αλλά η σωστή απάντηση είναι γνωστή, και μένει να καταλήξουμε σε αυτό (–15)/(–5) = 3 .

Τι δείχνει αυτό το απλό παράδειγμα; Πρώτον, η λογική που καθόρισε τους κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς γίνεται σαφής: τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών πρέπει να ταιριάζουν με τις απαντήσεις που λαμβάνονται με άλλο τρόπο, χωρίς αρνητικούς αριθμούς. Δεύτερον, επιτρέποντας τη χρήση αρνητικών αριθμών, απαλλαγούμε από την κουραστική (αν η εξίσωση αποδειχθεί πιο περίπλοκη, με μεγάλο αριθμό όρων) αναζήτηση μιας λύσης στην οποία όλες οι ενέργειες εκτελούνται μόνο σε φυσικούς αριθμούς. Επιπλέον, μπορεί να μην σκεφτόμαστε πλέον κάθε φορά τη σημασία των μετασχηματισμένων μεγεθών - και αυτό είναι ήδη ένα βήμα προς τη μετατροπή των μαθηματικών σε αφηρημένη επιστήμη.

Οι κανόνες για τη λειτουργία με αρνητικούς αριθμούς δεν διαμορφώθηκαν αμέσως, αλλά έγιναν μια γενίκευση πολυάριθμων παραδειγμάτων που προέκυψαν κατά την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων. Γενικά, η ανάπτυξη των μαθηματικών μπορεί να χωριστεί σε στάδια: κάθε επόμενο στάδιο διαφέρει από το προηγούμενο από ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης κατά τη μελέτη αντικειμένων. Έτσι, τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι οι ακέραιοι και τα πολυώνυμα, παρά τις εξωτερικές διαφορές τους, έχουν πολλά κοινά: και τα δύο μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν. Αυτές οι πράξεις υπόκεινται στους ίδιους νόμους - τόσο στην περίπτωση των αριθμών όσο και στην περίπτωση των πολυωνύμων. Αλλά η διαίρεση ακεραίων μεταξύ τους έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι και πάλι ακέραιοι δεν είναι πάντα δυνατή. Το ίδιο συμβαίνει και με τα πολυώνυμα.

Στη συνέχεια ανακαλύφθηκαν και άλλα αδρανή μαθηματικά αντικείμενα, επί του οποίου μπορούν να γίνουν οι ακόλουθες λειτουργίες: επίσημο σειρά ισχύος, συνεχείς συναρτήσεις... Τελικά, έγινε κατανοητό ότι εάν μελετήσετε τις ιδιότητες των ίδιων των πράξεων, τότε τα αποτελέσματα μπορούν να εφαρμοστούν σε όλες αυτές τις συλλογές αντικειμένων (αυτή η προσέγγιση είναι χαρακτηριστική όλων των σύγχρονων μαθηματικών).

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε μια νέα ιδέα: δαχτυλίδι. Είναι απλώς ένα σύνολο στοιχείων συν ενέργειες που μπορούν να εκτελεστούν σε αυτά. Οι θεμελιώδεις κανόνες εδώ είναι οι κανόνες (ονομάζονται αξιώματα), στις οποίες υπόκεινται οι ενέργειες και όχι η φύση των στοιχείων του συνόλου (εδώ είναι, νέο επίπεδοαφαιρέσεις!). Θέλοντας να τονίσουμε ότι είναι η δομή που προκύπτει μετά την εισαγωγή των αξιωμάτων που είναι σημαντική, οι μαθηματικοί λένε: ένας δακτύλιος ακεραίων, ένας δακτύλιος πολυωνύμων κ.λπ. Ξεκινώντας από τα αξιώματα, μπορεί κανείς να συμπεράνει άλλες ιδιότητες των δακτυλίων.

Θα διατυπώσουμε τα αξιώματα του δακτυλίου (τα οποία, φυσικά, είναι παρόμοια με τους κανόνες λειτουργίας με ακέραιους αριθμούς), και στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι σε οποιονδήποτε δακτύλιο, πολλαπλασιάζοντας ένα μείον με ένα μείον προκύπτει ένα συν.

Δαχτυλίδιείναι ένα σύνολο με δύο δυαδικές πράξεις (δηλαδή, κάθε πράξη περιλαμβάνει δύο στοιχεία του δακτυλίου), τα οποία παραδοσιακά ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και τα ακόλουθα αξιώματα:

η προσθήκη στοιχείων του δακτυλίου υπόκειται σε αντικατάσταση ( Α + Β = Β + Αγια οποιαδήποτε στοιχεία ΕΝΑΚαι σι) και συνειρμική ( Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ) του νόμου; στον δακτύλιο υπάρχει ειδικό στοιχείο 0 (ουδέτερο στοιχείο με προσθήκη) τέτοιο ώστε Α+0=Α, και για οποιοδήποτε στοιχείο ΕΝΑυπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο (σημ (-ΕΝΑ)), Τι A + (–A) = 0 ;
Ο πολλαπλασιασμός υπακούει στον συνδυαστικό νόμο: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός σχετίζονται με τους ακόλουθους κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων: (Α + Β) Γ = Α Γ + Β ΓΚαι Α (Β + Γ) = Α Β + Α Γ .

Σημειώστε ότι οι δακτύλιοι, στην πιο γενική κατασκευή, δεν απαιτούν ούτε τη δυνατότητα μετατροπής του πολλαπλασιασμού, ούτε την αντιστρεψιμότητά του (δηλαδή, η διαίρεση δεν μπορεί πάντα να γίνει), ούτε την ύπαρξη μονάδας - ουδέτερου στοιχείου στον πολλαπλασιασμό. Αν εισαγάγουμε αυτά τα αξιώματα, θα έχουμε διαφορετικές αλγεβρικές δομές, αλλά σε αυτές όλα τα θεωρήματα που έχουν αποδειχθεί για τους δακτυλίους θα είναι αληθινά.

Τώρα το αποδεικνύουμε για οποιαδήποτε στοιχεία ΕΝΑΚαι σιενός αυθαίρετου δακτυλίου είναι αλήθεια, πρώτον, (–A) B = –(A B), και δεύτερον (–(–Α)) = Α. Οι δηλώσεις σχετικά με τις μονάδες προκύπτουν εύκολα από αυτό: (–1) 1 = –(1 1) = –1Και (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Για να γίνει αυτό θα χρειαστεί να αποδείξουμε ορισμένα στοιχεία. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι κάθε στοιχείο μπορεί να έχει μόνο ένα αντίθετο. Στην πραγματικότητα, αφήστε το στοιχείο ΕΝΑυπάρχουν δύο αντίθετα: σιΚαι ΜΕ. Αυτό είναι A + B = 0 = A + C. Ας αναλογιστούμε το ποσό Α+Β+Γ. Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς και μεταθετικούς νόμους και την ιδιότητα του μηδενός, προκύπτει ότι, αφενός, το άθροισμα είναι ίσο με σι: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, και από την άλλη, είναι ίσο ντο: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Που σημαίνει, B=C .

Ας το σημειώσουμε τώρα ΕΝΑ, Και (-(-ΕΝΑ))είναι αντίθετα του ίδιου στοιχείου (-ΕΝΑ), άρα πρέπει να είναι ίσοι.

Το πρώτο γεγονός έχει ως εξής: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, αυτό είναι (–Α)·Βαπεναντι απο Α·Β, που σημαίνει ότι είναι ίσο – (Α Β) .

Για να είμαστε μαθηματικά αυστηροί, ας εξηγήσουμε επίσης γιατί 0·B = 0για οποιοδήποτε στοιχείο σι. Πράγματι, 0·Β = (0 + 0) Β = 0·Β + 0·Β. Δηλαδή η προσθήκη 0·Βδεν αλλάζει το ποσό. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Και το ότι υπάρχει ακριβώς ένα μηδέν στο ρινγκ (άλλωστε τα αξιώματα λένε ότι υπάρχει τέτοιο στοιχείο, αλλά δεν λέγεται τίποτα για τη μοναδικότητά του!), θα το αφήσουμε στον αναγνώστη ως απλή άσκηση.

Απάντησε: Evgeniy Epifanov

Εμφάνιση σχολίων (37)

Σύμπτυξη σχολίων (37)

Καλή απάντηση. Αλλά για επίπεδο πρωτοετής λυκείου. Μου φαίνεται ότι μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά και ξεκάθαρα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του τύπου «απόσταση = ταχύτητα * χρόνος» (βαθμός 2).

Ας πούμε ότι περπατάμε στο δρόμο, ένα αυτοκίνητο μας προσπερνά και αρχίζει να απομακρύνεται. Ο χρόνος μεγαλώνει - και η απόσταση από αυτόν μεγαλώνει. Θα θεωρήσουμε ότι η ταχύτητα μιας τέτοιας μηχανής είναι θετική· μπορεί να είναι, για παράδειγμα, 10 μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Παρεμπιπτόντως, πόσα χιλιόμετρα την ώρα είναι αυτό; 10/1000(km)*60(sec)*60(min)= 10*3,6 = 36 km/h. Λίγο. Μάλλον ο δρόμος είναι κακός...

Όμως το αυτοκίνητο που έρχεται προς το μέρος μας δεν απομακρύνεται, αλλά πλησιάζει. Επομένως, είναι βολικό να θεωρήσουμε την ταχύτητά του αρνητική. Για παράδειγμα -10 m/sec. Η απόσταση μειώνεται: 30, 20, 10 μέτρα στο επερχόμενο αυτοκίνητο. Κάθε δευτερόλεπτο είναι μείον 10 μέτρα. Τώρα είναι σαφές γιατί η ταχύτητα είναι μείον; Πέταξε λοιπόν. Ποια είναι η απόσταση από αυτό σε ένα δευτερόλεπτο; Σωστά, -10 μέτρα, δηλ. «10 μέτρα πίσω».

Εδώ λάβαμε την πρώτη δήλωση. (-10 m/sec) * (1 sec) = -10 m.
Μείον (αρνητική ταχύτητα) σε συν ( θετικός χρόνος) έδωσε ένα μείον (αρνητική απόσταση, το αυτοκίνητο είναι πίσω μου).

Και τώρα προσοχή - μείον προς μείον. Πού ήταν το επερχόμενο αυτοκίνητο ένα δευτερόλεπτο ΠΡΙΝ περάσει; (-10 m/sec) * (- 1 sec) = 10 m.
Μείον (αρνητική ταχύτητα) σε μείον ( αρνητικός χρόνος) = συν (θετική απόσταση, το αυτοκίνητο ήταν 10 μέτρα μπροστά από τη μύτη μου).

Είναι ξεκάθαρο αυτό ή γνωρίζει κανείς ένα ακόμη πιο απλό παράδειγμα;

Απάντηση

Ναι, μπορεί να αποδειχθεί ευκολότερα! Το 5*2 σχεδιάζεται δύο φορές στην αριθμητική γραμμή, in θετική πλευρά, ο αριθμός είναι 5, και μετά παίρνουμε τον αριθμό 10. αν 2*(-5), τότε μετράμε δύο φορές σύμφωνα με τον αριθμό 5, αλλά προς την αρνητική κατεύθυνση, και παίρνουμε τον αριθμό (-10), τώρα αντιπροσωπεύουν 2*(-5) ως
2*5*(-1)=-10, η απάντηση ξαναγράφεται από τον προηγούμενο υπολογισμό και δεν προκύπτει σε αυτόν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να πούμε ότι όταν ένας αριθμός πολλαπλασιάζεται με (-1), υπάρχει αντιστροφή του αριθμητικού διπολικού άξονα, δηλ. αντιστροφή πολικότητας. Ό,τι βάζαμε στο θετικό μέρος έγινε αρνητικό και το αντίστροφο. Τώρα (-2)*(-5), το γράφουμε ως (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), αφήνοντας στην άκρη τον αριθμό (-10) και αλλάζοντας την πολικότητα του άξονα, γιατί . πολλαπλασιάζουμε με (-1), παίρνουμε +10, απλά δεν ξέρω αν βγήκε πιο εύκολο;

Απάντηση

Νομίζω οτι έχεις δίκιο. Θα προσπαθήσω απλώς να δείξω την άποψή σας πιο αναλυτικά, γιατί... Βλέπω ότι δεν το κατάλαβαν όλοι.
Μείον σημαίνει αφαιρώ. Εάν σας πήραν 5 μήλα μία φορά, τότε στο τέλος σας πήραν 5 μήλα, το οποίο συμβατικά υποδεικνύεται με ένα μείον, δηλ. – (+5). Μετά από όλα, πρέπει με κάποιο τρόπο να υποδείξετε τη δράση. Αν επιλέχθηκε 1 μήλο 5 φορές, τότε στο τέλος επιλέχθηκε το ίδιο: – (+5). Ταυτόχρονα, τα επιλεγμένα μήλα δεν έγιναν φανταστικά, γιατί Ο νόμος της διατήρησης της ύλης δεν έχει καταργηθεί. Τα θετικά μήλα πήγαιναν απλά σε όποιον τα έπαιρνε. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν φανταστικοί αριθμοί, υπάρχει σχετική κίνηση της ύλης με πρόσημο + ή -. Αλλά αν ναι, τότε ο συμβολισμός: (-5) * (+1) = -5 ή (+5) * (-1) = -5 δεν αντικατοπτρίζει με ακρίβεια την πραγματικότητα, αλλά την υποδηλώνει μόνο υπό όρους. Εφόσον δεν υπάρχουν φανταστικοί αριθμοί, ολόκληρο το γινόμενο είναι πάντα θετικό → «+» (5*1). Στη συνέχεια, το θετικό γινόμενο αρνείται, που σημαίνει αφαίρεση → "- +" (5*1). Εδώ το μείον δεν αντισταθμίζει το συν, αλλά το αναιρεί και παίρνει τη θέση του. Τότε στο τέλος παίρνουμε: -(5*1) = -(+5).
Για δύο πλην, μπορείτε να γράψετε: "- -" (5*1) = 5. Το σύμβολο "- -" σημαίνει "+", δηλ. απαλλοτρίωση των απαλλοτριωτών. Πρώτα σου πήραν τα μήλα και μετά τα πήρες από τον παραβάτη σου. Ως αποτέλεσμα, όλα τα μήλα παρέμειναν θετικά, αλλά η επιλογή δεν πραγματοποιήθηκε, επειδή έγινε μια κοινωνική επανάσταση.
Σε γενικές γραμμές, το γεγονός ότι η άρνηση της άρνησης εξαλείφει την άρνηση και όλα αυτά στα οποία αναφέρεται η άρνηση είναι ξεκάθαρο στα παιδιά και χωρίς εξήγηση, γιατί Είναι προφανές. Χρειάζεται μόνο να εξηγήσετε στα παιδιά τι έχουν μπερδέψει τεχνητά οι ενήλικες, τόσο πολύ που δεν μπορούν να το καταλάβουν οι ίδιοι. Και η σύγχυση έγκειται στο γεγονός ότι αντί να αναιρείται η δράση, εισήχθησαν αρνητικοί αριθμοί, δηλ. αρνητικό θέμα. Έτσι τα παιδιά μπερδεύονται γιατί, όταν προσθέτουν αρνητική ύλη, το άθροισμα αποδεικνύεται αρνητικό, κάτι που είναι πολύ λογικό: (-5) + (-3) = -8, και όταν πολλαπλασιάζουμε την ίδια αρνητική ύλη: (-5) * (-3) = 15 , ξαφνικά καταλήγει να είναι θετικό, κάτι που δεν είναι λογικό! Εξάλλου, με την αρνητική ύλη όλα θα πρέπει να συμβαίνουν όπως και με τη θετική ύλη, μόνο με διαφορετικό πρόσημο. Ως εκ τούτου, φαίνεται πιο λογικό στα παιδιά ότι όταν η αρνητική ύλη πολλαπλασιάζεται, είναι η αρνητική ύλη που πρέπει να πολλαπλασιάζεται.
Αλλά και εδώ δεν είναι όλα ομαλά, γιατί για να πολλαπλασιάσουμε την αρνητική ύλη, αρκεί μόνο ένας αριθμός να είναι αρνητικός. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας από τους παράγοντες, που υποδηλώνει όχι το υλικό περιεχόμενο, αλλά τους χρόνους επανάληψης του επιλεγμένου θέματος, είναι πάντα θετικός, διότι Οι χρόνοι δεν μπορούν να είναι αρνητικοί ακόμα και αν επαναληφθεί αρνητική (επιλεγμένη) ύλη. Επομένως, κατά τον πολλαπλασιασμό (διαίρεση), είναι πιο σωστό να τοποθετείτε πινακίδες μπροστά από ολόκληρο το γινόμενο (διαίρεση), το οποίο δείξαμε παραπάνω: "- +" (5*1) ή "- -" (5*1).
Και για να γίνει αντιληπτό το αρνητικό πρόσημο όχι ως σημάδι ενός φανταστικού αριθμού, δηλ. αρνητική ύλη, και ως ενέργεια, οι ενήλικες πρέπει πρώτα να συμφωνήσουν μεταξύ τους ότι αν το σύμβολο μείον βρίσκεται μπροστά από έναν αριθμό, τότε σημαίνει μια αρνητική ενέργεια με έναν αριθμό, ο οποίος είναι πάντα θετικός και όχι φανταστικός. Αν το μείον βρίσκεται μπροστά από άλλο πρόσημο, τότε σημαίνει αρνητική ενέργεια με το πρώτο πρόσημο, δηλ. το αλλάζει στο αντίθετο. Τότε όλα θα μπουν στη θέση τους φυσικά. Τότε πρέπει να το εξηγήσετε αυτό στα παιδιά και θα καταλάβουν και θα αφομοιώσουν τέλεια έναν τόσο κατανοητό κανόνα των ενηλίκων. Άλλωστε τώρα όλοι οι ενήλικες συμμετέχοντες στη συζήτηση προσπαθούν ουσιαστικά να εξηγήσουν το ανεξήγητο, γιατί... Δεν υπάρχει φυσική εξήγηση για αυτό το θέμα, είναι απλώς μια σύμβαση, ένας κανόνας. Αλλά η εξήγηση της αφαίρεσης με αφαίρεση είναι ταυτολογία.
Εάν το πρόσημο μείον αναιρεί έναν αριθμό, τότε είναι φυσική δράση, αλλά αν αρνηθεί την ίδια την ενέργεια, τότε αυτό είναι απλώς ένας κανόνας υπό όρους. Δηλαδή, οι ενήλικες απλώς συμφώνησαν ότι αν απορριφθεί η επιλογή, όπως στο υπό εξέταση θέμα, τότε δεν υπάρχει επιλογή, όσες φορές κι αν είναι! Ταυτόχρονα, ό,τι είχες παραμένει μαζί σου, είτε είναι απλώς ένας αριθμός, είτε είναι γινόμενο αριθμών, δηλ. πολλές απόπειρες επιλογής. Αυτό είναι όλο.
Αν κάποιος διαφωνεί, τότε ξανασκεφτείτε το ήρεμα. Εξάλλου, το παράδειγμα με τα αυτοκίνητα, στα οποία υπάρχει αρνητική ταχύτητα και αρνητικός χρόνος ένα δευτερόλεπτο πριν από τη συνάντηση, είναι απλώς ένας κανόνας υπό όρους που σχετίζεται με το σύστημα αναφοράς. Σε άλλο πλαίσιο αναφοράς, η ίδια ταχύτητα και ο ίδιος χρόνος θα γίνουν θετικοί. Και το παράδειγμα με τον υαλοπίνακα συνδέεται με τον κανόνα του παραμυθιού, στον οποίο ένα μείον που αντανακλάται σε έναν καθρέφτη μόνο υπό όρους, αλλά καθόλου φυσικά, γίνεται συν.

Απάντηση

Όλα φαίνονται ξεκάθαρα με τα μαθηματικά μειονεκτήματα. Αλλά στη γλώσσα, όταν τίθεται μια αρνητική ερώτηση, πώς την απαντάς; Για παράδειγμα, πάντα με μπερδεύει αυτή η ερώτηση: «Θέλεις λίγο τσάι;» Πώς μπορώ να απαντήσω σε αυτό αν θέλω τσάι; Φαίνεται ότι αν πείτε "Ναι", τότε δεν θα σας δώσουν τσάι (είναι σαν + και -), αν όχι, τότε θα πρέπει να σας δώσουν (- και -), και αν "Όχι, δεν θέλω ”???

Απάντηση

Για να απαντήσετε σε μια τόσο παιδική ερώτηση, πρέπει πρώτα να απαντήσετε σε μερικές ερωτήσεις ενηλίκων: "Τι είναι το μείον στα μαθηματικά;" και "Τι είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση;" Από όσο καταλαβαίνω, εδώ αρχίζουν τα προβλήματα, που τελικά οδηγούν σε δαχτυλίδια και άλλες βλακείες όταν απαντάς σε μια τόσο απλή παιδική ερώτηση.

Απάντηση

Η απάντηση σαφώς δεν είναι για τους απλούς μαθητές!
ΣΕ junior classesΔιάβασα ένα υπέροχο βιβλίο - αυτό για τον νανισμό και την Al-Jebra, και ίσως σε έναν μαθηματικό κύκλο έδωσαν ένα παράδειγμα - έβαλαν δύο άτομα με μήλα σε αντίθετες πλευρές ενός ίσου ζωδίου διαφορετικά χρώματακαι προσφέρθηκαν να δώσουν ο ένας στον άλλο μήλα. Στη συνέχεια τοποθετήθηκαν άλλα σημάδια μεταξύ των συμμετεχόντων στο παιχνίδι - συν, πλην, περισσότερα, λιγότερα.

Απάντηση

Παιδική απάντηση, ε;))
Μπορεί να ακούγεται σκληρό, αλλά ο ίδιος ο συγγραφέας δεν καταλαβαίνει γιατί ένα μείον στο μείον δίνει ένα συν :-)
Τα πάντα στον κόσμο μπορούν να εξηγηθούν οπτικά, γιατί οι αφαιρέσεις χρειάζονται μόνο για να εξηγήσουν τον κόσμο. Είναι δεμένοι με την πραγματικότητα και δεν ζουν μόνοι τους σε παραληρηματικά εγχειρίδια.
Αν και για μια εξήγηση πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον τη φυσική και μερικές φορές τη βιολογία, σε συνδυασμό με τα βασικά στοιχεία της ανθρώπινης νευροφυσιολογίας.

Ωστόσο, το πρώτο μέρος έδωσε ελπίδα κατανόησης και εξήγησε πολύ ξεκάθαρα την ανάγκη για αρνητικούς αριθμούς.
Αλλά ο δεύτερος παραδοσιακά γλίστρησε στη σχιζοφρένεια. Α και Β - αυτά πρέπει να είναι πραγματικά αντικείμενα! Γιατί λοιπόν να τους αποκαλείτε με αυτά τα γράμματα όταν μπορείτε να πάρετε, για παράδειγμα, καρβέλια ψωμί ή μήλα
Αν.. αν ήταν δυνατόν... ναι;))))))

Και... ακόμη και χρησιμοποιώντας τη σωστή βάσηαπό το πρώτο μέρος (ότι ο πολλαπλασιασμός είναι ίδιος με την πρόσθεση) - με τα πλην παίρνουμε μια αντίφαση))
-2 + -2 = -4
Αλλά
-2 * -2 =+4))))
και ακόμα κι αν θεωρήσουμε ότι αυτό είναι μείον δύο, ληφθεί μείον δύο φορές, θα αποδειχθεί
-2 -(-2) -(-2) = +2

Αξίζει απλώς να παραδεχτούμε ότι αφού οι αριθμοί είναι εικονικοί, τότε για σχετικά σωστή λογιστική έπρεπε να καταλήξουμε σε εικονικούς κανόνες.
Και αυτή θα ήταν η ΑΛΗΘΕΙΑ, και όχι ανοησίες.

Απάντηση

Στο παράδειγμά του, ο Academon έκανε ένα λάθος:
Στην πραγματικότητα, το (-2)+(-2) = (-4) είναι 2 φορές το (-2), δηλ. (-2) * 2 = (-4).
Όσο για τον πολλαπλασιασμό δύο αρνητικών αριθμών, χωρίς αντίφαση, αυτή είναι η ίδια πρόσθεση, μόνο στην άλλη πλευρά του "0" στην αριθμητική γραμμή. Και συγκεκριμένα:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Άρα όλα αθροίζονται.
Λοιπόν, όσον αφορά την πραγματικότητα των αρνητικών αριθμών, πώς σας φαίνεται αυτό το παράδειγμα;
Αν έχω, ας πούμε, 1000 $ στην τσέπη μου, η διάθεσή μου μπορεί να χαρακτηριστεί «θετική».
Αν $0, τότε η κατάσταση θα είναι "κανένα".
Τι γίνεται αν (-1000)$ είναι ένα χρέος που πρέπει να αποπληρωθεί, αλλά δεν υπάρχουν χρήματα...;

Απάντηση

Μείον για μείον - θα υπάρχει πάντα ένα συν,
Γιατί συμβαίνει αυτό, δεν μπορώ να πω.

Γιατί -να-=+ με μπέρδεψε πίσω στο σχολείο, στην 7η τάξη (1961). Προσπάθησα να καταλήξω σε μια άλλη, πιο «δίκαιη» άλγεβρα, όπου +na+=+ και -na-=-. Μου φάνηκε ότι θα ήταν πιο ειλικρινές. Αλλά τι να κάνουμε τότε με +na- και -na+; Δεν ήθελα να χάσω την ανταλλαξιμότητα του xy=yx, αλλά δεν υπάρχει άλλος τρόπος.
Τι γίνεται αν δεν πάρετε 2 σύμβολα αλλά τρία, για παράδειγμα +, - και *. Ίσο και συμμετρικό.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ
(+α)+(-α),(+α)+(*α),(*α)+(-α) μην αθροίζονται(!), όπως τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη ενός μιγαδικού αριθμού.
Αλλά για αυτό (+a)+(-a)+(*a)=0.

Για παράδειγμα, με τι ισούται το (+6)+(-4)+(*2);

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Δεν είναι εύκολο, αλλά μπορείς να το συνηθίσεις.

Τώρα ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ.
Ας υποθέσουμε:
+na+=+ -na-=- *na*=* (δίκαιο;)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (δίκαιο!)
Φαίνεται ότι όλα είναι καλά, αλλά ο πολλαπλασιασμός δεν είναι συνειρμικός, δηλ.
Το a(bc) δεν είναι ίσο με το (ab)c.

Και αν ναι
+on+=+ -on-=* *on*=-
+να-=-να+=- +να*=*να+=* -να*=*να-=+
Και πάλι άδικο, + ξεχώρισε ως ξεχωριστό. ΟΜΩΣ ΜΙΑ ΝΕΑ ΑΛΓΕΒΡΑ με τρία ζώδια γεννήθηκε. Ανταλλαγή, συνειρμική και διανεμητική. Έχει γεωμετρική ερμηνεία. Είναι ισόμορφος προς μιγαδικούς αριθμούς. Μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω: τέσσερις χαρακτήρες, πέντε...
Αυτό δεν έχει ξαναγίνει. Πάρτε το, άνθρωποι, χρησιμοποιήστε το.

Απάντηση

Η ερώτηση ενός παιδιού είναι γενικά η απάντηση ενός παιδιού.
Υπάρχει ο κόσμος μας, όπου τα πάντα είναι «συν»: μήλα, παιχνίδια, γάτες και σκύλοι, είναι αληθινά. Μπορείς να φας ένα μήλο, μπορείς να χαϊδέψεις μια γάτα. Και υπάρχει επίσης ένας φανταστικός κόσμος, ένα βλέμμα. Υπάρχουν επίσης μήλα και παιχνίδια εκεί, μέσα από το γυαλί, μπορούμε να τα φανταστούμε, αλλά δεν μπορούμε να τα αγγίξουμε - είναι φτιαγμένα. Μπορούμε να πάμε από τον έναν κόσμο στον άλλο χρησιμοποιώντας το σύμβολο μείον. Αν έχουμε δύο αληθινά μήλα (2 μήλα) και βάλουμε αρνητικό (-2 μήλα), θα πάρουμε δύο φανταστικά μήλα στο γυαλί. Το σύμβολο μείον μας μεταφέρει από τον έναν κόσμο στον άλλον, πέρα δώθε. Δεν υπάρχουν μήλα καθρέφτη στον κόσμο μας. Μπορούμε να φανταστούμε ένα ολόκληρο μάτσο από αυτά, ακόμη και ένα εκατομμύριο (μείον ένα εκατομμύριο μήλα). Αλλά δεν θα μπορείτε να τα φάτε, γιατί δεν έχουμε μείον μήλα, όλα τα μήλα στα καταστήματά μας είναι συν μήλα.
Πολλαπλασιάζω σημαίνει τακτοποιώ κάποια αντικείμενα με τη μορφή ορθογωνίου. Ας πάρουμε δύο τελείες ":" και τις πολλαπλασιάσουμε επί τρεις, παίρνουμε: ": : :" - έξι τελείες συνολικά. Μπορείτε να πάρετε ένα πραγματικό μήλο (+I) και να το πολλαπλασιάσετε επί τρία, παίρνουμε: "+YAYA" - τρία πραγματικά μήλα.
Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε το μήλο με μείον τρία. Θα πάρουμε πάλι τρία μήλα "+YAYA", αλλά το σύμβολο μείον θα μας οδηγήσει στον υαλοπίνακα και θα έχουμε τρία μήλα ματιού (μείον τρία μήλα -YAYA).
Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε μείον μήλο (-I) με μείον τρία. Δηλαδή, παίρνουμε ένα μήλο, και αν υπάρχει μείον μπροστά του, το μεταφέρουμε στον υαλοπίνακα. Εκεί το πολλαπλασιάζουμε επί τρία. Τώρα έχουμε τρία γυάλινα μήλα! Υπάρχει όμως ένα ακόμη μειονέκτημα. Θα μεταφέρει τα ληφθέντα μήλα πίσω στον κόσμο μας. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρεις πραγματικές νόστιμα μήλα+YAYA που μπορεί να καταβροχθιστεί.

Απάντηση

Όλα είναι καλά μέχρι τελευταίο βήμα. Όταν πολλαπλασιαζόμαστε με μείον ένα από τα τρία μήλα καθρέφτη, πρέπει να αντικατοπτρίζουμε αυτά τα μήλα σε έναν άλλο καθρέφτη. Η θέση τους θα συμπίπτει με τα αληθινά, αλλά θα είναι τόσο φανταστικά όσο τα πρώτα καθρέφτη και εξίσου μη βρώσιμα. Δηλαδή (-1)*(-1)= --1<> 1.
Στην πραγματικότητα, με μπερδεύει ένα άλλο σημείο που σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό των αρνητικών αριθμών, δηλαδή:
Αληθεύει η ισότητα:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Αυτή η ερώτηση προέκυψε από μια προσπάθεια κατανόησης της συμπεριφοράς της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x^n, όπου x και n είναι πραγματικοί αριθμοί.
Αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα βρίσκεται πάντα στο 1ο και 3ο τέταρτο, εκτός από εκείνες τις περιπτώσεις που το n είναι άρτιο. Σε αυτήν την περίπτωση, αλλάζει μόνο η καμπυλότητα του γραφήματος. Αλλά η ισοτιμία n είναι μια σχετική τιμή, επειδή μπορούμε να πάρουμε ένα άλλο σύστημα αναφοράς, στο οποίο n = 1,1*k, τότε παίρνουμε
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
και η ισοτιμία εδώ θα είναι διαφορετική...
Και επιπλέον, προτείνω να προσθέσουμε στο όρισμα τι συμβαίνει στο γράφημα της συνάρτησης y = x^(1/n). Υποθέτω, όχι χωρίς λόγο, ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης πρέπει να είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της y = x^n σε σχέση με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x.

Απάντηση

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να εξηγήσετε τον κανόνα "μείον για μείον δίνει συν." Εδώ είναι ο απλούστερος. Πολλαπλασιασμός με φυσικά. ο αριθμός n είναι το τέντωμα του τμήματος (που βρίσκεται στον αριθμητικό άξονα) n φορές. Ο πολλαπλασιασμός με -1 είναι μια αντανάκλαση του τμήματος σε σχέση με την αρχή. Ως μια συντομότερη εξήγηση του γιατί (-1)*(-1) = +1, αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη.Το σημείο συμφόρησης αυτής της προσέγγισης είναι ότι είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί χωριστά το άθροισμα τέτοιων τελεστών.

Απάντηση

Μπορείτε να πάτε όταν εξηγείτε από μιγαδικούς αριθμούς
ως γενικότερη μορφή αναπαράστασης αριθμών
Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού
Ο τύπος του Euler
Το πρόσημο σε αυτή την περίπτωση είναι απλώς ένα όρισμα (γωνία περιστροφής)
Κατά τον πολλαπλασιασμό, προστίθενται γωνίες
0 μοίρες αντιστοιχεί σε +
Οι 180 μοίρες αντιστοιχούν σε -
Ο πολλαπλασιασμός - με - ισοδυναμεί με 180+180=360=0

Απάντηση

Θα λειτουργήσει αυτό;

Οι αρνήσεις είναι το αντίθετο. Για λόγους απλότητας, για να απομακρυνθούμε προσωρινά από τα μειονεκτήματα, θα αντικαταστήσουμε τις δηλώσεις και θα κάνουμε το σημείο εκκίνησης μεγαλύτερο. Ας αρχίσουμε να μετράμε όχι από το μηδέν, αλλά από το 1000.

Ας υποθέσουμε ότι δύο άτομα μου χρωστάνε δύο ρούβλια: 2_άνθρωποι*2_ρούβλια=4_ρούβλια μου χρωστάνε συνολικά. (το υπόλοιπό μου είναι 1004)

Τώρα τα αντίστροφα (αρνητικοί αριθμοί, αλλά αντίστροφες/θετικές προτάσεις):

μείον 2 άτομα = σημαίνει ότι δεν μου χρωστάνε, αλλά χρωστάω (χρωστάω περισσότερους ανθρώπους από ό,τι μου χρωστάνε). Για παράδειγμα, χρωστάω 10 άτομα, αλλά χρωστάω μόνο 8. Οι αμοιβαίοι διακανονισμοί μπορούν να μειωθούν και να μην ληφθούν υπόψη, αλλά μπορείτε να έχετε υπόψη σας εάν είναι πιο βολικό να συνεργαστείτε θετικούς αριθμούς. Δηλαδή όλοι δίνουν λεφτά ο ένας στον άλλον.

μείον 2 ρούβλια = παρόμοια αρχή - πρέπει να πάρετε περισσότερα από όσα δίνετε. Οπότε χρωστάω σε όλους δύο ρούβλια.

-(2_άτομα)*2_rubles=I_ow_2_to each_=-4 από εμένα. Το υπόλοιπό μου είναι 996 ρούβλια.

2_άτομα*(-2_ρούβλια) = two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 από εμένα. Το υπόλοιπό μου είναι 996 ρούβλια.

-(2_άτομα)*(-2_ρούβλια) = όλοι_πρέπει_να_πάρουν_από_εμένα_λιγότερο_από_όσο_πρέπει_δίνουν_από_2_ρούβλια

Γενικά, αν φανταστείτε ότι όλα περιστρέφονται όχι γύρω από το 0, αλλά γύρω από, για παράδειγμα, το 1000, και δίνουν χρήματα σε 10 βήματα, αφαιρώντας 8 σταδιακά. Τότε μπορείτε να εκτελέσετε με συνέπεια όλες τις λειτουργίες του να δώσετε σε κάποιον χρήματα ή αφαιρώντας το και καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι εάν τα δύο επιπλέον (θα μειώσουμε τα υπόλοιπα με αμοιβαία αντιστάθμιση) θα μου πάρουν δύο ρούβλια λιγότερα από αυτά που θα επιστρέψουν, τότε η ευημερία μου θα αυξηθεί κατά ένα θετικό αριθμό 4.

Απάντηση

Αναζητώντας μια ΑΠΛΗ (κατανοητή από ένα παιδί) απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε ("Γιατί το μείον στο μείον δίνει ένα συν"), διάβασα προσεκτικά τόσο το άρθρο που πρότεινε ο συγγραφέας όσο και όλα τα σχόλια. Θεωρώ ότι η πιο επιτυχημένη απάντηση είναι αυτή που περιλαμβάνεται στο επίγραμμα: «Ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου». Πολύ πιο ξεκάθαρο! Απλό και λαμπερό!

Ένας ταξιδιώτης φτάνει σε ένα νησί, για τους κατοίκους του οποίου γνωρίζει μόνο ένα πράγμα: άλλοι λένε μόνο την αλήθεια, άλλοι μόνο ψέματα. Εξωτερικά είναι αδύνατο να τα ξεχωρίσεις. Ο ταξιδιώτης προσγειώνεται στην ακτή και βλέπει το δρόμο. Θέλει να μάθει αν αυτός ο δρόμος οδηγεί στην πόλη. Βλέποντας έναν κάτοικο της περιοχής στο δρόμο, του κάνει ΜΟΝΟ ΜΙΑ ερώτηση, επιτρέποντάς του να ανακαλύψει ότι ο δρόμος οδηγεί στην πόλη. Πώς το ρώτησε αυτό;

Η λύση είναι τρεις γραμμές παρακάτω (απλώς για να σταματήσετε και να σας δώσουμε στους ενήλικες την ευκαιρία να σταματήσουν και να σκεφτούν αυτό υπέροχο έργο!) Ο εγγονός μου της τρίτης δημοτικού βρήκε το πρόβλημα πολύ δύσκολο γι 'αυτόν ακόμα, αλλά η κατανόηση της απάντησης, χωρίς αμφιβολία, τον έφερε πιο κοντά στην κατανόηση των μελλοντικών μαθηματικών περιπλοκών όπως "μείον φορές το μείον δίνει συν".

Η απάντηση λοιπόν είναι:

«Αν σε ρωτούσα αν αυτός ο δρόμος οδηγεί στην πόλη, τι θα μου έλεγες;»

Η «αλγεβρική» εξήγηση δεν μπορούσε να κλονίσει ούτε τη διακαή αγάπη μου για τον πατέρα μου ούτε τον βαθύ σεβασμό μου για την επιστήμη του. Αλλά μισούσα για πάντα την αξιωματική μέθοδο με τους ακίνητους ορισμούς της.

Είναι ενδιαφέρον ότι αυτή η απάντηση του I.V. Arnold στην ερώτηση ενός παιδιού συνέπεσε πρακτικά με τη δημοσίευση του βιβλίου του «Αρνητικοί αριθμοί σε ένα μάθημα άλγεβρας». Εκεί (στο Κεφάλαιο 7) δίνεται μια εντελώς διαφορετική απάντηση, κατά τη γνώμη μου, πολύ σαφής. Το βιβλίο είναι διαθέσιμο στο σε ηλεκτρονική μορφή http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Απάντηση

Εάν υπάρχει ένα παράδοξο, πρέπει να αναζητήσετε λάθη στα θεμελιώδη. Υπάρχουν τρία λάθη στη διατύπωση του πολλαπλασιασμού. Από εδώ προέρχεται το «παράδοξο». Απλά πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Ο πολλαπλασιασμός προσθέτει (ή αφαιρεί από) το μηδέν ξανά και ξανά.

Ο πολλαπλασιαστής (4) δείχνει τον αριθμό των πράξεων πρόσθεσης ή αφαίρεσης (τον αριθμό των συμβόλων μείον ή συν όταν αποσυντίθεται ο πολλαπλασιασμός σε πρόσθεση).

Τα πρόσημα μείον και συν για τον πολλαπλασιαστή (4) υποδεικνύουν είτε την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή από το μηδέν είτε την προσθήκη του πολλαπλασιαστή στο μηδέν.

Σε αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα, το (-4) υποδεικνύει ότι πρέπει να αφαιρέσετε το ("-") από το μηδέν τον πολλαπλασιαστή (-3) τέσσερις φορές (4).

Διορθώστε τη διατύπωση (τρία λογικά λάθη). Απλά προσθέστε ένα μηδέν. Οι κανόνες της αριθμητικής δεν θα αλλάξουν εξαιτίας αυτού.

Περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό το θέμα εδώ:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Ποια είναι αυτή η συνήθεια να πιστεύεις μηχανικά τα σχολικά βιβλία; Πρέπει επίσης να έχετε το δικό σας μυαλό. Ειδικά αν υπάρχουν παράδοξα, τυφλά σημεία, εμφανείς αντιφάσεις. Όλα αυτά είναι συνέπεια λαθών στη θεωρία.

Είναι αδύνατο να αποσυντεθεί το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών σε όρους, σύμφωνα με την τρέχουσα διατύπωση πολλαπλασιασμού (χωρίς μηδέν). Αυτό δεν ενοχλεί κανέναν;

Τι είδους διατύπωση πολλαπλασιασμού είναι αυτή που καθιστά αδύνατη την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού; :)

Το πρόβλημα είναι και καθαρά ψυχολογικό. Τυφλή εμπιστοσύνη στις αρχές, απροθυμία να σκεφτείτε μόνοι σας. Αν το λένε τα σχολικά βιβλία, αν το διδάσκουν στο σχολείο, τότε αυτή είναι η απόλυτη αλήθεια. Όλα αλλάζουν, συμπεριλαμβανομένης της επιστήμης. Διαφορετικά δεν θα υπήρχε ανάπτυξη πολιτισμού.

Διορθώστε τη διατύπωση του πολλαπλασιασμού σε όλα τα σχολικά βιβλία! Οι κανόνες της αριθμητικής δεν θα αλλάξουν εξαιτίας αυτού.

Επιπλέον, όπως προκύπτει από το άρθρο που συνδέεται παραπάνω, η διορθωμένη διατύπωση πολλαπλασιασμού θα είναι παρόμοια με τη διατύπωση της αύξησης ενός αριθμού σε δύναμη. Και εκεί, επίσης, δεν σημειώνουν τη μονάδα όταν ανεβαίνουν σε θετική ισχύ. Ωστόσο, ένα γράφεται όταν ανεβάζετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη.

Κύριοι μαθηματικοί, μάνα σας, πρέπει πάντα να γράφετε μηδέν και ένα, ακόμα κι αν το αποτέλεσμα δεν αλλάξει λόγω της απουσίας τους.

Η σημασία των συντομευμένων καταχωρήσεων αλλάζει (ή ακόμα και εξαφανίζεται). Και οι μαθητές έχουν προβλήματα με την κατανόηση.

Απάντηση

Γράψε ένα σχόλιο

1) Γιατί το μείον ένα επί το μείον ένα ίσον συν ένα;

2) Γιατί το μείον ένα συν ένα ίσον μείον ένα;

Ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου

Η πιο εύκολη απάντηση είναι: «Επειδή αυτοί είναι οι κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς». Κανόνες που μαθαίνουμε στο σχολείο και εφαρμόζουμε σε όλη μας τη ζωή. Ωστόσο, τα σχολικά βιβλία δεν εξηγούν γιατί οι κανόνες είναι έτσι όπως είναι. Θα προσπαθήσουμε πρώτα να το καταλάβουμε αυτό με βάση την ιστορία της ανάπτυξης της αριθμητικής και στη συνέχεια θα απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα από τη σκοπιά των σύγχρονων μαθηματικών.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση 7x – 17 = 2x – 2. Μπορεί να λυθεί με αυτόν τον τρόπο: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τα υπόλοιπα προς τα δεξιά, θα αποδειχθεί 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Με αυτή τη λύση, δεν συναντήσαμε καν αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά ήταν δυνατό να το κάνουμε κατά λάθος διαφορετικά: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στη δεξιά πλευρά και πάρτε 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να διαιρέσετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν άλλο: x = (–15)/(–5). Αλλά η σωστή απάντηση είναι γνωστή, και μένει να καταλήξουμε σε αυτό (–15)/(–5) = 3 .

Τι δείχνει αυτό το απλό παράδειγμα; Πρώτον, η λογική που καθόρισε τους κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς γίνεται σαφής: τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών πρέπει να ταιριάζουν με τις απαντήσεις που λαμβάνονται με άλλο τρόπο, χωρίς αρνητικούς αριθμούς. Δεύτερον, επιτρέποντας τη χρήση αρνητικών αριθμών, απαλλαγούμε από την κουραστική (αν η εξίσωση αποδειχθεί πιο περίπλοκη, με μεγάλο αριθμό όρων) αναζήτησης λύσης στην οποία όλες οι ενέργειες εκτελούνται μόνο σε φυσικούς αριθμούς. Επιπλέον, μπορεί να μην σκεφτόμαστε πλέον κάθε φορά τη σημασία των μετασχηματισμένων μεγεθών - και αυτό είναι ήδη ένα βήμα προς τη μετατροπή των μαθηματικών σε αφηρημένη επιστήμη.

Στη συνέχεια, ανακαλύφθηκαν άλλα σύνολα μαθηματικών αντικειμένων στα οποία μπορούσαν να εκτελεστούν τέτοιες πράξεις: τυπικές σειρές ισχύος, συνεχείς συναρτήσεις... Τελικά, έγινε κατανοητό ότι εάν μελετήσετε τις ιδιότητες των ίδιων των πράξεων, τότε τα αποτελέσματα μπορούν να εφαρμοστούν σε όλες αυτά τα σύνολα αντικειμένων (αυτή η προσέγγιση είναι χαρακτηριστική για όλα τα σύγχρονα μαθηματικά).

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε μια νέα ιδέα: δαχτυλίδι. Είναι απλώς ένα σύνολο στοιχείων συν ενέργειες που μπορούν να εκτελεστούν σε αυτά. Οι θεμελιώδεις κανόνες εδώ είναι οι κανόνες (ονομάζονται αξιώματα), οι οποίες υπόκεινται σε ενέργειες, και όχι στη φύση των στοιχείων του συνόλου (εδώ είναι, ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης!). Θέλοντας να τονίσουμε ότι είναι η δομή που προκύπτει μετά την εισαγωγή των αξιωμάτων που είναι σημαντική, οι μαθηματικοί λένε: ένας δακτύλιος ακεραίων, ένας δακτύλιος πολυωνύμων κ.λπ. Ξεκινώντας από τα αξιώματα, μπορεί κανείς να συμπεράνει άλλες ιδιότητες των δακτυλίων.

η προσθήκη στοιχείων του δακτυλίου υπόκειται σε αντικατάσταση ( Α + Β = Β + Αγια οποιαδήποτε στοιχεία ΕΝΑΚαι σι) και συνειρμική ( Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ) του νόμου; υπάρχει ένα ιδιαίτερο στοιχείο στο δαχτυλίδι 0 (ουδέτερο στοιχείο προσθήκης) τέτοιο ώστε Α+0=Α, και για οποιοδήποτε στοιχείο ΕΝΑυπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο (σημ (-ΕΝΑ)), Τι A + (–A) = 0;
Ο πολλαπλασιασμός υπακούει στον συνδυαστικό νόμο: A·(B·C) = (A·B)·C;
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός σχετίζονται με τους ακόλουθους κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων: (Α + Β) Γ = Α Γ + Β ΓΚαι Α (Β + Γ) = Α Β + Α Γ.

Για να γίνει αυτό θα χρειαστεί να αποδείξουμε ορισμένα στοιχεία. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι κάθε στοιχείο μπορεί να έχει μόνο ένα αντίθετο. Στην πραγματικότητα, αφήστε το στοιχείο ΕΝΑυπάρχουν δύο αντίθετα: σιΚαι ΜΕ. Αυτό είναι A + B = 0 = A + C. Ας αναλογιστούμε το ποσό Α+Β+Γ. Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς και μεταθετικούς νόμους και την ιδιότητα του μηδενός, προκύπτει ότι, αφενός, το άθροισμα είναι ίσο με B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, και από την άλλη, είναι ίσο C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Που σημαίνει, B=C.

1) Γιατί το μείον ένα επί το μείον ένα ίσον συν ένα;
2) Γιατί το μείον ένα συν ένα ίσον μείον ένα;

«Ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου».

Αρνητικοί αριθμοί εμφανίζονται σε ινδικά έγγραφα από τον 7ο αιώνα μ.Χ. Οι Κινέζοι προφανώς άρχισαν να τα χρησιμοποιούν λίγο νωρίτερα. Χρησιμοποιήθηκαν για να λογιστικοποιήσουν χρέη ή σε ενδιάμεσους υπολογισμούς για να απλοποιήσουν τη λύση των εξισώσεων - ήταν απλώς ένα εργαλείο για τη λήψη θετικής απάντησης. Το γεγονός ότι οι αρνητικοί αριθμοί, σε αντίθεση με τους θετικούς αριθμούς, δεν εκφράζουν την παρουσία οποιασδήποτε οντότητας προκάλεσε έντονη δυσπιστία. Οι άνθρωποι κυριολεκτικά απέφευγαν τους αρνητικούς αριθμούς: αν ένα πρόβλημα είχε αρνητική απάντηση, πίστευαν ότι δεν υπήρχε καθόλου απάντηση. Αυτή η δυσπιστία παρέμεινε για πολύ καιρό, και ακόμη και ο Descartes, ένας από τους «ιδρυτές» των σύγχρονων μαθηματικών, τα αποκάλεσε «ψεύτικα» (τον 17ο αιώνα!).

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση 7x - 17 = 2x - 2. Μπορεί να λυθεί με αυτόν τον τρόπο: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τα υπόλοιπα προς τα δεξιά, θα αποδειχθεί 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Με αυτή τη λύση, δεν συναντήσαμε καν αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά ήταν δυνατό να το κάνουμε κατά λάθος διαφορετικά: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στη δεξιά πλευρά και πάρτε 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να διαιρέσετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν άλλο: x = (-15)/(-5). Αλλά η σωστή απάντηση είναι γνωστή, και μένει να καταλήξουμε σε αυτό (-15)/(-5) = 3 .

Τι δείχνει αυτό το απλό παράδειγμα; Πρώτον, η λογική που καθόρισε τους κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς γίνεται σαφής: τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών πρέπει να ταιριάζουν με τις απαντήσεις που λαμβάνονται με άλλο τρόπο, χωρίς αρνητικούς αριθμούς. Δεύτερον, επιτρέποντας τη χρήση αρνητικών αριθμών, απαλλαγούμε από την κουραστική (αν η εξίσωση αποδειχθεί πιο περίπλοκη, με μεγάλο αριθμό όρων) αναζήτησης λύσης στην οποία όλες οι ενέργειες εκτελούνται μόνο σε φυσικούς αριθμούς. Επιπλέον, μπορεί να μην σκεφτόμαστε πλέον κάθε φορά τη σημασία των μετασχηματισμένων μεγεθών - και αυτό είναι ήδη ένα βήμα προς τη μετατροπή των μαθηματικών σε αφηρημένη επιστήμη.

Οι κανόνες για τη λειτουργία με αρνητικούς αριθμούς δεν διαμορφώθηκαν αμέσως, αλλά έγιναν μια γενίκευση πολυάριθμων παραδειγμάτων που προέκυψαν κατά την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων. Γενικά, η ανάπτυξη των μαθηματικών μπορεί να χωριστεί σε στάδια: κάθε επόμενο στάδιο διαφέρει από το προηγούμενο από ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης κατά τη μελέτη αντικειμένων. Έτσι, τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι οι ακέραιοι και τα πολυώνυμα, παρά τις εξωτερικές διαφορές τους, έχουν πολλά κοινά: και τα δύο μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν. Αυτές οι πράξεις υπακούουν στους ίδιους νόμους - τόσο στην περίπτωση των αριθμών όσο και στην περίπτωση των πολυωνύμων. Αλλά η διαίρεση ακεραίων μεταξύ τους έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι και πάλι ακέραιοι δεν είναι πάντα δυνατή. Το ίδιο συμβαίνει και με τα πολυώνυμα.

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε μια νέα ιδέα: δαχτυλίδι. Είναι απλώς ένα σύνολο στοιχείων συν ενέργειες που μπορούν να εκτελεστούν σε αυτά. Οι θεμελιώδεις κανόνες εδώ είναι οι κανόνες (ονομάζονται αξιώματα), οι οποίες υπόκεινται σε ενέργειες, και όχι στη φύση των στοιχείων του συνόλου (εδώ είναι, ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης!). Θέλοντας να τονίσουμε ότι είναι η δομή που προκύπτει μετά την εισαγωγή των αξιωμάτων που είναι σημαντική, οι μαθηματικοί λένε: ένας δακτύλιος ακεραίων, ένας δακτύλιος πολυωνύμων κ.λπ. Ξεκινώντας από τα αξιώματα, μπορεί κανείς να συμπεράνει άλλες ιδιότητες των δακτυλίων.

η προσθήκη στοιχείων του δακτυλίου υπόκειται σε αντικατάσταση ( Α + Β = Β + Αγια οποιαδήποτε στοιχεία ΕΝΑΚαι σι) και συνειρμική ( Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ) του νόμου; στον δακτύλιο υπάρχει ειδικό στοιχείο 0 (ουδέτερο στοιχείο με προσθήκη) τέτοιο ώστε Α+0=Α, και για οποιοδήποτε στοιχείο ΕΝΑυπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο (σημ (-ΕΝΑ)), Τι A + (-A) = 0 ;
Ο πολλαπλασιασμός υπακούει στον συνδυαστικό νόμο: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός σχετίζονται με τους ακόλουθους κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων: (Α + Β) Γ = Α Γ + Β ΓΚαι Α (Β + Γ) = Α Β + Α Γ .

Τώρα το αποδεικνύουμε για οποιαδήποτε στοιχεία ΕΝΑΚαι σιενός αυθαίρετου δακτυλίου είναι αλήθεια, πρώτον, (-A) B = -(A B), και δεύτερον (-(-Α)) = Α. Οι δηλώσεις σχετικά με τις μονάδες προκύπτουν εύκολα από αυτό: (-1) 1 = -(1 1) = -1Και (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .

Το πρώτο γεγονός έχει ως εξής: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, αυτό είναι (-Α)·Βαπεναντι απο Α·Β, που σημαίνει ότι είναι ίσο -(Α Β) .

Evgeny Epifanov, Earth (Sol III).

«Ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου»

Γιατί το μείον ένα επί το μείον ένα ίσον συν ένα; Γιατί το μείον ένα συν ένα ίσον μείον ένα; Η πιο εύκολη απάντηση είναι: «Επειδή αυτοί είναι οι κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς». Κανόνες που μαθαίνουμε στο σχολείο και εφαρμόζουμε σε όλη μας τη ζωή. Ωστόσο, τα σχολικά βιβλία δεν εξηγούν γιατί οι κανόνες είναι έτσι όπως είναι. Θα προσπαθήσουμε πρώτα να το καταλάβουμε αυτό με βάση την ιστορία της ανάπτυξης της αριθμητικής και στη συνέχεια θα απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα από τη σκοπιά των σύγχρονων μαθηματικών.

Πριν από πολύ καιρό, οι άνθρωποι γνώριζαν μόνο φυσικούς αριθμούς: Χρησιμοποιούνταν για να μετράνε σκεύη, λάφυρα, εχθρούς κ.λπ. Αλλά οι ίδιοι οι αριθμοί είναι αρκετά άχρηστοι - πρέπει να μπορείτε να τους χειρίζεστε. Η πρόσθεση είναι σαφής και κατανοητή, και επιπλέον, το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι επίσης φυσικός αριθμός (ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι κλειστό με την πράξη της πρόσθεσης). Ο πολλαπλασιασμός είναι ουσιαστικά ίδιος με την πρόσθεση αν μιλάμε για φυσικούς αριθμούς. Στη ζωή, συχνά εκτελούμε ενέργειες που σχετίζονται με αυτές τις δύο πράξεις (για παράδειγμα, όταν ψωνίζουμε, προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε) και είναι περίεργο να πιστεύουμε ότι οι πρόγονοί μας τις αντιμετώπισαν λιγότερο συχνά - η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός κατακτήθηκαν από την ανθρωπότητα για πολύ καιρό πριν. Συχνά πρέπει να διαιρέσετε ορισμένες ποσότητες με άλλες, αλλά εδώ το αποτέλεσμα δεν εκφράζεται πάντα ως φυσικός αριθμός - έτσι εμφανίστηκαν οι κλασματικοί αριθμοί.

Ας εξετάσουμε την εξίσωση ως παράδειγμα. Μπορεί να λυθεί με αυτόν τον τρόπο: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τα υπόλοιπα προς τα δεξιά, αποδεικνύεται , , . Με αυτή τη λύση, δεν συναντήσαμε καν αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά ήταν δυνατό να γίνει κατά λάθος διαφορετικά: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στη δεξιά πλευρά και λάβετε , . Για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να διαιρέσετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν άλλο: . Αλλά η σωστή απάντηση είναι γνωστή, και μένει να συμπεράνουμε ότι .

Τι δείχνει αυτό το απλό παράδειγμα; Πρώτον, η λογική που καθόρισε τους κανόνες για ενέργειες σε αρνητικούς αριθμούς γίνεται σαφής: τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών πρέπει να συμπίπτουν με τις απαντήσεις που λαμβάνονται με διαφορετικό τρόπο, χωρίς αρνητικούς αριθμούς. Δεύτερον, επιτρέποντας τη χρήση αρνητικών αριθμών, απαλλαγούμε από την κουραστική (αν η εξίσωση αποδειχθεί πιο περίπλοκη, με μεγάλο αριθμό όρων) αναζήτησης λύσης στην οποία όλες οι ενέργειες εκτελούνται μόνο σε φυσικούς αριθμούς. Επιπλέον, μπορεί να μην σκεφτόμαστε πλέον κάθε φορά τη σημασία των μετασχηματισμένων μεγεθών - και αυτό είναι ήδη ένα βήμα προς τη μετατροπή των μαθηματικών σε αφηρημένη επιστήμη.

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε μια νέα ιδέα: το δαχτυλίδι. Είναι απλώς ένα σύνολο στοιχείων συν ενέργειες που μπορούν να εκτελεστούν σε αυτά. Οι θεμελιώδεις εδώ είναι ακριβώς οι κανόνες (ονομάζονται αξιώματα) στους οποίους υπόκεινται οι ενέργειες και όχι η φύση των στοιχείων του συνόλου (εδώ είναι, ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης!). Θέλοντας να τονίσουμε ότι είναι η δομή που προκύπτει μετά την εισαγωγή των αξιωμάτων που είναι σημαντική, οι μαθηματικοί λένε: ένας δακτύλιος ακεραίων, ένας δακτύλιος πολυωνύμων κ.λπ. Ξεκινώντας από τα αξιώματα, μπορεί κανείς να συμπεράνει άλλες ιδιότητες των δακτυλίων.

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο με δύο δυαδικές πράξεις (δηλαδή, κάθε πράξη περιλαμβάνει δύο στοιχεία του δακτυλίου), τα οποία παραδοσιακά ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και τα ακόλουθα αξιώματα:

Τώρα ας αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε στοιχεία και έναν αυθαίρετο δακτύλιο ισχύει, πρώτον, και δεύτερον, . Δηλώσεις σχετικά με τις μονάδες προκύπτουν εύκολα από αυτό: και .

Για να γίνει αυτό θα χρειαστεί να αποδείξουμε ορισμένα στοιχεία. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι κάθε στοιχείο μπορεί να έχει μόνο ένα αντίθετο. Στην πραγματικότητα, ας έχει ένα στοιχείο δύο αντίθετα: και . Αυτό είναι . Ας αναλογιστούμε το ποσό. Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς και μεταθετικούς νόμους και την ιδιότητα του μηδενός, βρίσκουμε ότι, αφενός, το άθροισμα είναι ίσο με , και αφετέρου ίσο με . Που σημαίνει, .

Σημειώστε τώρα ότι και τα δύο και είναι αντίθετα του ίδιου στοιχείου, άρα πρέπει να είναι ίσα.

Το πρώτο γεγονός αποδεικνύεται ως εξής: είναι δηλαδή αντίθετο, που σημαίνει ότι είναι ίσο.

Για να είμαστε μαθηματικά αυστηροί, ας εξηγήσουμε επίσης γιατί για οποιοδήποτε στοιχείο . Πράγματι, . Δηλαδή η προσθήκη δεν αλλάζει το ποσό. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Evgeniy Epifanov
"Στοιχεία"

Σχόλια: 0

Ζακ Σεσιάνο

Πάνω από δύο χιλιετίες υπήρξαν τρεις σημαντικές επεκτάσεις του αριθμητικού τομέα. Πρώτον, γύρω στο 450 π.Χ. επιστήμονες της Πυθαγόρειας σχολής απέδειξαν την ύπαρξη ρητοί αριθμοί. Ο αρχικός τους στόχος ήταν να ποσοτικοποιήσουν τη διαγώνιο ενός τετραγώνου μονάδας. Δεύτερον, στους XIII-XV αιώνες, οι Ευρωπαίοι επιστήμονες, λύνουν συστήματα γραμμικές εξισώσεις, επέτρεψε τη δυνατότητα μιας αρνητικής απόφασης. Και τρίτον, το 1572, ο Ιταλός αλγεβριστής Raphael Bombelli χρησιμοποίησε μιγαδικούς αριθμούς για να πάρει μια πραγματική λύση σε μια ορισμένη κυβική εξίσωση.

Proskuryakov I. V.

Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να ορίσει αυστηρά τους αριθμούς, τα πολυώνυμα και τα αλγεβρικά κλάσματα και να αιτιολογήσει τις ιδιότητές τους που ήταν ήδη γνωστές από το σχολείο, και όχι να εισάγει τον αναγνώστη σε νέες ιδιότητες. Επομένως, ο αναγνώστης δεν θα βρει νέα γεγονότα για αυτόν εδώ (με πιθανή εξαίρεση ορισμένες ιδιότητες, πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς), αλλά θα μάθει πώς αποδεικνύονται πράγματα που του είναι καλά γνωστά, ξεκινώντας με το «δύο φορές δύο είναι τέσσερα» και τελειώνοντας με τους κανόνες πράξεων με πολυώνυμα And αλγεβρικά κλάσματα. Αλλά ο αναγνώστης θα εξοικειωθεί με μια σειρά από γενικές έννοιες, παίζοντας σημαντικό ρόλο στην άλγεβρα.

Ilya Shchurov

Ο μαθηματικός Ilya Shchurov o δεκαδικά, υπέρβαση και παραλογισμός του αριθμού Πι.

Λέον Ταχταγιάν

Αυτά θα είναι τέσσερα διηγήματα. Θα ξεκινήσουμε με αριθμούς, μετά θα μιλήσουμε για την κίνηση, για την αλλαγή, μετά θα συζητήσουμε τα σχήματα και τα μεγέθη και μετά την αρχή και το τέλος. Σε αυτό το κάπως κρυπτογραφημένο στυλ, θα προσπαθήσουμε να δούμε τα μαθηματικά από μέσα και έξω, και ακριβώς ως θέμα. Τι σκέφτονται και ζουν οι μαθηματικοί - μπορούμε να μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Βλάντλεν Τιμόριν

Ο μαθηματικός Vladlen Timorin για τα πλεονεκτήματα των μιγαδικών αριθμών, των τεταρτοταγών του Hamilton, των οκταδιάστατων αριθμών Cayley και της ποικιλίας των αριθμών στη γεωμετρία.

Ζακ Σεσιάνο

Γνωρίζουμε ελάχιστα για τον Διόφαντο. Νομίζω ότι ζούσε στην Αλεξάνδρεια. Κανένας από τους Έλληνες μαθηματικούς δεν τον αναφέρει πριν από τον 4ο αιώνα, επομένως μάλλον έζησε στα μέσα του 3ου αιώνα. Το περισσότερο κύρια εργασίαΔιόφαντα, «Αριθμητικά», έγινε στην αρχή 13 «βιβλίων» (βιβλία), δηλ. κεφαλαίων. Σήμερα έχουμε 10 από αυτά και συγκεκριμένα: 6 στο ελληνικό κείμενο και άλλα 4 στο μεσαιωνικό Αραβική μετάφραση, του οποίου η θέση βρίσκεται στη μέση των ελληνικών βιβλίων: βιβλία I-III στα ελληνικά, IV-VII στα αραβικά, VIII-X στα ελληνικά. Η «Αριθμητική» του Διόφαντου είναι κατά κύριο λόγο μια συλλογή προβλημάτων, περίπου 260 συνολικά. Για να πούμε την αλήθεια, δεν υπάρχει καμία θεωρία. υπάρχουν μόνο γενικές οδηγίεςστην εισαγωγή του βιβλίου, και ιδιωτικά σχόλια σε κάποια προβλήματα, όταν χρειάζεται. Η «Αριθμητική» έχει ήδη τα χαρακτηριστικά μιας αλγεβρικής πραγματείας. Πρώτες χρήσεις του Διόφαντου διαφορετικά σημάδιανα εκφράσει το άγνωστο και τις δυνάμεις του, επίσης κάποιους υπολογισμούς. Όπως όλοι οι αλγεβρικοί συμβολισμοί του Μεσαίωνα, ο συμβολισμός του προέρχεται από μαθηματικές λέξεις. Στη συνέχεια, ο Διόφαντος εξηγεί πώς να λύσετε το πρόβλημα αλγεβρικά. Αλλά τα προβλήματα του Διόφαντου δεν είναι αλγεβρικά με τη συνήθη έννοια, γιατί σχεδόν όλα καταλήγουν στην επίλυση μιας απροσδιόριστης εξίσωσης ή συστημάτων τέτοιων εξισώσεων.

Ο κόσμος των μαθηματικών είναι αδιανόητος χωρίς αυτούς - χωρίς πρώτους αριθμούς. Τι συνέβη πρώτοι αριθμοίτι το ιδιαίτερο έχουν και ποια σημασία έχουν Καθημερινή ζωή? Σε αυτή την ταινία, ο Βρετανός καθηγητής μαθηματικών Marcus du Sautoy θα αποκαλύψει το μυστικό των πρώτων αριθμών.

Γκεόργκι Σαμπάτ

Στο σχολείο, σε όλους μας έχει ενσταλάξει η εσφαλμένη ιδέα ότι στο σύνολο των ρητών αριθμών Q υπάρχει μια μοναδική φυσική απόσταση (το μέτρο της διαφοράς), ως προς την οποία όλες οι αριθμητικές πράξεις είναι συνεχείς. Υπάρχει όμως και ένας άπειρος αριθμός αποστάσεων, το λεγόμενο p-adic, μία για κάθε αριθμό p. Σύμφωνα με το θεώρημα του Ostrovsky, η «συνήθης» απόσταση, μαζί με όλες τις p-adic, ήδη εξαντλεί πραγματικά όλες τις λογικές αποστάσεις Ε. Ο όρος αδελική δημοκρατία εισήχθη από τον Yu. I. Manin. Σύμφωνα με την αρχή της αδελικής δημοκρατίας, όλες οι λογικές αποστάσεις στο Q είναι ίσες πριν από τους νόμους των μαθηματικών (ίσως μόνο το παραδοσιακό «λίγο=λίγο ίσο...»). με όλες αυτές τις αποστάσεις ταυτόχρονα.

Βλαντιμίρ Άρνολντ

Ο J.L. Lagrange απέδειξε ότι μια ακολουθία ημιτελών πηλίκων (ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο μέρος) είναι περιοδική αν και μόνο αν ο αριθμός x είναι τετραγωνικός παραλογισμός. Ο R. O. Kuzmin απέδειξε ότι στην ακολουθία των ημιτελών πηλίκων σχεδόν κάθε πραγματικού αριθμού, το κλάσμα d_m ίσο με m ημιτελή πηλίκα είναι το ίδιο (για τυπικούς πραγματικούς αριθμούς). Το κλάσμα d_m μειώνεται ως m→∞ ως 1/m^2 και η τιμή του προβλέφθηκε από τον Gauss (ο οποίος δεν απέδειξε τίποτα). Ο V.I. Arnol'd εξέφρασε (πριν από περίπου 20 χρόνια) την υπόθεση ότι η στατιστική Gauss–Kuzmin d_m ισχύει επίσης για περιόδους συνεχόμενων κλασμάτων ριζών τετραγωνικές εξισώσεις x^2+px+q=0 (με ακέραιο p και q): αν γράψουμε μαζί τα ημιτελή πηλίκα που αποτελούν τις περιόδους όλων των συνεχιζόμενων κλασμάτων των ριζών τέτοιων εξισώσεων με p^2+q^2≤R ^2, τότε το μερίδιο του ημιτελούς πηλίκου m μεταξύ τους θα τείνει στον αριθμό d_m ως R→∞. Ο V. A. Bykovsky και οι μαθητές του στο Khabarovsk απέδειξαν πρόσφατα αυτή την μακροχρόνια υπόθεση. Παρόλα αυτά, το ζήτημα της στατιστικής όχι των γραμμάτων, αλλά των λέξεων που αποτελούνται από αυτά, που είναι οι περίοδοι των συνεχιζόμενων κλασμάτων οποιωνδήποτε ριζών x των εξισώσεων x^2+px+q=0, απέχει πολύ από το να επιλυθεί.

Ριντ Μάιλς

Αφήνω τον τίτλο και την περίληψη όσο το δυνατόν πιο ασαφή, για να μπορώ να μιλήσω για ό,τι νιώθω τη μέρα. Πολλές ποικιλίες που παρουσιάζουν ενδιαφέρον για την ταξινόμηση των ποικιλιών λαμβάνονται ως Spec ή Proj ενός δακτυλίου Gorenstein. Στη συνδιάσταση ⩽3, η πολύ γνωστή θεωρία δομής παρέχει σαφείς μεθόδους υπολογισμού με δακτυλίους Gorenstein. Αντίθετα, δεν υπάρχει αξιοποιήσιμη θεωρία δομής για δακτυλίους συνδιάστασης ⩾4. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, η προβολή Gorenstein (και η αντίστροφη, η μη προβολή Kustin–Miller) παρέχουν μεθόδους επίθεσης σε αυτούς τους δακτυλίους. Αυτές οι μέθοδοι εφαρμόζονται σε σποραδικές κατηγορίες κανονικών δακτυλίων κανονικών αλγεβρικών επιφανειών και σε πιο συστηματικές κατασκευές τρίπτυχων Q-Fano, συνδέσμους Sarkisov μεταξύ αυτών και των τριπλών ανατροπών του Τύπου Α της θεωρίας Mori.

Αλήθεια, γιατί; Η πιο εύκολη απάντηση είναι: «Επειδή αυτοί είναι οι κανόνες λειτουργίας με αρνητικούς αριθμούς». Κανόνες που μαθαίνουμε στο σχολείο και εφαρμόζουμε σε όλη μας τη ζωή. Ωστόσο, τα σχολικά βιβλία δεν εξηγούν γιατί οι κανόνες είναι έτσι όπως είναι. Θυμόμαστε ότι είναι ακριβώς έτσι και δεν κάνουμε πλέον την ερώτηση.

Ας αναρωτηθούμε...

Φυσικά, δεν μπορείτε να κάνετε ούτε χωρίς αφαίρεση. Αλλά στην πράξη, συνήθως αφαιρούμε τον μικρότερο αριθμό από τον μεγαλύτερο αριθμό και δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε αρνητικούς αριθμούς. (Αν έχω 5 καραμέλες και δώσω στην αδερφή μου 3, τότε θα μου απομείνουν 5 - 3 = 2 καραμέλες, αλλά δεν μπορώ να της δώσω 7 καραμέλες ακόμα κι αν θέλω.) Αυτό μπορεί να εξηγήσει γιατί οι άνθρωποι δεν έχουν χρησιμοποιήσει αρνητικούς αριθμούς για ένα πολύς καιρός.

Αρνητικοί αριθμοί εμφανίζονται σε ινδικά έγγραφα από τον 7ο αιώνα μ.Χ. Οι Κινέζοι προφανώς άρχισαν να τα χρησιμοποιούν λίγο νωρίτερα. Χρησιμοποιήθηκαν για να λογιστικοποιήσουν χρέη ή σε ενδιάμεσους υπολογισμούς για να απλοποιήσουν τη λύση των εξισώσεων - ήταν απλώς ένα εργαλείο για τη λήψη θετικής απάντησης. Το γεγονός ότι οι αρνητικοί αριθμοί, σε αντίθεση με τους θετικούς αριθμούς, δεν εκφράζουν την παρουσία οποιασδήποτε οντότητας προκάλεσε έντονη δυσπιστία. Οι άνθρωποι κυριολεκτικά απέφευγαν τους αρνητικούς αριθμούς: αν ένα πρόβλημα είχε αρνητική απάντηση, πίστευαν ότι δεν υπήρχε καθόλου απάντηση. Αυτή η δυσπιστία παρέμεινε για πολύ καιρό, και ακόμη και ο Descartes, ένας από τους «ιδρυτές» των σύγχρονων μαθηματικών, τα αποκάλεσε «ψεύτικα» (τον 17ο αιώνα!).

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση 7x - 17 = 2x - 2. Μπορεί να λυθεί ως εξής: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τα υπόλοιπα προς τα δεξιά, παίρνετε 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Με αυτό Στη λύση μας, δεν συναντήσαμε καν αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά ήταν δυνατό να το κάνετε κατά λάθος διαφορετικά: μετακινήστε τους όρους με το άγνωστο στη δεξιά πλευρά και λάβετε 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να διαιρέσετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν άλλο: x = (-15)/(-5). Αλλά η σωστή απάντηση είναι γνωστή, και μένει να συμπεράνουμε ότι (-15)/(-5) = 3.

Οι κανόνες για τη λειτουργία με αρνητικούς αριθμούς δεν διαμορφώθηκαν αμέσως, αλλά έγιναν μια γενίκευση πολυάριθμων παραδειγμάτων που προέκυψαν κατά την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων. Γενικά, η ανάπτυξη των μαθηματικών μπορεί να χωριστεί σε στάδια: κάθε επόμενο στάδιο διαφέρει από το προηγούμενο από ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης κατά τη μελέτη αντικειμένων. Έτσι, τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι οι ακέραιοι και τα πολυώνυμα, παρά τις εξωτερικές διαφορές τους, έχουν πολλά κοινά: και τα δύο μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν. Αυτές οι πράξεις υπακούουν στους ίδιους νόμους - τόσο στην περίπτωση των αριθμών όσο και στην περίπτωση των πολυωνύμων. Αλλά η διαίρεση ακεραίων μεταξύ τους έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι και πάλι ακέραιοι δεν είναι πάντα δυνατή. Το ίδιο συμβαίνει και με τα πολυώνυμα.

Η προσθήκη στοιχείων δακτυλίου υπακούει στους νόμους μετατροπής (A + B = B + A για οποιαδήποτε στοιχεία A και B) και συνδυαστικούς (A + (B + C) = (A + B) + C). στον δακτύλιο υπάρχει ένα ειδικό στοιχείο 0 (ουδέτερο στοιχείο με πρόσθεση) έτσι ώστε A + 0 = A, και για οποιοδήποτε στοιχείο A υπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο (σημαίνει (-Α)) τέτοιο ώστε A + (-A) = 0 ;
-ο πολλαπλασιασμός υπακούει στον συνδυαστικό νόμο: A·(B·C) = (A·B)·C;
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός σχετίζονται με τους ακόλουθους κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων: (A + B) C = A C + B C και A (B + C) = A B + A C.

Τώρα ας αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε στοιχεία Α και Β ενός αυθαίρετου δακτυλίου είναι αληθές, πρώτον, (-A) B = -(A B), και δεύτερον (-(-A)) = A. Αυτό ακολουθεί εύκολα δηλώσεις για μονάδες : (-1) 1 = -(1 1) = -1 και (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Για να γίνει αυτό θα χρειαστεί να αποδείξουμε ορισμένα στοιχεία. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι κάθε στοιχείο μπορεί να έχει μόνο ένα αντίθετο. Στην πραγματικότητα, έστω ότι το στοιχείο Α έχει δύο αντίθετα: Β και Γ. Δηλαδή, Α + Β = 0 = Α + Γ. Θεωρούμε το άθροισμα Α + Β + Γ. Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς και μεταθετικούς νόμους και την ιδιότητα του μηδενός, λάβετε ότι, αφενός, το άθροισμα είναι ίσο με B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, και από την άλλη, είναι ίσο με C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Άρα B = C.

Σημειώστε τώρα ότι και το Α και το (-(-Α)) είναι αντίθετα του ίδιου στοιχείου (-Α), επομένως πρέπει να είναι ίσα.

Το πρώτο γεγονός αποδεικνύεται ως εξής: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, δηλαδή, (-A) B είναι αντίθετο με το A B, που σημαίνει ότι είναι ίσο - (Α·Β).

Για να είμαστε μαθηματικά αυστηροί, ας εξηγήσουμε επίσης γιατί 0·B = 0 για οποιοδήποτε στοιχείο B. Πράγματι, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Δηλαδή, προσθέτοντας 0·B δεν αλλάζει το ποσό. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Evgeniy Epifanov