Σε αυτό το μάθημα θα δούμε μια κολοβωμένη πυραμίδα, θα εξοικειωθούμε με μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα και θα μελετήσουμε τις ιδιότητές της.

Ας θυμηθούμε την έννοια μιας n-γωνικής πυραμίδας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έξω από το επίπεδο του τριγώνου, λαμβάνεται ένα σημείο P, συνδεδεμένο με τις κορυφές του τριγώνου. Η πολυεδρική επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τριγωνική πυραμίδα

Ας κόψουμε την πυραμίδα με ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας. Το σχήμα που προκύπτει μεταξύ αυτών των επιπέδων ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Κόλουρη πυραμίδα

Βασικά στοιχεία:

Πάνω βάση?

ABC κάτω βάση?

Προφίλ;

Εάν το PH είναι το ύψος της αρχικής πυραμίδας, τότε είναι το ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας.

Οι ιδιότητες μιας κολοβωμένης πυραμίδας προκύπτουν από τη μέθοδο κατασκευής της, δηλαδή από τον παραλληλισμό των επιπέδων των βάσεων:

Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την άκρη. Έχει την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (καθώς τα επίπεδα είναι παράλληλα, κόβουν την πλευρική όψη της αρχικής πυραμίδας AVR κατά μήκος παράλληλων ευθειών), αλλά ταυτόχρονα δεν είναι παράλληλα. Προφανώς, το τετράπλευρο είναι τραπεζοειδές, όπως όλες οι πλευρικές όψεις της κόλουρης πυραμίδας.

Η αναλογία των βάσεων είναι ίδια για όλα τα τραπεζοειδή:

Έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με τον ίδιο συντελεστή ομοιότητας. Για παράδειγμα, τα τρίγωνα και το RAB είναι παρόμοια λόγω του παραλληλισμού των επιπέδων και του συντελεστή ομοιότητας:

Ταυτόχρονα, τα τρίγωνα και τα RVS είναι παρόμοια με τον συντελεστή ομοιότητας:

Προφανώς, οι συντελεστές ομοιότητας και για τα τρία ζεύγη ομοειδών τριγώνων είναι ίσοι, άρα ο λόγος των βάσεων είναι ίδιος για όλα τα τραπεζοειδή.

Μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια κολοβωμένη πυραμίδα που λαμβάνεται με την κοπή μιας κανονικής πυραμίδας με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα

Ορισμός.

Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική εάν η βάση της είναι ένα κανονικό n-gon και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο αυτού του n-gon (το κέντρο του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου).

Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της. Η προκύπτουσα κανονική τετραγωνική κολοβωμένη πυραμίδα ABCD έχει μια κάτω βάση και μια άνω βάση. Το ύψος της αρχικής πυραμίδας είναι RO, η κολοβωμένη πυραμίδα είναι (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Κανονική τετράγωνη κόλουρη πυραμίδα

Ορισμός.

Το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο της δεύτερης βάσης.

Το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας είναι RM (Μ είναι το μέσο του ΑΒ), το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας είναι (Εικ. 4).

Ορισμός.

Το απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι το ύψος οποιασδήποτε πλευρικής όψης.

Είναι σαφές ότι όλες οι πλευρικές ακμές της κόλουρης πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τραπεζοειδή.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των περιμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.

Απόδειξη (για μια κανονική τετραγωνική κόλουρη πυραμίδα - Εικ. 4):

Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε:

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας εδώ θα αποτελείται από το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων - τραπεζοειδών. Δεδομένου ότι τα τραπεζοειδή είναι τα ίδια, έχουμε:

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους· το απόθεμα είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. Εχουμε:

Q.E.D.

Για μια n-γωνική πυραμίδα:

Όπου n είναι ο αριθμός των πλευρικών όψεων της πυραμίδας, a και b είναι οι βάσεις του τραπεζοειδούς και είναι το απόθεμα.

Πλευρές της βάσης μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας ίσο 3 εκ. και 9 εκ., ύψος - 4 εκ. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.

Ρύζι. 5. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Λύση. Ας δείξουμε την συνθήκη:

Ερωτηθείς από: , ,

Μέσα από το σημείο Ο τραβάμε μια ευθεία γραμμή ΜΝ παράλληλη στις δύο πλευρές της κάτω βάσης, και ομοίως μέσα από το σημείο τραβάμε μια ευθεία γραμμή (Εικ. 6). Δεδομένου ότι τα τετράγωνα και οι κατασκευές στις βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι παράλληλα, λαμβάνουμε ένα τραπεζοειδές ίσο με τις πλευρικές όψεις. Επιπλέον, η πλευρά του θα διέρχεται από τα μέσα των άνω και κάτω άκρων των πλευρικών όψεων και θα είναι το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας.

Ρύζι. 6. Πρόσθετες κατασκευές

Ας εξετάσουμε το τραπεζοειδές που προκύπτει (Εικ. 6). Σε αυτό το τραπεζοειδές είναι γνωστά η άνω βάση, η κάτω βάση και το ύψος. Πρέπει να βρείτε την πλευρά που είναι το απόθεμα μιας δεδομένης κολοβωμένης πυραμίδας. Ας σχεδιάσουμε κάθετα στο MN. Από το σημείο κατεβάζουμε την κάθετη NQ. Διαπιστώνουμε ότι η μεγαλύτερη βάση χωρίζεται σε τμήματα των τριών εκατοστών (). Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα σκέλη σε αυτό είναι γνωστά, αυτό είναι ένα αιγυπτιακό τρίγωνο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα προσδιορίζουμε το μήκος της υποτείνουσας: 5 cm.

Τώρα υπάρχουν όλα τα στοιχεία για τον προσδιορισμό της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας:

Η πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση. Αποδείξτε, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας, ότι οι πλευρικές ακμές και το ύψος της πυραμίδας χωρίζονται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.

Απόδειξη. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 7. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 2

Δίνεται η πυραμίδα RABC. PO - ύψος της πυραμίδας. Η πυραμίδα κόβεται από ένα επίπεδο, λαμβάνεται μια κολοβωμένη πυραμίδα και. Σημείο - το σημείο τομής του ύψους του RO με το επίπεδο της βάσης της κόλουρης πυραμίδας. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:

Το κλειδί για τη λύση είναι η ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων. Δύο παράλληλα επίπεδα τέμνουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι ευθείες τομής να είναι παράλληλες. Από εδώ: . Ο παραλληλισμός των αντίστοιχων ευθειών συνεπάγεται την παρουσία τεσσάρων ζευγών όμοιων τριγώνων:

Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει η αναλογικότητα των αντίστοιχων πλευρών. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι οι συντελεστές ομοιότητας αυτών των τριγώνων είναι οι ίδιοι:

Q.E.D.

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα RABC με ύψος και πλευρά της βάσης τέμνεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από το μέσο του ύψους PH παράλληλο στη βάση ABC. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της κολοβωμένης πυραμίδας που προκύπτει.

Λύση. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 8. Απεικόνιση για το πρόβλημα 3

Το ACB είναι ένα κανονικό τρίγωνο, το H είναι το κέντρο αυτού του τριγώνου (το κέντρο των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων). Το RM είναι το απόθεμα μιας δεδομένης πυραμίδας. - απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Σύμφωνα με την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (δύο παράλληλα επίπεδα κόβουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι γραμμές τομής να είναι παράλληλες), έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με ίσο συντελεστή ομοιότητας. Συγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει η σχέση:

Ας βρούμε NM. Αυτή είναι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση· γνωρίζουμε τον αντίστοιχο τύπο:

Τώρα από το ορθογώνιο τρίγωνο PHM, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε το RM - το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας:

Από την αρχική αναλογία:

Τώρα γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία για την εύρεση της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας:

Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τις έννοιες μιας κολοβωμένης πυραμίδας και μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας, δώσαμε βασικούς ορισμούς, εξετάσαμε τις ιδιότητες και αποδείξαμε το θεώρημα για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας. Το επόμενο μάθημα θα επικεντρωθεί στην επίλυση προβλημάτων.

Βιβλιογραφία

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
2. Sharygin I. F. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 2008. - 233 σελ.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Εργασία για το σπίτι

Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη είναι πολύγωνο ( βάση ), και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή ( πλαϊνά πρόσωπα ) (Εικ. 15). Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός , αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης (Εικ. 16). Μια τριγωνική πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται τετράεδρο .

Πλευρική πλευράμιας πυραμίδας είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση Υψος πυραμίδα είναι η απόσταση από την κορυφή της μέχρι το επίπεδο της βάσης. Όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή ονομάζεται αποθεμα . Διαγώνιο τμήμα ονομάζεται τομή μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Πλάγια επιφάνειαπυραμίδα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Συνολική επιφάνεια ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων και της βάσης.

Θεωρήματα

1. Εάν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

2. Εάν όλες οι πλευρικές ακμές μιας πυραμίδας έχουν ίσα μήκη, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

3. Εάν όλες οι όψεις μιας πυραμίδας έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.

Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ο σωστός τύπος είναι:

Οπου V- Ενταση ΗΧΟΥ;

Βάση S– περιοχή βάσης·

H– ύψος της πυραμίδας.

Για μια κανονική πυραμίδα, οι ακόλουθοι τύποι είναι σωστοί:

Οπου Π– περίμετρος βάσης.

η α– αποθέμα·

H- ύψος;

S γεμάτο

S πλευρά

Βάση S– περιοχή βάσης·

V– όγκος κανονικής πυραμίδας.

Κόλουρη πυραμίδαονομάζεται το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας (Εικ. 17). Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται το τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας.

Αιτιολογικόκολοβωμένη πυραμίδα - παρόμοια πολύγωνα. Πλαϊνά πρόσωπα – τραπεζοειδή. Υψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων της. Διαγώνιος μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα τμήμα που συνδέει τις κορυφές της που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη. Διαγώνιο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας κόλουρης πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Για μια κολοβωμένη πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(4)

Οπου μικρό 1 , μικρό 2 – περιοχές των άνω και κάτω βάσεων.

S γεμάτο– συνολική επιφάνεια·

S πλευρά– πλευρική επιφάνεια·

H- ύψος;

V– όγκος κολοβωμένης πυραμίδας.

Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ο τύπος είναι σωστός:

Οπου Π 1 , Π 2 – περίμετροι βάσεων.

η α– απόθεμα κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.

Παράδειγμα 1.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η διεδρική γωνία στη βάση είναι 60º. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της πλευρικής ακμής στο επίπεδο της βάσης.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 18).

Η πυραμίδα είναι κανονική, που σημαίνει ότι στη βάση υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Η διεδρική γωνία στη βάση είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής όψης της πυραμίδας προς το επίπεδο της βάσης. Η γραμμική γωνία είναι η γωνία έναμεταξύ δύο καθέτων: κ.λπ. Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του τριγώνου (το κέντρο του κυκλικού κύκλου και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου αλφάβητο). Η γωνία κλίσης του πλευρικού άκρου (για παράδειγμα S.B.) είναι η γωνία μεταξύ της ίδιας της ακμής και της προβολής της στο επίπεδο της βάσης. Για το πλευρό S.B.αυτή η γωνία θα είναι η γωνία SBD. Για να βρείτε την εφαπτομένη πρέπει να γνωρίζετε τα πόδια ΕΤΣΙΚαι Ο.Β.. Αφήστε το μήκος του τμήματος BDισούται με 3 ΕΝΑ. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕευθύγραμμο τμήμα BDχωρίζεται σε μέρη: και Από βρίσκουμε ΕΤΣΙ: Από βρίσκουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας αν οι διαγώνιοι των βάσεων της είναι ίσες με cm και cm και το ύψος της είναι 4 cm.

Λύση.Για να βρούμε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Για να βρείτε το εμβαδόν των βάσεων, πρέπει να βρείτε τις πλευρές των τετραγώνων της βάσης, γνωρίζοντας τις διαγώνιες τους. Οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες με 2 cm και 8 cm, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει τα εμβαδά των βάσεων και Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στον τύπο, υπολογίζουμε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας:

Απάντηση: 112 cm 3.

Παράδειγμα 3.Βρείτε την περιοχή της πλευρικής όψης μιας κανονικής τριγωνικής κολοβωμένης πυραμίδας, οι πλευρές των βάσεων της οποίας είναι 10 cm και 4 cm και το ύψος της πυραμίδας είναι 2 cm.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 19).

Η πλευρική όψη αυτής της πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος. Οι βάσεις δίνονται ανάλογα με την συνθήκη, μόνο το ύψος παραμένει άγνωστο. Θα τη βρούμε από που ΕΝΑ 1 μικάθετη από ένα σημείο ΕΝΑ 1 στο επίπεδο της κάτω βάσης, ΕΝΑ 1 ρε– κάθετη από ΕΝΑ 1 ανά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. ΕΝΑ 1 μι= 2 cm, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Να βρω DEΑς κάνουμε ένα επιπλέον σχέδιο που δείχνει την επάνω όψη (Εικ. 20). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή των κέντρων της άνω και κάτω βάσης. αφού (βλ. Εικ. 20) και Από την άλλη Εντάξει– ακτίνα εγγεγραμμένη στον κύκλο και ΟΜ– ακτίνα εγγεγραμμένη σε κύκλο:

ΜΚ = ΔΕ.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα από

Πλαϊνή περιοχή προσώπου:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4.Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι βάσεις του οποίου ΕΝΑΚαι σι (ένα> σι). Κάθε πλευρική όψη σχηματίζει γωνία ίση με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας ι. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 21). Συνολική επιφάνεια της πυραμίδας SABCDίσο με το άθροισμα των εμβαδών και του εμβαδού του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση ότι εάν όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή κορυφής μικρόστη βάση της πυραμίδας. Τρίγωνο ΧΛΟΟΤΑΠΗΤΑΣείναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου CSDστο επίπεδο της βάσης. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την περιοχή της ορθογώνιας προβολής ενός επίπεδου σχήματος, παίρνουμε:

Το ίδιο σημαίνει Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην εύρεση της περιοχής του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ. Ας σχεδιάσουμε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δχωριστά (Εικ. 22). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο σε τραπεζοειδές.

Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε ή Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε

είναι ένα πολύεδρο που σχηματίζεται από τη βάση της πυραμίδας και ένα τμήμα παράλληλο με αυτήν. Μπορούμε να πούμε ότι μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια πυραμίδα με αποκομμένη την κορυφή. Αυτό το σχήμα έχει πολλές μοναδικές ιδιότητες:

• Οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.
• Οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας έχουν το ίδιο μήκος και έχουν κλίση προς τη βάση στην ίδια γωνία.
• Οι βάσεις είναι παρόμοια πολύγωνα.
• Σε μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα, οι όψεις είναι πανομοιότυπα ισοσκελή τραπεζοειδή, το εμβαδόν των οποίων είναι ίσο. Έχουν επίσης κλίση προς τη βάση σε μία γωνία.

Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρών της:

Δεδομένου ότι οι πλευρές μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή, για να υπολογίσετε τις παραμέτρους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο τραπεζοειδής περιοχή. Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα, μπορείτε να εφαρμόσετε έναν διαφορετικό τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές, οι όψεις και οι γωνίες του στη βάση είναι ίσες, είναι δυνατό να εφαρμοστούν οι περίμετροι της βάσης και του αποθέματος και επίσης να εξαχθεί η περιοχή μέσω της γωνίας στη βάση.

Εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας, δίνεται το απόθεμα (ύψος της πλευράς) και τα μήκη των πλευρών της βάσης, τότε το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί μέσω του μισού γινόμενου του αθροίσματος των περιμέτρων του οι βάσεις και το απόθεμα:

Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Δίνεται μια κανονική πενταγωνική πυραμίδα. Απόθεμ μεγάλο= 5 cm, το μήκος της άκρης στη μεγάλη βάση είναι ένα= 6 cm, και η άκρη βρίσκεται στη μικρότερη βάση σι= 4 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της κολοβωμένης πυραμίδας.

Αρχικά, ας βρούμε τις περιμέτρους των βάσεων. Εφόσον μας δίνεται μια πενταγωνική πυραμίδα, καταλαβαίνουμε ότι οι βάσεις είναι πεντάγωνα. Αυτό σημαίνει ότι οι βάσεις περιέχουν μια φιγούρα με πέντε όμοιες πλευρές. Ας βρούμε την περίμετρο της μεγαλύτερης βάσης:

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε την περίμετρο της μικρότερης βάσης:

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας. Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

Έτσι, υπολογίσαμε το εμβαδόν μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας μέσω των περιμέτρων και του αποθέματος.

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ο τύπος μέσα από τις γωνίες στη βάση και την περιοχή αυτών των βάσεων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού. Θυμόμαστε ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα.

Ας δοθεί μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Η άκρη της κάτω βάσης είναι a = 6 cm, και η άκρη της άνω βάσης είναι b = 4 cm. Η διεδρική γωνία στη βάση είναι β = 60°. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.

Αρχικά, ας υπολογίσουμε το εμβαδόν των βάσεων. Δεδομένου ότι η πυραμίδα είναι κανονική, όλες οι ακμές των βάσεων είναι ίσες μεταξύ τους. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η βάση είναι τετράπλευρο, καταλαβαίνουμε ότι θα χρειαστεί να υπολογιστεί περιοχή της πλατείας. Είναι το γινόμενο του πλάτους και του μήκους, αλλά όταν τετραγωνίζονται αυτές οι τιμές είναι οι ίδιες. Ας βρούμε το εμβαδόν της μεγαλύτερης βάσης:


Τώρα χρησιμοποιούμε τις τιμές που βρέθηκαν για να υπολογίσουμε την πλευρική επιφάνεια.

Γνωρίζοντας μερικούς απλούς τύπους, υπολογίσαμε εύκολα την περιοχή του πλευρικού τραπεζοειδούς μιας κολοβωμένης πυραμίδας χρησιμοποιώντας διάφορες τιμές.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε μια κολοβωμένη πυραμίδα, θα εξοικειωθούμε με μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα και θα μελετήσουμε τις ιδιότητές της.

Ας θυμηθούμε την έννοια μιας n-γωνικής πυραμίδας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έξω από το επίπεδο του τριγώνου, λαμβάνεται ένα σημείο P, συνδεδεμένο με τις κορυφές του τριγώνου. Η πολυεδρική επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τριγωνική πυραμίδα

Ας κόψουμε την πυραμίδα με ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας. Το σχήμα που προκύπτει μεταξύ αυτών των επιπέδων ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Κόλουρη πυραμίδα

Βασικά στοιχεία:

Πάνω βάση?

ABC κάτω βάση?

Προφίλ;

Εάν το PH είναι το ύψος της αρχικής πυραμίδας, τότε είναι το ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας.

Οι ιδιότητες μιας κολοβωμένης πυραμίδας προκύπτουν από τη μέθοδο κατασκευής της, δηλαδή από τον παραλληλισμό των επιπέδων των βάσεων:

Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την άκρη. Έχει την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (καθώς τα επίπεδα είναι παράλληλα, κόβουν την πλευρική όψη της αρχικής πυραμίδας AVR κατά μήκος παράλληλων ευθειών), αλλά ταυτόχρονα δεν είναι παράλληλα. Προφανώς, το τετράπλευρο είναι τραπεζοειδές, όπως όλες οι πλευρικές όψεις της κόλουρης πυραμίδας.

Η αναλογία των βάσεων είναι ίδια για όλα τα τραπεζοειδή:

Έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με τον ίδιο συντελεστή ομοιότητας. Για παράδειγμα, τα τρίγωνα και το RAB είναι παρόμοια λόγω του παραλληλισμού των επιπέδων και του συντελεστή ομοιότητας:

Ταυτόχρονα, τα τρίγωνα και τα RVS είναι παρόμοια με τον συντελεστή ομοιότητας:

Προφανώς, οι συντελεστές ομοιότητας και για τα τρία ζεύγη ομοειδών τριγώνων είναι ίσοι, άρα ο λόγος των βάσεων είναι ίδιος για όλα τα τραπεζοειδή.

Μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια κολοβωμένη πυραμίδα που λαμβάνεται με την κοπή μιας κανονικής πυραμίδας με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα

Ορισμός.

Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική εάν η βάση της είναι ένα κανονικό n-gon και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο αυτού του n-gon (το κέντρο του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου).

Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της. Η προκύπτουσα κανονική τετραγωνική κολοβωμένη πυραμίδα ABCD έχει μια κάτω βάση και μια άνω βάση. Το ύψος της αρχικής πυραμίδας είναι RO, η κολοβωμένη πυραμίδα είναι (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Κανονική τετράγωνη κόλουρη πυραμίδα

Ορισμός.

Το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο της δεύτερης βάσης.

Το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας είναι RM (Μ είναι το μέσο του ΑΒ), το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας είναι (Εικ. 4).

Ορισμός.

Το απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι το ύψος οποιασδήποτε πλευρικής όψης.

Είναι σαφές ότι όλες οι πλευρικές ακμές της κόλουρης πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τραπεζοειδή.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των περιμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.

Απόδειξη (για μια κανονική τετραγωνική κόλουρη πυραμίδα - Εικ. 4):

Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε:

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας εδώ θα αποτελείται από το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων - τραπεζοειδών. Δεδομένου ότι τα τραπεζοειδή είναι τα ίδια, έχουμε:

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους· το απόθεμα είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. Εχουμε:

Q.E.D.

Για μια n-γωνική πυραμίδα:

Όπου n είναι ο αριθμός των πλευρικών όψεων της πυραμίδας, a και b είναι οι βάσεις του τραπεζοειδούς και είναι το απόθεμα.

Πλευρές της βάσης μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας ίσο 3 εκ. και 9 εκ., ύψος - 4 εκ. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.

Ρύζι. 5. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Λύση. Ας δείξουμε την συνθήκη:

Ερωτηθείς από: , ,

Μέσα από το σημείο Ο τραβάμε μια ευθεία γραμμή ΜΝ παράλληλη στις δύο πλευρές της κάτω βάσης, και ομοίως μέσα από το σημείο τραβάμε μια ευθεία γραμμή (Εικ. 6). Δεδομένου ότι τα τετράγωνα και οι κατασκευές στις βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι παράλληλα, λαμβάνουμε ένα τραπεζοειδές ίσο με τις πλευρικές όψεις. Επιπλέον, η πλευρά του θα διέρχεται από τα μέσα των άνω και κάτω άκρων των πλευρικών όψεων και θα είναι το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας.

Ρύζι. 6. Πρόσθετες κατασκευές

Ας εξετάσουμε το τραπεζοειδές που προκύπτει (Εικ. 6). Σε αυτό το τραπεζοειδές είναι γνωστά η άνω βάση, η κάτω βάση και το ύψος. Πρέπει να βρείτε την πλευρά που είναι το απόθεμα μιας δεδομένης κολοβωμένης πυραμίδας. Ας σχεδιάσουμε κάθετα στο MN. Από το σημείο κατεβάζουμε την κάθετη NQ. Διαπιστώνουμε ότι η μεγαλύτερη βάση χωρίζεται σε τμήματα των τριών εκατοστών (). Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα σκέλη σε αυτό είναι γνωστά, αυτό είναι ένα αιγυπτιακό τρίγωνο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα προσδιορίζουμε το μήκος της υποτείνουσας: 5 cm.

Τώρα υπάρχουν όλα τα στοιχεία για τον προσδιορισμό της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας:

Η πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση. Αποδείξτε, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας, ότι οι πλευρικές ακμές και το ύψος της πυραμίδας χωρίζονται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.

Απόδειξη. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 7. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 2

Δίνεται η πυραμίδα RABC. PO - ύψος της πυραμίδας. Η πυραμίδα κόβεται από ένα επίπεδο, λαμβάνεται μια κολοβωμένη πυραμίδα και. Σημείο - το σημείο τομής του ύψους του RO με το επίπεδο της βάσης της κόλουρης πυραμίδας. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:

Το κλειδί για τη λύση είναι η ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων. Δύο παράλληλα επίπεδα τέμνουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι ευθείες τομής να είναι παράλληλες. Από εδώ: . Ο παραλληλισμός των αντίστοιχων ευθειών συνεπάγεται την παρουσία τεσσάρων ζευγών όμοιων τριγώνων:

Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει η αναλογικότητα των αντίστοιχων πλευρών. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι οι συντελεστές ομοιότητας αυτών των τριγώνων είναι οι ίδιοι:

Q.E.D.

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα RABC με ύψος και πλευρά της βάσης τέμνεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από το μέσο του ύψους PH παράλληλο στη βάση ABC. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της κολοβωμένης πυραμίδας που προκύπτει.

Λύση. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 8. Απεικόνιση για το πρόβλημα 3

Το ACB είναι ένα κανονικό τρίγωνο, το H είναι το κέντρο αυτού του τριγώνου (το κέντρο των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων). Το RM είναι το απόθεμα μιας δεδομένης πυραμίδας. - απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Σύμφωνα με την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (δύο παράλληλα επίπεδα κόβουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι γραμμές τομής να είναι παράλληλες), έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με ίσο συντελεστή ομοιότητας. Συγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει η σχέση:

Ας βρούμε NM. Αυτή είναι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση· γνωρίζουμε τον αντίστοιχο τύπο:

Τώρα από το ορθογώνιο τρίγωνο PHM, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε το RM - το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας:

Από την αρχική αναλογία:

Τώρα γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία για την εύρεση της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας:

Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τις έννοιες μιας κολοβωμένης πυραμίδας και μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας, δώσαμε βασικούς ορισμούς, εξετάσαμε τις ιδιότητες και αποδείξαμε το θεώρημα για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας. Το επόμενο μάθημα θα επικεντρωθεί στην επίλυση προβλημάτων.

Βιβλιογραφία

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
2. Sharygin I. F. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 2008. - 233 σελ.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Εργασία για το σπίτι

Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να πάρετε μια ιδέα για το θέμα «Πυραμίδα. Κανονική και κολοβωμένη πυραμίδα». Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της κανονικής πυραμίδας και θα δώσουμε έναν ορισμό. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε το θεώρημα στην πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας και το θεώρημα στην πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας.

Θέμα: Πυραμίδα

Μάθημα: Κανονικές και κολοβωμένες πυραμίδες

Ορισμός:μια κανονική n-γωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα κανονικό n-gonal στη βάση της και το ύψος προβάλλεται στο κέντρο αυτού του n-gon (Εικ. 1).

Ρύζι. 1

Κανονική τριγωνική πυραμίδα

Αρχικά, ας θεωρήσουμε το ∆ABC (Εικ. 2), στο οποίο AB=BC=CA (δηλαδή, ένα κανονικό τρίγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας). Σε ένα κανονικό τρίγωνο, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν και είναι το κέντρο του ίδιου του τριγώνου. Σε αυτήν την περίπτωση, το κέντρο βρίσκεται ως εξής: βρείτε το μέσο AB - C 1, σχεδιάστε ένα τμήμα CC 1, το οποίο είναι η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος. Ομοίως, βρίσκουμε τη μέση του AC - B 1 και σχεδιάζουμε το τμήμα BB 1. Η τομή των BB 1 και CC 1 θα είναι το σημείο O, που είναι το κέντρο του ΔABC.

Αν συνδέσουμε το κέντρο του τριγώνου Ο με την κορυφή της πυραμίδας S, προκύπτει το ύψος της πυραμίδας SO ⊥ ABC, SO = h.

Συνδέοντας το σημείο S με τα σημεία Α, Β και Γ παίρνουμε τις πλευρικές ακμές της πυραμίδας.

Αποκτήσαμε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC (Εικ. 2).