इसकी सम्भावना अधिक है कि छोड़ो। सिद्धांत संभावना। समस्या समाधान (2019)

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो हम कह सकते हैं कि यह शीर्ष पर आएगा, या संभावना यह 1/2 है. बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि यदि एक सिक्का 10 बार उछाला जाता है, तो वह अनिवार्य रूप से 5 बार सिर पर आएगा। यदि सिक्का "उचित" है और यदि इसे कई बार उछाला जाता है, तो आधे समय में चित बहुत करीब आएंगे। इस प्रकार, संभावनाएँ दो प्रकार की होती हैं: प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक .

प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभाव्यता

यदि आप एक सिक्का उछालते हैं एक बड़ी संख्या कीबार - मान लीजिए 1000 - और गिनें कि कितनी बार सिर फेंका गया है, हम सिर फेंके जाने की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। यदि सिर को 503 बार फेंका जाता है, तो हम उसके उतरने की संभावना की गणना कर सकते हैं:
503/1000, या 0.503।

यह प्रयोगात्मक संभाव्यता की परिभाषा. संभाव्यता की यह परिभाषा डेटा के अवलोकन और अध्ययन से आती है और यह काफी सामान्य और बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यहाँ कुछ संभावनाएँ दी गई हैं जो प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित की गई थीं:

1. किसी महिला को स्तन कैंसर होने की संभावना 1/11 है।

2. अगर आप किसी ऐसे व्यक्ति को चूमते हैं जिसे सर्दी है तो आपको भी सर्दी होने की संभावना 0.07 है।

3. जो व्यक्ति अभी-अभी जेल से रिहा हुआ है, उसके जेल लौटने की 80% संभावना है।

यदि हम एक सिक्के को उछालने पर विचार करते हैं और इस बात को ध्यान में रखते हैं कि यह उतनी ही संभावना है कि यह चित या पट आएगा, तो हम चित आने की संभावना की गणना कर सकते हैं: 1/2। यह संभाव्यता की एक सैद्धांतिक परिभाषा है। यहां कुछ अन्य संभावनाएं दी गई हैं जिन्हें सैद्धांतिक रूप से गणित का उपयोग करके निर्धारित किया गया है:

1. यदि एक कमरे में 30 लोग हैं, तो उनमें से दो का जन्मदिन एक ही होने की संभावना (वर्ष को छोड़कर) 0.706 है।

2. एक यात्रा के दौरान, आप किसी से मिलते हैं, और बातचीत के दौरान आपको पता चलता है कि आपका एक पारस्परिक मित्र है। विशिष्ट प्रतिक्रिया: "यह नहीं हो सकता!" वास्तव में, यह वाक्यांश उपयुक्त नहीं है, क्योंकि ऐसी घटना की संभावना काफी अधिक है - केवल 22% से अधिक।

इस प्रकार, प्रायोगिक संभावनाएँ अवलोकन और डेटा संग्रह के माध्यम से निर्धारित की जाती हैं। सैद्धांतिक संभावनाएँ गणितीय तर्क के माध्यम से निर्धारित की जाती हैं। प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक संभावनाओं के उदाहरण, जैसे कि ऊपर चर्चा की गई है, और विशेष रूप से वे जिनकी हमें उम्मीद नहीं है, हमें संभाव्यता का अध्ययन करने के महत्व की ओर ले जाते हैं। आप पूछ सकते हैं, "सच्ची संभावना क्या है?" दरअसल, ऐसी कोई बात नहीं है. कुछ सीमाओं के भीतर संभावनाओं को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। वे उन संभावनाओं से मेल खा भी सकते हैं और नहीं भी जो हम सैद्धांतिक रूप से प्राप्त करते हैं। ऐसी स्थितियाँ होती हैं जिनमें एक प्रकार की संभाव्यता को दूसरे की तुलना में निर्धारित करना बहुत आसान होता है। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक संभाव्यता का उपयोग करके सर्दी लगने की संभावना का पता लगाना पर्याप्त होगा।

प्रायोगिक संभावनाओं की गणना

आइए पहले हम संभाव्यता की प्रायोगिक परिभाषा पर विचार करें। ऐसी संभावनाओं की गणना के लिए हम जिस मूल सिद्धांत का उपयोग करते हैं वह इस प्रकार है।

सिद्धांत पी (प्रायोगिक)

यदि किसी प्रयोग में जिसमें n अवलोकन किए गए हैं, कोई स्थिति या घटना E, n अवलोकनों में m बार घटित होती है, तो घटना की प्रयोगात्मक संभावना को P (E) = m/n कहा जाता है।

उदाहरण 1 समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण. आयोजित किया गया प्रयोगात्मक अध्ययनबाएं हाथ के लोगों, दाएं हाथ के लोगों और उन लोगों की संख्या निर्धारित करने के लिए जिनके दोनों हाथ समान रूप से विकसित हैं। परिणाम ग्राफ़ में दिखाए गए हैं।

ए) संभावना निर्धारित करें कि वह व्यक्ति दाएं हाथ का है।

बी) संभावना निर्धारित करें कि व्यक्ति बाएं हाथ का है।

ग) संभावना निर्धारित करें कि एक व्यक्ति दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह है।

घ) अधिकांश प्रोफेशनल बॉलिंग एसोसिएशन टूर्नामेंट 120 खिलाड़ियों तक सीमित हैं। इस प्रयोग के आंकड़ों के आधार पर, कितने खिलाड़ी बाएं हाथ के हो सकते हैं?

समाधान

a) दाएं हाथ से काम करने वाले लोगों की संख्या 82 है, बाएं हाथ से काम करने वालों की संख्या 17 है, और दोनों हाथों से समान रूप से निपुण लोगों की संख्या 1 है। अवलोकनों की कुल संख्या 100 है। इस प्रकार, संभावना वह व्यक्ति दाएं हाथ का है, वह P है
पी = 82/100, या 0.82, या 82%।

बी) किसी व्यक्ति के बाएं हाथ का होने की प्रायिकता P है, जहां
पी = 17/100, या 0.17, या 17%।

ग) संभावना है कि एक व्यक्ति दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह है, पी है, जहां
पी = 1/100, या 0.01, या 1%।

डी) 120 गेंदबाज, और (बी) से हम उम्मीद कर सकते हैं कि 17% बाएं हाथ के हैं। यहाँ से
120 का 17% = 0.17.120 = 20.4,
यानी, हम उम्मीद कर सकते हैं कि लगभग 20 खिलाड़ी बाएं हाथ के होंगे।

उदाहरण 2 गुणवत्ता नियंत्रण . किसी निर्माता के लिए अपने उत्पादों की गुणवत्ता बनाए रखना बहुत महत्वपूर्ण है उच्च स्तर. दरअसल, कंपनियां इस प्रक्रिया को सुनिश्चित करने के लिए गुणवत्ता नियंत्रण निरीक्षकों को नियुक्त करती हैं। लक्ष्य न्यूनतम संभव संख्या में दोषपूर्ण उत्पाद तैयार करना है। लेकिन चूंकि कंपनी हर दिन हजारों उत्पाद बनाती है, इसलिए वह यह निर्धारित करने के लिए हर उत्पाद का परीक्षण नहीं कर सकती कि वह दोषपूर्ण है या नहीं। यह पता लगाने के लिए कि कितने प्रतिशत उत्पाद ख़राब हैं, कंपनी बहुत कम उत्पादों का परीक्षण करती है।
मंत्रालय कृषिअमेरिका के लिए आवश्यक है कि उत्पादकों द्वारा बेचे जाने वाले 80% बीज अंकुरित होने चाहिए। एक कृषि कंपनी द्वारा उत्पादित बीजों की गुणवत्ता निर्धारित करने के लिए, उत्पादित बीजों में से 500 बीज बोए जाते हैं। इसके बाद गणना की गई कि 417 बीज अंकुरित हुए।

क) इसकी क्या संभावना है कि बीज अंकुरित होगा?

ख) क्या बीज सरकारी मानकों के अनुरूप हैं?

समाधानक) हम जानते हैं कि बोए गए 500 बीजों में से 417 अंकुरित हुए। बीज अंकुरण की संभावना पी, और
पी = 417/500 = 0.834, या 83.4%।

ख) चूँकि अंकुरित बीजों का प्रतिशत आवश्यकतानुसार 80% से अधिक हो गया है, बीज सरकारी मानकों के अनुरूप हैं।

उदाहरण 3 टेलीविजन रेटिंग. आंकड़ों के अनुसार, संयुक्त राज्य अमेरिका में 105,500,000 घरों में टेलीविजन हैं। हर सप्ताह कार्यक्रमों को देखने की जानकारी एकत्र और संसाधित की जाती है। एक सप्ताह में, 7,815,000 परिवारों ने सीबीएस पर हिट कॉमेडी श्रृंखला "एवरीबडी लव्स रेमंड" देखी और 8,302,000 परिवारों ने एनबीसी पर हिट श्रृंखला "लॉ एंड ऑर्डर" देखी (स्रोत: नीलसन मीडिया रिसर्च)। इसकी क्या संभावना है कि किसी दिए गए सप्ताह के दौरान एक घर का टीवी "एवरीबडी लव्स रेमंड" पर सेट हो? "लॉ एंड ऑर्डर" पर?

समाधानसंभावना है कि एक घर में टीवी "एवरीबडी लव्स रेमंड" पर ट्यून किया गया है, पी है, और
पी = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%।
संभावना है कि घर का टीवी लॉ एंड ऑर्डर पर ट्यून किया गया था, और
पी = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%।
इन प्रतिशतों को रेटिंग कहा जाता है।

सैद्धांतिक संभाव्यता

मान लीजिए कि हम एक प्रयोग कर रहे हैं, जैसे सिक्का या डार्ट फेंकना, डेक से कार्ड निकालना, या असेंबली लाइन पर गुणवत्ता के लिए उत्पादों का परीक्षण करना। ऐसे प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम को कहा जाता है एक्सोदेस . सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को कहा जाता है परिणाम स्थान . आयोजन यह परिणामों का एक समूह है, यानी परिणामों के स्थान का एक उपसमूह।

उदाहरण 4 डार्ट फेंकना। मान लीजिए कि एक डार्ट फेंकने के प्रयोग में, एक डार्ट एक लक्ष्य से टकराता है। निम्नलिखित में से प्रत्येक को खोजें:

बी) परिणाम स्थान

समाधान
ए) परिणाम हैं: काले को मारना (बी), लाल को मारना (आर) और सफेद को मारना (बी)।

बी) परिणामों का स्थान है (काले को मारना, लाल को मारना, सफेद को मारना), जिसे बस (एच, के, बी) के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 5 पासा फेंकना. पासा छह भुजाओं वाला एक घन है, प्रत्येक पर एक से छह बिंदु होते हैं।

मान लीजिए हम एक पासा फेंक रहे हैं। खोजो
क) परिणाम
बी) परिणाम स्थान

समाधान
ए) परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6।
बी) परिणाम स्थान (1, 2, 3, 4, 5, 6)।

हम किसी घटना E के घटित होने की प्रायिकता को P(E) के रूप में निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, "सिक्का सिर पर गिरेगा" को एच द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर पी(एच) इस संभावना को दर्शाता है कि सिक्का सिर पर गिरेगा। जब किसी प्रयोग के सभी परिणामों के घटित होने की संभावना समान होती है, तो उन्हें समान रूप से संभावित कहा जाता है। समान रूप से संभावित घटनाओं और नहीं होने वाली घटनाओं के बीच अंतर देखने के लिए, नीचे दिखाए गए लक्ष्य पर विचार करें।

लक्ष्य ए के लिए, काले, लाल और सफेद रंग से टकराने की घटनाएं समान रूप से संभावित हैं, क्योंकि काले, लाल और सफेद क्षेत्र समान हैं। हालाँकि, लक्ष्य बी के लिए, इन रंगों वाले क्षेत्र समान नहीं हैं, अर्थात, उनसे टकराना समान रूप से संभावित नहीं है।

सिद्धांत पी (सैद्धांतिक)

यदि कोई घटना E, परिणाम स्थान S से n संभावित समान रूप से संभावित परिणामों में से m तरीकों से घटित हो सकती है, तो सैद्धांतिक संभाव्यता घटनाएँ, P(E) है
पी(ई) = एम/एन.

उदाहरण 6पासे को घुमाकर 3 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधानपर पासा 6 समान रूप से संभावित परिणाम हैं और संख्या 3 को बाहर निकालने की केवल एक संभावना है। तब संभावना P, P(3) = 1/6 होगी।

उदाहरण 7एक पासे पर एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

समाधानघटना एक सम संख्या फेंकने की है। यह 3 तरीकों से हो सकता है (यदि आप 2, 4 या 6 रोल करते हैं)। समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या 6 है। तब संभावना P(सम) = 3/6, या 1/2।

हम मानक 52 कार्ड डेक से जुड़े कई उदाहरणों का उपयोग करेंगे। इस डेक में नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए कार्ड शामिल हैं।

उदाहरण 8ताश के पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से इक्का निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान 52 परिणाम हैं (गड्डी में कार्डों की संख्या), उनकी समान संभावना है (यदि डेक अच्छी तरह से फेंटा गया है), और इक्का निकालने के 4 तरीके हैं, इसलिए पी सिद्धांत के अनुसार, संभावना
पी(एक इक्का निकालें) = 4/52, या 1/13।

उदाहरण 9मान लीजिए कि हम बिना देखे, 3 लाल गेंदों और 4 हरी गेंदों वाले बैग से एक गेंद चुनते हैं। लाल गेंद चुनने की प्रायिकता क्या है?

समाधानकिसी भी गेंद को निकालने के 7 समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं, और चूँकि लाल गेंद को निकालने के तरीकों की संख्या 3 है, हमें मिलता है
पी(लाल गेंद चयन) = 3/7.

निम्नलिखित कथन सिद्धांत पी के परिणाम हैं।

संभाव्यता के गुण

ए) यदि घटना ई नहीं हो सकती है, तो पी(ई) = 0.
ख) यदि घटना E का घटित होना निश्चित है तो P(E) = 1.
ग) घटना E के घटित होने की प्रायिकता 0 से 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1 तक की एक संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर, सिक्के के किनारे पर गिरने की घटना की संभावना शून्य होती है। एक सिक्के के या तो चित या पट होने की प्रायिकता 1 है।

उदाहरण 10आइए मान लें कि 52-कार्ड डेक से 2 कार्ड निकाले गए हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे दोनों शिखर हैं?

समाधान 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से 2 पत्ते निकालने के तरीकों की संख्या n 52 C 2 है। चूँकि 52 पत्तों में से 13 हुकुम हैं, 2 हुकुम निकालने के तरीकों m की संख्या 13 C 2 है। तब,
पी(2 चोटियाँ खींचना) = एम/एन = 13 सी 2/52 सी 2 = 78/1326 = 1/17।

उदाहरण 11मान लीजिए कि 6 पुरुषों और 4 महिलाओं के समूह में से 3 लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 1 पुरुष और 2 महिलाओं का चयन किया जाएगा?

समाधान 10 लोगों के समूह में से तीन लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या 10 C 3 है। एक पुरुष को 6 C 1 तरीकों से चुना जा सकता है, और 2 महिलाओं को 4 C 2 तरीकों से चुना जा सकता है। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, 1 पुरुष और 2 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या 6 C 1 है। 4 सी 2 . फिर, 1 पुरुष और 2 महिलाओं के चुने जाने की प्रायिकता है
पी = 6 सी 1 . 4 सी 2/10 सी 3 = 3/10.

उदाहरण 12 पासा फेंकना. दो पासों पर कुल 8 आने की प्रायिकता क्या है?

समाधानप्रत्येक पासे के 6 संभावित परिणाम होते हैं। परिणाम दोगुने हो गए हैं, जिसका अर्थ है कि 6.6 या 36 संभावित तरीके हैं जिनमें दो पासों पर संख्याएँ दिखाई दे सकती हैं। (यह बेहतर है अगर क्यूब अलग-अलग हों, मान लें कि एक लाल है और दूसरा नीला है - इससे परिणाम देखने में मदद मिलेगी।)

संख्याओं के जोड़े जिनका योग 8 होता है, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं। 5 हैं संभावित तरीके 8 के बराबर योग प्राप्त हो रहा है, इसलिए संभावना 5/36 है।

प्रथम स्तर

सिद्धांत संभावना। समस्या समाधान (2019)

संभाव्यता क्या है?

जब पहली बार मेरा सामना इस शब्द से हुआ तो मुझे समझ नहीं आया कि यह क्या है। इसलिए, मैं स्पष्ट रूप से समझाने की कोशिश करूंगा।

संभावना वह संभावना है कि जो घटना हम चाहते हैं वह घटित होगी।

उदाहरण के लिए, आपने किसी दोस्त के घर जाने का फैसला किया, आपको प्रवेश द्वार याद है और यहां तक कि वह मंजिल भी याद है जिस पर वह रहता है। लेकिन मैं अपार्टमेंट का नंबर और स्थान भूल गया। और यहाँ आप खड़े हैं सीढ़ी, और आपके सामने चुनने के लिए दरवाजे हैं।

इसकी क्या संभावना (संभावना) है कि यदि आप पहली घंटी बजाते हैं, तो आपका मित्र आपके लिए दरवाजा खोल देगा? वहाँ केवल अपार्टमेंट हैं, और एक दोस्त उनमें से केवल एक के पीछे रहता है। समान अवसर के साथ हम कोई भी दरवाजा चुन सकते हैं।

लेकिन यह मौका क्या है?

दरवाजे, सही दरवाज़ा. पहला दरवाज़ा बजाकर अनुमान लगाने की संभावना: . यानी तीन में से एक बार आप सटीक अनुमान लगा लेंगे.

हम जानना चाहते हैं कि एक बार फोन करने के बाद हम कितनी बार दरवाजे का अनुमान लगाएंगे? आइए सभी विकल्पों पर नजर डालें:

तुमने बुलाया 1दरवाजा
तुमने बुलाया 2दरवाजा
तुमने बुलाया 3दरवाजा

आइए अब उन सभी विकल्पों पर नजर डालें जहां कोई मित्र हो सकता है:

एक। पीछे 1दरवाजा
बी। पीछे 2दरवाजा
वी पीछे 3दरवाजा

आइए तालिका के रूप में सभी विकल्पों की तुलना करें। एक चेकमार्क विकल्पों को इंगित करता है जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान से मेल खाती है, एक क्रॉस - जब यह मेल नहीं खाता है।

आप हर चीज को कैसे देखते हैं शायद विकल्पआपके मित्र का स्थान और आपकी पसंद कि किस दरवाजे पर घंटी बजानी है।

ए सभी के अनुकूल परिणाम . यानी आप एक बार दरवाजे की घंटी बजाकर ही अंदाजा लगा लेंगे, यानी. .

यह संभाव्यता है - संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल परिणाम (जब आपकी पसंद आपके मित्र के स्थान से मेल खाती है) का अनुपात।

परिभाषा ही सूत्र है. प्रायिकता को आमतौर पर p द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए:

ऐसा सूत्र लिखना बहुत सुविधाजनक नहीं है, इसलिए हम अनुकूल परिणामों की संख्या लेंगे और परिणामों की कुल संख्या लेंगे।

संभावना को प्रतिशत के रूप में लिखा जा सकता है; ऐसा करने के लिए, आपको परिणामी परिणाम को इससे गुणा करना होगा:

"परिणाम" शब्द ने संभवतः आपका ध्यान खींचा होगा। चूँकि गणितज्ञ विभिन्न क्रियाओं (हमारे मामले में, ऐसी क्रिया एक डोरबेल है) को प्रयोग कहते हैं, ऐसे प्रयोगों के परिणाम को आमतौर पर परिणाम कहा जाता है।

खैर, अनुकूल और प्रतिकूल परिणाम होते रहते हैं।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि हमने एक दरवाज़ा बजाया, लेकिन एक अजनबी ने हमारे लिए दरवाज़ा खोला। हमने सही अनुमान नहीं लगाया. इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि हम बचे हुए दरवाज़ों में से किसी एक पर घंटी बजाएँ, तो हमारा मित्र हमारे लिए उसे खोल देगा?

अगर आपने ऐसा सोचा है तो ये गलती है. आइए इसका पता लगाएं।

हमारे पास दो दरवाजे बचे हैं। तो हमारे पास संभावित कदम हैं:

1) कॉल करें 1दरवाजा
2) कॉल करें 2दरवाजा

इस सब के बावजूद, मित्र निश्चित रूप से उनमें से एक के पीछे है (आखिरकार, वह जिसे हमने बुलाया था उसके पीछे नहीं था):

ए) दोस्त के लिए 1दरवाजा
बी) दोस्त के लिए 2दरवाजा

आइए फिर से तालिका बनाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल वही विकल्प हैं जो अनुकूल हैं। अर्थात् प्रायिकता बराबर है।

क्यों नहीं?

जिस स्थिति पर हमने विचार किया वह है आश्रित घटनाओं का उदाहरण.पहला इवेंट पहली डोरबेल है, दूसरा इवेंट दूसरा डोरबेल है।

और इन्हें आश्रित इसलिए कहा जाता है क्योंकि ये निम्नलिखित क्रियाओं को प्रभावित करते हैं। आख़िरकार, यदि पहली घंटी बजने के बाद किसी मित्र ने उत्तर दिया, तो क्या संभावना होगी कि वह अन्य दो में से एक के पीछे था? सही, ।

लेकिन यदि आश्रित घटनाएँ हैं, तो अवश्य भी होंगी स्वतंत्र? यह सही है, वे घटित होते हैं।

एक पाठ्यपुस्तक का उदाहरण सिक्का उछालना है।

एक बार सिक्का उछालो. उदाहरण के लिए, चित आने की प्रायिकता क्या है? यह सही है - क्योंकि सभी विकल्प हैं (या तो हेड या टेल, हम सिक्के के किनारे पर उतरने की संभावना को नजरअंदाज कर देंगे), लेकिन यह केवल हमारे लिए उपयुक्त है।
लेकिन बात सिर चढ़ गई. ठीक है, चलो इसे फिर से फेंक देते हैं। अब चित आने की प्रायिकता क्या है? कुछ भी नहीं बदला है, सब कुछ वैसा ही है. कितने विकल्प? दो। हम कितनों से खुश हैं? एक।

और इसे लगातार कम से कम एक हजार बार सिर ऊपर आने दें। एक बार में चित आने की संभावना समान होगी। हमेशा विकल्प होते हैं, और अनुकूल भी।

आश्रित घटनाओं को स्वतंत्र घटनाओं से अलग करना आसान है:

यदि प्रयोग एक बार किया जाता है (वे एक बार सिक्का फेंकते हैं, एक बार दरवाजे की घंटी बजाते हैं, आदि), तो घटनाएँ हमेशा स्वतंत्र होती हैं।
यदि एक प्रयोग कई बार किया जाता है (एक सिक्का एक बार फेंका जाता है, दरवाजे की घंटी कई बार बजाई जाती है), तो पहली घटना हमेशा स्वतंत्र होती है। और फिर, यदि अनुकूल परिणामों की संख्या या सभी परिणामों की संख्या बदलती है, तो घटनाएँ निर्भर होती हैं, और यदि नहीं, तो वे स्वतंत्र होती हैं।

आइए संभाव्यता निर्धारित करने का थोड़ा अभ्यास करें।

उदाहरण 1।

सिक्के को दो बार उछाला जाता है. लगातार दो बार चित आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

आइए हर चीज़ पर विचार करें संभावित विकल्प:

ईगल-ईगल
चित्त पट
पूँछ-सिर
पूँछ-पूँछ

जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल विकल्प हैं। इनमें से हम केवल संतुष्ट हैं। अर्थात्, संभावना:

यदि शर्त केवल संभाव्यता ज्ञात करने के लिए कहती है, तो उत्तर प्रपत्र में दिया जाना चाहिए दशमलव. यदि यह निर्दिष्ट किया जाता कि उत्तर प्रतिशत के रूप में दिया जाना चाहिए, तो हम इससे गुणा करेंगे।

उत्तर:

उदाहरण 2.

चॉकलेट के एक डिब्बे में सभी चॉकलेट एक ही रैपर में पैक की जाती हैं। हालाँकि, मिठाइयों से - नट्स के साथ, कॉन्यैक के साथ, चेरी के साथ, कारमेल के साथ और नूगाट के साथ।

एक कैंडी लेने और मेवों वाली एक कैंडी प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? प्रतिशत के रूप में अपना जवाब दें।

समाधान:

कितने संभावित परिणाम हैं? .

अर्थात्, यदि आप एक कैंडी लेते हैं, तो वह डिब्बे में उपलब्ध कैंडी में से एक होगी।

कितने अनुकूल परिणाम?

क्योंकि डिब्बे में सिर्फ नट्स वाली चॉकलेट हैं.

उत्तर:

उदाहरण 3.

गुब्बारों के एक डिब्बे में. जिनमें से सफेद और काले हैं।

एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?
हमने बॉक्स में और अधिक काली गेंदें जोड़ीं। अब सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

a) बॉक्स में केवल गेंदें हैं। उनमें से सफेद हैं.

संभावना यह है:

ख) अब डिब्बे में और भी गेंदें हैं। और उतने ही गोरे बचे हैं - .

उत्तर:

कुल संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () के बराबर है।

मान लीजिए कि एक डिब्बे में लाल और हरी गेंदें हैं। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है? हरी गेंद? लाल या हरी गेंद?

लाल गेंद निकालने की प्रायिकता

हरी गेंद:

लाल या हरी गेंद:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित घटनाओं का योग () के बराबर है। इस बात को समझने से आपको कई समस्याओं का समाधान करने में मदद मिलेगी।

उदाहरण 4.

बॉक्स में मार्कर हैं: हरा, लाल, नीला, पीला, काला।

लाल मार्कर नहीं निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

आइए संख्या गिनें अनुकूल परिणाम.

लाल मार्कर नहीं, इसका मतलब हरा, नीला, पीला या काला है।

सभी घटनाओं की संभावना. और उन घटनाओं की संभावना जिन्हें हम प्रतिकूल मानते हैं (जब हम लाल मार्कर निकालते हैं) है।

इस प्रकार, एक गैर-लाल फेल्ट-टिप पेन को बाहर निकालने की संभावना है।

उत्तर:

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटाने के बराबर होती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

आप पहले से ही जानते हैं कि स्वतंत्र घटनाएँ क्या होती हैं।

यदि आपको दो (या अधिक) स्वतंत्र घटनाओं के एक पंक्ति में घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा?

मान लीजिए कि हम जानना चाहते हैं कि इसकी क्या संभावना है कि यदि हम एक सिक्के को एक बार उछालेंगे तो हमें दो बार चित दिखाई देगा?

हम पहले ही विचार कर चुके हैं - .

यदि हम एक सिक्का एक बार उछालें तो क्या होगा? एक बाज को लगातार दो बार देखने की प्रायिकता क्या है?

कुल संभावित विकल्प:

ईगल-ईगल-ईगल
हेड्स-हेड्स-टेल्स
हेड्स-टेल्स-हेड्स
चित- पट- पट
पूँछ-सिर-सिर
पूँछ-सिर-पूँछ
पूँछ-पूँछ-सिर
पूँछ-पूँछ-पूँछ

मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन इस सूची को संकलित करते समय मैंने कई बार गलतियाँ कीं। बहुत खूब! और एकमात्र विकल्प (पहला) ही हमारे लिए उपयुक्त है।

5 थ्रो के लिए, आप स्वयं संभावित परिणामों की एक सूची बना सकते हैं। लेकिन गणितज्ञ आपके जैसे मेहनती नहीं हैं।

इसलिए, उन्होंने पहले देखा और फिर साबित किया कि स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना हर बार एक घटना की संभावना से कम हो जाती है।

दूसरे शब्दों में,

आइए उसी मनहूस सिक्के का उदाहरण देखें।

किसी चुनौती में सिर मिलने की संभावना? . अब हम सिक्के को एक बार उछालते हैं.

एक पंक्ति में चित आने की प्रायिकता क्या है?

यह नियम केवल तभी काम नहीं करता जब हमें एक ही घटना के लगातार कई बार घटित होने की प्रायिकता खोजने के लिए कहा जाए।

यदि हम लगातार उछाल के लिए TAILS-HEADS-TAILS अनुक्रम खोजना चाहते हैं, तो हम वही करेंगे।

पट आने की प्रायिकता है, चित - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना:

आप एक तालिका बनाकर स्वयं इसकी जांच कर सकते हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का नियम।

इसलिए रोका! नई परिभाषा.

आइए इसका पता लगाएं। आइए अपना घिसा-पिटा सिक्का लें और इसे एक बार उछालें।
संभावित विकल्प:

ईगल-ईगल-ईगल
हेड्स-हेड्स-टेल्स
हेड्स-टेल्स-हेड्स
चित- पट- पट
पूँछ-सिर-सिर
पूँछ-सिर-पूँछ
पूँछ-पूँछ-सिर
पूँछ-पूँछ-पूँछ

तो, असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक निश्चित, दिया गया क्रम है। - ये असंगत घटनाएँ हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि दो (या अधिक) असंगत घटनाओं की संभावना क्या है, तो हम इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं।

आपको यह समझने की आवश्यकता है कि चित या पट दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

यदि हम किसी अनुक्रम (या किसी अन्य) के घटित होने की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं, तो हम संभावनाओं को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हैं।
पहली उछाल पर चित तथा दूसरी और तीसरी उछाल पर पट आने की प्रायिकता क्या है?

लेकिन अगर हम जानना चाहते हैं कि कई अनुक्रमों में से किसी एक को प्राप्त करने की संभावना क्या है, उदाहरण के लिए, जब सिर बिल्कुल एक बार आता है, यानी। विकल्प और, फिर हमें इन अनुक्रमों की संभावनाओं को जोड़ना होगा।

कुल मिलाकर विकल्प हमारे अनुकूल हैं।

हम प्रत्येक अनुक्रम के घटित होने की संभावनाओं को जोड़कर एक ही चीज़ प्राप्त कर सकते हैं:

इस प्रकार, जब हम घटनाओं के कुछ, असंगत, अनुक्रमों की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं तो हम संभावनाएं जोड़ते हैं।

खाओ महान नियम, जो आपको भ्रमित होने से बचने में मदद करता है कि कब गुणा करना है और कब जोड़ना है:

आइए उस उदाहरण पर वापस जाएं जहां हमने एक बार एक सिक्का उछाला था और एक बार हेड देखने की संभावना जानना चाहते थे।
क्या होने जा रहा है?

बाहर गिरना चाहिए:
(चित और पट और पट) या (पूंछ और चित्त और पट) या (पूंछ और पट और पट)।
यह इस प्रकार निकलता है:

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 5.

डिब्बे में पेंसिलें हैं. लाल, हरा, नारंगी और पीला और काला। लाल या हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

क्या होने जा रहा है? हमें (लाल या हरा) खींचना है।

अब यह स्पष्ट है, आइए इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ें:

उत्तर:

उदाहरण 6.

यदि एक पासे को दो बार फेंका जाता है, तो कुल 8 आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान।

हम अंक कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

(और) या (और) या (और) या (और) या (और)।

एक (कोई भी) चेहरा मिलने की प्रायिकता है।

हम संभाव्यता की गणना करते हैं:

उत्तर:

प्रशिक्षण।

मुझे लगता है कि अब आप समझ गए हैं कि आपको कब संभावनाओं की गणना करनी है, कब उन्हें जोड़ना है और कब उन्हें गुणा करना है। क्या यह नहीं? आइए थोड़ा अभ्यास करें.

कार्य:

आइए एक कार्ड डेक लें जिसमें हुकुम, दिल, 13 क्लब और 13 हीरे शामिल हैं। प्रत्येक सूट के ऐस से.

एक पंक्ति में क्लब निकालने की प्रायिकता क्या है (हम निकाले गए पहले कार्ड को वापस डेक में डालते हैं और उसे फेरबदल करते हैं)?
काला कार्ड (हुकुम या क्लब) निकलने की प्रायिकता क्या है?
चित्र (जैक, रानी, राजा या इक्का) बनाने की प्रायिकता क्या है?
एक पंक्ति में दो चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है (हम डेक से निकाला गया पहला कार्ड हटा देते हैं)?
दो कार्ड लेने पर, एक संयोजन इकट्ठा करने की क्या संभावना है - (जैक, क्वीन या किंग) और एक इक्का? जिस क्रम में कार्ड निकाले गए हैं, वह कोई मायने नहीं रखता।

उत्तर:

प्रत्येक मूल्य के कार्डों के डेक में, इसका अर्थ है:
घटनाएँ निर्भर हैं, क्योंकि पहला कार्ड निकाले जाने के बाद, डेक में कार्डों की संख्या कम हो गई (जैसा कि "चित्रों" की संख्या में हुआ)। प्रारंभ में डेक में कुल जैक, रानी, राजा और इक्के होते हैं, जिसका अर्थ है कि पहले कार्ड के साथ "चित्र" बनाने की संभावना:
चूँकि हम डेक से पहला कार्ड निकालते हैं, इसका मतलब है कि डेक में चित्र सहित पहले से ही कार्ड बचे हुए हैं। दूसरे कार्ड से चित्र बनाने की प्रायिकता:
चूँकि हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं जब हम डेक से एक "चित्र" और एक "चित्र" निकालते हैं, हमें संभावनाओं को गुणा करने की आवश्यकता होती है:
उत्तर:
पहला कार्ड निकाले जाने के बाद, डेक में कार्डों की संख्या कम हो जाएगी। इस प्रकार, दो विकल्प हमारे लिए उपयुक्त हैं:
1) पहला कार्ड ऐस है, दूसरा जैक, क्वीन या किंग है
2) हम पहले कार्ड से एक जैक, क्वीन या किंग और दूसरे से एक इक्का निकालते हैं। (इक्का और (जैक या रानी या राजा)) या ((जैक या रानी या राजा) और इक्का)। डेक में कार्डों की संख्या कम करने के बारे में मत भूलना!

यदि आप सभी समस्याओं को स्वयं हल करने में सक्षम हैं, तो आप महान हैं! अब आप एकीकृत राज्य परीक्षा में संभाव्यता सिद्धांत की समस्याओं को पागलों की तरह हल कर देंगे!

सिद्धांत संभावना। औसत स्तर

आइए एक उदाहरण देखें. मान लीजिए हम एक पासा फेंकते हैं। यह किस प्रकार की हड्डी है, क्या आप जानते हैं? इसे वे एक घन कहते हैं जिसके चेहरों पर संख्याएँ होती हैं। कितने चेहरे, कितनी संख्याएँ: से लेकर कितने तक? पहले।

तो हम पासा पलटते हैं और चाहते हैं कि वह ऊपर आये या। और हम इसे प्राप्त करते हैं.

संभाव्यता सिद्धांत में वे कहते हैं कि क्या हुआ शुभ घटना(समृद्धि से भ्रमित न हों)।

यदि ऐसा हुआ तो आयोजन भी अनुकूल होगा। कुल मिलाकर केवल दो ही अनुकूल घटनाएँ घटित हो सकती हैं।

कितने प्रतिकूल हैं? चूँकि कुल संभावित घटनाएँ हैं, इसका मतलब है कि प्रतिकूल घटनाएँ हैं (यह यदि है या घटती है)।

परिभाषा:

संभाव्यता अनुकूल घटनाओं की संख्या और सभी संभावित घटनाओं की संख्या का अनुपात है. अर्थात्, संभाव्यता दर्शाती है कि सभी संभावित घटनाओं का कितना अनुपात अनुकूल है।

संभाव्यता को लैटिन अक्षर (स्पष्ट रूप से से) द्वारा दर्शाया जाता है अंग्रेज़ी शब्दसंभाव्यता - संभाव्यता)।

संभाव्यता को प्रतिशत के रूप में मापने की प्रथा है (विषय देखें)। ऐसा करने के लिए, संभाव्यता मान को गुणा करना होगा। उदाहरण के साथ पासासंभावना।

और प्रतिशत में: .

उदाहरण (स्वयं निर्णय लें):

सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता क्या है? सिर उतरने की प्रायिकता क्या है?
पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? कौन सा अजीब है?
साधारण, नीले और लाल पेंसिलों के एक डिब्बे में। हम यादृच्छिक रूप से एक पेंसिल निकालते हैं। एक साधारण प्राप्त करने की संभावना क्या है?

समाधान:

कितने विकल्प हैं? चित और पट - केवल दो। उनमें से कितने अनुकूल हैं? केवल एक ही उकाब है. तो संभावना
पूँछ के साथ भी ऐसा ही है: .
कुल विकल्प: (घन की कितनी भुजाएँ हैं, कितने विभिन्न विकल्प). अनुकूल वाले: (ये सभी सम संख्याएँ हैं:)।
संभावना। बेशक, विषम संख्याओं के साथ भी ऐसा ही है।
कुल: । अनुकूल: . संभावना: ।

कुल संभावना

डिब्बे में सभी पेंसिलें हरी हैं। लाल पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? कोई संभावना नहीं है: संभावना (आखिरकार, अनुकूल घटनाएं -)।

ऐसी घटना को असंभव कहा जाता है।

हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? अनुकूल घटनाओं की संख्या बिल्कुल उतनी ही है जितनी कुल घटनाओं की है (सभी घटनाएँ अनुकूल हैं)। अतः प्रायिकता या के बराबर है।

ऐसी घटना को विश्वसनीय कहा जाता है।

यदि एक डिब्बे में हरी और लाल पेंसिल हैं, तो हरी या लाल पेंसिल निकलने की प्रायिकता क्या है? एक बार फिर। आइए इस पर ध्यान दें: हरे रंग को बाहर निकालने की संभावना बराबर है, और लाल को बाहर निकालने की संभावना बराबर है।

कुल मिलाकर, ये संभावनाएँ बिल्कुल बराबर हैं। वह है, सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं का योग या के बराबर है।

उदाहरण:

पेंसिल के एक डिब्बे में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सादे, पीले और बाकी नारंगी हैं। हरा रंग न आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

हमें याद है कि सभी संभावनाएँ जुड़ती हैं। और हरा होने की संभावना बराबर है. इसका मतलब यह है कि हरा न निकलने की संभावना बराबर है।

इस ट्रिक को याद रखें:किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटाने के बराबर होती है।

स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन नियम

आप एक सिक्के को एक बार उछालते हैं और चाहते हैं कि वह दोनों बार सिर ऊपर आये। इसकी सम्भावना क्या है?

आइए सभी संभावित विकल्पों पर गौर करें और निर्धारित करें कि कितने हैं:

हेड्स-हेड्स, टेल्स-हेड्स, हेड्स-टेल्स, टेल्स-टेल्स। और क्या?

कुल विकल्प. इनमें से केवल एक ही हमारे लिए उपयुक्त है: ईगल-ईगल। कुल मिलाकर, संभावना बराबर है.

अच्छा। अब चलो एक बार सिक्का उछालें. गणित स्वयं करो. घटित? (उत्तर)।

आपने देखा होगा कि प्रत्येक अगले थ्रो को जोड़ने पर संभावना आधी हो जाती है। सामान्य नियमबुलाया गुणन नियम:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएँ बदल जाती हैं।

स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं? सब कुछ तार्किक है: ये वे हैं जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्के को कई बार उछालते हैं, तो हर बार एक नया फेंक दिया जाता है, जिसका परिणाम पिछले सभी उछालों पर निर्भर नहीं करता है। हम एक ही समय में दो अलग-अलग सिक्के आसानी से फेंक सकते हैं।

और ज्यादा उदाहरण:

पासे दो बार फेंके जाते हैं। इसे दोनों बार प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
सिक्का एक बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पहली बार शीर्ष पर आएगा और फिर दो बार पट पर आएगा?
खिलाड़ी दो पासे फेंकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि उन पर संख्याओं का योग बराबर होगा?

उत्तर:

घटनाएँ स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि गुणन नियम काम करता है:।
चित आने की प्रायिकता बराबर है। पूँछ की सम्भावना समान है। गुणा करें:
12 केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो -की को रोल किया जाए:।

असंगत घटनाएँ और जोड़ नियम

वे घटनाएँ जो पूर्ण संभावना के बिंदु पर एक दूसरे की पूरक होती हैं, असंगत कहलाती हैं। जैसा कि नाम से पता चलता है, ये एक साथ नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो वह या तो चित या पट पर आ सकता है।

उदाहरण।

पेंसिल के एक डिब्बे में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सादे, पीले और बाकी नारंगी हैं। हरा या लाल निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान ।

हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता बराबर है। लाल - ।

सभी में अनुकूल घटनाएँ: हरा + लाल। इसका मतलब यह है कि हरा या लाल निकलने की संभावना बराबर है।

उसी संभाव्यता को इस रूप में दर्शाया जा सकता है: .

यह अतिरिक्त नियम है:असंगत घटनाओं की संभावनाएँ बढ़ जाती हैं।

मिश्रित प्रकार की समस्याएँ

उदाहरण।

सिक्के को दो बार उछाला जाता है. इसकी क्या प्रायिकता है कि रोल के परिणाम भिन्न होंगे?

समाधान ।

इसका मतलब यह है कि यदि पहला परिणाम हेड है, तो दूसरा टेल होना चाहिए, और इसके विपरीत। इससे पता चलता है कि स्वतंत्र घटनाओं के दो जोड़े हैं, और ये जोड़े एक दूसरे के साथ असंगत हैं। कहाँ गुणा करना है और कहाँ जोड़ना है, इस बारे में भ्रमित न हों।

ऐसी स्थितियों के लिए एक सरल नियम है. "और" या "ओआर" संयोजनों का उपयोग करके यह वर्णन करने का प्रयास करें कि क्या होने वाला है। उदाहरण के लिए, इस मामले में:

इसे (चित और पट) या (पट और पट) ऊपर आना चाहिए।

जहां "और" संयोजन है वहां गुणा होगा, और जहां "या" है वहां जोड़ होगा:

खुद कोशिश करना:

इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि एक सिक्के को दो बार उछाला जाए तो सिक्का दोनों बार एक ही तरफ गिरेगा?
पासे दो बार फेंके जाते हैं। कुल अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

(सिर गिरे और पूँछ गिरी) या (पूँछ गिरी और पूँछ गिरी): .
विकल्प क्या हैं? और। तब:
गिरा दिया (और) या (और) या (और): .

एक और उदाहरण:

एक बार सिक्का उछालो. इसकी क्या प्रायिकता है कि सिर कम से कम एक बार दिखाई देंगे?

समाधान:

ओह, मैं विकल्पों पर कैसे गौर नहीं करना चाहता... हेड्स-टेल्स-टेल्स, ईगल-हेड्स-टेल्स,... लेकिन इसकी कोई ज़रूरत नहीं है! आइए कुल संभाव्यता के बारे में याद रखें। तुम्हे याद है? इसकी क्या प्रायिकता है कि चील कभी बाहर नहीं गिरेगा? यह सरल है: सिर हर समय उड़ते रहते हैं, इसीलिए।

सिद्धांत संभावना। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

संभाव्यता अनुकूल घटनाओं की संख्या और सभी संभावित घटनाओं की संख्या का अनुपात है।

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की संभावना नहीं बदलती है।

कुल संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () के बराबर है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है

असंगत घटनाएँ

असंगत घटनाएँ वे होती हैं जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप संभवतः एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। कई असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाएँ बढ़ जाती हैं।

यह वर्णन करने के बाद कि क्या होना चाहिए, "और" या "ओआर" संयोजनों का उपयोग करते हुए, "और" के बजाय हम गुणन चिह्न लगाते हैं, और "ओआर" के बजाय हम एक अतिरिक्त चिह्न लगाते हैं।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

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सिक्के उछालना. संभाव्यता खोजकर समस्याओं का समाधान करना

इस पृष्ठ पर मैं समस्याओं के एक लोकप्रिय वर्ग के बारे में बात करूंगा जो संभाव्यता सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक और प्रशिक्षण मैनुअल में पाए जाते हैं - सिक्के फेंकने के बारे में समस्याएं (वैसे, वे एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी 6 में पाए जाते हैं)। शब्द भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, "एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है..." या "तीन सिक्के उछाले जाते हैं...", लेकिन इससे समाधान का सिद्धांत नहीं बदलता है, आप देखेंगे।

सिक्का उछालने पर इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए
वैसे, मैं तुरंत उल्लेख करूंगा कि ऐसी समस्याओं के संदर्भ में "वे 3 सिक्के फेंकते हैं" या "वे एक सिक्का 3 बार फेंकते हैं" लिखना महत्वपूर्ण नहीं है, परिणाम (संभावना की गणना के अर्थ में) होगा समान रहें (क्योंकि थ्रो के परिणाम एक दूसरे से स्वतंत्र हैं)।

सिक्का उछालने की समस्या के लिए दो मुख्य समाधान विधियाँ हैं, एक है सूत्र द्वारा शास्त्रीय संभाव्यता(वास्तव में, एक संपूर्ण विधि, जो स्कूली बच्चों के लिए भी सुलभ है), साथ ही इससे भी अधिक कठिन विकल्पकॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करना, दूसरा - बर्नौली सूत्र का उपयोग करना (मेरी राय में, यह पहले से भी आसान है, आपको बस सूत्र को याद रखने की आवश्यकता है)। मैं दोनों विधियों के बारे में क्रम से पढ़ने और फिर निर्णय लेते समय उपयुक्त विधि चुनने की सलाह देता हूँ।

शास्त्रीय संभाव्यता (क्रूर बल)
शास्त्रीय संभाव्यता (संयुक्त दृष्टिकोण)
बर्नौली का सूत्र
उपयोगी कड़ियां
विधि 1. संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा

सबसे पहले, हमें उस सूत्र को याद रखना होगा जिसके द्वारा हम गणना करेंगे। तो, संभावना को P=m/nP=m/n के रूप में पाया जाता है, जहां nn टॉसिंग के साथ हमारे यादृच्छिक प्रयोग के सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों की संख्या है, और मिमी उन परिणामों की संख्या है जो घटना के पक्ष में हैं (अर्थात , समस्या कथन में क्या दर्शाया गया है) . लेकिन इन रहस्यमय परिणामों को कैसे खोजा जाए? उदाहरणों से समझाना सबसे आसान है.

अतः सिक्का दो बार उछाला जाता है। यदि हम अक्षर P से पूंछों (संख्याओं) के नुकसान को और अक्षर O से सिरों के नुकसान (हथियारों का कोट) को दर्शाते हैं, तो सभी संभावित घटनाओं को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: पीपी, ओपी, आरओ और ओओ (तदनुसार, दो पूँछें गिरीं, फिर सिर, फिर पूँछ, फिर पूँछ, फिर सिर और दो उकाब)। हम इन संयोजनों की संख्या गिनते हैं और n=4n=4 प्राप्त करते हैं। अब उनमें से हमें केवल उन लोगों का चयन करने की आवश्यकता है जो "सिर बिल्कुल एक बार दिखाई देंगे" शर्त को पूरा करते हैं, ये ओपी और पीओ के संयोजन हैं और उनमें से बिल्कुल m=2m=2 हैं। तब वांछित संभावना P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5 है। तैयार!

उदाहरण 2: एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार एक ही पक्ष निकाले जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

चूँकि सिक्के को दो बार फिर से उछाला जाता है, प्रयोग के सभी प्रारंभिक परिणामों (या संयोजन, जैसा कि हम सुविधा के लिए उन्हें यहाँ कहते हैं) का सेट बिल्कुल समान है: PP, OP, PO और OO, n=4n=4। लेकिन शर्त "एक पक्ष दोनों बार गिर गया" अन्य संयोजनों से संतुष्ट है: पीपी और ओओ, जिसमें से एम = 2 एम = 2। आवश्यक प्रायिकता P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है। आइए थोड़ी अधिक जटिल समस्या की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 3: एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। ठीक दो बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

आइए शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र को फिर से लागू करें। चरण एक - 3 थ्रो के लिए सभी संभावित संयोजन लिखें! ये होंगे: एलएलसी, ओओआर, ओआरओ, ओआरआर, आरओओ, आरओआर, आरआरओ, आरआरआर। देखिए, केवल एक और थ्रो है, लेकिन संभावित संयोजन पहले से ही n=8n=8 हैं (वैसे, वे सूत्र n=2kn=2k द्वारा पाए जाते हैं, जहां kk सिक्के के उछाल की संख्या है)।

अब इस सूची से हमें केवल उन संयोजनों को छोड़ना होगा जहां O 2 बार आता है, यानी: OOP, ORO, ROO, उनमें से m=3m=3 होंगे। तब घटना की प्रायिकता P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375 है।

हमने त्वरण लिया और 4 सिक्कों की ओर आगे बढ़े।

आइए गणना शुरू करें. चरण एक - 4 सिक्कों को उछालने के लिए सभी संभावित संयोजनों को लिखें। स्वयं का परीक्षण करने के लिए, आइए तुरंत गणना करें कि n=24=16n=24=16 टुकड़े होने चाहिए! वे यहाँ हैं:
ओओओओ, ओओओओपी, ओओपीओ, ओओपीपी, ओपीओ, ओओओपी, ओप्पो, ओपीपीपी,
पू, पूप, पोपो, पॉप, पीपीओ, पीपीओपी, पीपीपीओ, पीपीपीपी।

अब हम उन्हें चुनते हैं जहां हथियारों का कोट (उर्फ ईगल, उर्फ अक्षर O) 2 या 3 बार आता है: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,
वहाँ m=10m=10 होगा। तब संभावना P=m/n=10/16=5/8=0.625P=m/n=10/16=5/8=0.625 के बराबर है।

मुझे लगता है कि इस समय तक आप पहले ही विधि का सार समझ चुके होंगे और उन समस्याओं को स्वयं हल करने में सक्षम होंगे जहां 2-3-4 सिक्के उछाले जाते हैं और सिर कभी नहीं आता है, या पूंछ बिल्कुल एक बार आती है, आदि।

विधि 2. संयुक्त दृष्टिकोण + शास्त्रीय संभाव्यता

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि आप विशेष रूप से खोज विधि का उपयोग करते हैं (जैसा कि ऊपर किया गया था), जैसे-जैसे सिक्कों की संख्या बढ़ती है, संयोजनों की संख्या तेजी से बढ़ती है (5 सिक्कों के लिए - 32, 6 सिक्कों के लिए - 64, और इसी तरह), इसलिए परिणाम लिखते समय गलती होने की संभावना अधिक होती है, समाधान विधि अपनी सरलता और आकर्षण खो देती है।

इस समस्या को हल करने का एक तरीका शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र के भीतर रहना है, लेकिन परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए संयोजन विधियों (यहाँ संयोजन सूत्र देखें) का उपयोग करें। मैं अंतिम समस्या को एक उदाहरण के रूप में उपयोग करके समझाता हूँ, इसे एक अलग तरीके से हल करना।

उदाहरण 4. एक सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि राजचिह्न 2 से 3 बार दिखाई देगा।

आइए 4 सिक्कों को उछालने वाले एक प्रयोग के सभी समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या ज्ञात करें। सभी परिणामों को फॉर्म X1X2X3X4X1X2X3X4 के कुछ अनुक्रम द्वारा एन्कोड किया जा सकता है, जहां Xi=OXi=O (दूसरी बार हेड आए) या Xi=PXi=P (दूसरी बार टेल आए)। आइए ऐसे सभी अनुक्रमों की संख्या ज्ञात करें। मान X1X1 (पहले थ्रो का परिणाम) को 2 तरीकों (हेड्स या टेल्स) से चुना जा सकता है, मान X2X2 (दूसरे थ्रो का परिणाम) को 2 तरीकों (हेड्स या टेल्स) से चुना जा सकता है, और इसी तरह। कुल मिलाकर, हमें n=2⋅2⋅2⋅2=16n=2⋅2⋅2⋅2=16 विभिन्न परिणाम मिलते हैं। या, यदि हम 4 स्थितियों में 2 वस्तुओं की पुनरावृत्ति के साथ प्लेसमेंट की संख्या के लिए कॉम्बिनेटरिक्स फॉर्मूला का उपयोग करते हैं, तो हमें तुरंत n=A24=24=16n=A42=24=16 मिलता है।

आइए कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करके अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करें। सबसे पहले, आइए ऐसे अनुक्रमों की संख्या ज्ञात करें जहां O ठीक 2 बार आता है। हम 2 स्थितियों का उपयोग करके C24C42 चुनते हैं जहां O दिखाई देगा (फिर हम बाकी पर टेल लगाते हैं)। इसी तरह, उन अनुक्रमों के लिए जहां O बिल्कुल 3 बार आता है - C34C43 विधियों का उपयोग करके, हम 3 स्थितियों का चयन करते हैं जहां O दिखाई देगा (शेष स्थिति पर शीर्ष लिखा हुआ है)। संयोजनों की संख्या गिनकर और उन्हें जोड़कर, हम अनुकूल संयोजनों की संख्या ज्ञात करते हैं:
m=C24+C34=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
m=C42+C43=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
कुल मिलाकर, हमें समान संभाव्यता मान मिलता है: P=m/n=10/16=0.625P=m/n=10/16=0.625।

बेशक, समाधान के अधिक औपचारिक गणितीय विवरण के कारण यह दृष्टिकोण अधिक जटिल लगता है, लेकिन इसे मापना बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक समान समस्या पर विचार करें:

उदाहरण 5: एक सिक्के को 8 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि राज्य-चिह्न ठीक 4 बार दिखाई देगा

उत्तर 256 संयोजनों को लिखे बिना प्राप्त किया जा सकता है (!!!), बस ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुरूप:
n=28=256;m=C48=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0.273.
n=28=256;m=C84=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0.273.
पूर्णता के लिए, मैं इसी तरह से हल की गई समस्या का एक और उदाहरण दूंगा (लेकिन यदि आप चाहें, तो आप तुरंत और अधिक पर आगे बढ़ सकते हैं) सरल तरीका 3).

उदाहरण 6. एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि हथियारों के कोट दो बार और केवल एक पंक्ति में दिखाई देंगे, और अन्य बार केवल पूंछें होंगी।

आइए 6 सिक्कों को उछालने वाले एक प्रयोग के सभी समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या ज्ञात करें। चूँकि प्रत्येक थ्रो 2 संभावित परिणाम (O या P) देता है, कुल मिलाकर हमें n=26=64n=26=64 प्रारंभिक परिणाम (OPOROP, OOORRR, आदि जैसे संयोजन) मिलते हैं।

आइए अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करें। आइए मानसिक रूप से हथियारों के दो कोटों को मिलाएं जो एक वस्तु (ओओ) में अगल-बगल दिखाई देने चाहिए। जो कुछ बचा है वह अन्य 4 प्रमुखों के बीच अपना स्थान चुनना है (इसलिए 2 प्रतीक होने चाहिए, फिर सिर - 6-2=4)। 5 वस्तुओं के अनुक्रम में स्थिति का चयन करने के लिए m=C15=5m=C51=5 तरीके हैं। स्पष्टता के लिए, यदि स्थिति 2 का चयन किया जाता है, यानी, हथियारों के दोनों कोट दूसरे स्थान पर हैं, तो यह संयोजन P(OO)RRP है, यदि स्थिति 4 का चयन किया जाता है - PPP(OO)P।
आवश्यक संभाव्यता: P=m/n=5/64=0.078P=m/n=5/64=0.078.

विधि 3. बर्नौली सूत्र

सिक्के उछालने की सामान्य समस्या पर विचार करें।
मान लीजिए सिक्के nn उछाले जाते हैं (या, जो समान है, एक सिक्का nn बार उछाला जाता है)। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि हथियारों का कोट ठीक kk बार दिखाई देगा।

चूँकि सिक्का उछालना स्वतंत्र घटनाएँ हैं (एक सिक्का उछालने का परिणाम बाद के उछालों को प्रभावित नहीं करता है), प्रत्येक उछाल में हथियारों के कोट के गिरने की संभावना समान होती है (और p=1/2=0.5p=1 के बराबर होती है) /2=0.5), बर्नौली के सूत्र को लागू करके संभाव्यता की गणना करना संभव है:
P=Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Ckn⋅(1/2)n.
P=Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=Cnk⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Cnk⋅(1/2)n.
यानी हम लेकर आये सामान्य सूत्र, जो प्रश्न का उत्तर देता है "क्या संभावना है कि हथियारों का कोट एनएन से ठीक केके बार दिखाई देगा" (हम इसे तीन समकक्ष रूपों में लिखेंगे, वह चुनें जो आपके लिए सुविधाजनक हो):
P=Ckn⋅(1/2)n=Ckn2n=Ckn⋅0.5n,Ckn=n!k!(n−k)!
P=Cnk⋅(1/2)n=Cnk2n=Cnk⋅0.5n,Cnk=n!k!(n−k)!.
और अब सभी समस्याओं को यथासंभव आसानी से हल किया जा सकता है, देखिए!

उदाहरण 1: एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शीर्ष ठीक एक बार दिखाई देगा।

n=2,k=1n=2,k=1 को प्रतिस्थापित करें और P=C12⋅(1/2)2=2⋅14=12=0.5.P=C21⋅(1/2)2=2⋅14= प्राप्त करें 12=0.5.

यह समस्या को हल करने का तीसरा तरीका है!
हम n=4,k=2n=4,k=2 और k=3k=3 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है
P=C24⋅(1/2)4+C34⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0.625.
P=C42⋅(1/2)4+C43⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0.625.
उदाहरण 7: एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कोई चित नहीं मिलेगा।

n=3,k=0n=3,k=0 को प्रतिस्थापित करें और P=C03⋅(1/2)3=1⋅18=18=0.125.P=C30⋅(1/2)3=1⋅18= प्राप्त करें 18=0.125.

उदाहरण 8. उन्हें 8 सिक्के फेंकने दें। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह कम से कम 7 बार शीर्ष पर है।

n=8,k=7n=8,k=7 और k=8k=8 को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें
P=C88⋅(1/2)8+C78⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0.035.
P=C88⋅(1/2)8+C87⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0.035.
इस प्रकार, एक का उपयोग करना सबसे सरल सूत्र, आप कई समस्याओं को हल कर सकते हैं, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप 3 सिक्के फेंकते हैं या 30, गणना की जटिलता लगभग समान है। लेकिन, यदि थ्रो की संख्या बहुत बड़ी हो जाती है, तो अनुमानित मोइवर-लाप्लास फ़ार्मुलों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है, जो यहां पाया जा सकता है।

सिक्का उछालने की समस्या काफी कठिन मानी जाती है। और इन्हें सुलझाने से पहले थोड़ी सी व्याख्या जरूरी है. इसके बारे में सोचें, संभाव्यता सिद्धांत में कोई भी समस्या अंततः मानक सूत्र पर आती है:

जहाँ p वांछित संभाव्यता है, k उन घटनाओं की संख्या है जो हमारे लिए उपयुक्त हैं, n संभावित घटनाओं की कुल संख्या है।

अधिकांश B6 समस्याओं को इस सूत्र का शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में उपयोग करके हल किया जा सकता है - बस शर्त पढ़ें। लेकिन सिक्के उछालने के मामले में यह सूत्र बेकार है, क्योंकि ऐसी समस्याओं के पाठ से यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि संख्याएँ k और n किसके बराबर हैं। यहीं कठिनाई है.

हालाँकि, कम से कम दो मौलिक हैं विभिन्न तरीकेसमाधान:

संयोजनों की गणना करने की विधि एक मानक एल्गोरिदम है। चित और पट के सभी संयोजनों को लिख लिया जाता है, जिसके बाद आवश्यक संयोजनों का चयन किया जाता है;
एक विशेष संभाव्यता सूत्र संभाव्यता की एक मानक परिभाषा है, जिसे विशेष रूप से फिर से लिखा गया है ताकि सिक्कों के साथ काम करना सुविधाजनक हो।

समस्या B6 को हल करने के लिए आपको दोनों विधियों को जानना होगा। दुर्भाग्य से, स्कूलों में केवल पहला ही पढ़ाया जाता है। आइए स्कूल की गलतियाँ न दोहराएँ। तो चलते हैं!

संयोजन खोज विधि

इस विधि को "आगे का समाधान" भी कहा जाता है। तीन चरणों से मिलकर बनता है:

हम चित और पट के सभी संभावित संयोजनों को लिखते हैं। उदाहरण के लिए: OR, RO, OO, RR। ऐसे संयोजनों की संख्या n है;
प्राप्त संयोजनों में से, हम उन संयोजनों पर ध्यान देते हैं जो समस्या की स्थितियों के लिए आवश्यक हैं। हम चिह्नित संयोजनों को गिनते हैं - हमें संख्या k मिलती है;
यह प्रायिकता ज्ञात करना बाकी है: p = k: n।

दुर्भाग्य से, यह विधि केवल कम संख्या में थ्रो के लिए काम करती है। क्योंकि प्रत्येक नए थ्रो के साथ संयोजनों की संख्या दोगुनी हो जाती है। उदाहरण के लिए, 2 सिक्कों के लिए आपको केवल 4 संयोजन लिखने होंगे। 3 सिक्कों के लिए पहले से ही 8 हैं, और 4 के लिए - 16, और त्रुटि की संभावना 100% के करीब पहुंच रही है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप स्वयं सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको समान संख्या में चित और पट प्राप्त होंगे।

तो, सिक्का दो बार उछाला जाता है। आइए सभी संभावित संयोजनों को लिखें (O - हेड, P - टेल):

कुल n = 4 विकल्प. आइए अब उन विकल्पों को लिखें जो समस्या की स्थितियों के अनुकूल हों:

ऐसे k = 2 विकल्प थे। प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

काम। सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

फिर से हम चित और पट के सभी संभावित संयोजनों को लिखते हैं:

ओओओओ ओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओ
पू पू पू पोप पोप पोप पीपीओ पीपीओ पीपीपीओ पीपीपीपी

कुल मिलाकर n = 16 विकल्प थे। ऐसा लगता है जैसे मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ। इन विकल्पों में से, हम केवल "ओओओओ" संयोजन से संतुष्ट हैं, जिसमें बिल्कुल भी पूंछ नहीं है। इसलिए, k = 1. संभाव्यता ज्ञात करना बाकी है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछली समस्या में मुझे 16 विकल्प लिखने थे। क्या आप आश्वस्त हैं कि आप उन्हें बिना एक भी गलती किए लिख सकते हैं? व्यक्तिगत रूप से, मुझे यकीन नहीं है. तो चलिए दूसरे समाधान पर नजर डालते हैं।

विशेष संभाव्यता सूत्र

तो, सिक्कों के साथ समस्याएं हैं अपना सूत्रसम्भावनाएँ यह इतना सरल और महत्वपूर्ण है कि मैंने इसे एक प्रमेय के रूप में तैयार करने का निर्णय लिया। नज़र रखना:

प्रमेय. माना कि सिक्के को n बार उछाला गया है। तब संभावना है कि सिर ठीक k बार दिखाई देंगे, सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

जहां C n k k द्वारा n तत्वों के संयोजन की संख्या है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

इस प्रकार, सिक्के की समस्या को हल करने के लिए, आपको दो संख्याओं की आवश्यकता होगी: उछाल की संख्या और चित्त की संख्या। अधिकतर, ये संख्याएँ सीधे समस्या के पाठ में दी जाती हैं। इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप वास्तव में क्या गिनते हैं: पूंछ या सिर। उत्तर वही होगा.

पहली नज़र में, प्रमेय बहुत बोझिल लगता है। लेकिन एक बार जब आप थोड़ा अभ्यास कर लेंगे, तो आप ऊपर वर्णित मानक एल्गोरिदम पर वापस नहीं लौटना चाहेंगे।

काम। सिक्के को चार बार उछाला जाता है। ठीक तीन बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समस्या की स्थितियों के अनुसार, n = 4 कुल थ्रो थे। शीर्षों की आवश्यक संख्या: k = 3. सूत्र में n और k को प्रतिस्थापित करें:

काम। सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

हम संख्याएँ n और k फिर से लिखते हैं। चूँकि सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, n = 3. और चूँकि कोई चित नहीं होना चाहिए, k = 0. सूत्र में संख्याओं n और k को प्रतिस्थापित करना बाकी है:

मैं आपको याद दिला दूं कि 0! परिभाषा के अनुसार = 1. इसलिए सी 3 0 = 1.

काम। एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित, पट की तुलना में अधिक बार दिखाई देगा।

पूँछ से अधिक सिर होने के लिए, उन्हें या तो 3 बार आना चाहिए (तब 1 पूँछ होगी) या 4 बार (तब कोई पूँछ ही नहीं होगी)। आइए इनमें से प्रत्येक घटना की प्रायिकता ज्ञात करें।

माना p 1 प्रायिकता है कि चित तीन बार दिखाई देंगे। तब n = 4, k = 3. हमारे पास है:

अब आइए पी 2 खोजें - संभावना है कि सिर सभी 4 बार दिखाई देंगे। इस मामले में n = 4, k = 4. हमारे पास है:

उत्तर पाने के लिए, केवल संभावनाओं पी 1 और पी 2 को जोड़ना बाकी है। याद रखें: आप केवल परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए संभावनाएं जोड़ सकते हैं। हमारे पास है:

पी = पी 1 + पी 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

इसलिए, आपका तत्काल शगल बेहद उपयोगी होगा। इसके अलावा, मैं आपको बताऊंगा कि क्या गलत है भारी बहुमतलॉटरी और जुए में भाग लेने वाले। ...नहीं, विश्वास या "जैकपॉट हासिल करने" की धुंधली आशा का इससे कोई लेना-देना नहीं है ;-) बिना पलक झपकाए भी, हम इस विषय में डूबे हुए हैं:

क्या हुआ है स्वतंत्र परीक्षण ? नाम से ही लगभग सब कुछ स्पष्ट है. कई परीक्षण किए जाएं. यदि उनमें से प्रत्येक में एक निश्चित घटना घटित होने की प्रायिकता निर्भर नहीं करताशेष परीक्षणों के परिणामों से, फिर... हम वाक्य को एक स्वर में समाप्त करते हैं =) शाबाश। इसके अलावा, वाक्यांश "स्वतंत्र परीक्षण" का अर्थ अक्सर होता है दोहराया गयास्वतंत्र परीक्षण - जब उन्हें एक के बाद एक क्रियान्वित किया जाता है।

सबसे सरल उदाहरण:
- सिक्का 10 बार उछाला जाता है;
- पासे को 20 बार उछाला जाता है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी परीक्षण में हेड या टेल आने की संभावना अन्य थ्रो के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है। एक समान कथन, स्वाभाविक रूप से, घन के लिए सत्य है।

लेकिन डेक से कार्डों को क्रमिक रूप से हटाना स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला नहीं है - जैसा कि आपको याद है, यह एक श्रृंखला है आश्रित घटनाएँ. हालाँकि, यदि आप हर बार कार्ड लौटाते हैं, तो स्थिति "जैसी होनी चाहिए" वैसी ही हो जाएगी।

मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं - हमारा अतिथि एक और टर्मिनेटर है, जो अपनी सफलताओं/असफलताओं के प्रति बिल्कुल उदासीन है, और इसलिए उसकी शूटिंग स्थिरता का एक उदाहरण है =):

समस्या 1

निशानेबाज़ लक्ष्य पर 4 गोलियाँ चलाता है। प्रत्येक शॉट के साथ हिट की संभावना स्थिर और बराबर है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

क) निशानेबाज केवल एक बार वार करेगा;
बी) शूटर 2 बार वार करेगा।

समाधान: शर्त तैयार है वी सामान्य रूप से देखें और प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना प्रसिद्ध माना जाता है. यह बराबर है (यदि यह वास्तव में कठिन है, तो पैरामीटर को कुछ पैरामीटर निर्दिष्ट करें विशिष्ट अर्थ, उदाहरण के लिए,) .

एक बार जब हमें पता चल जाता है, तो प्रत्येक शॉट में चूक की संभावना का पता लगाना आसान हो जाता है:
, अर्थात "कू" भी है हमें ज्ञात मात्रा.

क) घटना पर विचार करें "शूटर केवल एक बार ही मारेगा"और इसकी प्रायिकता को इससे निरूपित करें (सूचकांकों को "चार में से एक हिट" के रूप में समझा जाता है). इस इवेंट में 4 असंगत परिणाम शामिल हैं: निशानेबाज़ पहला स्थान हासिल करेगा यादूसरे में यातीसरे में याचौथे प्रयास में.

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 10 सिक्के फेंकने पर 3 सिक्के शीर्ष पर आएँगे।

यहां परीक्षण दोहराए नहीं जाते, बल्कि एक साथ किए जाते हैं, लेकिन, फिर भी, वही सूत्र काम करता है:।

समाधान विशेष रूप से अर्थ और कुछ टिप्पणियों में भिन्न होगा:
इन विधियों का उपयोग करके, आप 3 सिक्कों का चयन कर सकते हैं जिन पर शीर्ष दिखाई देंगे।
- 10 सिक्कों में से प्रत्येक पर चित आने की संभावना
वगैरह।

हालाँकि, व्यवहार में, ऐसी समस्याएँ इतनी बार नहीं होती हैं, और, जाहिरा तौर पर, इस कारण से, बर्नौली का सूत्र लगभग रूढ़िवादी रूप से केवल बार-बार किए गए परीक्षणों से जुड़ा होता है। हालाँकि, जैसा कि अभी दिखाया गया है, दोहराव बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

के लिए अगला कार्य स्वतंत्र निर्णय:

समस्या 3

पासे 6 बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 5 अंक:

a) बाहर नहीं गिरेगा (0 बार दिखाई देगा);
बी) 2 बार दिखाई देगा;
ग) 5 बार दिखाई देगा।

परिणामों को 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।

त्वरित समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यह स्पष्ट है कि विचाराधीन उदाहरणों में, कुछ घटनाओं की संभावना अधिक है, और कुछ की कम संभावना है। इसलिए, उदाहरण के लिए, बिना किसी गणना के भी 6 पासों को घुमाने पर, यह सहज रूप से स्पष्ट है कि अंक "ए" और "बी" की घटनाओं की संभावनाएं "पांच" के 5 गुना लुढ़कने की संभावना से बहुत अधिक हैं। आइए अब खोजने का कार्य निर्धारित करें

स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की सर्वाधिक संभावित संख्या

फिर, समस्या संख्या 3 में अंतर्ज्ञान के स्तर पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि "पांच" की उपस्थिति की सबसे संभावित संख्या एक के बराबर है - आखिरकार, कुल छह चेहरे हैं, और 6 पासा रोल के साथ, प्रत्येक उनमें से औसतन एक बार दिखना चाहिए। जो लोग रुचि रखते हैं वे संभाव्यता की गणना कर सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या यह "प्रतिस्पर्धी" मूल्यों से अधिक है और।

आइए हम एक सख्त मानदंड बनाएं: स्वतंत्र परीक्षणों में किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की सर्वाधिक संभावित संख्या ज्ञात करना (प्रत्येक परीक्षण में संभाव्यता के साथ)निम्नलिखित दोहरी असमानता द्वारा निर्देशित हैं:

, और:

1) यदि मान भिन्नात्मक है, तो एक सर्वाधिक संभावित संख्या होती है;
विशेष रूप से, यदि एक पूर्णांक है, तो यह सबसे संभावित संख्या है: ;

2) यदि यह संपूर्ण है, तो हैं दोसर्वाधिक संभावित संख्याएँ: तथा .

6 पासों के रोल में "पाँच" के घटित होने की सर्वाधिक संभावित संख्या इसके अंतर्गत आती है विशेष मामलापहला बिंदु:

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कुछ समस्याओं का समाधान करेंगे:

समस्या 4

बास्केटबॉल खिलाड़ी द्वारा गेंद फेंकते समय टोकरी से टकराने की प्रायिकता 0.3 है। 8 थ्रो और संबंधित प्रायिकता के साथ हिट की सबसे संभावित संख्या ज्ञात कीजिए।

और यह, यदि टर्मिनेटर नहीं है, तो कम से कम एक ठंडे खून वाला एथलीट है =)

समाधान: हिट की सबसे संभावित संख्या का अनुमान लगाने के लिए हम दोहरी असमानता का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

- कुल फेंकता;
- प्रत्येक थ्रो के साथ टोकरी से टकराने की संभावना;
- प्रत्येक थ्रो के साथ चूक की संभावना।

इस प्रकार, 8 थ्रो के साथ हिट की सबसे संभावित संख्या निम्नलिखित सीमा के भीतर है:

चूँकि बायाँ बॉर्डर एक भिन्नात्मक संख्या है (बिंदु क्रमांक 1), तो एक सबसे संभावित मान है, और, जाहिर है, यह के बराबर है।

बर्नौली के सूत्र का उपयोग करना , आइए इस संभावना की गणना करें कि 8 थ्रो के साथ ठीक 2 हिट होंगे:

उत्तर: - 8 थ्रो के साथ हिट की सबसे संभावित संख्या,
– संगत संभावना.

स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान कार्य:

समस्या 5

सिक्के को 9 बार उछाला जाता है। एक बाज के घटित होने की सर्वाधिक संभावित संख्या की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

पाठ के अंत में नमूना समाधान और उत्तर।

एक दिलचस्प विषयांतर के बाद, हम कुछ और समस्याओं पर गौर करेंगे, और फिर मैं गेम को सही ढंग से खेलने का रहस्य साझा करूंगा। जुआऔर लॉटरी.

समस्या 6

स्वचालित मशीन पर उत्पादित उत्पादों में औसतन 60% उत्पाद प्रथम श्रेणी के होते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चयनित 6 वस्तुओं में से ये होंगी:

क) 2 से 4 प्रथम श्रेणी के उत्पाद;
बी) कम से कम 5 प्रथम श्रेणी के उत्पाद;
ग) निम्न ग्रेड का कम से कम एक उत्पाद।

प्रथम श्रेणी के उत्पाद के उत्पादन की संभावना उत्पादित अन्य उत्पादों की गुणवत्ता पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए हम यहां स्वतंत्र परीक्षण के बारे में बात कर रहे हैं। स्थिति के विश्लेषण की उपेक्षा न करने का प्रयास करें, अन्यथा यह एक घटना बन सकती है आश्रितया कार्य पूरी तरह से कुछ और ही है।

समाधान: संभावना को प्रतिशत के रूप में एन्कोड किया गया है, जिसे, मैं आपको याद दिलाता हूं, एक सौ से विभाजित करने की आवश्यकता है: - संभावना है कि चयनित उत्पाद पहली कक्षा का होगा।
तब:- प्रायिकता है कि यह प्रथम श्रेणी का नहीं होगा।

क) घटना "बेतरतीब ढंग से चुने गए 6 उत्पादों में से 2 से 4 प्रथम श्रेणी के उत्पाद होंगे"इसमें तीन असंगत परिणाम शामिल हैं:

उत्पादों में 2 प्रथम श्रेणी वाले होंगे या 3 प्रथम श्रेणी या 4 प्रथम श्रेणी.

परिणामों से अलग-अलग निपटना अधिक सुविधाजनक है। हम बर्नौली के सूत्र का तीन बार उपयोग करते हैं :

- संभावना है कि दिन के दौरान छह में से कम से कम 5 कंप्यूटर बिना किसी विफलता के काम करेंगे।

यह मानयह हमारे लिए भी उपयुक्त नहीं होगा, क्योंकि यह कंप्यूटर केंद्र की आवश्यक विश्वसनीयता से कम है:

इस प्रकार, छह कंप्यूटर भी पर्याप्त नहीं हैं। आइए एक और जोड़ें:

3) कंप्यूटर सेंटर में कंप्यूटर हों. फिर 5, 6 या 7 कंप्यूटर त्रुटिहीन रूप से काम करेंगे। बर्नौली के सूत्र का उपयोग करना और असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय, आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि सात में से कम से कम 5 कंप्यूटर दिन के दौरान त्रुटिहीन रूप से काम करेंगे।