Elemen listrik manakah yang sesuai dengan diagram vektor? Rangkaian seri R, L pada arus bolak-balik : diagram vektor arus dan tegangan, segitiga tegangan. Hukum Ohm dalam bentuk kompleks

DI DALAM resistensi aktif tegangan dan arus sefasa, sehingga vektor tegangan Ū R dan arus Ī diarahkan dalam satu arah (Gbr. 2.1). Mereka dapat terletak pada satu garis atau pada garis sejajar. Dalam hal ini, sekumpulan vektor Ū R dan Ī mungkin memiliki arah yang berubah-ubah, tetapi dalam semua kasus, sudut antara vektor adalah nol .

Catatan. Untuk memastikan bahwa vektor-vektor berbeda yang terletak pada garis lurus yang sama tidak menyatu dan mudah dibedakan satu sama lain, kami sarankan untuk menggambarnya pada jarak tertentu yang cukup kecil satu sama lain.

2.2. Induktansi

Dalam induktansi, arus keluar fasa dengan tegangan sebanyak seperempat siklus. Dalam diagram vektor, sudut antar vektor Ū Tanah Ī adalah 90º. Dan inilah sekumpulan vektor Ū Tanah Ī dapat diorientasikan dengan cara apa pun, tetapi posisi relatifnya tidak berubah. Ketika rangkaian diputar berlawanan arah jarum jam, vektor tegangan berada di depan Ū L, diikuti oleh vektor arus dengan lag 90º Ī (Gbr. 2.2).

2.3. Kapasitas

Dalam kapasitor, tegangan tertinggal dari arus seperempat periode. Sudut antar vektor Ū C dan Ī juga sama dengan 90º, tetapi di sini, ketika diagram diputar berlawanan arah jarum jam, vektor arus berada di depan, diikuti oleh vektor tegangan (Gbr. 2.3).

Ditentukan pengaturan bersama vektor pada diagram terjadi ketika panah tegangan dan arus pada diagram elemen yang bersangkutan berada pada arah yang sama.

3. Rangkaian listrik dengan sambungan seri elemen

Tugas 3.1. Diperlukan untuk membuat diagram vektor suatu rangkaian yang terdiri dari elemen-elemen yang dihubungkan seri (Gbr. 3.1.).

Mari kita tuliskan persamaan hukum kedua Kirchhoff dalam bentuk vektor: tegangan yang diterapkan pada rangkaian sama dengan jumlah tegangan pada semua elemen:

Ū = Ū R 1 + Ū L+ Ū R 2 + Ū C (3.1)

Kami menulis jumlah tegangan di sisi kanan persamaan dalam urutan ketika berjalan mengelilingi kontur dari titik A (terminal masukan pertama) ke titik D (ke terminal masukan kedua) elemen terkait ditemukan. Kami akan memplot vektor dalam urutan yang sama. Saat membuat diagram, kita mengelilingi rangkaian searah dengan arus. Perlu diketahui bahwa arah panah tegangan pada setiap elemen rangkaian bertepatan dengan arah panah arus.

Kita mulai membuat diagram dengan vektor saat ini, karena dalam rangkaian seri, arusnya sama untuk semua elemen (Gbr. 3.2, a).

Elemen pertama yang kita temui ketika mengelilingi rangkaian adalah resistansi aktif. R 1 . Vektor tegangan pada terminalnya Ū R 1 diarahkan sepanjang vektor saat ini Ī , menggabungkan asal mula kedua vektor ini (Gbr. 3.2, b). Elemen selanjutnya adalah induktansi L . Tegangan Ū L di atasnya menurut persamaan 3.1 harus kita tambahkan tegangannya Ū R1. Oleh karena itu, permulaan vektor Ū L digabungkan dengan ujung vektor Ū R 1 dan sesuai dengan pasal 2.2. kita mengarahkannya ke atas - ke arah majunya arus (Gbr. 3.2, c). Menjelang akhir vektor Ū L kita lampirkan vektornya Ū R 2, mengarahkannya sejajar dengan vektor arus Ī (Gbr. 3.2, d).

vektor terakhir – Ū C ditempelkan pada ujung vektor Ū R 2 , mengarahkannya ke arah yang tertinggal arus, mis. turun (Gbr. 3.2, d). Vektor Ū , diambil dari awal vektor Ū R 1 sampai akhir vektor Ū C, dan sama dengan jumlah keempat vektor, menentukan tegangan input rangkaian (Gbr. 3.2, e).

Diagram vektor yang dihasilkan memungkinkan Anda menentukan tegangan di masing-masing area rangkaian listrik. Misalnya tegangan antar titik A Dan B terdiri dari tegangan pada resistansi aktif R 1 dan induktansi L , jadi vektornya Ū ab , diarahkan dari awal vektor Ū R 1 sampai akhir vektor Ū L (ditunjukkan dalam garis putus-putus). Vektor Ū bd sama dengan jumlah vektor Ū R 2 dan Ū C.

Masalah 3.2. Dengan menggunakan diagram vektor yang diberikan (Gbr. 3.3), gambarlah sirkuit yang digunakan untuk membuat diagram tersebut.

Diagram menunjukkan satu vektor arus dan lima vektor tegangan, yang dijumlahkan dengan vektor tersebut Ū :

Ū = Ū 1 + Ū 2 + Ū 3 + Ū 4 + Ū 5.

Dari sini kita menyimpulkan bahwa rangkaian listrik terdiri dari lima elemen yang dihubungkan secara seri, yang melaluinya arus yang sama mengalir.

Tegangan Ū 1 pada elemen pertama tertinggal 90º dari arus, oleh karena itu, ini adalah kapasitansi. Elemen kedua adalah resistansi aktif, karena vektor Ū 2 sejajar dengan vektor saat ini Ī , bertepatan dengan itu dalam fase. Tegangan Ū 3 memimpin arus sebesar 90º, oleh karena itu, elemen ketiga adalah induktansi. Elemen keempat adalah kapasitas, karena tegangan Ū 4 tertinggal arus sebesar 90º (keluar fase dengan tegangan Ū 3). Dan terakhir, elemen terakhir lagi-lagi resistensi aktif, karena tegangan yang melewatinya sefasa dengan arus - vektor Ū 5 dan Ī sejajar dan diarahkan pada arah yang sama. Tampilan umum rangkaian ditunjukkan pada Gambar 3.4.

Pada resistansi aktif, tegangan dan arus berada dalam satu fasa, sehingga vektor tegangan Ū R dan arus Ī diarahkan dalam satu arah (Gbr. 2.1). Mereka dapat terletak pada satu garis atau pada garis sejajar. Dalam hal ini, sekumpulan vektor Ū R dan Ī mungkin memiliki arah yang berubah-ubah, tetapi dalam semua kasus, sudut antara vektor adalah nol .

2.2. Induktansi

2.3. Kapasitas

Susunan relatif vektor-vektor yang ditunjukkan dalam diagram terjadi ketika panah tegangan dan arus pada diagram elemen yang bersangkutan berada pada arah yang sama.

3. Rangkaian listrik dengan sambungan seri elemen

Tugas 3.1. Diperlukan untuk membuat diagram vektor suatu rangkaian yang terdiri dari elemen-elemen yang dihubungkan seri (Gbr. 3.1.).

Mari kita tuliskan persamaan hukum kedua Kirchhoff dalam bentuk vektor: tegangan yang diterapkan pada rangkaian sama dengan jumlah tegangan pada semua elemen:

Ū = Ū R 1 + Ū L+ Ū R 2 + Ū C (3.1)

Kita mulai membuat diagram dengan vektor saat ini, karena dalam rangkaian seri, arusnya sama untuk semua elemen (Gbr. 3.2, a).

Diagram vektor yang dihasilkan memungkinkan Anda menentukan tegangan di masing-masing bagian rangkaian listrik. Misalnya tegangan antar titik A Dan B terdiri dari tegangan pada resistansi aktif R 1 dan induktansi L , jadi vektornya Ū ab , diarahkan dari awal vektor Ū R 1 sampai akhir vektor Ū L (ditunjukkan dalam garis putus-putus). Vektor Ū bd sama dengan jumlah vektor Ū R 2 dan Ū C.

Masalah 3.2. Dengan menggunakan diagram vektor yang diberikan (Gbr. 3.3), gambarlah sirkuit yang digunakan untuk membuat diagram tersebut.

Diagram menunjukkan satu vektor arus dan lima vektor tegangan, yang dijumlahkan dengan vektor tersebut Ū :

Ū = Ū 1 + Ū 2 + Ū 3 + Ū 4 + Ū 5.

Dari sini kita menyimpulkan bahwa rangkaian listrik terdiri dari lima elemen yang dihubungkan secara seri, yang melaluinya arus yang sama mengalir.

segitiga stres Dan segitiga resistensi,:

Rangkaian seri R,C hidup arus bolak-balik: diagram vektor arus dan tegangan, segitiga tegangan. Hukum Ohm dalam bentuk kompleks.

jika arus mengalir pada cabang tersebut, maka penurunan tegangan adalah jumlah dari:

Di mana ; Persamaan di atas dapat dikaitkan dengan ekspresi: , yang ditunjukkan dengan jelas oleh diagram vektor yang disebut masing-masing segitiga stres Dan segitiga resistensi,:

Hukum Ohm dalam bentuk kompleks:

Rangkaian seri R, L, C pada arus bolak-balik : diagram vektor arus dan tegangan. Reaktansi rantai. Resonansi tegangan.

penurunan tegangan pada rangkaian: , dimana: , a . Bergantung pada rasio jumlah dan, tiga kasus berbeda mungkin terjadi:

Rangkaian ini didominasi oleh induktansi, mis. , dan akibatnya . Mode ini sesuai dengan diagram vektor aktif gambar a.

Rangkaian ini didominasi oleh kapasitansi, mis. , yang berarti . Kasus ini tercermin dalam diagram vektor di Gambar b.

Kasus resonansi tegangan ( menggambar masuk).

Kondisi resonansi tegangan: , di mana . Pada resonansi tegangan atau mode yang mendekatinya, arus dalam rangkaian meningkat tajam. Dalam kasus teoritis, pada R=0 nilainya cenderung tak terhingga. Sesuai dengan peningkatan arus, tegangan pada elemen induktif dan kapasitif meningkat, yang bisa berkali-kali lipat lebih tinggi daripada tegangan sumber listrik. Esensi fisik resonansi terletak pada pertukaran energi secara periodik antar Medan gaya induktor dan medan listrik kapasitor, dan jumlah energi medan tetap konstan.

- kurva resonansi Ketergantungan arus dan tegangan pada frekuensi disebut:

Rangkaian listrik arus bolak-balik bercabang: konduktifitas kompleks cabang seri R, L, segitiga konduktifitas, ekuivalen Sirkuit Paralel dengan konduktivitas.

- impedansi rantai seperti itu: ;

- masuk: ;

Saat menggambarkan segitiga konduktivitas pada area kompleks, konduktifitas aktif, induktif, dan total diplot: (lihat gambar) dan

Sirkuit serial sambungan R dan L dapat diganti dengan sambungan paralel dengan mengubah arus yang melalui rangkaian sebagai jumlah dari arus aktif dan arus reaktif:

Lebih mudah untuk melakukan perhitungan sirkuit bercabang, mengarahkannya ke paralel yang setara:

Rangkaian listrik paralel kapasitor dan induktor: rangkaian paralel ekivalen, diagram arus vektor. Resonansi arus.

Kompleks arus total yang melalui cabang berikut: ;

Konduktivitas rangkaian seperti itu: , a

Tergantung pada rasio jumlah dan, tiga kasus berbeda mungkin terjadi.

Rangkaian ini didominasi oleh induktansi, mis. , dan akibatnya, . Mode ini sesuai dengan diagram vektor aktif gambar a .

Rangkaian ini didominasi oleh kapasitansi, mis. , yang berarti . Kasus ini diilustrasikan oleh diagram vektor di Gambar b .

Dan - kasus resonansi saat ini ( menggambar masuk ).

Kondisi resonansi saat ini atau . Jadi, dengan resonansi arus, konduktansi masukan rangkaian menjadi minimal, dan resistansi masukan, sebaliknya, maksimum. Khususnya jika tidak ada resistor pada rangkaian pada gambar R resistansi masukannya dalam mode resonansi cenderung tak terhingga, mis. pada resonansi arus, arus pada masukan rangkaian minimal.

Kondisi resonansi di atas hanya berlaku untuk rangkaian paling sederhana dengan seri atau koneksi paralel elemen induktif dan kapasitif.

Daya pada rangkaian listrik AC: daya sesaat pada elemen R, L, C. Daya reaktif induktansi dan kapasitansi. Segitiga kekuasaan. Kekuatan aktif, reaktif, nyata dan kompleks dari seluruh rangkaian.

Laju perpindahan atau transformasi energi disebut kekuatan :

- nilai daya sesaat dalam rangkaian listrik: dengan mengambil fasa tegangan awal sebagai nol, dan pergeseran fasa antara tegangan dan arus sebagai , kita peroleh:

Jadi, daya sesaat mempunyai komponen konstan dan komponen harmonik yang frekuensi sudutnya 2 kali lebih besar dari frekuensi sudut tegangan dan arus.

Ketika daya sesaat bernilai negatif, hal ini berlaku (lihat gambar) kapan kamu Dan Saya tanda yang berbeda, yaitu ketika arah tegangan dan arus dalam jaringan dua terminal berlawanan, energi dikembalikan dari jaringan dua terminal ke sumber listrik.

Kembalinya energi ke sumbernya terjadi karena fakta bahwa energi disimpan secara berkala dalam magnet dan medan listrik masing-masing induktif dan elemen kapasitif, termasuk dalam jaringan dua terminal;

Energi yang diberikan oleh sumber ke jaringan dua terminal seiring waktu T sama dengan .

Nilai rata-rata untuk periode tersebut kekuatan sesaat ditelepon kekuatan aktif: , [W]; Mengingat itu , kita mendapatkan: . Kekuatan aktif, yang dikonsumsi oleh jaringan dua terminal pasif, tidak boleh negatif (jika tidak, jaringan dua terminal akan menghasilkan energi), oleh karena itu, mis. pada input jaringan dua terminal pasif. Kejadian P = 0, secara teoritis dimungkinkan untuk jaringan dua terminal yang tidak memiliki resistansi aktif, tetapi hanya mengandung elemen induktif dan kapasitif yang ideal.

- daya resistor(resistensi aktif ideal) hanya aktif yang dikonsumsi, karena arus dan tegangan sefase:

- daya induktor(induktansi ideal) tidak dikonsumsi:

Karena arus tertinggal dari tegangan dalam fasa sebesar , maka: ; Pada bagian 1-2 (lihat gambar), energi yang tersimpan dalam medan magnet kumparan meningkat. Di bagian 2-3 berkurang, kembali ke sumbernya.

- daya kapasitor(kapasitas ideal) juga tidak dikonsumsi:

Oleh karena itu, arus di sini mendahului tegangan, dan . Dengan demikian, tidak ada konversi energi yang ireversibel menjadi energi jenis lain di induktor dan kapasitor. Di sini hanya terjadi sirkulasi energi: Energi listrik disimpan dalam medan magnet kumparan atau Medan listrik kapasitor selama seperempat periode, dan selama seperempat periode berikutnya energi dikembalikan ke jaringan. Oleh karena itu, induktor dan kapasitor disebut elemen reaktif dan resistansinya X L , a , lalu kompleksnya kekuatan penuh:

- segitiga kekuasaan– tampilan nilai pangkat kompleks pada bidang kompleks (yang kami miliki tampilan berikut).

Untuk mempermudah analisa dan perhitungan rangkaian AC, disarankan menggunakan vektor.

Dalam teknik kelistrikan, vektor mewakili ggl, tegangan, dan arus yang bervariasi secara sinusoidal, tetapi tidak seperti vektor yang digunakan untuk mewakili gaya dan kecepatan dalam mekanika, vektor ini berputar dengan frekuensi sudut konstan ω dan tidak menunjukkan arah aksi.

Mari kita asumsikan bahwa vektor jari-jari OA (Gbr. 2.3a), yang mewakili nilai amplitudo ggl E t pada skala tertentu, berputar dengan frekuensi sudut konstan = 2 πf berlawanan arah jarum jam. Proyeksi vektor OA ke sumbu vertikal(sumbu pada) akan sama

О a = ОA dosa α.

Menyatakan OA melalui nilai amplitudo EMF E T dan α melalui ωt, kita memperoleh ekspresi untuk nilai EMF sesaat, yang bervariasi secara sinusoidal:

e = E t dosa ωt.

Grafik nilai EMF sesaat ditunjukkan pada Gambar. 2.3,b. Titik waktu ketika vektor jari-jari berimpit dengan sumbu horizontal (sumbu x) dipilih sebagai titik acuan.

Beras. 2.3. Vektor berputar (a) dan grafik nilai sesaat EMF sinusoidal (b)

Jika saat ini T=0 vektor radius OA berimpit dengan garis yang terletak membentuk sudut terhadap sumbu x, maka proyeksinya Oa" dan, oleh karena itu, EMF juga akan sama

Oa" = OA" sin (ωt + ψ), e = E m sin (ωt + ψ).

Demikian pula, tegangan dan arus dapat direpresentasikan sebagai vektor yang berputar berlawanan arah jarum jam dengan frekuensi sudut konstan ω.

Perhitungan sirkuit arus sinusoidal dihasilkan dalam nilai efektif EMF, tegangan dan arus. Dalam hal ini, penjumlahan E, kamu, aku lebih mudah diimplementasikan menggunakan vektor berputar daripada menambahkan nilai sesaat e, Dan, Saya, tentukan nilai efektif yang dihasilkan E, kamu, SAYA integrasi fungsi harmonik. Kecukupan tindakan-tindakan ini dapat dibenarkan sebagai berikut.

Mari kita asumsikan bahwa di beberapa simpul rangkaian arus bolak-balik (Gbr. 2.4, a) diketahui nilai arus i 1 dan i 2:

saya 1 = Saya 1m dosa (ωt + ψ 1);

saya 2 = Saya 2 m dosa (ωt + ψ 2).

Diperlukan untuk menentukan arus i.

Berdasarkan hukum pertama Kirchhoff, nilai arus sesaat

saya = saya 1 + saya 2 ,

i = I 1m sin (ωt + ψ 1) + I 2m sin (ωt + ψ 2).

Arus i dapat ditentukan secara analitis dengan transformasi trigonometri atau secara grafis dengan menjumlahkan grafik nilai sesaat arus i 1 dan i 2, seperti yang dilakukan pada Gambar. 2.4,b. Arus yang dihasilkan juga berubah secara sinusoidal dan sesuai dengan Gambar. 2.4,b

Beras. 2.4. Penjumlahan arus sinusoidal menggunakan vektor (a): grafik nilai arus sesaat (b)

saya = saya dosa (ωt + ψ).

Jauh lebih mudah untuk menjumlahkan arus i 1 dan i 2 jika Anda menggambarkan amplitudo arus sebagai vektor dan menjumlahkannya sesuai dengan aturan jajaran genjang. Pada Gambar. 2.4, dan amplitudo arus I 1 m dan I 2 m digambarkan sebagai vektor pada sudut fasa awal ψ 1 dan ψ 2 relatif terhadap sumbu x. Setelah waktu t, vektor-vektor tersebut akan berputar melalui sudut α = ωt. Proyeksi amplitudo pada sumbu y adalah

saya 1 = Saya 1 m dosa (ωt + ψ 1);

saya 2 = Saya 2 m dosa (ωt + ψ 2).

Dengan menjumlahkan vektor I 1 m dan I 2 m menurut aturan jajaran genjang (lihat Gambar 2.4, a), kita memperoleh amplitudo arus yang dihasilkan I m. Jumlah proyeksi arus I 1 m dan I 2 m sama dengan proyeksi arus yang dihasilkan I m:

saya = i1 + i2.

Ekspresi yang dihasilkan sesuai dengan hukum pertama Kirchhoff untuk simpul rangkaian yang ditinjau (lihat Gambar 2.4, a). Dari Gambar. 2.4. dan jelas bahwa kedudukan relatif dari vektor-vektor I 1 m, SAYA 2 m dan saya M setiap saat tetap tidak berubah, karena mereka berputar dengan frekuensi sudut konstan ω. Demikian pula, Anda dapat menentukan jumlah beberapa tegangan atau EMF yang bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi yang sama.Contohnya, dalam rangkaian arus bolak-balik seri terdapat tiga tegangan:

kamu 1 = kamu 1 m dosa (ωt + ψ 1);

kamu 2 = kamu 2 m dosa (ωt + ψ 2);

kamu 3 = kamu 3m dosa (ωt + ψ 3).

Jumlah tegangan u = u 1 + u 2 + u 3 dapat ditentukan dengan menjumlahkan vektor amplitudonya (Gbr. 2.5)

Gambar 2.5. Diagram tegangan vektor

Ū m = Ū 1m + Ū 2m + Ū 3m

dan selanjutnya pencatatan tegangan yang dihasilkan u = U m sin (ωt + ψ).

Kumpulan beberapa vektor berputar yang sesuai dengan persamaan rangkaian listrik disebut diagram vektor.

Biasanya, diagram vektor dibuat bukan untuk amplitudo, tetapi untuk nilai-nilai yang efektif. Vektor nilai efektif berbeda dengan vektor nilai amplitudo hanya dalam skala, karena

saya = saya m / .

Saat membuat diagram vektor, biasanya salah satu vektor asli ditempatkan secara acak pada bidang, sedangkan vektor lainnya ditempatkan pada sudut yang sesuai dengan vektor aslinya. Dalam hal ini, dalam sebagian besar kasus, Anda dapat melakukannya tanpa memplot sumbu koordinat X Dan pada.