Polinom kavramı bir polinomun standart şeklidir. Polinom ve standart formu

Tanım gereği bir polinom, monomların toplamını temsil eden cebirsel bir ifadedir.

Örneğin: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 polinomlardır ve z/(x - x*y^2 + 4) ifadesi bir polinom değildir çünkü tek terimlilerin toplamı değildir. Bir polinom bazen polinom olarak da adlandırılır ve bir polinomun parçası olan monomlar, bir polinomun veya monomiyallerin üyeleridir.

Polinomun karmaşık kavramı

Bir polinom iki terimden oluşuyorsa buna binom, üç terimden oluşuyorsa trinom denir. Fournomial, fivenomial ve diğer isimler kullanılmaz ve bu gibi durumlarda sadece polinom denir. Bu tür isimler, terim sayısına bağlı olarak her şeyi yerine koyar.

Ve tek terimli terimi sezgisel hale geliyor. Matematiksel açıdan bakıldığında monom, polinomun özel bir durumudur. Bir monom, bir terimden oluşan bir polinomdur.

Tıpkı bir monom gibi, bir polinomun da kendi standart formu vardır. Bir polinomun standart formu, içinde terim olarak yer alan tüm monomların standart bir formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği bir polinomun böyle bir gösterimidir.

Polinomun standart formu

Bir polinomu standart forma indirgeme prosedürü, monomların her birini standart forma indirgemek ve ardından tüm benzer monomları bir araya toplamaktır. Bir polinomun benzer terimlerinin toplanmasına benzerlerin indirgenmesi denir.
Örneğin, 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b polinomunda benzer terimleri sunalım.

4*a*b^2*c^3 ve 6*a*b^2*c^3 terimleri burada benzerdir. Bu terimlerin toplamı 10*a*b^2*c^3 tek terimli olacaktır. Bu nedenle, orijinal polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b, 10*a*b^2*c^3 - a* olarak yeniden yazılabilir. B . Bu giriş bir polinomun standart formu olacaktır.

Herhangi bir mononomun standart bir forma indirgenebileceği gerçeğinden, aynı zamanda herhangi bir polinomun standart bir forma indirgenebileceği sonucu çıkar.

Bir polinom standart bir forma indirgendiğinde polinomun derecesi gibi bir kavramdan bahsedebiliriz. Bir polinomun derecesi, belirli bir polinomun içerdiği en yüksek monom derecesidir.
Yani, örneğin, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 beşinci dereceden bir polinomdur, çünkü polinomun içerdiği monomların maksimum derecesi (5*x^3*y^) 2) beşincidir.

Tek terimlileri inceledikten sonra polinomlara geçiyoruz. Bu makale size herkesi anlatacak gerekli bilgi, bunlar üzerinde işlem yapmak için gerekli. Bir polinomu, bir polinom teriminin eşlik eden tanımlarıyla birlikte tanımlayacağız, yani serbest ve benzer, bir polinomu ele alalım standart görünüm, dereceyi tanıtalım, nasıl bulacağımızı öğrenelim ve katsayılarıyla çalışalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinom ve terimleri - tanımlar ve örnekler

Bir polinomun tanımı eskiden gerekliydi 7 Tek terimlileri inceledikten sonra ders. Tam tanımına bakalım.

Tanım 1

Polinom tek terimlilerin toplamı dikkate alınır ve tek terimlinin kendisi özel durum polinom.

Tanımdan polinom örneklerinin farklı olabileceği anlaşılmaktadır: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z vb. Tanımdan şunu anlıyoruz 1+x, a 2 + b 2 ve x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x ifadesi polinomlardır.

Biraz daha tanımlara bakalım.

Tanım 2

Polinomun üyeleri onu oluşturan tek terimlilere denir.

4 terimden oluşan 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 polinomuna sahip olduğumuz bir örneği düşünün: 3 x 4, − 2 x y, 3 ve - y 3. Böyle bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak düşünülebilir.

Tanım 3

2, 3 trinom içeren polinomlar karşılık gelen adı taşır - binom Ve üç terimli.

Şunu takip eder: formun bir ifadesi x+y– bir binomdur ve 2 x 3 q − q x x x + 7 b ifadesi bir üç terimlidir.

İle Okul müfredatı a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bir değişken olduğu a · x + b formundaki doğrusal bir binomla çalıştı. Şu formdaki doğrusal binom örneklerini ele alalım: x + 1, x · 7, 2 − 4 ile kare üç terimli x 2 + 3 · x − 5 ve 2 5 · x 2 - 3 x + 11 örnekleriyle.

Dönüştürmek ve çözmek için benzer terimleri bulup getirmek gerekir. Örneğin, 1 + 5 x − 3 + y + 2 x formundaki bir polinomun benzer terimleri 1 ve - 3, 5 x ve 2 x'tir. Polinomun benzer üyeleri adı verilen özel bir gruba ayrılırlar.

Tanım 4

Bir polinomun benzer terimleri bir polinomda bulunan benzer terimlerdir.

Yukarıdaki örnekte 1 ve - 3, 5 x ve 2 x polinomun benzer terimleri veya benzer terimlerdir. İfadeyi basitleştirmek için benzer terimleri bulun ve azaltın.

Standart formun polinomu

Tüm monomların ve polinomların kendi özel isimleri vardır.

Tanım 5

Standart formun polinomu içinde yer alan her terimin standart formda bir monomiye sahip olduğu ve benzer terimler içermediği bir polinomdur.

Tanımdan, standart formdaki polinomları azaltmanın mümkün olduğu açıktır, örneğin 3 x 2 − x y + 1 ve __formula__ ve giriş standart biçimdedir. 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ve 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ifadeleri standart biçimde polinomlar değildir, çünkü bunlardan ilki denklemde benzer terimlere sahiptir. 3 · x 2'yi oluşturur ve - x 2 ikincisi ise standart polinomdan farklı olan x · y 3 · x · z 2 formunda bir monom içerir.

Koşullar gerektiriyorsa bazen polinom standart bir forma indirgenir. Bir polinomun serbest terimi kavramı aynı zamanda standart biçimdeki bir polinom olarak kabul edilir.

Tanım 6

Bir polinomun serbest terimi değişmez bir kısmı olmayan standart biçimdeki bir polinomdur.

Başka bir deyişle, standart formdaki bir polinomun bir numarası varsa buna serbest üye denir. O halde 5 sayısı x 2 z + 5 polinomunun serbest terimidir ve 7 a + 4 a b + b 3 polinomunun serbest terimi yoktur.

Bir polinomun derecesi - nasıl bulunur?

Bir polinomun derecesinin tanımı, standart formdaki bir polinomun tanımına ve onun bileşenleri olan monomların derecelerine dayanmaktadır.

Tanım 7

Standart formdaki bir polinomun derecesi gösteriminde yer alan derecelerin en büyüğü olarak adlandırılır.

Bir örneğe bakalım. 5 x 3 − 4 polinomunun derecesi 3'e eşittir çünkü bileşiminde yer alan monomlar sırasıyla 3 ve 0 derecelerine sahiptir ve bunlardan büyük olanı 3'tür. 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x polinomundan derecenin tanımı sayıların en büyüğüne eşittir, yani 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ve 1, yani 5 .

Derecenin kendisinin nasıl bulunduğunu bulmak gerekir.

Tanım 8

Rastgele bir sayının polinomunun derecesi karşılık gelen polinomun standart formdaki derecesidir.

Bir polinom standart formda yazılmadığında ancak derecesini bulmanız gerektiğinde, onu standart forma indirgemeniz ve ardından gerekli dereceyi bulmanız gerekir.

örnek 1

Bir polinomun derecesini bulun 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Çözüm

Öncelikle polinomu standart formda sunalım. Formun bir ifadesini alıyoruz:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Standart biçimde bir polinom elde ederken, bunlardan ikisinin açıkça öne çıktığını görüyoruz - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ve y 2 · z 2 . Dereceleri bulmak için sayarız ve 2 + 2 + 2 = 6 ve 2 + 2 = 4'ü buluruz. Bunlardan en büyüğünün 6 olduğu görülmektedir. Tanımdan, 6'nın − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 polinomunun derecesi ve dolayısıyla orijinal değer olduğu sonucu çıkar.

Cevap: 6 .

Polinom terimlerinin katsayıları

Bir polinomun tüm terimleri standart formun monomları olduğunda, bu durumda, onların adı vardır. polinom terimlerinin katsayıları. Başka bir deyişle bunlara polinomun katsayıları denilebilir.

Örneği ele aldığımızda, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki bir polinomun 4 polinom içerdiği açıktır: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ve 7, bunlara karşılık gelen katsayılar 2, − 0, 5, 3 ve 7. Bu, 2, − 0, 5, 3 ve 7'nin, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki belirli bir polinomun terimlerinin katsayıları olarak kabul edildiği anlamına gelir. Dönüştürme yaparken değişkenlerin önündeki katsayılara dikkat etmek önemlidir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir polinomun terimleri birçok cebirsel yapının temel birimleridir. Tanım gereği, monomiyaller ya doğaldır sayısal değerler veya belirli değişkenler (birbirleriyle çarpılan değişken grupları).

Bir polinom üzerindeki temel matematiksel işlemlerden biri benzer terimlerin indirgenmesidir. Bu video eğitiminde polinom üzerindeki işlemlerin ne olduğuna daha ayrıntılı olarak bakacağız.

Bir polinomun tüm terimleri cebirsel toplama yoluyla birbiriyle ilişkili olduğundan hepsine terim denir. Harf kısmı aynı olan monomlar benzerdir; özdeş değişkenlerden oluşur. Bu durumda değişkenlerin aynı derecede ve eşit sayısal katsayıda olması gerekir. Ve polinomlardaki bireysel sayısal değerlerin kendi içlerindeki benzer terimlere eşdeğer olduğu kabul edilir.

Benzer terimlerin azaltılması, bir polinomun tek terimlilerinin tamamen benzer terimlerden oluşan ayrı parçalar elde edilecek şekilde gruplandırılmasını içerir. Örneğin şu polinomu düşünün:

3a 2 + 2ab 2 - 6 - 3c 3 + 6a 2 - 7ab 2 + 7

Bu durumda benzer terimler şunlardır:

1. Tüm serbest sayısal değerler: -6, +7;
2. Tabanı a kare olan tek terimliler: +3a 2, +6a 2;
3. Tabanı ab kare olan monomlar: 2ab 2, -7ab 2;
4. Tabanı c küp olan monomlar: -3c 3 ;

Son grup, polinomun tamamında benzeri olmayan tek bir monomialden oluşur.

Bu tür dönüşümlere neden ihtiyaç duyuldu? Benzer terimlerin getirilmesi polinomun basitleştirilmesine yardımcı olur ve onu daha az tek terimden oluşan temel bir forma getirir. Cebirsel işlemlerin gerçekleştirildiği terimleri gruplandırarak bunu yapmak kolaydır. Buradaki ana işlemler çıkarma ve toplamadır; bunlar aynı zamanda yeniden düzenleme etkisine de sahiptir ve tek terimlileri polinom içinde serbestçe hareket ettirmenize olanak tanır. Bu nedenle yukarıdaki örneği şu şekilde dönüştürmek kurallara uygundur:

6 +7 + 3a 2 +6a 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3c 3) =

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Standart çıkarma ve toplama işlemlerini uygulayarak basitleştirilmiş bir polinom elde ederiz. Orijinal sürümde 7 tek terim varsa, mevcut sürümde yalnızca 4 üye bulunur. Ancak mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Bir polinomun "basitliğinin" kesin kriteri nedir?
Cebirsel kurallar açısından, temel veya daha doğrusu standart bir polinom, monomların tüm tabanlarının farklı olduğu ve birbirine benzemediği bir polinom olarak kabul edilir. Örneğimiz:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

a 2, ab 2, c 3 tabanlı tek terimlilerin yanı sıra bir sayısal değerden oluşur. Yukarıdaki maddelerin hiçbiri diğerine eklenemez veya çıkarılamaz. Önümüzde dört terimden oluşan standart bir polinom var.

Herhangi bir polinomun derece gibi bir kriteri vardır. Genel anlamda bir polinomun derecesi, belirli bir polinomdaki bir monomiyalin en büyük derecesidir. Öğrenmeye değer önemli detay- Çok harfli (çok değişkenli) ifadelerin dereceleri toplanır. Bu nedenle ab 2'nin toplam kuvveti üçtür (a üzeri birinci kuvvet, b kare). Formun bir polinomu:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Monomlardan biri en büyük kübik kuvvette olduğundan üçe eşit bir dereceye sahiptir.

Polinomların derecesi genellikle yalnızca standart form için belirlenir. Bir polinomun benzer terimleri varsa, önce basitleştirilmiş bir forma indirgenir ve ardından son derece hesaplanır.

Bir polinom yalnızca sayısal tek terimlilerden oluşuyorsa, standart formu şu şekli alır: tekil tüm monomların cebirsel toplamıdır. Derece verilen numara bir polinom olarak sıfıra eşittir. Standart bir polinom türü olan sayının kendisi "sıfır" değerini alırsa derecesi belirsiz kabul edilir ve "sıfır" polinomun kendisine boş polinom denir.

Sunulan videoda, herhangi bir polinomun, diğer şeylerin yanı sıra, bir öncü katsayıya ve bir serbest terime sahip olduğu da dikkat çekicidir. Baş katsayı, en yüksek dereceye sahip değişkenin önünde duran sayısal değerdir (polinomun kendisinin sırasını belirten değer). Serbest terim ise polinomun tüm sayısal değerlerinin toplamıdır. Polinomda benzer değerler yoksa veya tamamen iptal edilirse serbest terim 0'a eşit alınır. Örnekte:

7a 4 - 2b 2 + 5c 3 + 3

en yüksek katsayı 7 sayısıdır, çünkü en yüksek dereceye sahip değişkenden önce gelir (dördüncü - ve aynı zamanda polinomun tamamı dördüncü dereceye sahiptir). Ücretsiz Üye bu örnekte, 3'e eşittir.

Polinom ve standart formu

Bir polinom, tek terimlilerin toplamıdır.

Bir polinomu oluşturan monomlara polinomun üyeleri denir. Yani 4x2y - 5xy + 3x -1 polinomunun terimleri 4x2y, -5xy, 3x ve -1'dir.

Bir polinom iki terimden oluşuyorsa buna binom, üç terimden oluşuyorsa trinom denir. Bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak kabul edilir.

7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 polinomunda 7x3y2 ve - 2y2x3 terimleri aynı harf kısımlarına sahip oldukları için benzer terimlerdir. Harf kısmı bulunmayan -12 ve 6 terimleri de benzerdir. Bir polinomdaki benzer terimlere bir polinomun benzer terimleri denir ve bir polinomdaki benzer terimlerin indirgenmesine bir polinomun benzer terimlerinin indirgenmesi denir.

Örnek olarak 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 polinomunda benzer terimleri verelim.

Bir polinomun terimlerinin her biri standart formda bir monom ise ve bu polinom benzer terimler içermiyorsa, standart formda bir polinom olarak adlandırılır.

Herhangi bir polinom standart forma indirgenebilir. Bunu yapmak için üyelerinin her birini standart biçimde sunmanız ve benzer terimleri getirmeniz gerekir.

Standart formdaki bir polinomun derecesi, kendisini oluşturan monomların dereceleri arasında en yüksek olanıdır.

Rastgele bir polinomun derecesi, standart biçimdeki özdeş bir polinomun derecesidir.

Örneğin 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 polinomunun derecesini bulalım:

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.

Orijinal polinomun altıncı dereceden monomlar içerdiğini, ancak benzer terimler azaltıldığında hepsinin azaldığını ve sonucun üçüncü dereceden bir polinom olduğunu unutmayın, bu da orijinal polinomun 3. dereceye sahip olduğu anlamına gelir!
Tek değişkenli polinomlar

Bazı sayıların bulunduğu ve derece polinomu olarak adlandırılan formun bir ifadesi.

Sayısal değerleri tüm değerler için çakışıyorsa, iki polinomun aynı derecede eşit olduğu söylenir. Polinomlar ve ancak ve ancak çakışmaları durumunda özdeştir; bu polinomların aynı kuvvetlerinin katsayıları aynıdır.

Bir polinomu bir polinomla bölerken (örneğin, bir "köşeyle"), bir polinom (eksik bölüm) ve bir geri kalan - bir polinom (kalan sıfır olduğunda, polinom bölüm olarak adlandırılır) elde ederiz. Bölen ve bölen ise polinomu formda temsil ederiz. Bu durumda polinomların derecelerinin toplamı polinomun derecesine eşit, kalanın derecesi ise bölenin derecesinden küçüktür.

Polinom kavramı. Polinom derecesi

X değişkenindeki bir polinom, formun bir ifadesidir

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,burada n - doğal sayı; an, an-1,..., a1, a0 - bu polinomun katsayıları adı verilen herhangi bir sayı. anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 ifadelerine polinomun terimleri denir, a0 ise serbest terimdir.

Sıklıkla şu terimleri kullanacağız: xn için an - katsayısı, xn-1 için an-1 - katsayısı, vb.

Polinom örnekleri aşağıdaki ifadelerdir: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Burada birinci polinom için katsayılar 0, 2, - 3, 3/7, ; bu durumda örneğin 2 sayısı x3'ün katsayısıdır ve serbest terimdir.

Katsayılarının tamamı sıfır olan polinomlara sıfır denir.

Yani örneğin 0x2+0x+0 polinomu sıfırdır.

Bir polinomun gösteriminden onun birkaç üyeden oluştuğu açıktır. ‹‹Polinom›› (birçok terim) terimi buradan gelmektedir. Bazen bir polinoma polinom denir. Bu terim geliyor Yunanca kelimelerπολι - çok ve νομχ - üye.

Bir x değişkenindeki polinomu şu şekilde göstereceğiz: f (x), g (x), h (x), vb. örneğin, yukarıdaki polinomlardan ilki f (x) ile gösteriliyorsa şunu yazabiliriz: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Polinom gösterimini daha basit ve daha kompakt hale getirmek için bir dizi kural üzerinde anlaştık.

Katsayıları sıfıra eşit olan sıfır olmayan bir polinomun terimleri yazılmaz. Örneğin f (x) =0x3+3x2+0x+5 yerine şunu yazarlar: f (x) =3x2+5; g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3 yerine. Dolayısıyla her sayı aynı zamanda bir polinomdur. Tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu bir h(x) polinomu; Sıfır polinomu şu şekilde yazılır: h (x) =0.

Serbest terim olmayan ve 1'e eşit olan bir polinomun katsayıları da yazılmaz. Örneğin f (x) =2x3+1x2+7x+1 polinomu şu şekilde yazılabilir: f (x) =x3+x2+7x+1.

Negatif bir katsayıya ait ‹‹-›› işareti, bu katsayıyı içeren terime atanır, yani örneğin f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) polinomu f (x) olarak yazılır. ) =2x3 -3x2+7x-5. Ayrıca serbest terim olmayan katsayı -1'e eşitse ilgili terimin önüne "-" işareti konulur ve birim yazılmaz. Örneğin polinom f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1) biçimindeyse şu şekilde yazılabilir: f (x) =x3-x2+3x-1.

Şu soru ortaya çıkabilir: Örneğin, herhangi bir x sayısı için 1x = x olduğu biliniyorsa, bir polinomun gösteriminde neden 1x'i x ile değiştirmeyi kabul edelim? Mesele şu ki, eğer x bir sayı ise son eşitlik geçerlidir. Bizim durumumuzda x keyfi nitelikte bir elementtir. Üstelik 1x girişini 1 sayısı ile x öğesinin çarpımı olarak değerlendirme hakkımız henüz yok çünkü tekrarlıyoruz, x bir sayı değildir. Bir polinomun yazımında kurallara neden olan tam da bu durumdur. Ve eğer herhangi bir neden olmaksızın, diyelim ki 2 ile x'in çarpımı hakkında konuşmaya devam edersek, o zaman bir miktar kesinlik eksikliğini kabul etmiş oluruz.

Polinom yazımında geleneklerden dolayı bu ayrıntıya dikkat ederiz. Örneğin f(x) = 3x3-2x2-x+2 polinomu varsa, katsayıları 3, - 2, - 1,2 sayılarıdır. Elbette katsayıların 0, 3, - 2, - 1, 2 sayıları olduğu söylenebilir, bu da bu polinomun temsili anlamına gelir: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

Gelecekte kesinlik sağlamak için katsayıları sıfır olmayanlardan başlayarak polinomun gösteriminde göründükleri sıraya göre göstereceğiz. Dolayısıyla f(x) = 2x5-x polinomunun katsayıları 2, 0, 0, 0, - 1, 0 sayılarıdır. Gerçek şu ki, örneğin x2'li terim gösterimde bulunmamasına rağmen, bu sadece katsayısının sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde girişte sıfıra eşit olduğundan serbest terim yoktur.

Eğer bir f(x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 ve an≠0 polinomu varsa, o zaman n sayısına f(x) polinomunun derecesi denir (veya şöyle derler: f(x) - n'inci derece) ve Sanat yazın. f(x)=n. Bu durumda an'a baş katsayı denir ve anxn bu polinomun baş terimidir.

Örneğin, eğer f(x) =5x4-2x+3 ise, o zaman mad. f(x) =4, baş katsayı - 5, baş terim - 5x4.

Şimdi a'nın sıfır olmayan bir sayı olduğu f(x) =a polinomunu ele alalım. Bu polinomun derecesi nedir? f(x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 polinomunun katsayılarının sağdan sola 0, 1, 2, …, n- sayılarıyla numaralandırıldığını görmek kolaydır. 1, n ve eğer an≠0 ise, o zaman Mad. f(x)=n. Bu, bir polinomun derecesinin, katsayılarının sıfırdan farklı sayıları arasında en büyüğü olduğu anlamına gelir (az önce bahsedilen numaralandırmayla). Şimdi f(x) =a, a≠0 polinomuna dönelim ve katsayılarını sağdan sola 0, 1, 2, ... sayılarıyla numaralandıralım. a katsayısı 0 sayısını alacaktır, çünkü diğer tüm katsayılar katsayılar sıfır ise bu, belirli bir polinomun sıfırdan farklı en büyük katsayı sayısıdır. Yani sanat. f(x) =0.

Dolayısıyla sıfır dereceli polinomlar sıfırdan farklı sayılardır.

Sıfır polinomun derecesi ile durumun ne olduğunu bulmaya devam ediyor. Bilindiği gibi tüm katsayıları sıfıra eşit olduğundan yukarıdaki tanım ona uygulanamaz. Dolayısıyla sıfır polinomuna herhangi bir derece vermemeye karar verdik. yani diploması yok. Bu sözleşmeye biraz sonra tartışılacak bazı koşullar neden olmaktadır.

Yani sıfır polinomunun derecesi yoktur; f(x) =a polinomu, burada a sıfır olmayan bir sayıdır ve derecesi 0'dır; Diğer herhangi bir polinomun derecesi, görülmesi kolay olduğu gibi, katsayısı sıfıra eşit olan x değişkeninin en büyük üssüne eşittir.

Sonuç olarak birkaç tanımı daha hatırlayalım. İkinci dereceden f(x) =ax2+bx+c polinomuna kare trinomiyal denir. g(x) =x+c formundaki birinci dereceden bir polinom, doğrusal binom olarak adlandırılır.
Horner'ın planı.

Horner'ın şeması bir polinomu binom x-a'ya bölmenin en basit yollarından biridir. Elbette Horner'ın planının uygulanması sadece bölmeyle sınırlı değil ama önce sadece şunu düşünelim. Algoritmanın kullanımını örneklerle açıklayacağız. Bölünür. İki satırlık bir tablo yapalım: İlk satıra polinomun katsayılarını değişkenin derecelerine göre azalan şekilde yazıyoruz. Bu polinomun x içermediğine dikkat edin; x'in önündeki katsayı 0'dır. Böldüğümüz için ikinci satıra bir yazıyoruz:

İkinci satırdaki boş hücreleri doldurmaya başlayalım. İlk boş hücreye 5 yazalım, bunu ilk satırın karşılık gelen hücresinden taşıyalım:

Bir sonraki hücreyi bu prensibe göre dolduralım:

Dördüncüyü de aynı şekilde dolduralım:

Beşinci hücre için şunu elde ederiz:

Ve son olarak, son altıncı hücre için elimizde:

Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Gördüğünüz gibi ikinci satırda (birinci ile sonuncu arasında) yer alan sayılar, polinomun bölünerek elde edilen katsayılarıdır. İkinci satırdaki son sayı, bölümün kalanını veya aynı şekilde polinomun değerini ifade eder. Sonuç olarak, eğer bizim durumumuzda kalan sıfıra eşitse, polinomlar tamamen bölünür.

Sonuç ayrıca 1'in polinomun kökü olduğunu gösterir.

Başka bir örnek verelim. Polinomu şuna bölelim: Hemen ifadenin formda sunulması gerektiğini şart koşalım. Horner'ın planı tam olarak -3'ü içerecek.

Amacımız bir polinomun tüm köklerini bulmaksa, Horner şeması tüm kökleri tüketene kadar art arda birkaç kez uygulanabilir. Örneğin bir polinomun tüm köklerini bulalım. Serbest terimin bölenleri arasında tam kökler aranmalıdır; bölenler arasında 8 vardır. Yani -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 sayıları tam sayı kökleri olabilir. Örneğin 1'i kontrol edelim:

Yani kalan 0'dır, yani. Birlik aslında bu polinomun köküdür. Üniteyi birkaç kez daha kontrol etmeye çalışalım. Bunun için yeni bir tablo oluşturmayacağız ancak önceki tabloyu kullanmaya devam edeceğiz:

Geriye kalan yine sıfırdır. Her şey bitene kadar masaya devam edelim. olası değerler kökler:

Özetle: Tabii ki, bu seçim yöntemi, köklerin tam sayı olmadığı genel durumda etkisizdir, ancak tamsayı kökler için yöntem oldukça iyidir.

TAM SAYI KATSAYILI BİR POLİNOMUN RASYONEL KÖKLERİ Bir polinomun köklerini bulmak, çözümü sınırların ötesine geçen ilginç ve oldukça zor bir sorundur. okul kursu matematik. Ancak tamsayı katsayılı polinomlar için tüm rasyonel kökleri bulmanızı sağlayan basit bir arama algoritması vardır.

Teorem. Tamsayı katsayılı bir polinomun rasyonel bir kökü varsa (indirgenemez bir kesir ise),

o zaman kesrin payı serbest terimin böleni, payda ise bu polinomun baş katsayısının böleni olur.

Kanıt

Polinomu kanonik biçimde yazalım, paydaları n'nin en büyük kuvvetiyle çarparak yerine koyalım ve paylardan kurtulalım:

Üyeyi sağa taşı

Ürün m tamsayısına bölünür. Koşullu olarak kesir indirgenemez, bu nedenle m ve n sayıları aralarında asaldır. O zaman m sayıları eş asal olacaktır ve sayıların çarpımı m'ye bölünebiliyorsa ve faktör m'ye göre aralarında asal ise, o zaman ikinci çarpan m'ye bölünebilir olmalıdır.

Baş katsayının payda n'ye bölünebilirliğinin kanıtı aynı şekilde, terimi sağa hareket ettirerek ve n faktörünü sol parantezden dışarı doğru hareket ettirerek kanıtlanır.

Kanıtlanmış teoreme birkaç yorum yapalım.

Notlar

1) Teorem yalnızca şunu verir: gerekli kondisyon Rasyonel bir kökün varlığı. Bu, her şeyi kontrol etmeniz gerektiği anlamına gelir rasyonel sayılar teoremde belirtilen özelliğe göre seçin ve bunlardan kök olduğu ortaya çıkanları seçin. Başkaları olmayacak.

2) Bölenler arasında yalnızca pozitif değil aynı zamanda negatif tam sayıları da almalısınız.

3) Eğer baş katsayı 1 ise, 1'in dışında böleni olmadığından her rasyonel kök bir tamsayı olmalıdır.

Teoremi ve yorumlarını örneklerle açıklayalım.

1) Rasyonel köklerin bütün olması gerekir.

Serbest terimin bölenlerini sıralıyoruz: Pozitif sayılar polinomun tüm katsayıları pozitif ve eşit olduğundan ikame etmenin bir anlamı yoktur.

Geriye F(–1) ve F(–2)’yi hesaplamak kalıyor. F(–1)=1+0; F(–2)=0.

Yani polinomun bir tamsayı kökü x=–2 vardır.

F(x)'i x+2'ye bölebiliriz:

2) Köklerin olası değerlerini yazın:

Yerine koyma yoluyla Polinomun ayrıca üç farklı rasyonel kökü olduğuna ikna olduk:

Elbette x = -1 kökünü tahmin etmek kolaydır. Daha sonra olağan teknikleri kullanarak ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırabilir ve köklerini arayabilirsiniz.

POLİNOMLARIN BÖLÜMÜ. ÖKLİD ALGORİTMASI

Polinomların bölünmesi

Örnek No.1

6x 3 + x 2 – 3x – 2 2x 2 – x – 1

6x 3 ± 3x 2 ± 3x 3x + 2

4x2 + 0x – 2

4x 2 ± 2x ± 2

Böylece, 6x 3 + x 2 – 3x – 2 = (2x 2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.

Örnek No.2

a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4

± a 4 b ± a 3 b 2

– a 2 b 3 + b 5

± a 2 b 3 ± ab 4

Dolayısıyla a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).

Hem standart hem de standart olmayan polinomların olduğunu söylemiştik. Orada herkesin yapabileceğini belirttik polinomu standart forma getirin. Bu yazımızda öncelikle bu cümlenin ne anlam taşıdığını öğreneceğiz. Daha sonra herhangi bir polinomu standart forma dönüştürme adımlarını listeliyoruz. Son olarak tipik örneklerin çözümlerine bakalım. Polinomları standart forma indirirken ortaya çıkan tüm nüansları anlamak için çözümleri çok detaylı bir şekilde anlatacağız.

Sayfada gezinme.

Bir polinomu standart forma indirgemek ne anlama gelir?

Öncelikle bir polinomu standart forma indirgemenin ne anlama geldiğini açıkça anlamanız gerekir. Bunu çözelim.

Diğer ifadeler gibi polinomlar da aynı dönüşümlere tabi tutulabilir. Bu tür dönüşümlerin gerçekleştirilmesi sonucunda orijinal ifadeye tamamen eşit ifadeler elde edilir. Bu nedenle, standart olmayan formdaki polinomlarla belirli dönüşümlerin gerçekleştirilmesi, bunlara tamamen eşit olan ancak standart formda yazılan polinomlara geçilmesine olanak tanır. Bu geçişe polinomun standart forma indirgenmesi denir.

Bu yüzden, polinomu standart forma indirgemek- bu, orijinal polinomun, aynı dönüşümler gerçekleştirilerek orijinal polinomdan elde edilen, standart formdaki özdeş bir polinomla değiştirilmesi anlamına gelir.

Bir polinom standart forma nasıl indirgenir?

Polinomu standart bir forma getirmemize hangi dönüşümlerin yardımcı olacağını düşünelim. Standart formdaki bir polinomun tanımıyla başlayacağız.

Tanım gereği, standart formdaki bir polinomun her terimi, standart formdaki bir monomdur ve standart formdaki bir polinom, benzer terimler içermez. Buna karşılık, standart formdan farklı bir biçimde yazılan polinomlar, standart olmayan formdaki tek terimlilerden oluşabilir ve benzer terimler içerebilir. Bu mantıksal olarak aşağıdaki kuralı takip eder; bir polinomun standart forma nasıl indirgeneceği:

• öncelikle orijinal polinomu oluşturan tek terimlileri standart forma getirmeniz gerekir,
• daha sonra benzer terimlerin indirgenmesini gerçekleştirin.

Sonuç olarak, tüm terimleri standart biçimde yazılacağı ve benzer terimler içermeyeceği için standart biçimde bir polinom elde edilecektir.

Örnekler, çözümler

Polinomları standart forma indirgeme örneklerine bakalım. Çözerken, önceki paragrafta belirtilen kuralın belirttiği adımları takip edeceğiz.

Burada bazen bir polinomun tüm terimlerinin hemen standart formda yazıldığını görüyoruz; bu durumda sadece benzer terimleri vermek yeterlidir. Bazen bir polinomun terimleri standart forma indirildikten sonra benzer terimler kalmaz, dolayısıyla benzer terimlerin getirilmesi aşaması bu durumda atlanır. Genel olarak her ikisini de yapmanız gerekir.

Örnek.

Polinomları standart biçimde sunun: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Ve .

Çözüm.

5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 polinomunun tüm terimleri standart biçimde yazılmıştır; benzer terimleri yoktur, dolayısıyla bu polinom zaten standart biçimde sunulmuştur.

Bir sonraki polinoma geçelim 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Standart olmayan bir formun 2·a 3 ·0,6 ve −b·a·b 4 ·b 5 terimlerinin de gösterdiği gibi, formu standart değildir. Standart formda sunalım.

Orijinal polinomu standart forma getirmenin ilk aşamasında tüm terimlerini standart formda sunmamız gerekiyor. Bu nedenle, 2·a 3 ·0,6 tek terimlisini standart forma indirgeriz, 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 elde ederiz, ardından −b·a·b 4 ·b 5 tek terimlisini alırız, şunu elde ederiz: −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Böylece, . Ortaya çıkan polinomda tüm terimler standart formda yazılmıştır; üstelik içinde benzer terimlerin olmadığı da açıktır. Sonuç olarak bu, orijinal polinomun standart forma indirgenmesini tamamlar.

Geriye verilen polinomların sonuncusunu standart formda sunmak kalıyor. Tüm üyeleri standart forma getirildikten sonra şu şekilde yazılacaktır: . Benzer üyeleri var, dolayısıyla benzer üyeleri seçmeniz gerekiyor:

Böylece orijinal polinom standart −x·y+1 formunu aldı.

Cevap:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – zaten standart biçimde, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Genellikle bir polinomu standart bir forma getirmek, problemin ortaya atılan sorusunu yanıtlamada yalnızca bir ara adımdır. Örneğin bir polinomun derecesini bulmak, onun standart biçimde ön gösterimini gerektirir.

Örnek.

Bir polinom verin standart forma, derecesini belirtin ve terimleri değişkenin azalan derecelerine göre düzenleyin.

Çözüm.

İlk olarak polinomun tüm terimlerini standart forma getiriyoruz: .

Şimdi benzer terimleri sunuyoruz:

Böylece orijinal polinomu standart bir forma getirdik, bu bize polinomun, içerdiği monomların en yüksek derecesine eşit olan derecesini belirlememizi sağlıyor. Açıkçası 5'e eşit.

Geriye polinomun terimlerini değişkenlerin azalan kuvvetlerine göre düzenlemek kalır. Bunu yapmak için, ortaya çıkan standart form polinomundaki terimleri, gereksinimi dikkate alarak yeniden düzenlemeniz yeterlidir. z 5 terimi en yüksek dereceye sahiptir; -0,5·z 2 ve 11 terimlerinin dereceleri sırasıyla 3, 2 ve 0'a eşittir. Bu nedenle, değişkenin azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş terimleri olan bir polinom şu şekilde olacaktır: .

Cevap:

Polinomun derecesi 5 olup, terimleri değişkenin azalan derecelerine göre düzenlendikten sonra şu şekli alır: .

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.