Електрически капацитет на паралелни кондензатори. Електрически капацитет. Кондензатори. Свързване на кондензатори

Електрически капацитет– количествена мярка за способността на проводника да задържа заряд.

Най-простите методи за разделяне на противоположни електрически заряди - електрификация и електростатична индукция - ви позволяват да получите на повърхността на телата голям бройбезплатни електрически заряди. Те се използват за натрупване на значителни количества противоположни електрически заряди кондензатори.

Кондензаторе система от два проводника (плочи), разделени от диелектричен слой, чиято дебелина е малка в сравнение с размера на проводниците. Така, например, два апартамента метални пластини, разположени успоредно и разделени от диелектричен слой, образуват апартаменткондензатор.

Ако чиниите плосък кондензатордокладвайте такси, равни по големина противоположен знак, тогава напрегнатостта на електрическото поле между плочите ще бъде два пъти по-силна от напрегнатостта на полето на една плоча. Извън плочите напрегнатостта на електрическото поле е нула, тъй като зарядите са еднакви различен знаквърху две плочи се създават електрически полета извън плочите, чиято интензивност е еднаква по големина, но противоположна по посока.

Капацитет на кондензатора е физическо количество, определено от съотношението на заряда на една от плочите към напрежението между плочите на кондензатора:

Когато позицията на плочите остане непроменена, електрическият капацитет на кондензатора е постоянна стойностза всяка такса на плочите.

Единицата за електрически капацитет в системата SI е фарад. 1 F е електрическият капацитет на такъв кондензатор, чието напрежение между плочите е равно на 1 V, когато на плочите са дадени противоположни заряди от 1 C всяка.

Електрическият капацитет на плосък кондензатор може да се изчисли по формулата:

S - площ на кондензаторните пластини

d – разстояние между плочите

– диелектричната константадиелектрик

Електрическият капацитет на топката може да се изчисли по формулата:

Енергия на зареден кондензатор.

Ако напрегнатостта на полето вътре в кондензатора е E, тогава напрегнатостта на полето, създадена от заряда на една от плочите, е E/2. В еднородното поле на една плоча има заряд, разпределен по повърхността на другата плоча. Според формулата за потенциалната енергия на заряд в еднородно поле, енергията на кондензатора е равна на:

Използване на формулата за капацитет на кондензатор:

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Взаимодействие на токовете, сила на взаимодействие, магнитно поле, как реагира

Електричен заряд... Взаимодействие на зарядите Закон на Кулон... Определение на електрическото поле, потенциал на напрежение, чертеж на електрическото поле...

Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

Нека изброим свойствата на зарядите
1. Има два вида такси; отрицателни и положителни. Еднаквите заряди се привличат, еднаквите заряди се отблъскват. Носителят на елементарното, т.е. най-малкият, отрицателен заряд е

Взаимодействие на заредени тела
Електростатиката изучава свойствата и взаимодействията на електрически заредени тела или частици, неподвижни в инерциална отправна система. Най-простият феномен, в който се разкрива фактът на съществуване

Закон на Кулон
Заряди, разпределени върху тела, чиито размери са значително по-малки от разстоянията между тях, могат да се нарекат точкови заряди, тъй като в този случай нито формата, нито размерът на телата значително влияят на взаимодействието

Електрическо поле
Взаимодействието на електрическите заряди се обяснява с факта, че около всеки заряд има електрическо поле. Електрическото поле на заряда е материален обект, то е непрекъснато в пространството

Сила на електрическото поле
Зарядите, намиращи се на определено разстояние един от друг, си взаимодействат. Това взаимодействие се осъществява чрез електрическо поле. Наличието на електрическо поле може да се открие чрез поставяне

потенциал.
Потенциална разлика. Освен напрежението важна характеристикаелектрическото поле е потенциал j. Тогава потенциалът j е енергийната характеристика на електрическото поле

Диелектрици в електрическо поле
Диелектриците или изолаторите са тела, които не могат да провеждат електрически заряди през себе си. Това се обяснява с липсата на безплатни такси в тях. Ако единият край на диелектрика

Полярни и неполярни диелектрици
Към неполярните диелектрици се отнасят тези, в чиито атоми или молекули центърът на отрицателно заредения електронен облак съвпада с центъра на положителното атомно ядро. Например инертни газове, киселина

Поляризация на неполярни диелектрици
При липса на електрическо поле електронният облак е разположен симетрично спрямо атомното ядро, а в електрическо поле променя формата си и центъра на отрицателно заредения електрон

Диелектричната константа
Диелектричната константа на веществото е физична величина, равна на съотношението на модула на напрегнатостта на електрическото поле във вакуум към напрегнатостта на електрическото поле в хомогенен диелектрик

Проводници в електрическо поле
Проводниците са тела, които могат да пропускат електрически заряди през себе си. Това свойство на проводниците се обяснява с наличието на свободни носители на заряд в тях. Примери за проводници могат да бъдат

Работа на електрическото поле при преместване на заряд
За изпитание електрически зарядпоставен в електростатично поле, действа сила, която кара този заряд да се движи. Това означава, че тази сила извършва работа за преместване на заряда. Получаваме формулата

Потенциална разлика
Физическа величина, равна на работата, която силите на полето извършват при преместване на заряд от една точка на полето към друга, се нарича напрежение между тези точки на полето.

Кондензатори.
Ако на изолиран проводник се даде заряд Dq, тогава потенциалът му се увеличава с Dj и съотношението Dq/Dj остава постоянно: Dq/Dj=C, където C е електрическият капацитет на проводника,

Електричество
Това е насоченото движение на заредените частици. В металите токоносителите са свободни електрони, в електролитите - отрицателни и положителни йони, в полупроводниците - електрони и дупки, в g

Текуща сила
Силата на тока е съотношението на заряда, пренесен през напречното сечение на проводник по време на интервал от време, към този интервал от време.

Електродвижеща сила
За да съществува електрически ток в проводник за дълго време, е необходимо да се поддържат непроменени условията, при които възниква електрическият ток. Във външната верига електрически

Съпротивление на проводника
Съпротивлението е основно Електрически характеристикидиригент. Съпротивлението на проводника може да се определи от закона на Ом:

Зависимост на съпротивлението на проводника от температурата.
Ако прекарате ток от батерия през стоманена спирала, амперметърът ще покаже намаляване на тока. Това означава, че с устойчивост на температура съпротивлението на проводника се променя. Ако

Свръхпроводимост
През 1911 г. холандският учен Kamerlingh Onnes открива, че когато температурата на живака се понижи до 4,1 K, той съпротивлениенамалява рязко до нула. Феноменът на намаляване на съпротивлението

Последователно и паралелно свързване на проводници
Проводници в електрически вериги постоянен токмогат да бъдат свързани последователно и паралелно. При серийна връзкаелектрическата верига няма разклонения

Закон на Ом за пълна верига
Ако в резултат на преминаването на постоянен ток в затворена верига електрическа веригавъзниква само нагряване на проводниците, тогава според закона за запазване на енергията работа на пълно работно времеелектрически ток в затворена верига

Правилото на Кирхоф.
Когато няколко източника на ток са свързани последователно, общата едс на батерията е равна на алгебричната сума от едс на всички източници, а общото съпротивление е равно на сумата от съпротивленията. С паралелен p

Текуща мощност
Това е извършената работа за единица време и е равна на P=A/t=IU=I2R=U2/R. Пълна мощност P0, разработен от източника, се използва за освобождаване на топлина във външния и вътрешния

Работа и мощност на тока
Работата, извършена от силите на електрическото поле, което създава електрически ток, се нарича работа на тока. Работата на силите на електричното поле или работата на тока върху участък от верига с електрическо съпротивление R на време

Магнитно поле.
Около проводници, по които тече ток и постоянни магнитиима магнитно поле. Възниква около всеки насочено движещ се електрически заряд, както и в присъствието на променлив във времето електрически заряд.

Магнитно взаимодействие на токовете
Между неподвижните електрически заряди съществуват сили, определени от закона на Кулон. Всеки заряд създава поле, което действа върху друг заряд и обратно. Между електрическите заряди обаче

Магнитно поле
Точно както електрическо поле възниква в пространството около неподвижните електрически заряди, магнитно поле възниква в пространството около движещите се заряди. Електрика

Ефектът на магнитното поле върху движещ се заряд. Сила на Лоренц
Електричествое колекция от подредени движещи се заредени частици. Следователно действието магнитно полевърху проводник с ток е резултат от действието на полето върху движещи се заредени частици в

Закон на Ампер
Нека поставим проводник с дължина l в магнитно поле, през което протича ток I. Върху проводника действа сила, правопропорционална на силата на тока, протичащ през проводника, индукцията на магнитното поле, дължината

Закон на Ампер
Силата, действаща върху проводник с ток в магнитно поле, се нарича сила на Ампер. Експерименталното изследване на магнитното взаимодействие показва, че модулът на силата на Ампер е пропорционален на

Магнитен поток
Магнитният поток през определена повърхност е физическа величина, равна на общия брой линии на магнитна индукция, проникващи през тази повърхност. Помислете за хомогенен магнит

магнитен,
термин, прилаган за всички вещества, когато се разглеждат техните магнитни свойства. Разнообразието от видове микроорганизми се дължи на разликата в магнитните свойства на микрочастиците, които образуват веществото, както и естеството на взаимодействието

Магнитни свойства на материята
Всички вещества, поставени в магнитно поле, се магнетизират, тоест самите те създават магнитно поле. Следователно индукцията на магнитното поле в хомогенна среда се различава от индукцията на полето във вакуум. Fi

Магнитен поток.
Магнитният поток Ф през определена повърхност S е скаларна величина, равна на произведението на големината на вектора на магнитната индукция по площта на тази повърхност и косинуса на ъгъла между нормалното n до

Електромагнитна индукция
Появата на ЕДС в затворена проводяща верига, когато магнитният поток се променя през тази повърхност, ограничена от тази верига, се нарича електромагнитна индукция. Също индуцирана ЕДС и следа

Индукция на магнитно поле
Индукцията на магнитното поле е характеристика на способността на магнитното поле да упражнява сила върху проводник с ток. Това е векторна физическа величина. Отвъд посоката

Електромагнитна индукция
Ако електрическият ток създава магнитно поле, тогава не може ли магнитното поле на свой ред да създаде електрически ток в проводник? Майкъл Фарадей е първият, който намери отговора на този въпрос. През 1831г

Закон за електромагнитната индукция
Експериментално изследване на зависимостта на индуцираната ЕДС от промените в магнитния поток доведе до установяването на закона за електромагнитната индукция: индуцираната ЕДС в затворен контур p

Феномен на самоиндукция
Токът, протичащ през проводяща верига, създава магнитно поле около нея. Магнитният поток Ф, свързан с веригата, е право пропорционален на силата на тока в тази верига: Ф=LI, където L е индуктивността на веригата.

Феноменът на самоиндукцията. Индуктивност
Електрическият ток, преминаващ през проводник, създава магнитно поле около него. Магнитният поток през контура на този проводник е пропорционален на модула на индукция на магнитното поле вътре в контура и в

Енергия на магнитното поле
Когато бобината на индуктора е изключена от източника на ток, лампа с нажежаема жичка, свързана успоредно на бобината, дава краткотрайна светкавица. Токът във веригата възниква под въздействието Самоиндуцирана емф. Източник

Електромагнитни вълни.
Според теорията на Максуел, променливото магнитно поле причинява появата на променлив вихров електрически. поле, което от своя страна предизвиква появата на променливо магнитно поле и др. По този начин

Скала за електромагнитни вълни.
Електромагнитните вълни се генерират в широк диапазон от честоти. Всяка част от спектъра има свое име. По този начин видимата светлина съответства на доста тесен диапазон от честоти и, съответно, дължини на вълните

Лазери и мазери (стимулирани емисионни ефекти, вериги)
, източник на електромагнитно излъчване във видимия, инфрачервения и ултравиолетовия диапазон, базиран на стимулирано излъчване на атоми и молекули. Думата "лазер" е съставена от инициала

Геометрична оптика
, клон на оптиката, който изучава законите за разпространение на светлината въз основа на идеи за светлинните лъчи. Светлинният лъч се разбира като линия, по която се разпространява поток от светлинна енергия.

Принцип на фермата,
основен принцип на геометричната оптика. Най-простата форма F.p. - твърдението, че лъч светлина винаги се разпространява в пространството между две точки по пътя, по който се движи

Поляризация на светлината
едно от основните свойства на оптичното излъчване (светлина), състоящо се в неравенството на различни посоки в равнина, перпендикулярна на светлинния лъч (посоката на разпространение на светлинната вълна

Интерференция на светлината.
Това е феноменът на вълни, наслагващи се, за да образуват стабилен модел от високи и ниски нива. Когато светлината пречи, на екрана се наблюдават редуващи се светли и тъмни ивици, ако светлината е монохроматична (и

Дифракция на светлината.
Феноменът на вълни, които се огъват около препятствия и светлина, навлизаща в областта на геометричната сянка, се нарича дифракция. Нека плоска вълна падне върху процеп в плосък екран AB. Според принципа на Хюйгенс-Френел

Принцип на Хюгенец Френел. М-р Френел.
. Принцип на Хюйгенс-Френел.

Холография.
(от гръцки hólos - цял, пълен и...графия), метод за получаване на триизмерно изображение на обект, базиран на интерференция на вълни. Идеята за Г. е изразена за първи път от Д. Габор (Великобритания, 1948 г.)

(ОПР .) Кондензаторът е система, състояща се от два проводника, между които възниква електрическо поле, изолирано от външни тела, когато на проводниците се придадат заряди с еднаква големина и противоположен знак. .

Нека първо обясним значението на термина „изолиран“ в този контекст. Тук се разбира като изискването всички линии на напрежение да започват на един проводник и да завършват на друг, независимо дали има други заредени или незаредени тела в близост до кондензатора. Това условие може да се осъществи само когато проводниците са разположени един срещу друг на много малко разстояние (в сравнение с техния размер). В този случай проводниците обикновено се наричат ​​"плочи" на кондензатора. В такава ситуация полето практически не излиза извън малката площ между плочите. Именно затова не се влияе от „обкръжението” – полето е изолирано. По-долу ще отбележим защо това е важно.

от училищен курсДо голяма степен сте запознати с „плоския кондензатор“. Както можете да познаете от името, той се състои от две равнинни паралелни плочи, разделени от тънка диелектрична междина. Но има и други кондензатори, например цилиндрични, сферични, ... Други форми на пластини са възможни (и на практика!) - виж фиг. 4…. За тях все още е важно малкото разстояние между плочите.

За какво са кондензаторите и откъде идва това име? Те са необходими за натрупване (кондензиране) на електрически заряд, електрическа енергияи, разбира се, това, което е неразривно свързано с тях, е електрическото поле. Как да характеризираме тази способност за натрупване? Способността на съдовете да "натрупват" течност се характеризира с капацитета им - казваме например: "тази кана е с капацитет 2 литра, а тази бутилка е с капацитет 0,75 литра." С това имаме предвид, че те трябва да бъдат напълнени с подходящ обем от определена течност, така че нивото да достигне фиксирана маркировка. По подобен начин се въвежда понятието „електрически капацитет“. Откриваме какъв заряд (колко „електрическа течност“) трябва да се придаде на пластините на кондензатора, така че потенциалната разлика между тях да стане равна на единица (в системата от единици SI това е 1 V). Нека дадем определение и да обосновем неговата уникалност.

(ОПР .) Електрическият капацитет на кондензатора е съотношението на модула на заряда на всяка от неговите пластини към потенциалната разлика между тях.

В аналитичен вид това изглежда така:

Тук й 1 – й 2 – потенциалната разлика между тях, като потенциалът на отрицателната пластина се изважда от потенциала на положителната пластина (т.е. тази разлика е положителна стойност). И обозначението р– както е отбелязано по-горе, означава модулът на заряда на всяка от пластините на кондензатора.

Сега нека обясним защо тази характеристикае еднозначно определено и защо всъщност се нуждаехме от изискването за изолация на полето вътре в кондензатора. За да направим това, нека запишем как можем да изчислим потенциалната разлика между плочите на кондензатор, след като им дадем „заряди, равни по големина и противоположни по знак“:

.

Това важи за всяко електростатично поле и всяка траектория, започваща на положителната (1) и завършваща на отрицателната (2) плоча на кондензатора. Ако полето е изолирано, то не се влияе от телата около кондензатора и се определя изцяло от „геометрични фактори“ (формата и размера на плочите, разстоянието между тях) и заряда на плочите. Освен това може да се твърди, че в този случай във всяка точка на полето неговата сила е пропорционална на заряда рна кориците. Следователно можем да посочим следната пропорционалност:

~ заряд върху плочи ( р).

Но това означава, че потенциалната разлика между плочите на даден кондензатор е строго пропорционална на придадения му заряд. Коефициентът на пропорционалност е точно реципрочната стойност на неговия електрически капацитет:

. (4.6)

Ето откъде идва коректността на горното определение: C=q/(й 1 –й 2).

Какво определя (от какво зависи) електрическият капацитет на кондензатора? От току-що извършения анализ следва, че това са, на първо място, гореспоменатите „геометрични фактори“:

1. размери на облицовките;

2. форма на кориците;

3. разстояние между тях.

Има още един важен фактор, засягащи електрическия капацитет:

4. диелектрична проницаемост на изолатора между плочите д.

Досега сме въвели тази стойност съвсем формално. Можем да приемем, че то е точно равно на съотношението на електрическия капацитет на кондензатор, напълнен с хомогенен диелектрик, към електрическия капацитет на въздушен (строго погледнато, незапълнен) кондензатор:

(4.7)

Възможно ли е да се изчисли електрическият капацитет на кондензатор, като се знае неговата „геометрия“ и д? В аналитична формарезултатът може да се получи само за някои от най-простите (макар и най-актуалните) случаи, характеризиращи се с определена симетрия - за плоски, цилиндрични и сферични кондензатори. Каква е процедурата за изчисляване на електрическия капацитет на кондензатор във всеки конкретен случай?

ü 1. На първо място е необходимо да се определи напрегнатостта на полето в пространството между плочите. Тъй като говорим само за горепосочените видове кондензатори, е удобно да приложим теоремата на Гаус за това.

ü 2. Сега можете да намерите потенциалната разлика между плочите, като използвате връзката и за тази цел избор на най-простата траектория на движение от положителната плоча (1) към отрицателната плоча (2) - по линията на силата. Както вече знаем от анализа на концепцията за електрически капацитет на кондензатор (вижте 4.6), резултатът непременно ще бъде стойност, пропорционална на заряда на плочите р.

ü 3. Използвайте определянето на електрическия капацитет на кондензатора чрез разделяне на зарядния модул на плочите ркъм резултата, получен в предходния параграф за потенциалната разлика й 1 – й 2 .

Пример.Ще покажем как да приложим тази програма за действие на практика, използвайки примера за изчисление електрически капацитет на плосък кондензатор .

ü 1. Плоският кондензатор, както добре си спомняме от училищния курс, се състои от две плоско-паралелни проводящи плочи, разделени от тънка диелектрична междина. На пръв поглед теоремата на Гаус не е подходяща за определяне на силата на полето в областта на пространството между плочите в такава система - в крайна сметка е очевидно, че такова поле е значително асиметрично по отношение на всяка от заредените плочи. Не е възможно да се избере повърхност, която отговаря на изискванията, за които говорихме, когато обсъждахме приложението на теоремата на Гаус (вижте раздел 4.4). Всичко обаче се променя, ако махнем една от плочите за известно време и разглеждаме останалата като „безкрайна равнина“ (на практика много тънка плоча голяма площ). Ще проведем процедурата за прилагане на теоремата на Гаус за този случай по „съкратена схема“ - надявам се, че вече сте я усвоили добре в нашите практически часове.

Нека започнем, както обикновено, с рисунка и повечетоЩе илюстрираме необходимата „работа“ върху него - вижте фиг. 4.4. Потокът на вектора на опън през затворената повърхност на избрания от нас десен кръгов цилиндър S е равен на:

Зарядът вътре в тази повърхност е равен на с· S база. . В съответствие с теоремата на Гаус приравняваме:

и от тук получаваме стойността на силата на полето:

(4.8)

Както виждаме, напрежението не зависи от координатата х– разстояние от заредената равнина, т.е. това поле е еднородно. Разбира се, това отговаря само на хипотетичния случай на „безкрайно заредена равнина“. В действителност такива безкрайни заряди не могат да съществуват - на практика това означава, че резултатът, който получихме (4.8), ще бъде валиден на малки разстояния от заредената равнина.

Сега да се върнем към въпроса за полето между плочите на плоския кондензатор. Оказва се, че това поле не е никак трудно да се определи чрез принципа на суперпозицията. Ние илюстрираме приложението му на фигурата - вижте фиг. 4.5. Нека изобразим линиите на полето, създадени от всяка от плочите поотделно. Вижда се, че между плочите напрегнатостта на полето съвпада по посока, а извън тази област те са насочени в противоположни посоки. Тъй като плочата се зарежда рравни по модул (и следователно плътности на заряда) с), тогава те са равни по модул и интензитет. Това означава, че външните полета се компенсират взаимно и силата на полученото поле е нула. Напротив, в областта между плочите посоките на полетата съвпадат и полученият интензитет е два пъти по-голям от този на полето на една плоча. Нека обобщим тези заключения:

Тук, за да придадем векторен характер на нашите записи, използвахме нотацията - единичният вектор на посоката на полето на положителната плоча в зоната между плочите на кондензатора (бихме могли да използваме и нотацията ). Нека запишем отново резултата само за модула на напрежение:

(4.9)

ü 2. За да намерим потенциалната разлика между плочите на плосък кондензатор, избираме траектория по произволна линия на полето и следователно по оста OX от положителната плоча до отрицателната. Получаваме:

ü 3. Сега всичко, което остава, е да използваме дефиницията на електрическия капацитет на кондензатора и очевидната връзка между заряда на плочите, тяхната площ и повърхностната плътност на заряда s = q/С:

Намалена от р, получаваме електрическия капацитет на "въздушния" плосък кондензатор. Нека вземем предвид също, че електрическият капацитет на кондензатор, напълнен с хомогенен диелектрик, както следва от съотношението (4.7), е равен на електрическия капацитет на въздушен кондензатор, умножен по диелектричната константа д. Накрая получаваме „формулата“, добре позната от училище, за електрическия капацитет на плоския кондензатор:

(4.10)

Където Се площта на плочите на кондензатора и д– разстоянието между тях.

Зарядът q, придаден на проводника, се разпределя по повърхността му, така че напрегнатостта на полето вътре в проводника е нула. Ако на проводник се даде същия заряд q, той ще бъде разпределен по повърхността на проводника. От това следва, че потенциалът на проводника е пропорционален на заряда върху него:

Коефициентът на пропорционалност C се нарича електрически капацитет:

Електрически капацитет на проводника или проводникова система - физическа величина, характеризираща способността на проводник или проводникова система да акумулира електрически заряди.

v Единицата за електрически капацитет е фарад (F).

Например, нека изчислим електрическия капацитет самотен водач, имащи формата на сфера. Използвайки връзката между потенциала и напрегнатостта на електростатичното поле, ние пишем

(12.51)

R е радиусът на сферата.

Когато изчисляваме, приемаме, че φ ∞ =0. Откриваме, че електрическият капацитет на една самотна сфера е равен на

(12.52)

От зависимостта става ясно, че електрическият капацитет зависи както от геометрията на проводника, така и от относителната диелектрична проницаемост на средата.

Кондензатори - това е система от два проводника, плочи, разделени от диелектрик, чиято дебелина е малка в сравнение с размера на плочите. Тогава електрическото поле, създадено от зарядите на кондензатора, ще бъде почти изцяло концентрирано между неговите плочи (фиг. 12.33). Електрическият капацитет се определя от геометрията на кондензатора и диелектричните свойства на средата, запълваща пространството между плочите.

Въз основа на дизайна им има плоски, цилиндрични, сферични и слоести кондензатори.

ü Плоски кондензатори(фиг. 12.34). Електрически капацитет на плосък кондензатор

(12.53)

(S е площта на плочата на кондензатора, d е разстоянието между плочите, ε е относителната диелектрична константа на средата, запълваща пространството между плочите).

ü Цилиндрични кондензатори(фиг. 12.35). Електрически капацитет на цилиндричен кондензатор

(R 1 и R 2 са радиусите на аксиалните цилиндри, ℓ е дължината на образуващата на цилиндрите).

ü Сферични кондензатори(Фиг. 12.36) . Електрически капацитет на сферичен кондензатор

(12.55)

(R 2 и R 1 са радиусите на сферата; ε е относителната диелектрична проницаемост на средата, запълваща пространството между сферите).

ü Слоести кондензатори.Електрическият капацитет на слоест кондензатор, т.е. кондензатор със слоест диелектрик,

(12.56)

За получаване на необходимия електрически капацитет кондензатори свързватв батерията. Има две връзки на кондензатори: паралелно и последователно.

ü Кога паралелна връзка кондензатори, общият заряд на батерията е равен на

q = q 1 +q 2 +q 3, но тъй като q 1 = U AB C 1; q 2 = U AB C 2 ; q n = U AB C n, тогава q = U AB (C 1 + C 2 +…+ C n), откъдето т.е.

C = C 1 + C 2 + C 3

Когато кондензаторите са свързани паралелно, електрическият капацитет на батерията е равен на сумата от електрическите мощности, включени в нея:

ü При серийна връзка зареждането на батерията е

q = q 1 = q 2 = q 3

напрежение между точките А и В

Когато кондензаторите са свързани последователно, капацитетът на батерията е

§ 12.13 Енергия на електростатично поле. Обемна енергийна плътност на електростатичното поле

ü Енергия на дестилатора точкови такси

Нека два заряда q 1 и q 2 са на разстояние r един от друг. Всеки от зарядите, намирайки се в полето на друг заряд, има потенциална енергия P. Използвайки P = qφ, определяме

P 1 =W 1 =q 1 φ 12 P 2 =W 2 =q 2 φ 21

(φ 12 и φ 21 са съответно потенциалите на полето на заряда q 2 в точката, където се намира зарядът q 1, и зарядът q 1 в точката, където се намира зарядът q 2).

Според дефиницията на потенциала на точковия заряд

Следователно.

или

По този начин,

Енергията на електростатичното поле на система от точкови заряди е равна на

(φ i е потенциалът на полето, създадено от n -1 заряда (с изключение на q i) в точката, където се намира зарядът q i).

ü Енергия на самотен зареден проводник

Изолиран незареден проводник може да бъде зареден до потенциал φ чрез многократно прехвърляне на части от заряд dq от безкрайност към проводника. Елементарната работа, която се извършва срещу полевите сили, в този случай е равна на

Прехвърлянето на заряд dq от безкрайност към проводник променя неговия потенциал на

(C е електрическият капацитет на проводника).

следователно

тези. когато пренасяме заряд dq от безкрайност към проводник, увеличаваме потенциалната енергия на полето с

dP = dW =δA= Cφdφ

Чрез интегриране на този израз намираме потенциалната енергия на електростатичното поле на зареден проводник, когато неговият потенциал нараства от 0 до φ:

(12.60)

Прилагайки връзката, получаваме следните изрази за потенциална енергия:

(q е зарядът на проводника).

ü Енергия на зареден кондензатор

Ако има система от два заредени проводника (кондензатор), тогава обща енергиясистема е равна на сумата от присъщите потенциални енергии на проводниците и енергията на тяхното взаимодействие:

(12.62)

(q е зарядът на кондензатора, C е неговият електрически капацитет.

Като вземем предвид факта, че Δφ=φ 1 –φ 2 = U е потенциалната разлика (напрежение) между плочите), получаваме формулата

(12.63)

Формулите са валидни за всякакви форми на кондензаторни пластини.

Физическо количество, числено равно на съотношението на потенциалната енергия на полето, съдържаща се в обемен елемент, към този обем, се нарича обемна енергийна плътност.

За еднообразно поле обемна плътностенергия

За плосък кондензатор, чийто обем е V = Sd, където S е площта на плочата, d е разстоянието между плочите,

Но след това

(12.65)

(12.66)

(E – напрегнатост на електростатичното поле в среда с диелектрична проницаемост ε, D = ε ε 0 E – изместване на електрическото поле).

Следователно, обемната енергийна плътност на еднородно електростатично поле се определя от интензитета E или отместването D.

Трябва да се отбележи, че изразът И валидно само за изотропен диелектрик, за който е в сила съотношението p= ε 0 χE.

Изразяване отговаря на теорията на полето – теорията за късото действие, според която носител на енергия е полето.

Пондеромоторни сили

Противоположно заредените кондензаторни плочи се привличат една друга.

Механични сили, действащи върху макроскопични заредени тела се наричат пондеромотор.

Нека изчислим пондеромоторните сили, действащи върху плочите на плосък кондензатор. В този случай са възможни два варианта:

1) Кондензаторът се зарежда и се изключва от заредената батерия(в този случай броят на зарядите на плочите остава постоянен q = const).

Когато една пластина на кондензатор се отстрани от друга, работата е свършена

поради което се увеличава потенциална енергиясистеми:

В този случай dA = dW. Приравнявайки десните части на тези изрази, получаваме

В този случай, по време на диференциацията, разстоянието между плочите беше обозначено с x.

2. Кондензаторът е зареден, но не е изключен от батерията(в този случай при преместване на една от плочите на кондензатора напрежението ще остане постоянно ( U = конст). В този случай, когато една плоча се отдалечава от другата, потенциалната енергия на полето на кондензатора намалява, тъй като зарядите "изтичат" от плочите, следователно

Но , Тогава

Полученият израз съвпада с формулата. Може да се представи в друга форма, ако вместо заряда q въведем повърхностната плътност:

Полето е еднообразно. Силата на полето на кондензатора е равна на , където x е разстоянието между плочите. Замествайки U 2 =E 2 x 2 във формулата, откриваме, че силата на привличане между плочите на плосък кондензатор

Тези сили действат не само върху плочите. Тъй като плочите от своя страна притискат поставения между тях диелектрик и го деформират, в диелектрика възниква налягане

(S е площта на всяка плоча).

Налягането, възникващо в диелектрика, е равно на

Примери за решаване на проблеми

Пример 12.5.Потенциална разлика от 1,5 kV се прилага към плочите на плосък въздушен кондензатор. Площта на плочите е 150 cm2, а разстоянието между тях е 5 mm. След изключване на кондензатора от източника на напрежение в пространството между плочите (ε 2 =7) се постави стъкло.

1) потенциалната разлика между плочите след добавяне на диелектрик; 2) капацитет на кондензатора преди и след добавяне на диелектрик; 3) повърхностна плътност на заряда върху плочите преди и след добавяне на диелектрик.

дадени: U 1 =1,5 kV = 1,5∙10 3 V; S=150cm 2 =1,5∙10 -2 m 2 ; ε 1 =1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Намерете: 1) U 2; 2) C 1 C 2; 3) σ 1, σ 2

Решение. Тъй като (σ е повърхностната плътност на заряда върху кондензаторните пластини), тогава преди добавянето на диелектрика σd=U 1 ε 0 ε 1 и след добавянето на диелектрика σd=U 2 ε 0 ε 2, следователно

Капацитет на кондензатора преди и след добавяне на диелектрик

Зарядът на плочите не се променя след изключване от източника на напрежение, т.е. q=конст. Следователно повърхностната плътност на заряда върху плочите преди и след добавяне на диелектрик

Отговор: 1) U 2 =214V; 2) C 1 =26.5pF; C2 =186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2,65 µC/m 2.

Пример 12.7. Пропастта между плочите на плосък кондензатор е запълнена с анизотропен диелектрик, чиято пропускливост ε варира в посока, перпендикулярна на плочите, според линейния законε = α + βх от ε 1 до ε 2 и ε 2 > ε 1. Площта на всяка плоча е S, разстоянието между тях е d. Намерете капацитета на кондензатора.

дадени: С; д; ε 1; ε 2

Намирам:СЪС.

Решение. Диелектричната константа ε се променя по линеен закон, ε = α + βx, където x се измерва от облицовката, чиято пропускливост е равна на ε 1. Като се има предвид, че ε (0) = ε 1, ε (d) = ε 2, получаваме зависимостта . Нека намерим потенциалната разлика между плочите:

Капацитетът на кондензатора ще бъде равен на

Отговор:

Пример 12.7. Между плочите на плосък кондензатор, зареден до потенциална разлика U, са разположени два слоя диелектрик, успоредни на неговите плочи. Дебелината на слоевете и диелектричната константа на диелектриците са съответно равни на d 1, d 2, ε 1, ε 2. Определете силата на електростатичните полета в диелектричните слоеве.

дадени: U; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Намирам: E 1, E 2.

Решение. Напрежението върху плочите на кондензатора, като се има предвид, че полето във всеки от диелектричните слоеве е равномерно,

U=E 1 d 1 + E 2 d 2 . (1)

Електрическото изместване в двата слоя на диелектрика е еднакво, така че можем да запишем

D=D 1 = D 2 = ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2Е 2 (2)

От изрази (1) и (2) намираме търсеното

(3)

От формула (2) следва, че

Отговор: ;

Пример 12.7. Площта на плочите S на плосък кондензатор е 100 cm 2. Пространството между плочите е плътно запълнено с два слоя диелектрик - пластина от слюда (ε 1 =7) с дебелина d 1 =3,5 mm и парафин (ε 2 =2) с дебелина d 2 =5 mm. Определете капацитета на този кондензатор..

дадени: S=100cm 2 =10 -2 m 2 ; ε 1 =7; d 1 =3.5mm=3.5∙10 -3 m;, ε 1 =2; d 1 =3.5mm=5∙10 -3 m;

Намирам:СЪС.

Решение. Капацитет на кондензатора

където = е зарядът на плочите на кондензатора (е повърхностната плътност на заряда на плочите); = - потенциална разлика на плочите, равна на сумата от напреженията върху диелектричните слоеве: U=U 1 +U 2. Тогава

Намираме напреженията U 1 и U 2 с помощта на формулите

; (2)

където E 1 и E 2 са напрегнатостта на електростатичното поле в първия и втория слой на диелектрика; D е електрическото изместване в диелектриците (еднакво и в двата случая). Като се има предвид, че

И като вземем предвид формула (2), от израз (1) намираме необходимия капацитет на кондензатора

Отговор: C=29.5pF.

Пример 12.7. Батерия от три последователно свързани кондензатора C 1 = 1 μF; C 2 = 2 μF и C 3 = 4 μF са свързани към източника на ЕМП. Заряд на кондензаторната батерия q = 40 µC. Определете: 1) напрежения U 1, U 2 и U 3 на всеки кондензатор; 2) ЕМП на източника; 3) капацитетът на кондензаторната банка.

дадени : C 1 =1μF=1∙10 -6 F; C 2 =2μF=2∙10 -6 F и C 3 =4μF=4∙10 -6 F; q=40µC=40∙10 -6 F .

Намерете: 1) U 1, U 2, U 3; 2) ξ; 3) С.

Решение. Следователно, когато кондензаторите са свързани последователно, зарядите на всички пластини са еднакви по големина

q 1 =q 2 =q 3 =q.

Напрежение на кондензатора

ЕДС на източника е равна на сумата от напреженията на всеки от последователно свързаните кондензатори:

ξ = U 1 + U 2 + U 3

Когато са свързани последователно, реципрочните стойности на капацитета на всеки кондензатор се сумират:

Откъде идва необходимият капацитет на кондензаторната банка?

Отговор: 1) U 1 = 40V; U 2 = 20V, U 3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C = 0,571 µF.

Пример 12.7. Два плоски въздушни кондензатора с еднакъв капацитет са свързани последователно и свързани към източник на ЕМП. Как и колко пъти ще се промени зарядът на кондензаторите, ако един от тях се потопи в масло с диелектрична проницаемост ε=2,2.

дадени: C 1 = C 2 = C; q=40µC=40∙10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Намирам: .

Решение. Когато кондензаторите са свързани последователно, зарядите на двата кондензатора са равни по големина. Преди потапяне в диелектрик (в масло), зарядът на всеки кондензатор

където ξ = U 1 + U 2 (когато кондензаторите са свързани последователно, източникът emf е равен на сумата от напреженията на всеки кондензатор).

След потапяне на един от кондензаторите в диелектрика, зарядите на кондензаторите отново са еднакви и съответно на първия и втория кондензатор са равни

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(като вземем предвид, че ε 1 =1), откъдето, ако вземем предвид, че ξ = U 1 + U 2, намираме

Разделяйки (2) на (1), намираме търсеното съотношение

Отговор:, т.е. зарядът на кондензаторите се увеличава с 1,37 пъти.

Пример 12.7. Всеки кондензатор с капацитет C е свързан, както е показано на фиг.а. Определете общия капацитет C на това свързване на кондензатори. .

Решение . Ако изключите кондензатор C 4 от веригата, получавате връзка на кондензатори, която лесно се изчислява. Тъй като капацитетът на всички кондензатори е еднакъв (C 2 = C 3 и C 5 = C 6), и двата паралелни клона са симетрични, следователно потенциалите на точките A и B, еднакво разположени в клоните, трябва да бъдат равни. По този начин кондензатор С 4 е свързан към точки с нулева потенциална разлика. Следователно кондензаторът C 4 не се зарежда, т.е. тя може да бъде елиминирана и диаграмата, представена в постановката на проблема, опростена (фиг.b).

Тази диаграма е от три успоредниклонове, два от които съдържат два последователно свързани кондензатора

Отговор: Cобщ = 2C.

Пример 12.7.Апартамент въздушен кондензаторкапацитет C 1 = 4 pF се зарежда до потенциална разлика U 1 = 100 V. След изключване на кондензатора от източника на напрежение разстоянието между пластините на кондензатора се удвои. Определете: 1) потенциалната разлика U 2 върху плочите на кондензатора след раздалечаването им; 2) работата на външните сили за раздалечаване на плочите.

дадени: C 1 =4pF=4∙10 -12 F; U 1 =100V; d 2 =2d 1.

Намирам: 1) U 2 ; 2) А.

Решение. Зарядът на кондензаторните пластини не се променя след изключване от източника на напрежение, т.е. Q=конст. Ето защо

C 1 U 1 = C 2 U 2, (1)

където C 2 и U 2 са, съответно, капацитетът и потенциалната разлика върху пластините на кондензатора, след като те са раздалечени.

Като се има предвид, че капацитетът на плосък кондензатор е , от формула (1) получаваме необходимата потенциална разлика

(2)

След изключване на кондензатора от източника на напрежение, системата от две заредени плочи може да се счита за затворена, за която е изпълнен законът за запазване на енергията: работата А на външните сили е равна на промяната в енергията на системата

A= W 2 - W 1 (3)

където W 1 и W 2 са енергията на полето на кондензатора съответно в началното и крайното състояние.

Като вземем предвид, че и (q – const), от формула (3) получаваме необходимата работа на външните сили

[Като се има предвид, че q=C 1 U 1 и формула (2)].

Отговор: 1) U 2 =200V; 2) A=40nJ.

Пример 12.7.Твърда топка от диелектрик с радиус R=5cm е заредена равномерно с обемна плътност ρ=5nC/m 3 . Определете енергията на електростатичното поле, съдържащо се в пространството около топката.

дадени: R=5cm=5∙10 -2 m; ρ=5nC/m3 = 5∙10 -9 C/m 3.

Намирам:У.

Решение. Полето на заредена топка е сферично симетрично, следователно обемната плътност на заряда е еднаква във всички точки, разположени на еднакви разстояния от центъра на топката.

Енергия в елементарен сферичен слой (избира се извън диелектрика, където трябва да се определи енергията) с обем dV (виж фигурата)

където dV=4πr 2 dr (r е радиусът на елементарния сферичен слой; dr е неговата дебелина); (ε=1 – поле във вакуум; E – напрегнатост на електростатичното поле).

Ще намерим напрежението E по Теорема на Гаусза поле във вакуум и мислено изберете сфера с радиус r като затворена повърхност (вижте фигурата). В този случай целият заряд на топката, създавайки разглежданото поле, попада вътре в повърхността и според теоремата на Гаус,

Замествайки намерените изрази във формула (1), получаваме

Енергията, съдържаща се в пространството около топката, е

Отговор: W=6,16∙10 -13 J.

Пример 12.7.На плосък кондензатор с площ от плочи S и разстояние между тях ℓ се дава заряд q, след което кондензаторът се изключва от източника на напрежение. Определете силата на привличане F между плочите на кондензатора, ако диелектричната проницаемост на средата между плочите е ε.

дадени: С; ℓ; q; ε.

Намирам:Е.

Решение. Зарядът на кондензаторните пластини не се променя след изключване от източника на напрежение, т.е. q=конст. Да приемем, че под въздействието на силата на привличане F разстоянието между плочите на кондензатора се е променило с d ℓ . Тогава силата F извършва работа

Според закона за запазване на енергията тази работа е равна на загубата на енергия на кондензатора, т.е.

Замествайки израза за капацитета на плосък кондензатор във формулата за енергията на зареден кондензатор, получаваме

Отговор:

Пример 12.7.Плосък кондензатор с площ от плочи S и разстояние между тях ℓ е свързан към източник на постоянно напрежение U. Определете силата на привличане F между плочите на кондензатора, ако диелектричната константа на средата между плочите е ε .

дадени: С; ℓ; U; ε.

Намирам:Е.

Решение. Съгласно условията на проблема, на кондензаторните пластини се поддържа постоянно напрежение, т.е. U=конст. Да приемем, че под въздействието на силата на привличане F разстоянието между плочите на кондензатора се е променило с dℓ. Тогава силата F извършва работа

Според закона за запазване на енергията тази работа в този случай отива за увеличаване на енергията на кондензатора (сравнете с предишната задача), т.е.

откъдето въз основа на изрази (1) и (2) получаваме

Замествайки израза за капацитета на плосък кондензатор във формулата за енергията на кондензатор, получаваме

Замествайки енергийната стойност (4) във формула (3) и извършвайки диференциация, намираме желаната сила на привличане между плочите на кондензатора

.

където знакът "-" показва, че силата F е сила на привличане.