Različiti načini dokazivanja Pitagorine teoreme: primjeri, opisi i recenzije. Zanimljive činjenice o Pitagorinoj teoremi: naučite nešto novo o poznatoj teoremi

Pitagorinu teoremu svi znaju još od škole. Izvanredan matematičar dokazao je sjajnu hipotezu, koju trenutno koriste mnogi ljudi. Pravilo glasi ovako: kvadrat dužine hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata kateta. Dugi niz decenija nijedan matematičar nije bio u stanju da raspravlja ovo pravilo. Na kraju krajeva, Pitagora je dugo išao prema svom cilju, da bi se kao rezultat toga crteži odigrali u Svakodnevni život.

Mali stih ove teoreme, koji je izmišljen ubrzo nakon dokaza, direktno dokazuje svojstva hipoteze: “ Pitagorine pantalone jednaki u svim pravcima." Ovaj dvoredni redak urezan je u pamćenje mnogih ljudi - do danas se pjesma pamti kada se vrše proračuni.
Ova teorema je nazvana "Pitagorine pantalone" zbog činjenice da se pri crtanju u sredini dobija pravougaoni trougao, sa kvadratima na svakoj strani. Po izgledu, ovaj crtež je podsjećao na hlače - otuda i naziv hipoteze.
Pitagora je bio ponosan na razvijenu teoremu, jer se ova hipoteza razlikuje od sličnih po maksimalnoj količini dokaza. Važno: jednačina je uvrštena u Ginisovu knjigu rekorda zbog 370 istinitih dokaza.
Hipotezu je dokazao veliki broj matematičara i profesora iz različite zemlje na mnogo načina. Engleski matematičar Jones ubrzo je objavio hipotezu i dokazao je pomoću diferencijalne jednadžbe.
Trenutno niko ne zna dokaz teoreme od samog Pitagore.. Činjenice o dokazima jednog matematičara danas nikome nisu poznate. Vjeruje se da je Euklidov dokaz crteža Pitagorin dokaz. Međutim, neki naučnici raspravljaju s ovom tvrdnjom: mnogi vjeruju da je Euklid samostalno dokazao teoremu, bez pomoći tvorca hipoteze.
Današnji naučnici su to otkrili veliki matematičar nije bio prvi koji je otkrio ovu hipotezu. Jednačina je bila poznata mnogo prije nego što ju je otkrio Pitagora. Ovaj matematičar je samo mogao ponovo da objedini hipotezu.
Pitagora nije dao jednačini naziv "Pitagorina teorema". Ovo ime se zadržalo iza "glasnog dvolinera". Matematičar je samo želio da cijeli svijet sazna i iskoristi njegove napore i otkrića.
Moritz Kantor, veliki matematičar, pronašao je i video beleške sa crtežima na drevnom papirusu. Ubrzo nakon toga, Cantor je shvatio da je ova teorema bila poznata Egipćanima još 2300. godine prije Krista. Tek tada to niko nije iskoristio niti pokušao da dokaže.
Sadašnji naučnici veruju da je hipoteza bila poznata još u 8. veku pre nove ere. Indijski naučnici tog vremena otkrili su približan proračun hipotenuze trougla s pravim uglovima. Istina, u to vrijeme niko nije mogao sa sigurnošću dokazati jednačinu koristeći približne proračune.
Veliki matematičar Bartel van der Waerden, nakon što je dokazao hipotezu, zaključio je važan zaključak: „Zasluga grčkog matematičara ne smatra se otkriće pravca i geometrije, već samo njeno opravdanje. Pitagora je u svojim rukama imao proračunske formule koje su se zasnivale na pretpostavkama, netačnim proračunima i nejasnim idejama. Međutim, jedan izvanredni naučnik uspio je to pretvoriti u egzaktnu nauku.”
Poznati pesnik je rekao da je na dan otkrića svog crteža prineo veličanstvenu žrtvu za bikove. Nakon otkrića hipoteze počele su se širiti glasine da je žrtvovanje stotinu bikova „otišlo da luta stranicama knjiga i publikacija“. Do današnjeg dana, duhoviti se šale da se od tada svi bikovi plaše novog otkrića.
Dokaz da Pitagora nije smislio pjesmu o pantalonama kako bi dokazao crteže koje je iznio: Za života velikog matematičara još nije bilo pantalona. Izmišljeni su nekoliko decenija kasnije.
Pitagorina razmišljanja o vlastitom pravilu: tajna svega na zemlji leži u brojevima. Uostalom, matematičar je, oslanjajući se na vlastitu hipotezu, proučavao svojstva brojeva, identificirao parnost i neparnost i stvarao proporcije.

Jedna stvar u koju možete biti stopostotno sigurni je da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u glavama svake obrazovane osobe, ali samo treba zamoliti nekoga da to dokaže i mogu nastati poteškoće. Pa setimo se i razmotrimo Različiti putevi dokaz Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme, morate nakratko upoznati njegovu ličnost.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kao što slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Sudeći po legendi, Pitagorino je rođenje predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dečak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak je trebalo da donese mnogo koristi i dobra čovečanstvu. To je upravo ono što je on uradio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dozvoljeno mu je studiranje, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Verovatno je u Egiptu Pitagora bio inspirisan veličanstvenošću i lepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje znanje je samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izvodili svoje proračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorina teorema glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, hajde da definišemo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne notacije.

Pretpostavimo da nam je dat pravougli trokut sa katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da trebate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, trebate dodati segment jednak kraku b dužini noge a, i obrnuto. Ovo bi trebalo rezultirati dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobijamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza prvobitnog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trougla. Površina svake je 0,5av.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dakle (a+c) 2 =2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokazivanje Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment CD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada moramo sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i razne načine njegova rješenja zahtijevaju višestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda proračuna

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće ništa značiti dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju potrebno je popuniti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * c 2 - S avd * u 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, ova opcija nije prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Recenzije

Prema istoričarima, ova metoda je prvi put korištena za dokazivanje teoreme antičke Grčke. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate sliku, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da a 2 + b 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trokut ABC jednakokrak.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trougla.

Također morate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i nacrtati po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Crtamo prvu liniju iz temena A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta jednaka originalnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadareni samodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od najviših obrazovne institucije. Želja za samorazvojom omogućila mu je da ponudi nova teorija dokaz Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi se na kraju formirao trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada treba da izjednačimo dva originalna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja moglo bi se napisati više od jedne knjige. nastavno pomagalo. Ali ima li smisla u tome kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, u modernom školski programi Ova teorema je namijenjena da se koristi samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, svako može koristiti Pitagorinu teoremu u svom svakodnevnom životu. I ne samo u profesionalna aktivnost, ali i u običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.

Odnos između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB duž koje se svjetlosni zrak kreće l. I nazovimo pola vremena koje je potrebno svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B t. I brzinu zraka - c. Ispada da: c*t=l

Ako pogledate ovu istu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih snop juri, početi pomicati ulijevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići do nova tačka C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se pomaknula tačka A, trebate pomnožiti brzinu košuljice sa polovinom vremena putovanja zraka (t").

A da biste pronašli koliko daleko zrak svjetlosti može putovati za to vrijeme, trebate označiti pola puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne tačke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trougla, tada će ga odsječak od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo uobičajenije primjene ove teoreme.

Domet prijenosa mobilnog signala

Savremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali da li bi bili od velike koristi kada ne bi mogli da povežu pretplatnike putem mobilne komunikacije?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija direktno ovisi o visini na kojoj se antena nalazi. mobilni operater. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao distribuirati signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme to saznajemo minimalna visina toranj bi trebao biti dugačak 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno mjeriti pomoću mjerne trake. Ali mnogi ljudi se pitaju zašto nastaju određeni problemi tokom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u horizontalnom položaju, a tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tokom procesa podizanja konstrukcije, strana ormara mora se slobodno kretati i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjerimo rad Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Od kada sam ga odgajao vertikalni položaj može doći do oštećenja njegovog tijela.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je ona i više nego istinita. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.

Jarg. škola Šalim se. Pitagorina teorema, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta. BTS, 835… Veliki rječnik Ruske izreke

Pitagorine pantalone- Komični naziv za Pitagorinu teoremu, koji je nastao zbog činjenice da kvadrati izgrađeni na stranicama pravokutnika i koji se razilaze u različitim smjerovima podsjećaju na kroj hlača. Voleo sam geometriju... a na prijemnom ispitu na fakultetu sam čak dobio i... Razgovornik ruski književni jezik

Pitagorine pantalone- Šaljivi naziv za Pitagorinu teoremu, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i krakova pravouglog trougla, koji izgleda kao kroj pantalona na slikama... Rječnik mnogih izraza

Monah: o nadarenom čovjeku sri. Ovo je nesumnjivo mudrac. U davna vremena, verovatno bi izmislio pitagorejske pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine pantalone (geom.): u pravokutniku kvadrat hipotenuze jednak je kvadratima nogu (učenje ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni i frazeološki rječnik

Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana- Broj dugmadi je poznat. Zašto je kurac zategnut? (nepristojno) o pantalonama i muškom spolnom organu. Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana. Da bismo ovo dokazali, potrebno je ukloniti i pokazati 1) o Pitagorinoj teoremi; 2) o širokim pantalonama... Živi govor. Rječnik kolokvijalnih izraza

Pitagorine pantalone (izmisliti) monah. o nadarenoj osobi. sri Ovo je nesumnjivo mudrac. U davna vremena, verovatno bi izmislio pitagorejske pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine pantalone (geom.): u pravougaoniku se nalazi kvadrat hipotenuze ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni i frazeološki rječnik (izvorni pravopis)

Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima- Šaljivi dokaz Pitagorine teoreme; takođe kao šala o širokim pantalonama prijatelja... Rječnik narodne frazeologije

Adj., nepristojno...

PITAGORIJENE PALTAĆE SU JEDNAKVE NA SVE STRANE (ZNA SE BROJ DUGUMČIĆA. ZAŠTO JE TESKO? / DA BI TO DOKAZALI, MORATE DA JE SKINUTE I POKAŽETE)- prilog, nepristojno... Rječnik savremenih kolokvijalnih frazeoloških jedinica i poslovica

Imenica, množina, korištena uporedi često Morfologija: pl. Šta? pantalone, (ne) šta? pantalone, šta? pantalone, (vidi) šta? pantalone, šta? pantalone, šta je sa? o pantalonama 1. Pantalone su komad odjeće koji ima dvije kratke ili dugačke nogavice i pokrivače donji dio… … Dmitriev's Explantatory Dictionary

Knjige

Kako je Zemlja otkrivena, Saharnov Svyatoslav Vladimirovič. Kako su putovali Feničani? Na kojim brodovima su Vikinzi plovili? Ko je otkrio Ameriku i ko je prvi oplovio svijet? Ko je sastavio prvi atlas Antarktika na svetu i ko je izmislio...
Čuda na točkovima, Markuša Anatolij. Milioni točkova se okreću po celoj zemlji - automobili se kotrljaju, mere vreme u satovima, tapkaju ispod vozova, obavljaju nebrojene poslove u mašinama i raznim mehanizmima. Oni…

Famous Pitagorina teorema - "u pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta"- Svi to znaju iz škole.

Pa, sećaš li se "pitagorejske pantalone", koji "jednaki u svim pravcima"- šematski crtež koji objašnjava teoremu grčkog naučnika.

Evo a I b- noge, i With- hipotenuza:

Sada ću vam reći o jednom originalnom dokazu ove teoreme, za koji možda niste znali...

Ali prvo pogledajmo jedan lema- dokazana tvrdnja koja nije korisna sama po sebi, već za dokazivanje drugih tvrdnji (teorema).

Uzmimo pravougli trougao sa vrhovima X, Y I Z, Gdje Z- pravi ugao i ispusti okomicu iz pravi ugao Z na hipotenuzu. Evo W- tačka u kojoj visina seče hipotenuzu.

Ova linija (okomita) ZW dijeli trokut na slične kopije samog sebe.

Da vas podsjetim da se trokuti nazivaju sličnim, čiji su uglovi jednaki, a stranice jednog trokuta su proporcionalne sličnim stranicama drugog trokuta.

U našem primjeru, rezultirajući trokuti XWZ I YWZ slični jedni drugima i također slični originalnom trokutu XYZ.

Ovo nije teško dokazati.

Počnimo sa trouglom XWZ, imajte na umu da je ∠XWZ = 90, a samim tim i ∠XZW = 180–90-∠X. Ali 180–90-∠X - je upravo ono što je ∠Y, tako da trougao XWZ mora biti sličan (svi uglovi jednaki) trouglu XYZ. Ista vježba se može uraditi za YWZ trokut.

Lema je dokazana! U pravokutnom trokutu, visina (okomica) spuštena na hipotenuzu dijeli trokut na dva slična, koji su zauzvrat slični originalnom trokutu.

No, vratimo se na naše "pitagorine pantalone"...

Ispustite okomicu na hipotenuzu c. Kao rezultat, imamo dva pravokutna trougla unutar našeg pravokutnog trokuta. Označimo ove trouglove (na slici iznad zeleno) slova A I B, a originalni trokut je slovo WITH.

Naravno, površina trougla WITH jednak zbiru površina trouglova A I B.

One. A+ B= WITH

Sada podijelimo figuru na vrhu („Pitagorine pantalone“) na tri kućne figure:

Kao što već znamo iz leme, trouglovi A, B I C su slične jedna drugoj, stoga su rezultujuće figure kuća također slične i skalirane su jedne druge.

To znači da je omjer površina A I a², - ovo je isto kao i omjer površina B I b², i C I c².

Tako imamo A/a² = B/b² = C/c² .

Označimo ovaj omjer površina trokuta i kvadrata u figuri kuće slovom k.

One. k- ovo je određeni koeficijent koji povezuje površinu trokuta (krova kuće) sa površinom kvadrata ispod njega:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Iz ovoga slijedi da se površine trokuta mogu izraziti preko površina kvadrata ispod njih na ovaj način:
A = ka², B = kb², And C = kc²

Ali sećamo se toga A+B = C, što znači ka² + kb² = kc²

Or a² + b² = c²

I to je to dokaz Pitagorine teoreme!

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

Projekat učenika srednje škole MBOU Bondarskaya na temu: „Pitagora i njegova teorema“ Pripremio: Konstantin Ektov, učenik 7A razreda Rukovodilac: Nadežda Ivanovna Dolotova, nastavnica matematike, 2015.

2 slajd

Opis slajda:

3 slajd

Opis slajda:

Anotacija. Geometrija je veoma interesantna nauka. Sadrži mnoge teoreme koje nisu slične jedna drugoj, ali ponekad toliko potrebne. Veoma sam se zainteresovao za Pitagorinu teoremu. Nažalost, jednu od najvažnijih tvrdnji učimo tek u osmom razredu. Odlučio sam da podignem veo tajne i istražim Pitagorinu teoremu.

4 slajd

Opis slajda:

5 slajd

Opis slajda:

6 slajd

Opis slajda:

Ciljevi: Proučiti Pitagorinu biografiju. Istražite istoriju i dokaz teoreme. Saznajte kako se teorema koristi u umjetnosti. Pronađite istorijske probleme u kojima se koristi Pitagorina teorema. Upoznajte se sa stavom djece različitih vremena prema ovoj teoremi. Kreirajte projekat.

7 slajd

Opis slajda:

Napredak istraživanja Pitagorina biografija. Pitagorine zapovijedi i aforizmi. Pitagorina teorema. Istorija teoreme. Zašto su “pitagorine pantalone jednake u svim pravcima”? Razni dokazi Pitagorine teoreme od strane drugih naučnika. Primjena Pitagorine teoreme. Anketa. Zaključak.

8 slajd

Opis slajda:

Pitagora - ko je on? Pitagora sa Samosa (580 - 500 pne), starogrčki matematičar i idealistički filozof. Rođen na ostrvu Samos. Dobio dobro obrazovanje. Prema legendi, Pitagora je, kako bi se upoznao sa mudrošću istočnjačkih naučnika, otišao u Egipat i tamo živio 22 godine. Pošto je dobro savladao sve egipatske nauke, uključujući i matematiku, preselio se u Babilon, gde je živeo 12 godina i upoznao se sa naučnim saznanjima babilonskih sveštenika. Tradicija pripisuje Pitagorini posjet Indiji. To je vrlo vjerovatno, budući da su Jonija i Indija tada imale trgovinske odnose. Vrativši se u svoju domovinu (oko 530. pne), Pitagora je pokušao da organizuje sopstvenu filozofsku školu. Međutim, iz nepoznatih razloga, ubrzo napušta Samos i naseljava se u Crotone (grčka kolonija u sjevernoj Italiji). Ovde je Pitagora uspeo da organizuje svoju školu, koja je radila skoro trideset godina. Pitagorina škola ili, kako je još nazivaju, Pitagorina unija, bila je i filozofska škola i politička stranka i vjersko bratstvo. Status pitagorejskog saveza bio je veoma oštar. U svojim filozofskim pogledima, Pitagora je bio idealista, branilac interesa robovlasničke aristokracije. Možda je to bio razlog njegovog odlaska sa Samosa, budući da u Joniji postoji vrlo veliki uticaj imao pristalice demokratskih stavova. U društvenim pitanjima, pitagorejci su pod "naredbom" shvatili dominaciju aristokrata. Oni su osudili antičku grčku demokratiju. Pitagorejska filozofija bila je primitivni pokušaj da se opravda vladavina robovlasničke aristokracije. Krajem 5. vijeka. BC e. Talas demokratskog pokreta zahvatio je Grčku i njene kolonije. Demokratija je pobijedila u Crotoneu. Pitagora, zajedno sa svojim učenicima, napušta Kroton i odlazi u Tarent, a zatim u Metapontum. Dolazak Pitagorejaca u Metapontum poklopio se sa izbijanjem tamošnjeg narodnog ustanka. U jednom od noćnih okršaja poginuo je skoro devedesetogodišnji Pitagora. Njegova škola je prestala da postoji. Pitagorini učenici, bježeći od progona, naselili su se širom Grčke i njenih kolonija. Zarađujući za život, organizovali su škole u kojima su predavali uglavnom aritmetiku i geometriju. Podaci o njihovim dostignućima sadržani su u radovima kasnijih naučnika - Platona, Aristotela itd.

Slajd 9

Opis slajda:

Pitagorine zapovesti i aforizmi Misao je iznad svega među ljudima na zemlji. Ne sjedite na žitnoj mjeri (tj. ne živite besposleno). Prilikom odlaska ne osvrći se (tj. prije smrti, ne hvataj se za život). Ne hodajte utabanim putem (odnosno, ne slijedite mišljenje gomile, već mišljenja nekolicine koji razumiju). Ne držite laste u svojoj kući (tj. ne primajte goste koji su pričljivi ili neobuzdani na svom jeziku). Budite sa onima koji nose teret, ne budite sa onima koji bacaju teret (tj. podstičite ljude ne na besposlenost, već na vrlinu, na rad). Po polju života, kao sijač, hodaj ujednačenim i postojanim korakom. Prava otadžbina je tamo gde ima dobrog morala. Nemojte biti član učenog društva: najmudriji, kada formiraju društvo, postaju obični ljudi. Čast sveti brojevi, težina i mjera, poput djece graciozne jednakosti. Izmjerite svoje želje, odmjerite svoje misli, brojite riječi. Nemojte se ničemu čuditi: bogovi su bili iznenađeni.

10 slajd

Opis slajda:

Izjava teoreme. U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.

11 slajd

Opis slajda:

Dokaz teoreme. On ovog trenutka U naučnoj literaturi je zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Naravno, svi se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih su: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi.

12 slajd

Opis slajda:

Dokaz Pitagorine teoreme Dat je pravougli trokut sa katetama a, b i hipotenuzom c. Dokažimo da je c² = a² + b² Dopunićemo trougao do kvadrata sa stranicom a + b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutnih trouglova, S od kojih je svaki jednak ½ a b, i kvadrat sa stranicom c. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Dakle, (a + b)² = 2 a b + c², odakle je c² = a² + b² c c c c c a b

Slajd 13

Opis slajda:

Istorija Pitagorine teoreme Istorija Pitagorine teoreme je zanimljiva. Iako je ova teorema povezana s Pitagorinim imenom, bila je poznata mnogo prije njega. U vavilonskim tekstovima ova se teorema pojavljuje 1200 godina prije Pitagore. Moguće je da njegovi dokazi tada još nisu bili poznati, ali je uspostavljena veza između hipotenuze i kateta empirijski na osnovu merenja. Pitagora je očigledno pronašao dokaz za ovu vezu. Sačuvana je drevna legenda da je Pitagora u čast svog otkrića žrtvovao bogovima bika, a prema drugim dokazima čak i stotinu bikova. Tokom narednih vekova pronađeni su razni drugi dokazi Pitagorine teoreme. Trenutno ih ima više od stotinu, ali najpopularnija teorema je konstrukcija kvadrata pomoću zadanog pravokutnog trokuta.

Slajd 14

Opis slajda:

Teorema u Ancient China“Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5, kada je osnova 3, a visina 4.”

15 slajd

Opis slajda:

Teorema u Drevni Egipat Cantor (najveći njemački istoričar matematike) vjeruje da je jednakost 3² + 4² = 5² bila poznata Egipćanima već oko 2300. godine prije Krista. e., za vrijeme kralja Amenemheta (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili "vlagači užeta", gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.

16 slajd

Opis slajda:

O teoremi u Babiloniji „Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije otkriće matematike, već njena sistematizacija i opravdanje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim idejama postali su egzaktna nauka."

Slajd 17

Opis slajda:

Zašto su “pitagorine pantalone jednake u svim pravcima”? Dva milenijuma najčešći dokaz Pitagorine teoreme bio je Euklid. Nalazi se u njegovoj čuvenoj knjizi “Principi”. Euklid je spustio visinu CH iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao da njen nastavak dijeli kvadrat završen na hipotenuzi na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na stranicama. Crtež koji se koristi za dokazivanje ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

18 slajd

Opis slajda:

Studenti srednjeg vijeka smatrali su da je stav drevne djece prema dokazu Pitagorine teoreme veoma težak. Slabi učenici koji su pamtili teoreme, a da ih nisu razumjeli, pa su zbog toga dobili nadimak „magarci“, nisu bili u stanju da savladaju Pitagorinu teoremu, koja im je služila kao nepremostivi most. Zbog crteža koji prate Pitagorinu teoremu, učenici su je nazvali i “ vjetrenjača“, komponovao pjesme poput “Pitagorine pantalone jednake na sve strane”, crtao crtane filmove.

Slajd 19

Opis slajda:

Dokaz teoreme Najjednostavniji dokaz teoreme dobiva se u slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Zapravo, dovoljno je samo pogledati mozaik jednakokračnih pravokutnih trouglova da bismo se uvjerili u valjanost teoreme. Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 originalna trokuta, a kvadrati izgrađeni na stranicama sadrže dva.

20 slajd

Opis slajda:

“Nevjestina stolica” Na slici su kvadrati izgrađeni na nogama postavljeni u stepenice, jedan do drugog. Ova figura, koja se pojavljuje u dokazima koji datiraju najkasnije do 9. stoljeća nove ere. e., Hindusi su je nazvali „nevestina stolica“.

21 slajd

Opis slajda:

Primena Pitagorine teoreme Trenutno je opšte poznato da uspeh razvoja mnogih oblasti nauke i tehnologije zavisi od razvoja različitih oblasti matematike. Važan uslov povećanje efikasnosti proizvodnje je široko uvođenje matematičkih metoda u tehnologiju i Nacionalna ekonomija, što uključuje stvaranje novih, efikasne metode kvaliteta i kvantitativno istraživanje, koji omogućavaju rješavanje problema koje postavlja praksa.

22 slajd

Opis slajda:

Primjena teoreme u građevinarstvu U gotičkom i Romanički stil gornji dijelovi prozora podijeljeni su kamenim rebrima, koji ne samo da imaju ulogu ukrasa, već i doprinose čvrstoći prozora.

Slajd 23

Opis slajda:

24 slajd

Opis slajda:

Istorijski zadaci Za osiguranje jarbola potrebno je postaviti 4 kabla. Jedan kraj svakog kabla treba pričvrstiti na visini od 12 m, a drugi na tlu na udaljenosti od 5 m od jarbola. Da li je 50 m kabla dovoljno za pričvršćivanje jarbola?