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Lineare Funktionsformel. Lineare Funktion und ihr Graph

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form

x-Argument (unabhängige Variable),

y-Funktion (abhängige Variable),

k und b sind einige konstante Zahlen

Der Graph einer linearen Funktion ist gerade.

Es reicht aus, ein Diagramm zu erstellen zwei Punkte, weil Durch zwei Punkte kann man eine Gerade ziehen und darüber hinaus nur eine.

Wenn k˃0, dann liegt der Graph im 1. und 3. Koordinatenviertel. Wenn k˂0, dann liegt der Graph im 2. und 4. Koordinatenviertel.

Die Zahl k heißt Steigung des geraden Graphen der Funktion y(x)=kx+b. Wenn k˃0, dann ist der Neigungswinkel der Geraden y(x)= kx+b zur positiven Richtung Ox spitz; wenn k˂0, dann ist dieser Winkel stumpf.

Koeffizient b zeigt den Schnittpunkt des Diagramms mit der Operationsverstärkerachse (0; b).

y(x)=k∙x-- besonderer Fall Eine typische Funktion heißt direkte Proportionalität. Der Graph ist eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft, daher reicht ein Punkt aus, um diesen Graphen zu erstellen.

Graph einer linearen Funktion

Wobei Koeffizient k = 3 ist

Der Graph der Funktion wird zunehmen und haben scharfe Ecke mit Achse Oh, weil Koeffizient k hat ein Pluszeichen.

OOF lineare Funktion

OPF einer linearen Funktion

Außer in dem Fall, wo

Auch eine lineare Funktion der Form

Ist eine Funktion Gesamtansicht.

B) Wenn k=0; b≠0,

In diesem Fall ist der Graph eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse, die durch den Punkt (0; b) verläuft.

B) Wenn k≠0; b≠0, dann hat die lineare Funktion die Form y(x)=k∙x+b.

Beispiel 1 . Stellen Sie die Funktion y(x)= -2x+5 grafisch dar

Beispiel 2 . Finden wir die Nullstellen der Funktion y=3x+1, y=0;

– Nullstellen der Funktion.

Antwort: oder (;0)

Beispiel 3 . Bestimmen Sie den Wert der Funktion y=-x+3 für x=1 und x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Antwort: y_1=2; y_2=4.

Beispiel 4 . Bestimmen Sie die Koordinaten ihres Schnittpunkts oder beweisen Sie, dass sich die Graphen nicht schneiden. Gegeben seien die Funktionen y 1 =10∙x-8 und y 2 =-3∙x+5.

Wenn sich die Funktionsgraphen schneiden, sind die Werte der Funktionen an dieser Stelle gleich

Ersetzen Sie x=1, dann y 1 (1)=10∙1-8=2.

Kommentar. Sie können den resultierenden Wert des Arguments auch in die Funktion y 2 =-3∙x+5 einsetzen, dann erhalten wir die gleiche Antwort y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- Ordinate des Schnittpunkts.

(1;2) – der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y=10x-8 und y=-3x+5.

Antwort: (1;2)

Beispiel 5 .

Konstruieren Sie Graphen der Funktionen y 1 (x)= x+3 und y 2 (x)= x-1.

Sie können feststellen, dass der Koeffizient k=1 für beide Funktionen ist.

Daraus folgt, dass, wenn die Koeffizienten einer linearen Funktion gleich sind, ihre Graphen im Koordinatensystem parallel liegen.

Beispiel 6 .

Lassen Sie uns zwei Diagramme der Funktion erstellen.

Das erste Diagramm enthält die Formel

Die zweite Grafik enthält die Formel

In diesem Fall haben wir einen Graphen aus zwei Geraden, die sich im Punkt (0;4) schneiden. Dies bedeutet, dass der Koeffizient b, der für die Höhe des Anstiegs des Graphen über der Ox-Achse verantwortlich ist, wenn x = 0 ist. Das heißt, wir können davon ausgehen, dass der b-Koeffizient beider Diagramme gleich 4 ist.

Herausgeber: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

>>Mathematik: Lineare Funktion und ihr Graph

Lineare Funktion und ihr Graph


 Der Algorithmus zur Konstruktion eines Graphen der Gleichung ax + by + c = 0, den wir in § 28 formuliert haben, gefällt Mathematikern trotz seiner Klarheit und Sicherheit nicht wirklich. Normalerweise machen sie Aussagen über die ersten beiden Schritte des Algorithmus. Warum, sagen sie, löst man die Gleichung zweimal für die Variable y: zuerst ax1 + by + c = O, dann ax1 + by + c = O? Ist es nicht besser, y sofort aus der Gleichung ax + durch + c = 0 auszudrücken, dann lassen sich Berechnungen einfacher (und vor allem schneller) durchführen? Lass uns das Prüfen. Lassen Sie uns zunächst überlegen Die gleichung 3x - 2y + 6 = 0 (siehe Beispiel 2 aus § 28).

x geben spezifische Werte, ist es einfach, die entsprechenden Werte von y zu berechnen. Wenn beispielsweise x = 0 ist, erhalten wir y = 3; bei x = -2 haben wir y = 0; für x = 2 gilt y = 6; für x = 4 erhalten wir: y = 9.

Sie sehen, wie einfach und schnell die Punkte (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) und (4; 9) gefunden wurden, die im Beispiel 2 aus § 28 hervorgehoben wurden.

Auf die gleiche Weise ließe sich die Gleichung bx - 2y = 0 (siehe Beispiel 4 aus § 28) in die Form 2y = 16 -3x umwandeln. weiter y = 2,5x; Es ist nicht schwierig, die Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die diese Gleichung erfüllen.

Schließlich kann die Gleichung 3x + 2y - 16 = 0 aus demselben Beispiel in die Form 2y = 16 -3x umgewandelt werden, und dann ist es nicht schwierig, Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die diese Gleichung erfüllen.

Betrachten wir diese Transformationen nun in allgemeiner Form.


Somit kann die lineare Gleichung (1) mit zwei Variablen x und y immer in die Form transformiert werden
y = kx + m,(2) wobei k,m Zahlen (Koeffizienten) sind und .

Das Privatansicht Die lineare Gleichung wird als lineare Funktion bezeichnet.

Mithilfe von Gleichung (2) ist es einfach, einen bestimmten x-Wert anzugeben und den entsprechenden y-Wert zu berechnen. Lassen Sie zum Beispiel

y = 2x + 3. Dann:
wenn x = 0, dann y = 3;
wenn x = 1, dann y = 5;
wenn x = -1, dann y = 1;
wenn x = 3, dann y = 9 usw.

Typischerweise werden diese Ergebnisse im Formular dargestellt Tische:

Die Werte von y aus der zweiten Zeile der Tabelle werden jeweils als Werte der linearen Funktion y = 2x + 3 an den Punkten x = 0, x = 1, x = -1, x = - bezeichnet 3.

In Gleichung (1) sind die Variablen hnu gleich, in Gleichung (2) jedoch nicht: Wir weisen einer von ihnen bestimmte Werte zu – der Variablen x, während der Wert der Variablen y vom ausgewählten Wert der Variablen x abhängt. Daher sagen wir normalerweise, dass x die unabhängige Variable (oder das Argument) und y die abhängige Variable ist.

Bitte beachten Sie: Es handelt sich um eine lineare Funktion spezieller Typ lineare Gleichung mit zwei Variablen. Gleichungsdiagramm y – kx + m ist wie jede lineare Gleichung mit zwei Variablen eine Gerade – sie wird auch Graph der linearen Funktion y = kx + m genannt. Somit ist der folgende Satz gültig.


Beispiel 1. Konstruieren Sie einen Graphen der linearen Funktion y = 2x + 3.

Lösung. Machen wir eine Tabelle:

In der zweiten Situation kann die unabhängige Variable x, die wie in der ersten Situation die Anzahl der Tage angibt, nur die Werte 1, 2, 3, ..., 16 annehmen. Wenn nämlich x = 16, dann finden wir mit der Formel y = 500 - 30x: y = 500 - 30 16 = 20. Das bedeutet, dass bereits am 17. Tag keine 30 Tonnen Kohle aus dem Lager entnommen werden können, da an diesem Tag nur noch 20 Tonnen werden im Lager verbleiben und der Prozess der Kohleentfernung muss gestoppt werden. Daher sieht das verfeinerte mathematische Modell der zweiten Situation wie folgt aus:

y = 500 - ZOD:, wobei x = 1, 2, 3, .... 16.

In der dritten Situation unabhängig Variable x kann theoretisch jeden nicht negativen Wert annehmen (z. B. x-Wert = 0, x-Wert = 2, x-Wert = 3,5 usw.), aber in der Praxis kann ein Tourist nicht damit laufen konstante Geschwindigkeit ohne Schlaf oder Ruhe so lange wie gewünscht. Wir mussten also vernünftige Einschränkungen für x vornehmen, sagen wir 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Denken Sie daran, dass das geometrische Modell der nicht strengen doppelten Ungleichung 0 ist< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Lassen Sie uns vereinbaren, anstelle des Ausdrucks „x gehört zur Menge X“ zu schreiben (sprich: „Element x gehört zur Menge X“, e ist das Zeichen der Zugehörigkeit). Wie Sie sehen, ist unsere Bekanntschaft mit der mathematischen Sprache ständig im Gange.

Wenn die lineare Funktion y = kx + m nicht für alle Werte von x, sondern nur für Werte von x aus einem bestimmten Zahlenintervall X betrachtet werden soll, dann schreiben sie:

Beispiel 2. Zeichnen Sie eine lineare Funktion grafisch:

Lösung: a) Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = 2x + 1

Konstruieren wir die Punkte (-3; 7) und (2; -3) auf der xOy-Koordinatenebene und zeichnen wir eine gerade Linie durch sie. Dies ist ein Diagramm der Gleichung y = -2x: + 1. Wählen Sie als Nächstes ein Segment aus, das die konstruierten Punkte verbindet (Abb. 38). Dieses Segment ist der Graph der linearen Funktion y = -2x+1, wobei xe [-3, 2] ist.

Normalerweise sagen sie Folgendes: Wir haben eine lineare Funktion y = - 2x + 1 auf dem Segment [- 3, 2] aufgetragen.

b) Wie unterscheidet sich dieses Beispiel vom vorherigen? Die lineare Funktion ist dieselbe (y = -2x + 1), was bedeutet, dass dieselbe Gerade als ihr Graph dient. Aber sei vorsichtig! - diesmal x e (-3, 2), d.h. die Werte x = -3 und x = 2 werden nicht berücksichtigt, sie gehören nicht zum Intervall (- 3, 2). Wie haben wir die Enden eines Intervalls auf einer Koordinatenlinie markiert? Lichtkreise (Abb. 39), darüber haben wir in § 26 gesprochen. Ebenso die Punkte (- 3; 7) und B; - 3) müssen auf der Zeichnung mit hellen Kreisen markiert werden. Dies erinnert uns daran, dass nur die Punkte der Geraden y = - 2x + 1 genommen werden, die zwischen den mit Kreisen markierten Punkten liegen (Abb. 40). In solchen Fällen werden jedoch manchmal Pfeile anstelle von Lichtkreisen verwendet (Abb. 41). Das ist nicht grundlegend, die Hauptsache ist, zu verstehen, was gesagt wird.


Beispiel 3. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer linearen Funktion auf dem Segment.
Lösung. Lassen Sie uns eine Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

Konstruieren wir die Punkte (0; 4) und (6; 7) auf der xOy-Koordinatenebene und zeichnen wir eine gerade Linie durch sie – einen Graphen der linearen x-Funktion (Abb. 42).

Wir müssen diese lineare Funktion nicht als Ganzes betrachten, sondern auf einem Segment, d. h. für x e.

Der entsprechende Abschnitt des Diagramms wird in der Zeichnung hervorgehoben. Wir stellen fest, dass die größte Ordinate der zum ausgewählten Teil gehörenden Punkte gleich 7 ist – das ist Höchster Wert lineare Funktion auf dem Segment. Normalerweise wird die folgende Notation verwendet: y max =7.

Wir stellen fest, dass die kleinste Ordinate der Punkte, die zu dem in Abbildung 42 hervorgehobenen Teil der Linie gehören, gleich 4 ist – das ist kleinster Wert lineare Funktion auf dem Segment.
Normalerweise wird die folgende Notation verwendet: y Name. = 4.

Beispiel 4. Finden Sie y naib und y naim. für eine lineare Funktion y = -1,5x + 3,5

a) auf dem Segment; b) im Intervall (1,5);
c) im Halbtakt.

Lösung. Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = -l.5x + 3.5:

Konstruieren wir die Punkte (1; 2) und (5; - 4) auf der xOy-Koordinatenebene und zeichnen wir eine Gerade durch sie (Abb. 43-47). Wählen wir auf der konstruierten Geraden den Teil aus, der den x-Werten entspricht, aus dem Segment (Abb. 43), aus dem Intervall A, 5) (Abb. 44), aus dem Halbintervall (Abb. 47).

a) Anhand von Abbildung 43 lässt sich leicht schließen, dass y max = 2 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 1) und y min. = - 4 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 5).

b) Anhand von Abbildung 44 kommen wir zu dem Schluss: Diese lineare Funktion hat weder den größten noch den kleinsten Wert in einem bestimmten Intervall. Warum? Tatsache ist, dass im Gegensatz zum vorherigen Fall beide Enden des Segments, in denen die größten und kleinsten Werte erreicht wurden, von der Betrachtung ausgeschlossen sind.

c) Anhand von Abbildung 45 schließen wir, dass y max. = 2 (wie im ersten Fall) und die lineare Funktion hat keinen Minimalwert (wie im zweiten Fall).

d) Anhand von Abbildung 46 schließen wir: y max = 3,5 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 0) und y max. existiert nicht.

e) Anhand von Abbildung 47 schließen wir: y max. = -1 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 3) und y max. existiert nicht.

Beispiel 5. Stellen Sie eine lineare Funktion grafisch dar

y = 2x - 6. Verwenden Sie die Grafik, um die folgenden Fragen zu beantworten:

a) Bei welchem ​​Wert von x ist y = 0?
b) Für welche Werte von x gilt y > 0?
c) bei welchen Werten von x wird y< 0?

Lösung. Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = 2x-6:

Durch die Punkte (0; - 6) und (3; 0) zeichnen wir eine Gerade - den Graphen der Funktion y = 2x - 6 (Abb. 48).

a) y = 0 bei x = 3. Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt x = 3, das ist der Punkt mit der Ordinate y = 0.
b) y > 0 für x > 3. Tatsächlich liegt die Gerade bei x > 3 über der x-Achse, was bedeutet, dass die Ordinaten der entsprechenden Punkte der Geraden positiv sind.

Katze< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Bitte beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel das Diagramm zur Lösung verwendet haben:

a) Gleichung 2x - 6 = 0 (wir haben x = 3);
b) Ungleichung 2x - 6 > 0 (wir haben x > 3);
c) Ungleichung 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Kommentar. Im Russischen wird ein und dasselbe Objekt oft anders bezeichnet, zum Beispiel: „Haus“, „Gebäude“, „Bauwerk“, „Hütte“, „Herrenhaus“, „Baracke“, „Hütte“, „Hütte“. IN mathematische Sprache Die Situation ist ungefähr die gleiche. Angenommen, die Gleichheit mit zwei Variablen y = kx + m, wobei k, m bestimmte Zahlen sind, kann als lineare Funktion bezeichnet werden Lineargleichung mit zwei Variablen x und y (oder mit zwei Unbekannten x und y), kann als Formel bezeichnet werden, kann als Beziehung zwischen x und y bezeichnet werden, kann schließlich als Abhängigkeit zwischen x und y bezeichnet werden. Das spielt keine Rolle, die Hauptsache ist zu verstehen, dass es sich in allen Fällen um das mathematische Modell y = kx + m handelt

.

Betrachten Sie den in Abbildung 49 gezeigten Graphen der linearen Funktion, a. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, erhöhen sich die Ordinaten der Punkte im Diagramm ständig, als ob wir „einen Hügel hinaufsteigen“ würden. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Zunahme und sagen Folgendes: Wenn k>0, dann nimmt die lineare Funktion y = kx + m zu.

Betrachten Sie den Graphen der linearen Funktion in Abbildung 49, b. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, nehmen die Ordinaten der Punkte im Diagramm ständig ab, als ob wir „einen Hügel hinuntergehen“ würden. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Abnahme und sagen Folgendes: wenn k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineare Funktion im Leben

Fassen wir nun dieses Thema zusammen. Wir haben ein solches Konzept als lineare Funktion bereits kennengelernt, wir kennen seine Eigenschaften und haben gelernt, wie man Graphen erstellt. Außerdem haben Sie sich Sonderfälle einer linearen Funktion angesehen und herausgefunden, wovon sie abhängt gegenseitige Übereinkunft Graphen linearer Funktionen. Aber es stellt sich heraus, dass in unserem Alltagsleben Auch wir kreuzen uns ständig mit diesem mathematischen Modell.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Situationen im wirklichen Leben mit einem Konzept wie linearen Funktionen verbunden sind. Und auch, zwischen welchen Mengen bzw Lebenssituationen vielleicht einen linearen Zusammenhang herstellen?

Viele von Ihnen verstehen wahrscheinlich nicht ganz, warum sie lineare Funktionen studieren müssen, da dies im späteren Leben wahrscheinlich nicht von Nutzen sein wird. Aber hier irren Sie sich zutiefst, denn Funktionen begegnen uns immer und überall. Denn auch eine regelmäßige Monatsmiete ist eine Funktion, die von vielen Variablen abhängt. Zu diesen Variablen gehören Quadratmeterzahl, Einwohnerzahl, Tarife, Stromverbrauch usw.

Natürlich die häufigsten Beispiele für Funktionen lineare Abhängigkeit, die uns begegnet sind, sind Mathematikunterricht.

Sie und ich haben Probleme gelöst, bei denen wir die Entfernungen ermittelt haben, die Autos, Züge oder Fußgänger bei einer bestimmten Geschwindigkeit zurücklegen. Dies sind lineare Funktionen der Bewegungszeit. Aber diese Beispiele sind nicht nur in der Mathematik anwendbar, sie sind auch in unserem Alltag präsent.

Der Kaloriengehalt von Milchprodukten hängt vom Fettgehalt ab, und eine solche Abhängigkeit ist normalerweise eine lineare Funktion. Wenn beispielsweise der Fettanteil in Sauerrahm steigt, steigt auch der Kaloriengehalt des Produkts.



Lassen Sie uns nun die Berechnungen durchführen und die Werte von k und b ermitteln, indem wir das Gleichungssystem lösen:


Lassen Sie uns nun die Abhängigkeitsformel ableiten:

Als Ergebnis haben wir eine lineare Beziehung erhalten.

Um die Geschwindigkeit der Schallausbreitung in Abhängigkeit von der Temperatur zu ermitteln, kann man die Formel verwenden: v = 331 +0,6t, wobei v die Geschwindigkeit (in m/s) und t die Temperatur ist. Wenn wir ein Diagramm dieser Beziehung zeichnen, werden wir sehen, dass sie linear ist, das heißt, sie stellt eine gerade Linie dar.

Und solche praktischen Wissensanwendungen in der Anwendung linearer funktionaler Abhängigkeiten lassen sich noch lange aufzählen. Angefangen bei Telefongebühren, Haarlänge und -wachstum bis hin zu Sprichwörtern in der Literatur. Und diese Liste geht weiter und weiter.

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Wie die Praxis zeigt, bereiten Aufgaben zu den Eigenschaften und Graphen einer quadratischen Funktion ernsthafte Schwierigkeiten. Das ist ziemlich seltsam, weil sie in der 8. Klasse die quadratische Funktion studieren und dann im ersten Viertel der 9. Klasse die Eigenschaften der Parabel „quälen“ und ihre Diagramme für verschiedene Parameter erstellen.

Dies liegt daran, dass die Schüler, wenn sie gezwungen werden, Parabeln zu konstruieren, praktisch keine Zeit damit verbringen, die Grafiken zu „lesen“, das heißt, sie üben nicht, die aus dem Bild erhaltenen Informationen zu verstehen. Anscheinend geht man davon aus, dass ein kluger Schüler nach der Erstellung von ein oder zwei Dutzend Diagrammen selbst die Beziehung zwischen den Koeffizienten in der Formel und entdecken und formulieren wird Aussehen Grafik. In der Praxis funktioniert das nicht. Für eine solche Verallgemeinerung sind ernsthafte Erfahrungen in der mathematischen Miniforschung erforderlich, über die die meisten Neuntklässler natürlich nicht verfügen. In der Zwischenzeit schlägt die staatliche Aufsichtsbehörde vor, die Vorzeichen der Koeffizienten anhand des Diagramms zu ermitteln.

Wir werden von Schulkindern nicht das Unmögliche verlangen und einfach einen der Algorithmen zur Lösung solcher Probleme anbieten.

Also eine Funktion der Form y = ax 2 + bx + c genannt quadratisch, sein Graph ist eine Parabel. Wie der Name schon sagt, lautet der Hauptbegriff Axt 2. Also A sollte nicht gleich Null sein, die restlichen Koeffizienten ( B Und Mit) kann gleich Null sein.

Sehen wir uns an, wie sich die Vorzeichen ihrer Koeffizienten auf das Aussehen einer Parabel auswirken.

Die einfachste Abhängigkeit für den Koeffizienten A. Die meisten Schulkinder antworten selbstbewusst: „Wenn A> 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

In diesem Fall A = 0,5

Und jetzt für A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

In diesem Fall A = - 0,5

Einfluss des Koeffizienten Mit Es ist auch ziemlich einfach zu befolgen. Stellen wir uns vor, wir möchten den Wert einer Funktion an einem Punkt ermitteln X= 0. Ersetzen Sie Null in der Formel:

j = A 0 2 + B 0 + C = C. Es stellt sich heraus, dass y = c. Also Mit ist die Ordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der y-Achse. Normalerweise ist dieser Punkt in der Grafik leicht zu finden. Und bestimmen Sie, ob er über oder unter Null liegt. Also Mit> 0 oder Mit < 0.

Mit > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Mit < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dementsprechend, wenn Mit= 0, dann verläuft die Parabel zwangsläufig durch den Ursprung:

y = x 2 + 4x


Schwieriger mit dem Parameter B. Der Punkt, an dem wir es finden, hängt nicht nur davon ab B aber auch von A. Dies ist die Spitze der Parabel. Seine Abszisse (Achsenkoordinate X) wird durch die Formel gefunden x in = - b/(2a). Auf diese Weise, b = - 2ax in. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: Wir finden den Scheitelpunkt der Parabel im Diagramm, bestimmen das Vorzeichen ihrer Abszisse, d. h. wir schauen rechts von Null ( x Zoll> 0) oder nach links ( x Zoll < 0) она лежит.

Das ist jedoch noch nicht alles. Wir müssen auch auf das Vorzeichen des Koeffizienten achten A. Schauen Sie sich also an, wohin die Äste der Parabel gerichtet sind. Und erst danach, so die Formel b = - 2ax in Bestimmen Sie das Vorzeichen B.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Die Äste sind nach oben gerichtet, das heißt A> 0, die Parabel schneidet die Achse bei unter Null, das heißt Mit < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x Zoll> 0. Also b = - 2ax in = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Mit < 0.

„Kritische Punkte einer Funktion“ – Kritische Punkte. Unter den kritischen Punkten gibt es Extrempunkte. Voraussetzung Extremum. Antwort: 2. Definition. Aber wenn f" (x0) = 0, dann ist es nicht notwendig, dass der Punkt x0 ein Extrempunkt ist. Extrempunkte (Wiederholung). Kritische Punkte der Funktion. Extrempunkte.

„Koordinatenebene 6. Klasse“ – Mathematik 6. Klasse. 1. X. 1. Suchen Sie die Koordinaten und notieren Sie sie Punkte A, B, C,D: -6. Koordinatenebene. O. -3. 7. U.

„Funktionen und ihre Graphen“ – Kontinuität. Der größte und kleinste Wert einer Funktion. Konzept Umkehrfunktion. Linear. Logarithmisch. Monoton. Wenn k > 0, dann Winkel gebildet akut wenn k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Funktionen 9. Klasse“ – Gültige arithmetische Operationen auf Funktionen. [+] – Addition, [-] – Subtraktion, [*] – Multiplikation, [:] – Division. In solchen Fällen sprechen wir von der grafischen Spezifikation der Funktion. Bildung einer Klasse elementarer Funktionen. Power-Funktion y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, ein Schüler der 9. Klasse der RMOU Raduzhskaya Secondary School.

„Lektion Tangentengleichung“ – 1. Erklären Sie das Konzept einer Tangente an den Graphen einer Funktion. Leibniz beschäftigte sich mit dem Problem, eine Tangente an eine beliebige Kurve zu zeichnen. Algorithmus zur Entwicklung einer Gleichung für eine Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x). Unterrichtsthema: Test: Finden Sie die Ableitung einer Funktion. Tangentengleichung. Fluxion. 10. Klasse. Entschlüsseln Sie, was Isaac Newton die Ableitungsfunktion nannte.

„Erstellen Sie einen Graphen einer Funktion“ – Die Funktion y=3cosx ist gegeben. Graph der Funktion y=m*sin x. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Inhalt: Gegeben sei die Funktion: y=sin (x+?/2). Strecken des Graphen y=cosx entlang der y-Achse. Um fortzufahren, klicken Sie auf l. Maustaste. Gegeben sei die Funktion y=cosx+1. Diagramm-Offsets y=sinx vertikal. Gegeben sei die Funktion y=3sinx. Horizontale Verschiebung des Graphen y=cosx.

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Das Konzept einer numerischen Funktion. Methoden zur Angabe einer Funktion. Eigenschaften von Funktionen.

Eine numerische Funktion ist eine Funktion, die von einem numerischen Raum (Satz) zu einem anderen numerischen Raum (Satz) wirkt.

Drei Hauptmethoden zum Definieren einer Funktion: analytisch, tabellarisch und grafisch.

1. Analytisch.

Die Methode zur Angabe einer Funktion mithilfe einer Formel wird als analytisch bezeichnet. Diese Methode ist die wichtigste in der Matte. Analyse, aber in der Praxis ist es nicht praktisch.

2. Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion.

Eine Funktion kann mithilfe einer Tabelle angegeben werden, die die Argumentwerte und die entsprechenden Funktionswerte enthält.

3. Grafische Methode zur Angabe einer Funktion.

Eine Funktion y=f(x) heißt grafisch gegeben, wenn ihr Graph konstruiert ist. Diese Methode zur Angabe einer Funktion ermöglicht es, die Funktionswerte nur näherungsweise zu bestimmen, da das Erstellen eines Diagramms und das Auffinden der Funktionswerte darauf mit Fehlern verbunden sind.

Eigenschaften einer Funktion, die bei der Erstellung ihres Diagramms berücksichtigt werden müssen:

1)Bereich Funktionsdefinitionen.

Domäne der Funktion, das heißt, jene Werte, die das Argument x der Funktion F =y (x) annehmen kann.

2) Intervalle steigender und fallender Funktionen.

Die Funktion heißt erhöhend auf dem betrachteten Intervall, wenn höherer Wert das Argument entspricht einem größeren Wert der Funktion y(x). Das heißt, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall genommen werden und x 1 > x 2, dann ist y(x 1) > y(x 2).

Die Funktion heißt abnehmend auf dem betrachteten Intervall, wenn einem größeren Wert des Arguments ein kleinerer Wert der Funktion y(x) entspricht. Dies bedeutet, dass, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall entnommen werden, und x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funktionsnullstellen.

Die Punkte, an denen die Funktion F = y (x) die Abszissenachse schneidet (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x) = 0 erhalten), werden Nullstellen der Funktion genannt.

4) Gerade und ungerade Funktionen.

Die Funktion heißt gerade, wenn für alle Argumentwerte von Definitionsbereich



y(-x) = y(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Die Funktion heißt ungerade, wenn für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich

y(-x) = -y(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

5) Periodizität der Funktion.

Die Funktion heißt periodisch, wenn es eine Zahl P gibt, die für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich gilt

y(x + P) = y(x).


Lineare Funktion, ihre Eigenschaften und Diagramm.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y = kx + b, definiert auf der Menge aller reellen Zahlen.

k – Neigung (reelle Zahl)

B– Dummy-Begriff (reelle Zahl)

X- unabhängige Variable.

· Im Sonderfall k = 0 erhalten wir eine konstante Funktion y = b, deren Graph eine Gerade parallel zur Ox-Achse ist, die durch den Punkt mit den Koordinaten (0; b) verläuft.

· Wenn b = 0, dann erhalten wir die Funktion y = kx, die direkte Proportionalität ist.

o Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten b ist die Länge des Segments, das die Gerade entlang der Oy-Achse abschneidet, vom Ursprung aus gezählt.

o Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten k ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse, berechnet gegen den Uhrzeigersinn.

Eigenschaften einer linearen Funktion:

1) Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;

2) Wenn k ≠ 0, dann ist der Wertebereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse.

Wenn k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl b;

3) Geradeheit und Ungeradeheit einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten k und b ab.

a) b ≠ 0, k = 0, also y = b – gerade;

b) b = 0, k ≠ 0, also y = kx – ungerade;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, daher ist y = kx + b eine Funktion allgemeiner Form;

d) b = 0, k = 0, daher ist y = 0 sowohl eine gerade als auch eine ungerade Funktion.

4) Eine lineare Funktion hat nicht die Eigenschaft der Periodizität;

5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, daher ist (-b/k; 0) der Schnittpunkt mit der x-Achse.

Oy: y = 0k + b = b, daher ist (0; b) der Schnittpunkt mit der Ordinate.

Kommentar. Wenn b = 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = 0 für jeden Wert der Variablen x. Wenn b ≠ 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = b für keinen Wert der Variablen x.

6) Die Intervalle mit konstantem Vorzeichen hängen vom Koeffizienten k ab.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positiv bei x aus (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativ für x aus (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positiv bei x von (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativ für x von (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b ist im gesamten Definitionsbereich positiv,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Die Monotonieintervalle einer linearen Funktion hängen vom Koeffizienten k ab.

k > 0, daher nimmt y = kx + b im gesamten Definitionsbereich zu,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funktion y = ax 2 + bx + c, ihre Eigenschaften und Graph.

Funktion y = ax 2 + bx + c (a, b, c - Konstanten, a ≠ 0) heißt quadratisch Im einfachsten Fall, y = ax 2 (b = c = 0), ist der Graph eine gekrümmte Linie, die durch den Ursprung verläuft. Die Kurve, die als Graph der Funktion y = ax 2 dient, ist eine Parabel. Jede Parabel hat eine sogenannte Symmetrieachse die Achse der Parabel. Der Punkt O des Schnittpunkts einer Parabel mit ihrer Achse heißt der Scheitelpunkt der Parabel.
Der Graph kann nach dem folgenden Schema erstellt werden: 1) Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Wir konstruieren mehrere weitere Punkte, die zur Parabel gehören; beim Konstruieren können wir die Symmetrien der Parabel relativ zur Geraden x = -b/2a verwenden. 3) Verbinden Sie die angegebenen Punkte mit einer glatten Linie. Beispiel. Stellen Sie die Funktion b = x 2 + 2x - 3 grafisch dar. Lösungen. Der Graph der Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind. Die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ihre Ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Der Scheitelpunkt der Parabel ist also der Punkt (-1; -4). Lassen Sie uns eine Wertetabelle für mehrere Punkte erstellen, die rechts von der Symmetrieachse der Parabel liegen - Gerade x = -1.

Funktionseigenschaften.