Funktion 3 Wurzeln von x. Potenzfunktion und Wurzeln – Definition, Eigenschaften und Formeln

Anstatt vorzustellen

Der Einsatz moderner Technologien (CTE) und Lehrmittel (Multimedia-Board) im Unterricht hilft dem Lehrer, den Unterricht effektiv zu planen und durchzuführen und Bedingungen zu schaffen, in denen die Schüler Fähigkeiten bewusst verstehen, auswendig lernen und üben können.

Der Unterricht erweist sich währenddessen als dynamisch und interessant Trainingseinheit Kombinieren Sie verschiedene Trainingsformen.

In der modernen Didaktik gibt es vier allgemeine Organisationsformen der Ausbildung:

• individuell vermittelt;
• Dampfraum;
• Gruppe;

kollektiv (in Schichtpaaren). (Dyachenko V.K. Moderne Didaktik. - M.: Öffentliche Bildung, 2005).

Im klassischen Unterricht kommen in der Regel nur die ersten drei oben aufgeführten Organisationsformen des Unterrichts zum Einsatz. Die kollektive Unterrichtsform (Paararbeit im Schichtbetrieb) wird von der Lehrkraft praktisch nicht genutzt. Diese Organisationsform des Trainings ermöglicht es jedoch, dass das Team jeden trainiert und jeder sich aktiv an der Schulung anderer beteiligt. Die kollektive Ausbildungsform ist führend in der CSR-Technologie.

Eine der gebräuchlichsten Methoden der kollektiven Lerntechnologie ist die Technik des „gegenseitigen Trainings“.

Diese „magische“ Technik ist in jedem Fach und in jeder Lektion gut. Der Zweck ist die Ausbildung.

Das Training ist der Nachfolger der Selbstkontrolle; es hilft dem Schüler, Kontakt zum Lerngegenstand herzustellen und erleichtert so das Finden der richtigen Schritte und Handlungen. Durch Schulungen zum Erwerb, zur Festigung, Neugruppierung, Wiederholung und Anwendung von Wissen entwickeln sich die kognitiven Fähigkeiten einer Person. (Yanovitskaya E.V. Wie man lehrt und lernt Lektion wie diese lernen wollen. Album-Nachschlagewerk. – St. Petersburg: Bildungsprojekte, M.: Verlag A.M. Kushnir, 2009.-S.14;131)

Es hilft Ihnen, eine Regel schnell zu wiederholen, sich die Antworten auf die Fragen zu merken, die Sie studiert haben, und die erforderlichen Fähigkeiten zu festigen. Die optimale Einwirkzeit mit der Methode beträgt 5-10 Minuten. Die Arbeit an Trainingskarten erfolgt in der Regel während des mündlichen Rechnens, also zu Beginn des Unterrichts, kann aber nach Ermessen des Lehrers zu jedem Zeitpunkt des Unterrichts, je nach Ziel und Struktur, durchgeführt werden . Eine Trainingskarte kann 5 bis 10 einfache Beispiele (Fragen, Aufgaben) enthalten. Jeder Schüler der Klasse erhält eine Karte. Die Karten sind für jeden unterschiedlich oder für jeden im „kombinierten Kader“ (Kinder sitzen in derselben Reihe) unterschiedlich. Eine kombinierte Abteilung (Gruppe) ist eine vorübergehende Zusammenarbeit von Schülern, die zur Erfüllung einer bestimmten Bildungsaufgabe gebildet wird. (Yalovets T.V. Technologie einer kollektiven Lehrmethode in der Lehrerausbildung: Pädagogisches und methodisches Handbuch. - Novokuznetsk: IPK Publishing House, 2005. - S. 122)

Unterrichtsprojekt zum Thema „Funktion y=, ihre Eigenschaften und Graph“

Im Unterrichtsprojekt lautet das Thema: „ Funktion y=, ihre Eigenschaften und Graph“ Der Einsatz gegenseitiger Trainingstechniken in Kombination mit dem Einsatz traditioneller und multimedialer Lehrmittel wird vorgestellt.

Unterrichtsthema: „ Funktion y=, seine Eigenschaften und sein Diagramm”

Ziele:

• Vorbereitung auf die Prüfung;
• Testen des Wissens über alle Eigenschaften einer Funktion und der Fähigkeit, Funktionsgraphen zu erstellen und deren Eigenschaften zu lesen.

Aufgaben: Fachebene:

Überfachliche Ebene:

• lernen, grafische Informationen zu analysieren;
• die Fähigkeit üben, Dialoge zu führen;
• Entwickeln Sie die Fähigkeit, mit einem interaktiven Whiteboard am Beispiel der Arbeit mit Grafiken zu arbeiten.

Lassen Sie uns den Inhalt jeder Phase genauer enthüllen.

1. Lehrerinformationseingabe (TII) umfasst Zeit organisieren; das Thema, den Zweck und den Unterrichtsplan formulieren; Zeigt ein Beispiel für Paararbeit mit der gegenseitigen Trainingsmethode.

Die Demonstration einer Arbeitsprobe in Paaren durch die Schüler in dieser Phase des Unterrichts ist ratsam, um den Arbeitsalgorithmus der von uns benötigten Methodik zu wiederholen, weil In der nächsten Phase der Lektion werden alle Arbeiten daran geplant cooles Team. Gleichzeitig können Sie die Fehler bei der Arbeit mit dem Algorithmus benennen (sofern vorhanden) und die Arbeit dieser Studierenden bewerten.

2. Die Aktualisierung des Grundwissens erfolgt paarschichtweise nach der Methode der gegenseitigen Schulung.

Der methodische Algorithmus umfasst individuelle, paarweise (statische Paare) und kollektive (Schichtpaare) Organisationsformen der Ausbildung.

Individuell: Jeder, der die Karte erhält, macht sich mit ihrem Inhalt vertraut (liest die Fragen und Antworten auf der Rückseite der Karte).

• Erste(in der Rolle des „Azubis“) liest die Aufgabe und beantwortet die Fragen auf der Partnerkarte;
• zweite(in der Rolle „Coach“) – prüft die Richtigkeit der Antworten auf der Rückseite der Karte;
• Arbeiten Sie auf ähnliche Weise an einer anderen Karte und wechseln Sie die Rollen.
• Markieren Sie ein einzelnes Blatt und tauschen Sie Karten aus.
• zu einem neuen Paar ziehen.

Kollektiv:

• im neuen Paar funktionieren sie wie im ersten; Übergang zu einem neuen Paar usw.

Die Anzahl der Übergänge hängt von der vom Lehrer für diesen Unterrichtsabschnitt vorgesehenen Zeit, vom Fleiß und der Auffassungsgeschwindigkeit jedes einzelnen Schülers und von den Partnern in der gemeinsamen Arbeit ab.

Nach der Arbeit in Paaren machen die Schüler Markierungen auf ihren Leistungsbögen und der Lehrer führt eine quantitative und qualitative Analyse der Arbeit durch.

Das Abrechnungsblatt könnte so aussehen:

Ivanov Petya 7. Note „b“.

3. Die Einführung in das Thema „Funktion y=, ihre Eigenschaften und Graph“ erfolgt durch den Lehrer in Form einer Präsentation mit multimedialen Lernmitteln (Anlage 4). Dies ist einerseits eine Version der Klarheit, die für moderne Studierende verständlich ist, andererseits spart es Zeit bei der Erklärung neuer Materialien.

4. Festigung neu erlernter und bereits behandelter Inhalte zum Thema „Funktion ” Es ist in zwei Versionen organisiert und verwendet traditionelle Lehrmittel (Tafel, Lehrbuch) und innovative (interaktives Whiteboard).

Zunächst werden mehrere Aufgaben aus dem Lehrbuch angeboten, um den neu erlernten Stoff zu festigen. Es wird das für den Unterricht verwendete Lehrbuch verwendet. Die Arbeit wird gleichzeitig mit der gesamten Klasse durchgeführt. In diesem Fall erledigt ein Schüler die Aufgabe „a“ – an einer traditionellen Tafel; der andere ist Aufgabe „b“. Interaktives Whiteboard, die restlichen Schüler schreiben die Lösungen zu den gleichen Aufgaben in ein Notizbuch und vergleichen ihre Lösung mit der auf den Tafeln präsentierten Lösung. Anschließend bewertet der Lehrer die Arbeit der Schüler an der Tafel.

Um das erlernte Material zum Thema „Funktion“ schneller zu festigen, wird anschließend Frontalarbeit mit einem interaktiven Whiteboard vorgeschlagen, das wie folgt organisiert werden kann:

• die Aufgabe und der Zeitplan erscheinen auf der interaktiven Tafel;
• ein Schüler, der antworten möchte, geht an die Tafel, führt die notwendigen Konstruktionen durch und gibt die Antwort vor;
• eine neue Aufgabe und ein neuer Zeitplan erscheinen an der Tafel;
• Ein anderer Student kommt heraus, um zu antworten.

Somit ist es in kurzer Zeit möglich, eine ganze Reihe von Aufgaben zu lösen und die Antworten der Studierenden auszuwerten. Einige interessante Aufgaben (ähnlich den Aufgaben aus dem kommenden Testarbeit), kann in einem Notizbuch aufgezeichnet werden.

5. In der Selbstkontrollphase wird den Studierenden ein Test und anschließender Selbsttest angeboten (Anhang 3).

Literatur

1. Dyachenko, V.K. Moderne Didaktik [Text] / V.K. Dyachenko - M.: Öffentliche Bildung, 2005.
2. Yalovets, T.V. Technologie einer kollektiven Lehrmethode in der Lehrerausbildung: Pädagogisches und methodisches Handbuch[Text] / T.V. Yalovets. – Nowokusnezk: IPK-Verlag, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Wie man in einer Lektion so lehrt und lernt, dass man lernen möchte. Referenzalbum [Text] / E.V. Yanovitskaya. – St. Petersburg: Bildungsprojekte, M.: Verlag A.M. Kushnir, 2009.

Was gleich ist $A.$ Mit anderen Worten, dies ist die Lösung der Gleichung $x^3\; =\; a$(in der Regel sind reale Lösungen gemeint).

Echte Wurzel

Demonstrative Form

Die Wurzel komplexer Zahlen kann wie folgt definiert werden:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

Wenn Sie sich das vorstellen $X$ Wie

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash theta)$

dann lautet die Formel für eine Kubikzahl:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Das bedeutet geometrisch, dass in Polar Koordinaten Wir ziehen die Kubikwurzel des Radius und teilen den Polarwinkel durch drei, um die Kubikwurzel zu bestimmen. Also wenn $X$ komplex also $\backslash sqrt(-8)$ wird bedeuten, nicht $-2$, Wird sein $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

Bei konstanter Materiedichte verhalten sich die Abmessungen zweier ähnlicher Körper zueinander wie die Kubikwurzeln ihrer Massen. Wenn also eine Wassermelone doppelt so viel wiegt wie eine andere, dann ist ihr Durchmesser (sowie ihr Umfang) nur etwas mehr als ein Viertel (26 %) größer als die erste; und für das Auge scheint es, dass der Gewichtsunterschied nicht so groß ist. Wenn keine Schuppen vorhanden sind (Verkauf nach Augenmaß), ist es daher in der Regel rentabler, eine größere Frucht zu kaufen.

Berechnungsmethoden

Spalte

Bevor Sie beginnen, müssen Sie die Zahl in Drillinge teilen (den ganzzahligen Teil – von rechts nach links, den gebrochenen Teil – von links nach rechts). Wenn Sie den Dezimalpunkt erreicht haben, müssen Sie am Ende des Ergebnisses einen Dezimalpunkt hinzufügen.

Der Algorithmus ist wie folgt:

1. Finden Sie eine Zahl, deren Potenz kleiner ist als die erste Zifferngruppe, aber wenn sie um 1 erhöht wird, wird sie größer. Notieren Sie die Nummer, die Sie rechts daneben finden angegebene Nummer. Schreiben Sie die Zahl 3 darunter.
2. Schreiben Sie die Potenz der gefundenen Zahl unter die erste Zahlengruppe und subtrahieren Sie sie. Schreiben Sie das Ergebnis nach der Subtraktion unter den Subtrahend. Als nächstes notieren Sie die nächste Zahlengruppe.
3. Als nächstes ersetzen wir die gefundene Zwischenantwort durch den Buchstaben $A$. Berechnen Sie mit der Formel $$ so eine Zahl $X$ dass ihr Ergebnis kleiner als die niedrigere Zahl ist, bei einer Erhöhung um 1 jedoch größer wird. Schreiben Sie auf, was Sie finden $X$ rechts neben der Antwort. Wenn die erforderliche Genauigkeit erreicht ist, stoppen Sie die Berechnungen.
4. Notieren Sie das Ergebnis der Berechnung anhand der Formel unter der unteren Zahl $300\backslash times\; a^2\backslash times\; x+30\backslash times\; a\backslash times\; x^2+x^3$ und führen Sie die Subtraktion durch. Gehen Sie zu Schritt 3.

siehe auch

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel „Kubikwurzel“

Literatur

• Korn G., Korn T. 1.3-3. Darstellung von Summe, Produkt und Quotient. Kräfte und Wurzeln // Handbuch der Mathematik. - 4. Auflage. - M.: Nauka, 1978. - S. 32-33.

Ein Auszug zur Charakterisierung der Kubikwurzel

Um neun Uhr morgens, als die Truppen bereits durch Moskau gezogen waren, kam niemand mehr, um den Grafen um Befehle zu bitten. Jeder, der gehen konnte, tat es aus eigenem Antrieb; die Zurückgebliebenen entschieden selbst, was sie zu tun hatten.
Der Graf befahl, die Pferde nach Sokolniki zu bringen, und stirnrunzelnd, gelb und schweigsam, mit gefalteten Händen, saß er in seinem Büro.
In ruhigen, nicht stürmischen Zeiten scheint es jedem Verwalter, dass sich die gesamte von ihm kontrollierte Bevölkerung nur durch seine Bemühungen bewegen kann, und in diesem Bewusstsein seiner Notwendigkeit spürt jeder Verwalter die Hauptbelohnung für seine Mühen und Bemühungen. Es ist klar, dass der Herrscher-Verwalter, solange das historische Meer ruhig ist, mit seinem zerbrechlichen Boot, das seine Stange gegen das Schiff des Volkes legt und sich bewegt, ihm so vorkommen muss, als ob durch seine Bemühungen das Schiff, gegen das er ruht, es ist ziehen um. Aber sobald ein Sturm aufkommt, das Meer aufgewühlt wird und sich das Schiff selbst bewegt, ist eine Täuschung unmöglich. Das Schiff bewegt sich mit seiner enormen, unabhängigen Geschwindigkeit, die Stange erreicht das fahrende Schiff nicht und der Herrscher gerät plötzlich von der Position eines Herrschers, einer Kraftquelle, in einen unbedeutenden, nutzlosen und schwachen Menschen.
Rastopchin spürte das und es ärgerte ihn. Der Polizeichef, der von der Menge angehalten wurde, trat zusammen mit dem Adjutanten, der gekommen war, um zu melden, dass die Pferde bereit seien, in die Zählung ein. Beide waren blass, und der Polizeichef berichtete über die Ausführung seines Auftrags und sagte, dass sich im Hof ​​des Grafen eine riesige Menschenmenge befinde, die ihn sehen wollte.
Ohne ein Wort zu antworten, stand Rastopchin auf und ging schnell in sein luxuriöses, helles Wohnzimmer, ging zur Balkontür, packte die Klinke, ließ sie los und ging zum Fenster, von dem aus man die ganze Menge deutlicher sehen konnte. Ein großer Kerl stand in den ersten Reihen und sagte mit ernstem Gesicht und einer Handbewegung etwas. Der blutige Schmied stand mit düsterem Blick neben ihm. Durch die geschlossenen Fenster war Stimmengewirr zu hören.
- Ist die Crew bereit? - sagte Rastopchin und entfernte sich vom Fenster.
„Bereit, Exzellenz“, sagte der Adjutant.
Rastopchin näherte sich erneut der Balkontür.
- Was wollen Sie? – fragte er den Polizeichef.
- Exzellenz, sie sagen, dass sie auf Ihren Befehl gegen die Franzosen vorgehen würden, sie haben etwas von Verrat geschrien. Aber eine gewalttätige Menge, Exzellenz. Ich bin gewaltsam gegangen. Exzellenz, ich wage es vorzuschlagen...
„Bitte gehen Sie, ich weiß, was ich ohne Sie tun soll“, rief Rostopchin wütend. Er stand an der Balkontür und blickte auf die Menge hinaus. „Das haben sie Russland angetan! Das haben sie mir angetan!“ - dachte Rostopchin und spürte, wie in seiner Seele eine unkontrollierbare Wut gegen jemanden aufstieg, der für alles verantwortlich gemacht werden konnte, was geschah. Wie es bei aufbrausenden Menschen oft der Fall ist, hatte ihn bereits die Wut ergriffen, aber er suchte nach einem anderen Thema dafür. „La voila la populace, la lie du peuple“, dachte er und schaute auf die Menge, „la plebe qu'ils ont soulevee par leur sottise. Il leur faut une Victime, [„Hier ist es, Leute, dieser Abschaum der Bevölkerung, die Plebejer, die sie mit ihrer Dummheit großgezogen haben! Sie brauchen ein Opfer , dieses Objekt für seine Wut.
- Ist die Crew bereit? – fragte er ein anderes Mal.
- Bereit, Eure Exzellenz. Was bestellen Sie über Wereschtschagin? „Er wartet auf der Veranda“, antwortete der Adjutant.
- A! - Rostopchin schrie auf, als würde ihn eine unerwartete Erinnerung treffen.
Und er öffnete schnell die Tür und trat mit entschlossenen Schritten auf den Balkon hinaus. Das Gespräch verstummte plötzlich, Hüte und Mützen wurden abgenommen und alle Blicke richteten sich auf den Grafen, der herausgekommen war.
- Hallo Leute! - sagte der Graf schnell und laut. - Danke fürs Kommen. Ich möchte mich jetzt zu Ihnen äußern, aber zuerst müssen wir uns um den Bösewicht kümmern. Wir müssen den Bösewicht bestrafen, der Moskau getötet hat. Warte auf mich! „Und der Graf kehrte ebenso schnell in seine Gemächer zurück und schlug die Tür fest zu.
Ein freudiges Murmeln ging durch die Menge. „Das bedeutet, dass er alle Schurken kontrollieren wird! Und du sagst Französisch ... er wird dir die ganze Distanz geben!“ - sagten die Leute, als würden sie sich gegenseitig ihren mangelnden Glauben vorwerfen.

Die grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktion werden angegeben, einschließlich Formeln und Eigenschaften der Wurzeln. Ableitung, Integral, Entwicklung in Potenzreihe und Darstellung einer Potenzfunktion durch komplexe Zahlen.

Definition

Definition
Power-Funktion mit Exponent p ist die Funktion f (x) = xp, dessen Wert am Punkt x gleich dem Wert der Exponentialfunktion mit Basis x am Punkt p ist.
Darüber hinaus f (0) = 0 p = 0 für p > 0 .

Für natürliche Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Zahlen gleich x:
.
Es ist für alle gültigen definiert.

Für positive rationale Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Wurzeln vom Grad m der Zahl x:
.
Für ungerades m ist es für alle reellen x definiert. Für gerades m ist die Potenzfunktion für nichtnegative definiert.

Für negativ wird die Potenzfunktion durch die Formel bestimmt:
.
Daher ist es an dieser Stelle nicht definiert.

Für irrationale Werte des Exponenten p wird die Potenzfunktion durch die Formel bestimmt:
,
wobei a eine beliebige positive Zahl ungleich eins ist: .
Wann ist es definiert für .
Wenn , ist die Potenzfunktion für definiert.

Kontinuität. Eine Potenzfunktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

Eigenschaften und Formeln von Potenzfunktionen für x ≥ 0

Hier betrachten wir die Eigenschaften der Potenzfunktion für nicht negative Werte Argument x. Wie oben erwähnt, ist für bestimmte Werte des Exponenten p die Potenzfunktion auch für negative Werte von x definiert. In diesem Fall können seine Eigenschaften aus den Eigenschaften von erhalten werden, wobei gerade oder ungerade verwendet werden. Diese Fälle werden auf der Seite „“ ausführlich besprochen und dargestellt.

Eine Potenzfunktion y = x p mit Exponent p hat die folgenden Eigenschaften:
(1.1) definiert und kontinuierlich am Set
bei ,
bei ;
(1.2) hat viele Bedeutungen
bei ,
bei ;
(1.3) steigt strikt mit ,
nimmt strikt ab als ;
(1.4) bei ;
bei ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Der Eigenschaftsnachweis erfolgt auf der Seite „Potenzfunktion (Kontinuitäts- und Eigenschaftsnachweis)“

Wurzeln – Definition, Formeln, Eigenschaften

Definition
Wurzel einer Zahl x vom Grad n ist die Zahl, deren Potenz n x ergibt:
.
Hier n = 2, 3, 4, ... - natürliche Zahl, größer als eins.

Man kann auch sagen, dass die Wurzel einer Zahl x vom Grad n die Wurzel (d. h. Lösung) der Gleichung ist
.
Beachten Sie, dass die Funktion die Umkehrung der Funktion ist.

Quadratwurzel von x ist eine Wurzel vom Grad 2: .

Kubikwurzel ab Nummer x ist eine Wurzel vom Grad 3: .

Gleichmäßiger Abschluss

Für gerade Potenzen n = 2 m, die Wurzel ist für x ≥ definiert 0 . Eine häufig verwendete Formel gilt sowohl für positives als auch negatives x:
.
Für die Quadratwurzel:
.

Die Reihenfolge, in der die Operationen ausgeführt werden, ist hier wichtig – das heißt, zuerst wird eine Quadrierung durchgeführt, was zu einer nicht negativen Zahl führt, und dann wird daraus die Wurzel gezogen (Sie können aus einer nicht negativen Zahl extrahieren). Quadratwurzel). Wenn wir die Reihenfolge ändern würden: , wäre für negatives x die Wurzel undefiniert und damit der gesamte Ausdruck undefiniert.

Seltsamer Grad

Für ungerade Potenzen wird die Wurzel für alle x definiert:
;
.

Eigenschaften und Formeln von Wurzeln

Die Wurzel von x ist eine Potenzfunktion:
.
Wenn x ≥ 0 Es gelten folgende Formeln:
;
;
, ;
.

Diese Formeln können auch für negative Werte von Variablen angewendet werden. Sie müssen nur darauf achten, dass die radikale Äußerung gerader Potenzen nicht negativ ist.

Private Werte

Die Wurzel von 0 ist 0: .
Wurzel 1 ist gleich 1: .
Die Quadratwurzel von 0 ist 0: .
Die Quadratwurzel aus 1 ist 1: .

Beispiel. Wurzel der Wurzeln

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Quadratwurzel aus Wurzeln an:
.
Lassen Sie uns die innere Quadratwurzel mit den obigen Formeln transformieren:
.
Lassen Sie uns nun die ursprüngliche Wurzel transformieren:
.
Also,
.

y = x p für verschiedene Werte des Exponenten p.

Hier sind Diagramme der Funktion für nicht negative Werte des Arguments x. Diagramme einer Potenzfunktion, die für negative Werte von x definiert ist, finden Sie auf der Seite „Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Diagramme“.

Umkehrfunktion

Die Umkehrung einer Potenzfunktion mit dem Exponenten p ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 1/p.

Wenn, dann.

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung n-ter Ordnung:
;

Formeln ableiten > > >

Integral einer Potenzfunktion

P ≠ - 1 ;
.

Erweiterung der Potenzreihen

Bei - 1 < x < 1 es findet folgende Zerlegung statt:

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
F (z) = z t.
Lassen Sie uns die komplexe Variable z durch den Modul r und das Argument φ (r = |z|) ausdrücken:
z = r e i φ .
Wir stellen die komplexe Zahl t in Form von Real- und Imaginärteilen dar:
t = p + i q .
Wir haben:

Als nächstes berücksichtigen wir, dass das Argument φ nicht eindeutig definiert ist:
,

Betrachten wir den Fall, wenn q = 0 , das heißt der Exponent - reelle Zahl, t = p. Dann
.

Wenn p eine ganze Zahl ist, dann ist kp eine ganze Zahl. Dann gilt aufgrund der Periodizität trigonometrischer Funktionen:
.
Das heißt, die Exponentialfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten hat für ein gegebenes z nur einen Wert und ist daher eindeutig.

Wenn p irrational ist, ergeben die Produkte kp für jedes k keine ganze Zahl. Da k eine unendliche Reihe von Werten durchläuft k = 0, 1, 2, 3, ..., dann hat die Funktion z p unendlich viele Werte. Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion.

Wenn p rational ist, kann es wie folgt dargestellt werden:
, Wo m, n- ganze Zahlen, die keine gemeinsamen Teiler enthalten. Dann
.
Erste n Werte, mit k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, gegeben unterschiedliche Bedeutungen kp:
.
Nachfolgende Werte ergeben jedoch Werte, die sich von den vorherigen um eine ganze Zahl unterscheiden. Zum Beispiel, wenn k = k 0+n wir haben:
.
Trigonometrische Funktionen, deren Argumente sich durch Werte unterscheiden, die ein Vielfaches von sind 2π, haben gleiche Werte. Daher erhalten wir bei einer weiteren Erhöhung von k die gleichen Werte von z p wie für k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Somit ist eine Exponentialfunktion mit rationalem Exponenten mehrwertig und hat n Werte (Zweige). Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion. Nach n solchen Umdrehungen kehren wir zum ersten Zweig zurück, von dem aus der Countdown begann.

Insbesondere hat eine Wurzel vom Grad n n Werte. Betrachten Sie als Beispiel die n-te Wurzel des Realen positive Zahl z = x. In diesem Fall φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Für eine Quadratwurzel gilt also n = 2 ,
.
Für gerade k, (- 1 ) k = 1. Für ungerade k, (- 1 ) k = - 1.
Das heißt, die Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: + und -.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Potenzfunktionen. Kubikwurzel. Eigenschaften der Kubikwurzel“

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Definition einer Potenzfunktion – Kubikwurzel

Überprüfen wir die Gleichheit: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Sei $\sqrt((-x))=a$ und $\sqrt(x)=b$. Erhöhen wir beide Ausdrücke in die dritte Potenz. $–x=a^3$ und $x=b^3$. Dann $a^3=-b^3$ oder $a=-b$. Mit der Notation für Wurzeln erhalten wir die gewünschte Identität.

Eigenschaften von Kubikwurzeln

Beweisen wir die zweite Eigenschaft. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Wir haben herausgefunden, dass die Zahl $\sqrt(\frac(a)(b))$ kubisch gleich $\frac(a)(b)$ ist und dann gleich $\sqrt(\frac(a)(b))$ ist , was und musste bewiesen werden.

Leute, lasst uns einen Graphen unserer Funktion erstellen.
1) Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
2) Die Funktion ist ungerade, da $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Betrachten Sie als Nächstes unsere Funktion für $x≥0$ und zeigen Sie dann den Graphen relativ zum Ursprung an.
3) Die Funktion erhöht sich, wenn $x≥0$. Für unsere Funktion entspricht ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion, was eine Erhöhung bedeutet.
4) Die Funktion ist von oben her nicht eingeschränkt. Tatsächlich von jedem große Zahl Wir können die dritte Wurzel berechnen und bis ins Unendliche gehen und alles finden große Werte Streit.
5) Für $x≥0$ ist der kleinste Wert 0. Diese Eigenschaft ist offensichtlich.
Erstellen wir einen Graphen der Funktion durch Punkte bei x≥0.

Lassen Sie uns unseren Graphen der Funktion über den gesamten Definitionsbereich erstellen. Denken Sie daran, dass unsere Funktion ungerade ist.

Funktionseigenschaften:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Ungerade Funktion.
3) Erhöht sich um (-∞;+∞).
4) Unbegrenzt.
5) Es gibt keinen Mindest- oder Höchstwert.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konvex nach unten um (-∞;0), konvex nach oben um (0;+∞).

Beispiele für die Lösung von Potenzfunktionen

2. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Lösung. Unser Diagramm wird aus dem Diagramm der Funktion $y=\sqrt(x)$ erhalten, Parallelübertragung zwei Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach unten.

3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar und lesen Sie sie. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Lösung. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung unserer Bedingungen zwei Funktionsgraphen auf derselben Koordinatenebene erstellen. Für $x≥-1$ erstellen wir einen Graphen der Kubikwurzel, für $x≤-1$ erstellen wir einen Graphen einer linearen Funktion.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
3) Verringert sich um (-∞;-1), erhöht sich um (-1;+∞).
4) Von oben unbegrenzt, von unten begrenzt.
5) Größter Wert Nein. Niedrigster Wert gleich minus eins.
6) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl stetig.
7) E(y)= (-1;+∞).

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen