Beispiellösungen: Wirf zwei Würfel gleichzeitig. Würfelwahrscheinlichkeit

Aufgaben für Wahrscheinlichkeit Würfel nicht weniger beliebt als Münzwurfprobleme. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и usw.

Anwendung der Formel klassische Wahrscheinlichkeit ist die Hauptmethode zur Lösung von Problemen dieser Art.

Ein Würfel, Wahrscheinlichkeit.

Es ist ganz einfach, damit umzugehen Würfel. wird durch die Formel P=m/n bestimmt, wobei m die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse ist und n die Anzahl aller elementaren, gleich möglichen Ergebnisse des Experiments mit dem Werfen eines Knochens oder Würfels ist.

Aufgabe 1. Die Würfel werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Punktzahl zu erreichen?

Da es sich bei dem Würfel um einen Würfel handelt (oder er wird auch als normaler Würfel bezeichnet, der Würfel wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf allen Seiten landen, da er ausgeglichen ist), hat der Würfel 6 Seiten (die Anzahl der Punkte von 1 bis 6, die sind). normalerweise durch Punkte gekennzeichnet), bedeutet dies, dass das Problem eine Gesamtzahl von Ausgängen hat: n=6. Das Ereignis wird nur durch Ergebnisse begünstigt, bei denen die Seite mit den geraden Punkten 2,4 und 6 erscheint; der Würfel hat die folgenden Seiten: m=3. Jetzt können wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit der Würfel bestimmen: P=3/6=1/2=0,5.

Aufgabe 2. Die Würfel werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens 5 Punkte erhalten?

Dieses Problem wird analog zum oben angegebenen Beispiel gelöst. Beim Würfeln beträgt die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse: n=6, und nur 2 Ergebnisse erfüllen die Bedingung des Problems (mindestens 5 gewürfelte Punkte, d. h. 5 oder 6 gewürfelte Punkte), was m bedeutet =2. Als nächstes ermitteln wir die erforderliche Wahrscheinlichkeit: P=2/6=1/3=0,333.

Zwei Würfel, Wahrscheinlichkeit.

Bei der Lösung von Aufgaben, bei denen es um das Werfen von 2 Würfeln geht, ist es sehr praktisch, eine spezielle Wertungstabelle zu verwenden. Darauf wird horizontal die Anzahl der Punkte angezeigt, die beim ersten Würfel gefallen sind, und vertikal die Anzahl der Punkte, die beim zweiten Würfel gefallen sind. Das Werkstück sieht so aus:

Aber es stellt sich die Frage: Was wird in den leeren Zellen der Tabelle stehen? Es kommt auf das Problem an, das gelöst werden muss. Geht es bei der Aufgabe um die Summe der Punkte, dann wird dort die Summe aufgeschrieben, geht es um die Differenz, dann wird die Differenz aufgeschrieben und so weiter.

Aufgabe 3. Es werden 2 Würfel gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 5 Punkte zu bekommen?

Zunächst müssen Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse des Experiments ermitteln. Beim Werfen eines Würfels war alles klar, 6 Seiten des Würfels – 6 Ergebnisse des Experiments. Wenn jedoch bereits zwei Würfel vorhanden sind, können die möglichen Ergebnisse als geordnete Zahlenpaare der Form (x, y) dargestellt werden, wobei x angibt, wie viele Punkte beim ersten Würfel gewürfelt wurden (von 1 bis 6), und y – wie viele Punkte beim zweiten Würfel gewürfelt wurden (von 1 bis 6). Insgesamt wird es solche Zahlenpaare geben: n=6*6=36 (in der Ergebnistabelle entsprechen sie genau 36 Zellen).

Jetzt können Sie die Tabelle ausfüllen; dazu wird in jede Zelle die Anzahl der Punkte eingetragen, die beim ersten und zweiten Würfel gefallen sind. Die fertige Tabelle sieht so aus:

Anhand der Tabelle ermitteln wir die Anzahl der Ergebnisse, die das Ereignis begünstigen: „Insgesamt werden weniger als 5 Punkte erzielt.“ Zählen wir die Anzahl der Zellen, deren Wert die Summe sein wird weniger Zahl 5 (das sind 2, 3 und 4). Der Einfachheit halber übermalen wir solche Zellen; es werden m=6 davon sein:

Unter Berücksichtigung der Tabellendaten, Wahrscheinlichkeit von Würfeln entspricht: P=6/36=1/6.

Aufgabe 4. Es wurden zwei Würfel geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Anzahl der Punkte durch 3 teilbar ist.

Um das Problem zu lösen, erstellen wir eine Tabelle mit den Produkten der Punkte, die beim ersten und zweiten Würfel gefallen sind. Darin heben wir sofort die Zahlen hervor, die ein Vielfaches von 3 sind:

Wir notieren die Gesamtzahl der Ergebnisse des Experiments n=36 (die Argumentation ist die gleiche wie in der vorherigen Aufgabe) und die Anzahl der günstigen Ergebnisse (die Anzahl der Zellen, die in der Tabelle schattiert sind) m=20. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt: P=20/36=5/9.

Aufgabe 5. Die Würfel werden zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Unterschied in der Augenzahl des ersten und zweiten Würfels zwischen 2 und 5 liegt?

Bestimmen Wahrscheinlichkeit von Würfeln Schreiben wir eine Tabelle mit Punktdifferenzen auf und wählen darin die Zellen aus, deren Differenzwert zwischen 2 und 5 liegt:

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse (die Anzahl der in der Tabelle schattierten Zellen) beträgt m=10, die Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen elementaren Ergebnisse beträgt n=36. Bestimmt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: P=10/36=5/18.

Im Falle eines einfachen Ereignisses und beim Werfen von 2 Würfeln müssen Sie eine Tabelle erstellen, dann die erforderlichen Zellen darin auswählen und deren Anzahl durch 36 dividieren. Dies wird als Wahrscheinlichkeit betrachtet.

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Mit einem Würfel ist die Situation unanständig einfach. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wahrscheinlichkeit durch die Formel P=m/n ermittelt wird
P
=
M
N
, wo n
N
ist die Anzahl aller gleich möglichen elementaren Ergebnisse eines Experiments, bei dem es darum geht, einen oder mehrere Würfel zu werfen, und m
M
- die Anzahl der Ergebnisse, die das Ereignis begünstigen.

Beispiel 1: Der Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Anzahl an Punkten gewürfelt wird?

Da es sich bei einem Würfel um einen Würfel handelt (man sagt auch „normaler Würfel“, also ein ausgewogener Würfel, sodass er mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf allen Seiten landet), hat der Würfel 6 Seiten (mit einer Punktezahl von 1 bis 6, die normalerweise angegeben wird). nach Punkten), dann und die Gesamtzahl der Ergebnisse im Problem n=6
N
=
6
. Die einzigen Ergebnisse, die das Ereignis begünstigen, sind diejenigen, bei denen eine Seite mit 2, 4 oder 6 Punkten (nur gerade Zahlen) erscheint; es gibt m=3 solcher Seiten
M
=
3
. Dann beträgt die erforderliche Wahrscheinlichkeit P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Beispiel 2. Ein Würfel wird geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Punkte zu würfeln.

Wir argumentieren auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel. Die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse beim Würfeln ist n=6
N
=
6
, und die Bedingung „mindestens 5 gewürfelte Punkte“, also „entweder 5 oder 6 gewürfelte Punkte“, wird durch 2 Ergebnisse erfüllt, m=2
M
=
2
. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Ich sehe nicht einmal den Sinn darin, weitere Beispiele zu nennen. Kommen wir zu zwei Würfeln, wo alles interessanter und komplizierter wird.

Zwei Würfel

Bei Problemen mit 2 Würfeln ist es sehr praktisch, eine Wertungstabelle zu verwenden. Horizontal zeichnen wir die Anzahl der Punkte auf, die beim ersten Würfel gefallen sind, und vertikal die Anzahl der Punkte, die beim zweiten Würfel gefallen sind. Lassen Sie uns so etwas erstellen (normalerweise mache ich das in Excel, Sie können die Datei unten herunterladen):

Punktetabelle für das Würfeln mit 2 Würfeln
Was steht in den Tabellenzellen, fragen Sie? Und das hängt davon ab, welches Problem wir lösen werden. Es wird eine Aufgabe über die Summe der Punkte geben – wir werden dort die Summe aufschreiben, über die Differenz – wir werden die Differenz aufschreiben und so weiter. Lass uns anfangen?

Beispiel 3: Es werden 2 Würfel gleichzeitig geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl weniger als 5 Punkte beträgt.

Schauen wir uns zunächst die Gesamtzahl der Ergebnisse des Experiments an. Als wir einen Würfel geworfen haben, war alles klar: 6 Seiten – 6 Ergebnisse. Da es hier bereits zwei Würfel gibt, können die Ergebnisse als geordnete Zahlenpaare der Form (x,y) dargestellt werden.
X
,
j
, wobei x
X
- wie viele Punkte wurden beim ersten Würfel gewürfelt (von 1 bis 6), y
j
- wie viele Punkte beim zweiten Würfel gewürfelt wurden (von 1 bis 6). Offensichtlich wird es n=6⋅6=36 solcher Zahlenpaare geben
N
=
6
⋅
6
=
36
(und genau 36 Zellen in der Ergebnistabelle entsprechen ihnen).

Jetzt ist es an der Zeit, die Tabelle auszufüllen. In jede Zelle tragen wir die Summe der beim ersten und zweiten Würfel gewürfelten Punkte ein und erhalten folgendes Bild:

Tabelle der Punktesumme beim Werfen von 2 Würfeln
Diese Tabelle hilft uns nun dabei, die Anzahl der Ergebnisse zu ermitteln, die für das Ereignis günstig sind. „Insgesamt werden weniger als 5 Punkte angezeigt.“ Dazu zählen wir die Anzahl der Zellen, in denen der Summenwert kleiner als 5 ist (also 2, 3 oder 4). Zur Verdeutlichung färben wir diese Zellen ein, es wird m=6 sein
M
=
6
:

Tabelle mit Gesamtpunkten von weniger als 5 beim Werfen von 2 Würfeln
Dann ist die Wahrscheinlichkeit: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Beispiel 4. Es werden zwei Würfel geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Anzahl der Punkte durch 3 teilbar ist.

Wir erstellen eine Tabelle der Produkte der beim ersten und zweiten Würfel gewürfelten Punkte. Wir markieren sofort die Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind:

Tabelle des Punkteprodukts beim Werfen von 2 Würfeln
Es bleibt nur noch zu notieren, dass die Gesamtzahl der Ergebnisse n=36 beträgt
N
=
36
(siehe vorheriges Beispiel, die Begründung ist dieselbe) und die Anzahl der günstigen Ergebnisse (die Anzahl der schattierten Zellen in der Tabelle oben) m=20
M
=
20
. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Wie Sie sehen, kann diese Art von Problem mit der richtigen Vorbereitung (schauen wir uns noch ein paar weitere Probleme an) schnell und einfach gelöst werden. Zur Abwechslung erledigen wir noch eine Aufgabe mit einer anderen Tabelle (alle Tabellen können unten auf der Seite heruntergeladen werden).

Beispiel 5: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Unterschied in der Anzahl der Punkte beim ersten und zweiten Würfel zwischen 2 und 5 liegt.

Schreiben wir eine Tabelle mit Punktdifferenzen auf und markieren Sie darin die Zellen, in denen der Differenzwert zwischen 2 und 5 liegt:

Tabelle der Punktedifferenz beim Werfen von 2 Würfeln
Die Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Elementarergebnisse beträgt also n=36
N
=
36
und die Anzahl der günstigen Ergebnisse (die Anzahl der schattierten Zellen in der Tabelle oben) m=10
M
=
10
. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Wenn wir also über das Werfen von 2 Würfeln und ein einfaches Ereignis sprechen, müssen Sie eine Tabelle erstellen, darin die erforderlichen Zellen auswählen und ihre Anzahl durch 36 dividieren. Dies ist die Wahrscheinlichkeit. Neben Problemen zur Summe, zum Produkt und zur Differenz der Punkteanzahl gibt es auch Probleme zum Modul der Differenz, der kleinsten und größten gezogenen Punktanzahl (passende Tabellen finden Sie in der Excel-Datei).

Probleme 1.4 - 1.6

Problemzustand 1.4

Geben Sie den Fehler in der „Lösung“ des Problems an: Es werden zwei Würfel geworfen; Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gezogenen Punkte 3 beträgt (Ereignis A). "Lösung". Es gibt zwei mögliche Ergebnisse des Tests: Die Summe der gezogenen Punkte beträgt 3, die Summe der gezogenen Punkte ist ungleich 3. Ereignis A wird durch ein Ergebnis begünstigt, die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt zwei. Daher ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich P(A) = 1/2.

Lösung für Problem 1.4

Der Fehler dieser „Lösung“ besteht darin, dass die fraglichen Ergebnisse nicht gleichermaßen möglich sind. Richtige Lösung: Die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse ist gleich (jede Augenzahl eines Würfels kann mit allen Augenzahlen eines anderen Würfels kombiniert werden). Von diesen Ergebnissen begünstigen nur zwei das Ereignis: (1; 2) und (2; 1). Dies bedeutet, dass die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Antwort:

Problemzustand 1.5

Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Die Summe der gezogenen Punkte beträgt sieben; b) die Summe der gezogenen Punkte beträgt acht und die Differenz beträgt vier; c) die Summe der gezogenen Punkte beträgt acht, wenn bekannt ist, dass ihre Differenz vier beträgt; d) die Summe der gewürfelten Punkte ist fünf und das Produkt ist vier.

Lösung für Problem 1.5

a) Sechs Optionen beim ersten Würfel, sechs beim zweiten. Gesamtoptionen: (gemäß der Produktregel). Optionen für eine Summe gleich 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – insgesamt sechs Optionen. Bedeutet,

b) Nur zwei passende Optionen: (6.2) und (2.6). Bedeutet,

c) Es gibt nur zwei geeignete Optionen: (2,6), (6,2). Aber insgesamt Möglichkeiten 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Bedeutet, .

d) Für eine Summe gleich 5 sind folgende Optionen geeignet: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Das Produkt ist 4 für nur zwei Optionen. Dann

Antwort: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Problemzustand 1.6

Ein Würfel, dessen Kanten alle gefärbt sind, wird in tausend gleich große Würfel zersägt, die dann gründlich vermischt werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der durch Glück gezogene Würfel farbige Flächen hat: a) eins; b) zwei; um drei Uhr.

Lösung zu Problem 1.6

Insgesamt entstanden 1000 Würfel. Würfel mit drei farbigen Seiten: 8 (das sind Eckwürfel). Mit zwei farbigen Flächen: 96 (da es 12 Kanten eines Würfels mit 8 Würfeln auf jeder Kante gibt). Würfel mit farbigen Kanten: 384 (da es 6 Seiten gibt und auf jeder Seite 64 Würfel sind). Es bleibt nur noch, jede gefundene Menge durch 1000 zu dividieren.

Antwort: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008