Alanı biliniyorsa küpün kenarını bulun. Rakamların hacimleri. Bir küpün hacmi

Bir küpün bazı parametrelerini bilerek kenarını kolayca bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sadece hacmi, yüzün alanı veya yüzün veya küpün köşegeninin uzunluğu hakkında bilgi sahibi olmak yeterlidir.

İhtiyacın olacak

• Hesap makinesi

Talimatlar

Bir küpün kenarını bulmanız gereken temel olarak dört tür problem vardır. Bu, bir küp kenarının uzunluğunun küp yüzeyinin alanına, küpün hacmine, küp yüzeyinin köşegenine ve küpün köşegenine göre belirlenmesidir. Bu tür sorunların dört çeşidini de ele alalım. (Geri kalan görevler, kural olarak, eldeki konuyla çok dolaylı olarak ilgili olan yukarıdaki veya trigonometri görevlerinin varyasyonlarıdır)

Küp yüzünün alanı biliniyorsa küpün kenarını bulmak çok basittir. Küpün yüzü bir kenarı küpün kenarına eşit olan bir kare olduğundan alanı küpün kenarının karesine eşittir. Bu nedenle, bir küpün kenarının uzunluğu, yüzünün alanının kareköküne eşittir:

a küp kenarının uzunluğudur,

S küp yüzünün alanıdır.

Bir küpün hacmine göre yüzünü bulmak daha da kolaydır. Bir küpün hacminin, küpün kenar uzunluğunun küpüne (üçüncü kuvveti) eşit olduğunu düşünürsek, küpün kenarının uzunluğunun, hacminin küp köküne (üçüncü kuvveti) eşit olduğunu buluruz. , yani:

a=?V ( küp kökü), Nerede

a küp kenarının uzunluğudur,

V küpün hacmidir.

Bilinen köşegen uzunluklarını kullanarak küpün kenar uzunluğunu bulmak biraz daha zordur. Şununla belirtelim:

a küpün kenarının uzunluğudur.

b - küp yüzünün köşegeninin uzunluğu -

c küpün köşegeninin uzunluğudur.

Şekilden de görülebileceği gibi yüzün köşegeni ve küpün kenarları dik açılı bir eşkenar üçgen oluşturur. Bu nedenle Pisagor teoremine göre:

(^ üstel almanın sembolüdür).

Buradan şunları buluyoruz:

(küpün kenarını bulmak için çıkarmanız gereken Kare kök yüzün köşegeninin karesinin yarısından itibaren).

Küpün köşegenindeki kenarını bulmak için yine şekli kullanacağız. Küpün köşegeni (c), yüzün köşegeni (b) ve küpün kenarı (a) oluşur dik üçgen. Yani Pisagor teoremine göre:

a ve b arasında yukarıda kurulan ilişkiyi kullanalım ve bunu formülde yerine koyalım

b^2=a^2+a^2. Şunu elde ederiz:

a^2+a^2+a^2=c^2, buradan şunu buluyoruz:

Dolayısıyla 3*a^2=c^2.

Aşağıda sunulan problemler basittir ve çoğu 1 adımda çözülebilir. Bu yazıda ele alacağız küboid(tüm yüzler dikdörtgendir). Neyi bilmeniz ve anlamanız gerekiyor? İlk önce, bir küpün ve dikdörtgen bir paralel borunun hacim ve yüzey alanı formüllerinin yanı sıra köşegen formülüne de bakabilirsiniz.Formülleri kısaca listeleyelim:

Dikdörtgen paralel yüzlü

Kenarlar eşit olsun A,B, İle.

Yüzey alanı:

Hacim:

Diyagonal:

Küp

Küpün kenarı eşit olsun A.

Yüzey alanı:

Hacim:

Diyagonal:

*Küp formüllerinin, dikdörtgen paralelyüzlü formüllerin karşılık gelen formüllerinin bir sonucu olduğu açıktır. Küp, tüm kenarları eşit ve yüzleri kare olan bir paralel yüzlüdür.

Görevleri ele alalım:

Aynı köşeden gelen küboidin iki kenarı 5 ve 8'dir. Bu küboidin yüzey alanı 210'dur. Aynı köşeden gelen üçüncü kenarı bulun.

Bilinen kenarları şu şekilde gösterelim: A Ve B ve bilinmeyenler C.

Daha sonra paralel borunun yüzey alanı formülü şu şekilde ifade edilir:

Geriye kalan tek şey verileri yerine koymak ve denklemi çözmek:

Cevap: 5

Bir küpün yüzey alanı 200'dür. Köşegenini bulun.

Küpün köşegenini oluşturalım:

Bir küpün yüzey alanı kenarı cinsinden ifade edilir A Nasıl S = 6A 2, bu da kenarı bulabileceğimiz anlamına geliyor A:

Pisagor teoremine göre küpün yüzeyinin köşegeni şuna eşittir:

Pisagor teoremine göre bir küpün köşegeni şuna eşittir:

Daha sonra

*Küp köşegen formülünü hemen kullanabilirsiniz:

Cevap: 10

Küpün hacmi 343'tür. Yüzey alanını bulun.

Bir küpün yüzey alanı kenarı cinsinden ifade edilirA Nasıl S = 6 A 2 ve hacim V = A 3 . Böylece küpün kenarını bulabilir ve ardından yüzey alanını hesaplayabiliriz:

Böylece küpün yüzey alanı:

Cevap: 294

27060. Aynı tepe noktasından uzanan küboidin iki kenarı 1 ve 2'dir. Küboidin yüzey alanı 16'dır. Köşegenini bulun.

Paralel borunun köşegeni aşağıdaki formülle hesaplanır:

burada a, b ve c kenarlardır.

Üçüncü kenarı bulalım. Bunu paralel borunun yüzey alanı formülünü kullanarak yapabiliriz:

Verileri yerine koyarız ve denklemi çözeriz:

Böylece köşegen şuna eşit olacaktır:

Cevap: 3

27063. Tabanının kenar uzunluğu 20 ve yüzey alanı 1760 olan düzgün dörtgen prizmanın yan kenarını bulun.

Düzenli bir dörtgen prizmanın tabanında bir kare bulunur. Paralel yüzlü olduğu açıktır. Aynı formüller geçerlidir. Yan kenar x'e eşit olsun. Bunu yüzey alanı formülünü kullanarak bulabiliriz:

Cevap: 12

Taban tarafı 0,8 ve yan kenarı 1 olan düzgün bir dörtgen prizma bir birim küpten kesiliyor.Küpün geri kalan kısmının yüzey alanını bulun.

Birim küp, kenarı 1'e eşit olan bir küptür.

Ortaya çıkan polihedronun yüzey alanı şu şekilde hesaplanabilir: küpün yüzey alanından, kesilen prizmanın tabanının iki alanını çıkarmanız ve kesimin yan yüzünün dört alanını eklemeniz gerekir. kenarları 1 ve 0,8 olan prizma:

Cevap: 7.92

Dikdörtgen bir paralelyüzün yüzeyinin alanı 48'dir. Bu yüze dik olan kenar 8'dir. Paralelyüzün hacmini bulun.

Hacim formülünü uygulamanız yeterlidir..................................

Dikdörtgen bir paralel borunun hacmi, üç kenarının ürününe veya taban alanı ile yüksekliğin ürününe eşittir. Bu durumda, tabanın rolü kenar tarafından oynanır, yüksekliğin rolü ise kendisine dik olan kenar tarafından oynanır. Şunu elde ederiz:

Cevap: 384

Aşağıdaki problemleri zorlanmadan çözeceksiniz.

27077. Dikdörtgen bir paralel borunun hacmi 64'tür. Kenarlarından biri 4'tür. Paralel borunun bu kenara dik olan yüzünün alanını bulun. Cevap: 16.

27078. Dikdörtgen bir paralel yüzün hacmi 60'dır. Yüzlerinden birinin alanı 12'dir. Paralel borunun bu yüze dik kenarını bulun. Cevap: 5.

27079. Aynı tepe noktasından çıkan dikdörtgen bir paralel yüzün iki kenarı 8 ve 6'dır. Paralel borunun hacmi 240'dır. Aynı tepe noktasından çıkan paralel yüzün üçüncü kenarını bulun. Cevap: 4.

Kendi çözümünüz için daha fazlası:

27054. Aynı köşeden gelen küboidin iki kenarı 3 ve 4'tür. Bu küboidin yüzey alanı 94'tür. Aynı köşeden gelen üçüncü kenarı bulun.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Yöntem 1/3: Küpün kenarını küp haline getirin

• Küpün bir kenarının uzunluğunu bulun. Kural olarak küpün kenarının uzunluğu problem ifadesinde verilir. Eğer sen

gerçek bir kübik nesnenin hacmini hesaplayın, kenarını bir cetvel veya şerit metre ile ölçün.

Hadi düşünelim örnek. Küpün kenarı 5 cm olup küpün hacmini bulunuz.

Küpün kenar uzunluğunun küpü. Yani küpün kenar uzunluğunu kendisiyle üç kez çarpın.

Eğer S küpün kenarının uzunluğu, o zaman

ve böylece hesaplayacaksınız küp hacmi.

Bu işlem küpün tabanının alanını bulma işlemine benzer (uzunluk çarpımına eşit)

tabandaki karenin genişliği) ve ardından tabanın alanını küpün yüksekliğiyle çarpmak (yani,

yani uzunluğu genişlikle yüksekliği çarparsınız). Küpte bir kenarın uzunluğu genişliğe eşit olduğundan

Yüksekliğe eşitse, bu işlem küpün kenarının üçüncü kuvvetine yükseltilerek değiştirilebilir.

Örneğimizde küp hacmi eşittir:

• Cevabınıza hacim birimleri ekleyin. Hacim niceliksel bir sayı olduğundan

Bir cismin kapladığı alanın karakteristiğine göre hacim ölçüm birimleri kübiktir.

birimler (santimetreküp, metreküp vb.)

Örneğimizde küpün kenarının boyutu santimetre cinsinden verilmiştir, dolayısıyla hacim kübik olarak ölçülecektir.

santimetre (veya cm3). Yani küpün hacmi 125 cm3 olur.

Bir küpün kenarının boyutu başka birimlerle verilirse, küpün hacmi karşılık gelen birimlerle ölçülür.

kübik birimler.

Örneğin, bir küpün kenarı 5 m ise (5 cm değil), hacmi 125 m3'tür.

Yöntem 2/3: Hacmi yüzey alanından hesaplama

• Bazı problemlerde küpün kenarının uzunluğu verilmez, ancak diğer miktarlar verilir ve bunun yardımıyla

küpün kenarını ve hacmini bulabilirsiniz. Örneğin, size bir küpün yüzey alanı verildiyse, o zaman bölün

6 ile elde edilen değerin karekökünü alırsanız küpün kenar uzunluğunu bulacaksınız. Daha sonra

Küpün kenar uzunluğunu üçüncü kuvvete yükseltin ve küpün hacmini hesaplayın.

Bir küpün yüzey alanı eşittir 6s 2,

Nerede S - küp kenar uzunluğu(yani küpün bir yüzünün alanını bulup 6 ile çarparsınız, yani

bir küpün 6 ​​eşit kenarı olduğu gibi).

Hadi düşünelim örnek. Küpün yüzey alanı 50 cm2’dir. Küpün hacmini bulun.

• Küpün yüzey alanını 6'ya bölün (küpün 6 ​​eşit kenarı olduğu için alanı elde edersiniz)

küpün bir yüzü). Buna karşılık küpün bir yüzünün alanı eşittir s 2, Nerede S- küpün kenarının uzunluğu.

Örneğimizde: 50/6 = 8,33 cm2 (alanın şu şekilde ölçüldüğünü unutmayın: birim kareler- cm2,

m2, vb.).

• Küpün bir yüzünün alanı olduğundan s 2, ardından alan değerinin karekökünü alın

bir yüz ve küpün kenarının uzunluğunu elde edin.

Örneğimizde √8,33 = 2,89 cm.

• Küpün hacmini bulmak için elde edilen değeri küpleyin.

Örneğimizde: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 cm3. Cevabınıza kübik eklemeyi unutmayın.

birimler.

Yöntem 3/3: Hacmin Çapraz Olarak Hesaplanması

• Küpün kenar uzunluğunu bulmak için küpün yüzlerinden birinin köşegenini √2'ye bölün. Böylece,

probleme bir küpün bir yüzünün (herhangi bir) köşegeni verilirse, o zaman küpün kenarının uzunluğunu bölerek bulabilirsiniz

köşegen √2.

Hadi düşünelim örnek. Küpün yüzünün köşegeni 7 cm olup küpün hacmini bulunuz. Bu durumda küp kenarının uzunluğu

7/√2 = 4,96 cm'ye eşittir Küpün hacmi 4,963 = 122,36 cm3'tür.

Hatırlamak: d2 = 2s2,

Nerede D- küp yüzünün köşegeni, s - küpün kenarı. Bu formül şu şekildedir: Pisagor teoremi, buna göre

bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi (bizim durumumuzda küp yüzünün köşegeni) eşittir

bacakların karelerinin toplamı (bizim durumumuzda kenarlar), yani:

d 2 = s2 + s2 = 2s2.

• Küpün kenar uzunluğunu bulmak için küpün köşegenini √3'e bölün. Böylece, eğer problemin içindeyseniz

Bir küpün köşegeni verildiğinde küpün kenarının uzunluğunu köşegeni √3'e bölerek bulabilirsiniz.

Bir küpün köşegeni- küpün merkezine göre simetrik olan iki köşeyi birleştiren bir parça;

D2 = 3s2

(Nerede D- küpün köşegeni, S- bir küpün kenarı).

Bu formül Pisagor teoreminden gelmektedir; buna göre hipotenüsün karesi (bizim durumumuzda)

Bir dik üçgenin küpünün köşegeni) bacakların karelerinin toplamına eşittir (bizim durumumuzda, bir bacak

bu bir kenardır ve ikinci bacak küpün yüzünün köşegenidir, eşittir 2s 2), yani

D 2 = a2 + 2s2 = 3s2.

Hadi düşünelim örnek. Küpün köşegeni 10 m'dir.Küpün hacmini bulun.

D2 = 3s2

10 2 = 3sn 2

100 = 3sn 2

33,33 = sn2

5,77 m = sn

Küpün hacmi 5,773 = 192,45 m3'tür.

Küp, hem stereometri hem de doğadaki en basit üç boyutlu nesnelerden biridir. Küpün kenarını bulmadan önce küpün ne olduğunu hatırlamak gerekir. Bu, eşit kenarlara sahip dikdörtgen bir paralel yüzlüdür. Ayrıca küp, yüzleri eşit kare olan bir altıgendir. Bir küpün kenarını bulmak için bazı parametrelerini bilmeniz gerekir - küpün hacmi, yüzün alanı, küpün veya yüzün köşegeninin uzunluğu.

1. Çoğu durumda küpün bir kenarıyla ilgili dört tür problem vardır. Bu, küpün köşegeni boyunca, yüzünün köşegeni boyunca kenarın uzunluğunu küpün hacmine ve yüzün alanına göre belirlemektir. Bunlardan en basiti yüzün alanına göre bir kenar bulmaktır. Sonuçta küpün yüzü, kenarı küpün kenarına eşit olan bir karedir. Dolayısıyla bu yüzün alanı küpün kenarının karesine eşittir. Dolayısıyla bir kenar bulmak için yüzün alanının karekökünü almak gerekir. a=vS a – küp kenarı (uzunluk), S – bir yüzün alanı.
2. Küpün hacmi, kenarın uzunluğunun 3. kuvvetine eşit olacağından, hacmine göre bir küpün yüzünü bulmak daha da kolaydır. Dolayısıyla hacmin küp kökünü (üçüncü derece) alırsak, kenarın uzunluğunu a=vV (küp kökü) elde ederiz, burada a küpün kenarı (uzunluk), V ise hacmidir.
3. Köşegenlerin uzunlukları biliniyorsa küpün bir kenarının uzunluğu nasıl bulunur? Şunu belirtelim: a – küp kenarı (uzunluk), b – küp yüzü köşegeni (uzunluk), c – küp köşegeni (uzunluk). Küpün çapraz kenarları ve yüzleri eşkenar bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini uygularız: a^2+a^2=b^2, burada (a^ üsteldir) Sonuç olarak: a=v(b^2/2) ortaya çıkar. Küpün köşegeninin karesinin yarısının karekökünü alarak küpün kenar uzunluğunu buluruz.
4. Küpün köşegeni boyunca kenarın uzunluğunu bulun; burada a küpün kenarı, b yüzün köşegeni ve c küpün köşegenidir. Birlikte bir dik üçgen oluştururlar. Pisagor teoreminden devam ediyoruz: a^2+b^2=c^2. Yukarıdaki ilişkiyi a ve b değerleri arasına uygulayalım ve bunları b^2=a^2+a^2 ifadesinde yerine koyalım. Aldığımız: a^2+a^2+a^2=c^2, şunu buluruz: 3*a^2=c^2, son ifadeyi elde ederiz - a=v(c^2/3).

Küp parametreleri eski, ulusal ve diğer özel birimlerle belirtilmişse, uygun metrik analoglara dönüştürülmelidirler - Metreküp, desimetre, santimetre veya milimetre.

DİĞER

Hacimsel geometrik şekiller bizi çevreliyor gerçek hayat. Örneğin küp bir kutudur, bir odadır, hatta bir küptür...

Küp, karenin üç boyutlu versiyonudur. Küp kenarının (a) uzunluğunu bilerek, en çok kullanabilirsiniz...

Küp basit bir stereometrik (hacim) geometrik şekildir. Birçok fiziksel sorunu çözmek için…

Bir küpün alanı nasıl bulunur? özel durum paralel yüzlü - tüm kenarları eşit karelerdir. İÇİNDE…

Küp, her yüzü kare olan düzenli bir çokyüzlüdür. Karenin kenarları kenarlardır...

"Küp" kelimesi geometride sıklıkla kullanılır. Bu dönem Var Antik Yunan kökenli ve demek...

Üçgen piramit, tabanında bir üçgen bulunan bir piramittir. Bu piramidin yüksekliği diktir...

Geometride genellikle bir karenin kenarının uzunluğunu bulmak gerekir ve parametreleri bilinir: çevre, alan, ...

“Cuba Libre” Kokteyli “Cuba Libre” kokteyline “Özgür Küba” da denir, bu şekilde tercüme edilir…

Okulda geometri dersleri sırasında öğrenciler çeşitli şekillerin alanını ve hacmini bulmak için birçok problem çözerler. Eğer sen…

İÇİNDE geometrik şekil paralelyüzlülerin altı yüzü vardır - dört ana ve iki taban (tanım gereği hepsi...

Bir dikdörtgenin uzunluğunu bulma problemi farklı şekillerde formüle edilebilir. Kenar uzunluklarını nasıl bulacağımızı bulalım...

Nasıl çizileceğini öğrenme arzusu olan çoğu kişi sıklıkla şunu merak eder: Önden perspektiften bir küp nasıl çizilir?...

Paralel borulu prizmanın özel bir versiyonudur. Ayrıcalığı, dörtgen yüzlerden oluşması gerçeğinde yatmaktadır…