Fonksiyonlar hakkındaki teoriyi tekrar edelim. Bir işlev, bir kümenin (argüman) her bir elemanına bir miktar atanan bir kuraldır ( tek bir!) başka bir kümenin bir öğesi (işlev değerleri kümesi). Yani, eğer bir fonksiyon varsa \(y = f(x)\), yani değişkenin her geçerli değeri için \(X\)("argüman" olarak adlandırılır) değişkenin bir değerine karşılık gelir \(e\)("işlev" olarak adlandırılır).

Ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyon

Bu, formun bir işlevidir \(y = \frac(k)(x)\) Neresi \(k \ne 0.\)

Başka bir deyişle, ters orantılılık olarak adlandırılır: bağımsız değişkendeki bir artış, fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.
Tanım alanını tanımlayalım. \(x\) neye eşit olabilir? Veya başka bir deyişle, neye eşit olamaz?

Bölemeyeceğiniz tek sayı 0'dır, yani \(x \ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya hangisi aynıdır:

\(D(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\) .\)

Böyle bir gösterim, \(x\)'in 0 dışında herhangi bir sayı olabileceği anlamına gelir: "R" işareti, gerçek sayılar kümesini, yani olası tüm sayıları belirtir; "\" işareti, bu kümeden bir şeyin hariç tutulduğunu belirtir ("eksi" işaretine benzer) ve kıvrık parantez içindeki 0 sayısı, basitçe 0 sayısı anlamına gelir; 0'ı olası tüm sayılardan hariç tuttuğumuz ortaya çıktı.

Görünüşe göre işlev değerleri kümesi tamamen aynı: sonuçta, eğer \(k \ne 0.\) , o zaman neye bölersek bölelim, 0 çalışmayacaktır:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya \(E(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\) .\)

Formülün bazı varyasyonları da mümkündür. \(y = \frac(k)(x)\). Örneğin, \(y = \frac(k)((x + a))\)- aynı zamanda ters bir ilişkiyi tanımlayan bir fonksiyondur. Bu işlevin kapsamı ve aralığı aşağıdaki gibidir:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Dikkate almak örnek, ifadeyi ters bir ilişki biçimine getireceğiz:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3))).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3))).\)

3 değerini yapay olarak paya ekledik ve şimdi payı paydaya terim terime böleriz, şunu elde ederiz:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3))).\)

Ters bir ilişki artı 1 numaramız var.

Ters Çizim

Basit bir durumla başlayalım \(y = \frac(1)(x).\)

Bir değerler tablosu yapalım:

Koordinat düzleminde noktalar çizin:

Noktaları birleştirin, grafik şöyle görünecektir:

Bu grafiğin adı "hiperbol". Bir parabol gibi, bir hiperbolün iki dalı vardır, ancak bunlar birbirine bağlı değildir. Her biri uçlarıyla eksenlere yaklaşmaya çalışıyor Öküz Ve Oy ama asla onlara ulaşmaz.

Fonksiyonun bazı özelliklerini not edelim:

1. Fonksiyonun kesirden önce bir eksisi varsa, grafik ters çevrilir, yani eksen etrafında simetrik olarak görüntülenir. Öküz.
2. Paydadaki sayı ne kadar büyük olursa, grafik orijinden o kadar "kaçar".

Hayatta ters ilişki

Uygulamada böyle bir işlevle nerede karşılaşıyoruz? Birçok örnek var. En yaygın olanı harekettir: hareket hızımız ne kadar yüksek olursa, aynı mesafeyi kat etmek için o kadar az zamana ihtiyacımız olur. Hız formülünü hatırlayalım:

\(v = \frac(S)(t),\)

nerede v - hız, t - seyahat süresi, S - mesafe (yol).

Buradan zamanı ifade edebiliriz: \(t = \frac(S)(v).\)

İlk seviye

Ters ilişki. İlk seviye.

Şimdi bir fonksiyon olarak ters ilişkiden veya başka bir deyişle - ters orantılılıktan bahsedeceğiz. Bir fonksiyonun belirli bir tür bağımlılık olduğunu hatırlıyor musunuz? Konuyu henüz okumadıysanız, her şeyi bırakıp okumanızı şiddetle tavsiye ederim, çünkü herhangi bir işlevi, onun ne olduğunu anlamadan çalışamazsınız - bir işlev.

Bu konuya başlamadan önce iki basit işlevi öğrenmek de çok yararlıdır: ve . Orada fonksiyon kavramını pekiştirecek ve katsayılar ve grafiklerle nasıl çalışılacağını öğreneceksiniz.

Peki, bir fonksiyonun ne olduğunu hatırlıyor musunuz?
Tekrarlıyoruz: bir işlev, bir kümenin (argüman) her bir öğesinin bazılarıyla ilişkilendirildiği bir kuraldır ( tek bir!) başka bir kümenin bir öğesi (işlev değerleri kümesi). Yani, bir işleviniz varsa, bu, bir değişkenin ("argüman" olarak adlandırılır) her geçerli değeri için bir değişkenin ("işlev" olarak adlandırılır) bir değeri olduğu anlamına gelir. "Kabul edilebilir" ne anlama geliyor? Bu soruya cevap veremiyorsanız, tekrar “” konusuna dönün! Her şey konseptle ilgili "ihtisas": bazı işlevler için, tüm bağımsız değişkenler eşit derecede yararlı değildir, bir bağımlılığa ikame edilebilir. Örneğin, işlev için negatif değerler bağımsız değişkenler geçersiz.

Ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyon

Bu, burada formun bir fonksiyonudur.

Başka bir deyişle, ters orantılılık olarak adlandırılır: bağımsız değişkendeki bir artış, fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.
Kapsamı tanımlayalım. Ne eşit olabilir? Veya başka bir deyişle, neye eşit olamaz?

Bu nedenle bölünemeyen tek sayı:

ya da aynı olan,

(böyle bir notasyon, herhangi bir sayı olabileceği anlamına gelir, ancak: "" işareti, gerçek sayılar kümesini, yani tüm olası sayıları belirtir; "" işareti, bu kümeden bir şeyin hariç tutulmasını belirtir (eksi işaretinin analogu) ve kıvrık parantez içindeki sayı, basitçe bir sayı anlamına gelir; görünen o ki, tüm olası sayıları hariç tutuyoruz).

Görünüşe göre işlev değerleri kümesi tamamen aynı: sonuçta, eğer, o zaman onu neye bölersek bölelim, işe yaramayacak:

Formülün bazı varyasyonları da mümkündür. Örneğin, aynı zamanda bir ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyondur.
Kendinize bu işlevin kapsamını ve kapsamını tanımlayın. Ortaya çıkmalı:

Bu fonksiyona bakalım: . Ters bir ilişki mi?

İlk bakışta şunu söylemek zor: Sonuçta, bir artışla hem kesrin paydası hem de pay artıyor, bu nedenle fonksiyonun azalıp azalmayacağı net değil, öyleyse orantılı olarak azalacak mı? Bunu anlamak için, ifadeyi payda değişken olmayacak şekilde dönüştürmemiz gerekir:

Aslında, ters bir ilişki elde ettik, ancak bir uyarıyla: .

İşte başka bir örnek: .

Burada daha karmaşık: Sonuçta, pay ve payda artık kesinlikle azaltılmıyor. Ama yine de deneyebiliriz:

Ne yaptığımı anladın mı? Payda, aynı sayıyı () ekledim ve çıkardım, bu yüzden hiçbir şeyi değiştirmedim, ancak şimdi payın paydaya eşit bir kısmı var. Şimdi terim terime böleceğim, yani bu kesri iki kesrin toplamına ayıracağım:

(ve doğru, sahip olduğum şeyi ortak bir paydaya getirirsek, bir kez daha ilk kesirimizi elde ederiz):

Vay! tekrar ortaya çıktı ters ilişki, ancak şimdi ona bir sayı eklendi.
Bu yöntem, daha sonra grafikleri çizerken bizim için çok yararlı olacaktır.

Ve şimdi bağımsız olarak ifadeleri ters bir ilişki biçimine getirin:

Yanıtlar:

2. Burada, kare üçlü terimlinin faktörlere nasıl ayrıştırıldığını hatırlamanız gerekir (bu, "" başlığında ayrıntılı olarak açıklanmaktadır). Bunun için karşılık gelenlerin köklerini bulmanız gerektiğini hatırlatmama izin verin. ikinci dereceden denklem: . Onları sözlü olarak Vieta teoremini kullanarak bulacağım: , . Nasıl yapılır? Bunu konuyu okuyarak öğrenebilirsiniz.
Böylece, şunu elde ederiz, dolayısıyla:

3. Kendiniz çözmeye çalıştınız mı? Amaç ne? Elbette payda ve paydada - sadece. Problem değil. Küçültmemiz gerekecek, bu nedenle pay parantezlerden çıkarılmalıdır (böylece katsayısız parantez içinde ortaya çıkar):

Ters Çizim

Her zaman olduğu gibi, en basit durumla başlayalım: .
Bir tablo yapalım:

Koordinat düzleminde noktalar çizin:

Şimdi sorunsuz bir şekilde bağlanmaları gerekiyor, ama nasıl? Sağ ve sol kısımlardaki noktaların görünüşte alakasız eğri çizgiler oluşturduğu görülmektedir. Olduğu gibi. Grafik şöyle görünecek:

Bu grafiğin adı "hiperbol"(bu isimde "parabol" benzeri bir şey var, değil mi?). Bir parabol gibi, bir hiperbolün iki dalı vardır, ancak bunlar birbirine bağlı değildir. Her biri uçlarıyla eksenlere yaklaşma eğilimindedir, ancak asla onlara ulaşmaz. Aynı abartıya uzaktan bakarsanız, aşağıdaki resmi elde edersiniz:

Anlaşılabilir: çünkü grafik ekseni geçemez. Ama aynı zamanda, grafik hiçbir zaman eksene değmeyecek.

Peki, şimdi katsayıların neyi etkilediğini görelim. Şu işlevleri göz önünde bulundurun:
:

Vay canına, ne güzel!
Tüm grafikler inşa edildi farklı renkler onları birbirinden ayırmayı kolaylaştırmak için.

Peki, öncelikle nelere dikkat edeceğiz? Örneğin, fonksiyonun kesirden önce bir eksisi varsa, grafik ters çevrilir, yani eksen etrafında simetrik olarak görüntülenir.

İkincisi: paydadaki sayı ne kadar büyükse, grafik orijinden o kadar "kaçar".

Peki ya işlev daha karmaşık görünüyorsa, örneğin, ?

Bu durumda, hiperbol normal olanla tamamen aynı olacak, sadece biraz değişecek. Düşünelim, nerede?

Şimdi ne eşit olamaz? Sağ, . Bu, grafiğin asla düz bir çizgiye ulaşmayacağı anlamına gelir. Ne eşit olamaz? Şimdi. Bu, grafiğin şimdi düz bir çizgiye yöneleceği, ancak onu asla geçemeyeceği anlamına gelir. Böylece, şimdi düz çizgiler ve koordinat eksenlerinin işlev için gerçekleştirdiği rolün aynısını gerçekleştirin. Bu tür çizgiler denir asimptotlar(grafiğin yöneldiği ancak ulaşmadığı çizgiler):

Bu konuda bu tür grafiklerin nasıl oluşturulduğu hakkında daha fazla bilgi edineceğiz.

Ve şimdi pekiştirmek için birkaç örnek çözmeye çalışın:

1. Şekilde bir fonksiyon grafiği gösterilmektedir. Belirlemek.

2. Şekilde bir fonksiyon grafiği gösterilmektedir. Belirlemek

3. Şekilde bir fonksiyon grafiği gösterilmektedir. Belirlemek.

4. Şekilde bir fonksiyon grafiği gösterilmektedir. Belirlemek.

5. Şekil, ve fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir.

Doğru oranı seçin:

Yanıtlar:

Hayatta ters ilişki

Uygulamada böyle bir işlevle nerede karşılaşıyoruz? Birçok örnek var. En yaygın olanı harekettir: hareket hızımız ne kadar yüksek olursa, aynı mesafeyi kat etmek için o kadar az zamana ihtiyacımız olur. Nitekim hız formülünü hatırlayalım: , nerede hız, yolculuk süresi, mesafe (yol).

Buradan zamanı ifade edebiliriz:

Örnek:

Bir kişi ortalama km/s hızla işe gidiyor ve bir saatte varıyor. Km/h hızla giderse aynı yolda kaç dakika harcar?

Çözüm:

Genelde bu tür problemleri 5. ve 6. sınıflarda zaten çözmüşsünüzdür. orantı kurdunuz mu

Yani, ters orantılılık kavramı size zaten tam olarak aşinadır. Hatırladıkları buydu. Ve şimdi aynı şey, sadece yetişkin bir şekilde: bir işlev aracılığıyla.

Zamanın dakika cinsinden hıza olan işlevi (yani bağımlılığı):

O zaman biliniyor:

Bulmak gerek:

Şimdi hayattan ters orantılılığın olduğu birkaç örnek verelim.
İcat edilmiş? Evet ise aferin. İyi şanlar!

TERS BAĞIMLILIK. ANA KONU HAKKINDA KISACA

1. Tanım

Ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyon burada formun bir fonksiyonudur.

Başka bir deyişle, bu işleve ters orantılılık denir, çünkü bağımsız değişkendeki bir artış, işlevde orantılı bir azalmaya neden olur.

ya da aynı olan,

Ters ilişki grafiği bir abartıdır.

2. Katsayılar ve.

Dan sorumlu "eğim" ve grafiğin yönü: bu katsayı ne kadar büyükse, hiperbolün bulunduğu orijinden o kadar uzaktadır ve bu nedenle, daha az keskin bir şekilde "döner" (şekle bakın). Katsayının işareti, grafiğin bulunduğu çeyrekleri etkiler:

• eğer, o zaman hiperbolün dalları ve çeyreklerde bulunur;
• eğer, o zaman içinde ve.

x=a dikey asimptot, yani, grafiğin yöneldiği dikey.

Sayı, fonksiyonun grafiğini bir miktar yukarı kaydırmaktan ve eğer aşağı kaydırmaktan sorumludur.

Bu nedenle, Yatay asimptot.

Bugün hangi niceliklere ters orantılı denildiğine, ters orantılılık grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların yalnızca matematik derslerinde değil, okul duvarlarının dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

orantılılık karşılıklı olarak birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Bu nedenle, nicelikler arasındaki ilişki doğrudan ve ters orantılılığı tanımlar.

Doğrudan orantılılık- bu, iki nicelik arasındaki öyle bir ilişki ki, birinde bir artış veya azalma diğerinde bir artışa veya azalmaya yol açar. Onlar. tavırları değişmez.

Örneğin, sınavlara hazırlanmak için ne kadar çok çaba harcarsanız, notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız, sırt çantanızı taşımak o kadar zorlaşır. Onlar. sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan şeylerin sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.

ters orantılılık- bu, bağımsız bir değerin (argüman olarak adlandırılır) birkaç katı azalmanın veya artışın, bağımlı bir değerde (buna işlev denir) orantılı (yani aynı miktarda) artışa veya azalmaya neden olduğu işlevsel bir bağımlılıktır.

Gözünde canlandırmak basit örnek. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ve cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. ne kadar çok elma alırsan o kadar az paran kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantılılık işlevi şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.

Bu işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayıların kümesidir. X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. aralık hepsi gerçek sayılar, hariç y= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini geçmez.
7. Sıfırları yoktur.
8. Eğer k> 0 (yani bağımsız değişken artar), fonksiyon her bir aralığında orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) fonksiyonun negatif değerleri (-∞; 0) aralığında, pozitif değerleri ise (0; +∞) aralığındadır. Argüman azalırken ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki gibi tasvir edilmiştir:

Ters Orantılı Problemler

Daha net hale getirmek için, birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve çözümleri, ters oranın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacak.

Görev numarası 1. Araba 60 km/h hızla hareket ediyor. Hedefine ulaşması 6 saatini aldı. Hızının iki katı hızla giderse aynı mesafeyi ne kadar sürede kateder?

Zaman, mesafe ve hız ilişkisini tanımlayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantılılık fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Ve arabanın yolda geçirdiği süre ile hareket etme hızının ters orantılı olduğunu gösterir.

Bunu doğrulamak için, koşula göre 2 kat daha yüksek olan V2'yi bulalım: V2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / s. Ardından S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık sorunun durumuna göre bizden istenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi, seyahat süresi ve hız gerçekten ters orantılıdır: orijinal hızdan 2 kat daha yüksek bir hızla, araba yolda 2 kat daha az zaman harcar.

Bu sorunun çözümü de orantı olarak yazılabilir. Neden böyle bir diyagram oluşturuyoruz:

↓ 60 km/s – 6 s

↓120 km/s – x s

Oklar ters bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken şunu da önerirler: Sağ Taraf kayıtlar tersine çevrilmelidir: 60/120 = x/6. x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 saati nereden alıyoruz.

Görev numarası 2. Atölye, 4 saatte belirli bir işle başa çıkan 6 işçi çalıştırıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse, kalan işçilerin aynı miktarda işi tamamlaması ne kadar sürer?

Problemin koşullarını formda yazıyoruz. görsel şema:

↓ 6 işçi - 4 saat

↓ 3 işçi - x saat

Bunu orantı olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 saat elde ederiz.2 kat daha az işçi varsa, geri kalanı tüm işi tamamlamak için 2 kat daha fazla zaman harcayacaktır.

Görev numarası 3. İki boru havuza çıkıyor. Bir borudan 2 lt/sn hızla su girer ve 45 dakikada havuzu doldurur. Başka bir borudan havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza ne kadar hızlı girer?

Başlangıç ​​olarak problemin durumuna göre bize verilen tüm nicelikleri aynı ölçü birimlerine getireceğiz. Bunu yapmak için havuzun dolum oranını dakikada litre olarak ifade ediyoruz: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / dak.

Havuzun ikinci borudan daha yavaş doldurulması durumundan kaynaklandığı için su giriş hızı daha düşük demektir. Ters orantı karşısında. Bilinmeyen hızı x cinsinden ifade edelim ve aşağıdaki şemayı çizelim:

↓ 120 l/dk - 45 dk

↓ x l/dk – 75 dk

Ve sonra bir orantı yapacağız: 120 / x \u003d 75/45, buradan x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / dak.

Havuzun doluluk oranı saniyede litre olarak ifade edilen problemde cevabımızı aynı forma getirelim: 72/60 = 1.2 l/s.

Görev numarası 4. Kartvizitler küçük bir özel matbaada basılmaktadır. Matbaanın bir çalışanı saatte 42 kartvizit hızında çalışıyor ve tam zamanlı - 8 saat çalışıyor. Daha hızlı çalışır ve saatte 48 kartvizit basarsa, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış bir yoldan gidiyoruz ve sorunun durumuna göre istenen değeri x olarak gösteren bir şema hazırlıyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/saat – xh

Önümüzde ters orantılı bir ilişki var: Bir matbaa çalışanının saatte kaç kat daha fazla kartvizit bastığı, aynı işi tamamlaması aynı süreyi alacak. Bunu bilerek orantı kurabiliriz:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 saat.

Böylece işi 7 saatte bitiren matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu ters orantılılık problemleri gerçekten basit. Artık onları da öyle düşündüğünüzü umuyoruz. Ve en önemlisi, geri hakkında bilgi orantılı bağımlılık değerler gerçekten sizin için birden fazla kez faydalı olabilir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ama o zaman bile, seyahate çıkacağınız, alışveriş yapacağınız, tatillerde biraz para kazanmaya karar vereceğiniz vb.

Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılılık örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Bu bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu makaleyi paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

konu başına 1 ders

gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. çalışılan tüm materyalleri işleve göre tekrarlayın.
2. Ters orantılılığın tanımını tanıtmak ve grafiğinin nasıl oluşturulacağını öğretmek.
3. mantıksal düşünme geliştirin.
4. dikkat, doğruluk, doğruluk geliştirmek.

Ders planı:

1. Tekrarlama.
2. Yeni malzemenin açıklaması.
3. Fizkultminutka.
4. konsolidasyon

Ekipman: posterler.

Dersler sırasında:

1. Ders tekrarla başlar. Öğrenciler (önceden büyük bir kağıt üzerinde hazırlanan) bir bulmacayı çözmeye davet edilir.

Bulmaca soruları:

1. Bağımsız değişkenin her değerinin bağımlı değişkenin tek bir değerine karşılık geldiği değişkenler arasındaki bağımlılık. [İşlev].

2. Bağımsız değişken. [Argüman].

3. Apsisin koordinat düzleminin, bağımsız değişkenin değerlerine ve ordinatlara eşit olan noktaların kümesi - işlevin değerlerine. [Takvim].

4. y=kx+b formülü ile verilen fonksiyon. [Doğrusal].

5. Katsayı denilen sayı nedir? k y=kx+b formülünde? [Açısal].

6. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği olarak ne hizmet eder? [Dümdüz].

7. k≠0 ise y=kx+b grafiği bu ekseni kesiyor, k=0 ise buna paralel. Bu eksenin harfi nedir? [X].

8. y=kx fonksiyonunun adındaki kelime? [Orantılılık].

9. y=x formülü ile verilen fonksiyon 2. [İkinci dereceden].

10. Grafik adı ikinci dereceden fonksiyon. [Parabol].

11. Genellikle bir işlevi ifade eden Latin alfabesinden bir harf. [Yy].

12. Bir işlevi ayarlamanın yollarından biri. [Formül].

Öğretmen : Bildiğimiz bir işlevi tanımlamanın ana yolları nelerdir?

(Bir öğrenci tahtada bir görev alır: argümanının verilen değerlerine göre 12/x fonksiyonunun değer tablosunu doldurun ve ardından koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları oluşturun).

Geri kalanlar öğretmenin sorularını yanıtlar: (tahtaya önceden kaydedilmiştir)

1. Aşağıdaki formüllerle verilen fonksiyonların adları nelerdir: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x3 ?

2. Aşağıdaki işlevlerin kapsamını belirtin: y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Daha sonra öğrenciler, öğretmenin sorduğu soruları yanıtlayarak masanın üzerinde çalışırlar:

1. Tablodan hangi şekil grafikleri gösterir:

a) doğrusal fonksiyon;

b) doğrudan orantılılık;

c) ikinci dereceden işlev;

d) y=kx formundaki fonksiyonlar 3 ?

2. Tablonun 1, 2, 4, 5 şekillerindeki grafiklere karşılık gelen y=kx+b şeklindeki formüllerdeki k katsayısının işareti nedir?

3. Tablodaki grafikleri bulun doğrusal fonksiyonlar, eğim katsayıları:

a) eşittir;

b) Mutlak değerde eşittir ve işarette zıttır.

(Ardından tahtaya çağrılan öğrencinin tabloyu doğru doldurup doldurmadığı ve koordinat düzlemine nokta koyup koymadığı tüm sınıf tarafından kontrol edilir).

2. Açıklama motivasyonla başlar.

Öğretmen: Bildiğiniz gibi, her işlev çevremizde meydana gelen bazı süreçleri tanımlar.

Örneğin kenarları olan bir dikdörtgen düşünün. x ve y ve alan 12cm 2 . x*y=12 olduğu biliniyor ama dikdörtgenin kenarlarından birini değiştirmeye başlarsanız kenar uzun diyelim ne olacak X?

kenar uzunluğu y y=12/x formülünden bulunabilir. Eğer X 2 kat artırın, o zaman y=12/2x olacaktır, yani taraf y 2 kat azalacaktır. eğer değer X 3, 4, 5 ... kat artırın, ardından değer y aynı miktarda azalacaktır. Aksine, eğer X birkaç kez azaltmak y aynı oranda artacaktır. (Masa üzerinde çalışın).

Bu nedenle, y=12/x biçimindeki bir fonksiyona ters orantılılık denir. İÇİNDE Genel görünüm y=k/x şeklinde yazılır, burada k bir sabittir ve k≠0'dır.

Bu, defterlere kaydedilen bugünkü dersin konusu. Kesin bir tanım veriyorum. Özel bir ters orantılılık biçimi olan y=12/x işlevi için, tablodaki argüman ve işlevin bir dizi değerini zaten yazmıştık ve karşılık gelen noktaları koordinat düzleminde göstereceğiz. Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor? Oluşturulan noktalara göre tüm grafiği yargılamak zordur, çünkü noktalar herhangi bir şekilde bağlanabilir. Tablo ve formülün dikkate alınmasından doğan fonksiyonun grafiği hakkında sonuçlar çıkarmaya birlikte çalışalım.

Sınıf için sorular:

1. y=12/x fonksiyonunun kapsamı nedir?
2. y değerleri pozitif mi negatif mi

a)x

b)x>0?

3. Bir değişkenin değeri nasıl değişir? y değer değişikliği ile X?

Bu yüzden,

1. (0,0) noktası grafiğe ait değildir, yani OX veya OY eksenleriyle kesişmez;
2. grafik Ι ve ΙΙΙ koordinat çeyreklerindedir;
3. hem Ι koordinat çeyreğinde hem de ΙΙΙ'de koordinat eksenlerine yumuşak bir şekilde yaklaşır ve eksenlere istenildiği kadar yaklaşır.

Bu bilgilerle zaten şekildeki noktaları birleştirebiliyoruz (öğretmen bunu tahtada kendisi yapıyor) ve y=12/x fonksiyonunun grafiğini bir bütün olarak görebiliyoruz. Ortaya çıkan eğri, Yunanca'da "bir şeyin içinden geçmek" anlamına gelen bir abartı olarak adlandırılır. Bu eğri, MÖ 4. yüzyılda antik Yunan okulunun matematikçileri tarafından keşfedildi. Abartma terimi, Pergamon şehrinden Apollonius tarafından tanıtıldı ( Anadolu), ΙΙΙ-ΙΙ c'de yaşayan. M.Ö.

Şimdi y=12/x fonksiyonunun grafiğinin yanına y=-12/x fonksiyonunun grafiğini çizeceğiz. (Öğrenciler bu görevi defterlerde ve bir öğrenci tahtada yapar).

Her iki grafiği karşılaştıran öğrenciler, ikinci grafiğin 2 ve 4 koordinat dairesi kapladığını fark ederler. Ayrıca y=12/x fonksiyonunun grafiği OS eksenine göre simetrik olarak gösterilirse y=-12/x fonksiyonunun grafiği elde edilir.

Soru: y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k katsayısının işaretine ve değerine nasıl bağlıdır?

Öğrenciler k>0 ise grafiğin Ι konumunda olduğundan emin olur. Ve ΙΙΙ koordinat çeyrekleri ve eğer k

1. Beden eğitimi öğretmen tarafından yürütülür.

1. Çalışılanların birleştirilmesi, ders kitabından No. 180, 185 yapılırken gerçekleşir.

1. Ders özetlenir, değerlendirmeler, ödev: madde 8 No. 179, 184.

konuyla ilgili 2 ders

"Ters orantılılık işlevi ve grafiği".

gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. ters orantılılık fonksiyonunun grafiğini çizme becerisini pekiştirmek;
2. konuya ilgi geliştirmek, mantıksal düşünme;
3. bağımsızlığı, dikkati geliştirin.

Ders planı:

1. Yürütme kontrolü Ev ödevi.
2. sözlü çalışma
3. Problem çözme.
4. Fizkultminutka.
5. Çok seviyeli bağımsız çalışma.
6. Özetleme, değerlendirme, ödev.

ekipman: kartlar.

Dersler sırasında:

1. Öğretmen dersin konusunu, hedeflerini ve ders planını duyurur.

Daha sonra iki öğrenci tahtadaki eve atanan 179, 184 numaralarını tamamlar.

1. Öğrencilerin geri kalanı, öğretmenin sorularını yanıtlayarak önden çalışır.

Sorular:

• Ters orantılılık fonksiyonunu tanımlayın.
• Ters orantı fonksiyonunun grafiği nedir?
• y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k katsayısının değerine nasıl bağlıdır?

Görevler:

1. Formüllerle verilen işlevler arasında ters orantılılık işlevlerini adlandırın:

a) y=x2 +5, b) y=1/x, c) y=4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Ters orantılılık fonksiyonları için, katsayıyı adlandırın ve grafiğin hangi çeyrekte olduğunu belirtin.

3. Ters orantılılık fonksiyonlarının tanım alanını bulun.

(Ardından öğrenciler tahtada öğretmenin kontrol ettiği sayıların çözümlerine göre kalemle birbirlerinin ödevlerini kontrol ederler ve işaretlerler).

190, 191, 192, 193 (sözlü) ders kitabı üzerinde ön çalışma.

1. 186 (b), 187 (b), 182 numaralı ders kitabından defterlerde ve tahtada uygulama.

4. Bir beden eğitimi seansı bir öğretmen tarafından yürütülür.

5. Bağımsız iş verildi üç seçenek değişen karmaşıklık(kartlara dağıtılır).

s. (hafif).

Tabloyu kullanarak ters orantılılık fonksiyonunu y=-6/x çizin:

Grafiği kullanarak şunları bulun:

a) x = - 1.5 ise y'nin değeri; 2;

b) y \u003d - 1 olan x değeri; 4.

ΙΙ c. (orta zorlukta)

Önce tabloyu doldurarak ters orantı fonksiyonunu y=16/x çizin.

Grafiği kullanarak, hangi değerlerde olduğunu bulun x y >0.

ΙΙΙ içinde. (artan zorluk)

Önce tabloyu doldurarak ters orantı fonksiyonunu y=10/x-2 çizin.

Verilen fonksiyonun etki alanını bulun.

(Öğrenciler, doğrulama için oluşturulmuş grafikleri içeren sayfaları teslim ederler).

6. Ders özetlenir, değerlendirmeler, ödev: No. 186(a), 187(a).