Bilimsel ve pratik konferans

MOU "Ortalama Kapsamlı okul 23 numara"

Vologda şehri

bölüm: doğal - bilimsel

tasarım ve araştırma çalışmaları

SİMETRİ TÜRLERİ

Çalışma 8. "a" sınıfının bir öğrencisi tarafından yapıldı

Kreneva Margarita

Başkan: yüksek matematik öğretmeni

yıl 2014

Proje yapısı:

1. Giriş.

2. Projenin amaç ve hedefleri.

3. Simetri türleri:

3.1. Merkezi simetri;

3.2. Eksenel simetri;

3.3. Ayna simetrisi(düzleme göre simetri);

3.4. Dönme simetrisi;

3.5. Taşınabilir simetri.

4. Sonuçlar.

Simetri, insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir.

G. Weil

Giriiş.

Çalışmamın konusu "Eksenel ve merkezi simetri""Geometri 8. Sınıf" dersinde. Bu konuyla çok ilgilendim. Bilmek istedim: Ne tür simetriler var, birbirlerinden nasıl farklılar, her türde simetrik figürler oluşturmanın ilkeleri neler?

İşin amacı : Farklı simetri türlerine giriş.

Görevler:

Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.

Çalışılan materyali özetleyin ve sistematik hale getirin.

Bir sunum hazırlayın.

Antik çağda "SİMETRİ" kelimesi "uyum", "güzellik" anlamlarında kullanılıyordu. Yunancadan tercüme edilen bu kelime, “orantılılık, orantılılık, bir şeyin parçalarının bir noktanın, doğrunun veya düzlemin zıt taraflarındaki düzenindeki aynılık” anlamına gelir.

İki grup simetri vardır.

İlk grup konumların, şekillerin ve yapıların simetrisini içerir. Bu doğrudan görülebilen simetridir. Buna geometrik simetri denilebilir.

İkinci grup simetriyi karakterize eder fiziksel olaylar ve doğanın kanunları. Bu simetri, dünyanın doğal-bilimsel tablosunun temelinde yatmaktadır: buna fiziksel simetri denilebilir.

ders çalışmayı bırakıyorumgeometrik simetri .

Buna karşılık, çeşitli geometrik simetri türleri de vardır: merkezi, eksenel, ayna (düzlece göre simetri), radyal (veya döner), taşınabilir ve diğerleri. Bugün 5 çeşit simetriyi ele alacağım.

Merkezi simetri

A ve A olmak üzere iki nokta 1 m O'dan geçen düz bir çizgi üzerinde bulunuyorlarsa ve aynı uzaklıkta karşıt taraflarda bulunuyorlarsa, O noktasına göre simetrik olarak adlandırılırlar. O noktasına simetri merkezi denir.

Şekil noktaya göre simetrik olarak adlandırılır.HAKKINDA , eğer şeklin her noktası için noktaya göre ona simetrik olan noktaHAKKINDA da bu figüre aittir. NoktaHAKKINDA Şeklin simetri merkezi olarak adlandırılan şeklin merkezi simetriye sahip olduğu söylenir.

Merkezi simetriye sahip şekillere örnek olarak daire ve paralelkenar verilebilir.

Slaytta gösterilen şekiller bir noktaya göre simetriktir

2. Eksenel simetri

İki noktaX Ve e doğruya göre simetrik denirT , eğer bu çizgi XY doğru parçasının orta noktasından geçiyorsa ve ona dikse. Ayrıca şunu da söylemek gerekir ki çizginin her noktasıT kendisine simetrik olduğu kabul edilir.

DümdüzT simetri eksenidir.

Şeklin düz bir çizgiye göre simetrik olduğu söylenir.T, şeklin her noktası için düz bir çizgiye göre simetrik bir nokta varsaT da bu figüre aittir.

DümdüzTşeklin simetri ekseni adı verilen şeklin eksenel simetriye sahip olduğu söylenir.

Eksenel simetri, gelişmemiş bir açı, ikizkenar ve eşkenar üçgenler, bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen tarafından sağlanır.mektuplar (sunuma bakınız).

Ayna simetrisi (bir düzleme göre simetri)

İki P noktası 1 Ve P, a düzlemine dik bir düz çizgi üzerinde bulunuyorsa ve ondan aynı uzaklıktaysa, a düzlemine göre simetrik olarak adlandırılır.

Ayna simetrisi herkes tarafından iyi bilinmektedir. Herhangi bir nesneyi ve onun yansımasını düz bir aynaya bağlar. Bir figürün diğerine ayna simetrisi olduğu söyleniyor.

Düzlemde sonsuz sayıda simetri eksenine sahip şekil bir daireydi. Uzayda sonsuz sayıda simetri düzleminde bir top vardır.

Ama eğer daire türünün tek örneğiyse, o zaman üç boyutlu dünyada sonsuz sayıda simetri düzlemine sahip çok sayıda cisim vardır: tabanında bir daire bulunan düz bir silindir, tabanında daire bulunan bir koni. taban, bir top.

Her simetrik düzlem şeklinin bir ayna yardımıyla kendisiyle birleştirilebileceğini tespit etmek kolaydır. Bu kadar karmaşık rakamların olması şaşırtıcıdır. beş köşeli yıldız veya bir eşkenar beşgen de simetriktir. Eksen sayısından da anlaşılacağı gibi, yüksek simetrileriyle tam olarak ayırt edilirler. Ve tam tersi: neden böyle görünüşte olduğunu anlamak o kadar kolay değil doğru şekil eğik bir paralelkenar olarak simetrik değildir.

4.P dönme simetrisi (veya radyal simetri)

Dönme simetrisi bir nesnenin şeklini koruyan simetridir360 ° / eşit bir açıyla bir eksen etrafında dönerkenN(veya bu değerin katları), buradaN= 2, 3, 4, … Belirtilen eksene döner eksen denirN-inci sipariş.

Şu tarihte:n=2 şeklin tüm noktaları 180 derecelik açıyla döndürülmüştür 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) eksen etrafında, şeklin şekli korunurken, yani. şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına gider (şekil kendine dönüşür). Eksen ikinci dereceden eksen olarak adlandırılır.

Şekil 2 üçüncü dereceden ekseni göstermektedir, Şekil 3 - 4. dereceden, Şekil 4 - 5. dereceden.

Bir nesnenin birden fazla dönme ekseni olabilir: Şekil 1 - 3 dönme ekseni, Şekil 2 - 4 eksen, Şekil 3 - 5 eksen, Şekil 3 - 5 eksen. 4 - yalnızca 1 eksen

Bilinen "I" ve "F" harfleri dönme simetrisine sahiptir. "I" harfini, harfin düzlemine dik ve merkezinden geçen bir eksen etrafında 180 ° döndürürseniz, harf ile aynı hizada olacaktır. kendisi. Yani "I" harfi 180°, 180°= 360° dönmeye göre simetriktir: 2,N=2 olduğundan ikinci dereceden simetriye sahiptir.

"F" harfinin de ikinci dereceden dönme simetrisine sahip olduğunu unutmayın.

Ayrıca ve harfinin bir simetri merkezi vardır ve Ф harfinin bir simetri ekseni vardır.

Hayattan örneklere dönelim: bir bardak, külah şeklinde bir kilo dondurma, bir parça tel, bir boru.

Bu cisimlere daha yakından bakarsak, hepsinin öyle ya da böyle, sonsuz sayıda simetri düzleminin geçtiği sonsuz sayıda simetri ekseni boyunca bir daireden oluştuğunu fark edeceğiz. Bu cisimlerin çoğu (bunlara dönen cisimler denir) elbette aynı zamanda içinden en az bir döner simetri ekseninin geçtiği bir simetri merkezine (bir dairenin merkezi) sahiptir.

Örneğin dondurma külahının ekseni açıkça görülebilmektedir. Dairenin ortasından (dondurmanın dışına çıkarak!) ilginç koninin keskin ucuna kadar uzanır. Bir cismin simetri elemanları kümesini bir tür simetri ölçüsü olarak algılıyoruz. Top, şüphesiz simetri açısından mükemmelliğin eşsiz bir örneğidir, bir idealdir. Eski Yunanlılar onu en mükemmel vücut ve daireyi de elbette en mükemmel düz figür olarak algıladılar.

Belirli bir nesnenin simetrisini tanımlamak için, tüm dönme eksenlerinin ve bunların sıralarının yanı sıra tüm simetri düzlemlerinin de belirtilmesi gerekir.

Örneğin şunu düşünün: geometrik gövde iki özdeş düzenli dörtgen piramitten oluşur.

4. dereceden bir döner eksene (AB ekseni), 2. dereceden dört döner eksene (CE eksenleri,D.F., Milletvekili, NQ), beş simetri düzlemi (düzlemlerCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Taşınabilir simetri

Başka bir simetri türü isetaşınabilir İle simetri.

Bir şeklin düz bir çizgi boyunca belli bir "a" mesafesi kadar veya bu değerin katları kadar bir mesafe boyunca hareket ettirildiğinde, kendisiyle birleştiğinde böyle bir simetriden söz ederler. Aktarımın yapıldığı düz çizgiye aktarım ekseni adı verilir ve "a" mesafesine temel aktarım, periyot veya simetri adımı denir.

A

Uzun bir şerit üzerinde periyodik olarak tekrarlanan desene kenarlık denir. Uygulamada bordürlere çeşitli şekillerde rastlanmaktadır (duvar resmi, dökme demir, alçı kabartmalar veya seramik). Bordürler ressamlar ve sanatçılar tarafından bir odayı dekore ederken kullanılır. Bu süslemeleri gerçekleştirmek için bir şablon yapılır. Şablonu hareket ettiriyoruz, çeviriyoruz veya çevirmiyoruz, bir kontur çiziyoruz, deseni tekrarlıyoruz ve bir süs elde ediyoruz (görsel gösteri).

Kenarlığın, bir şablon (orijinal öğe) kullanılarak, kaydırılarak veya çevrilerek ve desenin tekrarlanarak oluşturulması kolaydır. Şekilde beş tür şablon gösterilmektedir:A ) asimetrik;M.Ö ) bir simetri eksenine sahip: yatay veya dikey;G ) merkezi olarak simetrik;D ) iki simetri eksenine sahiptir: dikey ve yatay.

Sınırları oluşturmak için aşağıdaki dönüşümler kullanılır:

A ) paralel transfer;B ) dikey eksene göre simetri;V ) merkezi simetri;G ) yatay eksene göre simetri.

Benzer şekilde soketler de oluşturabilirsiniz. Bunun için daire ikiye bölünmüştür.N eşit sektörler, bunlardan birinde örnek bir desen gerçekleştirilir ve ardından ikincisi dairenin geri kalan kısımlarında sırayla tekrarlanır, desen her seferinde 360 ​​° / açıyla döndürülür.N .

Eksenel ve öteleme simetrisinin kullanımına iyi bir örnek, fotoğrafta gösterilen çittir.

Sonuç: Yani var Farklı türde simetriler, bu simetri türlerinin her birinde simetrik noktalar aşağıdakilere göre inşa edilir: belirli kanunlar. Hayatta her yerde bir veya başka bir simetri türüyle karşılaşırız ve çoğu zaman bizi çevreleyen nesnelerde aynı anda birkaç simetri türü fark edilebilir. Bu, çevremizdeki dünyada düzen, güzellik ve mükemmellik yaratır.

EDEBİYAT:

İlköğretim matematik el kitabı. M.Ya. Vygodsky. - "Bilim" yayınevi. - Moskova 1971. – 416s.

Modern kelime bilgisi yabancı kelimeler. - M.: Rus dili, 1993.

Okulda matematiğin tarihiIX - Xsınıflar. G.I. Glaser. - "Aydınlanma" yayınevi. – Moskova 1983 – 351 s.

Görsel geometri 5 - 6 sınıf. EĞER. Sharygin, L.N. Erganzhiev. - "Drofa" yayınevi, Moskova, 2005. - 189p.

Çocuklar için ansiklopedi. Biyoloji. S. İsmailova. – “Avanta+” yayınevi. – Moskova 1997 – 704s.

Urmantsev Yu.A. Doğanın simetrisi ve simetrinin doğası - M.: Düşünce mimari / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

("orantılılık" anlamına gelir) - belirli dönüşümler altında kendileriyle birleştirilecek geometrik nesnelerin özelliği. "Simetri" ile herhangi bir düzenlilik kastedilmektedir. iç yapı vücutlar veya şekiller.

Merkezi simetri- bir noktaya göre simetri.

noktaya göre O, şeklin her noktası için O noktasına göre simetrik olan nokta da bu şekle aitse. O noktasına şeklin simetri merkezi denir.

İÇİNDE tek boyutlu uzay (doğru üzerinde) merkezi simetri bir ayna simetrisidir.

Uçakta (içinde 2 boyutlu A merkezli uzay) simetrisi, A merkezi ile 180 derecelik bir dönüştür. Düzlemdeki merkezi simetri, dönüş gibi, yönelimi korur.

Merkezi simetri 3 boyutlu uzaya küresel simetri de denir. Simetri merkezinden geçen bir düzlem etrafında, simetri merkezinden geçen ve yukarıda belirtilen yansıma düzlemine dik bir düz çizgi etrafında 180° dönen bir yansıma bileşimi olarak temsil edilebilir.

İÇİNDE 4 boyutlu Uzayda merkezi simetri, simetri merkezinden geçen karşılıklı olarak dik iki düzlem etrafında 180°'lik iki dönüşün bileşimi olarak temsil edilebilir.

Eksenel simetri- düz bir çizgiye göre simetri.

Şekil simetrik olarak adlandırılır nispeten düz a, şeklin her noktası için çizgiye göre simetrik olan nokta da bu şekle aitse. a doğrusuna şeklin simetri ekseni denir.

Eksenel simetri iki tanımı vardır:

- Yansıtıcı simetri.

Matematikte eksenel simetri, simetri ekseni adı verilen sabit noktalar kümesinin düz bir çizgi olduğu bir hareket türüdür (ayna yansıması). Örneğin uzayda bir dikdörtgen olan düz bir şekil, kare değilse asimetriktir ve 3 eksenli simetriye sahiptir.

- Dönme simetrisi.

Doğa bilimlerinde eksenel simetri, düz bir çizgi etrafındaki dönüşlere göre dönme simetrisi olarak anlaşılır. Bu durumda cisimler bu düz çizgi etrafında herhangi bir dönme sırasında kendi içlerine geçiyorsa eksenel simetrik olarak adlandırılır. Bu durumda dikdörtgen eksenel simetrik bir gövde olmayacak, ancak koni olacaktır.

Çevremizdeki dünyadaki birçok nesnenin düzlemindeki görüntüler bir simetri eksenine veya bir simetri merkezine sahiptir. Birçok ağaç yaprağı ve çiçek yaprağı orta gövdeye göre simetriktir.

Sanatta, mimaride, teknolojide, günlük yaşamda simetriyle sıklıkla karşılaşıyoruz. Birçok binanın cepheleri eksenel olarak simetriktir. Çoğu durumda halılar, kumaşlar ve oda duvar kağıtları üzerindeki desenler eksene veya merkeze göre simetriktir. Mekanizmaların pek çok detayı (örneğin dişliler) simetriktir.

puan X Ve X" isminde simetrik nispeten dümdüz A, ve eğer a, XX" doğru parçasının orta dikmesi ise, bunların her biri diğerine simetriktir. A çizgisinin her noktasının kendisine (a doğrusuna göre) simetrik olduğu kabul edilir. Eğer a doğrusu verilmişse, o zaman X'in her noktası, a'ya göre X'e simetrik olan benzersiz bir X" noktasına karşılık gelir.

Simetri uçak nispeten dümdüz A isminde çok görüntülemek, en Hangi her biri nokta Bu uçak koymak V yazışma nokta, simetrik ona nispeten dümdüz A.

Eksenel simetrinin bir hareket olduğunu koordinat yöntemini kullanarak kanıtlıyoruz: a düz çizgisini x ekseni olarak alıyoruz Kartezyen koordinatları. Daha sonra koordinatları (x; y) olan bir nokta, simetrisi ile (x, -y) koordinatları olan bir noktaya dönüşecektir.

Herhangi iki A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktasını alalım ve bunlara x eksenine göre simetrik olan A"(x1,-y1) ve B"(x2,-y2) noktalarını ele alalım. . A"B" ve AB mesafelerini hesaplayarak şunu elde ederiz:

Böylece eksenel simetri mesafeyi korur, dolayısıyla harekettir.

Dönüş

Dönüş uçak nispeten cetra Ö Açık the köşe () V verildi yönşu şekilde tanımlanır: düzlemin her bir X noktası öyle bir X noktasıyla ilişkilidir ki "ilk olarak OX" = OX, ikinci ve üçüncü olarak OX "ışını OX ışınından belirli bir yönde ertelenir. Nokta O denir merkez dönüş ve açı açı dönüş.

Dönmenin bir hareket olduğunu kanıtlayalım:

O noktası etrafında dönerken X" ve Y" noktaları X ve Y noktalarına atansın. X"Y"=XY olduğunu gösterelim.

O, X, Y noktalarının tek bir düz çizgi üzerinde olmadığı genel durumu düşünün. O zaman X"OY" açısı XOY açısına eşittir. Aslında, OX'tan OY'ye XOY açısının dönme yönünde ölçülmesine izin verin. (Durum böyle değilse YOX açısını dikkate alırız). O halde OX ile OY" arasındaki açı, XOY açısı ile dönme açısının (OY'den OY'ye") toplamına eşittir:

diğer tarafta,

O zamandan beri (dönme açıları gibi), bu nedenle. Ayrıca OX"=OX ve OY"=OY. Bu nedenle - iki tarafta ve aralarındaki açı. Bu nedenle X"Y"=XY.

O, X, Y noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, XY ve X "Y" parçaları eşit OX, OY ve OX", OY" parçalarının toplamı veya farkı olacaktır. Dolayısıyla bu durumda X"Y"=XY. Yani dönmek harekettir.

§ 1. Dönme ve merkezi simetri - 6. Sınıf Matematik Ders Kitabı (Zubareva, Mordkovich)

Kısa Açıklama:

Bu bölümde çalışmaya dönüyoruz yeni Konu Geometride: dönme ve merkezi simetri. Bu, geometrik anlamda dönmenin ne olduğunu, noktaların, çizgi parçalarının veya tam şekillerin nasıl döndürüleceğini ve ayrıca bir çizgi parçasının veya şeklin hangi noktalarının simetrik olarak kabul edilebileceğini anlamamıza yardımcı olacaktır.
Bir noktanın dönüşü, bir noktanın düzlemdeki başka bir nokta etrafında hareketi iken diğer noktanın sabit kalması olarak düşünülebilir. Döndürme herhangi bir mesafede gerçekleştirilebilir, böyle bir mesafe derece cinsinden ölçülür, bir iletki kullanılarak ölçülebilir. Noktalara ek olarak şekillerin ve çizimlerin tamamı da hareket ettirilebilir. Böylece rotasyonların kullanımına ilişkin birçok örnek görebiliriz. gerçek hayat- ikiye kesilmiş simetrik bitkiler, çiçekler, meyveler, yapı elemanları, Örneğin, sarmal merdivenler, ayakkabılar - sağ ve sol ayakkabılar. Böylece yıldızlar kutup etrafında dönerek yalnızca bir noktaya göre konumlarını değiştirirler. Bir dönüşün geometrik yapısı için pusula ve iletki kullanmak uygundur. Simetri, aynı merkezden eşit uzaklıktaki noktaların düzenlenmesi olarak tanımlanabilir. İÇİNDE Gündelik Yaşam simetrik nesnelerle sıklıkla karşılaşıyoruz. Ancak doğada mükemmel bir simetri olmadığını, bir kişinin yüzünün bile mükemmel bir simetriye sahip olamayacağını belirtmekte fayda var. Ancak günlük aktiviteler, yemek pişirme, ev ödevleri, oyunlar için kullandığımız nesneler çoğunlukla simetriktir. İlginç? Sizi ders kitabındaki paragrafın materyaline daha yakından bakmaya davet ediyoruz!

"Döndürme" konusunu incelerken öğrencilere şu görev verilir: yatay bir sayfaya bir şekil çizin, dönme merkezini ve dönme açısını seçin. Yeni bir şekil oluşturun. Teknik farklılık gösterebilir. Örneğin çocuklar sıklıkla uygulamayı kullanıyorlication. Sanal sergimizde bu teknikle ikinci çalışmamız yapılıyor.Ancak 3. çizimde öğrenci bitmiş görseli (uygulama) kullanmış ve ikinci hareketli figürü kendisi çizmiştir.

Kurşun kalem, keçeli kalem veya boyalarla yapılan çalışmalar özellikle ilgi çekicidir. Elbette bu eserleri derlerken çocuklarbir şablon hazırladık. Bu şablon şablonu tamamlamalarına yardımcı oldu yaratıcı çalışmalar diğer konularda "Düz bir çizgiye göre simetri", "Bir noktaya göre simetri", "Paralel aktarım".

Çocuklar özellikle dinamik modeller yapmayı severler. Saat yönünde ve saat yönünün tersine bükülebilir ve döndürülebilirler. Sunulan sergide ilk resimde sadece bir eser statiktir. İşin geri kalanı dinamiktir.

Dinamik bir model oluşturmak için yatay bir sayfaya bir şekil çizilmelidir. Beyaz kartondan şablona göre ikinci şekli kesin. Bazıları daha fazla güvenilirlik sağlamak için ikinci hareketli figürün üzerine renksiz bir film yapıştırdı. Mesela üst sıradaki güzel balıklar. 10 yaşın üzerinde ve yeni gibi görünüyor. Parlak renklerde solma veya solma olmaz. Merkezi belirtmek için öğrenciler kartondan yapılmış küçük yuvarlak bir nokta kullanırlar, hareketli figürü sıradan bir araç kullanarak yatay sayfaya sabitlerler. dikiş ipliği. Bazı çocuklar metal somunlar kullandı. Doğru, bu seçenek estetik açıdan pek hoş görünmüyor.

Kumbarada, kontrplak üzerine yakma cihazı kullanılarak yapılan "Döndürme" konulu en iyi eserler bulunmaktadır. Bunlar arasında hareketli modeller ve statik çizimler bulunmaktadır. Dinamik modeller için çok daha büyük miktarda iş yapılması gerekir çünkü hareketli figürün kesilmesi gerekir. Ne kadar zahmetli bir iş!

En iyi eserler sınıftaki stand üzerinde yapılır. Kontrplak üzerine yapılan çalışmalar ise dolaplarda yer alıyor. Sergiden sonra ofisimde yaratıcı çalışmaları tematik klasörlerde arşivliyorum, ofisin metodolojik temelini dolduruyorlar. Bu klasör, çeşitli metodolojik etkinlikler ve seminerler kapsamında spor salonundaki sergilerde sunulmaktadır. Örneğin, Günün bir parçası olarak öğrencilerin yaratıcı çalışmalarının yer aldığı bir sergi kapıları açÖğrencilerin ebeveynlerinin geleneksel olarak davet edildiği spor salonunda.